7 . ¨Ubung zur Lineare Algebra - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Wintersemester 2014
17.11.2014
7 . Übung zur Lineare Algebra
Abgabe: 24.11.2014, 14:13 Uhr, In der Vorlesung.
7.1 (4 Punkte)
Es sei

0
−1
A=
0
0
1
0
0
0

1 −1
0 0

1 −1
1 1
Bestimmen Sie zwei A-invariante Unterräume U, W ⊂ R4 , so dass U ⊕ W = R4 .
Lösungshinweise:
Das charakteristische Polynom ist χA (t) = (t2 + 1)((t − 1)2 + 1). Die beiden Faktoren sind
irreduzibel, denn t2 + 1 > 0 und (t − 1)2 + 1 > 0 für alle t ∈ R. Nach Satz 8.28 ist
R4 = Kern(A2 + E) ⊕ Kern((A − E)2 + E)
eine Zerlegung A-invarianter Unterräume. Wir berechnen:


0 0 0 −2
0 0 −1 1 


Kern(A2 + E) = Kern 
0 0 1 −2 = Re1 + Re2
0 0 2
1
und




 
 
1 −2 −2 0
1 −2 −2 0
2
2












2 1 −1 1 = Kern 0 −3 −5 1 = R 0+R 1
Kern((A−E)2 +E) = Kern 
0 0
0 0
1
0
0 0
0 0 
0 0
0 0
0 0
0 0
5
3
7.2 (4 Punkte)
Die Matrizen A, B ∈ Kn×n seien ähnlich zueinander. Zeigen Sie: Lässt sich Kn als
direkte Summe zweier A-invariante Unterräume zerlegen, so lässt sich Kn auch als
direkte Summe zweier B-invariante Unterräume zerlegen.
Lösungshinweise: Es seien U und W A-invariante Unterräume und Kn = U ⊕W . Weiter
sei A = T BT −1 mit T ∈ GLn (K). Behauptung: Die Unterräume
Ũ = T −1 U := {T −1 u | u ∈ U } und W̃ = T −1 W := {T −1 w | w ∈ W }
sind B invariant und erfüllen Kn = Ũ ⊕ W̃ .
(i) Ist x ∈ Ũ , d.h. x = T −1 u mit u ∈ U , dann ist
Bx = T −1 AT x = T −1 |{z}
Au ∈ T −1 U
∈U
Analog ist B W̃ ⊂ W̃ .
(ii) Für alle x ∈ Kn ist T x = u + w für geeignete u ∈ U und w ∈ W . Also ist
x = T −1 (T x) = T −1 (u + w) = T −1 u + T −1 w ∈ Ũ + W̃
also Kn = Ũ + W̃ . Für alle x ∈ Ũ ∩ W̃ ist T x ∈ U und T x ∈ W , also T x ∈ U ∩ W = {0}
und damit x = T −1 T x = 0.
7.3 (4 Punkte)
Es seien a, b, c ∈ R und


a 1 0
A = 0 b 1
0 0 c
Für welche a, b, c ∈ R kann man den R3 in nichttriviale A-invariante Unterräume
zerlegen?
Lösungshinweis: (i) Sind a, b, c nicht alle gleich, dann gibt es eine solche Zerlegung. In diesem fall hat das charakteristiche Polynom χA (t) = (t − a)(t − b)(t − c)
mindestens zwei irreduzible Faktoren. Sind genau zwei der Zahlen a, b, c, also O.B.d.A
a = b 6= c so gilt nach Satz 7.28 R3 = Kern((A − aE)2 ) ⊕ Kern(A − bE). Sind alle drei verschienden, so gilt nach Satz 7.28 und Aufgabe 5.3 R3 = Kern(A − aE) ⊕
(Kern(A − bE) ⊕ Kern(A − cE)).
(ii) Ist a = b = c, dann gibt es keine solche Zerlegung. Gäbe es eine solche Zerlegung,
dann wäre R3 = U ⊕W mit dim U = 1 und dim W = 2. Da a der einzige Eigenwert ist und
da Kern(A − aE) = Re1 mit e1 = (1, 0, 0)> ist, der einzige eindimensionale A-invariante
Unterraum U = Re1 . Ist nun x ∈ W , so ist auch Ax ∈ W und A2 x ∈ W . Also ist
    
  
  2


ax1 + x2
a x1 + 2ax2 + x3 
x2
2ax2 + x3 
 x1
 x1
W = span x2  , ax2 + x3  ,  a2 x2 + 2ax3  = span x2  , x3  ,  2ax3  .




ax3
a2 x 3
x3
0
0
x3
Wäre x3 6= 0, so wäre dim W = 3, denn


x1 x2 2ax2 + x3
2ax3  = −x23 .
det x2 x3
x3 0
0
Ist aber x3 = 0 so folgt wegen dim(W ) = 2, dass W = e1 R + e2 R und damit W ∩ U 6= {0}.