1. Angebot und Nachfrage - WWZ

1. Angebot und Nachfrage
Georg Nöldeke
WWZ, Universität Basel
Intermediate Microeconomics, HS 11
1. Angebot und Nachfrage
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Wir betrachten einen Markt für ein Konsumgut.
Die Marktnachfragefunktion für das betrachtete Gut
beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p ≥ 0
des Gutes und der Gesamtmenge des Gutes, welches die
Konsumenten erwerben wollen:
q = D(p) ≥ 0.
Alle anderen Faktoren, welche die Nachfrage des
betrachteten Gutes beeinflussen, betrachten wir zunächst
als gegeben.
Preise anderer Güter,
Einkommen,
...
Die Marktnachfragefunktion ergibt sich aus der Addition
individueller Nachfragefunktionen.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Wir unterstellen im Regelfall das Gesetz der Nachfrage.
Dieses besagt, dass die Marktnachfragefunktion streng
fallend ist.
Genauer:
Gesetz der Nachfrage
Für alle p ≥ 0 mit D(p) > 0 ist die Marktnachfragefunktion
differenzierbar mit streng negativer Ableitung:
dD
(p) < 0.
dp
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Die Marktangebotsfunktion für das betrachtete Gut
beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p ≥ 0
des Gutes und der Gesamtmenge
q = S(p) ≥ 0
des Gutes, welches die Unternehmen anbieten wollen.
Alle anderen Faktoren, welche das Angebot des
betrachteten Gutes beeinflussen, betrachten wir zunächst
als gegeben.
Preise der verwendeten Inputs,
Produktionstechnologie,
...
Die Marktangebotsfunktion ergibt sich aus der Addition
individueller Angebotsfunktionen.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Wir unterstellen im Regelfall das Gesetz des Angebots.
Dieses besagt, dass die Marktangebotsfunktion streng
steigend ist.
Genauer:
Gesetz des Angebots
Für alle p ≥ 0 mit S(p) > 0 ist die Marktangebotsfunktion
differenzierbar mit streng positiver Ableitung:
dS
(p) > 0.
dp
Beachte: Das Lehrbuch macht diese Annahme nicht.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Unter einem Wettbewerbsgleichgewicht versteht man eine
Situation, in welcher das betrachtete Gut zu einem
einheitlichen Preis p gehandelt wird und alle Konsumenten
und alle Unternehmen die von ihnen zu diesem Preis p
nachgefragten bzw. angebotenen Mengen kaufen bzw.
verkaufen.
Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge
Gilt D(p∗ ) = S(p∗ ) so heisst der Preis p∗ Wettbewerbspreis.
Die Menge q∗ = D(p∗ ) = S(p∗ ) heisst Wettbewerbsmenge.
Wenn klar ist, dass über einen Wettbewerbsmarkt
gesprochen wird, nennt man p∗ auch Gleichgewichtspreis
und q∗ Gleichgewichtsmenge.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Abbildung: Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge sind durch
den Schnittpunkt von Marktnachfrage- und Marktangebotsfunktion
bestimmt. Beachte, dass in der grafischen Darstellung der Preis auf
der vertikalen Achse abgetragen wird.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Wir unterstellen, dass Wettbewerbspreis und
Wettbewerbsmenge eindeutig bestimmt sind und p∗ > 0
sowie q∗ > 0 gilt.
Eine hinreichende Annahme hierfür ist, dass es Preise p
und p mit 0 < p < p gibt, so dass gilt:
D(p) > S(p) > 0 und S(p) > D(p) > 0.
Dies bedeutet, dass für hinreichend kleine Preise die
Nachfrage das Angebot übersteigt, während für
hinreichend grosse Preise das Gegenteil gilt.
Die Eindeutigkeit von Wettbewerbspreis und -menge folgt
dann aus den Gesetzen der Nachfrage und des Angebots.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Gilt das Gesetz der Nachfrage, so kann man den
Zusammenhang zwischen Preis und nachgefragter Menge
auch durch die inverse Marktnachfragefunktion
beschreiben:
p = Pd (q)
gibt den Preis p ≥ 0 an, zu dem die Konsumenten gerade
bereit sind, die Menge q ≥ 0 zu kaufen.
