3.15 Diagonalisierung mit Orthonormalbasen

Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 51
3) Eine Sesquilinearform bzw. die zugehörige quadratische Form heißt positiv definit, falls
∀v ∈ V \ {0} : b(v, v) = q(v) > 0.
Eine selbstadjungierte n × n-Matrix A heißt positiv definit, falls
∀x ∈ Kn \ {0} : hA x, xiKn > 0.
3.106 Bemerkung: Jede positiv definite Sesquilinearform definiert ein Skalarprodukt.
3.107 Satz: Es sei M eine selbstadjungierte n×n-Matrix in K, und die zugehörige Abbildung
LM : x 7→ M x besitze eine Orthonormalbasis E aus Eigenvektoren.
1) Äquivalent sind:
(i) M ist positiv semidefinit,
(ii) Für alle Eigenwerte λ von LM gilt λ ≥ 0.
2) Äquivalent sind:
(i) M ist positiv definit,
(ii) Für alle Eigenwerte λ von LM gilt λ > 0.
3.15
Diagonalisierung mit Orthonormalbasen
3.108 Satz: Sei V Vektorraum mit Skalarprodukt. Ist L : V → V normal (d.h. L∗ ◦L = L◦L∗ ),
so gilt:
v ist Eigenvektor von L zum Eigenwert λ ⇒ v ist Eigenvektor von L∗ zum Eigenwert λ
3.109 Charakterisierung normaler Abbildungen: Sei V komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt. Für eine lineare Abbildung L : V → V sind äquivalent:
(i) L besitzt eine ONB aus Eigenvektoren.
(ii) L∗ ◦ L = L ◦ L∗ (d.h. L ist normal).
3.110 Folgerung: Ist L normal, dann gilt:
1) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
2) L ist diagonalisierbar
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 52
3.111 Charakterisierung unitärer Abbildungen: Sei V Vektorraum über C und L : V →
V linear. Dann sind äquivalent:
(i) L ist unitär,
(ii) L ist normal und σ(L) ⊆ {λ ∈ C : |λ| = 1}.
Insbesondere ist jede unitäre Abbildung über C diagonalisierbar, und alle Eigenwerte liegen auf
dem komplexen Kreis um 0 mit Radius 1.
3.112 Satz und Definition:
1) Die unitäre Gruppe
U(n) := {L : Cn → Cn | L ist unitär}
ist eine Untergruppe der linearen Gruppe (GLn (C), ◦), d.h. U(n) ⊆ GLn (C) und
(U(n), ◦) ist eine Gruppe.
2) Die lineare Gruppe GLn (R) enthält folgende Untergruppen:
• Die orthogonale Gruppe O(n) := {L : Rn → Rn | L ist orthogonal},
• Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) := {L ∈ O(n) | det(L) = 1}.
3.113 Charakterisierung selbstadjungierter Abbildungen: Sei V Vektorraum über C
mit Skalarprodukt und L : V → V linear. Dann sind äquivalent:
(i) L ist selbstadjungiert,
(ii) L ist normal und σ(L) ⊆ R,
(iii) ∀v ∈ V : hL v, vi ∈ R.
3.114 Folgerung: Im Satz 3.107 ist die Vorraussetzung LM besitze eine Orthonormalbasis
”
aus Eigenvektoren“ automatisch erfüllt, da M als selbstadjungiert vorausgesetzt wird.
3.115 Charakterisierung symmetrischer Abbildungen: Sei L : Rn → Rn : x 7→ A x.
Dann sind äquivalent:
(i) A bzw. L ist symmetrisch,
(ii) L besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Insbesondere zerfällt das charakteristische Polynom pL in reelle Linearfaktoren, und für jeden
Eigenwert λ von L gilt: na (λ) = ng (λ).
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 53
3.116 Anwendung auf quadratische Formen: Auf Rn sei die quadratische Form
q(x) := hA x, xi
mit beliebiger quadratischer Matrix A ∈ Mn,n (R) gegeben. Dann ist (A + A∗ ) symmetrisch,
und q ist die zur Bilinearform
b(x, y) = h(A + A∗ )x, yi
gehörende quadratische Form. Sei nun B = {b1 , . . . , bn } eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren
von A + A∗ : (A + A∗ )bj = λj bj . Dann gilt
q(x) = λ1 x
e21 + . . . + λn x
e2n
3.16
mit x
e = (x)B .
Die Jordansche Normalform
3.117 Definition: Für λ0 ∈ K und k ≥ 2

λ0 1
 0 λ
0

 ..
(k)
Jλ0 :=  .


