Theoretische Physik IV – Quanten

Theoretische Physik IV – Quanten
Spektralzerlegung
Prof. W. Vogel, J. Sperling, V. Mosert und P. Grünwald
Motivation. In der endlichdimensionalen Linearen Algebra spielt die diagonalisierung von Matrizen eine wichtige Rolle. Projektive Maße – engl.: positive-operator
valued measure (POVM) – erlauben es, die Spektralzerlegung von Observablen mit
diskretem und kontinuierlichem Eigenwertspektrum einheitlich zu formulieren. Mithilfe dieser Zerlegung kann die Wirkung eines Operators auf einen gegebenen Zustand vereinfacht analysiert werden. Im Folgenden werden kurz die mathematische
Struktur angegeben und zwei Beispiele mit je einem diskreten und einem kontinuierlichen Spektrum studiert.
Projektoren. Ein Projektor P̂ ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft
P̂ 2 = P̂ (Idempotenz). Das bedeutet, dass ein einmal in einen Unterraum reduzierter
Zustand, von dieser Projektion nicht weiter reduziert wird. Beispiele für Projektoren
sind die Idendität 1̂ (1̂ψ(x) = ψ(x)) und die Nullabbildung 0̂ (0̂ψ(x) = 0).
Im Allgemeinen folgt aus der Idempotenz, dass ein Projektor nur die Eigenwerte 0
oder 1 haben kann.
Wahrscheinlichkeitsmaße. Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur Maße auf einer endlichen Menge N = {1, . . . , n}. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist dann
eine Funktion µ, die jeder Teilmenge T von N eine nicht-negative Zahl (Wahrscheinlichkeit) zuordnet. Dabei soll das sichere Ereignis N die Wahrscheinlichkeit 1
haben, µ(N ) = 1, und das unmögliche Ereignis T = { } die Wahrscheinlichkeit 0
haben, µ({ }) = 0. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier disjunkte Ereignisse
T1 ∩ T2 = { } (keine gemeinsamen Elemente) soll die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sein, d.h. µ(T1 ∪ T2 ) = µ(T1 ) + µ(T2 ).
Spektralmaße. Betrachten wir nun einen hermiteschen Operator L̂ = L̂† , mit
diskreten und nicht-entarteten Eigenwerten,
L̂φn (x) = λn φn (x) (n ∈ N).
Wir können nun folgende Projektoren definieren P̂n ψ = hφn |ψi φn . Durch einfaches
nachrechnen sehen wir, dass P̂n P̂m ψ = δn,m P̂n ψ für alle
P ψ gilt, dabei haben wir
hφn |φm i = δm,n genutzt. Mit der Vollständigkeit ψ(x) = n∈N ψn φn (x), können wir
P
dann noch zeigen, dass n∈N P̂n ψ = 1̂ψ für alle ψ gilt.
Damit finden wir folgendes Spektralmaß Ê, das eine Abbildung von Mengen T ⊂ N
auf Projektoren Ê(T ) ist, mit
X
Ê(T ) =
P̂n .
n∈T
Man kann nun leicht nachrechnen, dass Ê(T ) ein Projektor ist, Ê({ }) = 0̂ und
Ê(N) = 1̂, sowie Ê(T1 ∪ T2 ) = Ê(T1 ) + Ê(T2 ) für T1 ∩ T2 = { }.
Wir können nun den Operator L̂ durch sein Spektralzerlegung (Diagonalisierung)
wie folgt darstellen:
X
L̂ =
λn Ê({n}).
n∈N
Die Menge der Eigenwerte σ(L̂) = {λn : n ∈ N} nennt man in diesem Fall Spektrum.
~
∂x , eingeschränkt auf 2π-periodische
i
1
Funktionen. Dessen orthonormierte Eigenfunktionen sind φk (x) = √ eikx , mit
2π
R2π
k ∈ Z und hφk |φk0 i = dx φk (x)∗ φk0 (x) = δk,k0 , zu dem Eigenwert pk = ~k. Das
Beispiel. Betrachten wir den Impuls p̂ =
0
Spektralmaß ist dann definiert durch Ê({k})ψ = hφk |ψiφk (Vergleich Fourier-Reihe),
und die Spektralzerlegung von p̂ ist
X
X
k hφk | · iφk .
k Ê({k}) = ~
p̂ = ~
k∈Z
k∈Z
~
Beispiel. Betrachten wir nun den Impuls p̂ = ∂x , für allgemeine Funktionen.
i
1 ikx
Dessen Eigenfunktionen sind φk (x) = √ e , mit k ∈ R und dem Skalarprodukt
2π
R∞
hφk |φk0 i =
dx φk (x)∗ φk0 (x) = δ(k − k 0 ), zu dem Eigenwert pk = ~k. Das Spek−∞
tralmaß ist dann für ein Intervall [k, k + ∆k] gegeben durch Ê([k, k + ∆k])ψ =
R k+∆k
dk hφk |ψiφk (Vergleich Fourier-Transformation), und die Spektralzerlegung
k
von p̂ ist
Z
Z
∞
p̂ = ~
k dkhφk | · iφk .
k Ê([k, k + dk]) = ~
R
−∞