Gilt das Gesetz des Angebots, so kann man den
Zusammenhang zwischen Preis und angebotener Menge
auch durch die inverse Marktangebotsfunktion
beschreiben:
p = Ps (q)
gibt den Preis an, zu dem die Unternehmen gerade bereit
sind, die Menge q ≥ 0 zu verkaufen.
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1.1 Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Mit Hilfe von inverser Marktnachfragefunktion und inverser
Marktangebotsfunktion kann man die Wettbewerbsmenge
als Lösung der Gleichung
PD (q∗ ) = PS (q∗ )
bestimmen. Der dazugehörige Wettbewerbspreis ist dann
durch
p∗ = PD (q∗ ) = PS (q∗ )
gegeben.
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1.2 Komparative Statik
Fragestellung
Wie reagieren Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge auf
eine Veränderung der Parameter, welche Marktnachfrage- und
Marktangebotsfunktion bestimmen?
Vorgehensweise der komparativen Statik:
1. Gehe davon aus, dass der Markt in einer
Ausgangssituation durch das Wettbewerbsgleichgewicht
für gegebene Werte der Parameter beschrieben ist.
2. Bestimme die Auswirkungen einer Parameteränderung auf
Marktnachfrage- und/oder Marktangebotsfunktion.
3. Bestimme das Wettbewerbsgleichgewicht für die
geänderten Funktionen.
4. Vergleiche mit der Ausgangssituation: Wie haben sich
Wettbewerbspreis und -menge geändert?
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1.2 Komparative Statik
In einer grafischen Darstellung resultiert die
Veränderung eines Parameterwertes in einer Verschiebung
von Marktnachfrage- und/oder Marktangebotsfunktion.
Die Auswirkung einer solchen Veränderung auf
Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge wird an Hand
der resultierenden Verschiebung des Schnittpunktes
zwischen Nachfragefunktion und Angebotsfunktion
bestimmt.
Beispiel:
Steigt der Preis eines Substituts (Was ist das?) für das
betrachtete Gut, so werden die Käufer zu einem
gegebenen Preis eine grössere Menge des betrachteten
Gutes nachfragen wollen.
Die Marktnachfragefunktion verschiebt sich nach rechts.
Wettbewerbspreis und -menge steigen an.
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1.2 Komparative Statik
Abbildung: Eine Verschiebung der Nachfragekurve nach rechts – hier von D1 (p) zu
D2 (p) – führt zu einem Anstieg von Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge – hier
von p∗1 auf p∗2 bzw. von q∗1 auf q∗2 .
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1.2 Komparative Statik
Für eine mathematische Analyse ist erforderlich, dass
man die Abhängigkeit der Marktnachfrage bzw. des
Marktangebotes von dem Parameter, der verändert
werden soll, explizit berücksicht.
Wir betrachten zwei Fälle:
1. Die Marktnachfragefunktion D(p, a) hängt von einem
Parameter a ab, die Marktangebotsfunktion S(p) ist
gegeben.
2. Die Marktangebotsfunktion S(p, b) hängt von einem
Parameter b ab, die Marktnachfragefunktion D(p) ist
gegeben.
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1.2 Komparative Statik
Im ersten Fall (Verschiebung der Marktnachfragefunktion)
ist der Wettbewerbspreis p∗ (a) in Abhängigkeit von a durch
die Lösung der Gleichung
D(p∗ (a), a) = S(p∗ (a))
gegeben; die dazugehörige Wettbewerbsmenge ist
q∗ (a) = S(p∗ (a)) = D(p∗ (a), a).
Der Vergleich von p∗ (a) und q∗ (a) für unterschiedliche
Werte von a liefert dann die gesuchten Ergebnisse zur
komparativen Statik.
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1.2 Komparative Statik
Im zweiten Fall (Verschiebung der Marktangebotsfunktion)
ist der Wettbewerbspreis p∗ (b) in Abhängigkeit von b durch
die Lösung der Gleichung
D(p∗ (b)) = S(p∗ (b), b)
gegeben; die dazugehörige Wettbewerbsmenge ist
q∗ (b) = D(p∗ (b)) = S(p∗ (b), b).
