Festschrift zur 150. Wiederkehr des Geburtsta

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Festschrift der BWG
Richard Dedekind
2602-628-8
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Abhandlungen
der
Braunschweigischen
Wissenschaftlichen Gesellschaft
Begründet von
Eduard Justi
Herausgegeben von
Ulrich Wannagat
Band XXXIII, 1982
FESTSCHRIFT
der
Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft
und der
Technischen Universität Carolo Wilhelmina zu Braunschweig
zur 150. Wiederkehr des Geburtstages von
RICHARD DEDEKIND
UNIVERSITÄTS_
BIBL/OTHfK
VERLAG ERlen GOLTZE . GÖTTINGEN
1982
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Die vorliegende Festschrift ist als Band XXXIII der Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft beim Verlag oder im Buchhandel zum Preise
von DM 48,- erhältlich.
Gedruckt mit Hilfe von Forschungsmitteln
des Landes Niedersachsen,
der Stadt Braunschweig,
des Braunschweigischen Vereinigten Kloster- und Studienfonds,
und des
Vereins der Freunde der
Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft e.v.
Redaktion dieses Bandes
Heiko Harborth
Alle Rechte vorbehalten von
Verlag Erich Goltze GmbH & Co. KG, 3400 Göttingen
1982
Gesamtherstellung: Erich Goltze GmbH & Co. KG, 3400 Göttingen
Printed in Germany-West
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Richard Dedekind (6.10.1831 - 12.2.1916)
im Alter von 37 Jahren
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INHALTS VERZEICHNIS
Feierlichkeiten zur 150. Wiederkehr des Geburtstages
Verleihung der Carl-Friedrich-Gauß-Medaille 1981
9
10
Hauptvorträge
Kneser, Martin:
Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen.
13
M ehrtens, H erbert:
Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen
19
Cohn, Paul M.:
Ringe mit distributivem Faktorverband .
35
Kneser, Martin:
Kompositionen binärer quadratischer Formen
41
Knus, Max-Albert:
Dedekind und das Polytechnikum in Zürich .
43
Pfister, Albrecht:
Über einige neuere Ergebnisse aus der algebraischen Theorie der quadratischen Formen
61
Richard Dedekinds algebraische Arbeiten aus seiner Göttinger Privatdozenten-Zeit 1854-1858 .
69
Values of Zeta and L-functions . .
71
Anellis, Irving H.:
B~~G~~.
~
Draxl, Peter K.:
Normen in Diedererweiterungen von Zahlkörpern .
99
Erne, Marcei:
Distributivgesetze und die Dedekind'sche Schnittvervollständigung .
117
Gräter, Joachim:
Fortsetzungen von Manisbewertungen.
147
Härtter, Erich:
Q-Differenzen von Mengen nichtnegativer ganzer
Zahlen
151
Herrmann, Christian:
Über die von vier Moduln erzeugte Dualgruppe . .
157
Hofmeister, Gerd:
Eine Verallgemeinerung des Reichweitenproblems
161
Knus, Max-Albert:
Quaternionen über Polynomringe, quadratische
Formen und Vektorbündel über 1P2 (C)
165
Krause, Ulrich:
Eindeutige Faktorisierung ohne ideale Elemente
169
Naoum, Adil G.:
A note on q-Rings
179
Niederreiter, Harald:
Richard Dedekind and the development of the
theory of finite fields
183
Der Schur-Multiplikator in der algebraischen Zahlentheorie .
189
Scharlau, Winfried:
Stark, Harold M.:
Kurzvorträge
Opolka, Hans:
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.
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Zur Universalität und Hypertranszendenz der
Dedekindschen Zetafunktion
197
Introducing the real numbers via continued fractions (Was sind und was sollen die DedekindSchnitte noch?)
205
Seitz, Kdroly:
On the ideals of partial semigroups
219
Strobl, Walter:
Ober die Beziehungen zwischen der Dedekindschen Zahlentheorie und der Theorie der algebraischen Funktionen von Dedekind und Weber
Reich, Axel:
0
Rieger, Georg J.:
0
van der Waall, Robert Wo: Quotients of Zeta-functions
Zimmer, Horst Günter:
Lokale Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven
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225
247
0
253
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9
Anläßlich der 150. Wiederkehr des Geburtstages von
RICHARD DEDEKIND
am 6. Oktober 1981 wurden in Braunschweig die folgenden Veranstaltungen durchgeführt.
•
Im Auditorium maximum der Technischen Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig fand ein akademischer Festakt statt. Dr. H. Mehrtens aus Berlin hielt den
Festvortrag: "Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen".
Am Altgebäude der Technischen Universität wurde ein von Professor Jürgen Weber
entworfenes Relief enthüllt.
Die Stadt Braunschweig brachte am letzten Wohnsitz Dedekinds, in der Jasperallee 87, eine Gedenktafel an.
In der Dornse des Altstadtrathauses hielt die Braunschweigische Wissenschaftliche
Gesellschaft ihre feierliche Jahresversammlung 1981 ab. Hierbei wurde die CarlFriedrich-Gauß-Medaille an Professor Dr. Martin Kneser aus Göttingen vergeben.
Vom 6. bis 8. Oktober 1981 wurde in der Technischen Universität eine Internationale
Fachtagung über Algebra und Zahlentheorie zu Ehren von R. Dedekind durchgeführt.
Die in 27 Vorträgen vorgestellten Forschungsergebnisse sind in dem vorliegenden
Band abgedruckt.
Am 6. Oktober 1981 wurde in einem Sonderpostamt in der Technischen Universität
ein Sonderstempel ausgegeben.
Die Grabstätte Dedekind auf dem Hauptfriedhof wurde als Ehrengrab der Stadt
Braunschweig übernommen.
Bilder und Dokumente aus dem Leben Dedekinds waren im Städtischen Museum
Braunschweig im Rahmen der Ausstellung "Brunswiek 1031 - Braunschweig 1981"
vom 24. April bis·zum 11. Oktober 1981 zu betrachten.
Die Veranstaltungen wurden zum Teil von
der Deutschen Forschungsgemeinschaft,
dem Braunschweigischen Hochschulbund
und der Stadt Braunschweig
finanziell unterstützt.
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Die
BRAUNSCHWEIGISGIE WISSENSCHAFIUGIE GESELLSCHAFT
verleiht die
CARL-FRIED RICH-GAUSS-MEDAILLE
Professor Dr. rer. nato
MARTIN KNESER
Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina zu Halle
und der Göttinger Akademie der Wissenschaften
in Würdigung seiner besonderen wissenschaftlichen Verdienste
im Bereich der Mathematik, zu deren Fortentwicklung er Ideen von tiefer und wirkungsvoller
Einfachheit beigetragen und in deren Rahmen er durch Forschungen, vor allem in den
Gebieten der Algebra, der Geometrie und der Zahlentheorie, wichtige neue Ergebnisse und
die Klärung fundamentaler Zusammenhänge erzielt hat.
Braunschweig, den 30. Apri11981
Präsident
der Bra_hweigischen Wissenschaftlichen
Gesellschaft
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11
Kneser, Martin, Dr. rer. nat., Professor, Direktor am Mathematischen Institut der Georg-
August-Universität Göttingen, Bunsenstraße 3-5, 3400 Göttingen
geboren:
1945-1950
1950
1953
1958
1959-1962
seit 1963
21. 1. 1928 in Greifswald
Studium der Mathematik und Physik in Tübingen, Göttingen und Berlin
Promotion zum Dr. rer. nato an der Humboldt-Universität Berlin
Habilitation
a.o. Professor in Saarbrücken
o. Professor in München
o. Professor in Göttingen
Publikationen:
Veröffentlichungen in Fachzeitschriften
Herausgabe
wissenschaftlicher
Werke:
Geschäftsf. Herausgeber "Journal für die reine und angewandte Mathematik"
Mitherausgeber "Journal of Number Theory"
Mitgliedschaften:
1966 Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina
1967 Akademie der Wissenschaften in Göttingen
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13
Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen
Von Martin Kneser, Göttingen
Herr Präsident, meine Damen und Herren!
Ich möchte mich zunächst ganz herzlich für die große Ehre bedanken, die mir
durch die Verleihung der Carl-Friedrich-Gauß-Medaille zuteil geworden ist. Wenn ich
diesen Dank traditionsgemäß mit einem Vortrag aus meinem Arbeitsgebiet verbinde,
so freue ich mich einerseits natürlich über die Gelegenheit, einmal auch zu Nichtmathematikern über meine Wissenschaft sprechen zu können; andererseits haben wir
Mathematiker es dabei nicht ganz leicht, weil viele der heute interessanten Probleme
zu ihrer Erklärung einen Begriffsapparat benötigen, den ich hier nicht voraussetzen
kann. Ich will daher versuchen, Ihnen auf einem Streifzug durch die Geschichte der
Zahlentheorie einige ihrer Fragestellungen nahezubringen. Dies scheint mir schon
deshalb gerechtfertigt, weil manche unserer heutigen Probleme ihre Wurzel in dieser
langen und interessanten Geschichte haben. Die Mathematiker unter Ihnen muß ich
um Nachsicht bitten, wenn ich auf diese Weise viel Altbekanntes erzähle.
Lassen Sie mich mit einer Zahlenspielerei beginnen. Wenn ich "Spielerei" sage, so
ist das in keiner Weise abschätzig gemeint. Im Gegenteil, solche Experimente standen
am Anfang der Zahlentheorie, und noch heute werden zahlentheoretische Vermutungen auf ähnliche Weise gefunden und in einer großen Zahl von Fällen - zum Teil mit
Hilfe von Computern - numerisch nachgeprüft. Einige der interessantesten haben
bisher allen Beweisversuchen getrotzt.
1 = 12
2=1 2 +1 2
3=1 2 +1 2 +1 2
4 = 22 = 12 + 12 + 12 + 12
5 = 22 + 12
6 = 2 2 + 12 + 12
7 = 22 + 12 + 12 + 12
8 = 2 2 + 22
9 = 3 2 = 22 + 22 + 12
10 = 32 + 12 = 22 + 22 +
11 = 32 + 12 + 12
12 = 32 + 12 + 12 + 12 =
13 = 32 + 22 = 22 + 22 +
14=32 +2 2 +1 2
15 = 32 + 22 + 12 + 12
16 = 42 = 22 + 22 + 22 +
12 + 12
22 + 22 + 22
22 + 12
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Martin Kneser
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Ich habe Ihnen in einer Tabelle die Zahlen von 1 bis 16 aufgeschrieben und sie in
Summanden zerlegt, die Quadratzahlen sind. Dabei habe ich allerdings nicht alle
möglichen Zerlegungen berücksichtigt. Zum Beispiel habe ich nicht hingeschrieben,
daß die 7 sich als Summe von sieben Einsen schreiben läßt - das wäre langweilig sondern mich auf diejenigen Zerlegungen beschränkt, die höchstens vier Summanden
benötigen. Es zeigt sich, auch bei Vergrößerung der Tabelle, daß man stets mit vier
Quadraten auskommt, daß es aber Zahlen gibt, Z.B. 7 und 15, bei denen drei nicht
reichen. Daß das allgemein bei allen Zahlen so ist, die bei Division durch 8 den Rest 7
lassen, kann man leicht einsehen, wenn man bedenkt, daß bei Division durch 8 jede
ungerade Quadratzahl den Rest 1, jede gerade den Rest 0 oder 4 läßt.
Damit haben wir schon empirisch einen wesentlichen Teil der folgenden beiden
Sätze gefunden.
Vier-Quadrate-Satz (Fermat, Euler, Lagrange):
Jede natürliche Zahl ist Summe von (höchstens) vier Quadratzahlen.
Drei-Quadrat-Satz (Fermat, Legendre, Gauß):
Alle natürlichen Zahlen der Formen 8m+l, 8m+2, 8m+3, 8m+5, 8m+6 sind
Summen von drei Quadratzahlen, jedoch keine der Form 8m+ 1.
Eine Zahl 4m ist genau dann Summe dreier Quadratzahlen, wenn m es ist.
Der Vier-Quadrate-Satz wurde bereits in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts
von dem großen französischen Mathematiker Pierre Fermat ausgesprochen. Fermat
war Jurist und hat für diesen wie für viele andere zahlentheoretische Entdeckungen
keinen Beweis hinterlassen. Nach dem, was wir aus seinen Briefen wissen, können wir
aber mit Sicherheit annehmen, daß er einen besessen hat. Wie schwierig diese Frage
damals war, sehen Sie daran, daß es über hundert Jahre gedauert hat, bis Lagrange
nach Vorarbeiten von Euler den ersten überlieferten Beweis veröffentlichte. Heute
kann der Satz in einer einführenden Vorlesung über Zahlentheorie hergeleitet
werden.
Etwas schwieriger ist der Drei-Quadrate-Satz, für den erst Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae einen vollständigen Beweis erbracht hat. Gauß gibt dort nicht
nur die Lösbarkeitsbedingungen für die Gleichung n = x~ + x~ + x~, sondern bestimmt
auch gleich die Lösungsanzahl. Wir wollen uns aber lieber der entsprechenden Frage
bei vier Quadraten zuwenden, die noch zu Gauß' Lebzeiten von Jacobi beantwortet
wurde.
Anzahlsatz (Jacobi): Mit
a4(n) = Anzahl der Darstellungen n = x1+x~+x~+x~,
d(n) = Summe aller ungeraden Teiler von n, wird
_ { 8d(n)
a4 ( n) 24d(n)
wenn nungerade
wenn n gerade
ist.
Dabei hat man, um die Antwort in so einfacher Gestalt zu bekommen, für
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X" ..• ,X4
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Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen
15
auch 0 und negative ganze Zahlen zuzulassen und muß Darstellungen, die sich nur
durch die Reihenfolge der Xi unterscheiden, als verschieden zählen.
Dieser Satz ist in zweierlei Hinsicht bemerkenswert. Einmal stellt er eine Beziehung zwischen zwei grundverschiedenen Anzahlen her. Die linke Seite ain) bezeichnet die Anzahl der additiven Zerlegungen der Zahl n in Quadrate, während auf der
rechten Seite die Summe der Teiler mit der multiplikativen Struktur von n zusammenhängt. Zweitens wendet Jacobi zum Beweis eine Methode an, die seitdem viele scliöne
zahlentheoretische Erkenntnisse hervorgebracht hat. Er untersucht den Ausdruck
(1 + 2x + 2x4 + 2x9 + 2X 16 + ... )4 =
00
(Lx n2 )4 = 1 + a4(1)x + ai2)x2 + ~(3)X3 + ...
n= _00
in Abhängigkeit von X mit Hilfsmitteln der Funktionentheorie und leitet daraus Aussagen über die Koeffizienten ain) her. Er selber hat übrigens später einen anderen
Beweis gegeben, der diese Hilfsmittel vermeidet.
Wir machen jetzt einen Sprung in die Jahre 1881/82. Damals hatte die Pariser
Akademie als Preisaufgabe gestellt, die Zerlegung von Zahlen in fünf Quadrate zu
behandeln, ähnlich wie Gauß und Jacobi dies für drei und vier getan hatten. Es gingen
drei Bearbeitungen ein. Eine wurde als unzureichend abgelehnt, die zwei anderen
aber für so bedeutend befunden, daß sie beide mit einem Preis ausgezeichnet wurden.
Die eine stammte von dem englischen Mathematiker Henry John Stephan Smith, der
das Problem tatsächlich schon mehr als zehn Jahre zuvor wenigstens ansatzweise
behandelt hatte - was dem Pariser Preiskomitee entgangen war -, die andere von
dem damals noch nicht achtzehnjährigen Königsberger Studenten Hermann Minkowski; sie bildete den Anfang einer Reihe grundlegender Arbeiten über die Zahlentheorie der quadratischen Formen. Diese Arbeiten wurden über fünfzig Jahre später
von dem kürzlich in Göttingen verstorbenen Mathematiker earl Ludwig Siegel wieder
aufgenommen und zu einem allgemeinen Theorem geformt, das alle in diesem Vortrag bisher erwähnten Ergebnisse als Spezialfälle enthält. Ich kann Ihnen diesen Satz
von Minkowski und Siegel hier nicht formulieren, will ihn aber an zwei einfachen Beispielen erläutern.
Betrachten wir erstens den Ausdruck
q = x~+4x~+4x~+4x~
also eine Summe von vier Quadratzahlen, von denen mindestens drei gerade sind.
Bezeichnen wir mit a(q,n) die Anzahl der Lösungen der Gleichung q = n, so besagt
der Satz, daß mit der schon bei Jacobi auftretenden Teilersumme d(n)
a(q,n)= {2d(n) wennn=4m+1
}
o wenn n = 4m + 2 oder 4m + 3
ist (die durch 4 teilbaren Zahlen habe ich der Einfachheit halber weggelassen).
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Martin Kneser
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Als zweites Beispiel wählen wir
ql
= x~+x~+x~+9x~,
also Summen von vier Quadratzahlen, von denen mindestens eine durch 3 teilbar ist.
Hier würde man eine ähnliche Formel wie im ersten Beispiel vermuten, nur daß wegen
des Faktors 9 = 32 die darzustellenden Zahlen nach ihrem Rest bei der Division durch
3 statt durch 4 zu unterscheiden wären. Einige weitere Überlegungen ließen
a(q"n)
={
!
t
a4(n)
a4(n)
wenn n = 3m + 1 }
wenn n = 3m+2
erwarten, was aber leider nicht zutrifft, denn die Zahl n = 7 läßt sich nicht in der Form
ql darstellen, während a4(7) = 64 ist. Der Siegelsche Satz sagt nun in diesem Fall, daß
man außer ql noch die andere quadratische Form
q2
= 2x~+2x~+2x~+3x~+2xlX2+2x2X3+2x3X4
betrachten muß und dann die "gemittelte Darstellungsanzahl" t a(ql,n)+ 1a(q2,n)
von n durch ql und q2 gleich dem oben fälschlich für a(ql,n) hingeschriebenen Ausdruck wird.
Diese beiden Beispiele sind nur die allereinfachsten ihrer Art und hätten auch
schon mit den Methoden von Jacobi behandelt werden können. Im allgemeinen werden quadratische Formen nicht nur in 3 oder 4, sondern in einer beliebigen Anzahl
von Variablen betrachtet, und auf der rechten Seite der Formel treten anstelle von
d(n) andere zahlentheoretische Funktionen auf.
Das Theorem von Minkowski und Siegel stellt zweifellos einen Höhepunkt in der
Theorie der quadratischen Formen dar. Trotzdem beantwortet es nicht eine der naheliegenden Fragen. Schauen wir uns nochmal das zweite Beispiel mit der Form ql an.
In diesem Fall ist es nicht schwer, direkt nachzuweisen, daß n = 7 die einzige Ausnahmezahl ist, die sich nicht in der Form ql darstellen läßt. Aus dem Siegelschen Satz
allein läßt sich das aber nicht ablesen. Man hat sich mit solchen Fragen nach dem Verhalten einer einzelnen Form ql, nicht gekoppelt mit anderen Formen wie oben q2,
schon lange beschäftigt und bereits vor Siegel weitgehende Aussagen machen können.
Als Preis, den man für die Unterscheidung zwischen ql und der "Verwandten" q2 zu
zahlen hat, bekommt man für die einzelne Darstellungsanzahl a(ql,n) keine genaue
Formel, sondern nur eine Abschätzung, aus der man aber unter günstigen Umständen
ablesen kann, daß ql alle natürlichen Zahlen (oder alle mit einigen genau angebbaren
Ausnahmen) darstellt.
Diese Ergebnisse, die überwiegend mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln erzielt werden, will ich Ihnen nicht mehr vorführen, obwohl ich mich selber mit arithmetischen Methoden um solche Probleme bemüht habe, sondern Ihnen zum Abschluß
nur noch zwei Beispiele dazu geben.
Das erste Beispiel sei
n=xH3x~+5x~+7x~.
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Aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen
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Man probiert aus, daß die Gleichung für n = 2,22 nicht lösbar ist, findet dann aber
lange keine weiteren Ausnahmen und vermutet, daß es keine mehr gibt. Die erwähnten Sätze zeigen, daß es außer 2 und 22 höchstens noch endlich viele natürliche Zahlen n gibt, die sich nicht so darstellen lassen. Im Prinzip geben sie auch Schranken, bis
zu denen man nach Ausnahmen suchen müßte, doch scheint die explizite Durchführung nicht ganz einfach zu sein. Dieses Problem gehört sicher nicht zu den grundlegenden Fragen aus der Zahlentheorie der quadratischen Formen, doch ist es bemerkenswert, daß schon bei so einfachen Zahlenbeispielen Schwierigkeiten der
numerischen Rechnung auftreten können.
Anders liegt es bei dem zweiten Beispiel
n = x1+x~+ 10x~,
das schon 1917 bei dem indischen Mathematiker Ramanujan auftaucht. Er weiß
genau, welche geraden Zahlen n dargestellt werden können und kennt die ersten 16
der folgenden 18 ungeraden Ausnahmezahlen:
3,7,21,31,33,43,67, 79,87,133,217,219,223,253,307,391,679,2719.
Man weiß bis heute nicht, ob dies alle sind, ja noch nicht einmal, ob es nur endlich
viele ungerade Ausnahmezahlen gibt. Dieses Problem als Spezialfall des Verhaltens
quadratischer Formen in drei Variablen scheint sehr viel schwerer, aber auch sehr viel
interessanter als das vorige.
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Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen 1 )
Von Herbert Mehrtens, Berlin
Im wissenschaftlichen Nachlaß Richard Dedekinds findet sich ein kleiner ZetteP),
auf dem folgendes notiert ist:
"Von allen Hilfsmitteln, welche der menschliche Geist zur Erleichterung seines
Lebens, d. h. der Arbeit, in welcher das Denken besteht, bis jetzt erschaffen hat, ist
keines so folgenreich und so untrennbar mit seiner innersten Natur verbunden, wie
der Begriff der Zahl. Die Arithmetik, deren einziger Gegenstand dieser Begriff ist, ist
schon jetzt eine Wissenschaft von unermesslicher Ausdehnung und es ist keinem
Zweifel unterworfen, dass ihrer ferneren Entwicklung gar keine Schranken gesetzt
sind; ebenso unermesslich ist das Feld ihrer Anwendung, weil jeder denkende
Mensch, auch wenn er dies nicht deutlich fühlt, ein Zahlen-Mensch, ein Arithmetiker ist. "
Richard Dedekind war gewiß nicht das, was man bei dem Wort "Zahlen-Mensch"
assoziieren mag; er war kein staubtrockener Bürokrat einer leblosen Zahlen welt.
Aber in seinem mathematischen Werk ist er "Zahlen-Mensch": Die Zahlen waren
der wesentliche Gegenstand seiner Arbeit, Anlaß jahrzehntelanger äußerster mathematischer Anstrengung. Er erschloß und strukturierte die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen und gab neue mathematische Begründungen für die alten, vertrauten Zahlbereiche. Damit bildet seine Arbeit auch eine Wende im Verhältnis des
Menschen zu seinen Zahlen. Der immer noch in gewisser Weise naive Begriff der
Zahlen wurde in seiner Zeit reflektiert und kritisiert; als Objekte der Mathematik
wurden sie neu konstruiert und streng gefaßt. Dedekind geht dabei von der Vorstellung aus, daß sich in den Zahlen die Grundzüge menschlichen Denkens ausdrücken.
Richard Dedekind gilt als "einer der ganz großen aus der Geschichte der Mathematik"3), einer der größten Zahlentheoretiker. Mit seinem Hauptwerk hat er die
algebraische Zahlentheorie geformt und ihre Entwicklung tiefgreifend beeinflußt.
') Text des Festvortrages beim akademischen Festakt der Technischen Universität Braunschweig anläßlich der 150. Wiederkehr des Geburtstages Richard Dedekinds, Braunschweig
6. Oktober 1981.
2) Nachlaß Richard Dedekind, Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, Cod. Ms. Dedekind III, 2.
