Aufgaben zum 19.4.2016 - Friedrich-Schiller

Sommersemester 2016
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Logik und Beweisbarkeit
http://tinyurl.com/Logik2016
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Institut für Informatik
Martin Mundhenk
Aufgaben zum 19.4.2016
(Abgabe bis zum Beginn der Vorlesung)
Aufgabe 4:
erfüllende Belegungen und herleitbare Formeln
Für jede Belegung B sei B ∗ = B ∪ {¬Ai | Ai 6∈ B}.
Beweisen Sie: für jede Formel α und jede Belegung B gilt:
1. wenn B |= α, dann B ∗
Nat
α, und
2. wenn B 6|= α, dann B ∗
Nat
¬α.
Gelten die beiden Implikationen auch in die umgekehrte Richtung?
Aufgabe 5:
irrelevante Voraussetzungen
Beweisen Sie: für jede Formelmenge Γ und alle Formeln α und β gilt:
wenn Γ, α Nat β und Γ, ¬α Nat β, dann Γ Nat β.
Aufgabe 6:
Vollständigkeit von
Nat
Zeigen Sie mit Benutzung von Aufgabe 4 und Aufgabe 5:
für jede Formel α gilt: wenn |= α, dann Nat α.
Die Behauptung von Aufgabe 4 muss dazu ein wenig verändert werden.
Aufgabe 7:
Korrektheitslemma auch für (∧I) etc.
Wir erlauben in dieser Aufgabe, dass Formeln aus Atomen, ⊥, →, ∧ und ∨ bestehen.
1. Schreiben Sie die “informell” angegebenen Regeln (∧I), (∧E), (∨I) und (∨E) formal
als Regeln mit Sequenten auf.
2. Beweisen Sie, dass Natürliches Schließen mit den im ersten Teil angegebenen
zusätzlichen Regeln für die oben angegebene erweiterte Formelmenge korrekt ist.
Es reicht, dazu im Beweis des Korrektheitslemmas die Fälle für die zusätzlichen Regeln
anzugeben.
Lösen Sie eine der Aufgaben ordentlich. Schreiben Sie Ihre Konstruktionen und Beweise so auf, dass
sie gut lesbar und leicht nachvollziehbar sind. Bei einem Induktionsbeweis ist es häufig hilfreich,
sich (und dem Korrekteur) klar zu machen, was in den einzelnen Schritten zu beweisen ist.
Falls Sie Fragen haben, dann fragen Sie mich (z.B. in der Sprechstunde freitags 10-12 oder n.V.)!
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Allgemeine Aufgaben zum Natürlichen Schließen
Aufgabe I:
Nat
-Beweise
Zeigen Sie:
1.
Nat
A → (B → (A → B))
8. {A → (B → C), A → B}
2.
Nat
¬α → (α → α)
9.
Nat
(β → α) → ((β → ¬α) → ¬β)
3.
Nat
A → (B → (B → A))
10.
Nat
(¬A → A) → A
4.
Nat
(α → (β → γ)) → (β → (α → γ))
11.
Nat
(α → ¬α) → ¬α
5.
Nat
(α → β) → (¬β → ¬α)
12.
Nat
((α → β) → α) → α
6.
Nat
(¬β → ¬α) → (α → β)
13.
Nat
(β → α) → ((¬β → α) → α)
7.
Nat
α → (¬β → ¬(α → β))
14.
Nat
((α → β) → ¬β) → ¬β
Nat
A→C
(Pierce’s law)
(1.–9. gehen recht direkt, 10. und 11. habe ich mit vier waagerechten Strichen geschafft, bei den
anderen habe ich bereits bewiesene Theoreme benutzt.)
Aufgabe II:
Konsistenz
Wahr oder falsch?
1. Für jede Formel α gilt: {α} besitzt eine maximal konsistente Obermenge.
2. Seien Γ und ∆ maximal konsistente Mengen. Dann gilt Γ ∩ ∆ 6= ∅.
3. Für jede Belegung B gilt: {Ai | B |= Ai } ist konsistent.
4. Für jede Belegung B gilt: {Ai | B 6|= Ai } ist konsistent.
5. Gelte Γ ∪ {α} Nat
6 ϕ sowie Γ ∪ {¬α} Nat
6 ϕ. Dann folgt Γ ∪ {ϕ}
Aufgabe III:
Nat
⊥.
Konsistenz
Zeigen Sie: {α1 , . . . , αn } ist konsistent gdw. Nat
6 (α1 → (α2 → . . . (αn−1 → ¬αn ) . . .)).
Aufgabe IV:
Konsistenz
Sei Γ eine Formelmenge und α eine Formel.
Beweisen Sie: Γ ∪ {α} ist konsistent genau dann, wenn Γ 6
Aufgabe V:
¬α.
Endlichkeitssatz
Der Endlichkeitssatz macht folgende Aussage.
Sei Γ eine (möglicherweise unendliche) Menge von Formeln. Dann gilt:
Γ ist unerfüllbar genau dann, wenn es
eine endliche unerfüllbare Teilmenge von Γ gibt.
Beweisen Sie den Endlichkeitssatz. (Hinweis: benutzen Sie den Vollständigkeitssatz.)
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