Der Vergleich von p∗ (b) und q∗ (b) für unterschiedliche
Werte von b liefert dann die gesuchten Ergebnisse zur
komparativen Statik.
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1.2 Komparative Statik
Oftmals ist es nicht möglich, die impliziten Funktionen
p∗ (a) bzw. p∗ (b) analytisch zu bestimmen.
Die Auswirkungen einer kleinen Änderung des Parameters
kann in solchen Fällen mit Hilfe der Differentialrechnung
bestimmt werden.
Ausgehend von den Identitäten
D(p∗ (a), a) − S(p∗ (a)) = 0
D(p∗ (b)) − S∗ (p∗ (b), b) = 0
gilt nach dem Satz über implizite Funktionen:
d p∗ (a)
=
da
d p∗ (b)
=
db
∂ D(p∗ (a),a)
∂a
,
dS(p∗ (a))
∂ D(p∗ (a),a)
−
dp
∂p
∂ S(p∗ (b),b)
∂b
.
∗
dD(p∗ (b))
− ∂ S(p∂ (b),b)
dp
p
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1.2 Komparative Statik
Ausgehend von den Identitäten q∗ (a) = S(p∗ (a)) sowie
q∗ (b) = D(p∗ (b)) bestimmen sich die resultierenden
Auswirkungen auf die Mengenänderung als
dq∗ (a) dS(p∗ (a)) d p∗ (a)
=
,
da
dp
da
bzw.
dq∗ (b) dD(p∗ (b)) d p∗ (b)
=
.
db
dp
db
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1.2 Komparative Statik
Allgemeine Implikationen aus den Gesetzen der Nachfrage
und des Angebots:
Die Vorzeichen von
d p∗ (a)
da
∂ D(p∗ (a),a)
und
dq∗ (a)
da
stimmen mit dem
Vorzeichen von
überein:
∂a
Wenn eine Erhöhung des Parameters a zu zu einem
Anstieg der Marktnachfrage bei dem ursprünglichen
Wettbewerbspreis führt, so steigen Wettbewerbspreis und
Wettbewerbsmenge.
d p∗ (b)
∂ S(p∗ (b),b)
,
db hat das umgekehrte Vorzeichen von
∂b
∗
∗
während dqdb(b) das gleiche Vorzeichen wie ∂ S(p∂ b(b),b) hat:
Wenn eine Erhöhung des Parameters b zu einem Anstieg
des Marktangebotes bei dem ursprünglichen
Wettbewerbspreis führt, so fällt der Wettbewerbspreis und
die Wettbewerbsmenge steigt.
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1.2 Komparative Statik
Abbildung: Bei dem Wettbewerbspreis p∗ (b1 ) führt eine Erhöhung von
b von b1 auf b2 hier zu einem Anstieg des Marktangebots. Also fällt
der Wettbewerbspreis, während die Wettbewerbsmenge steigt.
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1.2 Komparative Statik
Beispiel: Gilt ∂ S/∂ b = 2, dD/d p = −1 und ∂ S/∂ p = 3, so gilt
d p∗ /db = −2/4 = −0.5 und dq∗ /db = 0.5.
Bei einem Anstieg von b um eine Einheit fällt der
Wettbewerbspreis also um ca. 0.5 Einheiten, während die
Wettbewerbsmenge um ca. 0.5 Einheiten steigt.
Verläuft die Nachfragekurve flacher – dies bedeutet, dass
der Absolutwert von dD/d p steigt – so ist bei ansonsten
unveränderten Parameterwerten die Preisreaktion geringer
und die Mengenreaktion grösser.
Für dD/d p = −5 gilt im obigen Beispiel d p∗ /db = −0.25 und
dq∗ /db = 1.25.
Entsprechend fällt bei einem steileren Verlauf der
Nachfragekurve die Preisreaktion grösser und die
Mengenreaktion kleiner aus.
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Für viele Fragestellungen der komparativen Statik ist es
üblich und zweckmässig mit Elastizitäten zu arbeiten.
