Menge der St №hle
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Gantenbein streicht Stühle
Herr Gantenbein hat fünf unterschiedliche Gartenstühle, die dieses Jahr neu gestrichen werden. Dazu stehen ihm drei Fraben, rot, grün und blau zur Verfügung.
Er streicht jeden Stuhl mit einer der drei Farben. Wieviele Möglichkeiten hat er?
Vorlesung Algebra 2
(Diskrete Mathematik und Algebra)
&
1. Abzählen
& !"#%$
(')+* $
. . . Menge der Stühle
. . . Menge der Farben
.
.
,.- 0/ &
Jede Möglichkeit ist eine Funktion
S1
R
S2
S3
G
S4
B
S5
1
Wörter der Länge 4
Funktionen
Wieviele Wörter der Länge 4 gibt es? Alle Folgen von
4 Buchstaben sind zulässig. Z.B. aber, zxyz.
=
1
2
2%354674874:9<;
2(>%4@?"4BA4BCDCDCFE54HG"4:I%;
. . . Menge der Positionen
. . . Menge der Buchstaben
.
O
JLK 1NM =
1
2
a
b
c
d
e
3
4
w
x
y
z
O
P
Q.R%O0STP
OVUWP
)\ Y]P
^:X"_\D`YaQ
\ Q7^:X`
XZY[O
, wobei es für jedes
. Wir bezeichnen
.
S1
R
S2
zxyz
1
2
S3
a
b
c
d
e
4
G
S4
B
S5
b ^ced_Pf`(_g^ch_i)`(_j^c!k"_lm`(_g^con_lm`(_g^cop5_i)`gq
3
r
Q
ist eine Teilmenge von
genau ein
gibt, mit
dieses eindeutige mit
.
Jede Möglichkeit ist eine Funktion
aber
P
Seien und Mengen.
Eine Funktion von nach
r
w
x
y
z
O
Q.R%rsSTP
Q.RtO0STr
Es gibt eine Funktion
, die leere Funktion.
Falls nicht leer, gibt es keine Funktion
.
3
4
Anzahl der Funktionen — Beispiele
u
v|{~}
wyz {
u
L
v
Anzahl der Funktionen — Beweis
vxwxyz
S ATZ Sei
eine Menge von Elementen,
,
, und sei
eine Menge von Elementen,
,
. Dann ist die Anzahl der Funktionen
gleich
.
“Wörter” der Länge 4 aus 26 Buchstaben.
Man kann mit 32 Bits
z
a
!
o5
B EWEIS Induktion über .
Anfang:
, d.h.
und es gibt daher genau
eine Funktion, die leere Funktion.
.
Es gibt
Möglichkeiten fünf verschiedene Stühle mit
drei Farben zu streichen.
Es gibt
|~
z
L
S ATZ Sei
eine Menge von Elementen,
,
, und sei
eine Menge von Elementen,
,
. Dann ist die Anzahl der Funktionen
gleich
.
o
Fall
f ¢¡f £
[¤
¥¥¦(§5¨ª©¥«¬¦(­(®©:­°¯5©D±D±B±D©­²¨±
(nicht notwendig). Sei
Dann sind folgende Funktionen möglich
Zahlen darstellen.
Also
f§ ³T­(®©|§fT
³ ­°¯©´±D±D±a©§f³T­²f±
®
¥
.
5
6
Anzahl der Funktionen — Beweis
Anzahl der Funktionen — Folgerung
µ¶·µ¹¸
º
B EWEIS – F ORTSETZUNG Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gilt für
und für alle .
Betrachte nun
.
Æ
[µ » µ ¸½¼¿¾
ÀLÁÃÂ
Ç"ÈÊÉËÂÌsÍ(ÀÎLÄ
ϽÁ Æ
Ç Ð È É%Â¿Ä Æ
Ç ÐjÈ ÑHÒoÓ »¤Ô ÏÇÈ ÑHÒoÓ Õ:Õ:Ö!Ö!×Ø×Ø×× ÙÙÒÒ »Á[ÂÚÀ ̽ÍgÀ5Î
ºLÛÜÝ
Ç5È
º
Ï
º´Þ°ºLÛÜWÝß» º£Û
ÂÄ Æ
Fixiere ein
. Wir legen nun eine Funktion
fest, indem wir eine Funktion
für ein
erweitern auf
durch
ÂÅÆÄ
à
áÅâäã aå âNæ
à
áèç
à
é[ê"ë ãìí7ìDîDîDîDì:åËï½ðàñì
é¹òFó@ô
ó
F OLGERUNG Sei
eine Menge von
Elementen. Dann ist die Anzahl der Folgen der Länge
aus Elementen in
gleich
.