3) Jourdain, P.E.B., "Richard Dedekind (1833[sic!]-1916)", Monist 26 (1916), 415-427,
Landau, E., "Richard Dedekind - Gedächtnisrede", Nachrichten der Georg August Universität u. d. Königl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Gesch. Mitt. 1917, 50-70. In einem wichtigen modernen Nachschlagewerke der Mathematik ist Dedekind einer von nur 31 Mathematikern, denen ein eigener Artikel gewidmet ist, Encyclopedic Dictionary 01 Mathematics,
Cambridge, Mass. 1977.
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20
Herbert Mehrtens
Sein Einfluß wird allerdings auch kritisch gesehen. Ein historisch arbeitender Mathematiker hat kürzlich geschrieben 4 ), daß die Dedekindsche Theorie deswegen nicht
befriedigend sei, weil sie bis zum Dogmatismus philosophischen Prinzipien folge.
Aber gerade darin liegt die Voraussetzung für Dedekinds historische Bedeutung. Er
ist mit größter Zähigkeit und höchster methodischer Konsequenz den Fragen nachgegangen, was sind die Zahlen?, was sind ihre grundlegenden Strukturen? Die Begriffe, mit denen er diese Strukturen gefaßt hat, machen seinen bleibenden Beitrag zur
Mathematik aus.
Es ist unmöglich, den Reichtum der Ergebnisse seiner Arbeit hier vorzustellen. Ich
will versuchen, seine Fragen, seine Methodik, seine konsequente Verwirklichung
methodischer Prinzipien, vor allen seine Stellung in der Geschichte der Mathematik
anhand einiger Ausschnitte seines Werkes anzudeuten. Ebenso kann ich über sein
Leben und seine Persönlichkeit nur wenig sagen. Dafür kann ich glücklicherweise auf
die schöne Ausstellung verweisen, die Herr Harborth zusammengetragen hat, und auf
die inhaltsreiche kleine Biographie im KatalogS).
Ich möchte Sie zudem um Nachsicht bitten, wenn es mir nicht immer gelingt, über
das Werk eines modernen Mathematikers so zu sprechen, daß es zugleich für alle
verständlich und für die Mathematiker nicht langweilig ist. Auch muß ich historisch
und mathematisch auf manche Feinheit verzichten, um in Kürze das Bild zu skizzieren
vom Werk eines großen Mathematikers an einer historischen Wende der Mathematik.
Ich will drei Grundmotive der Mathematik Dedekinds herausstellen, seine Auffassung der Zahlen und der mathematischen Begriffe als freie Schöpfungen des
menschlichen Denkens, die Begriffsbildung als zentrales Moment der mathematischen
Forschung und die Mengenbildung, "System"-Bildung, wie Dedekind sagt, als Methode zur Bildung neuer Begriffe.
Er schreibt: "Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie
dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. "6)
Die Zahlen hält er "für einen unmittelbaren Ausfluß der reinen Denkgesetze ", für
"gänzlich unabhängig" von den "Anschauungen des Raumes und der Zeit"?).
Das Zentrum der Dynamik in der Entwicklung der Mathematik sind für ihn die
Begriffe. Mit Gauss sagt er, daß mathematische Wahrheiten nicht aus Bezeichnungen,
sondern aus Begriffen geschöpft werdenS). Die Bezeichnungen, die Darstellungs4) Edwards, H. M., "The Genesis of Ideal Theory", Arch. Hist. Exact Sei. 23 (1980), 321-378,
hier 321, 346 ff.
5) Gerke, K. und H. Harborth, "Zum Leben des Braunschweiger Mathematikers Richard
Dedekind", Brunswiek 1031 - Braunschweig 1981, Festschrift zur Ansstellung, Braunschweig 1981,657-694.
6) Dedekind, R., Gesammelte mathematische Werke, hg. von R. Fricke, E. Noether u. O. Ore,
3 Bde, Braunschweig 1930-32 (im folgenden zitiert als "Werke"), hier Bd. III, 335.
7) Ebd.
8) Werke H, 54.
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Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen
21
formen sind zufällig, die Begriffe aber müssen die innersten Eigenschaften der Gegenstände erfassen.
"Die Einführung eines solchen Begriffs, als eines Motivs für die Gestaltung des
Systems, ist gewissermaßen eine Hypothese, welche man an die Natur der Wissenschaft stellt; erst im weiteren Verlauf antwortet sie auf dieselbe; die größere oder
geringere Wirksamkeit eines solchen Begriffes bestimmen seinen Wert oder Unwert."9)
An die Begriffe stellt er höchste Anforderungen, hier wird seine Prinzipien treue
nahezu dogmatisch, darum aber historisch umso wirksamer. Die Liste der von Dedekind geschaffenen Begriffe bleibender Bedeutung ist lang, der Körperbegriff gehört
dazu, der des Dedekindschen Schnittes und der Idealbegriff.
Seine Methode der Begriffsbildung ist im Wesen axiomatisch-mengentheoretisch
und damit Grundlage der modernen Mathematik. Er sieht die "Schöpferkraft" des
menschlichen Geistes in der Fähigkeit:
"aus bestimmten Elementen ein neues Bestimmtes, ihr System zu erschaffen, das notwendig von jedem dieser Elemente verschieden ist. "10)
Diesem Prinzip, der Systembildung, Mengenbildung als Mittel zur Schaffung und
als Basis zur inneren Charakterisierung mathematischer Begriffe begegnen wir in
seinem Werk an den entscheidenden Stellen immer wieder.
Für die Zeitgenossen gar nicht selbstverständlich war es, daß Dedekind dabei
kurzerhand unendlich viele Elemente zu einem System zusammenfaßt, so einen neuen
Begriff bildet, und dann mit diesem aktual-Unendlichen ganz ohne Bedenken umgeht. Ich muß noch hinzufügen, daß Dedekind vor allem algebraisch denkt. Das bedeutet, er schaut auf die Operationen wie das Addieren, Multiplizieren, Dividieren
und orientiert sich an ihren Eigenschaften. So kommt er zu den modernen Begriffen
der Algebra.
Die Elemente der Dedekindschen Mathematik, die ich herausgestellt habe, sind
auch Motive der Mathematik des 19. und 20. Jahrhunderts insgesamt. In Dedekind
kommen sie in sehr spezifischer Weise zusammen. Er wird damit zum systematisch
denkenden Architekten einer neuen Landschaft der Mathematik, die bis zur Mitte des
Jahrhunderts durch erste Pfade erschlossen war. Er rekonstruiert als Grundlagenforscher ein vertrautes Gebiet im neuen Geiste, das System der Zahlen. Und er konstruiert ein ganz neues Gebiet, die algebraische Zahlentheorie.
Heute sehen wir die Zahlen ganz selbstverständlich als ein hierarchisch gestuftes
System, dessen Zusammenhänge und Strukturen streng bestimmt sind. Richard Dedekind hat diesen Aufbau als eine Folge von Schöpfungsakten des Denkens verstanden,
9) Werke III, 429 (Habilitationsvortrag 1854).
10) Werke III, 343 (Vorwort zur 3. Auf!. von" Was sind und was sollen die Zahlen"). Zur Dedekindschen Methode der Begriffsbildung vg!. Mehrtens, H., "Das Skelett der modernen
Algebra - Zur Bildung mathematischer Begriffe bei Richard Dedekind", in Scriba, C.J.
(Hg.) Disciplinae Novae. Zur Entstehung neuer Denk- und Arbeitsrichtungen in der Naturwissenschaft, Göttingen 1979,25-43.
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Rerbert Mehrtens
und an wichtigen Stellen streng durchgeführt. Er hat eine mengen theoretische Begründung der natürlichen Zahlen veröffentlicht, "Was sind und was sollen die
Zahlen"l1). Es geht ihm hier darum, zu zeigen, daß die Zahlen nicht wie es den Anschein hat, durch eine innere Anschauung einfach gegeben sind, sondern aufgrund
bestimmter Denkfähigkeiten erst erworben werden. Von solchen elementaren Denkoperationen ausgehend baut er die natürlichen Zahlen systematisch auf. Dedekinds
Begründung ist Anfang unseres Jahrhunderts durch die Peano-Axiome ersetzt worden. Seine Schrift allerdings war ein bedeutender Beitrag zur entstehenden Mengentheorie und Grundlagenforschung.
Zur Schöpfung der negativen und damit der ganzen Zahlen finden sich Notizen in
Dedekinds Nachlaß12). Den Übergang zu den rationalen Zahlen erwähnt er nur beiläufig. Bei diesen Schritten sind es nach Dedekind die "indirekten" Operationen, die
auf die Neuschöpfung führen. Die direkten Operationen, Addition und Multiplikation, sind im Bereich der natürlichen Zahlen immer ausführbar, nicht immer aber ist
das Ergebnis der Subtraktion oder der Division natürlicher Zahlen eine natürliche
Zahl. Wollen wir diese Unvollkommenheit beseitigen, müssen wir die Begriffe der
negativen Zahl, der Null, und der gebrochenen Zahl "schöpfen". Und so erhalten wir
die erweiterten Systeme, in denen die gleichen Rechengesetze in neuer Vollständigkeit gelten. Schon in seiner Dissertation 1852 betont Dedekind, daß es in der Mathematik immer wieder die Unvollkommenheiten bei der Ausführung indirekter Operationen sind, die die Einführung neuer Begriffe erzwingen und so die fruchtbarsten
Entwicklungen bringen 13).
Wir haben bisher die vier arithmetischen Grundoperationen behandelt. Fügen wir
als weitere algebraische Operation das Potenzieren hinzu, so sprengt die zugehörige
indirekte Operation, das Wurzelziehen, wiederum das bisher erreichte System. Die
Wurzel aus zwei ist nicht durch einen Bruch darzustellen, sie ist eine irrationale Zahl.
Und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist imaginär; wir gelangen so zu den komplexen Zahlen. Aber: mit solchen algebraischen Erweiterungen kommen wir nicht
menr auf das ganze System der reellen oder komplexen Zahlen. Wir erhalten nur
eir.~n Teil, die sogenannten algebraischen Zahlen. Oberhalb der rationalen Zahlen
sp,utet sich die Mathematik sozusagen auf. Zu dem was der Algebra zugänglich ist,
kOlllmt ein geometrisch-analytisches Element. Der Schritt von den rationalen zu den
reeden Zahlen, mit denen alle Punkte der Zahlengeraden erfaßt werden, führt im
Wurtsinn auf eine neue Stufe des Unendlichen. Diesen Übergang hat Dedekind in
seiner Arbeit "Stetigkeit und irrationale Zahlen"14) behandelt. Ich werde das Probltm und die Lösung im folgenden näher erläutern und historisch einordnen. Danach
werde ich Wurzeln und Entwicklung der Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
und den Idealbegriff behandeln.
11)
12)
13)
14)
VgI. Anm. 6.
Cod. Ms. Dedekind III, 4 (Anm. 2).
Werke I, 1.
Stetigkeit und Irrationale Zahlen (1872), Werke 111, 315-334.
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Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen
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Die Entwicklung des Zahlensystems ist natürlich historisch nicht so gradlinig und
logisch verlaufen wie in der Dedekindschen Rekonstruktion. Die Griechen, die die
wissenschaftliche Mathematik schufen, kannten im Grunde nur die natürlichen
Zahlen und ihre Verhältnisse, das heißt die positiven rationalen Zahlen. Daneben
standen die geometrischen Größen, die, über das Bild der Zahlengraden vermittelt,
unseren rellen Zahlen entsprechen. Unser Zahlensystem mit der Dezimalschreibweise
und dem mathematischen Überbau der komplexen Zahlen entstand langsam seit dem
Ausgang des Mittelalters. Indisch-arabischer Einfluß, mathematische Reflexion und
die Bedürfnisse des Handels und Finanzwesens spielten dabei ihre Rolle. Als Dedekind seine Arbeit zur Begründung der reellen Zahlen veröffentlichte, wurde ihm
vorgehalten, daß er doch die Lösung der Griechen nur in neuen Worten wiederhole 15). Er hält dagegen, daß die Lösung der Griechen die Zahlen mit Größenverhältnissen identifiziert und sich damit auf die unsichere Basis der geometrischen Anschauung beruft 16).
Was haben die Griechen, von denen ich gesagt habe, daß sie kein entwickeltes
Zahlensystem besaßen, denn nun getan? Der frühesten großen mathematischen
Schule der Griechen, den Pythagoräern, galt das Motto "Alles ist Zahl", und das heißt
natürliche Zahl. Das Studium der Zahlen und ihrer Verhältnisse war Philosophie,
Ontologie. Es sollte Einblick geben in die Grundstrukturen des Seins. Im fünften vorchristlichen Jahrhundert wurde aber eine Entdeckung gemacht, die ein Skandal war
für diese Philosophie. Man fand, daß die Seite und die Diagonale des Quadrates kein
gemeinsames Maß hatten. Man besaß ein Verfahren, mit dem man für zwei gegebene
Strecken in endlich vielen Schritten den Maßstab finden konnte, der beide Strecken
ohne Rest ausmißt. So kam man zu einem rationalen Zahlenverhältnis. Am Quadrat
aber bricht dies Verfahren nicht ab, man kann es unendlich lange fortsetzen, ohne den
Maßstab zu finden. Das Verhältnis ist irrational, ist nicht "Zahl" im Sinne der Pythagoräer. Im Sinne Dedekinds wäre jetzt eine Erweiterung des Zahlenbegriffs fällig
gewesen, die dieses neue, geometrische Unendlich einfängt. Aber die philosophischen
Bindungen der Griechen führten auf einen anderen Weg. Größen und Zahlen wurden
strikt getrennt, die Geometrie als Wissenschaft der Größen war nun die wahre Mathematik, Algebra und Zahlentheorie wurden vernachlässigt. Und Eudoxos entwickelte
eine Theorie der Größenverhältnisse, die irrationale Verhältnisse einschloß. Diese
Theorie ist der Dedekinds eng verwandt, aber sie ist eben keine Theorie der reellen
Zahlen, sondern eine Größenlehre.
Die Trennung zwischen Größen und Zahlen schliff sich schon im arabischen
Mittelalter ab, beide Begriffe wurden synonym gebraucht. Das Problem aber, daß die
Grundlage in der Geometrie zu suchen ist, blieb unbearbeitet und weitgehend auch
ungesehen. Im 19. Jahrhundert wurden auch die Grundlagen der euklidischen Geo-
15) Vgl. Dedekinds Briefwechsel mit Lipschitz, Werke III, 464-481, ergänzt bei Dugac, P.,
Richard Dedekind et les fondements des mathematiques, Paris 1976, 215-220.
16) Auch in der Arbeit selbst, vgl. Werke III, 321 f., vgl. auch Mehrtens (Anm.lO), 29 f.
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Herbert Mehrtens
metrie in Zweifel gezogen. Um so mehr Anlaß, die Begründung des reellen Zahlensystems als Grundlage der wichtigsten Teile der Mathematik neu zu bedenken.
Dedekind stand mit seinem Versuch, die reellen Zahlen streng zu begründen, nicht
allein, seine Lösung allerdings ist einzigartig. Er geht aus von den Eigenschaften der
rationalen Zahlen und vergleicht sie dann mit der geraden Linie. Diese, stellt er fest,
ist unendlich viel reicher an "Punktindividuen" als das Gebiet der rationalen Zahlen
an "Zahlenindividuen" 17). Es gilt also, das Instrument der rationalen Zahlen so zu
verfeinern
"durch eine Schöpfung von neuen Zahlen der Art, daß das Gebiet der Zahlen dieselbe
Vollständigkeit oder, wie wir gleich sagen wollen, dieselbe Stetigkeit gewinnt wie die
gerade Linie."18)
Die Grundidee ist, daß die Linie sich an jedem Punkt in zwei Hälften teilen läßt.
Das gleiche können wir mit den rationalen Zahlen tun, die sich ja auf der Zahlengeraden anordnen lassen, nur daß da Lücken bleiben. Jede solche Teilung der rationalen Zahlen nennt er einen "Schnitt". Für jede rationale Zahl gibt es einen Schnitt,
darüberhinaus aber Schnitte, die keiner rationalen Zahl entsprechen. Man überträgt
nun das Rechnen mit Zahlen auf die Schnitte. Statt mit der Zahl zu rechnen, die einen
Schnitt erzeugt, rechne ich mit allen Zahlen, die kleiner sind als diese Zahl, zugleich.
Ich will das nicht ausführen, aber hier ist ein charakteristischer Trick der Algebra, das
Operieren mit einzelnen Elementen wird auf ganze Klassen solcher Elemente übertragen. So kann man auch mit Schnitten rechnen, zu denen keine Zahl existiert. Wenn
nun nachgewiesen ist, daß die Rechengesetze gelten und daß die Menge der Schnitte
dieselbe Stetigkeit hat wie die gerade Linie, kann Dedekind die Schnitte als den neuen
Zahlbereich definieren. Jeder Schnitt wird mit einer Zahl identifiziert. So ist durch die
Konstruktion die Existenz der irrationalen Zahlen gesichert. Der Vergleich mit der
Linie diente nur als Hilfskonstruktion, die Anschauung hat keine begründende Funktion mehr.
Hier sehen wir also Dedekinds Philosophie und Methode. Er will die Berufung auf
die Anschauung ausschalten, streng mathematisch konstruierend die Begriffe erschaffen. Der schöpferische Schritt von gegebenen wohlbestimmten Elementen zu
ihrem System wird hier mehrfach vollzogen. Von den rationalen Zahlen geht er über
zu ihrem System. Daraus entstehen durch die Teilungen des Systems neue wohlbestimmte Elemente, die Schnitte. Und die werden schließlich wieder zum System
zusammengefaßt, sie ergeben das System der reellen Zahlen. Das Problem, daß in der
Konstruktion sozusagen ein zweites Unendlich eingefangen werden muß, wird in der
doppelten Systembildung gelöst. Das System der rationalen Zahlen ist ein erstes, ein
abzählbares Unendlich. Die Menge der Schnitte in diesem System führt uns eine Stufe
der Unendlichkeit weiter, in das Kontinuum. Diese Begriffe stammen übrigens nicht
von Dedekind, sie sind Teil der Mengentheorie, die von Dedekinds Freund und Kol-
17) Werke I1I, 32l.
18) Werke III, 322.
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Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen
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legen Georg Cantor, zeitweilig in enger Zusammenarbeit mit Dedekind geschaffen
wurde '9 ).
Ich komme nun zur Theorie der ganzen algebraischen Zahlen 20 ). Dedekind selbst
hat darauf hingewiesen, daß der Grundbegriff seiner algebraischen Zahlentheorie, das
"Ideal", dem des Schnitts verwandt ist. Der Aufgabe, eine einheitliche Theorie der
ganzen algebraischen Zahlen aufzubauen, die sich aus sicheren und klar definierten
Grundbegriffen entfaltet, hat sich Dedekind 1856 zugewandt 21 ). Erst 1871 veröffentlichte er die Theorie als Anhang zur zweiten Auflage der von ihm herausgegebenen
Vorlesungen über Zahlentheorie seines Lehrers Dirichlet 22 ). Die dritte Auflage
brachte eine breitere, neue Fassung des Anhangs, die vierte Auflage 1894 dann das
endgültige berühmte "XI. Supplement". Aber Dedekind arbeitete weiter bis kurz vor
seinem Tode an einer fünften Auflage. Der Gegenstand hat ihn sein Leben lang begleitet. Er betont immer wieder, wie viel Arbeit ihn diese Theorie gekostet hat:
"Obgleich damals das zu erreichende Ziel stets klar vor mir lag, so ist es mir doch
erst nach wirklich unsäglichen Anstrengungen gelungen, Schritt für Schritt vorwärts
zu kommen ( ... ). Ich hatte fortwährend das Gefühl, an einer Leiter zu hängen mit der
Furcht, dass es mir nicht mehr gelingen würde die folgende Sprosse zu erreichen ... "23)
Um anzudeuten, worum es geht, muß ich wieder ein wenig historisch ausholen.
Die Zahlentheorie der Pythagoräer ist uns in einigen Büchern von Euklids Elementen
überliefert. Es ist im wesentlichen die Theorie der Teilbarkeit der natürlichen Zahlen.
Die Primzahlen werden definiert, die sich durch keine Zahl außer der Eins ohne Rest
teilen lassen, und es wird bewiesen, daß es unendlich viele solcher Primzahlen gibt.
Bei Euklid findet sich auch ein Äquivalent zum zentralen Satz von der eindeutigen
Primfaktorzerlegung. Der besagt, daß sich jede natürliche Zahl eindeutig als ein Produkt von Primzahlen bzw. Primzahlpotenzen darstellen läßt. Diesen Satz auf der
höheren Ebene der algebraischen Zahlen zu beweisen, war das Ziel Dedekinds. Mit
Hilfe des Idealbegriffs ist es ihm gelungen, und so kann dieser Satz in gewisser Weise
als Symbol des mathematischen Schaffens von Richard Dedekind stehen.
Der Weg dorthin läßt sich am roten Faden eines zahlentheoretischen Problems
andeuten. Der Satz des Pythagoras hat ein zahlentheoretisches Äquivalent: Gibt es
ganze Zahlen, für die die Gleichung
a 2 + b 2 = c2
19) Briefwechsel Cantor-Dedekind, hg. von E. Noether u. J. Cavailles, Paris 1937, Ergänzun-
20)
21)
22)
23)
gen bei Dugac (Anm.15), 223-262, vgl. auch Grattan-Guinness, 1., "The Rediscovery of the
Cantor-Dedekind Correspondence", Jber. DMV 76 (1974),104-139.
V gl. dazu vor allem Edwards (Anm.4), für den weiteren Zusammenhang Novy, L., Origins
of Modern Algebra, Prag 1976.
Werke I, 110.
Lejeune-Dirichlet, P. G., Vorlesungen über Zahlentheorie, hg. und mit Zusätzen versehen
von R. Dedekind, Braunschweig, 2. Aufl.1871, 3. Aufl.1879, 4. Aufl., 1894, repr. New York
1968.
Werke 111, 466.
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gilt? Schon die BabyIonier hatten vor den Griechen die Lösung in Form von Tafeln
solcher Zahlentripel.
abc
3 4
5
6 8 10
7 24 25
8 15 17
Bei den Griechen ist es nach dem Abbruch der algebraischen Tradition erst wieder
Diophant im dritten Jahrhundert, der solche Art Aufgaben systematisch behandelt.
Von hier führt die Tradition in die frühe Neuzeit. Pierre Fermat schrieb seine berühmte Vermutung an den Rand seiner Diophant-Ausgabe. Er behauptete, daß die
verallgemeinerte Gleichung
an + bn=~
nicht in ganzen Zahlen zu lösen ist, wenn n größer als zwei ist. Der wunderbare Beweis, den er zu besitzen behauptete und den er nur nicht niederschrieb, weil der Rand
des Buches nicht genügend Platz bot, ist bis heute nicht gefunden. Das Problem aber
hat dazu geführt, daß immer neue Hilfsmittel ersonnen wurden. Eines dieser Hilfsmittel sind die ganzen algebraischen Zahlen.
Die komplexen Zahlen mit den imaginären Wurzeln aus negativen Zahlen wurden systematisch eingeführt, als sie als Hilfsmittel zum Lösen algebraischer Gleichungen unentbehrlich wurden. Sie verbreiten sich rasch in der Mathematik, blieben
aber imaginär im Wortsinn; den Mathematikern waren sie bis zum 19. Jahrhundert
eingebildete, fingierte Größen ohne reale Existenz, mit einem Wort von Leibniz "eine
Art Amphibium zwischen Sein und Nichtsein"24). Auch in der Zahlentheorie waren
sie Hilfsmittel. Und weil es hier um ganze Zahlen ging, waren es auch komplexe
Zahlen mit ganzen Koeffizienten, die benutzt wurden. Das sind von Gauß so genannte
ganze komplexe Zahlen. Wie die vertrauten ganzen Zahlen sind sie in sich geschlossen
mit den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation. Ähnlich wie das imaginäre i = V=I als Lösung der algebraischen Gleichung x2 = -1 zusammen mit den
ganzen Zahlen den Bereich der ganzen komplexen Zahlen hervorbringt, erzeugen
andere Probleme andere solche Bereiche, die ebenfalls algebraisch in sich geschlossen
sind.
