Grundbegriffe der Mathematik – FS08

Universität Zürich
Dr. Martin Huber
Grundbegriffe der Mathematik – FS08
Musterlösung zum 4.ten Aufgabenblatt
Aufgabe 1.
In dieser Aufgabe sei die Grundmenge N. Es gilt:
a) Die Zahlen, die gleichzeitig Teiler von 20 und Teiler von 30 sind, bilden
den Durchschnitt T(20) ∩ T(30). Somit ist die gesuchte Menge
M = T(20) ∩ T(30) = T(20) ∪ T(30).
b) Die durch 3 teilbaren Zahlen sind dasselbe wie die Vielfachen von 3;
analog sind die durch 5 teilbaren Zahlen dasselbe wie die Vielfachen von 5.
Die gesuchte Menge ist somit
M = V(3)△V(5).
c) Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn sie ausser 1 keine gemeinsamen
Teiler haben. Dabei genügt es, die Primteiler zu betrachten. Somit ist eine
Zahl genau dann zu 15 teilerfremd, wenn sie nicht durch 3 und nicht durch
5 teilbar ist. Die gesuchte Menge ist demzufolge
M = V(3) ∩ V(5) = V(3) ∪ V(5).
1
Aufgabe 2.
Zur Notation: L = Menge aller Wesen, die Musik wirklich lieben; M= Meerschweinchen; S= Menge aller Wesen, die während einer Aufführung von
Beethovens Mondschein-Sonate schweigen; V= Menge aller Wesen, denen
es an Musikverständnis mangelt.
Die Prämissen bestimmen das folgende Karnaugh-Diagramm:
L
(iii)
L
M
S
M
(ii)
S
M
V
V
V
(i)
a) Trugschluss: Sonst müsste S ∩ L ∩ M ∩ V leer sein, was man nicht weiss.
b) Korrekt, denn (M ∩ L) ⊃ (M ∩ L ∩ V ∩ S) 6= ∅.
c) Korrekt, aus analogem Grund ist M ∩ S 6= ∅.
d) Trugschluss: Sonst müsste S ∩ L ∩ V leer sein; letzteres ist jedoch nicht
bekannt.
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Aufgabe 3.
a) Mit der Grundmenge R ist der Definitionsbereich
D = {x ∈ R | x ≥ 0} ∩ {x ∈ R | x − 40 ≥ 0} ∩ {x ∈ R | 5x + 44 ≥ 0} =
= [0, ∞[ ∩ [40, ∞[ ∩ [−44/5, ∞[= [40, ∞[.
b) In Bezug auf diesen Definitionsbereich gilt:
√
20
60
√
√
+√
= 5x + 44
x + x − 40
x − x − 40
[Äquivalenzumformung]
√
√
√
80 x + 40 x − 40
√
= 5x + 44
√
√
√
x + x − 40 ·
x − x − 40
√
[Äquivalenzumformung]
√
80 x + 40 x − 40 √
= 5x + 44
x − (x − 40)
[Äquivalenzumformung]
√
√
√
2 x + x − 40 = 5x + 44
[Gewinnumformung]
p
4x + 4 x(x − 40) + (x − 40) = 5x + 44
√
[Äquivalenzumformung]
p
x(x − 40) = 21
[Äquivalenzumformung]
x2 − 40x − 212 = 0 genau dann, wenn (x = −9) ∨ (x = 49).
Man stelle fest, dass x = −9 eine Scheinlösung ist: nur x = 49 liegt
tatsächlich im Definitionsbereich der Gleichung. Demzufolge ist x = 49 die
einzige Lösung.
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Aufgabe 4.
n
o
n
o
n
o
a) A∩B = 6, 12 , B\C = 3, 6, 12, 15 , A△C = 1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 16
n
o
n
o
(A△B)△C = 2, 3, 4, 8, 9, 10, 15 △C = 1, 2, 3, 8, 10, 15, 16 .
b) Zur Notation: kritische Punkte, welche zur resultierenden Menge nicht
gehören, befinden sich in einem Quadrat; kritische Punkte, welche zur resultierenden Menge gehören befinden sich in einem Kreislein.
Dabei sind A eine Kreisscheibe (Inneres samt Rand) mit Zentrum MA (2/0)
und Radius 2, B eine Kreisscheibe mit Zentrum MB (−1/2) und C eine Kreisscheibe mit Zentrum MC (−1/ − 2) und Radius 3.
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Aufgabe 5.
a) Aus der Definition vom cartesischen Produkt folgt, dass A × ∅ = ∅.
b) Die Antwort ist nein. Zur Erläuterung: sei A eine nicht leere Menge,
und B = C = ∅. Es gilt A × B = A × ∅ = ∅, und C × D = ∅. Wegen
der Annahme gilt aber A = C offensichtlich nicht.
c) Es gilt:
(x, y) ∈ (A ∪ C) × (B ∪ D) gdw (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ D)
gdw (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ D) ∨ (x ∈ C ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ C ∧ y ∈ D)
gdw (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × D) ∪ (C × B) ∪ (C × D).
Also ist
(A ∪ C) × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D) ∪ (C × B) ∪ (C × D).
d) Es gilt:
(x, y) ∈ (A × B) ∩ (C × D) gdw (x, y) ∈ (A × B) ∧ (x, y) ∈ (C × D)
gdw (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ C ∧ y ∈ D)
gdw (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ (y ∈ B ∧ y ∈ D)
gdw (x ∈ A ∩ C) ∧ (y ∈ B ∩ D) gdw (x, y) ∈ (A ∩ C) × (B ∩ D).
Also:
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
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