Blatt 11 - Mathematik - Heinrich-Heine

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 03/04
05.01.2004
Blatt 11
Prof. Dr. K. Janßen/H. Kovilyanskaya/T. Hussner
Übungen zur Modellbildung in der Stochastik
Aufgabe 41: Im folgenden seien X1 , . . . , Xn unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsvariablen mit Verteilung Pϑ , wobei der reelle Parameter ϑ ∈ Θ ⊂ R unbekannt sei.
Bestimmen Sie in den folgenden Fällen jeweils einen Maximum-Likelihood-Schätzer ϑ̂ für
den Parameter ϑ, und überprüfen Sie die Erwartungstreue des erhaltenen Schätzers.
a) Pϑ ist eine geometrische Verteilung zum Parameter ϑ = p ∈ [0, 1), (d.h. es liegt die
Zähldichte fp (k) = Pp ({k}) = (1 − p)k−1 p (k ∈ N) vor),
(5 Punkte)
b) Pϑ ist eine Exponentialverteilung zum Parameter ϑ = λ ∈ Θ = (0, ∞) (d.h. es liegt
für ϑ > 0 die Dichte fλ (x) = λe−λx 1(0,∞) (x)) vor).
(5 Punkte)
Aufgabe 42: Bei einem Züchtungsexperiment treten die drei Genotypen DD, Dd bzw. dd
mit den Wahrscheinlichkeiten pDD = p2 , pDd = 2p(1 − p) bzw. pdd = (1 − p)2 für ein p ∈
[0, 1] auf. Bei n unabhängigen Durchführungen des Experiments traten diese Genotypen
nDD , nDd bzw. ndd mal auf (nDD + nDd + ndd = n).
a) Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Parameter p.
(5 Punkte)
b) Zeigen Sie, daß die in a) hergeleitete Schätzfunktion erwartungstreu ist.
(5 Punkte)
Aufgabe 43: X1 , . . . , Xn seien unabhängige Zufallsvariablen für n ∈ N. Ferner sei 1 ≤
n1 < n gegeben.
a) Für einen unbekannten Parameter λ > 0 seien die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn1 identisch jeweils gemäß einer Poisson-Verteilung zum Parameter λ und die Zufallsvariablen Xn1 +1 , . . . , Xn identisch jeweils gemäß einer Poisson-Verteilung zum Parameter
2λ verteilt. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer p̂ für den unbekannten Parameter p.
(5 Punkte)
b) Für unbekanntes λ > 0 seien die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn1 identisch jeweils exponential zum Parameter λ und die Zufallsvariablen Xn1 +1 , . . . , Xn identisch jeweils
exponential zum Parameter 1/λ verteilt. Bestimmen Sie einen Maximum-LikelihoodSchätzer λ̂ für den unbekannten Parameter λ.
(5 Punkte)
bitte wenden!
Aufgabe 44: In einer Spielrunde besteht bei einem Würfel der Verdacht, daß die Sechs
zu selten fällt. Man einigt sich, den Würfel probehalber 60 mal zu werfen. Tritt bei diesen
60 Würfen die Sechs nur 6 mal oder seltener auf, soll der Würfel aus dem Spiel genommen
werden.
a) Angenommen, es handelt sich um einen fairen Würfel. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er aufgrund der Abmachung aus dem Spiel genommen werden
muß?
(5 Punkte)
b) Angenommen, der Würfel ist nicht fair und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei
einem Wurf mit diesem Würfel eine Sechs fällt, ist p. Bestimmen Sie mit Hilfe der
untenstehenden Tabelle p = 0.16, 0.15, 0.14, 0.13, 0.12, 0.11, 0.10 bzw. 0.09 die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Würfel aus dem Spiel genommen wird.
(5 Punkte)
Abgabe: Montag, 12.1.2004 bis 11.15 Uhr in den Übungsbriefkästen
Besprechung: Donnerstag, 15.1.2004 in den Übungsgruppen