Ein Anlaß, solche Bereiche ganzer algebraischer Zahlen systematisch zu untersuchen, d. h. ihre Teilbarkeitsverhältnisse zu bestimmen und die Zerlegbarkeit in
Primelemente zu untersuchen, gibt die Fermatsche Vermutung. Die Gleichung läßt
sich nämlich zerlegen in ein Produkt
an + b n = (a + b) (a +rb) (a+r 2 b) '" (a +rn-1b)
wobei der Faktor r durch eine algebraische Gleichung bestimmt ist, nämlich r n-1 +
n2
r - + ... +r+ 1 = O. Wenn nun für die Bereiche der ganzen algebraischen Zahlen, die
24) Gericke, H., Geschichte des Zahlbegriffs, Mannheim 1970, 67.
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hier auftreten, der Satz von der eindeutigen Primfaktorenzerlegung gilt, könnte man
die Fermatsche Vermutung beweisen. Grund genug also, die Zahlentheorie dieser
Bereiche zu studieren 25 ).
Wir sind jetzt fast bei Dedekind, aber ich muß zuvor noch eine Grundvoraussetzung seiner Arbeit betonen. Bis gegen 1800 waren die imaginären Zahlen etwas
irreales. Erst dann findet Gauß die Zahlenebene als ein "materielles Substrat" dieser
Zahlen. Und, das ist entscheidend, er sagt, daß allein die Möglichkeit, ein solches
Substrat anzugeben, ausreicht, die komplexen Zahlen als gleichberechtigte Gegenstände der Mathematik anzuerkennen. Will man eine abgerundete, schöne mathematische Theorie, kann man darauf nicht verzichten 26 ). Und hier liegt der Wandel.
Die mathematische Theorie ist der Bezugspunkt, nicht mehr die natürlich gegebenen
Objekte der Mathematik wie Zahlen, meßbare Größen und der Anschauungsraum.
Dieser Wandel spielt sich überall in der Mathematik ab. Erst jetzt wird das freie
Schöpfen der mathematischen Begriffe möglich. Eine Theorie ist mit ihren Begriffen
dann akzeptabel, wenn sie sich logisch-mathematisch absichern läßt. Von solchen
Prinzipien geht Dedekind aus. Daher auch seine Bemühung, Anschauung aus den
Grundlagen zu vertreiben, daher seine Freiheit in der Begriffsbildung.
Wir sollten auch nicht vergessen, daß sich dies in der Zeit der industriellen und
politischen Revolutionen abspielt. Die neu strukturierte bürgerliche Gesellschaft
schuf der Wissenschaft einen neuen Status, in dem sie sich autonom entfalten konnte.
Nicht zufällig kommt die Autonomie des wissenschaftlichen Denkens dazu, die Ablösung von philosophischen und theologischen Bedingungen, in der Mathematik die
Trennung von der über eine ideale Anschauung vermittelten natürlichen Welt. So
wurde aus der Mathematik der Zahlen, der meßbaren Größe und des natürlichen
Raumes die Mathematik der Strukturen und Begriffe. Auch wenn im Grundlagenstreit des 20. Jahrhunderts um den Bezug der Mathematik zur Wirklichkeit debattiert
wurde, blieb diese Freiheit der Methodik vorherrschend.
Ernst Eduard Kummer, 19 Jahre älter als Dedekind, studierte jene Bereiche
ganzer algebraischer Zahlen, die für die Fermatgleichung interessant waren. Nachdem
er die Methoden der klassischen Zahlentheorie auf mehrere solcher Bereiche übertragen konnte, stieß er auf einen Fall, in dem der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung nicht mehr gilt. Hier lassen sich plötzlich ganze Zahlen auf mehrere
Arten als Primzahlprodukte darstellen. Wir haben also wieder den Fall, daß eine
Theorie durch ein mathematisches Phänomen gesprengt wird. Im Sinne Dedekinds ist
die Schlußfolgerung klar. Ein neuer Begriff muß gebildet werden, um hier Ordnung
zu schaffen. Kummer gelang es, durch den Begriff der "idealen Faktoren" den Zerlegungssatz zu retten. Der erhoffte Beweis der Fermatschen Vermutung war nicht zu
25) Es geht hier nicht um mathematische oder historische Genauigkeit. Natürlich spielen andere
Probleme und andere Teilgebiete der Mathematik auch ihre Rolle, vgL Novy (Anm. 20) und
Edwards, H. M., Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number
Theory, New York 1977.
26) Gericke (Anm. 24),77 f.
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retten. Die algebraische Zahlentheorie war jedoch inzwischen selbständig geworden.
Aber nicht alle Bereiche ganzer algebraischer Zahlen waren untersucht, Ordnung war
damit noch nicht so recht geschaffen. Auch wenn der Weg durch die Idee der idealen
Faktoren vorgezeichnet war.
Richard Dedekind und Leopold Kronecker machten sich daran, die allgemeine
Theorie aller Bereiche ganzer algebraischer Zahlen zu entwickeln. Das Programm war
klar. Dedekind schreibt:
" ... es kann sich meiner Ansicht nach nur um die Art der Begründung, d. h. um die
Einführung derjenigen Begriffe handeln, die wirklich zu diesem Ziele führen; mir
wenigstens ist dieses Ziel, die Herstellung der allgemeinen Gesetze der Teilbarkeit
der ganzen algebraischen Zahlen von Anfang an ( ... ) klar gewesen. "27)
Dedekind untersucht die algebraischen Strukturen, bringt sie auf Begriffe und
kommt so auf die gewünschte strenge, ausnahmslose Theorie. Kronecker, sein Konkurrent, dagegen geht konstruktiv-rechnerisch vor, er ist viel mehr Zahlentheoretiker,
während Dedekind im Grunde die moderne Algebra vorbereitet 28 ).
Der erste Schritt Dedekinds ist eine klare Definition der ganzen algebraischen
Zahlen. Der zweite wird durch den Begriff des Körpers ermöglicht. Ein Körper ist ein
Gebilde, das gegen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen
ist. Die rationalen Zahlen bilden den kleinsten, die komplexen den größten Zahlenkörper. Das ist Dedekinds Definition. Weil er im Rahmen der komplexen Zahlen
arbeitet, hat er größere Abstraktheit gar nicht nötig. Zu jedem in sich geschlossenen
Bereich ganzer algebraischer Zahlen gehört ein entsprechender Körper, der diesen
Bereich umfaßt. So wird die Vielfalt der Bereiche ganzer algebraischer Zahlen durch
das System der algebraischen Körper zwischen rationalen und komplexen Zahlen
strukturiert. Wieder ist also ein sehr kraftvoller Begriff durch Systembildung geschaffen worden 29 ).
Um jetzt die Teilbarkeitstheorie für die ganzen Zahlen dieser algebraischen Zahlkörper zu entwickeln, führt Dedekind den Begriff des Ideals ein. Kummer hatte die
Teilbarkeit durch ideale Faktoren definiert, nicht die idealen Faktoren selbst. Dedekind kritisiert diese Art der Definition 30). Und er betrachtet statt des idealen Faktors
das System aller Zahlen, die durch einen solchen Faktor teilbar sind. Damit hat er ja
alles erfaßt, was Kummers Begriff enthält. Also wieder der Schritt zum System, zum
Begriff. Statt der Zahlen, ob ideal oder real, nimmt man die Menge aller ihrer Vielfachen, ihr Ideal. Man kann sich das an den natürlichen Zahlen veranschaulichen.
Wenn ich sage, sechs ist durch zwei teilbar, so ist das das Gleiche wie die Aussage, alle
Vielfachen von sechs sind auch Vielfache von zwei, oder noch mehr im Sinne der
Idealtheorie: die Menge der Vielfachen von 6 ist in der Menge der Vielfachen von 2
27) Dugac (Anm. 15), 160 f.
28) Zum Verhältnis Dedekind-Kronecker vgl. Edwards (Anm. 4), besonders 368-372, und Purkert, W., Die Entwicklung des Körperbegriffs, Diss. Leipzig 1972, 97-103.
29) Zur Geschichte des Körperbegriffs vgl. Purkert (Anm. 28).
30) Am klarsten in der französischen Fassung der Theorie (1877), Werke III, 268 ff.
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enthalten. Wie beim Dedekindschen Schnitt kann man nun das Rechnen mit Zahlen
auf ein Rechnen mit Idealen übertragen. Die Zahlentheorie wird zur Idealtheorie.
Und so geht Dedekind vor, er gibt scharfe Definitionen seiner Begriffe, geht ganz
selbstverständlich mit unendlichen Mengen um und gibt sich größte Mühe, die Sätze
der Theorie aus den inneren Eigenschaften der Begriffe herzuleiten. Schließlich kann
er den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung allgemein beweisen:
"Jedes von 0 (dem Ideal aller ganzen Zahlen des Körpers) verschiedene Ideal ist
entweder ein Primideal, oder es läßt sich, und zwar nur auf eine einzige Weise, als ein
Produkt von Primidealen darstellen."31)
Cl
= ~1 ~2~3"
'~"' oder
Cl = ~;' ~~2 ~~3 ..
,
•
Zu Anfang schien es, als würden nur Dedekind und Kronecker gegenseitig ihre Arbeiten lesen. Aber trotz der Mühen, die die Zeitgenossen mit der Abstraktheit der
Dedekindschen Mathematik hatten, war seine Theorie am Ende des Jahrhunderts
wohlbekannt. Die Bezeichnungen "Ideal" und "Hauptideal" haben viele Mathematiker aber bis heute als befremdlich empfunden. Ein bedeutender Idealtheoretiker,
Wolfgang Krull, allerdings sah die Sache aus einem anderen Aspekt. Für ihn sind die
Ideale "Gebilde, die einem - vom mathematischen Standpunkt aus gesehen - ästhetischen Ideal ihre Einführung verdanken". Und er fügt hinzu:
"Daß im übrigen zu mindestens bei Dedekind der ästhetische Standpunkt eine
sehr große Rolle spielte, ergibt sich aus dem einen Umstand, daß er den von ihm gefundenen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie jahrelang nicht veröffentlichte,
trotzdem er einen logisch vollkommen einwandfreien Beweis besaß. Aber dieser Beweis schien ihm nicht durchsichtig genug, er genügte seinen ästhetischen Forderungen
nicht. "32).
Diese ästhetische Deutung hat ihre Berechtigung, denn Dedekinds methodische
Prinzipien führen zu einem einheitlichen Stil seiner mathematischen Arbeit. Es ist der
Stil der modernen Algebra.
Der Schritt zur modernen Algebra, der in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts vollzogen wurde, lag in der Ablösung der Begriffe und Strukturen von den
Zahlen. Körper und Ideale bestehen jetzt aus nicht näher bestimmten Elementen mit
Operationen, deren Eigenschaften axiomatisch festgelegt werden. Die algebraischen
Zahlkörper sind dann spezielle Fälle dieser abstrakten Begriffe. Dedekind selbst hat
diesen Schritt vorbereitet und an verschiedenen Stellen auch vollzogen. Die Ablösung des Idealbegriffs von den Zahlen vollzieht er, als er zusammen mit Heinrich
Weber die Begriffe der Idealtheorie auf die ganzen algebraischen Funktionen überträgt 33 ). Und zur vollen Abstraktion kommt er im Begriff der "Dualgruppe", heute
31) Werke III, 128 f.
32) Krull, W., "Über die ästhetische Betrachtungsweise in der Mathematik", Sitzungsber. d.
Phys. Med. Sozietät Erlangen 61 (1929), 207-220, hier 217.
33) "Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen" (1882), Werke I, 238-349.
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Verband genannt, die er um 1900 in zwei Arbeiten behandelt 34). Dieser Begriff bezeichnet wiederum eine algebraische Struktur mit gewissen Operationen.
Allerdings sind die wohlbestimmten Elemente nicht Zahlen, sondern selbst Körper, Ideale, ja eigenschaftslose Mengen. Es ist sozusagen ein Begriff auf einer noch
höheren Stufe. Die Verschiedenheit der möglichen Elemente von Verbänden führt
dazu, daß Dedekind in völliger methodischer Sicherheit diese Struktur ganz abstrakt
behandelt.
Diese beiden Arbeiten blieben unbeachtet. Sie wurden erst dreißig Jahre später
wiederentdeckt, als all die abstrakt algebraischen Entwicklungen, die in Dedekinds
Theorie enthalten sind, sich allgemein verbreitet hatten. Es war dies die Blütezeit der
modemen Algebra. Der führende Kopf war Emmy Noether in Göttingen. Sie pflegte
zu sagen, "Es steht alles schon bei Dedekind"3S). Unter anderem aufgrund ihrer Vorlesungen schrieb B.L. van der Warden sein Lehrbuch "Modeme Algebra", das 1930/
1931 erschien und heute ein Klassiker der Disziplin ist 36).
Die algebraische Zahlentheorie im engeren Sinne ist nicht direkt dem Weg Dedekinds gefolgt. Der berühmte "Zahlbericht"37) von Hilbert 1897 war schon eine Synthese aus dem Werk Kroneckers und Dedekinds, wesentlich erweitert durch Hilbert
selbst. Hieran knüpfte alle weitere Entwicklung.
Eine andere Frage ist die nach der Entwicklung der Grundlagenfoschung, nach
dem Schicksal von Dedekinds Philosophie der Mathematik. Die mengentheoretische
Basis der Mathematik setzte sich rasch und gründlich durch. Dedekinds Gedanke von
der Verankerung in elementaren Denkgesetzen wurde als Psychologismus verworfen.
An seine Stelle trat die Absicherung der Grundlagen durch formale Axiomatik. Diese
Lösung hatte Dedekind in gewissem Sinne selbst mit vorbereitet. Der bedenkenlose
Umgang mit unendlichen Mengen führte in der Mengenlehre selbst auf Widersprüche,
entzündete einen Grundlagenstreit, blieb aber, nach formal-axiomatischer Absicherung, allgemeines Verfahren der Mathematik.
Im gleichen Jahr, als van der Waerdens "Moderne Algebra" erschien, setzte eine
Veröffentlichung von Kurt Gödel der Grundlagenforschung einen entscheidenden
Einschnitt38). Gödel bewies, daß jedes formale System, das so reichhaltig ist, daß es
die klassische Zahlentheorie umfaßt, unvollständig ist insofern, als es in diesem
System Aussagen gibt, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen. Damit ist der
34) "über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler" (1897), Werke H,
103-147, "Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe" (1900), Werke H, 236-271.
Vgl. dazu Mehrtens, H., Die Entstehung der Verbandstheorie, Hildesheim 1979, besonders
Kap. 2.
35) Waerden, B. L. van der, "Geleitwort", in Dedekind, R., Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, Braunschweig 1964, iv. Es handelt sich dabei um eine Separatausgabe des
XI. Supplements zu Dirichlets Vorlesungen (Anm. 22).
36) Waerden, B. L. van der, Moderne Algebra, 2 Bde, Berlin 1930-31, seit der vierten Auflage
1955 unter dem Titel Algebra.
37) Hilbert, D., "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", .Jber. DMV 4 (1894/95) (erschienen 1897), 175-546.
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Weg Dedekinds in gewissem Sinne abgebrochen. Er wollte ja aus elementaren Denkgesetzen, sozusagen durch ein formales System aufbauend auf elementarer Logik, die
ganze auf Zahlen bezogene Mathematik begründen. Ein solches System aber, das hat
Gödel bewiesen, kann nicht die ganze Welt der Aussagen über Zahlen erfassen. Sie ist
so reichhaltig, daß sie mit unseren formal-mathematischen Mitteln nicht vollständig
zu erschließen ist.
Zugleich aber ist das Gödelsche Theorem und die darauf aufbauende Entwicklung
auch eine Bestätigung der Philosophie Dedekinds. Denn es zeigt sich, daß jedes formale System sich als arithmetische Theorie fassen läßt. In diesem Sinne, im formallogischen Denken, sind die Zahlen fundamental. Hier sind wir "Zahlen-Menschen".
Ich will zum Abschluß einige Worte zum Menschen Richard Dedekind sagen, der
nicht nur Mathematiker war. Mich hat er zu Anfang vor allem wohl fasziniert, weil in
seinen Werken die Kraft einer einheitlichen, vollen Persönlichkeit zu spüren ist. Die
Zeugnisse über sein Privatleben verstärken diesen Eindruck. "Unendlich bescheiden,
liebenswürdig, mittheilsam", so charakterisiert ihn ein Kollege 39). Diese Züge kennzeichnen auch seine Briefe, sein Verhältnis zu Kollegen. Es gibt Abweichungen dort,
wo er zäh und fast dogmatisch in der Mathematik seine Standpunkte verteidigt, wie er
auch im privaten Bereich lieber bescheiden sich selbst zurücknimmt, einem Thema
ausweicht, als daß er von seinem Standpunkt abweicht. Hier kommt eine Eigenschaft
zum Ausdruck, die mich am stärksten beeindruckt hat, die Konstanz seiner Persönlichkeit, etwas emphatisch gesagt, seine Beständigkeit. In der Wissenschaft blieb er
seinen Prinzipien und seinem Gegenstand, den Zahlen, treu bis zum Ende seines
Lebens.
Gefunden hat er diesen Boden in seinen Göttinger Jahren als Privatdozent. "Hier
in Göttingen ist der zweite Theil meiner Erziehung vollendet" schreibt Dedekind in
einem Brief40 ). Dirichlet, sein Freund und Lehrer, war für diese Erziehung bestimmend, und Dedekind schreibt später voller Dankbarkeit:
"Ich fühle mich ihm so verpflichtet, wie kaum einem anderen Menschen; täglich,
wenn ich meinen Schülern in unumstößlicher Sicherheit und Schlagfertigkeit gegenüberstehe, bedenke ich, dass ich das ihm verdanke. Mein Gehirn habe ich zwar auch
genug angestrengt, aber ich zweifle doch, ob ich je genug Energie dazu gehabt hätte,
wenn nicht dieser einzige Mensch so in mein Schicksal eingegriffen hätte."41)
Daß Dedekinds Hauptwerk immer ein Supplement zu Dirichlets Vorlesungen geblieben ist, mag ein Ausdruck dieser beständigen Verbundenheit sein.
38) Gödel, K., "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme I", Monatshefte f. Math. u. Physik 38 (1931),173-198. Für eine eindrucksvolle
popularisierende Darstellung des Gödelschen Resultats und seiner Implikationen für die
Grenzen und Möglichkeiten formaler Systeme und künstlicher Intelligenz vgl. Hofstadter, R.,
Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, New York 1979.
39) H. A. Schwarz in einem Brief an Weierstrass, Dugac (Anm. 15), 144.
40) An seine Schwester Julie 1857, Scharlau, W., "Aus Briefen Richard Dedekinds an seine
Familie", Ms.1981, 11.
41) Brief an die Schwester Mathilde 1859, ebd. 14 f.
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Rerhert Mehrtens
Jener zweite Göttinger "Teil seiner Erziehung" war eine Erweiterung, kein Umbruch seiner Entwicklung. Seinem Elternhaus, seiner Heimatstadt, seinen Bindungen
der frühen Jahre ist er ebenso treu geblieben. Aus Göttingen und Zürich schrieb er
während der zwölf Jahre, die er von Braunschweig fort war, regelmäßig mit viel Liebe
und Offenheit Briefe an seine Familie, immer abwechselnd an die Schwestern und die
Eltern42 ). Als er dann 1862 an das Polytechnikum seiner Heimatstadt zurückgekehrt
war, widmete er sich mit viel Energie und Ausdauer nicht nur der Lehre und der Forschung, sondern auch der Entwicklung der Hochschule. Sicher wäre er gern in die
wissenschaftlich viel anregendere Atmosphäre einer Universität gekommen, doch die
Treue zur Heimat und zur Familie war stärker. In seinen Ablehnungsschreiben ist der
offizielle Grund durchweg das gebotene Gehalt, aber aus Anlaß einer Berufung nach
Halle schreibt er an Georg Cantor:
"Vor allem versichere ich Sie nochmals, dass, da die Gehaltsfrage sich vermutlich
hätte regeln lassen, meine Ablehnung nur den einzigen Grund hat, den ich Ihnen angegeben habe. Es ist mir immer deutlicher geworden, dass ich mich unmöglich von
meiner jetzt zweiundachtzigjährigen Mutter trennen kann, die bei vollkommener
geistiger Frische den Mittelpunkt unseres Familienglücks bildet, und Jeder, der unsere
Verhältnisse kennt, ist derselben Meinung. "43)
Die Bindung an die Familie war tief. Dedekind war nie verheiratet, er lebte bis zu
deren Tode 1914 mit seiner Schwester Julie zusammen. Zwei Jahre nach ihr starb er
selbst.
Auch seiner Musik ist er treu geblieben. Er war ein guter Cellist, hat sich dann in
Göttingen gezwungen, das Quartettspiel aufzugeben, um Zeit zur Arbeit zu haben 44 ).
Immer aber, bis zu seinem Lebensende, hat er Klavier gespielt. Daß auch hier sein
Geschmack früh gefestigt und dann beständig war, schilderte der Freund und Kollege
Hans Sommer, der selbst als Komponist sich an der neuen Musik Wagners orientierte 4S ). Dedekind aber fand Wagner abstoßend, zum mindesten langweilig. Zwischen Sommer und Dedekind wurde über diese Musik nicht mehr gesprochen. Er
selbst blieb seinen Lieblingskomponisten von Mozart bis Schumann treu.
Auch über Politik, schreibt Sommer, wurde nicht gesprochen, weil man verschiedener Meinung war. Wenn sich in seinen Briefen auch fast keine politischen Äußerungen finden, erscheint Dedekind doch als ein Konservativer, geprägt auch von den
liberalen Elementen seiner Heimat und Jugend. In einem Brief schreibt er 1867, in
dem Jahr der Gründung des norddeutschen Bundes:
"Es ist immer recht angenehm, der siegenden Partei anzugehören, und bei den
Wandlungen der letzten Jahre ist es mir klar geworden, das in dieser Annehmlichkeit,
42) Die Briefe befinden sich im Privatbesitz von Frau Ilse Dedekind, Auszüge bei Scharlau
(Anm.40).
43) Dugac (Anm.15), 247.
44) Brief an die Schwester Mathilde 1855, Privatbesitz, teilw. bei Scharlau (Anm. 40),3 f.
45) Zincke, H. (genannt Sommer), "Erinnerungen an Richard Dedekind", Braunschweigisches
Magazin 22 (1916), 73-81.
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Richard Dedekind - Der Mensch und die Zahlen
33
bewusst oder unbewusst, für viele Menschen der einzige Regulator ihrer Meinungen
enthalten ist. In Erwartung einer besseren Zeit, wo man den absoluten Militärstaat
nicht mehr für die höchste und glücklichste Entwicklung unseres politischen Lebens
halten wird, ziehe ich mich vorläufig von dem doch unfruchtbaren Streit zurück."46)
Auch an dieser Stelle ein Rückzug vom Streit der Meinungen, zugleich der Unterton, daß sich an der siegreichen Partei zu orientieren seine Sache nicht ist. Ein
Verehrer Preußens war er gewiß nicht, er war Braunschweiger, ein wenig provinziell
vielleicht, aber angesichts des preußischen Militär- und Obrigkeitsstaates auf sehr
angenehme Art.
