Theoretische Physik 4B Thermodynamik und statistische Physik

Theoretische Physik 4B
Thermodynamik und statistische Physik
Sommersemester 2017
Übungsblatt 7
Vorlesung: Prof. Alejandro Ibarra; Di, Do 10-12:00, MI Hörsaal 3
Tutorium: Johannes Herms; Do 8:30-10:00, MW 2235; http://www.t30d.ph.tum.de/teaching/TP4b.htm
Aufgabe 1
Wenn wir ein ideales Gas aus N Atomen in ein äußeres harmonisches Oszillatorpotential bringen, wird die Hamiltonfunktion zu
N
1X 2
H=
p~j /m + mω 2~rj2 .
2 j=1
Berechnen Sie das Phasenraumvolumen
Φ(E, N ) = h−3N
Z
d3N r d3N p .
H<E
Reskalieren Sie die Impulse p~j und Orte ~xj derart, dass H = E zu einer Kugelgleichung in 6N Dimensionen wird. Geben
Sie die Entropie S(E, N ) und die Temperatur T des Systems für große N an. Wie lautet die kalorische Zustandsgleichung
U = U (T, N )?
Aufgabe 2
Betrachten Sie ein System N freier Teilchen, in dem jedes einzelne Teilchen einen der beiden Energiewerte 0 oder E
annehmen kann (E > 0). n0 und n1 bezeichnen die Besetzungszahlen der jeweiligen Energieniveaus 0 und E. Die
Gesamtenergie des Systems ist U .
a) Wie groß ist die Entropie dieses Systems?
b) Bestimmen Sie die Temperatur in Abhänigkeit von U und zeigen Sie, dass diese negativ sein kann.
c) Was passiert, wenn man ein System negativer Temperatur in thermischen Kontakt mit einem System positiver
Temperatur bringt?
Siehe auch: N. F. Ramsey, Phys. Rev. 103, 20 (1956)
Aufgabe 3
Zeigen Sie die folgende Aussage zurPExtremaleigenschaft der Entropie:
Pn
n
unter den Nebenbedingungen r=1 pr = 1 und
Die
Pn
Pn Funktion S(p1 , ..., pn ) = −kB r=1 pr ln pr besitzt ein Extremum
r=1 pr Er = E, wenn pr von der Form exp(−βEr )/Z mit Z =
r=1 exp(−βEr ) ist (kanonische Gesamtheit).
Hinweis: Nebenbedingungen mit Lagrange-Multiplikatoren berücksichtigen.
Korrektur der Probeklausur