Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 10.01.2013 [email protected] 1 WH‐Binärbäume •  Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger •  Alle Werte links der Wurzel sind kleiner als diese (bzw. alle Werte rechts sind größer) 13.12.2012 [email protected] 2 WH‐SorMerte Binärbäume •  Zusammenfassung: – 
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Minimum Maximum Vorgänger Nachfolger Einfügen Löschen Suchen Alle OperaMonen in O(h) Zeit h … Baumhöhe •  Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems •  Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) Vollständiger Binärbaum: h=O(log n); entarteter Baum: h=Θ(n) 13.12.2012 [email protected] 3 Beispiel: Au@au eines sorMerten Binärbaumes •  durch wiederholtes Einfügen (⇒
natürliche Bäume) •  Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab T(n) = O(n*h) = Θ(n2), wenn h = Θ(n) Einige wenige Reihenfolgen liefern entartete Bäume (= Listen) Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein 13.12.2012 [email protected] 4 WH‐Einfügen •  Einfügen: Fügt den Wert w in den Binärbaum B ein Simuliere eine Suche nach w, bis zu einer freien Stelle (x=nil) Dort fügen wir das Element ein (als Sohn von y) Baum B war leer Laufzeit: O(h) 13.12.2012 [email protected] 5 Balancierte Bäume •  Bedingungen zum Erhalten einer logarithmischen Baumhöhe: Höhenbedingung: h(B) = Höhe von B Für jeden Knoten gilt: h( B ) − h( B
links
rechts ) ≤ k
z.B.: AVL‐Bäume (1962) Gewichtsbedingung: g(B) = #Bläker von B Für jeden Knoten gilt: 1
g ( Blinks )
≤
≤α
α g ( Brechts )
BB‐Bäume (bounded balance) Strukturbedingung: Alle Bläker haben dieselbe Tiefe, aber Ordnung der Knoten (# Söhne) ist variabel (a‐b)‐Bäume, B‐Bäume, Bruder‐Bäume 10.01.2013 [email protected] 6 (2‐4)‐Bäume •  Balancierung ist leichter aufrechtzuerhalten, wenn die Werte bla%orien+ert stak knotenorienMert gespeichert werden. Innere Knoten enthalten nur HilfsinformaMonen. •  DefiniOon: Ein (2‐4)‐Baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschamen: (1)  Alle Äste sind gleich lang. (2)  Die max. Anzahl der Söhne eines Knotens ist gleich 4. (3)  Innere Knoten haben ≥ 2 Söhne. (4)  Die Bläker enthalten v.l.n.r. die Werte aufsteigend sorMert. (5)  Jeder innere Knoten mit t Söhnen (2 ≤ t ≤ 4) speichert z.B. t‐1 HilfsinformaMonen x1, …, xt‐1, wobei xi = größter Wert im Teilbaum des i‐
ten Sohnes von links. 2 ≤ α(k) ≤ 4 … Anzahl der Söhne des Knotens k 10.01.2013 [email protected] 7 (2‐4)‐Bäume •  Beispiel: Innere Knoten speichern HilfsinformaMonen (z.B.: Max. der linken t‐1 Unterbäume) 4,6
1,2
1
2
Höhe h=Θ(log n) 10.01.2013 10,11
5
4
5
6
10
11
24
Daten werden in den Bläkern gespeichert (v.l.n.r. aufsteigend sorMert) [email protected] 8 (2‐4)‐Bäume •  Suchen: pro Knoten wird der relevante Teilbaum in O(t) = O(1) Zeit pro Knoten selekMert ⇒ Θ(h) = Θ(log n) Zeit 8
2
2
10.01.2013 4
4
10
5
5
11
8
10
12
11
[email protected] 12
24
24
31
9 (2‐4)‐Bäume •  Einfügen: Suchen, Blak an Knoten k anhängen –  α(k) ≤ 4: ResulMerender Baum ist wieder ein (2‐4)‐Baum –  α(k) = 5: ResulMerender Baum ist kein (2‐4)‐Baum SPALTEN von k: Gib k einen Bruder k' rechts von k. Hänge die 2 rechtesten Söhne von k auf k' um ⇒
α(k) = 3, α(k') = 2 SPALTEN muss evtl. für übergeordnete Knoten wiederholt werden (Wurzel wird Sohn einer neuen Wurzel mit 2 Söhnen) ⇒ O(h) = O(log n) Zeit 10.01.2013 [email protected] 10 (2‐4)‐Bäume •  EnUernen: Suchen, Blak von Knoten k enternen –  α(k) ≥ 2: ResulMerender Baum ist wieder ein (2‐4)‐Baum –  α(k) = 1: ResulMerender Baum ist kein (2‐4)‐Baum Sei k' ein direkter Bruder von k: –  α(k') ≥ 3: STEHLEN eines Sohnes von k' ⇒
α(k) = 2, α(k') ≥ 2 –  α(k') =2: VERSCHMELZEN von k mit k' ⇒
α(k) = 3 evtl. für übergeordnete Knoten wiederholen (Wurzel wird durch einzigen Sohn ersetzt) ⇒ O(h) = O(log n) Zeit 10.01.2013 [email protected] 11 Zusammenfassung (2‐4)‐Bäume •  Der (2‐4)‐Baum ist eine Datenstruktur, die das Wörterbuchproblem (Suchen, Einfügen, Enternen) auf einer Menge von n Elementen in O(log n) Zeit pro OperaMon löst, und O(n) Speicher belegt. •  Einfügen und Enternen erfordert Umstrukturierungen (Spalten, Stehlen, Verschmelzen) •  Bereits vorgenommene Umstrukturierungen amorOsieren sich jedoch später 10.01.2013 [email protected] 12 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Bis zum nächsten Mal. (Donnerstag, 17. Jan. 2013, 11:15, i13) 10.01.2013 [email protected] 13