Temporale Logik – Motivation

Fakultät für Informatik
Universität Magdeburg
Jürgen Dassow
Temporale Logik – Motivation
x = 1; y = 1; if ((x+y)%3==0) x + +; else y++;
Durchlaufszahl
0
1
2
3
4
5
6
...
x
1
1
2
2
2
3
3
.
y
1
2
2
3
4
4
5
.
x+y
2
3
4
5
6
7
8
.
K(0) = (1, 1)
K(1) = (1, 2)
K(2) = (2, 2)
K(3) = (2, 3)
K(4) = (2, 4)
K(5) = (3, 4)
K(6) = (3, 5)
...
Gibt es einen Zeitpunkt i, in dem für K(i) = (x, y) die Bedingung y > 10000
erfüllt ist?
Gilt für alle Zeitpunkte i, dass für K(i) = (x, y) die Aussage x ≤ y gilt?
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Ausdruck der temporale Logik
Definition:
Die Menge tausd der temporalen aussagenlogischen Ausdrücke wird induktiv
als Menge von Wörtern über einer Menge var von Variablen und den
Symbolen
{(, ), ¬, ∧, ∨, →, ↔, F, G, F ∞, G∞, U, B, X}
wie folgt definiert:
1. Jede Variable p ∈ var gehört zu tausd.
2. Sind w und v Wörter aus tausd, so gehören auch die Wörter
¬w, w ∧ v, w ∨ v, w → v, w ↔ v,
F w, Gw, F ∞w, G∞w, wU v, wBv, Xw
zu tausd.
3. Ein Wort gehört nur dann zu tausd, wenn dies aufgrund der Bedingungen 1. und 2. der Fall ist.
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Zeitlinien der temporalen Logik
Definition:
Unter einer Zeitlinie verstehen wir ein Paar Z = (M, x), wobei
– M selbst ein Paar M = (S, L) ist,
– S eine Menge ist (deren Elemente wir Zustände nennen),
– L eine Funktion von S in 2var ist, und
– x eine Funktion von der Menge N0 in S.
(x liefert Folge (x(0), x(1), x(2), . . . , x(n), . . .) von Werten aus S)
L definiert
für jedes s ∈ S eine Belegung durch
1 p ∈ L(s)
αs(p) =
0 p∈
/ L(s)
(x liefert Folge (αx(0), αx(1), αx(2), . . .) von Belegungen)
K : var → 2S mit s ∈ K(p) genau dann, wenn p ∈ L(s)
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Wertberechnung in der temporalen Logik I
Definition:
Der Wert wxM (u) eines temporalen aussagenlogischen Ausdrucks u ∈ tausd
bez. einer Zeitlinie (M, x) wird induktiv über den Aufbau der Ausdrücke
wie folgt definiert:
Für eine Variable p ∈ var gilt wxM (p) = 1 genau dann, wenn p ∈ L(x(0))
gilt.
Sind wxM (u) und wxM (v) bereits definiert, so setzen wir:
– wxM (¬u) = 1 gilt genau dann, wenn wxM (u) = 0 gilt,
– wxM (u ∧ v) = 1 gilt genau dann, wenn wxM (u) = wxM (v) = 1 gelten,
– wxM (u ∨ v) = 0 gilt genau dann, wenn wxM (u) = wxM (v) = 0 gelten,
– wxM (u → v) = 0 gilt genau dann, wenn wxM (u) = 1 und wxM (v) = 0
gelten,
– wxM (u ↔ v) = 1 gilt genau dann, wenn wxM (u) = wxM (v) gilt,
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Wertberechnung in der temporalen Logik II
– wxM (F u) = 1 gilt genau dann, wenn wxMj (u) = 1 für ein j ≥ 0 gilt,
– wxM (Gu) = 1 gilt genau dann, wenn wxMj (u) = 1 für alle j ≥ 0 gilt,
– wxM (F ∞u) = 1 gilt genau dann, wenn es zu jedem j ≥ 0 ein k ≥ j
mit wxMk (u) = 1 gibt,
– wxM (G∞u) = 1 gilt genau dann, wenn es ein j ≥ 0 gibt, so dass
wxMk (u) = 1 für alle k ≥ j gilt,
– wxM (uU v) = 1 gilt genau dann, wenn es ein j ≥ 0 gibt, so dass
wxMj (v) = 1 und wxMk (u) = 1 für 0 ≤ k < j gelten,
– wxM (uBv) = 1 gilt genau dann, wenn es für jedes j ≥ 1 mit wxMj (v) = 1
ein k < j mit wxMk (u) = 1 gibt,
– wxM (Xu) = 1 gilt genau dann, wenn wxM1 (u) = 1 gilt.