0
heißt die k × k-Matrix

0 ... 0
.. 
. 
1

.. ..
.
. 0  ∈ Mk,k (K)

..
. 1 
...
0 λ0
Jordan-Matrix oder Jordan-Block.
3.118 Satz: Es gilt:
(k)
1) λ = λ0 ist einziger Eigenwert von Jλ0 ,
(k)
2) na (λ0 ) = k und ng (λ0 ) = 1. Insbesondere ist Jλ0 nicht diagonalisierbar wegen k ≥ 2.
(k)
(k)
3) (Jλ0 − λ0 · E)k = 0, d.h. die Matrix Jλ0 − λ0 · E bzw. die zugehörige lineare Abbildung
ist nilpotent.
3.119 Satz: Es sei k ≥ 2 und L : Kk → Kk eine lineare Abbildung, die nur einen Eigenwert
λ0 besitzt, und für die gilt: na (λ0 ) = k, ng (λ0 ) = 1. Für eine Basis B von Kk sind äquivalent:
(k)
(i) MLB,B = Jλ0 ,
(ii) Die Basis B = {b1 , . . . , bn } besteht aus einer Vektorkette, d.h. es gilt
(L − λ0 · Id)bj = bj+1
(L − λ0 · Id)bk = 0
für j = 1, 2, . . . , k − 1,
(bk ist Eigenvektor).
Das bedeutet, man kommt von einem Basisvektor zum nächsten durch Anwendung der
Abbildung L − λ0 · Id.
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 54
3.120 Jordansche Normalform: Sei L : V → V linear. Falls pL über K in Linearfaktoren
zerfällt:
pL (λ) = (λ1 − λ)n1 · · · (λj − λ)nj ,
so gibt es eine Basis B von V , so dass