Definition (Preiselastizitäten)
Die Preiselastizität der Marktnachfragefunktion ist
ε(p) =
dD(p) p
.
d p D(p)
Die Preiselastizität der Marktangebotsfunktion ist
η(p) =
dS(p) p
.
d p S(p)
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Interpretation der Preiselastizitäten: Prozentuale Änderung
der nachgefragten bzw. angebotenen Menge im Verhältnis
zur prozentualen Preisänderung.
Die mathematische Formulierung ist eine lokale
Annäherung.
dD/d p < 0 impliziert ε < 0, so dass die Preiselastizität der
Marktnachfragefunktion im relevanten Preisbereich negativ
ist.
dS/d p > 0 impliziert η > 0, so dass die Preiselastizität der
Marktangebotsfunktion im relevanten Preisbereich streng
positiv ist.
Beachte: Berücksichtigt man explizit, dass die betrachtete
Funktionen nicht nur vom Preis des Gutes abhängt, so ist
die Ableitung in der Definition der Elastizität durch die
partielle Ableitung zu ersetzen.
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Definition (Elastisch, unelastisch, einheitselastisch)
Die Marktnachfragefunktion heisst beim Preis p
elastisch, wenn ε(p) < −1 gilt.
unelastisch, wenn ε(p) > −1 gilt.
einheitselastisch, wenn ε(p) = −1 gilt.
Die Marktangebotsfunktion heisst beim Preis p
elastisch, wenn η(p) > 1 gilt.
unelastisch, wenn η(p) < 1 gilt.
einheitselastisch, wenn η(p) = 1 gilt.
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Elastisch (bzw. unelastisch) heisst also, dass der
Absolutwert der prozentualen Mengenänderung streng
grösser (bzw. kleiner) als der Absolutwert der prozentualen
Preisänderung ist.
Im einheitselastischen Fall stimmen die Absolutwerte der
prozentualen Änderungen überein.
Beachte, dass die Preiselastizitäten typischerweise nicht
konstant sind.
So dass z.B. eine Marktnachfragefunktion für manche
Preise elastisch und für andere Preise unelastisch sein
kann.
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Eine Nachfragefunktion der Form D(p) = Apε besitzt
konstante Preiselastizität: ε(p) = ε.
Beachte die Parameterrestriktionen A > 0 und ε < 0.
Der Grenzfall ε → 0 beschreibt eine vollkommen
unelastische Marktnachfrage; der Grenzfall ε → −∞ eine
vollkommen elastische Marktnachfrage.
Eine Angebotsfunktion der Form S(p) = Bpη besitzt
konstante Preiselastizität: η(p) = η.
Beachte die Parameterrestriktionen B > 0 und η > 0.
Der Grenzfall η → 0 beschreibt ein vollkommen
unelastisches Marktangebot; der Grenzfall η → ∞ ein
vollkommen elastisches Marktangebot.
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1.3 Elastizität von Nachfrage und Angebot
Analog zur Preiselastizität der Marktnachfragefunktion und
der Marktangebotsfunktion kann man Elastizitäten in
Bezug auf die Änderung eines Parameters definieren:
a
εa (p, a) = ∂ D(p,a)
∂ a D(p,a) : Elastizität der Marktnachfrage
bezüglich eines Parameters a.
Ist a das aggregierte Einkommen, nennt man εa (p, a) die
Einkommenselastizität der Marktnachfrage. Diese wird im
Lehrbuch als ξ bezeichnet.
Ist a der Preis eines anderen Gutes, nennt man εa (p, a)
eine Kreuzpreiselastizität der Marktnachfrage.
b
ηb (p, b) = ∂ S(p,b)
∂ b S(p,b) : Elastizität des Marktangebots
bezüglich eines Parameters b.
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1.4 Exkurs: Preiselastizität der Nachfrage und Ausgaben
Frage
Wie ändern sich die Ausgaben der Konsumenten für das
betrachtete Gut, wenn der Preis steigt?
Beachte: Die Ausgaben der Konsumenten entsprechen den
Erlösen der Unternehmen, die das betrachtete Gut verkaufen.
