Banachscher Fixpunktsatz

Banachscher Fixpunktsatz
Ist g eine kontrahierende Abbildung, die eine nichtleere, abgeschlossene
Menge D ⊂ Rn in sich abbildet, d.h. gilt
D=D
x ∈ D =⇒ g (x) ∈ D
kg (x) − g (y )k ≤ ckx − y k
∀x, y ∈ D
mit c < 1, dann besitzt g einen eindeutigen Fixpunkt x∗ = g (x∗ ) ∈ D.
Banachscher Fixpunktsatz
1-1
Banachscher Fixpunktsatz
Ist g eine kontrahierende Abbildung, die eine nichtleere, abgeschlossene
Menge D ⊂ Rn in sich abbildet, d.h. gilt
D=D
x ∈ D =⇒ g (x) ∈ D
kg (x) − g (y )k ≤ ckx − y k
∀x, y ∈ D
mit c < 1, dann besitzt g einen eindeutigen Fixpunkt x∗ = g (x∗ ) ∈ D.
Ausgehend von einem beliebigen Startpunkt x0 ∈ D kann x∗ durch die
Iterationsfolge
x0 , x1 = g (x0 ), x2 = g (x1 ), . . .
approximiert werden.
Banachscher Fixpunktsatz
1-2
Für den Fehler gilt
kx∗ − x` k ≤
c`
kx1 − x0 k
1−c
d.h. die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startpunkt linear.
Banachscher Fixpunktsatz
1-3
Für den Fehler gilt
kx∗ − x` k ≤
c`
kx1 − x0 k
1−c
d.h. die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startpunkt linear.
Der Fixpunktsatz gilt allgemeiner in vollständigen metrischen Räumen. Da
die Translationsinvarianz und Homogenität der Norm nicht benötigt wird,
kann man kx − y k durch eine allgemeine Abstandsfunktion d(x, y )
ersetzen.
Banachscher Fixpunktsatz
1-4
Beweis:
(i) g (D) ⊆ D ⇒ x` ∈ D für alle ` > 0
Banachscher Fixpunktsatz
2-1
Beweis:
(i) g (D) ⊆ D ⇒ x` ∈ D für alle ` > 0
(ii) Kontraktionsbedingung
=⇒
kx`+1 − x` k = kg (x` ) − g (x`−1 )k ≤ c kx` − x`−1 k
Iteration
kx`+1 − x` k ≤ c ` kx1 − x0 k
Banachscher Fixpunktsatz
2-2
Beweis:
(i) g (D) ⊆ D ⇒ x` ∈ D für alle ` > 0
(ii) Kontraktionsbedingung
=⇒
kx`+1 − x` k = kg (x` ) − g (x`−1 )k ≤ c kx` − x`−1 k
Iteration
kx`+1 − x` k ≤ c ` kx1 − x0 k
(iii) Dreiecksungleichung
=⇒
kxj − x` k ≤ kxj − xj−1 k + kxj−1 − xj−2 k + · · · + kx`+1 − x` k
j −c `
≤ (c j−1 + · · · + c ` )kx1 − x0 k = cc−1
kx1 − x0 k
c`
≤ 1−c kx1 − x0 k
Banachscher Fixpunktsatz
2-3
Beweis:
(i) g (D) ⊆ D ⇒ x` ∈ D für alle ` > 0
(ii) Kontraktionsbedingung
=⇒
kx`+1 − x` k = kg (x` ) − g (x`−1 )k ≤ c kx` − x`−1 k
Iteration
kx`+1 − x` k ≤ c ` kx1 − x0 k
(iii) Dreiecksungleichung
=⇒
kxj − x` k ≤ kxj − xj−1 k + kxj−1 − xj−2 k + · · · + kx`+1 − x` k
j −c `
≤ (c j−1 + · · · + c ` )kx1 − x0 k = cc−1
kx1 − x0 k
c`
≤ 1−c kx1 − x0 k
Cauchy-Konvergenz der Folge x` gegen einen Grenzwert x∗
Banachscher Fixpunktsatz
2-4
(iv) Kontraktionsbedingung
=⇒
kg (x∗ ) − x∗ k ≤ kg (x∗ ) − g (xj )k + kg (xj ) − x∗ k ≤ c kx∗ − xj k + kxj+1 − x∗ k
Grenzwert j → ∞
=⇒
x∗ Fixpunkt
Banachscher Fixpunktsatz
2-5
(iv) Kontraktionsbedingung