MLB,B



= 


0
J1
J2
..
0
.
Jr




,


(k )
wobei Ji = Jλi i Jordan-Blöcke sind. L ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle Jordan-Blöcke
1-dimensional sind.
Vorsicht: Es kann mehrere Jordan-Blöcke zu einem Eigenwert geben. Sind z.B. J1 , . . . , Jl alle
Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ1 , so gilt k1 + . . . + kl = n1 .
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1
1.1 Zur Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9 Darstellung natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Zahlenkörper
12
2.1 Mengen und Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Zwei Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1
Die Anordnung in R und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2
Die archimedische Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3
Die Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Lineare Algebra
27
3.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Lineare Gleichungssysteme - Vorläufiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Lineare Gleichungssysteme II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Länge von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 56
3.8 Winkel im Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10 Die adjungierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11 Die adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.12 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.13 Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.14 Sesquilineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.15 Diagonalisierung mit Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.16 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Stichwortverzeichnis
Abbildung, 3
Bedingung
adjungierte, 44
hinreichende, 1
bijektiv, 3
notwendige, 1
Bild, 3
beschränkt, 19
Determinante, 47
Betrag, 15, 22
Einschränkung, 3
Beweis
Fortsetzung, 3
direkt, 1
identische, 3
durch Kontraposition, 1
injektiv, 3
durch Widerspruch, 1
inverse, 3
indirekt, 1
isometrisch, 44
bijektiv, 3
linear, 28
Bild einer Abbildung, 3, 29
nilpotent, 53
Bildbereich, 3
normal, 44, 51
Bilinearform, 50
orthogonal, 44
selbstadjungiert, 44
surjektiv, 3
symmetrisch, 44
Cauchy-Folge, 18
Cauchy-Schwarz-Bunjakowski Ungleichung, 41
charakteristisches Polynom, 49
Umklehrabbildung, 3
Dagonalgestalt, 48
unitär, 44, 52
Definitionsbereich, 3
Urbild, 3
Determinante, 45, 47
Verknüpfung, 3
diagonalisierbar, 48
abelsche Gruppe, 12
dichte Menge, 19
Abstand, 16, 40
Dimension, 32
abzählbar, 11
direkter Beweis, 1
adjungierte Abbildung, 44
Distributivgesetz, 13
Äquivalenzklasse, 5
divergent, 17
Äquivalenzrelation, 4
Dreiecksungleichung, 16, 40
algebraische Vielfachheit, 49
Eigenwert, 48
Anordnung eines Körpers, 14
Einheitskugel, 40
antisymmetrische Relation, 4
Einheitsmatrix, 35
Archimedische Anordnung, 17
Einheitsvektor, 40
Argument einer komplexen Zahl, 24
Einschränkung einer Abbildung, 3
assoziativ, 12
Euklidischer Algorithmus, 8
Basis, 31
Eulersche Zahl, 20
Basiswechselmatrix, 38
Fläche
57
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 58
orientierte, 45
Folge, 16
Cauchy, 18
Körper, 13
Anordnung, 14
bewertet, 16
Fortsetzung einer Abbildung, 3
der komplexen Zahlen, 21
Funktion, 3
vollständig, 18
rationale, 25
Gaußklammer, 17
geometrische Vielfachheit, 49
Gleichung
Parsevalsche, 42
Gleichungssystem, 29
Zeilenstufgenform, 30
Grenzwert, 17
Gruppe, 12
lineare Gruppe, 36, 52
Untergruppe, 52
hinreichende Bedingung, 1
homogenes lineares Gleichungssystem, 29
Homomorphismus, 28
Hornerschema, 25
Kern einer linearen Abbildung, 29
Koeffizienten, 25
Koeffizientenmatrix, 37
erweiterte, 38
kommutativ, 12
komplexe Zahlen, 21
konjugierte Zahl, 22
Kontraposition, 1
Konvergenz, 17
Koordinaten, 31
Limes, 17
linear unabhängig bzw. abhängig, 31
lineare Gruppe, 52
lineare Gruppe, 36
lineare Abbildung, 28
lineare Hülle, 28
identische Abbildung, 3
linearer Raum, 27
imaginäre Einheit, 21
linearer Teilraum, 27
Imaginärteil, 22
lineares Gleichungssystem, 29
indirekter Beweis, 1
Linearkombination, 28
Infimum, 20
Mächtigkeit von Mengen, 11
inhomogenes lineares Gleichungssystem, 29
Matrix, 33
injektiv, 3
ähnlich, 39
Intervallschachtelung, 19
äquivalent, 39
inverse Abbildung, 3
Basiswechsel, 38
inverse Matrix, 35
Determinante, 45
inverses Element, 12
inverse, 35
invertierbare Matrix, 35
invertierbar, 35
isometrische Abbildung, 44
Jordan, 53
isomorph, 29
nilpotent, 53
Isomorphismus, 29
orthogonal, 43
Jordan-Matrix, 53
Rang, 37
selbstadjungiert, 43
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symmetrisch, 43
unitär, 43
Matrizenprodukt, 35
Rang
einer linearen Abbildung, 33
einer Matrix, 37, 39
Maximum, 20
rationale Funktion, 25
Menge, 2
Realteil, 21
Mächtigkeit, 11
reelle Zahlen, 13
Minimum, 20
reflexive Relation, 4
Monoid, 12
Relation, 4
monotone Folge, 19
Ring, 13
Negation von Aussagen, 2
Schranke, 19
neutrales Element, 12
selbstadjungierte Abbildung, 44
nilpotent, 53
selbstadjungierte Matrix, 43
Norm, 39
Sesquilinearform, 50
normale Abbildung, 44, 51
Skalarenmultiplikation, 27
notwendige Bedingung, 1
Skalarprodukt, 40
Nullstelle, 25
Spur, 49
Ordnungsrelation, 4
orientierte Fläche, 45
orientiertes Volumen, 45
orthogonal, 41
orthogonale Abbildung, 44
orthogonale Matrix, 43
orthogonale Projektion, 42
Orthogonalisierungsverfahren, 41
Orthogonalsystem, 41
Orthonormalbasis, 41
Orthonormalsystem, 41
Supremum, 20
surjektiv, 3
symmetrische Matrix, 43
symmetrische Abbildung, 44
symmetrische Relation, 4
transitive Relation, 4
überabzählbar, 11
Umkehrabbildung, 3
Ungleichung
Bernoulli, 15
Cauchy-Schwarz-Bunjakowski, 41
Parsevalsche Gleichung, 42
unitäre Abbildung, 44, 52
partikuläre Lösung, 37
unitäre Matrix, 43
Pascalsches Dreieck, 7
Untergruppe, 52
Polardarstellung, 24
Untervektorraum, 27
Polynom, 25
Urbild, 3
charakteristisches, 49
positiv definit, 51
positiv semidefinit, 50
Vektorkette, 53
Vektorraum, 27
euklidischer, 40
quadratische Form, 50, 53
unitärer, 40
Quantoren, 2
Untervektorraum, 27
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 2007/08, Seite 60
Verknüpfung, 12
Abbildungen, 3
Aussagen, 1
Mengen, 2
Vielfachheit einer Nullstelle, 25
Vollständige Induktion, 6
Volumen
orientiertes, 45
Widerspruchsbeweis, 1
Zeilenstufenform, 30