Ein merkwürdiger Zug Dedekinds soll noch erwähnt werden, seine Buchführung
des eigenen Lebens. Er schrieb regelmäßig Tagebücher, ein spätes ist erhalten und in
der Ausstellung zu sehen47 ). Anhand dieser Tagebücher wohl hat er die genauen
Daten erhalten, die in seinen Werken und Schriften immer wieder zu finden sind, und
die als Prioritätsanspruch mißverstanden wurden 48 ). Mir scheint, daß es Dedekind vor
allem darum ging, seine mathematischen Prinzipien verständlich zu machen, und die
Geschichte seiner eigenen Arbeit ist ein Stück davon. Darum erzählt er sie, und die
"Buchführung" des eigenen Lebens mag ihm ein Mittel gewesen sein, die Einheit
seiner Persönlichkeit zu stärken. Denn, will man ihn charakterisieren, bei allem
Respekt vor der Eigenart und den Geheimnissen eines fremden Lebens, so ist vielleicht der Ausdruck Hans Sommers am geeignetsten:
"Einer in sich gefesteten Familie entsprossen, war seine Persönlichkeit gefestet
durch Erziehung sowohl, wie durch eigene Anschauungen und unerschütterliche
Grundsätze. Hohe Gaben des Geistes und des Herzens, auch seltene Liebenswürdigkeit und Menschenfreundlichkeit waren ihm zu eigen. Über alles aber: Er ist stets sich
selber treu geblieben. "49)
46) Dugac (Anm.15), 171.
47) Gerke/Harborth (Anm. 5),690.
48) Z. B. durch Hilbert, vgl. Dugac (Anm.15), 270 f.
49) Zincke (Anm.45), 81.
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Ringe mit distributivem Faktorverband
Von Pani M. Cohn, London
1. Dedekind hat zwei Arbeiten über Verbände geschrieben [5,6]; wenn man sie
liest, sieht man wie gut wir es heute haben mit der graphischen Darstellung von Verbänden. Z.B. stellt er den kleinsten nichtmodularen Verband und den kleinsten
modularen nichtdistributiven Verband durch Tabellen dar, während wir heute den
ganzen Tatbestand bequem aus den folgenden Diagrammen entnehmen:
Abb.l
Abb.2
Dedekind's Arbeiten enthalten keinerlei Abbildungen; es ist erstaunlich, wie weit er
trotzdem die Untersuchung trieb, indem er z.B. die freien distributiven und modularen Verbände mit 3 Erzeugenden (mit 18, bzw. 28 Elementen) bestimmte. Ich will
hier nicht näher auf all seine Resultate eingehen, möchte aber doch seine Bezeichnungsweise kurz erwähnen, weil sie auf die ursprünglichen Anwendungen hinweist.
Wir haben folgenden Diktionär:
Verband
modular
distributiv
Dualgruppe
vom Modultypus
vom Idealtypus.
Also Dedekind würde sagen, daß die ganzen Zahlen hinsichtlich der Teilbarkeit eine
Dualgruppe vom Idealtypus bilden, während wir von einem distributiven Verband
sprechen. Allgemeiner trifft dies zu für die Ideale eines Zahlkörpers, oder sogar in
irgendeinem Dedekind-Ring (d.h. ZPI-Ring). Am einfachsten läßt sich das so einsehen: In einem Dedekind-Ring bilden die gebrochenen Ideale eine Verbandsgruppe,
und jede Verbandsgruppe ist notwendig distributiv ([3], S. 294). Dagegen ist der
Idealverband im Polynomring k[x,y] nicht distributiv, wohl aber der Verband der
Hauptideale.
Bevor ich zu meinem eigentlichen Thema komme, will ich nur kurz folgende Frage
stellen: Welche distributiven Verbände kommen hier vor? Um Unendlichkeitsfragen
zu vermeiden, sehen wir uns den Verband aller Teiler einer festen Zahl m an, also den
Faktorverband von m. Hier werden durchaus nicht alle distributiven Verbände verwirklicht, z. B. <r. kommt nicht vor. Um den Sachverhalt zu beschreiben, erinnern wir
an folgende Dualität (Anti-Äquivalenz) von Kategorien. Es sei DL die Kategorie der
endlichen distributiven Verbände (und Homomorphismen) und POS die Kategorie
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Paul M.Cohn
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der endlichen teilweise geordneten Mengen. Dann ist DL == POsop vermittels der Abbildungen:
P ~ p* Verband der unteren Abschnitte,
L~ L* Menge der vereinigungsirreduziblen Elemente.
(Vgl. [4], Kapitel 4). Z.B. der Verband'; entspricht der Menge A , und der freie
distributive Verband (vgl. [8], S. 58) entspricht der Dreizack-Krone \:)(XJ .
Nun läßt sich leicht zeigen
Satz 1 ([1], [4], 5.167) In jedem faktoriellen Ring sind die den Faktorverbänden entsprechenden Mengen gerade die Unionen von Ketten.
Beispiel: 720 = 24 . 32 . 5
!!
0
Wir wenden uns jetzt dem nichtkommutativen Fall zu; hier zeigt sich, daß alle endlichen distributiven Verbände als Faktorverbände auftreten.
2. Wenn man allgemein einen kommutativen Integritätsbereich R betrachtet, so
definiert die Teilbarkeit auf R eine vorgeordnete Menge. Sei U die Gruppe der Einheiten, dann ist R/U geordnet, und wir können fragen, wann R/U ein Verband ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn Rein HCF-Ring (= GGT-Ring) ist. Da dieser Verband automatisch in einer Verbandsgruppe liegt, ist er notwendig distributiv.
Wir sehen uns jetzt den nichtkommutativen Fall an; hier geht die Gruppeneigenschaft jedenfalls verloren. Nehmen wir 0 'i'! cER, so lassen sich die Linksteiler von c
teilweise ordnen, und entsprechend die Rechtsteiler: Ist c = al b 1 = a2b2' dann ist
Hierauf beruht das Prinzip der faktoriellen Dualität ([4], S.119):
L(cR,R) == L(Rc,R)OP,
wo L(cR,R) den Verband der Rechtshauptideale zwischen cR und R bezeichnet, und
entsprechend für L(Rc,R). Um einen Verband zu erhalten, muß man natürlich wieder
die Existenz vom GGT voraussetzen, aber der Verband braucht dann noch nicht
modular zu sein, geschweige denn distributiv. Die Modularität folgt, wenn L(cR,R)
ein Teilverband des Verbands aller Rechtsideale ist, z. B. sobald die Summe je zweier
Rechtshauptideale wieder Rechtshauptideal ist; laut Definition ist dies ein BezoutBereich. Diese Ringklasse läßt sich wesentlich erweitern, wenn man nur verlangt, daß
die Summe von je zwei Rechtshauptidealen mit nichttrivialem Durchschnitt Rechtshauptideal ist; dies genügt ja, um die Modularität von L(cR,R) zu erzwingen. Die so
definierten Ringe heißen schwache Bezout-Bereiche oder auch 2-Firs.
Wir betrachten also jetzt 2-Firs, oder etwas spezieller Firs. Ein Fir (= Freiidealring) ist ein Ring R, in dem jedes (Rechts- oder Links-)Ideal frei als Modul über dem
Ring ist, mit wohlbestimmtem Rang.
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Ringe mit distributivem Faktorverband
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3. In einem kommutativen Ring sind zwei Elemente stets linear abhängig über
dem Ring: ab - ba = O. Daher ist ein kommutativer Fir einfach ein Hauptidealbereich, und selbst die nichtkommutativen Hauptidealbereiche sind noch Firs, aber
das erschöpft diese Klasse bei weitem noch nicht. Insbesondere ist jede freie Algebra
k<X> mit freiem Erzeugendensystem X über einem Körper kein Fir, sowie das freie
Produkt von Körpern K:L. All diese Ringe haben also modularen Faktorenverband
und die Frage erhebt sich: Wann ist der Faktorenverband distributiv?
Man sieht leicht, daß ein Hauptidealbereich nur dann distributiven Faktorverband
hat, wenn er invariant ist (d.h. alle Ideale sind zweiseitig, vgl. [4], S.155). Nun hat
man folgende interessanten Sätze von Bergman ([1], vgl. [4], S.167):
Satz 2. Jede freie Algebra k<X> hat distributiven Faktorverband.
Genauer hat man
Satz 3. Jeder endliche distributive Verband kommt als Faktorverband in k<X> (für
genügend großes X) vor.
Hier genügt es lxi gleich der Breite des Verbandes zu nehmen. Z.B. der freie distributive Verband mit drei Erzeugenden entspricht dem Element in k<x,y,z>:
Etwas allgemeiner kann man für jeden Schiefkörper K mit zentralem Unterkörper k
den freien Tensor K-Ring Kk<X> erklären als freien K-Ring mit ErzeugendenSystem X und definierenden Relationen
ax = xa für x E X, a
E k.
Dieser Ring ist stets ein Fir (vgl. [4], Kapitel 2), hat aber i.a. nicht distributiven Faktorverband. Und zwar läßt sich zeigen [2]:
Satz 4. Sei E/k eine kommutative echte Körpererweiterung.
(i) Wenn E/k eine Galoiserweiterung ist, so hat Ek<X> nicht distributiven
Faktorverband,
(ii) wenn E/k rein inseparabel ist, so hat Ek<X> distributiven Faktorverband.
Wenn E/k separabel aber nicht Galois ist, oder wenn E nichtkommutativ ist, so ist die
Antwort nicht bekannt.
Der Beweis von (i) benutzt eine Zerlegung von Ek<X> in ein freies Produkt von
schiefen Polynomringen, während (ii) mit Hilfe der Bergman'schen Koproduktsätze
bewiesen wird (vgl. [2]).
Um ein Beispiel für Satz 4 zu geben, benutzen wir folgenden
Hilfssatz. Ein 2-Fir hat distributiven Faktorverband gen au dann, wenn keine Gleichung der Form
(I)
ax - yaz = 1,
mit einer Nichteinheit a gilt.
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Der Beweis beruht darauf, daß die Gleichung (1) einem Diagramm wie in Abb. 2 entspricht ([4], S.153, und auch [2]).
Sei jetzt E=k(a), wo a 2 =aEk, aber alj:k (und Char. k~2). Wir setzen y=
x-a- 1xa, dann ist ay=-ya, also (y+a)a+a(y+a)= 2a, und hieraus leitet man
leicht eine Gleichung (1) für die Nichteinheit y+a ab.
In Charakteristik p ~ 0 nehmen wir E = k(a), wo a Wurzel der Gleichung
xP-x=a ist (aEk), und a nicht in k liegt. Setzt man y=LP~1(a+1rixai, so gilt
ay = y(a+ 1), also hat man
(y+a)(a+ 1) - a(y+a) = a,
woraus wieder eine Gleichung (1) folgt.
4. Ich will noch etwas über den Beweis von Satz 2 sagen, ohne auf alle Einzelheiten
einzugehen. Der Satz ist durchaus nicht trivial; ich vermutete ihn etwa 1963, konnte
ihn aber nicht beweisen. Ich fand aber andere Bedingungen für Distributivität, mit
deren Hilfe es G.M. Bergrnan 1966 gelang, den Satz zu beweisen. Es ist zweckmäßig, eine zwischen den Firs und 2-Firs stehende Klasse zu betrachten, die Semifirs.
Sie sind definiert als Ringe, in denen jedes endlich erzeugte (Rechts- oder Links-)
Ideal frei ist, von eindeutig bestimmtem Rang.
Wir brauchen noch einige weitere Definitionen. Es sei A eine beliebige Matrix
über einem Ring R, dann wird der innere Rang g(A) von A definiert als die kleinste
Zahl r derart, daß sich A als PO schreiben läßt, wo P eine Matrix mit r Spalten ist.
Insbesondere, wenn A quadratisch, etwa nxn ist, und g(A) = n, so wird A voll genannt. Wenn eine Matrix A aus R in einem R enthaltenden Körper invertiert werden
kann, so muß A in R voll sein; umgekehrt hat ein Semifir stets einen Ouotientenkörper U, in dem jede volle Matrix invertiert werden kann. U ist eindeutig bestimmt
(bis auf Isomorphie) und wird universeller Quotientenkörper für R genannt.
Ein Semifir R heißt konservativ, wenn R k-Algebra ist, und (i) Rund R ®kk(t)
Semifirs sind, und (ii) jede volle Matrix von R[ t] über R ® k( t) voll bleibt. Es ist nicht
schwer zu zeigen, daß k<X> konservativ ist, und Bergman konnte zeigen, daß jeder
konservative Semifir distributiven Faktorverband hat.
Nun führten kürzlich Dicks und Sontag [7] eine Verallgemeinerung des SemifirBegriffs ein, weIcher eine unerwartete Rolle für den Bergmanschen Satz 2 spielt. Sie
betrachteten Ringe mit der Eigenschaft, daß ein sie enthaltender Körper existiert, in
dem jede volle Matrix invertiert werden kann. Diese Ringe wurden Sylvester-Ringe
genannt, weil sie auch durch das Gelten des Sylvesterschen Nullitätsgesetzes:
g(AB)
~
g(A) + g(B) - n, wo A E rRn, B E nR s
gekennzeichnet werden. Offenbar ist jeder Semifir ein Sylvester-Ring (nach dem vorher gesagten), weiterhin, wenn P Hauptidealbereich ist, so ist P<X> Sylvester-Ring,
z. B. k[t]<X> = k<X>[t]. Jetzt hat man folgende Verallgemeinerung von Satz 2
(vgl. [2]).
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Ringe mit distributivem Faktorverband
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Satz 5. Es sei Rein Semifir, dann folgt aus jeder der unten genannten Eigenschaften die
nächste:
(a) R ist ein konservativer Semifir,
(b) Rft} ist ein Sylvester-Ring,
(c) R ist ein Semifir mit distributivem Faktorverband.
Beweisskizze. a,* b. R®k(t) ist ein Semifir, hat daher einen universellen Quotientenkörper U. Jede volle Matrix von R[t] ist nach Voraussetzung voll über R®k(t), also
invertierbar über U, daher ist R[t] ein Sylvester-Ring.
b '* c. Wir setzen (b) voraus und betrachten eine Gleichung der Form (1) (im
Hilfssatz): ax-yaz = 1. In R[t] hat man
(2)
a(tz+x) - (t+y)az = 1.
Nun ist ein Sylvester-Ring projektiv-frei [7], d. h. jeder projektive Modul ist frei, also
lassen sich die Zeile (a,t +y) und die Spalte (!':tzx) zu gegenseitig inversen Matrizen
ergänzen:
t+ y ),
g
-f)
q ,wo f,g,p,q E R[t].
A- 1 = (tz+x
-az
Es gilt aza = qp, also haben p, q Grad 0 in 1. Weiterhin ist
(3)
af = (t+y)q,
p(tz+x) = gaz.
Ein Gradvergleich zeigt, daß f,g linear in t sind. Wir setzen
f=f 1t+f o, g=g1t+gO'
fbgiER,
dann führt (3) auf af 1 = q, p = g1a, also
t+Y)=(l
g
g1
t+ y ) (a
.,.g
0
0)1 .
Somit ist a Einheit, und (c) ist bewiesen.
Keine von den beiden Implikationen läßt sich umkehren. Wenn (b) gilt, braucht
R ® k(t) kein Semifir zu sein (man nehme R = E<X>, wo E nicht algebraisch über k
ist). Für b '* c brauchten wir nur die Tatsache, daß R Semifir und R[t] 2-projektiv-frei
ist, also ist eine Umkehrung nicht zu erwarten.
Literaturverzeichnis
[1] G.M. Bergman, Commuting elements in free algebras and related topics in ring theory
(Thesis, Harvard University 1967).
[2] G. M. Bergman and P. M. Cohn, to appear.
[3] G. Birkhoff, Lattice theory, 3rd ed., Amer. Math. Soc. (Providence 1967).
[4] P.M. Cohn, Free rings and their relations, LMS monographs No. 2, Academic Press (London, NewYork 1971).
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40
Paul M.Cohn
[5) R. Dedekind, Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler, Festschrift techno Hochschule Braunschweig, 69. Vers. Deutscher Naturforscher u. Ärzte (1897)
1-40, No. XXVIII, Ges. Werke, H, 103-147.
[6) R. Dedekind, Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Math. Ann. 53 (1900) 371403. No. XXX, Ges. Werke, H, 236-271.
[7) W. Dicks and E.D. Sontag, Sylvester domains, J. pure and applied Algebra 13 (1978)
243-275.
[8) G. Grätzer, Generallattice theory, Birkhäuser Verlag (Basel 1978).
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Komposition binärer quadratischer Formen
Von Martin Kneser, Göttingen
Gauß hat in seinen Disquisitiones Arithmeticae die Frage beantwortet, wann sich
eine ganzzahlige quadratische Form durch eine bilineare Substitution in ein Produkt
zweier quadratischer Formen transformieren läßt. Dedekind hat in seinen Supplementen zu Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie den Zusammenhang mit
Moduln in quadratischen Zahlkörpern hergestellt. Spätere Autoren haben diese
Begriffe auf andere Klassen von Ringen übertragen (s. [1] und die dort angegebene
Literatur), wobei die Definition der eigentlichen Äquivalenz einige Komplikationen
verursacht und Ringe, in denen 2 Nullteiler ist, nicht behandelt werden.
Die folgenden Ergebnisse zeigen, daß mit Hilfe von Clifford-Algebren die Komposition binärer quadratischer Formen über beliebigen kommutativen Ringen in einfacher Weise und ganz analog zu Dedekinds Konstruktion im klassischen Fall behandelt werden kann. Beweise finden sich in [2].
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, M ein binärer quadratischer R-Modul, d. h.
ein projektiver R-Modul vom Rang 2 mit quadratischer Form q,
ker(M) = {x
E
Mlq(x+y) = q(y) für alle y E M}.
Alle weiteren Überlegungen beruhen auf der einfachen Bemerkung, daß die gerade
Clifford-Algebra C+(M) in natürlicher Weise auf M operiert, und daß M dadurch zu
einem invertierbaren Modul über C+(M) wird, falls q primitiv ist, d.h. wenn das von
q(M) erzeugte Ideal Rq(M) gleich·R ist. Unter einer Kompositionsabbildung zwischen
quadratischen Moduln M" M2, M mit Formen q" q2, q verstehen wir eine bilineare
Abbildung f.-t: M, X M 2 ~ M, die q(f.-t(X"X2» = q,(X,)q2(X2) erfüllt.
Satz 1. Ist f.-t eine Kompositionsabbildung zwischen primitiven binären quadratischen
Moduln M"M 2,M, und ist ker(M i) = 0, so gibt es eindeutig bestimmte Homomorphismen Yi: C+(Mi) ~ C+(M) derart, daß
(*)
f.-t( c,x" C2X2)
gilt für Xi
E
Mb Ci
E
= Y, (c, )Y2(C2)f.-t(X" X2)
C+(MJ,
Ist C eine quadratische R-Algebra, und ist ein Isomorphismus C+(M) ~ C gegeben (wodurch M zu einem C-Modul wird), so sagen wir, M sei vom Typ C. Sind
weiter Mi vom Typ Ci und Yi: Ci ~ C Homomorphismen quadratischer Algebren, so
heißt eine Kompositionsabbildung f.-t vom Typ (y" Y2), falls (*) für Xi E Mb Ci E Ci gilt.
Satz 2. Zu gegebenen primitiven binären quadratischen Moduln Mi vom Typ Ci und
Homomorphismen Yi: Ci ~ C gibt es einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten
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Martin Kneser
primitiven binären quadratischen Modul vom Typ C und eine Komposition
~:M1 XM 2 ~ M vom Typ (Y1,Y2)'
Satz 3. Die Isomorphieklassen primitiver binärer quadratischer Moduln vom Typ C
bilden eine abelsche Gruppe G(C), und es gilt eine exakte Sequenz
C x ~ R x ~ G(C) ~ Pic(C) ~ Pic(R),
wo die beiden äußeren Pfeile durch die Norm n : C ~ R induziert sind.
Literatur
[1] J. Towber, Composition of oriented binary quadratic form-classes over commutative rings,
Advances in Math. 36 (1980) 1-107.
[2] M. Kneser, Composition of binary quadratic forms, erscheint im J. of Number Theory.
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
Von Max-Albert Kous, Zürich
Die Gründung der Schule
Das erste Projekt eines gesamtschweizerischen Polytechnikums stammt aus der
Zeit der Helvetischen Republik. In seiner Botschaft vom 18. November 1798 beantragte P.A. Stapfer (1766-1840) "ein allumfassendes Institut, worin alle nützlichen
Wissenschaften und Künste in möglichster Ausdehnung und Vollständigkeit gelehrt
und durch die vereinten Nationalkräfte von den reichsten Hülfsmittel umringt würden" (1). Die Anstalt sollte die Vorteile der 1795 in Paris gegründeten Ecole polytechnique mit den Vorzügen der traditionellen deutschen Hochschulen vereinen.
Diese kühne Utopie war allerdings nur in der von Frankreich abhängigen zentralistischen Republik denkbar, geriet aber bald wieder in Vergessenheit. Erst bei der Bundesrevision um 1848 bekam die Idee einen neuen Auftrieb. Durch eine neue Bundesverfassung wurden die Schweizer Kantone zu einem ihnen übergeordneten Staat verbunden. In dieser Verfassung war die Möglichkeit vorgesehen, eine eidgenössische
Universität und eine polytechnische Schule zu errichten. Obwohl das Land mehrere
kantonale Universitäten aufwies, mußten die Fachkräfte, für eine sich rasch entwikkelnde Industrie, im Ausland ausgebildet werden.
1854 wurde die Gründung eines Polytechnikums durch die Bundesversammlung
knapp beschlossen. Hingegen war die Idee einer eidgenössischen Universität für die
sehr föderalistische Schweiz immer noch unannehmbar.
Die neue Anstalt war, wie ihr damaliges Modell, die 1825 gegründete TH Karlsruhe, in Fachschulen aufgegliedert: Bauschule, Ingenieurschule, Mechanisch-Technische Schule, Chemisch-Technische Schule und Forstschule. Auf eine Vorschulung
wurde jedoch verzichtet. Das Polytechnikum in Zürich war die erste Schule mit einem
ausgesprochenen Hochschulcharakter. Zu den Fachschulen kam noch die sogenannte
6. Abteilung, an der die mathematischen und Naturwissenschaften, Literatur, neue
Sprachen, Geschichte, Kunstgeschichte, Nationalökonomie und Rechte gelehrt
wurden. An dieser Abteilung wurde weiter die Möglichkeit geboten, sich zum Lehrer
für höhere Schulen, speziell für technische Anstalten, ausbilden zu lassen. Im Gegensatz zu den Fachschulen war für diese Abteilung kein organisierter Lehrgang vorgesehen.
Die Lehrerschaft gliederte sich in Professoren, Hilfslehrer und Privatdozenten.
Die Gehälter der Professoren setzten sich aus einer festen Besoldung und einem
Honorar der Studenten zusammen. Die Privatdozenten erhielten keine feste Besoldung. Ihre Rechte und Pflichten waren dieselben wie an den deutschen Universitäten.
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44
Max-Albert Knus
In der Regel wurden Privatdozenten nur an der 6. Abteilung zugelassen.
Oberste Behörde war der Bundesrat. Diesem unterstand direkt der Schulrat, welcher sich aus einem Präsidenten und vier Mitgliedern zusammensetzte. Dieser war mit
der eigentlichen Führung der Schule betraut. Die Ernennung der Professoren und die
Festsetzung ihrer Gehälter war Angelegenheit des Bundesrates, wobei dem Schulrat
das ausdrückliche Recht der Antragstellung zukam. Dem Schulrat oblag die Wahl des
Direktors der Schule (heute Rektor) und der Vorstände der Abteilungen.
Im Oktober wurden 32 Professuren und 9 bis 12 HilfslehrersteIlen ausgeschrieben.