=⇒
kg (x∗ ) − x∗ k ≤ kg (x∗ ) − g (xj )k + kg (xj ) − x∗ k ≤ c kx∗ − xj k + kxj+1 − x∗ k
Grenzwert j → ∞
=⇒
(v ) x∗ eindeutig, da
x∗ Fixpunkt
kx̃∗ − x∗ k = kg (x̃∗ ) − g (x∗ )k ≤ ckx̃∗ − x∗ k
mit c < 1
Banachscher Fixpunktsatz
2-6
(iv) Kontraktionsbedingung
=⇒
kg (x∗ ) − x∗ k ≤ kg (x∗ ) − g (xj )k + kg (xj ) − x∗ k ≤ c kx∗ − xj k + kxj+1 − x∗ k
Grenzwert j → ∞
=⇒
(v ) x∗ eindeutig, da
x∗ Fixpunkt
kx̃∗ − x∗ k = kg (x̃∗ ) − g (x∗ )k ≤ ckx̃∗ − x∗ k
mit c < 1
(vi) Abschätzung für den Fehler ⇐= Bilden des Grenzwerts für
j → ∞ in der Ungleichung (iii) für kxj − x` k
Banachscher Fixpunktsatz
2-7
Beispiel:
gestörtes lineares System:
Ax + εf (x) = b
mit einer quadratischen invertierbaren Matrix A und Lipschitz-stetiger
Funktion f (Konstante cf )
Banachscher Fixpunktsatz
3-1
Beispiel:
gestörtes lineares System:
Ax + εf (x) = b
mit einer quadratischen invertierbaren Matrix A und Lipschitz-stetiger
Funktion f (Konstante cf )
Lösung mit Hilfe der Iteration
x ← g (x) = A−1 (b − εf (x))
Banachscher Fixpunktsatz
3-2
Beispiel:
gestörtes lineares System:
Ax + εf (x) = b
mit einer quadratischen invertierbaren Matrix A und Lipschitz-stetiger
Funktion f (Konstante cf )
Lösung mit Hilfe der Iteration
x ← g (x) = A−1 (b − εf (x))
prüfe die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für die
abgeschlossene Menge
D = {y : ky − pk ≤ r },
p = A−1 b
Banachscher Fixpunktsatz
3-3
(i)
g (D) ⊂ D:
Banachscher Fixpunktsatz
3-4
(i) g (D) ⊂ D:
für x ∈ D
kg (x) − pk = εkA−1 f (x)k ≤ εkA−1 k max kf (y )k
y ∈D
Banachscher Fixpunktsatz
3-5
(i) g (D) ⊂ D:
für x ∈ D
kg (x) − pk = εkA−1 f (x)k ≤ εkA−1 k max kf (y )k
y ∈D
g (x) ∈ D (Abstand zu p ≤ r ), falls
ε≤
r
kA−1 k max
y ∈D
kf (y )k
Banachscher Fixpunktsatz
3-6
(i) g (D) ⊂ D:
für x ∈ D
kg (x) − pk = εkA−1 f (x)k ≤ εkA−1 k max kf (y )k
y ∈D
g (x) ∈ D (Abstand zu p ≤ r ), falls
ε≤
r
kA−1 k max
y ∈D
kf (y )k
(ii) Kontraktionsbedingung:
Banachscher Fixpunktsatz
3-7
(i) g (D) ⊂ D:
für x ∈ D
kg (x) − pk = εkA−1 f (x)k ≤ εkA−1 k max kf (y )k
y ∈D
g (x) ∈ D (Abstand zu p ≤ r ), falls
ε≤
r
kA−1 k max
y ∈D
kf (y )k
(ii) Kontraktionsbedingung:
kg (x) − g (y )k = εkA−1 (f (x) − f (y )k ≤ εkA−1 kcf kx − y k
| {z }
c
mit c < 1, falls
ε<
1
kA−1 kcf
Banachscher Fixpunktsatz
3-8
(i) g (D) ⊂ D:
für x ∈ D
kg (x) − pk = εkA−1 f (x)k ≤ εkA−1 k max kf (y )k
y ∈D
g (x) ∈ D (Abstand zu p ≤ r ), falls
ε≤
r
kA−1 k max
y ∈D
kf (y )k
(ii) Kontraktionsbedingung:
kg (x) − g (y )k = εkA−1 (f (x) − f (y )k ≤ εkA−1 kcf kx − y k
| {z }
c
mit c < 1, falls
ε<
1
kA−1 kcf
Bedingungen für hinreichend kleines ε erfüllt
Banachscher Fixpunktsatz
3-9