Ubungen zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität

Christian Schindelhauer
Paderborn, den 25. November 2005
Abgabe 5. Dezember 2005
Übungen zur Vorlesung
Einführung in Berechenbarkeit,
Komplexität und Formale Sprachen
WS 2005/2006
Blatt 6
AUFGABE 1:
Zeigen Sie mit Hilfe des Pumping Lemmas für kontextfreie Sprachen, dass die Sprache
D := {ww | w ∈ {0, 1}∗ }
nicht kontextfrei ist.
AUFGABE 2:
Welche Sprache wird durch die folgende Turingmaschine akzeptiert? Wird diese Sprache von
der Maschine auch entschieden?
Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , q5 = qaccept , q6 = qreject }, Σ = {0, 1}, Γ = {0, 1, X, Y, t}
0
δ
q0 (q1 , X, R)
q1 (q1 , 0, R)
q2 (q4 , 0, L)
q3 (q6 , 0, R)
q4 (q4 , 0, L)
q5
−
−
q6
1
(q0 , 1, R)
(q2 , Y, L)
(q6 , 1, R)
(q6 , 1, R)
(q6 , 1, R)
−
−
X
(q6 , X, R)
(q6 , X, R)
(q3 , X, R)
(q6 , X, R)
(q0 , X, R)
−
−
Y
(q6 , Y, R)
(q1 , Y, R)
(q2 , Y, L)
(q3 , Y, R)
(q6 , Y, R)
−
−
t
(q0 , t, R)
(q6 , t, R)
(q6 , t, R)
(q5 , Y, R)
(q6 , t, R)
−
−
AUFGABE 3:
Beschreiben Sie eine 1-Band Turingmaschine, die bei Eingabe der Binärdarstellung einer Zahl
n ∈ N diese Zahl der Reihe nach mit der Binärdarstellung von n−1, n−2, . . . , 0 überschreibt.
Hinweis: Zur Vereinfachung darf angenommen werden, dass die Binärdarstellung einer Zahl
n−1
X
von rechts nach links geschrieben ist. Also b0 b1 · · · bn−1 stellt die Zahl b =
bi · 2i dar.
i=0
AUFGABE 4:
1. Beschreiben Sie eine Mehrband Turingmaschine, die bei Eingabe der Binärdarstellung
zweier Zahlen a, b ∈ N, getrennt durch ein ], die Binärdarstellung der Summa a + b
berechnet. Zusätzlich sollte angenommen werden, dass die Eingabe mit ] beginnt.
2. Beschreiben Sie eine Mehrband Turingmaschine, die bei Eingabe der Binärdarstellung
zweier Zahlen a, b ∈ N, getrennt durch ein ], die Binärdarstellung des Produkts a ∗ b
berechnet. Zusätzlich sollte angenommen werden, dass die Eingabe mit ] beginnt.
Hinweis: Wie in der vorangegangenen Aufgabe dürfen Binärdarstellungen von Zahlen von
rechts nach links geschrieben werden.