Die Anstellungsbedingungen waren im Vergleich sehr bescheiden. Das SpitzenJahresgehalt war vom Bundesrat auf 5000 Fr. begrenzt worden. Dennoch gingen 189
Anmeldungen ein, davon 113 aus deutschen Staaten. Ausschlaggebend waren eher
die politischen Verhältnisse in den Nachbarstaaten nach dem Zusammenbruch der
revolutionären Bewegungen von 1848/49. Einige seiner berühmtesten Lehrer gewann
das Polytechnikum aus den Reihen der politisch Verfolgten.
Nach einem Jahr war der Lehrkörper nahezu vollständig, und das Programm
konnte auf allen Stufen ausgebaut werden. Die Schule war auf Gebäude an verschiedenen Orten der Stadt verteilt. Erst 1864 konnte das imposante, von Semper entworfene Hauptgebäude am Zürichberg bezogen werden.
Der erste Präsident des Schulrates, Johann Konrad Kern, übernahm nach zwei
Jahren den Posten eines Gesandten in Paris. Sein Nachfolger wurde der bekannte
Thurgauer Richter Carl Kappeier. Dieser hatte sich bereits als Mitglied der Bundesversammlung für die Schaffung der Lehranstalt stark eingesetzt. Sein neues Amt als
Schulratspräsident bekleidete er mehr als dreißig Jahre und erfüllte seine zahlreichen
Pflichten in hervorragender Weise und mit scheinbar unerschöpflicher Energie. Insbesondere war er stets bemüht, für die Schule die besten Leute zu gewinnen. So besetzte er oft einen Lehrstuhl durch einen jungen, noch nicht voll entfalteten, aber
vielversprechenden Gelehrten, und es gelang ihm auf diese Weise, Lehrkräfte vom
Ruf eines Dedekind, H. A. Schwarz, Frobenius zu gewinnen. Frobenius war zur Zeit
seiner Berufung nach Zürich erst 25 Jahre alt, Dedekind und Schwarz erst 26 Jahre.
Schwieriger war es dann, solch ausgezeichnete Kräfte auf längere Zeit hinaus in
Zürich festzuhalten. Bei der Berufung von Christoffel nach Berlin, 1868, mußte Kappeler schon zum vierten Mal für die Besetzung der Hauptprofessur für Mathematik
besorgt sein. Er sagt denn auch: "Es wird zu einer Sache, die den zunächst Verantwortlichen in wahre Angst versetzt, immer wieder neue Kräfte zu suchen" (2).
Als Jurist war Kappeier bei der Beurteilung von Anwärtern auf Fachleute angewiesen, doch wollte er, speziell was die Lehrbefähigung betraf, sich immer auch ein
eigenes Urteil bilden. Er scheute sich daher nicht, die möglichen Kandidaten an ihrem
Wirkungsort aufzusuchen und dort in den Hörsälen zu sitzen, um sich ihre Vorlesungen anzuhören.
Für den Schulrat blieb meistens nichts anderes mehr übrig, als den immer sehr
sorgfältig vorbereiteten Anträgen des Präsidenten zuzustimmen. Ebenso kam der
Bundesrat nicht leicht dazu, anders als im Sinne Kappelers zu entscheiden.
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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Die Mathematik in den ersten Jahren
Von Anbeginn wurde an der Schule die Differential- und Integralrechnung gleichzeitig auf deutsch und französisch gelesen. Auf die Ausschreibung der entsprechenden
Professuren hatten sich 22 Bewerber gemeldet, unter denen für den deutschsprachigen Unterricht die hervorragendsten Hesse und Rosenhain waren. Der Schulrat entschied sich aber für den zu jener Zeit an der Universität Zürich wirkenden Professor
für Mathematik, Joseph Raabe (1801-1859). Die andere Professur wurde durch den
Franzosen Jean-Rene Servient (1823-1856) besetzt. Bevor dieser jedoch mit seinen
Vorlesungen beginnen konnte, starb er an einer schweren Krankheit. Sein Nachfolger
wurde Ami de Beaumont (1820-1866), dessen Wirken den Erwartungen so wenig
entsprach, daß er im August 1857 vom Schulrat aufgefordert wurde, zurückzutreten.
Der Schweizer Joseph von Deschwanden (1819-1866) übernahm die Vorlesungen in darstellender Geometrie. Gleichzeitig versah er, bis 1859, das Amt des Direktors der Schule. Außer diesen Professoren lehrten als Privatdozenten Johann Kaspar
Hug (1821-1884), Johann Gustav Stocker (1820-1889) und ab 1857 Karl Durege
(1821-1893). Stocker war zusätzlich Schulratssekretär. Nach einem Jahr wurde er
zum Professor befördert.
Zwei weitere Professoren für Mathematik waren hauptsächlich am sogenannten
"Mathematischen Vorkurs" beteiligt. Dieser wurde von 1859 bis 1881 geführt und
hatte den Zweck, Kandidaten, welche wegen mangelhaften Vorkenntnissen oder
Sprachschwierigkeiten nicht sogleich in die Fachschule aufgenommen werden konnten, auf die Fachschule vorzubereiten. Für die Mathematikvorlesungen im Vorkurs
waren Stocker und der 1859 gewählte Zürcher Johannes Orelli (1822-1885) verantwortlich.
Dedekind in Zürich
Raabe trat aus Krankheitsgründen bereits 1857 zurück, so daß die zwei Lehrstellen für höhere Mathematik wieder besetzt werden mußten. Am 18. Januar 1858
beschloß der Schulrat, die Stellen in den Zeitungen: Bundesblatt, der Bund, Neue
Zürcher Zeitung, Allgemeine Augsburger Zeitung, Kölner Zeitung, Revue de
Geneve, Journal de Geneve, Nouvelliste vaudois, Journal des Debats, Revue de I'lnstruction publique en France und in der Independance beIge in folgender Form auszuschreiben:
Schweizerisches Polytechnikum.
Es werden somit zwei Lehrstellen für theoretische Mathematik (vorzugsweise
Differential- & Integralrechnung & höhere Geometrie) mit der Verpflichtung
zu höchstens 12 wöchentlichen Unterrichtsstunden u. einem ausser dem
regelementarischen Antheil an den Schulgeldern u. Honoraren Frk. 3-5000
betragenden Jahresgehalte zu freier Bewerbung ausgeschrieben. Für die eine
der beiden Professuren besteht die Verpflichtung, in französischer Sprache
vorzutragen u. es wird von dem betreffenden Kandidaten die Kenntniss der
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46
Max-Albert Knus
deutschen Sprache nicht absolut gefordert. Aspiranten auf die eine od. andere
dieser Lehrstellen haben ihre Anmeldungen unter Beilegung von Zeugnissen
od. Diplomen und eines curriculum vitae bis zum 21. Februar d.J. an Herrn
C. Kappeier, Präsidenten des schweiz. Schulrathes in Zürich einzusenden, der
auf Verlangen nähere Auskunft über die Verhältnisse der Anstalt u. der ausgeschriebenen Lehrstellen ertheilt. Reglemente u. Programme der polyt.
Schule sind bei der Kanzlei des schweiz. Schulrathes, (Zürich, Kornamt) zu
beziehen.
Es gingen mehr als 50 Bewerbungen ein. Eine der ersten war die des jungen
Privatdozenten Julius Richard Dedekind (1831-1916) aus Göttingen. Drei Wochen
später bewarb sich auch Bernhard Riemann (1826-1866) um die Professur. Beide
bezeichneten sich als Schüler von Dirichlet. In dessen Nachlaß findet sich der Entwurf
eines Briefes an einen "Schweizerischen Hochschuldezernenten" (3), in weIchem
Dirichlet seiner hohen Wertschätzung für Riemann und Dedekind Ausdruck gibt. Als
weitere Mathematiker, die für eine Berufung in Frage kämen, nannte er noch S. Aronhold, R. Lipschitz und G. Rosenhain. Von Aronhold und Rosenhain sind die Bewerbungen noch vorhanden. Dirichlet gab Riemann "den ersten Rang". Er schrieb,
daß Riemann sich als Lehrer sehr vorteilhaft bewährt habe, aber nur Vorlesungen für
fortgeschrittene Hörer über die "höchsten Theile der Wissenschaft", nicht aber über
Gebiete für "ungeübtere" Hörer gehalten habe. Dedekind, indessen, habe in seinen
Vorlesungen sowohl elementare als auch "höhere Gegenstände" behandelt. Dedekinds Vorlesungen zeichneten sich, so fügte er hinzu, "durch Klarheit, Bestimmtheit
und Lebendigkeit" aus und hätten "den anregendsten Einfluss" auf die Hörer.
Kappeier reiste selbst nach Göttingen, um sich Vorlesungen bei beiden anzuhören.
Er fand Riemann "zu stark in sich gekehrt", um zukünftige Ingenieure zu lehren" (4).
Dedekind gefiel ihm besser. Hans Zincke, langjähriger Freund von Dedekind und sein
späterer Kollege in Braunschweig, erwähnte in seinen "Erinnerungen an Dedekind"
(5) den Besuch Kappelers in Göttingen: " ... Diesem gedeihlichen Leben und Treiben
machte gegen Ostern 1858 das A\tftauchen des schweizerischen Schulrats Kappeier
(wenn ich mich im Namen nicht irre) ein Ende, der sich über Dedekinds Gelehrsamkeit bereits hatte unterrichten lassen, nun aber als Laie seine Persönlichkeit und in
einigen Vorlesungen seine Vortragsweise kennen lernen wollte. Höchst befriedigt
davon übertrug ihm der wohlbeleibte Herr mit klug dreinblickenden Augen die Professur für höhere Mathematik am Polytechnikum zu Zürich, die Dedekind eine gesicherte Lebenshaltung gewährte, die ihm auch deswegen sehr willkommen war, weil
seiner Freude an herrlicher Natur nun in der schönen Schweiz reichliche Betätigung
ward. Dort hat er neue Freunde gefunden: besonders mit dem Mathematiker Durege,
der ebenfalls der Musik zugetan war, verkehrte er gern. Das Wesen der Schweizer,
zumal ihr Sinn für Unabhängigkeit, war ihm sympathisch: ihre staatlichen und manche
ihrer anderen Einrichtungen schätzte er sehr .... "
Am 29. März beschloß der Schulrat die Berufung von Dedekind und lud Dirichlet
ein, "sich betreffend die in jenem Beschlusse festgesetzten Bedingungen mit Hrn.
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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Dedekind in's Einverständnis zu setzen" (6). Am 3. April nahm Dedekind die Wahl
an, welche am 7. April vom Bundesrat in Bern genehmigt wurde. Das Jahresgehalt,
ohne Schulgelder und Honorare der Zuhörer, betrug Fr. 3200.-. Die Anstellung erfolgte auf unbestimmte Zeit und der Amtsantritt am 1. Mai 1858. Dedekind traf am
21. April in Zürich ein, und am 26. April, "Morgens früh um 6 Uhr" (siehe Anhang 8) hielt er seine erste Vorlesung in Zürich. Im Sommersemester 1858 übernahm
er die von Raabe angekündigten Vorlesungen, nämlich:
Elemente der Differentialgleichungen, Raumgeometrie, 7 St.;
Integralrechnung mit Anwendungen auf die Geometrie, 2 St.
In den folgenden Semestern las er:
Winter 1858/59:
Erster Teil der Differential- und Integralrechnung mit Repetitorium, 9 St.,
Repetitorium für die wichtigsten Anwendungen der Differential- und Integralrechnung, 3 St.,
Elemente der Theorie der Zahlen und der Kreisteilung, 3 St.;
Sommer 1859:
Differential- und Integralrechnung mit Repetitorium und Analytische Geometrie des Raumes, 7 St.,
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung mit Repetitorium, 3 St.,
Elemente der Theorie der Zahlen, 2 St.;
Winter 1859/60:
Erster Teil der Differential- und Integralrechnung und Analytische Geometrie
der Ebene, 9 St.,
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung auf geometrische und
mechanische Probleme, 3 St.;
Sommer 1860:
Differential- und Integralrechnung (Fortsetzung); 4 St.,
Analytische Geometrie des Raumes, 3 St.,
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung, 3 St.;
Winter 1860/61:
Erster Teil der Differential- und Integralrechnung, 9 St.,
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung, 3 St.,
Zahlentheorie, 4 St.;
Sommer 1861:
Analytische Geometrie des Raumes, 3 St.,
Differential- und Integralrechnung, zweiter Teil, 3 St.,
Mathematisches Repetitorium, 1 St.,
Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 2 St.;
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48
Max-Albert Knus
Winter 1861162:
Differential- und Integralrechnung, erster Teil, 8-9 St.,
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung, 2 St.
Die Bibliothek der ETH besitzt Notizen der letzten Vorlesung in Zürich, über Differential- und Integralrechnung, von einem Schüler (H. Berchtold) der MechanischTechnischen Schule. Der Inhalt entspricht ungefähr dem Plan seiner ersten Vorlesung
in Braunschweig (8). Wir geben eine kurze Beschreibung dieser Vorlesung:
Einleitung
§1
§2
§3
§4
§5
§6
§7
§8
§9
Vorstellung des Zahlengebiets. Geometrische Darstellung der Zahlen auf der
Geraden: positive ganze Zahlen, positive gebrochene Zahlen, rationale
Zahlen.
Dann bewies Dedekind, daß es Geradenstücke gibt, deren Länge nicht rational
ist, indem er zeigte, daß V2 irrational ist. Der Beweis ist nicht der "pythagoreische": Sei b die kleinste positive ganze Zahl mit 2b 2 = a2 , a ganz. Dann
a = b+c, c<b. Durch Einsetzen folgt (b_c)2 = 2c2. Widerspruch.
Veränderliche Größen
Rationale Funktionen
Potenz- und Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Theorie des Grenzwertes. Hier zeigt Dedekind, daß eine monoton wachsende
Folge konvergent ist.
Definition von e. Beweis der Konvergenz von (n~1)0 mit Hilfe des Konvergenzsatzes von § 6.
lim log (1 ;Ö), lim e Öö-1, lim (1 +Ö(-1, lim si~ Ö • Die verschiedenen Logarithmensysterne
Unendlich kleine Größen gleicher und verschiedener Ordnung
I. Abschnitt
§1
§2
§3
§4
§5
§6
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Beispiele aus der Mechanik
Differentiale der Potenz-, Exponentialfunktionen, logarithmischen, trigonometrischen Funktionen
Kettenregel, Produktregel für die Ableitung
Tangenten, die Normale, die Bogenlänge. Beispiel der Ellipse und Zykloide
Polarkoordinaten
11. Abschnitt
§7
§8
§9
§ 10
Höhere Ableitungen
Beziehungen zwischen den Funktionen und ihrer Derivierten
Maximum und Minimum
Konkavität und Konvexität
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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III. Abschnitt
§ 11 Reihen
§ 12 Sätze von Taylor-Maclaurin. Anwendung auf Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen
§ 13 fehlt
§ 14 Komplexe Zahlen, Rechenregeln, Graphische Darstellung, zn = 1, komplexe
Funktionen, e', sin z, logarithmische Werte
§ 15 Anwendungen des Taylorschen Satzes auf Extremalaufgaben
§ 16 Auswertung von Grenzwerten, %' ~ , 0 . 00, 1
§ 17 Krümmung, Evolute, Evolvente
0e
V. Integralrechnung
§ 18 Grundbegriffe, Probleme der Quadratur. Dedekind benützt die Definition von
Riemann ff(x)dx = lim D(Uv) (llv+l-llv), Uv beliebig im Intervall [llv, llv+d. Um
die Konvergenz zu zeigen, setzt Dedekind voraus, daß das Intervall in so kleine
Teile geteilt werden kann, daß die Schwankung der Funktion in den Teilintervallen kleiner als jede beliebig kleine Größe ist.
§ 19 Rechenregeln, Integration elementarer Funktionen, Integration durch Reihenentwicklung
VI. Abschnitt
§ 20
§ 21
§ 22
§ 23
Geometrische Anwendungen der Quadratur
Näherungsweise Quadratur, Formel von Simpson
Bestimmung des Inhaltes von Sektoren, Kurvenlängen
Oberfläche und Volumen von Rotationskörpern
Funktionen mehrerer Variablen
VII. Abschnitt. Differentiation von Funktionen von mehreren Variablen, partielle
Ableitungen, totale Differentiale
VIII. Abschnitt. Höhere Differentiale, ExtremalsteIlen, ExtremalsteIlen mit Nebenbedingungen (Lagrangescher Multiplikator)
IX. Abschnitt. Taylorsche Reihen
X. Abschnitt. Integralrechnung, Inhalt von Körpern, Flächeninhalt, Integration
vollständiger Differentiale
Differentialgleichungen
Dedekind beschränkt sich hauptsächlich auf Differentialgleichungen erster Ordnung. Er behandelt vollständige Integrale, singuläre Integrale, integrierende Faktoren, homogene Gleichungen, Einhüllende, orthogonale Trajektorien.
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Max-Albert Knus
Aus Dedekinds Zürcher Zeit stammen mehrere kleinere Arbeiten, die alle in der
Vierteljahresschrift der Zürcher Naturforschenden Gesellschaft erschienen sind (Ableitung der allgemeinen Form der Kugelfunktionen; Ueber Kreisevolventen; Ueber
die Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung; Ueber die Bestimmung der Präzision
einer Beobachtungsmethode nach der Methode der kleinsten Quadrate; Zur Theorie
der Maxima und Minima). Weiter gab er die "Untersuchungen über ein Problem der
Hydrodynamik" von Dirichlet heraus. Außerdem war, nach Dedekinds eigener Aussage (7, S. 3), seine berühmte Arbeit "Stetigkeit und irrationale Zahlen" in den
Grundzügen in Zürich entstanden.
Im Mai 1860 wurde die zuerst provisorische Stelle von Dedekind in eine auf 10
Jahre befristete, feste Stelle umgewandelt. Im August 1861 wurde seine feste Besoldung zum zweiten Mal erhöht, und zwar auf Fr. 4000.-. Trotzdem nahm er im Oktober eine Berufung an die Technische Hochschule Braunschweig, in seiner Heimatstadt, an und trat daher auf den 1. April 1862 von seiner Stelle an unserer Schule
zurück. Sein Jahresgehalt in Braunschweig betrug bei seiner Anstellung 1300 Thaler
(Fr. 4900.-).
Anfangs November 1861 wurde die Stelle Dedekinds neu ausgeschrieben. Unter
den zahlreichen Bewerbungen, die eingingen, waren auch diejenigen von A. Dronke,
G. Zehfuss, K. Durege und R. Lipschitz. Verschiedene Empfehlungen und Gutachten
(von Hesse, Plücker, Kirchhoff und F. Neumann) setzten Lipschitz (1832-1903) an
oberste Stelle. Kappeier reiste im Januar 1862 nach Bonn, um mit Lipschitz zu verhandeln. Ende desselben Monats schrieb Lipschitz in einem Brief an den Präsidenten
von seiner möglichen Berufung nach Breslau, gab aber Zürich noch den Vorrang.
Mitte Februar lehnte er eine Berufung nach Zürich ab. Das Halten der Vorlesung im
Sommersemester jenes Jahres wurde dann Durege übertragen und ihm der Titel eines
Professors verliehen. Unterdessen suchte Kappeier weiter nach einem geeigneten
Nachfolger für Dedekind, und es gelang ihm, R.F.A. Clebsch (1833-1872) und
E.B. Christoffel (1829-1900) als Bewerber zu gewinnen. Anfangs August wurde
Clebsch vom Bundesrat berufen. Dieser lehnte ab, zugunsten einer Berufung nach
Gießen. Zwei Wochen später konnte Christoffel die Nachfolge von Dedekind antreten. Sein Jahresgehalt wurde auf Fr. 4000.- festgesetzt.
Ein Jahr später wurde eine zusätzliche Professur für höhere Mathematik bewilligt
und 1865 ausgeschrieben. Es meldeten sich unter anderen K.Hattendorf, A.Dronke,
P. Du Bois-Reymond, H.Hankel und F.Prym, der letztere auf Empfehlung von Christoffel. Der Präsident seinerseits versuchte, Dedekind wieder nach Zürich zu bringen.
Dies scheiterte aus finanziellen und familiären Gründen. In seinen Briefen an Kappeler gab Dedekind auch eine Reihe von Ratschlägen für die Organisation des Unterrichtes und nannte eine Anzahl möglicher Anwärter.
Dedekind schätzte seine Zürcher Zeit sehr. In einem Brief an Frobenius, vom
19. Januar 1895 (8), schrieb er: " ... Es hat mich unter Anderem sehr erfreut zu bemerken, dass Sie Ihrem langjährigen Aufenthalte in Zürich ein gutes Andenken bewahren. Ich hänge sehr an Zürich, und deshalb hat mir die Jubelschrift des Vereins
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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ehemaliger Polytechniker ein sehr grosses Vergnügen gemacht ... " (Dedekind verfaßte eine autobiographische Skizze für diese Festschrift, die 1894 erschien.)
Nach Einführung des Promotionsrechtes (1909) wurde Dedekind zum zweiten
Ehrendoktor der ETH ernannt. Der Erste war der damalige Schulratspräsident
Robert Gnehm (1852-1926). 1896 wurde er Ehrenmitglied der Zürcher Naturforschenden Gesellschaft und 1911 Ehrenmitglied der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft.
Brief von Dedekind an Präsident KappeIer vom 24.1.1858
(Bewerbungsbrief)
Erw. Hochwohlgeboren
erlaube ich mir hiermit, veranlasst durch die in der Augsburger Allgern. Zeitung
vom 22 ten Januar d.J. enthaltene Aufforderung, meine Bewerbung um eine der beiden
mathematischen Professuren am Schweizerischen Polytechnicum zu Zürich gehorsamst einzureichen. Da ich die französische Sprache nicht in dem Masse beherrsche,
um in derselben meine Vorlesungen halten zu können, so gilt meine Bewerbung nur
der Professur, welcher Vorträge in deutscher Sprache obliegen. Mit Bezug auf jene
öffentliche Aufforderung zur Bewerbung erlaube ich mir über meine bisherige Laufbahn mitzutheilen, dass ich von meinem 16ten bis 18 ten Jahre, nachdem ich Ostern
1848 auf dem Gymnasio meiner Vaterstadt Braunschweig das Maturitätsexamen bestanden hatte, die auf dem dortigen Collegio Carolino gehaltenen Vorlesungen,
hauptsächlich über höhere Mathematik, Mechanik, Physik und Chemie besuchte,
worauf ich Ostern 1850 die hiesige Universität bezog, die seitdem mein bleibender
Wohnsitz gewesen ist. Nachdem ich zwei Jahre studiert hatte, erwarb ich Ostern 1852,
von Gauss in der Mathematik, von Hw. Professor Weber in der Physik examinirt,
durch eine mathematische Dissertation über die Euler'schen Integrale die philosophische Doktorwürde, und nachdem das gesetzliche Biennium gestrichen war,
habilitirte ich mich im Sommer 1854, durch eine Probevorlesung und ein mathematisches Colloquium mit Gauss, als Privatdozent der Mathematik an hiesiger Universität. Gegen Ende des vorigen Jahres ernannte die philosophische Facultät mich
zu ihrem Assessor. Was meine wissenschaftlichen Leistungen und meine Tätigkeit als
akademischer Lehrer anbetrifft, so darf ich vielleicht hinsichtlich der erstem auf die
beigelegten und andere im Crelle'schen Journal enthaltene Abhandlungen aufmerksam machen; über die letztere dagegen, da mir selbst kein Urtheil zusteht, würden
wohl die Herrn Professoren Weber und Lejeune-Dirichlet Auskunft über dessfalsige
Nachfragen ertheilen.
Indem ich hoffe, somit die erforderten Nachrichten über mich selbst in genügender
Vollständigkeit gegeben zu haben, verharre ich als Erw. Hochwohlgeboren
gehorsamster
R. Dedekind
Göttingen,
24 Januar 1858
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Brief von Riemann an Kappeier vom 13. 2.1858 (Bewerbungsbrief)
Hochwohlgebomer,
Hochzuverehrender Herr Präsident!
