Ubungen zur Vorlesung Randomisierte

Rolf Wanka
Manuel Schmitt
Erlangen, 2. Juni 2014
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2014
Blatt 6
AUFGABE 14:
Im Abschnitt über den Random-Walk-basierten Algorithmus für 3-SAT hatten wir das Problem kSAT definiert: Gegeben ist eine Boolesche Formel Φ in konjunktiver Normalform aus m Klauseln
über den Booleschen Variablen {x1 , . . . , xn }, bei der jede Klausel die Länge k hat, d. h. aus genau k
Literalen (über unterschiedlichen Variablen) besteht, also z. B.
Φ = (x1 ∨ x̄2 ) ∧ (x̄1 ∨ x̄3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ) ∧ (x4 ∨ x̄3 ) ∧ (x4 ∨ x̄1 )
mit m = 5 und n = 4 ist eine Eingabe von 2-SAT.
Die Frage ist, ob Φ erfüllbar ist.
Ziel dieser Aufgabe ist es, mittels der Probabilistischen Methode zu zeigen: Ist 2k > m, dann ist Φ
erfüllbar.
Sei also Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln über n Booleschen
Variablen, wobei jede Klausel genau die Länge k hat.
(a) Sei C eine Klausel von Φ der Länge k. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällige
Belegung der Variablen C erfüllt?
(b) Zeigen Sie mittels der Probabilistischen Methode: Es gibt eine Belegung der Variablen, so
daß mindestens (1 − 21k ) · m der Klauseln von Φ erfüllt werden.
Hinweis: Indikatorvariable!
(c) Zeigen Sie: Ist 2k > m, dann ist Φ erfüllbar.
Der gesamte Beweis ist unabhängig davon, daß die Klauseln alle die gleiche Länge k haben. Formulieren Sie die Aussage richtig um: Wie muß es heißen?
• Sei 2k > m, und sei Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln
über n Booleschen Variablen, wobei jede Klausel mindestens die Länge k hat. Dann ist Φ
erfüllbar.
oder
• Sei 2k > m, und sei Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln
über n Booleschen Variablen, wobei jede Klausel höchstens die Länge k hat. Dann ist Φ
erfüllbar.
Identifizieren Sie die Stelle, die im Beweis von (b) angepaßt werden muß.
AUFGABE 15:
Beweisen Sie das Gesetz der großen Zahlen:
Gegeben sei eine Zufallsvariable X, für die E[X] und Var[X] existieren. Seien ε, δ > 0 beliebig, aber
Var[X]
:
fest. Dann gilt für alle n ≥
ε · δ2
Sind X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie X und setzt man
Z :=
1 n
· ∑ Xi ,
n i=1
so gilt:
Pr[|Z − E[X]| ≥ δ] ≤ ε .
Hinweis: Berechnen Sie E[Z] und Var[Z] und wenden Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung an.
Zur Erinnerung die Tschebyscheffsche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable. Für jedes ε > 0
gilt:
Var[X]
Pr[|X − E[X]| ≥ ε] ≤
ε2