Technische Universität Berlin Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. K.-E.Hellwig 10.01.05 Abgabe: 24.01.05 9. Übungsblatt zur Quanteninformationstheorie I u.II Nächste Übung: Mo., 09.01.05, 12:15, PN 733 Aufgabe 25 (4 Punkte): Sei x = [a0 , a1 , a, . . . ] ein endlicher oder unendlicher Kettenbruch, dann heiße a0n = [an , an+1 , an+2 , . . . ] sein n-ter vollständiger Quotient. Verwendet man das bisher für endliche Kettenbrüche betrachtete Symbol [. . . ] mit der gleichen arithmetischen Bedeutung auch dann, wenn das letzte Glied aM durch eine reelle Zahl ξ > 1 ersetzt ist, dann gilt offenbar x = [a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ; an−1 , a0n ] . 252.1: Man zeige: Für 2 ≤ n und n < M , falls x rational ist, gilt x= a0n pn−1 + pn−2 , a0n qn−1 + qn−2 wobei pk /qk den k-ten Näherungsbruch von x bezeichnet. (Hinweis: Betrachte die Herleitung der Rekursionen für pn und qn .) 25.2: Man zeige: Sei ξP + R x= , ξQ + S wobei 1 < ξ ∈ R, P, Q, R, S ∈ Z, Q > S > 0 und P S − QR = ±1 ist. Dann gilt P/Q = pm /qm und R/S = pm−1 /qm−1 , wobei pk /qk den k-ten Näherungsbruch von x bezeichnet und m < M im Fall x rational. Ferner ist ξ der erste vollständige Quotient. (Hinweis: Folgere, dass P, Q und R, S teilerfremd sind, denke sich P/Q in einen Kettenbruch der Länge m entwickelt, wobei m (durch Manipulation am letzten Nenner) so zu wählen ist, dass P S − QR = (1)m ist.) Aufgabe 26 (3 Punkte): ) Man zeige: Gilt für x ∈ R, P, Q ∈ Z, Q > 0 | P 1 − x| < , Q 2Q2 P Θ dann ist PQ ein Näherungsbruch von x. (Hinweis: Setze Q −x = Q 2 mit = ±1 und 1 P Θ ∈ (0, 2 ). Denke Q = [a0 , a1 , . . . , am ], wobei m so gewählt ist, dass = (−1)m−1 . Setze ωpm − pm−1 x= ωqm − qm−1 und zeige ω > 1. Schließe unter Verwendung von (25.2) auf die Behauptung Aufgabe 27 (3 Punkte): 27.1: Man beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen. Dazu betrachte man die Menge A ⊆ N derjenigen natürlichen Zahlen, die wenigstens zwei voneinander verschiedene Primfaktorzuerlegungen haben , und zeige, dass die Annahme A 6= ∅ auf einen Widerspruch führt. βm Schritt 1: Sei A 3 n = pα1 1 pα2 2 . . . pαnn = pq1β1 qpβ2 2 . . . qm , wobei 0 < pk , ql Primzahlen sind und 1 ≤ αk , βl . Man zeige: ist n das kleinste Element von A, dann gilt {p1 , p2 , . . . , pn } ∩ {q1 , q2 , . . . , qm } = ∅. Schritt 2: Für p1 = min{pk }, q1 = min{ql } betrachte man die Zahl N := n − p1 q1 und zeige, dass p1 und q1 Primfaktoren von N (∈ / A) sind. Daraus folgere man p1 q1 |n) und schließlich (etwa) q1 ∈ {p2 , p3 , . . . , pn } 27.2: Man folgere den Ersten Euklidischen Satz : Sei p Primzahl und a, b ∈ N. Dann gilt p|ab) ⇒ p|a) ∨ p|q). 27.3: Für x, y ∈ N bezeichne (x.y) den größten gemeinsamen Teiler und [x, y] das kleinste gemeinsame Vielfache von x und y. Man zeige: (x, y)[x, y] = xy.