Logik und Mengenlehre

Dr. Lorenz Halbeisen
Wintersemester 2005/06
Logik und Mengenlehre
Übungsblatt 5
Abgabe der Übungen: Mittwoch den 7. Dezember
20. Es sei T eine Menge von L -Ausdrücken. Für jede konsistente Menge© Φ ⊆ T von
L -Ausdrückenª sei MΦ ein Modell mit MΦ ² Φ. Ferner sei Σ := MΦ : Φ ⊆
T und Con(Φ) , und für jeden L -Ausdruck ϕ sei Xϕ := {M ∈ Σ : M ² ϕ}.
(a) Zeige, dass die Menge der Xϕ , für L -Ausdrücke ϕ, die Basis einer Topologie
auf Σ bildet.
(b) Zeige, dass jede Menge Xϕ abgeschlossen ist.
(c) Zeige mit dem Kompaktheitssatz, dass jede oene Überdeckung von Σ eine
endliche Teilüberdeckung enthält (d.h. Σ ist kompakt).
Die folgenden Aufgaben sollen die Gödelisierung von PA illustirieren: Der Einfachheit
halber setzen wir 1 := s0, 2 := ss0, 3 := sss0, et cetera. Ferner denieren wir die
Gödelzahlen p0q = 2, psq = 4, p+q = 6, p · q = 8, p=q = 10, p∃q = 12, p∀q = 14,
p∧q = 16, p∨q = 18, p→q = 20, p¬q = 22, pxn q = 2n + 1.
21. (a) Schreibe die Zahl p1q im Dezimalsystem (wobei 1 für s0 steht).
(b) Finde den Term t mit:
ptq = 8120460576902649611516066555867141710539876003066622196218039073838096
Hinweis: Diese Zahl lässt sich schreiben als 16 · 3144 .
(c) Beschreibe die Zahl p p2q q.
(d) Sei ϕ0 ≡ ¬∃x1 sx1 = x0 . Schreibe die Zahl pϕ0 q als Produkt von Potenzen von
Produkten von Potenzen et cetera der Zahlen 2, 3, 5.
22. Denition von Prädikaten: Für die Gödelisierung ist es nützlich einige vorgefertigte
Prädikate zur Hand zu haben. Zum Beispiel das 2-stellige Prädikat
teilt(x0 , x1 ) ⇐⇒ ∃x2 (x0 · x2 = x1 )
welches wahr ist, genau dann wenn x0 | x1 .
Deniere die folgenden Prädikate:
(a) prim(x0 ) ⇐⇒ x0 ist eine Primzahl.
(b) ungerade (x0 ) ⇐⇒ x0 ist ungerade.
(c) prod23 (x0 ) ⇐⇒ x0 = 2a1 · 3a2 , wobei a1 , a2 positive natürliche Zahlen sind.
(d) prod235 (x0 ) ⇐⇒ x0 = 2a1 · 3a2 · 5a3 , wobei a1 , a2 , a3 positive natürliche Zahlen
sind.
23. Das Prädikat gp(x0 , x1 , x2 ) ⇐⇒ teilt(xx0 2 , x1 ) ∧ ¬teilt(xs0x2 , x1 ), welches genau dann
wahr ist wenn x1 der grösste Exponent von x0 ist, so dass xx0 1 | x2 , sei gegeben.
(a) Deniere das Prädikat term(x0 ), welches genau dann wahr ist, wenn x0 die
Gödelzahl eines Terms t ist, d.h. x0 = ptq, wobei t ein Term ist.
(b) Beschreibe die Denition des Prädikats formel (x0 ), welches genau dann wahr
ist, wenn x0 die Gödelzahl einer Formel ϕ ist.
24. (a) Beschreibe die Denition des Prädikats L-eins (x0 ), welches genau dann wahr
ist, wenn es Formeln ϕ und ψ gibt mit x0 = pϕ → (ψ → ϕ)q.
(b) Beschreibe die Denition des Prädikats mod-pon(x0 , x1 , x2 ), welches genau dann
wahr ist, wenn es Formeln ϕ und ψ gibt mit x0 = pϕ → ψq, x1 = pϕq, und
x2 = pψq.
25. Sei ϕ0 (x0 ) wie in Aufgabe 21.(d).
Begründe, dass gilt:
(a) PA ` ϕ0 (0)
(b) PA ` ¬ϕ0 (p0q)
(c) PA ` ¬ϕ0 (p¬ϕ0 q)