å
B EWEIS Jede Folge aus Elementen in
entspricht eineindeutig einer Funktion
der Länge
wobei
das Element an -ter Stelle ist; und jede
solche Funktion entspricht so einer Folge.
Wir haben
Möglichkeiten
zu wählen (nach
Ind.vorauss.), und
Möglichkeiten um zu wählen.
Wir erhalten
Funktionen, jede Funktion
genau einmal.
å
D.h.
und es gilt
7
àõç à
D EFINITION Wir bezeichnen mit
die Menge aller
Folgen der Länge mit Elementen aus .
à çZö ù àø÷[àøúü÷|û îDîDî"÷¢à ý
çþßÿ
à ç ö à çî
8
Anzahl der Funktionen — Folgerung
Gerade / ungerade
F OLGERUNG Sei eine Menge von Elementen. Dann ist die Anzahl der Teilmengen von gleich
.
B EWEIS Jede Teilmenge von entspricht eineindeutig einer Funktion , wobei
%
&('*)+) , .- "!$#
&('*)+) , 0- / 21
S ATZ Jede 9 -elementige Menge hat genau :*;<>= ungerade Teilmengen, d.h. Teilmengen mit ungeradzahlig vielen Elementen.
B EWEIS Wir behaupten, dass es gleichviele ungerade wie gerade Teilmengen gibt. Dadurch folgt, dass
es ?@
:C;C<D= ungerade Teilmengen gibt.
?BA
Dazu betrachten wir E
:
9ML . Jeder unA
FHGCeine
I IKJKgerade
JKJKI
geraden Teilmenge entspricht
durch die
N
FunktionNOPQNSR
und jede solche Funktion entspricht so einer Teilmenge von .
D EFINITION Wir bezeichnen mit
Teilmengen von .
44
Es gilt
44
4 3 4
#
"3
die Familie aller
65 3 587
FT
L
ITVUCW XCY[ZH\^]KX`_ba*c*WdY+Z
J
Dadurch haben wir die Behauptung gezeigt, und der
Satz folgt.
FALSCH!
{1}
{}
{2}
{1,2}
{3}
{2,3}
{1,2,3}
{1,3}
FALSCH!
Insbesondere ist der Satz für ;fehg falsch.
9
10
Gerade / ungerade — zweiter Versuch
Injektive Funktionen
Jede i -elementige Menge, ikjml , hat genau
ungerade Teilmengen, d.h. Teilmengen mit ungeradzahlig vielen Elementen.
Eine Funktion B heisst injektiv falls für alle Cd` , , gilt, dass d¡ . Wir
verwenden die Notation
S ATZ
nopDq
B EWEIS Wir behaupten, dass es gleichviele ungerade wie gerade Teilmengen gibt. Dadurch folgt, dass
nCoCpDq
es rs
ungerade Teilmengen gibt.
rBt
Zum Beweis der Behauptung fixieren wir ein u0vw ;
so ein u existiert, weil iBjxl . Jeder ungeraden Teilmenge entspricht eineindeutig eine gerade durch die
yS~.
y
Funktion yz{}|
yS$
y
uCx*+
hu.v
u*+
huVv
und jeder geraden entspricht so eine ungerade. Dadurch ist die Behauptung gezeigt.
a=1
{1}
{}
{2}
{1,2}
{3}
{2,3}
{1,2,3}
{1,3}
¢£ Q
was andeutet, dass eine Bijektion zwischen
einer Teilmenge von ist.
Falls und
¦ ¦H§2¦ ¦
.
endlich, folgt aus ¤b¥£
und
, dass
S ATZ Sei ¨ eine © -elementige Menge, © ª« , und
¬
eine ­ -elementige Menge, ­®ª « . Dann gibt es
­°¯
¯C³ ±D²
(­m¹º»
´¶µ¸·
injektive Funktionen ¨£
­(­m¹ ¼6½K½^½(­m¹0©¿¾¼
¬
.