In Gewissheit der in der Augsburger allgemeinen Zeitung vom 22sten Januar d.J.
erlassenen Aufforderung erlaube ich mir, mich um die ausgeschriebene Lehrstelle für
theoretische Mathematik, welche für einen deutsch Vortragenden bestimmt ist, zu
bewerben.
Meine Studien habe ich in den Jahren 1846-1850 in Berlin und Göttingen gemacht und dort an den Vorlesungen von Jacobi, Dirichlet, Gauss, Weber Theil genommen. Seit Michaelis 1854 bin ich hier in Göttingen als Privatdozent habilitirt und
habe über Integration partieller Differentialgleichungen, bestimmte Integrale, elliptische und Abel'sche Functionen und über hypergeometrische Reihen gelesen. Im
November vorigen Jahres wurde ich zum ausserordentlichen Professor ernannt. Ich
erlaube mit gehorsamst einige von mir veröffentlichte Aufsätze beizufügen und zu
bemerken, dass die Herren Professoren Dirichlet und Weber nähere Auskünfte über
mich geben können.
In tiefstem Respect verharre ich
Göttingen, den 13ten Februar
1858
Erw. Hochwohlgeboren
gehorsamster
B. Riemann, Professor.
Antrag des Sehnlrates an den Bundesrat zur Wahl von Dedekind
vom 31. März 1858
An den Bundesrath.
Der Schweiz. Schulrath hat sich in seinen Sitzungen vom 29.-31. März unter
anderm auch mit der Frage der Wiederbesetzung der erledigten Professur für theoretische Mathematik beschäftigt und sieht sich in Folge der hierauf bezüglichen gründlichen einlässlichen Berathungen veranlasst, Ihnen nachfolgenden, einstimmig gefassten Antrag zur gefälligen Genehmigung vorzulegen:
1. Es sei Dr. R. Dedekind, von Braunschweig, gegenwärtig Privatdozent an der Universität Göttingen zum Professor für theoretische Mathematik am eidg. Polytechnikum ernannt, mit der Verpflichtung zu Vorlesungen, während höchstens 12 Stunden
wöchentlich, mit einem, ausser dem regl. Antheil an den Schulgeldern und den Honoraren der Zuhörer, 3200 Frkn betragenden Jahresgehalte, mit Anstellung auf unbestimmte Zeit und Festsetzung seines Amtsantrittes auf 1. Mai 1858.
2. Sei demselben ein vom Schulrathe zu bestimmender Beitrag an die Umzugskosten
zugesichert.
Herr Dedekind hat, nachdem er, 18 Jahre alt, das Gymnasium in Braunschweig absolvirt und das Maturitätsexamen bestanden, zuerst 2 Jahre lang die am dortigen Col-
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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legio Carolino gehaltenen Vorlesungen über höhere Mathematik, Mechanik, Physik
und Chemie besucht. Mit Ostern 1850 bezog er die Universität Göttingen. Nach 2
jährigem, den mathem. Wissenschaften gewidmetem Studium, erwarb er sich Ostern
1852, von Gauss in der Mathematik, von Weber in der Physik examinirt, durch eine
mathematische Dissertation über die Eulerschen Integrale die philos. Doktorwürde
und habilitirte sich sodann nach Ablauf des gesetzlichen Biennium's im Jahr 1854
durch eine Probevorlesung und ein math. Colloquium als Privatdozent der Mathematik an der Universität Göttingen. Zwei Jahre später wurde er in Anerkennung
seiner Leistungen als solcher zum Assessor der philos. Fakultät ernannt. Von wissenschaftlichen Arbeiten verdienen Erwähnung drei aus dem Crelle'schen Journal für
reine und angewandte Mathematik besonders abgedruckte Abhandlungen:
1) Ueber ein Eulersches Integral 1852.
2) Bemerkungen zu einer Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
3) Ueber die IrreduktibiIität der Kreistheilungsgleichungen.
Vor Allem massgebend musste uns jedoch eine gen aue Auskunft über dessen bisherige academische Wirksamkeit und seine Mittheilungsgabe als Lehrer erscheinen.
Ueber diese Punkte lagen unserer Behörde einlässliche, theils von anerkannten
Autoritäten, theils von völlig unbetheiligten und unbedingtes Vertrauen erwartenden
Personen ausgehende Informationen vor. Die diessfälligen Mittheilungen mussten um
so mehr unser Vertrauen erwecken, als dieselben mit den von unserm Präsidium an
Ort und Stelle gewonnenen Eindrücken ganz und gar übereinstimmten. Da demnach
einerseits die wissenschaftliche Tüchtigkeit nach den vorliegenden Arbeiten und den
Urtheilen der kompetenten Fachmänner unserer Zeit (Lejeune-Dirichlet und Weber)
dargethan war, anderseits nach allen Berichten und gestützt auf die ganz frisch gewonnenen Eindrücke unsers Präsidiums, das Lehrtalent, der anregende Vortrag des
Kandidaten und seine jugendfrische Begeisterung für sein Unterrichtsfach, soweit
überhaupt in solchen Dingen Sicherheit besteht, erwiesen war, so konnten wir uns
unbedenktlich zu obigem Antrag vereinigen. Wir machen auch darauf aufmerksam,
dass die Verhältnisse, zumal die Jugend des Kandidaten, und die Seltenheit der für
seine wissenschaftlichen Ansprüche passenden Lehrstellen es uns möglich machten,
in unsern Vorschlägen vorerst bloss das Minimum der Besoldung zu berücksichtigen
und zu noch grösserer Vorsicht auf bloss provisorische Anstellung abzustellen.
Indem wir Ihnen daher unsern Antrag auf Berufung von Herrn Dr. Dedekind zur
Genehmigung empfehlen und in Berücksichtigung der Ihnen bekannten Missverhältnisse im mathematischen Unterrichte auf möglichst beförderlichen Entscheid dringen,
benutzen wir den Anlass etc.
Brief von Dedekind an Kappeier vom 3.4.1858 (Annahme der Wahl)
Erw. Hochwohlgeboren
beeile ich mich anzuzeigen, dass ich mit herzlicher Freude die auf mich gefallene
\\Iahl annehme, die mir einen meinen Wünschen so entsprechenden Wirkungskreis
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Max-Albert Knus
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verheisst. Herr Professor Lejeune-Dirichlet schickte mir gestern das von Ihnen erhaltene Schreiben zu, und ich bin mit den weitem Bedingungen vollständig einverstanden; ich werde mich so viel wie möglich beeilen, glaube aber nicht, vor dem 25 ten d. M.
in Zürich eintreffen zu können, da mir noch manche Geschäfte in Göttingen obliegen,
wohin ich binnen wenigen Tagen zurückkehren werde. Sehr erwünscht würde mir jede
Nachricht über das Personal des Polytechnicums, die Vertheilung des Unterrichts
unter dasselbe u.s.w. sein, weil ich daraus am besten die Stellung der mir anvertrauten
Professur zu den übrigen erkennen würde; und möchte ich Sie daher gehorsamst
ersuchen veranlassen zu wollen, dass mir ein solches Programm, wenn es vorhanden,
zu~eschickt werde.
Es bleibt mir nur noch übrig, Ihnen, hochverehrte ster Herr, meinen herzlichsten
Dank für das Vertrauen auszudrücken, mit dem Sie mich zu dieser Stellung auserlesen haben, und welches zu rechtfertigen mein eifriges Bestreben sein wird; und so
verharre ich als
Erw. Hochwohlgeboren
Braunschweig,
gehorsamster
3 April 1858.
R. Dedekind
Brief Dedekinds an den Schulrat vom 3. 8.1858
An den Tit. schweizerischen Schulrath zu Zürich.
Mit Bezug auf den bei meiner Anstellung am hiesigen Polytechnicum mir zugesagten Ersatz von Umzugskosten erlaube ich mir, dem Tit. schweizerischen Schulrath
gehorsamst anzuzeigen, dass dieselben sich auf 300 fr. belaufen.
Gehorsamst
R. Dedekind, Dr. phil.,
Professor.
Zürich,
3 August 1858.
[Notiz von KappeIer]
Mit Rücksicht auf die bescheidene Summe ist
das Titl Kassiramt zur Bezahlung der 300 Fr
an Pr Dedekind angewiesen inc1usive der nicht vorbezahlten
Besoldung für 10 Tage in April.
Zürich 17 Aug 58!
C. KappeIer
Brief von Dedekind an Kappeier vom 18.10.1861 (Gesnch um Entlassung)
An den Tit. Präsidenten des hohen schweizerischen Schulraths.
Hochgeehrter Herr Präsident!
Indem ich dem hohen schweizerischen Schulrath meinen gehorsamsten Dank sage
ten
für die unter dem 26 August i.J. mir ertheilte abermalige Erhöhung meiner Besol-
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
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dung, thut es mir leid, hiermit eine meine zukünftige Stellung betreffende Mittheilung
verbinden zu müssen, welche länger zurückzuhalten ich nicht für angemessen halte.
Die Regierung des Herzogthums Braunschweig hat mir vor einigen Wochen den Antrag gemacht, als Professor der höhern Mathematik am Collegium Carolinum zu
Braunschweig in ihre Dienste zu treten, und ich habe hauptsächlich durch Rücksichten auf meine dort lebende Familie mich bewogen gefunden, denselben anzunehmen. Es wird kaum der Versicherung bedürfen, dass ich nicht aus Unzufriedenheit
mit meiner hiesigen Stellung dieselbe aufgeben will; gern - wiederhole ich meinen
Dank für das Wohlwollen, welches die mir vorgesetzte Behörde und meine Amtsgenossen mir so oft bewiesen haben; dass ich trotzdem um meine Entlassung aus einer
angenehmen und ehrenvollen Stellung nachsuche, um eine gleiche in meinem Vaterlande einzunehmen, wird man mir gewiss nicht verargen. Es wäre mir erwünscht
gewesen, den ganzen jetzt beginnenden Jahrescurs noch zu Ende führen zu können;
allein da die Verhältnisse in Braunschweig die Wiederbesetzung der Professur der
höhern Mathematik schon auf Ostern gebieterisch verlangen, so hoffe ich, es würde
meine Bitte,
der schweizerische Schulrath möge bei dem hohen Bundesrath meine Entlassung aus meinem Amte, vom lIen April 1862 an, beantragen,
nicht unbillig befunden werden; um so weniger, da die für die Fachwissenschaften
wichtigsten Theile des mathematischen Unterrichtes in dem Wintersemester fast vollständig absolvirt würden, da ferner mit Sicherheit anzunehmen ist, dass die durch
meinen Abgang erledigte Stelle binnen sechs Monaten genügend besetzt werden
könne, und also eine Unterbrechung des Unterrichts nicht zu besorgen steht.
Ich schliesse daher mit der Hoffnung, dass der hohe schweizerische Schulrath das
mir bisher bewiesene Wohlwollen auch künftig bewahren werde, und verbleibe mit
ausgezeichneter Hochachtung
gehorsamst
Präsident!
Zürich,
19 October 1861.
Brief von Dedekind an Präsident KappeIer vom 27.1.1865
Hochgeborener Herr Präsident!
In Folge eines Briefes, welchen ich neulich an meinen Freund Kenngott gerichtet
hatte, um den Dr. Hattendorff, Privatdozent an der Universität zu Göttingen, für eine
in den Zeitungen zur Bewerbung ausgeschriebenen Professur der höheren Mathematik am Polytechnikum zu Zürich zu empfehlen, hat Kenngott, wie er mir geschrieben, eine Unterredung mit Ihnen gehabt, in welcher auch die Möglichkeit besprochen
ist, mich selbst wieder nach Zürich zu ziehen; er hat mir auch mitgetheilt, Sie wünschten, dass ich über diese Angelegenheit an Sie schreiben möchte. Ausserdem habe ich
soeben einen Brief von Professor Clausius erhalten, welcher sich in ganz ähnlicher
Weise äussert. Es versteht sich von selbst, dass ich mit Freuden diese Gelegenheit
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ergreife, mein Interesse an ihrer Anstalt zu bestätigen, der ich vier Jahre lang mit
grosser Befriedigung als Lehrer angehört habe, und ich erlaube mir daher im Folgenden, Ihnen meine Ansicht mitzutheilen, so weit ich bis jetzt im Stande gewesen
bin, mir eine solche zu bilden.
Erst durch Kenngott's Brief habe ich wenigstens ungefähr erfahren, um was für
eine Stellung es sich eigentlich handelt; bis dahin hatte ich gezweifelt, ob etwa Hf.
Prof. Christ off el seine Stelle, die ich früher eingenommen, wieder aufgeben wollte,
oder ob neben dieser noch eine zweite gegründet werden sollte, was ja schon zur Zeit
meines Abganges von Zürich als wünschenswert bezeichnet und besprochen worden
ist. Auch jetzt bin ich noch derselben Meinung wie damals, indem ich die Ueberzeugung habe, dass eine solche weitere Ausdehnung des Unterrichtes in der höheren
Mathematik über die nächsten Bedürfnisse der Fachschulen hinaus für das Polytechnikum in Zürich, an welchem die reinen Naturwissenschaften, die beschreibenden
sowohl wie Physik und Chemie, schon in so ausgezeichneter Weise vertreten sind,
nicht bloss zu einer Erhöhung des äussem Glanzes dienen, sondern dass sie wirklich
auch von praktischem Werth sein wird. Ich freue mich daher sehr, dass die Zeit gekommen ist, in welcher dieser Gedanke zur Ausführung kommen soll. Mehr kann ich
im Allgemeinen hierüber nicht sagen, da die Mittheilungen von Kenngott und Clausius über die Natur der zu gründenden Professur nicht ausreichen, um mir eine genaue, detaillierte Vorstellung von dem Umfang des neuen Unterrichtsstoffes zu
machen. Es würde mich aber in hohem Grade interessieren, nähere Nachrichten hierüber zu erhalten.
Was nun die zur Besetzung einer solchen Stelle geeigneten Persönlichkeiten anbetrifft, so werden Sie entschuldigen, dass ich von mir selbst zu schreiben anfange. Zunächst kann ich versichern, dass nicht leicht Etwas mir grössere Freude gemacht hätte,
als der Gedanke, bei Ihnen und meinen Freunden in Zürich so gut angeschrieben zu
sein, dass Sie meine Rückkehr dorthin für wünschenswerth halten. Ferner leugne ich
nicht, dass diese neue Professur, wie ich sie mir denke, eine ganz besondere Anziehungskraft für mich hat, weil die zu haltenden Vorlesungen ihrem Stoff nach mich
ungleich mehr interessieren würden, als der gewöhnliche Cursus der Differential- und
Integralrechnung. Allein ich halte es auch für gerecht, das anzuerkennen, was meine
hiesige Stellung mir darbietet. Unsere Anstalt kann sich zwar weder hinsichtlich der
hier zu Gebote stehenden Mittel noch hinsichtlich der Frequenz mit dem Polytechnikum in Zürich vergleichen; indessen hat unsere Regierung doch sehr viel gethan, um
bedeutende Lehrkräfte hierherzuziehen, und der günstige Erfolg zeigt sich in dem
allmählichen Anwachsen der Schülerzahl. Meine eigene Stellung ist sehr angenehm;
ich stehe in gutem Verhältnis zu meinen Collegen und Schülern; meine Vorlesungen,
deren Anzahl ihr Maximum von zwölf Stunden wöchentlich selten erreicht, nehmen
mir nicht übermässig viel Zeit weg, und sie machen mir auch Freude, weil neben der
Mehrheit der höchst technisch gesinnten Schüler doch auch immer Einige sich finden,
die an meiner Wissenschaft selbst Interesse haben. Pecuniär stehe ich mich ebenfalls
gut, nach hiesigen Begriffen sogar sehr gut, da ich zu meinen 1300 rth, mit denen ich
vor drei Jahren hier angestellt wurde, kürzlich noch eine Zulage von 100 rth erhalten,
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
57
und ausserdem als Mitglied zweier Prüfungskommissionen (für das höhere Schulamt
und das Forstfach) auch eine Nebeneinnahme von 80 rth habe, so dass ich mich im
Ganzen auf 1480 rth oder 5550 fr stehe; und hierbei ist zu berücksichtigen, dass das
Leben in Braunschweig wirklich billiger ist als in Zürich. Zu allem diesem kommt
noch hinzu, dass ich hier meine Eltern und Geschwister habe, und dass für sie wie für
mich eine so weite Trennung gleich schmerzlich sein würde. Sie sehen hieraus, verehrter Herr Präsident, dass vieles mich hier festhält, und Sie werden es mir deshalb
nicht verdenken, wenn ich meine Rückkehr nach Zürich für sehr unwahrscheinlich
halte.
Ich erlaube mir nun, noch einmal auf den Dr. Hattendorff in Göttingen zurückzukommen, um Ihnen zu wiederholen, was ich neulich an Kenngott geschrieben habe.
Er ist mir persönlich unbekannt und erst vor einigen Wochen hat er sich brieflich mit
der Bitte an mich gewandt, seine Bewerbung in Zürich zu unterstützen. Da ich damals
noch nicht wusste, um was es sich handelte, so empfahl ich die Angelegenheit dem
freundschaftlichen Eifer Kenngott's. Ich weiss von Riemann und Stern, dass sie viel
auf Hattendorff halten, und habe ausserdem gehört, dass er als Dozent sehr tüchtig
sein soll; während Riemann seiner Gesundheit wegen in Italien lebt, kündigt Hattendorff dessen Vorlesungen an, was ein unbedeutender Mathematiker nimmer wagen
würde. Ich glaube, ihn daher mit Sicherheit empfehlen zu können. Es fragt sich aber,
ob für Ihre Pläne eine andere Combination nicht zweckmäßiger sein würde. Bei allen
Mathematikern geniesst Herr Christoffe1 eines ausgezeichneten Rufes; auch in
neuerer Zeit hat er wieder sehr schöne Arbeiten in Crelle's Journal veröffentlicht. Ich
glaube, er würde gerade für die neu zu gründende Professur sich besonders eignen.
Es käme dann nur darauf an, meine frühere Stelle wieder zu besetzen, und für diese
finden Sie in Deutschland eine reiche Auswahl von tüchtigen Bewerbern; ich denke
im Augenblick zunächst an Baltzer in Dresden, Durege in Prag, Hattendorff in Göttingen. Für die neu zu gründende höhere Professur könnte ich auch eine Menge
Namen nennen. Sie finden fast an jeder deutschen Universität einen ordentlichen
Professor, dessen Name einen guten Klang hat; von den jüngeren fallen mir augenblicklich besonders Schering in Göttingen und Neumann in Basel ein.
Doch ich weiss nicht, ob ich Ihnen mit der Erwähnung dieser Namen ohne nähere
Charakteristik irgend einen Dienst erwies, und ich will deshalb mein ohnehin schon so
ausgedehntes Schreiben abbrechen. Es wird mich in hohem Grade interessieren, Ihre
Gedanken über die weitere Entwicklung des eidgen. Polytechnikums und im Besonderen über die bevorstehende Ausdehnung des mathematischen Unterrichts näher
kennen zu lernen, und ich möchte mich daher sehr freuen, von Ihnen selbst eine Mittheilung darüber zu erhalten, wie sie mir durch Kenngott in Aussicht gestellt ist, selbst
w~nn meine eigene Persönlichkeit dabei aus dem Spiel gelassen würde.
Mit ausgezeichneter Hochachtung verbleibe ich Ihr
gehorsamster
R. Dedekind.
Braunschweig,
2f Januar 1865.
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Max-Albert Knus
58
Brief von Dedekind an Präsident Kappeier vom 12. 2.1865
Hochgeehrter Herr Präsident!
Durch vielerlei Geschäfte bin ich bis jetzt verhindert gewesen, Ihr Schreiben,
durch welches Sie mir nähere Auskunft über die neu zu gründende Professur für
höhere Mathematik am Polytechnikum zu Zürich gegeben haben, mit Musse zu beantworten. Um so gleich von mir, d.h. von der Möglichkeit meiner Rückkehr nach
Zürich anzufangen, so muss ich wiederholen, dass ich schon damals für sehr unwahrscheinlich hielt, als Kenngott's Brief mich mit der Nachricht überraschte, dass überhaupt an mich gedacht würde. Ich schrieb Ihnen dann meine Gründe, weshalb ich
schwerlich meine hiesige Stellung aufgeben würde, und auch jetzt, nach Empfang
Ihrer Antwort bin ich noch ganz derselben Meinung. Auf Ihre offene Erklärung - die
ich vollständig zu würdigen verstehe - dass Sie niemals einen Antrag auf meine
Berufung stellen würden, ehe Sie nicht die Gewissheit erhalten hätten, dass ich derselben folgen würde, kann ich nun mit voller Bestimmtheit antworten, dass ich einen
solchen Ruf unter den Bedingungen, wie Sie sie mir initgetheilt haben, schon des zu
geringen Gehaltes wegen nicht annehmen kann, wie auch sonst das Arrangement
hinsichtlich der Vertheilung der Vorlesungen getroffen werden möchte. Ich werde
meine angenehme Stellung an unserm hiesigen Polytechnikum niemals aufgeben, um
mich äusserlich zu verschlechtern, und da ich, wie Ihnen geschrieben, hier eine Einnahme von 5550 Fr. habe, so würde ich nach dem verhältnismässig teuren Zürich
gewiss nicht unter einem Fixum von 6000 Fr. gehen. Und selbst wenn Sie die Besoldung so weit erhöhen könnten, was ich bezweifle, und wenn das übrige Arrangement
mit meinen Wünschen übereinstimmte, würde ich - das muss ich ebenso offen erklären - doch nicht annehmen, ehe ich nicht auch die Gewissheit hätte, wirklich
berufen zu werden. Denn eine feste Zusage von meiner Seite, kommen zu wollen,
ohne diese Gewissheit, wäre nichts anderes als eine Bewerbung, und von einer solchen
bin ich weit entfernt.
Obgleich ich überzeugt bin, durch diese Erklärung, welche ich der Würde meiner
hiesigen Stellung schuldig war, fernere Verhandlungen abgeschnitten zu haben, so
erlaube ich mir nun doch noch einige Bemerkungen über den mich sehr interessierenden Theil Ihres Schreibens, welcher sich auf die neue Professur selbst bezieht; ich
versetze mich dabei in Gedanken in die Situation, als stände mir die Uebernahme
dieser Professur bevor und als sollte ich meine Ansichten und Wünsche ausdrücken.
Nach meiner Bekanntschaft mit der Organisation des eidgen. Polytechnikums würde
ich mir durchaus wünschen, theilweise auch bei dem Unterrichte für die Fachsehulen
mitzuwirken, weil diese doch den eigentlichen Stamm der ganzen Anstalt bilden und
weil ich nicht gern das fünfte Rad am Wagen sein möchte. Also halte ich eine Theilung
des Fachschul-Unterrichtes für am besten, auf keinen Fall aber so, dass die IngenieurSchule und die mechanisch-technische von einander getrennt würden; denn dann
würde die eigentliche Bestimmung der neuen Professur ganz illusorisch werden. Mir
scheint eine ungleiche Theilung vortheilhafter, in der Art z. B., dass der eine Professor
stets die Hauptvorlesung über Differential- und Integralrechnung für beide Schulen
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Dedekind und das Polytechnikum in Zürich
59
und beide Kurse, der andere stets die bei weitem kleinere Vorlesung über analytische
Geometrie und vielleicht noch irgend ein Capitel zu halten hätte, welches sich aus dem
bisherigen Umfang jener Hauptvorlesung ohne Störung absondern liesse. Entsprechend würde dann der erstere Professor einen kleineren Theil des neu einzuführenden, für die Lehramtskandidaten bestimmten Zyklus von Vorlesungen, der letztere
den grösseren Theil übernehmen, aber auch in der Weise, dass jede dieser Vorlesungen ein für alle Mal einem der beiden Professoren bestimmt zugetheilt würde, nie ein
Wechsel einträte. Es würde durch diese Bestimmtheit einerseits jede Rivaltität vermieden, anderseits die Last der Arbeit bedeutend erleichtert und jedem der beiden
Lehrer eine intensive Konzentration seiner Kräfte möglich gemacht. Was den Umfang
der neuen Vorlesung betrifft, wie Sie ihn mir mitgetheilt haben, so billige ich denselben vollständig; als eine Lücke in demselben müsste das Fehlen der modernen
synthetischen Geometrie bezeichnet werden, doch glaube ich gehört zu haben, dass
diese Wissenschaft durch einen Privatdozenten vertreten ist.
