z1 − z2 z1

Prof. Dr. A. Große
SciTec
WS 15/16
Mathe I Serie 2
komplexe Zahlen
Aufgabe 1
Berechnen Sie:
z1 + z2
z1 − z2
z1 · z2
z1
z2
Re(z1 · z2 )
Im(
z1
)
z2
wobei
a) z1 = 1 + 2j
z2 = 2 + j
b) z1 = 3 − 2j
z2 = 5 + 4j
Aufgabe 2
Berechnen Sie jeweils den Betrag und das Argument der komplexen Zahl z:
√
1 1√
a) z = j + 1
b) z = 3 + j
c) z = − +
3j
2 2
Aufgabe 3
Formen Sie die komplexen Zahlen in die trigonometrische und die Exponentialform um:
√
a) z = 2j
b) z = 2 − 2j
c) z = − 5 + 2j
d) z = 1 + 2j
Aufgabe 4
Seien z1 , z2 komplexe Zahlen in trigonometrischer bzw. exponentieller Darstellung, d.h.
zi = ri · (cos ϕi + j sin ϕi ) bzw. z = ri ejϕi .
z1
Bestimmen Sie für beide Darstellungsformen .
z2
Aufgabe 5
Formen Sie die komplexen Zahlen in die arithmetische Form um:
a) 42 · (cos 120◦ + j sin 120◦ )
π
b) 23 · e−j 6
c) 2 · (cos 30◦ − j sin 30◦ )
Aufgabe 6
Geben Sie die Lage folgender komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene an:
√
π
a) |z| = 2
b) | arg(z)| ≤
c) |z − 2j − 1| = 2
4
Aufgabe 7
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 3 = w, wobei:
√
a) w = 1
b) w = 4 2 (−1 + j)
Aufgabe 8
Berechnen Sie:
a)
1
(1 + 2j)110
555
1
Aufgabe 9
Lösen Sie die Gleichung:
a) z 2 + 5 = 12j
b) z 2 + z + 1 + j = 0
Aufgabe 10
Sei z eine komplexe Zahl in trigonometrischer bzw. exponentieller Darstellung, d.h.
z = r · (cos ϕ + j sin ϕ) bzw. z = rejϕ . Bestimmen Sie für beide Darstellungsformen z.
Aufgabe 11
Rechnen Sie die folgenden Regeln nach:
a) z = z
b) z1 + z2 = z1 + z2
c) z1 · z2 = z1 · z2
Aufgabe 12
Wir betrachten das Polynom P (z) = z 3 − z 2 + z − 1.
a) Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen,
dass folgende Beziehung gilt: P (z) = P (z)
b) Es sei z0 eine Nullstelle des Polynoms, d.h. P (z0 ) = 0. Was kann man dann über
z0 aussagen?
2
Lösungen
1 a)
z1 + z2 = 3 + 3j
4 3
z1
= + j
z2
5 5
z1 − z2 = −1 + j
z1 · z2 = 5j
z1
Im( ) = −1
z2
Re(z1 · z2 ) = 4
b)
z1 + z2 = 8 + 2j
z1
7
22
=
− j
z2
41 41
2 a)
√
2
45◦ =
π
4
b) 2
z1 − z2 = −2 − 6j
Re(z1 · z2 ) = 7
30◦ =
π
6
c) 1
z1 · z2 = 23 + 2j
z1
2
Im( ) = −
z2
41
2
120◦ = π
3
π
3 a) 2 · (cos( π2 ) + j sin( π2 )) = 2 · ej· 2
√
√
7
b) 8 · (cos( 74 π) + j sin( 47 π)) = 8 · ej· 4 π
◦
c) ≈ 3√· (cos(138, 2◦ ) + j sin(138, 2◦ )) = 3√· ej·138,2
◦
d) ≈ 5 · (cos(63, 4◦ ) + j sin(63, 4◦ )) = 5 · ej·63,4
· (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 ) = rr21 ej(ϕ1 −ϕ2 ) .
√
√
√
5 a) −21 + 21 3 j b) 23
3 − 23
3 −j
2
2 j c)
4
z1
z2
=
r1
r2
√
√
7 a) z0 = 1, z1 = −1+2 3 j , z2h = −1−2 3 j
i
√
√
√
b) z0 = 2 (1 + j), z1 = √12 −(1 + 3 ) + ( 3 − 1)j z1 =
√1
2
i
√
( 3 − 1) − ( 3 + 1)j
h √
8 a) ≈ −0, 741 + 0, 671j
9 a) z1 = 2 + 3j, z2 = −2 − 3j
b) z1 = −1 + j, z2 = −j
10 z = r · (cos(−ϕ) + j sin(−ϕ)) = re−jϕ
27. Oktober 2015, 9:04 Uhr
3