·
Beachte: ­
¼ , weil À ¶´ ±>µ¸² · ´ immer 1.
Falls ©ÂÁ­ , dann ist ­ ¯ « .
11
12
Anzahl injektiver Funktionen — Beweis
Anzahl injektiver Funktionen — Folgerung
B EWEIS Falls ÃÄÅ , dann gibt es keine injektive
Funktion und ÅÇÆ ÈÉ .
F OLGERUNG Sei ç eine Menge von è®é ê Elementen. Dann ist die Anzahl der Folgen der Länge ëìéíê
aus verschiedenen Elementen in ç gleich èïî .
Für ÃÂÊkÅ , Induktion über à .
ÃËÈÉ : Es gibt genau eine injektive Funktion (die leere Funktion) und Å.Ì ÈÎÍ .
Å ÏÃÂÏÐÍ : Fixiere ein Ñ¿Ò.Ó . Sobald wir für eine in®
jektive Funktion Ô¢ÕÓÖ ×ÙØ das Bild ÔÚÑÛfÒÂØ festlegen, gibt es Ú(ÅÝÜËÍÛ ÆÞ>ß Möglichkeiten Ô durch eine
injektive Funktion ÔCàÕÓ¢áHâÑCã¸Ö ×ÙØ2áHâÔÚÑÛã auf Ó zu
erweitern (nach Ind.vorauss.). Da es Å Möglichkeiten
für die Wahl von ÔÚÑÛ gibt, ergibt dies insgesamt
ÅmäåÚ(ÅmÜ ÍÛ ÆÞ>ß ÈæÅ Æ
B EWEIS Jede Folge aus verschiedenen Elementen
in ç der Länge ë entspricht eineindeutig einer injektiven Funktion ðËñòóôöõô^÷K÷K÷Kô
ô
ðü(ý»þ
ý ù ûÙç
ë6øú
wobei
das Element an -ter Stelle ist; und jede solche injektive Funktion entspricht so einer Folge
verschiedener Elemente.
D EFINITION Wir bezeichnen mit çíî die Menge aller Folgen der Länge ë mit verschiedenen Elementen
aus ç .
ÿ
ÿ
Es gilt
Möglichkeiten für Ô .
ç
î
ÿ
÷
ÿ
ç
î
13
14
Permutationen
Anzahl der Permutationen
Sei
eine endliche Menge. Eine Permutation von
ist eine bijektive Abbildung von
nach .
defiB EISPIEL !#"$% ist eine Permutation
niert durch von .
0
1
2
3
4
B EISPIEL
durch 3541
(*,+-+.+/0 .
0
1
2
3
4
S ATZ Die Anzahl der Permutationen einer Menge mit
@ Elementen, @ACB , ist @EDGFIHJ@,K HJLMKNPORQS .
Weil jede Permutation einer Menge T eine injektive
Funktion TVU WXT ist, und umgekehrt (falls T endlich).
B EISPIEL Für jede Menge Y[H]
Z \ und ^`_aY , ist
W
eine Permutation von vGw .
a= 1
&')(*,+-+.+/021
(*+-+.+/,0 definiert
6.3798;:=<?> ist keine Permutation von
0
1
2
3
e bgfah
b
^ ikjlmnm op^a_ Z but
bgqrh ^isjlmnm op^`_
bdc
0
1
2
3
vGx
15
Qy z{y |~}
hat v
|
{}
{}
{1}
{1}
{2}
{2}
{3}
{3}
{1,2}
{1,2}
{2,3}
{2,3}
{1,3}
{1,3}
{1,2,3}
{1,2,3}
DHJDH
,B v B Permutationen.
16
Darstellung / Interpretation
Sortieren
Gegeben eine Folge ¯°{±²°´³²µµµ²°¶· von Zahlen, bestimme eine Permutation ¸ von ¹º²»²µµµ²¼¾½ sodass
Gegeben sei Permutation von ,
kk= .