Bevor ich schliesse, habe ich Ihnen noch mitzutheilen, dass ich in den letzten
Tagen wieder einen Brief von dem Dr. Hattendorff in Göttingen erhalten habe, mit
einer abermaligen Anfrage über die Natur der neuen Professur in Zürich; ich vermuthe, Sie werden nichts dagegen haben, dass ich ihm die gewünschte Auskunft gebe.
Wenn Sie im März reisen, so bitte ich Sie, Ihren Weg auch über Göttingen zu nehmen,
um ausser Schering und Heinrich Weber (Neffe des Physikers) auch ihn kennen zu
lernen; die Vorlesungen werden aber wohl schon am 15 ten März geschlossen sein.
Ferner erlaube ich mir, Sie herzlich zu bitten, auch mich hier in Braunschweig zu
besuchen, falls Sie einen oder ein paar Tage übrig haben; ich bitte nicht nur um einen
Geschäftsbesuch, sondern ich hoffe, dass unsere gute alte Stadt Ihnen einen freundlichen Eindruck machen, und unser Polytechnikum Ihr Interesse erregen wird. Indem
ich Sie ersuche, diese meine Einladung nicht von der Hand zu weisen, verbleibe ich
mit der ausgezeichneten Hochachtung Ihr
gehorsamster
R. Dedekind.
Braunschweig,
12 Februar 1865.
(Hagenmarkt nro. 9)
Brief von Dedekind an Präsident Gnehm vom 26.4.1910 8
Hochgeehrter Herr Präsident!
2 . IV. 10
518
Ihr wohlwollendes Schreiben vom 20. d.M., durch welches Sie mir ein Exemplar
der Jubiläums-Festschrift 1905 zum Geschenk machen und zugleich Ihren freundlichen Glückwunsch zu meiner Ehrenpromotion aussprechen, hat mich hoch erfreut.
Die Festschrift ist gestern glücklich in meine Hände gelangt, und ich freue mich über
den Besitz dieses köstlichen, aus vaterländischem Geiste geborenen Werkes, auf das
die polytechnische Schule, die Stadt Zürich und die ganze Schweiz mit Recht stolz sein
darf. Heute vor 52 Jahren habe ich (Morgens früh um 6 Uhr) meine erste Vorlesung
in Zürich gehalten, und ich gedenke immer mit herzlicher Dankbarkeit der glück-
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Max-Albert Knus
60
lichen und für mich höchst lehrreichen Jahre, die ich im anregenden Kreise ausgezeichneter Amtsgenossen und mancher trefflicher Schüler dem eidgenössischen
Dienste habe widmen dürfen. So ist auch die mir von dort verliehene Würde eines
Doktors der Mathematik von besonders hohem Werth für mein Empfinden.
Indem ich Ihnen, hochgeehrter Herr Präsident, meinen herzlichen Dank für die
mir bereitete grosse Freude ausspreche, verbleibe ich mit ausgezeichneter Hochachtung
Ihr ergebenster
Dr. R. Dedekind.
Braunschweig,
26. April 1910
QueUen
Von großer Hilfe für diese Arbeit erwies sich das Werk von W. Oechsli (9). Für die Wahl von
Dedekind wurden verschiedene Hinweise aus dem Buch von P. Dugac (8) benützt. Es wurde
jedoch soweit wie möglich von den Quellen des Schulratsarchivs Gebrauch gemacht. Teile dieser
Arbeit kommen aus (10).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
G. Guggenbühl, Geschichte der Eidg. Techn. Hochschule, Zürich 1955.
C. Kappeier, Antrag des Schulrates an den Bundesrat vom 1. Juli 1868.
K.-R. Biermann, Zu Dirichlets geplantem Nachruf auf Gauss, NTM-Schrift. Gesch. Naturwiss. Technik. Med. Leipzig 8 (1971), 9-12.
M. Plancherei, Mathematiques et Mathematiciens en Suisse (1850-1950), Enseign. Math.
(2) 6 (1960), 194-218.
H. Zincke, Erinnerungen an Richard Dedekind, Braunschweiger Magazin, 22 (1916),
73-81.
Schulratsprotokoli vom 30. März 1858.
R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1873.
P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathematiques, Vrin, Paris, 1976.
W.Oechsli, Geschichte der Gründung des eidg. Polytechnikums mit einer Übersicht seiner
Entwicklung. 1855-1905, Festschrift zur Feier des fünfzigjährigen Bestehens, Huber,
Frauenfeld, 1905.
M.-A. Knus, Christoffel und die Mathematik an der polytechnischen Schule Zürich, Christoffel-Festschrift, Birkhäuser-Verlag (erscheint demnächst) (siehe auch Heimatblätter des
Kreises Aachen, 34.135. Jahrgang (1979),45-55).
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61
Über einige neuere Ergebnisse
aus der algebraischen Theorie der quadratischen Formen
Von Albrecht Pfister, Mainz
Dem allgemeinen Rahmen dieser Tagung folgend, möchte ich die Themen meines
Vortrags weitgehend in der historischen Reihenfolge ihrer Entwicklung darstellen.
1. Ich beginne im Jahre 1936, in dem E. Witt seine berühmte Arbeit [W] über quadratische Formen schrieb. Hier wird bekanntlich die Theorie der quadratischen
Formen über einem beliebigen Körper K der Charakteristik 2 (für Char K = 2
siehe Arf [Ar]) begründet und die Klassifikation der quadratischen Formen über
K im wesentlichen auf die Bestimmung der Wittgruppe von K zurückgeführt:
*'
a) Jede endlichdimensionale quadratische Form q über K ist äquivalent (isometrisch) zu einer Diagonalform < al , ... ,an>. Dabei steht
n
< al, .. -,an> als Abkürzung für die Form q(x) = L: aixi2 (ai
stimmte über K)
E
K, Xi Unbe-
1
b) Man kann sich auf die Betrachtung regulärer Diagonalformen < al, ... , an >,
alle ai cf=. 0, beschränken.
c) Jede reguläre Form q ist äquivalent zu einer direkten Summe einer "anisotropen" Form qan und einer Anzahl von "hyperbolischen Ebenen":
q == qan $< 1, -1> $ ... $ < 1, -1 >
Hierbei sind die Anzahl i ~
eindeutig bestimmt.
°
und die Form qan (bis auf Äquivalenz) durch q
d) Setzt man q - q': ~ qan == q'an> so bilden die "Ähnlichkeitsklassen" Ci der
regulären quadratischen Formen q über K, versehen mit den Operationen EB
(direkte Summe) und ® (Tensorprodukt) einen kommutativen Ring W(K).
Ferner benützte Witt bereits teilweise die geometrische Sprechweise "quadratischer Raum" statt "quadratische Form". Seine Arbeit trug auch zunächst mehr
in der Geometrie und der sog. "geometrischen Algebra" reiche Früchte. Als
Stichwort nenne ich die Strukturbestimmung der orthogonalen Gruppen durch
Dieudonne [Di] (fortgeführt von Eichler, M. Kneser, O'Meara u. a.).
2. Im gleichen Jahr 1936 bewies auch ein Schüler von Witt und Artin einen wichtigen Satz. Ich könnte mir denken, daß Sie diesen Mathematiker nicht erraten,
denn er publizierte seinen Satz in einem exotischen Journal, von dem es nur zwei
Bände gab, so daß sein Ergebnis für viele Jahre vergessen wurde. Auch heute
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62
Albrecht Pfister
noch ist er meines Erachtens nicht so anerkannt, wie es seiner Bedeutung entspricht. Ich rede von dem Chinesen Chiungtze Tsen. Der Titel seiner Arbeit [T]
verrät echt chinesische Sprachkunst: Zur Stufentheorie der quasialgebraischAbgeschlossenheit kommutativer Körper.
Sein Hauptergebnis lautet:
Satz 1. Sei K ein Körper vom Transzendenzgrad i über einem algebraisch abgeschlossenen Körper C. Sei f eine Form vom Grad d in n Variablen, mit Koeffizienten aus K.
Falls n > di ist, besitzt f in Keine nichttriviale Nullstelle.
S. Lang [La], ebenfalls Schüler von Artin, hat diesen Satz in seiner Dissertation 1952
erneut bewiesen, vermutlich ohne den Beweis von Tsen zu kennen. Für uns ist später
besonders der Spezialfall d = 2 von Interesse, der sich auf quadratische Formen bezieht. Auf den Beweis von Satz 1 und die sog. Ci-Eigenschaft von Körpern werde ich
noch zurückkommen.
3. Nach dem Kriege war es zunächst ziemlich ruhig in der Theorie der quadratischen
Formen. Erst 1963 wurde durch J. W. S. Cassels [C) ein weiterer Meilenstein
gesetzt. Er bewies:
Satz 2. Ist fex) E K[x] im Körper K(x) Summe von n Quadraten, so ist fex) bereits im
Polynomring K[x] Summe von n Quadraten.
Satz 3. X,2 + ... + Xn2 ist im Körper R(x" ... , xn) nicht als Summe von n -1 Quadraten
darstellbar.
Bemerkungen 1) Satz 2 wird durch eine Art euklidischen Algorithmus bewiesen,
Satz 3 folgt leicht durch Induktion nach n aus Satz 2.
2) Satz 2 kann leicht zu folgendem Satz (siehe [P 2)) verallgemeinert werden: Ist q eine
n-dimensionale quadratische Form über K und wird fex) E K[x] von q über K(x) dargestellt, so wird fex) von q auch bereits über K[x] dargestellt.
3) Satz 2 kann nicht auf Funktionen in mehreren Variablen verallgemeinert werden.
Das hat schon Hilbert festgestellt. Ein explizites Beispiel wurde von Motzkin angegeben: 1_3x2y2+x2y4+x4y2 ist in R[x,y] keine Quadratsumme, andererseits aber
in R(x)[y] Summe von 4 Quadraten (siehe [CEP)).
4. Im Anschluß an die Sätze von Cassels konnte ich noch im Jahr 1963 zwei weitere
Sätze beweisen (siehe [P,], [P 2)):
Satz 4. Die Stufe s(K) = Max {n: < 1, ... , 1 > anisotrop über K} eines Körpers K ist
eine Potenz von 2 oder 00.
n
Ist s(K) = 00, so heißt K (formal-)reell. Ist s(K) < 00, so heißt K nichtreell. Dann ist -1
eine Summe von s = s(K) Quadraten in K, aber keine Summe von (s-l) Quadraten.
Satz 5. Die quadratischen Formen q der Gestalt
q=«a" ... ,an~:= < l,a, > ® ... ®< l,an >
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Über einige neuere Ergebnisse aus der algebraischen Theorie der quadratischen Formen
63
(wobei ai E K*, Char K'" 2) sind stark multiplikativ, d.h. über dem Körper K(x)
K(x" ... ,x 2n ) gilt:
=
q(x)' q == q.
Insbesondere gibt es zu den unbestimmten Vektoren x,y einen Vektor z mit Komponenten aus dem Ring K(x)[y], so daß
q(x) . q(y)
= q(z).
Es zeigte sich bald, daß Satz 5 auch unabhängig von den Sätzen von Cassels bewiesen
werden kann. Später gab Witt (siehe [Lo] oder [Ps] einen Zweizeilenbeweis von
Satz 5. Satz 4 ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 5.
5. In den folgenden Jahren nahm die algebraische Theorie der quadratischen Formen einen stürmischen Aufschwung. Einige Hauptthemen waren (und sind zum
Teil noch heute):
Struktursätze für den Wittring W(K);
Verhalten von W(K) bei Körpererweiterung;
Quadratische Formen und symmetrische Bilinearformen über kommutativen
Ringen und über Schemata;
Theorie der Ordnungen und Signaturen von Körpern und Ringen;
Quadratische Semiordnungen, Ordnungen höherer Stufe;
Zusammenhang zwischen quadratischen Formen, algebraischer K-Theorie und
Kohomologietheorie (mit Werten inZ/2Z).
Auf diese Themen kann ich aber hier aus Zeitgründen und wegen des teilweise
umfangreichen theoretischen Unterbaus nicht eingehen. Stattdessen möchte ich
mich noch einigen direkter zugänglichen Ergebnissen und Problemen zuwenden.
6. Die Pythagoras-Zahl
Definition. p(K) = Min {n:Jede Quadratsumme in K ist als Summe von n Quadraten darstellbar}
heißt Pythagoras-Zahl von K.
(Diese Definition erscheint wohl zum ersten Mal in [Ps]).
Folgende Ergebnisse über die Pythagoras-Zahl sind bekannt:
(1) s(K) < 00 => s(K) ~ p(K) ~ s(K) + 1
In dieser Ungleichung können beide Gleichheitszeichen vorkommen
(2) K reeller Zahlkörper => p(K) = 3 oder 4
(Lagrange für K = q), Hilbert, Siegel [S]; siehe auch [HJ])
(3) K Zahlkörper => p(K(x)) ~ 5
(Pourchet [Po], Hsia-Johnson [HJ]
(4) K Funktionenkörper von Transzendenzgrad n über R => p(K) ~ 2n ([P 4 ])
Folgerung (Quantitative Version des 17. Hilbertschen Problems:) Jede positiv semidefinite Funktion f(x" ... ,xn ) E !R(x" ... ,xn ) ist Summe von 2 n Quadraten.
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64
Albrecht Pfister
(5) pQR(x,y)) = 4 ([CEP])
(6) Es gibt Körper mit nur einer Anordnung und beliebig großer PythagorasZahl p(K) ;::; :xl (Bröcker [B], Prestel [Pr])
(7) Zu jeder Zahl n ~ 0 gibt es Körper K mit p(K) = 2n und Körper K' mit p(K')
= 2n + 1 (Prestel [Pr])
Offene Probleme:
(1') ist die Schranke 2n in (4) scharf?
(2') Gilt p(Q(x,y» < :xl?
(3') Kann jede natürliche Zahl n als Pythagoras-Zahl eines Körpers vorkommen?
(Lam hat vor kurzem gezeigt, daß jedes n als Pythagoras-Zahl eines kommutativen Ringes R vorkommt.)
7. Die u-Invariante und die Hasse-Zahl
Sei Wt(K) die Torsionsuntergruppe der Wittgruppe W(K). Man weiß ([P 3 ]), daß
Wt(K) eine 2-Gruppe ist. Für einen nichtreellen Körper K ist Wt(K) = W(K) und
(2s) x Ci = 0 für alle Ci E W(K).
Definition. u(K) = Max {dirn q: q anisotrope quadratische Form über K
mit Ci
E
Wt(K)}
heißt u-Invariante von K.
Diese Invariante wurde von Kaplansky [Ka] für nichtreelle Körper eingeführt.
Die Bezt:ichnung kommt daher, daß für u(K) < :xl jede u-dimensionale quadratische Form über K universell ist, d. h. alle Körperelemente darstellt. Die obige
auch für reelle Körper brauchbare Definition stammt von Elman-Lam [EL].
Analog kann man definieren:
Definition. ([E], [Pr]). lieK) = Max {dirn q: q anisotrop und total indefinit
über K}
heißt Hasse-Zahl von K.
Dabei heißt q total indefinit, wenn q bezüglich jeder Anordnung des Körpers K
(falls K überhaupt Anordnungen besitzt) sowohl positive als auch negative Elemente darstellt. Für nichtreelle Körper K ist also lieK) = u(K). Für reelle Körper K hat man lieK) ~ u(K) und in vielen Fällen ist lieK) = :xl, auch wenn u(K)
< :xl. Ob auch u(K) < lieK) < :xl vorkommen kann, ist unbekannt. Allgemein
scheint lieK) noch schwerer zugänglich zu sein als u(K). Deshalb beschränken wir
uns im folgenden auf die u-Invariante.
Bekannte Ergebnisse:
(1) u(K) = 0 <* K reell und pythagoräisch, d. h. p(K) = 1.
(2) u(K) = 1 <* K quadratisch abgeschlossen
(3) K endlich => u(K) = 2
(4) K lokaler Körper (z.B. p-adischer Körper) => u(K) = 4
(5) K Zahlkörper => u(K) = lieK) = 4 (nach dem Satz von Hasse-Minkowski)
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Über einige neuere Ergebnisse aus der algebraischen Theorie der quadratischen Formen
(6) K Funktionskörper von Transzendenzgrad n über CC => u(K)
(und = 2n falls K/CC endlich erzeugt) (siehe Satz 1)
(7) u(K) E 2 Z falls K reell
u(K) 3,5,7 für alle Körper K (siehe [L] oder[Lo])
~
65
2n
*"
Offene Probleme:
(1') Ist u(K) stets eine Potenz von 2 (oder oo)? (siehe [Ka])
(2') -Gilt u(K(x» < 00 für einen Zahlkörper K?
(3') Sei Kn Funktionenkörper vom Transzendenzgrad n über IR.
Gilt dann u(Kn) ~ 2n?
Man weiß bisher: u(K n) ~ 4· 2n, u(K1 ) ~2, u(K 2 ) ~ 6. (siehe [E]).
Wie bei der Bestimmung von p(lR(x,y» stößt man auch bei der Untersuchung von
u(K2 ) auf schwierige Probleme über algebraische Kurven, algebraische Flächen
und abelsche Varietäten (siehe [P 7 ]).
8. Systeme von Formen
Systeme von Formen treten schon bei Tsen und Lang in natürlicher Weise auf.
Ist nämlich LlK eine endliche Körpererweiterung, etwa L = KWl + ... + KW r mit
einer K-Basis Wl, ... ,W., so geht jede Form f(Xl' ... ,xn) vom Grad d über L durch
die Substitution
Xi = Xil Wl
über in
+ ... + Xil
Wr
f(Xl'··.'X n) = fQ)lj Wj, ... , ~:Xnj Wj) = f1 (Xi) Wl
+ ... + fr(xij) Wr
wobei f" ... , fr als Formen vom Grad d über K in den n . r Variablen Xij zu betrachten sind. f besitzt über Leine nichttriviale Nullstelle genau dann, wenn das
System F = {f" ... ,fr} über Keine nichttriviale simultane Nullstelle hat.
Folgende Definition ist naheliegend:
Definition. Sei i ~ 0, d ~ l.
a) K heißt Cid-Körper, wenn jedes System F = {f 1 , ••• ,fr} von r Formen des Grades d über K in n gemeinsamen Variablen eine nichttriviale simultane Nullstelle in K hat, sobald n > r . di gilt.
b) K heißt Ci-Körper, wenn K für alle d ~ 1 ein Cid-Körper ist.
Es gilt dann nach obiger Betrachtung sofort:
Satz 6. K Cid-Körper, LlK algebraisch => L Cid-Körper.
Mit etwas mehr Aufwand zeigen Tsen und Lang:
Satz 7. K Cid-Körper => K(t) C;'!.l-Körper.
Satz 1 ergibt sich aus diesen beiden Sätzen schnell, wenn man mit i = 0 startet
und den homogenen Hilbertschen Nullstellensatz benützt, der genau besagt,
daß ein algebraisch abgeschlossener Körper C ein Co-Körper ist.
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Albrecht Pfister
66
Ersetzt man ce durch IR, so gilt der Hilbertsche Nullstellensatz nicht mehr, und
der sog. reelle Hilbertsche Nullstellensatz hilft für Fragen wie (3') von Abschnitt 7 offenbar auch nicht viel. Natürlich kann man über IR von einem
System F = {f" ... , q höchstens dann eine nichttriviale Nullstelle erwarten,
wenn F in einem geeigneten Sinn " indefinit " ist. Eine naheliegende Definition für quadratische Formen f" ... ,fr wäre zum Beispiel, daß das Büschel
{A,f, + ... + Arf r Ai E IR} keine semidefinite Form enthält. Diese Bedingung
ist aber für r ~ 3 selbst bei beliebig großer Variablenzahl n nicht hinreichend
für die Existenz einer nichttrivialen simultanen Nullstelle, wie Calabi [Ca] an
einem Beispiel gezeigt hat. Es scheint, daß viele der sich auf den Grundkörper
IR beziehenden Fragen (z.B. (1') von Abschnitt 6, (3') von Abschnitt 7) bei
genauerem Hinsehen in das Gebiet der "reellen algebraischen Geometrie"
gehören und daher von Natur aus sehr schwierig sind. Es gibt jedoch Anzeichen dafür, daß dieses Gebiet gerade eine neue Renaissance erfährt.
9. Systeme quadratischer Formen
Sei Kein nichtreeller Körper, so daß jedenfalls die soeben für K = IR geschilderten Schwierigkeiten nicht auftreten können. Seien q" ... , qr quadratische Formen
über K in n gemeinsamen Variablen. Man führt die folgende Bezeichnung ein:
Definition a) Das System S= {q" ... ,qr} heißt isotrop über K, wenn die For-
men q" ... ,qr eine nichttriviale simultane Nullstelle a
sitzen; anderenfalls heißt S anisotrop.
E
Kß be-
b) ur(K): = Max {n: Es existiert ein anisotropes System von r quadratischen Formen über K in n Variablen}.
Es gilt natürlich u,(K) = u(K). Anfang dieses Jahres hat David Leep [Le], ein
junger Amerikaner,, den folgenden überraschenden Satz bewiesen:
Satz 8. ur(K) ~ r . u,(K) + ur_,(K) für alle r ~ 2.
Insbesondere gilt: ulK) ~ r(r;1) . u(K).
Dabei ist besonders bemerkenswert, daß der Körper K fest gehalten werden kann
und die endlichen Erweiterungen L von K gar keine Rolle spielen. Man kann
sogar umgekehrt aus Satz 8 und den Überlegungen am Beginn von Abschnitt 8
das folgende Ergebnis ableiten:
KoroUar: Für K nichtreell, [L: K]
<
00
gilt
u(L) ~ [L:~ + 1 . u(K).
Das ist eine wesentliche Verbesserung der bisher bekannten Ergebnisse über das
Verhalten der u-Invariante bei algebraischen Erweiterungen.
Auch die aus Satz 8 folgenden Ergebnisse über Systeme von quadratischen Formen über p-adischen Körpern oder nichtreellen Zahlkörpern (in beiden Fällen
ist u(K) = 4) sind neu.
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Über einige neuere Ergebnisse aus der algebraischeh Theorie der quadratischen Formen
67
Der Beweis von Satz 8 ist trickreich, aber kurz und elementar. Er benützt im
wesentlichen nur lineare Algebra!
10. Die Stufe von Ringen
Nachdem schon im Preludium dieses Vortrags ein chinesischer Beitrag enthalten
war, ist es mir ein besonderes Vergnügen, zum Schluß gewissermaßen eine chinesische Tripelfuge anbieten zu können. Es ist der folgende
Satz 9 (Dai-Lam-Peng [DLP], 1980) Der Integritätsbereich
Rn = IR [Xl, ... , Xn] / (1 + X/
+ ... + Xn2)
hat die Stufe s(Rn) = n.