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Semantische Äquivalenz in der temporalen Logik
Definition:
i) Zwei Ausdrücke u ∈ tausd und v ∈ tausd heißen semantisch äquivalent
in der temporalen Aussagenlogik, wenn wxM (u) = wxM (v) für alle Zeitlinien
(M, x) gilt.
ii) Ein Ausdruck u ∈ tausd der temporalen Aussagenlogik heißt erfüllbar,
wenn es eine Zeitlinie (M, x) mit wxM (u) = 1 gibt.
iii) Ein Ausdruck u ∈ tausd heißt Tautologie in der temporalen
Aussagenlogik, wenn wxM (u) = 1 für alle Zeitlinien (M, x) gilt.
Bezeichnung: u ≡t v
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Semantische Äquivalenzen der temporalen Logik I
Satz:
Für beliebige u ∈ tausd und v ∈ tausd gelten die folgenden Äquivalenzen:
i)
F u ≡t ((u ∨ ¬u)U u,
ii) Gu ≡t ¬F ¬u,
iii) F ∞u ≡t GF u,
iv) G∞u ≡t ¬F ∞¬u,
v) uBv ≡t ¬((¬u)U v)).
Satz:
Zu jedem Ausdruck A der temporalen Aussagenlogik gibt es einen Ausdruck
B der temporalen Aussagenlogik, der A ≡t B erfüllt und nur die Operatoren
¬, ∧, U und X enthält.
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Semantische Äquivalenz in der temporalen Logik II
Satz:
Für beliebige u ∈ tausd, v ∈ tausd und w ∈ tausd gelten die folgenden
Äquivalenzen:
i)
HHu ≡t Hu für H ∈ {F, G, F ∞, G∞},
ii)
XHu ≡t HXu für H ∈ {F, G, F ∞, G∞},
iii)
X(uU v) ≡t ((Xu)U (xv)),
iv)
H(u ∨ v) ≡t (Hu ∨ Hv) für H ∈ {F, F ∞},
v)
H(u ∧ v) ≡t (Hu ∧ Hv) für H ∈ {G, G∞},
vi)
¬Xu ≡t X¬u,
vii) X(u ◦ v) ≡t (Xu ◦ Xv) für ◦ ∈ {∧, ∨, →, ↔},
viii) ((u ∧ v)U w) ≡t ((uU w) ∧ (vU w)),
ix)
(uU (v ∨ w)) ≡t ((uU v) ∨ (uU w)).
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Semantische Äquivalenz in der temporalen Logik III
Satz:
Für beliebige Ausdrücke u ∈ tausd und v ∈ tausd sind die folgenden
Ausdrücke Tautologien der temporalen Aussagenlogik:
i)
(u → F u) und (Gu → u) und (GP u → F u),
ii) (Xu → F u) und (Gu → Xu) und (GP u → XGu),
iii) ((uU v) → F v),
iv) ((Gu ∨ Gv) → G(u ∨ v)) und (F (u ∧ v) → (F p ∧ F q)),
v) (((uU w) ∨ (vU w)) → ((u ∨ v)U w)) und
((uU (v ∧ w)) → ((uU v) ∧ (uU w))),
vi) (u ∧ G(u → Xu)) → Gu).
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Entscheidbarkeit in der temporalen Logik
Satz:
Das Erfüllbarkeitsproblem der temporalen Aussagenlogik
Gegeben:
Frage:
Ausdruck u ∈ tausd der temporalen Aussagenlogik
Ist u erfüllbar?
ist entscheidbar.
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Semantische Äquivalenz in der dynamischen Logik
Definition:
Zwei Ausdrücke A und B aus dausd heißen semantisch äquivalent in der
dynamischen Aussagenlogik, wenn K(A) = K(B) für alle Kripke-Modelle
(S, K, R) gilt.