Zweizeilenform
°¿À ±ÁÃÂ
#¡ £¢¥¤¥¦
¥¢¥¦§ £¤
~X
B EISPIEL
°¿À ³ÁÃÂ
µµµ Â
°¿À ¶ Á µ
¯È ²ÉRº² È ²Ê ·
¯° ± ²° ³ ²°´Ä²°ÅÆ·Ç
wird durch ¸ mit
¸ ¯ º · ÇJ»²¸ ¯ » · ÇJË=²¸ ¯ Ê · Ç̺²¸ ¯ Ë · Ç]Ê
Falls es eine kanonische
ürliche”) Reihenfolge auf
(“nat
gibt, z.B. bei kk ¨;©
:
sortiert.
Einzeilenform
Die inverse Permutation ¸Î
beschreibt die Stellen,
wo die Zahlen in der sortierten Reihenfolge landen,
±
d.h. °Ï an der ¸Î ¯Ð· -ten Stelle.
ª
aG¨#©
«¢¬¦­ ®¤
¯ ÉRº²Ê² È ² È,·
¯° ³ ²°Å²° ± ²°´ÄÍ·Ç
±
Permutation von entspricht linearer Anordnung der
Elemente in (relativ zu einer kanonischen Anordnung von ).
Oft berechnet man tatsächlich nur die Permutation,
wenn es unmöglich oder zu ‘teuer’ ist, die gesamten
Daten (Records) zu bewegen.
17
18
Darstellung / Interpretation
Funktionsdiagramm
Permutation Ñ=ÒÓÕÔÑÖØ×,Ù9Ú;Û=Ü5Ý
Komposition von Permutationen
von Þßàáà×àâàã=àåä,æ .
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Gerichteter Graph auf ç
ó;ôõ
Sei idù
0
4
1
5
3
die Identität ó;ôõÌó auf ð .
Es gilt für alle Permuationen î , ï von ð
(0) îRñÃï ist eine Permutation von ð .
(1) îRñ idùûú idù2ñªîú«î .
(2) Für î gibt es eine Permutation îü von ð
îñªî ü ú«î ü ñªî;ú
Ô Ôßàå×àãÙ~Ô´áàåâàäGÙ Ù
Zyklen
d
e
b
îöïö ó,÷÷ø
eine Permutation von X.
2
c a
Sind î und ï Permutationen von ð , dann ist die Komposition (Verknüpfung) îñòï , definiert durch
mit
idùûý
îü ist eindeutig, heisst Inverse von î und wird mit îþ ÿ
f
Ô Ôè´àåéÙ~Ôêàåë~àìÙ~ÔíÙ Ù
19
bezeichnet.
20
+ -Elementige Teilmengen
Binomialkoeffizient
ganze Zahlen. Dann ist der
definiert durch
"! "#$% Seien
und
Binomialkoeffizient
Wenn
& , dann gilt
' ( L EMMA Falls
eine Menge, und -/.10 eine ganze Zahl. Mit
23 465 , bezeichnen
wir die Menge aller - -elementigen
Teilmengen von , .
S
Sei , eine 7 -elementige Menge, 7.80 , und
-.0 eine ganze Zahl.
999 2 , 5 Dann
999 2 gilt
5'<
9 - 9;: 74
B
Betrachte , .
4 4
=: 7 . 4
Einerseits wissen wir, dass = ,
Andererseits erhalten wir jede Folge in ,
genau einmal, indem wir für jede - -elementige Teilmenge > von
, alle -? verschiedenen Anordnungen der Elemente
in > erzeugen. Also gilt
4
4
9 9
7 : = , = : -? 999 2 , - 5 999
Sei
ATZ
EWEIS
& , dann
)* und daher die Behauptung des Satzes.
21
22
Abzählen mit nicht-bijektiven Abbildungen
Summe von Binomialkoeffizienten
@BADCBE FHGI E6J definiert durch
KMLON;PLRQSPTT TPL Y
LZN;PL6QSP TTTPL T
E;UWFV X
E;[
Für jede Menge \*]^GI
ERJ gibt istes genau _` Folgen
a ](CbE mit @ K a \ . Folglich
Ude c e e e T
C E c _` G C _ J
{ |}{~& .
k ~*
|
| }
| d
( Vereinigung disjunkter Mengen) und daher
L
~
&
für
ganzzahlig.
Betrachte die Funktion
ab
ac
ba
bc
ca
cb
fffhgikjmljmn%oqp fffsrutwv
{a,b}
{a,c}
{b,c}
EMMA
Spezialfall des Binomialsatzes.
