, für alle x, y ∈ K ). Der Betrag |·| heißt archimedisch, wenn es eine

Seminar zur Catalanschen Vermutung, Regensburg, Sommersemester 2006
Hinweise zu Vortrag 6, Gabor Wiese, 18. Mai 2006
Ab diesem Vortrag werden wir nicht mehr ohne die p-adischen Zahlen auskommen. Leider werden diese in der Vorlesung erst später behandelt, so dass wir uns hier mit einer ad-hocDefinition behelfen werden und die wichtigen Sätze glauben werden.
Hier sind einige notwendige Definitionen.
Definition 0.0.1 Sei K ein Körper und | · | ein Betrag (d.h. |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇔ x = 0,
|xy| = |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ K ). Der Betrag | · | heißt archimedisch, wenn es
eine natürliche Zahl n gibt mit |n| > 1. Sonst heißt er ultrametrisch.
Betrachten wir Beispiele.
• Der gewöhnliche Betrag auf Q ist archimedisch. Wir bezeichnen ihn zur Unterscheidung
oft mit | · |∞ .
• Sei p eine Primzahl. Wir haben ordp ( rs ) = ordp (r) − ordp (s) definiert. Man erhält den
p-Betrag, indem man
r
r
| |p := p− ordp ( s )
s
setzt. Dieser Betrag ist klarerweise ultrametrisch.
Lemma 0.0.2 Sei | · | ein ultrametrischer Betrag auf einem Körper K . Dann gilt die starke Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ max{|x|, |y|}
für alle x, y ∈ K . Ist |x| =
6 |y|, dann gilt sogar Gleichheit.
Beweis. Zum Beweis können wir ohne Einschränkung |x| ≥ |y| annehmen. Dann gilt aber
auch für jede natürliche Zahl k, dass
k
|x + y| = |
k µ ¶
X
k
i=0
i
xi y k−i| ≤ (k + 1)|xk |.
Also gilt
|x + y| ≤ |x|(k + 1)1/k .
Nehmen wir nun den Limes k → ∞, so erhalten wir die erste Aussage, da (k + 1)1/k gegen 1
geht.
1
Um den Nachsatz zu sehen, gelte nun |x| > |y|. Wir nehmen an, dass |x + y| < |x|. Nun ist
aber |x| = |x + y − y| ≤ max{|x + y|, |y|} < |x|, was ein Widerspruch ist.
¤
Lemma 0.0.3 Sei | · | ein ultrametrischer Betrag auf einem Körper K . Sei (an ) eine Folge von
Zahlen aus K .
P
Dann ist die Reihe ∞
n=0 an genau dann konvergent, wenn die (an )n eine Nullfolge bilden.
Dies ist natürlich in Bezug auf den gegebenen Betrag zu verstehen.
Beweis. Die Reihe konvergiert nach Definition, wenn die Folge der Partialsummen bn :=
Pn
i=0 ai eine Cauchy-Folge bildet. Dass die an eine Nullfolge bilden müssen, ist klar. Umgekehrt
nehmen wir dies nun an. Das heißt, dass es zu vorgegebenem ² > 0 ein N gibt, so dass für alle
n > N gilt |an | < ². Dies bedeutet aber auch für n > N und m > 0
|bn+m − bn | = |
n+m
X
an | ≤
i=n+1
max
{|ai |} < ²,
i∈{n+1,...,n+m}
was zeigt, dass die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden.
¤
Aus Analysis 1 ist bekannt, dass R der kleinste Körper ist, der die Limites aller CauchyFolgen bzgl. des gewöhnlichen Betrags enthält.
Der Körper der p-adischen Zahlen Qp ist der kleinste Körper, der die Limites aller CauchyFolgen bzgl. des p-Betrags enthält. Zu zeigen ist natürlich, dass überhaupt ein solcher Körper
existiert!!! Aber wir wollen ja der Vorlesung nicht in allen Einzelheiten vorgreifen. Dennoch
geben wir hier eine explizite Beschreibung.
Qp = {
∞
X
an pn |r ∈ Z, an ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}.
n=r
Es ist übrigens nach dem obigen Lemma ganz klar, dass diese Reihen bzgl. | · |p konvergieren.
Die Multiplikation und die Addition funktionieren so, wie man sie sich denkt, z.B. wie die
schriftliche Multiplikation im Zehnersystem, die man in der Grundschule gelernt hat, nur dass
es jetzt unendlich viele Stellen gibt und 10 natürlich durch p ersetzt wird. Man kann sich aus
dieser expliziten Beschreibung auch überlegen, dass Qp ein Körper ist. Dies folgt daraus, dass
P
n
Potenzreihen der Form 1 + ∞
n=1 an X mit an in einem Ring invertierbar sind. Man schreibt
P
n
dazu ein potentielles Inverses der Form 1 + ∞
n=1 bn X hin und sieht dann induktiv, dass sich bn
einfach aus den bm mit m < n berechnet.
P
n
∗
Wir definieren die p-Bewertung einer Zahl x = ∞
n=r an p ∈ Qp als
ordp (x) := min{n ∈ Z|an 6= 0}.
2
Es ist einfach zu sehen, dass für x ∈ Q die neue Definition der p-Bewertung mit der alten
identisch ist. Dies sollte man sich auf jeden Fall überlegen!
Wir definieren jetzt die ganzen p-adischen Zahlen Zp als diejenigen x ∈ Qp , die ordp (x) ≥ 0
P
n
erfüllen. Mit anderen Worten besteht Zp aus den x = ∞
n=r an p ∈ Qp mit r ≥ 0.
