Analysis III

Universität Zürich
Prof. Th. Kappeler
HS 2008
Analysis III
Serie 10
Abgabe: Mittwoch 26. November in der Vorlesung
Aufgabe 1 Sei f :
Rn → Rn eine C 1-Funktion.
(i) Zeige, dass
Ff (p) = (p, f (p)) ∀ p ∈
ein C 1 -Vektorfeld auf
Rn definiert.
(ii) Zeige, dass für jedes C 1 -Vektorfeld F :
existiert mit F = Ff .
Rn
Rn → T Rn eine C 1-Funktion f : Rn → Rn
Rn.
Seien U, V offene Teilmengen von Rn und f : U → V ein C ∞ -Diffeomorphismus.
(iii) Zeige, dass (div Ff )(p) = tr(dp f ) ∀ p ∈
Aufgabe 2
Weiter sei 0 ≤ k ≤ n. Zeige: Falls jede geschlossene k-Form auf U exakt ist, dann gilt
dies auch für jede geschlossene k-Form auf f (U ).
Z
R
Aufgabe 3 Für k ∈ sei Sk die Menge aller k-Quadereines Gebietes
A⊆ d . Eine k
Kette wird definiert als Abbildung f : Sk → , so dass c ∈ Sk f (c) 6= 0 eine endliche
Teilmenge von Sk ist. Definiere für f, g : Sk → und n ∈
Z
Z
(f + g)(c) := f (c) + g(c)
Z
∀ c ∈ Sk
und
(nf )(c) := nf (c) ∀ c ∈ Sk .
Zeige:
(i) Falls f und g k-Ketten sind, dann sind es auch f + g und nf .
(ii) Für einen beliebigen k-Quader c0 ∈ Sk sei δco : Sk →
folgt definiert ist:
(
1 falls c = c0
δc0 (c) =
0 sonst
Zeige: Für jede
PNk-Kette f : Sk →
so dass f = i=1 ai δci .
Z die k-Kette welche wie
Z existieren c1, . . . , cN ∈ Sk und a1 , . . . , aN ∈ Z,
Z
R
Aufgabe 4 Sei r > 0 und sei n ∈ gegeben. Definiere die Kurve cr,n : [0, 1] → 2 \
{0}, t 7→ r(cos 2πnt, sin 2πnt) (d.h. singulärer 1-Quader). Beweise, dass für beliebige
positive Zahlen 0 < r1 < r2 ein singulärer 2-Quader c existiert mit
cr2 ,n − cr1 ,n = ∂c.
Aufgabe 5 Es gelte dieselbe Notation wie in Aufgabe 2. Sei c ein singulärer 1-Quader
und ein 2-Quader c̃
in 2 \ {0} mit c(0) = c(1). Zeige, dass eine ganze Zahl n ∈
existieren, so dass
c − c1,n = ∂c̃.
R
Z
Hinweis: Wähle eine Partition von 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 des Intervals [0, 1], so dass
für jedes 1 ≤ j ≤ n, c([ti−1 , ti ]) in einer Halbebene enthalten ist. (Eine Halbebene ist
definiert als eine offene, zusammenhängende Teilmenge von 2 , dessen Rand aus einer
Gerade durch den Nullpunkt besteht.)
R