Dieses ¨Ubungsblatt wird nicht bewertet und wird von den Tutoren

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie der
Kondensierten Materie
Übungen zur Modernen Theoretischen Physik I
SS 15
Blatt 0
Besprechung 15.04.2015
Prof. Dr. Jörg Schmalian
Dr. Andreas Poenicke, Patrik Hlobil
Dieses Übungsblatt wird nicht bewertet und wird von den Tutoren beim
ersten Tutorium vorgerechnet!
1. Skalarprodukt im `2 und L2
Punkte
Das Skalarprodukt zweier Objekte ψ, χ ∈ V des Vektorraums V ist eine Abbildung
ψ, χ ∈ V → h ψ | χi ∈ C
mit den Eigenschaften (λ1 , λ2 ∈ C):
• (Sesqui-)Linearität:
h ψ | λ1 χ1 + λ2 χ2 i = λ1 h ψ | χ1 i + λ2 h ψ | χ2 i
h λ1 ψ1 + λ2 ψ2 | χi = λ∗1 h ψ1 | χi + λ∗2 h ψ2 | χi
(1)
h ψ | χi = h χ | ψi∗
(2)
h ψ | ψi := || ψ ||2 ≥ 0
(3)
• Hermitizität:
• Positive Definitheit:
(a) Betrachten wir zunächst den Vektorraum Cn , also die Menge der n-dimensionalen komplexen Vektoren c = (c1 , c2 , . . . , cn )T ∈ Cn . Zeige, dass die Definition
h a | b i := a † b =
n
X
a∗i bi
(4)
i=1
die Eigenschaften (1)-(3) eines Skalarprodukts erfüllt wobei
A† = (AT )∗
a † = (a T )∗
(5)
(b) Der Abschluss n → ∞ von Cn definiert den Vektorraum der quadratisch summierbaren
Zahlenfolgen
∞
X
2
2
` = (an ) :
|an | < ∞
(6)
n=1
Die Folgenglieder an definieren dann die Einträge a = (a1 , a2 , . . .) ∈ `2 eines unendlich
dimensionalen, jedoch diskreten Vektors. Betrachte nun die Folgen
√
an+1 = 1/ n!
bn = 1/n
cn+1 = q n (0 < |q| < 1),
berechne jeweils das Normquadrat || . . . ||2 und zeige damit, dass die Folgen an , bn , cn ∈
`2 .
1
(c) Seien nun f (x), g(x) : R → C komplexe Funktionen definiert für alle reelle Zahlen. Zeige,
dass wir für diesen Funktionenraum ein Skalarprodukt durch
Z ∞
h f | gi :=
dxf ∗ (x)g(x)
(7)
−∞
definieren können, d.h. die Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt sind.
(d) Betrachte nun den Vektorraum der
L2 = f : R → C
quadratintegrablen Funktionen f : R → C
Z ∞
2
|| f ||2 =
dx
|f
(x)|
<
∞
(8)
−∞
P∞
Zeige durch eine Entwicklung der Funktionen f (x) = n=0 an Pn (x) in eine geeignete
orthonormale und vollständige Basis 1 {Pn } (n ∈ N0 ) mit
Z ∞
dx Pn∗ (x)Pm = δn,m
−∞
∞
X
(9)
Pn∗ (x0 )Pn (x) = δ(x − x0 )
n=0
dass die Projektion des Funktionenraums L2 auf den Vektorraum `2 eine Isomorphie ist.
Es genügt hierbei zu zeigen, wie die an durch f (x) ausgedrückt werden können und dass
gilt
|| f ||2 < ∞
⇔
∞
X
2
|an | < ∞.
n=0
2. Erwartungswerte einer gaussförmigen Wellenfunktion
Betrachte die Wellenfunktion (σ > 0):
ψ(x) =
(x−x0 )2
1
e− 4σ2
2
1/4
(2πσ )
(10)
(a) Zeige, dass die Wellenfunktion normiert ist bzgl. der Norm des Skalarprodukts (7).
R∞
2
(b) Berechne den Ortserwartungswert h x̂ i = h ψ | x̂ | ψi = −∞ dx x · |ψ(x)| .
p
(c) Berechne die Varianz ∆X = h x̂2 i − h x̂ i2 der Wellenfunktion.
R∞
(d) Berechne den mittleren Impuls des Teilchens2 h p̂ i = h ψ | p̂ | ψi = −∞ dx ψ ∗ (x) ~i ∂x ψ(x).
(e) Berechne das Unschärfeprodukt ∆X · ∆P und zeige, dass ein Gausspaket minimal
Unschärfe besitzt nach der Heisenberg’schen Unschärferelation ∆X · ∆P ≥ ~/2.
1 z.B.
in eine Fourierreihe
eine ebene Welle mit Impuls p = ~k (k ist Wellenvektor) kann man sich leicht klar machen, dass der
Operator p̂ = ~i ∂x der Impulsoperator ist. Hier gilt nämlich mit ψ(x) = c · eikx = c · eipx/~ dass
Z
Z
~
h p̂ i = |c|2 dxe−ipx/~ ∂x eipx/~ = p · dx |ψ(x)|2 = p
i
2 Für
wobei wir ψ normiert hatten.
2