THEORIE DER PHASEN¨UBERG¨ANGE WS 2007/2008 Blatt 1

THEORIE DER PHASENÜBERGÄNGE
WS 2007/2008
Blatt 1
Übungen am 14.11.07
Aufgabe 1:
Fluktuations-Dissipations Theorem
(a) Zeigen Sie, dass sich im Formalismus der Statistischen Mechanik die magnetische
Suszebtibilität χ in Abhängigkeit vom magnetischen Moment M schreiben lässt als
χ(T ) = β hM 2 i − hM i2
.
(b) Leiten Sie daraus den statischen Grenzfall des Fluktuations-Dissipations Theorems
her:
χ(T ) ∼ G(k = 0)
,
wobei G(k) die Fouriertransformierte der Ortsraum-Korrelationsfunktion ist.
Aufgabe 2:
Thermodynamischer Limes:
Das klassische monoatomare ideale Gas
In der klassischen Beschreibung ist die Entropie im mikrokanonischen Ensemble bestimmt
durch das Phasenraumvolumen W im Energieintervall [E, E + ∆E]:
W (E, ∆E, V, N )
S(E, V, N ) = kB ln
h3N N !
!
,
wobei h die Planck’sche Konstante ist.
Im Folgenden soll anhand dieser Darstellung die explizite Entropie für ein monoatomares
ideales Gas, bestehend aus N Teilchen, in einer Box mit dem Volumen V berechnet
werden.
(a) Zeigen Sie, dass sich die Entropie in diesem Fall schreiben lässt als
2πmEV 2/3
S
3
= N ln
kB
2
h2
!
3
− ln N ! − ln N ! + ln
2
"
∆E
1+
E
3N/2
#
−1
.
Hinweis: Verwenden Sie die Formel für das Volumen einer d-dimensionalen Kugel:
Vd (r) =
π d/2
rd
Γ(1 + d/2)
mit Γ(n) = (n − 1)! .
Was passiert, wenn Sie jetzt ∆E → 0 durchführen ?
(b) Schreiben Sie die Entropie auf die Dichten v=V /N , e=E/N und δe=∆E/N um, so
dass N die einzig verbleibende extensive Variable ist. Vereinfachen Sie sodann die
Darstellung unter Verwendung der Stirling’schen Näherung. Führen Sie jetzt den
Übergang in den thermodynamischen Limes durch (N → ∞) und verifizieren Sie
die Sackur-Tetrode Formel
3
4πmev 2/3
S(E, V, N ) = kB N
ln
2
3h2
"
!
5
+
2
#
.
(c) Die kanonische Zustandssumme für das klassische monoatomare ideale Gas lautet
VN
Z(T, V, N ) =
N!
2πm
βh2
!3N/2
.
Berechnen Sie daraus die innere Energie U .
(d) Verwenden Sie die angegebene mikrokanonische Entropiedarstellung aus (a) und
berechnen Sie daraus die Temperatur T . Lösen Sie das Ergebnis nach E auf und
vergleichen Sie mit dem Resultat aus (c). Unter welchen Bedingungen sind beide
Ergebnisse identisch ?
Aufgabe 3:
Ising-Modell mit Kopplungen unendlicher Reichweite
Das Ising-Modell mit (unphysikalisch) schwacher Kopplungen zwischen allen Spins ist
exakt lösbar. Der Hamiltonian ist folgendermaßen definiert
H=−
X
J0 X
si
si sj − H
2 ij
i
(a) Warum macht das Modell nur Sinn wenn J0 =J/N ?
(N beschreibe die Zahl der Spins im System)
(b) Beweisen Sie die zur Lösung herangezogene Hubbard-Stratonovich Transformation
s
e
a
2N
x2
=
Na 2
Na Z ∞
dλ e− 2 λ +aλx
2π −∞
Re a > 0
.
Diese erlaubt die Entkopplung von Wechselwirkungen (∼ x·x) durch die Integration
über Hilfsfelder (∼ λ).
(c) Zeigen Sie, dass sich damit für die kanonische Zustandssumme des Modells
s
Z=
N βJ Z ∞
dλ e−βN A(λ)
2π −∞
,
1
1
mit A(λ) = Jλ2 − ln [2 cosh(β(H + Jλ))]
2
β
,
ergibt.s
(d) Im thermodynamischen Limes lässt sich obiges Integral exakt in der allgemeinen
Sattelpunkts-Näherung bestimmen:
1
ln
N →∞ N
lim
Z
dy e−N g(y) =
X
Min[g(y)]|yi
(g(y) reell) .
i
Leiten Sie die Sattelpunkts-Gleichung f (λi )=0 her und zeigen Sie, dass für die Zustandssumme im thermodynamischen Limes gilt
Z=
X
e−βN A(λi )
.
i
Berechnen Sie die Magnetisierung M .
(e) Lösen Sie die Sattelpunkts-Gleichung für H=0 graphisch. Ermitteln Sie die Temperatur Tc des in diesem Fall auftretenden Phasenübergangs.