L EMMA
fff qg ikjmljmno fff
ffyx t z ff
für
23
und
&
~
ganzzahlig.
24
Ó
Pascalsche Formel
&¡£¢ und ¤¥¡¦¢ gilt
§ § « ª¢ § « ª¢
¤S¨'© ¤ ¨d¬ )¤ ª¢­¨'®
B
Betrachte eine Menge ¯ mit ° ¯}°
© ±¡8§µ´ ¶ ¢ ,
und fixiere ein ²³(¯ . Man erhält alle Mengen in
§ ´·¹¶ ¸ºq» be-¨
genau einmal, indem man alle Mengen in
§ ´¶¾·¼½À¸º¿ » , um ² erweitert.
¨
trachtet, und alle Mengen in
ÁÁÁ ÁÁÁ ¨
ÁÁÁ
Also
ÁÁÁ ÁÁÁ ÁÁÁ
Á § ¯ Á ÁÁ § ¯ÌËdÍq²ÏÎ ÁÁ ÁÁ § ¯ÌËͲÏÎ ÁÁ
à ǵĤÂÈÉ¼Å Ê ¨ Æ © Ã Ç È%ĤÐÏÉ Å Ñ Ê ¨ Æ ¬ à ¤)Ç È%É ÄªÐÏÅ Ñ ¢ÒÊ ¨ Æ ®
ÐÏÑ
L EMMA Für
EWEIS
als Summe von
Ô
Zahlen
Õ×ÖØ ÙÛÚ
Ü
æ
æ
ì
ÝÞ­ßáàRâ;ãmàDäÏãåå åãmàæç ÖbØ Ù Úéè Õëê â à íð Ý ?
íïî
Dazu betrachten wir ÕÒñòÜZóbô Kugeln auf einer Geraden. Wir wählen Üóô dieser Kugeln aus, und setzen
àRâ auf die Anzahl der Kugeln vor der ersten, àä auf
die Anzahl der Kugeln zwischen der ersten und der
àæ auf die Anzahl der Kugeln nach
zweiten, . . . , und
der letzten. Zum Beispiel, für Õõê1ö und Ü$êu÷ :
øúùûøÌùüùù ýþ
ÿÛñëôñ÷
ù ù ø ø ùüù ýþ ööêë
ê ñ ÿÛñ æ
à
Die Summe der í ist Õ , und jedes Tupel in Ø Ù Ú mit
Summe
ält man so genau einmal. Es gibt genau
æ æ â â Õ Merhöglichkeiten
die ÜSó¥ô Kugeln aus den Õ ñ
Ü$ó£ô auszuwählen, und folglich auch soviele, Õ als
Summe von Ü nichtnegativen Zahlen zu schreiben.
Auf wieviele Arten kann man eine Zahl
als
Summe von nichtnegativen Zahlen schreiben? Genauer, was ist
25
und
— einfache Abschätzungen
26
Bessere Abschätzung
LM
— Vorbereitung
L EMMA (Geometrisches N Arithmetisches Mittel)
Für OPRQTS1U V , OKW=X)PRQTW5X , gilt
$ %&'
!#"()+*,.-/*
$%&'
0 "
Y
1*
B EWEIS Weil
Y
Für
32
254
,
)6
*
-
O_Q!N
O
und
O[\Q
]
)6
6
-
OZQ!N
Q
^
nicht negativ, gilt
b O_Q!N
g cdO[\
hi QeBf j
kmlmn
kBo9nTol
] f
XpNqg O fr
hO_
i Qs[\Q f j
t kvuHo9w l
`a
`a
7
O[\Q
]
und
weil
*
I 6
89;:=</>?89;:
8
:=</>?8
:
2
6
für
D
>A@@B@C89;:
>A@@@
KJ
32
" 254
<
</>
G 6
2FE H
.
L EMMA Für
7
,
OKWzyIPRQ!Wzy
O_Q!WqO[\Q r
B EWEIS
27
OPRQTSxU V
O_QTWqO[\Q r
y
`a
y
, gilt
^
Q [{y j
g O_Q r O hr i s
t kvu|w t oRs
u |mw
W5X
28
.
