Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik
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Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
17. Mai 2011
Prof. Dr. Harald Engel,
Dipl. Phys. Stefan Fruhner, Dipl. Ing. Maximilian Schmitt
Tanja Schlemm, Anke Zimmermann
6. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Di. 31.05.2011 8:15 Briefkasten ER-Geb./online über ISIS (max. 1MB)
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet.
Dafür gibt es auch Punkte! Die Abgabe soll in Dreiergruppen erfolgen.
Aufgabe 12 (7 Punkte): Matrixdarstellung von Operatoren und Basiswechsel
Seien  und B̂ zwei Operatoren mit vollständigen, orthonormierten Eigensystemen {|an i}n∈N
sowie {|bn i}n∈N und nichtentarteten Eigenwerten αn und βn .
(a) Es sei die Â-Darstellung von |ψi gegeben durch ψA (αn ) := han |ψi. Welche Form hat |ψi
in der B̂-Darstellung?
(b) Welche Form hat der Operator  in der Â- und in der B̂-Darstellung, d.h. wie sieht der
Vektor Â|ψi in der jeweiligen Darstellung aus, wenn |ψi in eben dieser Darstellung gegeben
ist?
0 1
0 i
(c) Seien  =
und B̂ =
. Berechnen Sie ψA = (ψA (−1), ψA (1)) = (5, 3)
1 0
−i 0
in der B̂-Darstellung und  in den beiden Darstellung. Hinweis: Definieren Sie sich dazu entsprechende Spaltenvektoren- bzw. Matrix-Darstellungen, indem Sie angeben, welche
Komponente sich auf welchen Eigenwert bezieht.
Aufgabe 13 (6 Punkte): Pauli-Matrizen
Mit der Definition der Pauli-Matrizen in der Ŝz -Darstellung σ̂ = (σ̂x , σ̂y , σ̂z ), in der Ŝz diagonal
ist.
1 0
0 −i
0 1
.
, σ̂z =
, σ̂y =
σ̂x =
0 −1
i 0
1 0
lassen sich die Spin-Operatoren Ŝx , Ŝy und Ŝz kompakt als Ŝ = ~2 σ̂ schreiben. Ein Ensemble von
Teilchen ist im Zustand
|ai präpariert als eine Überlagerung zweier Spinzustände
1
0
+ b2
.
|ai = b1
0
1
(a) Berechnen Sie die Erwartungswerte der Spinoperatoren hŜx i, hŜy i und hŜz i im Zustand |ai.
(b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte von σ̂x und σ̂z .
(c) Seien b1 =
√1
10
und b2 = 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen
Messwerte einer Messung von Ŝx bzw. Ŝz .
Aufgabe 14 (7 Punkte): Unitäre Transformationen
Gegeben seien die folgenden Matrixdarstellungen der Operatoren L̂x , L̂y , L̂z :
0 1 0
0 −i 0
1 0 0
~
~
1 0 1
, L̂y = √ i 0 −i
, L̂z = ~ 0 0 0
L̂x = √
2 0 1 0
2 0 i
0
0 0 −1
(a) Zeigen Sie, dass alle drei Operatoren dieselben Eigenwerte besitzen.
(b) Suchen Sie die unitäre Matrix U , die L̂y diagonalisiert.
(c) Berechnen Sie damit auch L̂x = U L̂x U † .
1
.
6. Übung TPII SS11
Aktuelle Informationen werden auf der Webseite bekannt gegeben. Diese ist zu erreichen über
http://www.tu-berlin.de/?98665
Wochenplan
8-10
10-12
12-14
14-16
Di
VL EW 203
Tut H 2033 TS
Tut EB 133C M/S
Tut ER 164 M/S
Mi
VL EW 202
Do
Tut EW 226 TS
Tut EW 226 AZ
Tut EB 417 AZ
M/S – Max Schmitt/Stefan Fruhner, TS – Tanja Schlemm, AZ – Anke Zimmermann
Sprechzeiten:
Name
Prof. Dr. H. Engel
Stefan Fruhner
Max Schmitt
Tanja Schlemm
Anke Zimmermann
Tag
Mi.
Fr.
Do.
Fr.
Di.
Zeit
14:30-16:00
13:30-14:30
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
2
Raum
EW 738
EW 627/28
EW 708
EW 060
EW 060
Tel.
79462
27681
25225
26143
26143