Die aggregierten Ausgaben für das Gut sind R(p) = pD(p).
Ableitung nach p (Produktregel):
dR(p)
dD(p)
= D(p) + p
= D(p) [1 + ε(p)]
dp
dp
Also gilt
Die Ausgaben steigen bei unelastischer Marktnachfrage.
Die Ausgaben fallen bei elastischer Marktnachfrage.
Die Ausgaben sind konstant bei einheitselastischer
Marktnachfrage.
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1.4 Exkurs: Preiselastizität der Nachfrage und Ausgaben
Bemerke: Aus der Preiselastizität der
Marktnachfragefunktion kann man unmittelbar die
Preiselastizität der Ausgaben bestimmen:
Die Preiselastizität der Ausgaben ist
ρ(p) =
dR(p) p
dR(p) 1
=
d p R(p)
d p D(p)
Einsetzen aus der Formel für dR/d p:
ρ(p) = 1 + ε(p).
Beispiel: Fällt die Marktnachfrage bei einer einprozentigen
Preiserhöhung um zwei Prozent, so sinken die Ausgaben
um ein Prozent.
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1.5 Komparative Statik mit Elastizitäten
Frage
Angenommen, ein Parameter a der Marktnachfragefunktion
steigt um x Prozent an. Wie gross ist die resultierende
prozentuale Änderung von Wettbewerbspreis und
Wettbewerbsmenge?
Ändert sich der Wettbewerbspreis um y Prozent, so ist die
prozentuale Änderung auf die nachgefragte Menge
ε(p∗ (a), a)y + εa (p∗ (a), a)x.
Die prozentuale Änderung der angebotenen Menge ist
η(p∗ (a))y
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1.5 Komparative Statik mit Elastizitäten
Die beiden Effekte müssen gleich gross sein, so dass gilt:
ε(p∗ (a), a)y + εa (p∗ (a), a)x = η(p∗ (a))y.
Also ist die prozentuale Änderung der Wettbewerbsmenge:
y=
εa (p∗ (a), a)
x.
η(p∗ (a)) − ε(p∗ (a), a)
Um die prozentuale Änderung der Wettbewerbsmenge z zu
erhalten, multipliziert man mit η(p∗ (a)):
z = η(p∗ (a))y = η(p∗ (a))
εa (p∗ (a), a)
x.
η(p∗ (a)) − ε(p∗ (a), a)
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1.5 Komparative Statik mit Elastizitäten
Analog erhält man die prozentuale Preisänderung y und
die prozentuale Mengenänderung z bei einer Änderung
eines Parameters b der Marktangebotsfunktion um x
Prozent:
y=
ηb (p∗ (b), b)
x
ε(p∗ (b)) − η(p∗ (b), b)
und
z = ε(p∗ (b))y = ε(p∗ (b))
ηb (p∗ (b), b)
x.
ε(p∗ (b)) − η(p∗ (b), b)
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Werden auf ein Gut Steuern erhoben, so muss man
zwischen dem Preis pd , den die Konsumenten zahlen, und
dem Preis ps , den die Unternehmen erhalten,
unterscheiden.
Die Differenz zwischen dem Konsumentenpreis pd und
dem Produzentenpreis ps ist der Steuerbetrag, der pro
Einheit des Gutes zu zahlen ist.
Bei einer Mengensteuer mit Satz τ ≥ 0 ist der Steuerbetrag
pd − ps = τ, so dass pd = ps + τ gilt.
Bei einer Wertsteuer mit Satz β ≥ 0 ist dieser Betrag
pd − ps = β ps , so dass pd = (1 + β )ps gilt.
Mengen- bzw. Wertsubventionen werden durch negative
Werte von τ bzw. β erfasst.
Wir betrachten im Folgenden den Fall einer Mengensteuer
– die Vorgehensweise im Fall einer Wertsteuer ist analog.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Wettbewerbsgleichgewicht bei einem Mengensteuersatz τ
ist durch p∗d (τ), p∗s (τ) und q∗ (τ) gegeben, so dass
1. nachgefragte und angebotene Menge übereinstimmen und
der Gleichgewichtsmenge entsprechen:
D(p∗d (τ)) = S(p∗s (τ)) = q∗ (τ).