Bessere Abschätzung
3=
L EMMA Für
— Vorbereitung
}~
Abschätzung von Gauß
ganzzahlig gilt
A
{
L EMMA Für
\
{
¡{
¢
£
/¤
v?
¥¯®
v ­
?
¥¯®
¤
¤
¤
¤
,
³¾{µ
¶=Á
¿
À
³¶Z·¸º¹³.»I¹½¼
B EWEIS
³3´zµ
³Â»IÃ
ÄÅ
Ƕ
Ƕ
Å È ÉÊË È ÉÊÒ
Æ Å Ì ÍÎ Ï Ì
Å
Å
¶ÑÐ
³Ó¾{µÔ
ËÕ
ÍÎ
Ƕ
Ã
ÈÉÊAÖ
Ï
ËRÒ
³Ó¾{µÔ
Ƕ
¥ ¤
¦ ¤
§ ¤
¨ ¤
© ¤
ª ¤
« ¤
¬ ¤
­3
¥ ¤
¦ ¤
§ ¤
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© ¤
ª ¤
« ¤
¬ ¤
­ ¤
¬ ¤
« ¤
ª ¤
© ¤
¨ ¤
§ ¤
¦ ¤
¥ ¤
°
v ¤
? ¤
v ¤
? ¤
v ¤
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v ¤
? ¤
?°
B­²±Bv
¥
¶ÑÐ
ÈÉÊAÖ
ËRÒ
³¾{µÔ
Ƕ
¹
ËÕ
¾
Ë
ÈÉÊ
Ã
³¾{µÙÔ
¿
Ò
ËÕ
³¾{µ
¶
¿
À
¼
sowie
Ƕ
ÈÉÊ Ö
ËRÒ
³Ó¾
µÙÔ
Ƕ
´
ËÕ
ÈÉÊ Ö
Ã
ÒÚ
³
Õ
Ë
¶
¾
Ò
³¾{µÔ
ËÕ
Stirling Formel
30
Sortieren — untere Schranke
Sortieren von Zahlenfolge
Möglicher Algorithmus:
ÛÝÜ9Þàßáãâåä
æç)Þxè
çìâ
íÝîðïòñsïZó¯ôÑæîîî
und
é
) gilt
ÛÝÜ9ÞAß
â
ÞÂÿ
ùöúüû
ïºî
0
z2 < z 3 ?
0
ä
0
æç)Þ
è
Þ
1
z1 < z 3 ?
ë_ýºþ
ÞÂÿ
mit Vergleichen.
z1 < z 2 ?
0 ... nein
1 ... ja
â
æ)îöõ÷ïòø¯æ¯ø÷ïØîîî
(
Þ
éÑêë
Wir schreiben
Ô=µ
Á
29
Für
ËÕØ×
und
{
B EWEIS
(3,2,1)
î
éêHë
31
z2 < z 3 ?
1
(2,1,3)
1
(3,1,2)
(1,2,3)
z1 < z 3 ?
0
(2,3,1)
1
0
1
(1,3,2)
32
Sortieren — untere Schranke
Jeder vergleichsbasierte Algorithmus zum Sortieren
einer Folge von ! Zahlen induziert eine surjektive Abbildung
"$#%'&
wobei %
Permutationen von ()*+ *-,-,-,-*.!0/
eine Menge von (1 *)/ -Folgen ist. Es gilt
!325476
%
6
(wegen Surjektivität). Benötigt der Algorithmus für jede Eingabe höchstens 8 Verleiche, so ist
6
%
694:+;=<>+?@<A,-,-,<B+C0DE+CGFH?JI')
Es folgt !325KL+ CGF$? und daher
8<E)
DNM OP5QR+ CGF$? S
M OPTQU!32TVWM OPTQU!X9Y
Q
D
!
+
M OPTQU!
S ATZ Jeder vergleichsbasierte Algorithmus zum Sortieren einer Folge von ! Zahlen benötigt für eine der
Eingaben mehr als X3Z []Q \]^X IL) Vergleiche.
33
,
![4. DIE SIEBMETHODE ([1], S. 110-117) In diesem Vortrag wird es](http://s1.studylibde.com/store/data/007973364_1-6930b900a1fbe1de6aaef900fec48581-300x300.png)