Insbesondere bedeutet dies, dass alle rationalen Zahlen rs mit p - s in Zp liegen. Anders ausgedrückt sind in Zp alle Primzahlen q 6= p invertierbar! Daraus kann man leicht schließen, dass
Zp ein Ring ist, der nur zwei Primideale enthält, nämlich (0) und (p). Denn für jeden Ringhomomorphismus
φ : Zp → R
mit einem Integritätsbereich R folgt für die Einschränkung
ψ := φ|Z : Z → R,
dass ψ entweder injektiv ist (woraus folgt, dass auch φ injektiv ist) oder ker(ψ) = (q) für eine
Primzahl q. Ist q 6= p, dann ist aber ker(φ) = Zp , da q in Zp invertierbar ist. Wegen φ(1) = 1
haben wir aber einen Widerspruch. Somit enthält ker(φ) das Ideal (p). Wegen Zp /(p) ∼
= Fp (das
sieht man sofort an der expliziten Beschreibung von Zp !) ist aber (p) bereits ein maximales Ideal
und es gilt ker(φ) = (p). Also enthält Zp nur die beiden Primideale (0) und (p). Letzteres heißt
auch das Bewertungsideal von Zp .
Nun kommen wir zu dem Körper Qp (ζp ), der im Beweis benutzt wird. Hierbei ist ζp eine
Nullstelle des p-ten Kreisteilungspolynoms
Φp (X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1.
Fassen wir dieses Polynom in Zp [X] auf, so zeigt uns das Eisensteinkriterium, dass der Grad von
Qp (ζp ) über Qp gleich p − 1 ist. Denn
¶
µ
³p´
p
(X + 1)p − 1
p−2
p−1
X
···+
=X
+
Φp (X + 1) =
p−1
X
1
ist Eisenstein für das einzige Nicht-Null-Primideal (p) von Zp .
Damit ist auch die Galoisgruppe Gal(Qp (ζp )/Qp ) gleich {σa |a = 1, . . . , p − 1}, wobei
auch hier σa durch ζp 7→ ζpa eindeutig festgelegt ist. Insbesondere berechnet sich die Norm
von Qp (ζp )/Qp ganz genauso wie die Norm von Q(ζp )/Q, nämlich als das Produkt über die σa
für a = 1, . . . , p − 1.
Wir setzen genauso wie im Text π := ζp − 1, welches wir nun in Z[ζp ] und in Zp [ζp ] auffassen
können. Mit einem ähnlichen Trick wie für Zp kann man zeigen, dass Zp [ζp ] nur genau zwei
Primideale hat, nämlich die Hauptideale (0) und (π).
3
Wir definieren nun die π-Bewertung für x ∈ Qp (ζp ) durch
ordπ (x) := max{i|π −i x ∈ Zp [ζp ]}.
Mit dieser Definition ist ganz analog zur Situation oben Zp [ζp ] die Menge der Elemente von
Qp (ζp ) von nicht-negativer π-Bewertung. Wir erklären nun den π-Betrag für x ∈ Qp (ζp ) durch
|x|π := p− ordπ (x) .
Ganz offenbar ist | · |π ein ultrametrischer Betrag.
Lemma 0.0.4 Der Körper Qp (ζp ) ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge (an )n mit an ∈ Qp (ζp )
nimmt einen Limes in Qp (ζp ) an.
Pp−1 (i) i
(i)
Beweis. Zunächst ist klar Qp (ζp ) = Qp (π). Wir schreiben an = i=1
bn π mit bn ∈ Qp
(i)
für alle n, i. Wir zeigen nun, dass für festes i die Folgen (bn )n Cauchy-Folgen in Qp bilden und
damit ihre Limites in Qp annehmen, denn von Qp wissen wir ja bereits, dass er vollständig ist.
Also sei ² > 0 vorgegeben. Es gibt nach Annahme ein N derart, dass für alle n, m > N
X
i
(i)
|an − am |π = |
(b(i)
n − bm )π |π < ².
i
Die π-Bewertung einer Zahl in Qp ist ein Vielfaches von p − 1. Dies zeigt, dass die π(i)
(i)
Bewertungen von (bn − bm )π i für feste n, m für alle i = 1, . . . , p − 1 verschieden sein müssen.
Daher liefert die strikte Dreiecksungleichung
X
(i)
i
(i)
(b(i)
max {p−i |bn(i) − bm
|π } < ².
|
n − bm )π |π =
i=1,...,p−1
i
(i)
Daher sind die Koordinatenfolgen (bn )n Cauchy-Folgen, woraus die Behauptung sofort folgt.
¤
Im Vortrag kann dies alles natürlich nicht vorgeführt werden. Es soll zu einem vorläufigen
Verständnis der Vortragenden beitragen. Im Vortrag sollte sich auf das Wesentliche beschränkt
werden.
Zu Anfang könnte kurz ein ultrametrischer Betrag eingeführt und die strikte Dreiecksungleichung aufgeschrieben werden. Die Reihenkonvergenz sollte daraus gefolgert werden. Zp und Qp
können z.B. durch die explizite Beschreibung eingeführt werden. Wir können dann glauben, dass
Zp ein Hauptidealring mit zwei Primidealen ist, dessen Quotientenkörper Qp ist. Wegen des Eisensteinkriteriums ist Qp (ζp ) von Grad p − 1 über Qp mit angegebener Galoisgruppe. Ferner ist
Zp [ζp ] ein Hauptidealring mit zwei Primidealen. Daher kann man den π-Betrag definieren, der
ultrametrisch ist. Dann kann man glauben, dass Qp (ζp ) vollständig für diesen Betrag ist.
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