Bezeichnung: A ≡d B
Satz:
Für beliebige Ausdrücke A und B aus dausd und beliebige Programme p
und q gelten die folgenden Äquivalenzen:
i)
< p > (A ∨ B) ≡d (< p > A∨ < p > B),
ii) < (p ∪ q) > A ≡d (< p > A∨ < q > A),
iii) < {p; q} > A ≡d< p >< q > A,
iv) < A? > B ≡d (A ∧ B).
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Ausdrücke der Modallogik
Definition:
Die Menge mausd der modalen aussagenlogischen Ausdrücke wird induktiv
als Menge von Wörtern über einer Menge von Variablen aus var und den
Symbolen (, ), ¬, ∧, ∨, →, ↔, , 2 wie folgt definiert:
1. Jede Variable p ∈ var gehört zu mausd.
2. Sind A und B Wörter aus mausd, so gehören auch die Wörter
¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B), A, 2A
zu mausd.
3. Ein Wort gehört nur dann zu mausd, wenn dies aufgrund endlich
oftmaliger Anwendung von 1. und 2. der Fall ist.
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Rahmen, Situationen und Belegung der Modallogik
Rahmen R – (gerichteter) Graph R = (S, R)
Situation – Element aus S
Definition:
Es seien eine Menge var von Variablen und ein Rahmen R = (S, R)
gegeben.
Eine Belegung in der modalen Logik α der Variablen aus var ist eine
Funktion α : S × var → {0, 1}, die jeder Situation und jeder Variablen
einen Wahrheitswert aus {0, 1} zuordnet.
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Wert in der Modallogik
Definition:
Es seien ein Rahmen R = (S, R) und eine Belegung α gegeben.
Den Wert wαR,s(A) eines Ausdrucks A ∈ mausd bez. eines Rahmens
R = (S, R), einer Belegung α und einer Situation s ∈ S definieren wir
induktiv durch folgende Setzungen:
i) wαR,s(p) = αs(p) für eine Variable p ∈ var.
ii) wαR,s(¬A) = 0 gdw. wαR,s(A) = 1.
iii) wαR,s((A ∧ B)) = 1 gdw. wαR,s(A) = wαR,s(B) = 1.
iv) wαR,s((A ∨ B)) = 0 gdw. wαR,s(A) = wαR,s(B) = 0.
v) wαR,s((A → B)) = 0 gdw. wαR,s(A) = 1 und wαR,s(B) = 0.
vi) wαR,s((A ↔ B)) = 1 gdw. wαR,s(A) = wαR,s(B).
vii) wαR,s(A) = 1 gdw. r ∈ S mit (s, r) ∈ R und wαR,r (A) = 1 existiert.
viii) wαR,s(2A) = 1 gdw. wαR,r (A) = 1 für alle r ∈ S mit (s, r) ∈ R.
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Semantische Äquivalenz und Tautologie
in der modalen Logik
Definition:
• Zwei Ausdrücke A und B aus mausd heißen semantisch äquivalent,
wenn für jeden Rahmen R = (S, R), jede Belegung α und jede Situation
s ∈ S die Beziehung wαR,s(A) = wαR,s(B) gilt.
• Ein Ausdruck A aus mausd heißt Tautologie, wenn für jeden Rahmen
R = (S, R), jede Belegung α und jede Situation s ∈ S die Beziehung
wαR,s(A) = 1 erfüllt ist.
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Modallogische Tautologien
Satz:
i) Für modallogische Ausdrücke A und B aus mausd sind die folgenden
Ausdrücke Tautologien:
– (A ↔ ¬2¬A), – (2A ↔ ¬ ¬A),
– (2(A ∧ B) ↔ (2A ∧ 2B)),
– ((A ∨ B) ↔ (A ∨ B)),
– (2(A → B) → (2A → 2B)).
ii) Wenn A eine modallogische Tautologie ist, so ist auch 2A eine
modallogische Tautologie.
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Erfüllbarkeitsproblem der modalen Logik
Satz:
Das Erfüllbarkeitsproblem der modalen Aussagenlogik
Gegeben:
Frage:
Ausdruck u ∈ mausd der modalen Aussagenlogik
Ist u erfüllbar?
ist entscheidbar.
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