2. die Differenz zwischen p∗d (τ) und p∗s (τ) dem Steuerbetrag
pro Einheit des Gutes entspricht:
p∗d (τ) − p∗s (τ) = τ.
Die Steuereinnahmen (bzw. Subventionszahlungen) T ∗ im
Wettbewerbsgleichgewicht mit Mengensteuer sind
T ∗ (τ) = τq∗ (τ).
Die Gleichgewichtsbedingungen hängen nicht davon ab,
ob die Steuern bei den Konsumenten oder den
Unternehmen erhoben werden.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Abbildung: Wettbewerbsgleichgewicht mit Besteuerung. Da
τ = p∗d (τ) − p∗s (τ) gilt, können die Steuereinnahmen T ∗ (τ) durch das
Rechteck mit Länge q∗ (τ) und Höhe p∗d (τ) − p∗s (τ) dargestellt werden.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Frage
Welche Auswirkung hat eine Änderung des Steuer- oder
Subventionssatzes auf Konsumentenpreis, Produzentenpreis
und Steuereinnahmen?
Betrachtung der Grafik suggeriert:
Gleichgewichtsmenge q∗ (τ) ist fallend in τ.
Konsumentenpreis p∗d (τ) ist steigend in τ, während der
Produzentenpreis p∗s (τ) fallend in τ ist.
Steuereinnahmen T ∗ (τ) sind für kleine τ steigend und für
grosse τ fallend in τ.
Ausgehend von einer Situation ohne Besteuerung, d.h. τ = 0
können die Preis- und Mengeneffekte mit Hilfe von Elastizitäten
beschrieben werden.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
1. Aus p∗d (τ) − p∗s (τ) = τ folgt
d p∗d (τ) d p∗s (τ)
−
= 1.
dτ
dτ
2. Aus D(p∗d (τ)) = S(p∗s (τ)) folgt
dD(p∗d (τ)) d p∗d (τ) dS(p∗s (τ)) d p∗s (τ)
=
dp
dτ
dp
dτ
Verwendet man die erste Gleichung, um d p∗s /dτ bzw. d p∗d /dτ
aus der zweiten Gleichung zu eliminieren und setzt man dann
τ = 0 erhält man:
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
d p∗d (0)
=
dτ
dS(p∗ )
dp
dS(p∗ )
dD(p∗ )
dp − dp
=
η(p∗ )
>0
η(p∗ ) − ε(p∗ )
d p∗s (0)
=
dτ
dD(p∗ )
dp
dS(p∗ )
dD(p∗ )
dp − dp
=
ε(p∗ )
< 0.
η(p∗ ) − ε(p∗ )
sowie
wobei p∗ = p∗d (0) = p∗s (0) der Wettbewerbspreis ohne
Besteuerung ist.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Schlussfolgerung:
Die Aufteilung der “Steuerlast” ist umgekehrt proportional
zu den Preiselastizitäten von Marktnachfrage- und
Marktangebotsfunktion:
−
ε(p∗ )
d p∗s (0)/dτ
=−
.
∗
d pd (0)/dτ
η(p∗ )
Im Grenzfall des vollkommen unelastischen
Marktangebotes bleibt der Konsumentenpreis unverändert;
die Steuerlast wird vollständig durch die Unternehmen
getragen.
Im Grenzfall des vollkommen elastischen Marktangebotes
bleibt der Produzentenpreis unverändert; die Steuerlast
wird vollständig durch die Konsumenten getragen.
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1.6 Auswirkungen einer Steuer
Änderung der Gleichgewichtsmenge kann durch
dq∗ (0) dD(p∗ ) d p∗d (0)
=
dτ
dp
dτ
oder durch
dq∗ (0) dS(p∗ ) d p∗s (0)
=
dτ
dp
dτ
bestimmt werden.
Einsetzen aus den Formeln für die Preisänderungen führt
zu
dq∗ (0)
ε(p∗ )η(p∗ ) q∗
=
.
dτ
η(p∗ ) − ε(p∗ ) p∗
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