Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Wiederholungsblatt

TUM, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2013/14
Prof. Dr. Silke Rolles
Thomas Höfelsauer
Felizitas Weidner
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Wiederholungsblatt
Aufgabe W1
Es gibt zwei Landstraßen zwischen A-Stadt und C-Stadt, nennen wir sie L1 und L2 .
Am Rande der L1 stehen die Bäume b1 und b2 , am Rande der L2 steht der Baum b3
(siehe Bild). Bei dem Sturm in der letzten Nacht ist jeder der drei Bäume b1 , b2 , b3 mit
Wahrscheinlichkeit 1 − p unabhängig von den anderen Bäumen umgefallen und hat die
Landstraße blockiert. Für 1 ≤ i ≤ 3 bezeichne Bi das Ereignis, dass der Baum bi die
Landstraße nicht blockiert.
b1
b2
A-Stadt
C-Stadt
b3
Drücken Sie das Ereignis D = {Mindestens eine der beiden Landstraßen zwischen AStadt und C-Stadt ist nicht blockiert} durch die Ereignisse B1 , B2 und B3 aus und
berechnen Sie P(D).
Aufgabe W2
Martin besitzt einen vier- und einen sechsseitigen Würfel, der mit den Zahlen 1 bis 4
bzw. 1 bis 6 beschriftet ist. Martin wählt sich zufällig gemäß Gleichverteilung einen der
beiden Würfel aus und würfelt.
(i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin eine 3 würfelt?
(ii) Martin hat tatsächlich eine 3 gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
er den vierseitigen Würfel ausgewählt hat?
(iii) Nun wirft Martin beide Würfel und verrät uns, dass einer der beiden Würfel eine
3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme größer als 6
ist?
Aufgabe W3
Eine Katzenfamilie hat 3 kleine Kätzchen. Jedes Kätzchen ist mit Wahrscheinlichkeit 21
weiblich und mit Wahrscheinlichkeit 12 männlich, unabhängig von allen anderen Kätzchen. Betrachten Sie die Ereignisse
A = {Unter den Katzenkindern ist höchstens ein Kater},
B = {Die Katzenfamilie hat sowohl männliche als auch weibliche Nachkommen}.
Sind die Ereignisse A und B unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe W4
In einer Urne befinden sich gleich viele Kugeln, die mit den Ziffern 1, 2 und 3 beschriftet
sind. Aus der Urne wird n-mal mit Zurücklegen gezogen.
(i) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) für dieses Zufallsexperiment
an und definieren Sie formal für i ∈ {1, 2, 3} die Zufallsvariable Xi , welche die
Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Nummer i angibt.
(ii) Bestimmen Sie die Verteilung von X1 , von X1 + X2 sowie von X1 + X2 + X3 .
(iii) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X1 , X2 ).
Aufgabe W5
Sei F : R → R definiert durch


0
F (x) = x3


1
für x < 0
für 0 ≤ x ≤ 1
für x > 1.
(i) Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist und bestimmen Sie die zugehörige
Wahrscheinlichkeitsdichte f .
(ii) Sei X eine Zufallsvariable
mit Verteilungsfunktion F . Bestimmen Sie E(X), Var(X)
1
sowie E X .
Aufgabe W6
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, wobei X1 zum Parameter λ > 0 exponential verteilt ist. Sei Y := min1≤i≤n Xi . Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte von Y . Welchen Verteilungstyp hat Y ?
Aufgabe W7
Die Anzahl der Kunden in einer Eisdiele an einem bestimmten Tag sei Poisson(λ)verteilt, wobei λ > 0 ist. Jeder Kunde kauft mit Wahrscheinlichkeit p ein Eis für 1 Euro
und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p ein Eis für 2 Euro, unabhängig von allen anderen
Kunden. Man bestimme die Verteilung der Anzahl X der Kunden, die ein Eis für 1
Euro kaufen.
Aufgabe W8
Wir wählen zufällig gemäß der Gleichverteilung einen Punkt (X, Y ) auf der Einheitskreisscheibe K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} aus.
(i) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von (X, Y ) an.
(ii) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X und Y . Sind X und Y unabhängig?
(iii) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X) und E(Y ).
Aufgabe W9
Seien X1 , X2 , . . . unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit E(X1 ) = 0 und
σ 2 := Var(X1 ) < ∞. Sei Yn := 2Xn Xn+1 .
(i) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Yn für n ∈ N.
(ii) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(Yi , Yj ) für i, j ∈ N.
P
(iii) Zeigen Sie, dass limn→∞ P n1 ni=1 Yi ≥ ε = 0 für alle ε > 0.
Aufgabe W10
Sei (Xi )i∈N eine Folge von unabhängigen, Exponential(1)-verteilten Zufallsvariablen.
(i) Zeigen Sie, dass
n
1 X 8
X −−−→ 0 f.s.
n2 i=1 i n→∞
(ii) Beweisen Sie, dass
n
X
1
P
(Xi − 1) > 0 −−−→
n→∞ 2
i=1
Hinweis: Diese Aufgaben sollen nicht abgegeben werden. Sie werden nicht korrigiert,
sondern lediglich in den Wiederholungstutorien am 11. und 13. Februar besprochen.