Dieses Ergebnis steht in merkwürdigem Kontrast dazu, daß der Ouotientenkörper On von Rn die Stufe 2 m hat, wobei 2m die größte Potenz von 2 ist, welche
2m ~ n erfüllt. Noch viel interessanter ist der Beweis dieses Satzes. Durch die
Substitution Xj ~ iXj mit i =
wird die Behauptung s(R n) ~ n nämlich in
wenigen Zeilen auf den bekannten Satz von Borsuk-Ulam zurückgeführt, wonach
es keine antipodentreue Abbildung der (n-1)-Sphäre in die (n-2)-Sphäre gibt.
v=r
Hierdurch eröffnet sich ein neues Kapitel im Zusammenspiel zwischen quadratischen Formen und algebraischer Topologie. Lam beweist interessante Sätze
über die Stufe von topologischen Räumen mit Involution. Knebusch [Kn] fand
einen im wesentlichen rein algebraischen Beweis des Satzes von Borsuk-Ulam,
den Arason und ich [AP] inzwischen weiter vereinfacht haben.
Literatur
[AP]
[Ar]
[B]
[Ca]
[C]
[CEP]
[DLP]
[Di'
[E]
[ELI
[HJ]
J. K. Arason - A. Pfister: Quadratische Formen über affinen Algebren und ein algebraischer Beweis des Satzes von Borsuk-Ulam. Erscheint in J. reine angew. Math.
C. Arf: Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2.
J. reine angew. Math.183, 148-167 (1941).
L. Bröcker: Über die Pythagoraszahl eines Körpers. Arch. Math. 31, 133-136 (1978).
E. Calabi: Linear systems of real quadratic forms. Proc. Amer. Math. Soc. 15, 844846 (1964).
J. W. S. Cassels: On the representation of rational functions as sums of squares. Acta
Arithm. 9, 79-82 (1964).
J. W. S. Cassels - W. J. Ellison - A. Pfister: On sums of squares and on elliptic curves
over function fields. J. Number Theory 3,125-149 (1971).
Z. D. Dai - T. Y. Lam - C. K. Peng: Levels in algebra and topology. BuH. Amer. Math.
Soc. 3,845-848 (1980).
J. Dieudonne: La geometrie des groupes classiques. Ergeb. Math. 5, 2. Auf!. Springer:
Berlin 1963.
REIman: Quadratic forms and the u-invariant III. Proc. of Quadr. Form Conf. 1976.
Queens Papers in Pure and Applied Math., Vo!. 46, 422-444, Kingston, Ontario.
R. Elman - T. Y. Lam: Quadratic forms and the u-invariant I. Math. Zeitschr. 131,
283-304 (1973).
J.S. Hsia - RP. Johnson: On the representation in sums of squares for definite functions in one variable over an algebraic number field. Amer. J. Math. 96, 448-453
(1974).
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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68
[Ka]
[Kn]
[L]
[La]
[Le]
[Lo]
[P,]
[P2 ]
[P 3 ]
[P4 ]
[P 5 ]
[Pa]
[P7 ]
[Po]
[Pr]
[S]
[T]
[W]
Albrecht Pfister
I. Kaplansky: Quadratic forms. J. Math. Soc. Japan 5, 200-207 (1953).
M. Knebusch: An algebraic proof of the Borsuk-Ulam theorem for polynomial mappings. To appear.
T. Y. Lam: The algebraic theory of quadratic forms. W.A. Benjamin: Reading, Mass.
1973.
S. Lang: On quasi-algebraic c1osure. Ann. of Math. 55, 373-390 (1952).
D. Leep: Systems of quadratic forms. To appear.
F. Larenz: Quadratische Formen über Körpern. Lecture Notes in Math.130. Springer:
Berlin 1970.
A. Pfister: Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper. London J.
of Math. 40, 159-165 (1965).
-,-. Multiplikative quadratische Formen. Arch. Math.16, 363-370 (1965).
-,-: Quadratische Formen in beliebigen Körpern. Inv. math.l, 116-132 (1966).
-,-: Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten. Inv. math. 4,
229-237 (1967).
- , - : Quadraticforms overfields. Proc. of Symposia in Pure Mathematics XX, 150-160
(1971).
-,-: Hilbert's seventeenth problem and related problems on definite forms. Proc. of
Symposia in Pure Mathematics XXVIII, 483-489 (1976).
A. Pfister: On quadratic forms and abelian varieties over real function fields. Annual
Meeting Amer. Math. Soc., San Francisco 1981. To appear in "Contemporary Mathematics".
Y. Pourchet: Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebriques. Acta Arithm.19, 89-104 (1971).
A. Prestel: Remarks on the Pythagoras and Hasse number of real fields. J. reine angew.
Math. 303/304, 284-294 (1978).
C. L. Siegel: Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate. Math. Zeitschr. 11,
246-275 (1921).
C. C. Tsen: Zur Stufentheorie der quasialgebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer
Körper. J. Chin. Math. Soc.l, 81-92 (1936).
E. Witt: Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern. J. reine angew.
Math.176, 31-44 (1937).
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69
Richard Dedekinds algebraische Arbeiten
aus seiner Göttinger Privatdozenten-Zeit 1854-1858
Von Winfried Scharlau, Münster
Nachdem Dedekind sich 1854 in Göttingen habilitiert hatte, wirkte er dort noch
vier Jahre lang als Privatdozent. In dieser Zeit hielt er in den Wintersemestern 1856/
1857 und 1857/58 Vorlesungen über Höhere Algebra, in denen insbesondere die
Themen Kreisteilung, Gruppentheorie, algebraische Gleichungen und Galois-Theorie
behandelt wurden. Für die Geschichte der Algebra sind diese Vorlesungen von besonderer Bedeutung, da in ihnen zum ersten Mal die Galois-Theorie systematisch, zusammenhängend und mit vollständigen Beweisen dargestellt wurde. Die noch vorhandenen Manuskripte, die im Zusammenhang mit dieser Vorlesung entstanden sind,
belegen, daß Dedekind diese Theorie schon so aufgefaßt und ausgearbeitet hatte, wie
es z. B. in dem erst fast vierzig Jahre später erschienenen Algebra-Lehrbuch von
Weber geschehen ist.
In derselben Zeit (oder vielleicht schon etwas früher) plante Dedekind auch die
Veröffentlichung eines Aufsatzes "Über die Reciprocität irreductibler Gleichungen".
In dieser Arbeit sollte vor allem das folgende Problem behandelt werden. Gegeben
seien zwei irreduzible (separable) Polynome fex), g(x) über einem Körper K von den
Graden m bzw. n mit Wurzeln a, b in einem gemeinsamen Zerfällungskörper; wie zerfallen dann fex) über K(b) und g(x) über K(a)? Die Antwort lautet, daß fund g in
gleich viele Faktoren zerfallen, die sich kanonisch entsprechen, so daß gilt mj: nj =
m: n. Heute beweist man diese Aussagen am leichtesten durch Zerlegung des Tensorproduktes K(a) ® K(b) in einfache Faktoren. Aus unveröffentlichten, leider aber nur
unvollständig erhaltenen und z. T. skizzenhaften Manuskripten Dedekinds ergibt sich,
daß er das Problem der Reziprozität zwischen zwei Polynomen in einer Vollständigkeit gelöst hat, die in der publizierten Literatur erst 1922 von Loewy [2] wieder
erreicht wurde. Er geht bei seinem Beweis rein algebraisch vor, wobei er nur die einfachsten Tatsachen der Körpertheorie verwendet. In [1] behauptet er, daß alle Aussagen des Aufsatzes über die Reziprozität sich leicht mittels Galois-Theorie beweisen
ließen, aber schriftliche Ausarbeitungen dieser Beweise konnten nicht gefunden
werden.
In einigen der Manuskripte benutzt Dedekind den Gradsatz über sukzessive Körpererweiterungen in folgender Form: Ist fex) ein irreduzibles Polynom vom Grad m
mit einer Wurzel a und ist E>(a) eine rationale Funktion von a, so ist der Grad des
irreduziblen Polynomes g(x) von E>(a) ein Teiler von m. Es erscheint denkbar, daß
Dedekind diesen Satz aus dem Satz über die Reziprozität abgeleitet hat.
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70
Winfried Scharlau
Literatur:
[1] R. Dedekind: Eine Vorlesung über Algebra, in Richard Dedekind 1831/1981, hrsg. W.
Scharlau, Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 1981.
[2] A. Loewy: Über die Reduktion algebraischer Gleichungen durch Adjunktion insbesondere
reeller Radikale, Math. Z.15 (1922).
[3] W. Scharlau: Erläuterungen zu Dedekinds Manuskript über Algebra. loc. cit [1].
Nach der Dedekind-Tagung vom Oktober 1981 in Braunschweig gelang es, im
Nachlaß Dirichlets das vollständige Manuskript des erwähnten Aufsatzes über die
Reziprozität aufzufinden. Eine ausführliche Veröffentlichung unter dem Titel "Unveröffentlichte algebraische Arbeiten Richard Dedekinds aus seiner Göttinger Zeit
1855-1858" wird zur Zeit vorbereitet.
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71
Values 01 Zeta and L-Iunctions
By H.M. Stark*), La Jolla/California
1. Introduction
In this paper, we will diseuss reeent investigations into the values of zeta and Lfunetions at s = 0, -1, -2, .. " with partieular referenee to s = O. This is espeeially
appropriate here sinee three important mathematieal objects bearing Dedekind's
name arise in an interesting fashion: the Dedekind zeta funetion, Dedekind domains,
and the Dedekind eta funetion.
The Dedekind zeta function has been of the utmost importance in number theory
sinee its inception. For a number field K, it is given by
~K(S)
= LN(afs,
a
the sum being over all (non-zero) ideals a of the ring of integers DK of K. The se ries
eonverges for Re(s) > 1, and in Dedekind's time, lattiee point estimates had even
allowed a proof that ~K(S) has a first order pole at s= 1 with residue
(1)
2r , +r2 Jt r2 h(K) R(K)
reSs=1 ~K(S) =
W(K)VID(K)I
where as always, K is of degree n(K), has r,(K) real eonjugates, 2r2(K) eomplex eonjugates, and h(K), R(K), W(K) and D(K) denote the dass-number, regulator, number
of roots of unity and diseriminant of K respeetively.
The funetional equation of
~K(S)
in its symmetrie form is
In partieular, the residue at s= 1 provides the value,
(
2)
r
lms--->ü
~K(S) _
h(K) R(K)
-sr- - W(K)
where r = r, +r2-1 is the rank of the unit group of K.
Unti! reeently, the residue at s = 1 held the limelight and the equivalent (2) was
regarded as a niee euriousity. In Dedekind's time, (2) was not even available, sinee the
*) Research partially supported by an NSF grant.
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H.M. Stark
72
analytic continuation to s = 0 was not proved for general K until Hecke proved it and
the functional equation in 1917. However, as we will see, the values of zeta and
L-functions at zero and negative integers are nicer than the equivalent values at
positive integers, are frequently special cases of more general situations, and are often
more easily derived.
As an example of a more general situation, let
consider the Dedekind domain
f denote
an integral ideal of K and
which consists of the elements of K which are integral outside
Ais just
~A(S)
f. The zeta function of
= ~K(S,f) = ~K(s)n(1-N(prS),
plf
the zeta function of K with all the p factors with pi f eliminated. The rank r(A) of the
unit group of A equals r(K) plus the number of distinct prime factors of f. Equation
(2) holds essentially unchanged,
(3)
~A(S) _
r
lms->o
sr(A) -
h(A) R(A)
W(A)
-
where h(A) and R(A) are the class-number and regulator of A. Nothing equally nice
happens at s = l.
Zeta functions of number fields are products of Artin L-functions. The prototype for
this is the case of a quadratic field K where Dirichlet demonstrated that
~K(S)
= ~(s) L(s,X)
where X is the corresponding Dirichlet character (mod D(K» and
00
L(s,X) =
L X(n) nOS.
n=l
If K is complex quadratic, we get from (1) and (2) the equivalent values
L(l X) _
2n h(K)
, - W(K)y'ID(K)1 '
(4)
L(O X) - h(K)
, -W(K)/2
For example, if K = Q (v'-I), W(K) = 4, D(K) = -4 and
L(s,X) = 1-5 - 3-5
+
Y5 _
T5
+ 9-
5 _
11- 5 + ...
It took Leibnitz to sum the series
L(l,X) =~
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Values of Zeta and L-functions
73
whereas, "c1early"
L(O,X) = 1-1 + 1-1 + ... = 1/2.
In fact, far any quadratic field K,
ID(K)I
I
(5)
n=1
X(n) =
°
and thus the sequence of partial sums of the series for L(O,X) is periodic. Hence the
series is Cesaro summable at s = and we get
°
1
ID(K)I N
L(O,X) = ID(K)I
X(n)
N=1 n=l
L
L
ID(K)I
=-1_1_
x(n)([DEK)[+I-n).
D(K) 1 n=1
I
By (5),
[D(K)I
L(O,X)=
n~1
x(n)(c-[D(K)[)
holds for any c. We will soon see that c= 1/2 is the nicest value. For complex quadratic
fields, a reference to (4) shows that we have derived Dirichlet's c1ass-number formula.
This is a much easier task at s = than at s = 1 (in particular, the Gaussian sums do not
enter into the evaluation at s= 0).
°
Far areal quadratic field K, we have the equivalent values,
L(I,X) = 2 h(K) log
EK ,
yD(K)
L' (O,X) = h(K) log
where
EK
EK
is the fundamental unit of K. As an example, for Q(y'5) we have
L(s,X) = I- S _ 2-s _ 3-s + 4- s + 6- s _ T S _ 8-s + 9- s + ....
Although Dirichlet did it, it is difficult to evaluate this series at s = 1. However, the
series for L'(O,X) is again Cesaro summable and we get
(5n+3»)
n (5n+2)
(5n+l) (5n+4)
(n=O
oo
L' (O,X) = log
A few terms of the product give L' (O,X) = log (1.6), or, if you know how to accelerate
the convergence of the series, L' (O,X) = log (1.618033989). But in fact, we can
evaluate the product directly. Indeed (C is Euler's constant),
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74
(2/5)e 2C /5 (3/5)e 3C /5
(5n+2) (5n+3)
=
(l/5)eC/5 (4/5)e 4C /5
nU o (5n+1) (5n+4)
00
00
(1 + 2~5) exp(-~5) (1 +3~5) exp(-~/5)
'nD l (1
+~) exp(-=-lP) (1 +~) exp(~)
r(!) r(~)
r(~) r~)
sin (~)
= sin (~)
The same thing works for any real quadratic field:
L' (O,X) = log
D(K)/2
(an )-x(a~
aD sin (D(K)
[
l
(a, D(K)) = 1
J
and this gives Dirichlet's class-number formula for real quadratic fields.
2. Dirichlet L-series at zero and negative integers
It will be convenient to discuss the values of L(O,X) simultaneously for all X defined
modulo an integer f> 1. For this purpose, we have to distinguish between primitive
and imprimitive L-series. By L(s,X), we will me an the L-series associated to the
primitive version of X. We will write
L(s,X,f) = L(s,X)
TI (1- X(p) p-S)
plf
to denote the L-series corresponding to X considered as a (possibly imprimitive)
character (mod f). It is the primitive L-series with the p-factors removed where plf.
For example, if X, is the trivial character,
TI (l_p-S).
L(s,X"f) = ~(s,f) = t(s)
plf
For any character X (mod f), we have
f
L(s,X,f) =
00
L X(a) L (nf+at
s
a=l
n=O
(a,f) = 1
f
= fS
L
X(a) t(s,a/f)
a=l
(a,f) = 1
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75
Values of Zeta and L-functions
where
00
=L
~(s,x)
(n+x)"s
n=O
is the Hurwitz zeta function. The series for ~(s,x) converges for Re(s) > 1 and real
x> 0 but the function possesses an analytic continuation in both sand x, multivalued
in the case of x if s is not integral, and is holomorphic in s except at s = 1 where there
is a first order pole of residue one. The existence of this analytic continuation justifies
the following manipulations in which we evaluate ~(-k,x) and hence L(-k,X,f) for
k=O, -1, -2,· ...
We see that
(6)
a~~~x)
= -s
~(s+ 1,x).
Thus, for example,
a~~~x) = -ress =l ~(s,x) =
-1
= -x+c for some c. To find c, we note that for Re(s) < 1,
and so
~(O,x)
(7)
S~ ~(s,x) dx = 0
which we get by integrating the series term by term. Of course, the series converges
only for Re(s) > 1 and then the integral is divergent. The justification makes use of the
fact that ~(s,x) = x- s + ~(s,x + 1) and the fact that ~(s,x + 1) can be integrated term by
term for Re(s) > l.
We therefore find that
~(O,x)
= -x+ 1/2.
One more application of (6) and (7) gives
~(-1,x) =
x2
x
1
-T+"2 -12·
If we continue in this manner, we recursively find that ~(- k,x) is a (k + l)st degree
polynomial and in fact the recursions are those satisfied by the Bernoulli polynomials,
~(-k,x) = _ B~~\X)
.
Many of the standard properties of Bernoulli polynomials follow from this relation.
For example,
N
L
nk=~(-k,O)-~(-k,N+1)=
B
k+1
(N + 1) - B (0)
k+1 k+1
n=O
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•
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H.M. Stark
76
The special case of N = 0 gives B,(I) = B,(O) + I while for k> 0
Bk+,(I) = Bk+,(O).
As another example, if k is odd, we have for any positive integer N,
~(-k,1-N) =
N-1
L
n k + ~(-k,N) = ~(-k,N),
n=1-N
from which we see that for k odd
Differentiating shows that in general,
B k+,(1-x) = (-1?+' Bk+,(x).
As a last example, the identity
~(s,1I2)
= (2 5 -1)
~(s)
gives at s= -k, the relation
Bk+,(1I2) = (2- k-1) Bk+,(I) = (2- k-l) Bk+,(O)
valid for k = 0 and k = -1 as weIl as for k> O. It is interesting to note that many of the
above formulas occur in Chapter 7 of Ramanujan's second notebook [1] in the context
of the relationship between ~(s,x) and Bk+,(x). Chapter 8 [2] is also relevant to this
subject and I want to thank Bruce Berndt for bringing these references to my attention.
For L-functions, we now have at k=O, -1, -2, ... ,
fk
L(-k,X,f) = - - k1
+
f
I
X(a) Bk+,(a/f).
a=1
(a,f) = 1
In particular,
f
L(O,X,f) =
L X(a) (1_~).
a=l
2 f
(a,f) = 1
If X(-1) = 1 and f> 1, we have
f
L(O,X,f) =
t a~l [x(a) (~- T) + X(f-a) (t- f~a)]
(a,f) = 1
=0
and we move on to the first derivative. Again, it is convenient to consider the values
of aIl L' (O,X,f) with X(-1) = 1 simultaneously. The result is
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Values of Zeta and L-functions
L' (O,X,f) = -
77
f/2
t a=l
L X(a) log [(1_e21lia/f) (1_e-21lia/f)] (f>2),
(a,f) = 1
L' (0,X 1 ,f) = -
t log (2)
(f = 2).
This may be rephrased as follows. Let K = Re(<Q(e21li/f» and G = Gal(K/<Q) =
= (ZlfZ) x I ± 1. There is an integer E in K such that for all characters X of G,
L' (O,X,f) = -
~
L
X(g) log (Eog).
gEG
In this formula, all the Eo g are positive. This is explained by the fact that K(y'E) is
abelian over <Q and hence all the E g must have the same sign. The same result now
holds for any subfield of K by taking relative norms.
0
Theorem [7]. HK is a totally real abelian extension 01 <Q with Galois group G and
conductor dividing f > 1, there is a totally positive integer E 01 K such that lor aII X
olG,
L' (O,X,f) = -
t gEG
L X(g) log (co g).
CoroUary. H f is apower 01 a prime p, then IN(E) = p. Otherwise N( E ) = 1 and E
is a unit.
In particular the E g are all associates since when f is apower of p, p ramifies totally.
The Corollary follows easily from the Theorem by using the principal character along
with the observation that
0
~/(O,f) =
{-i
log (p)
if f is apower of p
otherwise.
Let us give two examples of the uses of the Theorem. First suppose that K = Q(yp)
where p is a prime congruent to 1 (mod 4). We take f=p. There are two characters,
the trivial character X1 , and a quadratic character %p. We have
-
~ log (p) =L'(O,XhP) = - ~ log (ab)
hp log (E p ) = L/(O,%P,p) = - ~ log (alb)
where a and b are the two conjugates of E, both positive, hp and Ep are the classnumber and fundamental unit of <Q(yp). Hence
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H.M. Stark
78
and so
-p
p =-1
IN (Ephr) =
which gives the old result that hp is odd and Ep has norm -1.
Next, consider the case of two primes p and q both congruent to 1 (mod 4). We take
f = pq and K = (y'p,y'q). If we denote by gp,~,gpq the elements of G fixing y'p,y'q,
ypq respectively, then we have with the obvious notation.
There are two cases to consider. If Xp( q) = Xq(p) = 1, then
='Eogpq = (Eog p)"' = (Eogq)"' = Epq-hpql2.
10
Among other things, this says that 10 = Eogpq is in ~(ypq) and so hpq is even. Further,
~ gp > 0 and so
0
IN (E pq-hp,/2) = 1.
Therefore if Epq has norm -1, then 4 divides hpq.
In the other case, we have Xp(q) = Xq(p) = -1 and then we find that
Epq hpq l2
=
10
-hp 10 -hq
p 10 q
is in ~(y'p, y'q). From this, we see that
(10
pq
hpql2)og
pq
h
= (_E p ,) (_Eqhq) = 10 hpq l2
100 gpq
pq
and thus Epqhpq/2 is in ~(ypq) and therefore h pq is even. Note that it is only necessary
to know the sign of (Epqhpql2) ogpq to tell whether it is in ~(ypq) or generates
Q(y'p,y'q) over Q(ypq). In like manner, the conjugate of Epq hpq/2 is
10
(
pq
hpql2)
ogp
= (Ep-hp) (_Eqhq)
Eogp
is negative and so Epq has norm -1. This result goes back to Dirichlet.
Before we leave the ground field of the rational numbers, let us note one more
property of the values at s=O. The interpretation of ~K(s,f) as the zeta function of the
Dedekind domain A = OK[l/f] suggests that the lead terms of the power series
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79
expansion for each L(s,X,f) at s = 0 can have an interpretation as a factor of R(A) and
leads to the same refined conjectures as for factors of R(K).
For instance, suppose K = Q(e 2Jti/ f ) and that p is a prime congruent to 1 (mod f) so that
p splits completely in K. If we develop a conjecture in the same way as in [6] and [7],
we might suspect that there is an element E of OK[l/p] (i.e., E is integral outside p)
such that IEogl = 1 for all g in G = Gal(K/Q), K(E1/W(K» is abelian over <D while
L' (O,X,fp) = - W(lK)
L X(g) log IIEogll
v,
gEG
where v is the normalized valuation of K corresponding to a prime ideal in K above p.
But we already know that
L' (O,X,fp) = L(O,X,f) log (p) = at
1
x(a)~f 2;a)IOg (p).
(a,f) = 1
Therefore, if we identify g in G with an integer a in the isomorphie group (Z/fZ.) x
with 0< a < f, the conjecture leads to
W(K)
IIEogli v = p2f
,
(2a-O
for all gin G. Tate [8] and Gross [3] have both realized that this gives the complete
ideal factorization of (E); the fact that Eis a number is Stickelberger's theorem and the
rest of the conjecture follows from the properties of the Gauss sums used to prove
Stickelberger's theorem. Even over the rational numbers, new discoveries are being
made linking Dedekind zeta functions and Dedekind domains.
3. Values of zeta functions for totally real fields
We now turn to other ground fields. The problem of finding a closed form expression
for the values at zero and negative integers of the zeta and L-functions of a field k was
first solved by Shintani [4]. Prior to this, Siegel [5] had shown that the partial zeta
functions took rational values (without finding them) and Zagier [9] found them for
real quadratie fields at all negative integers and at zero. We illustrate the situation for
real quadratic fields but the methods are general. For real quadratic fields, the
problem ultimately becomes one of evaluating the function
00
00
L L
~(S"S2'X,y) =
(am+bn+xt , (cm+dn+yt
m=O n=O
'
s
s
"
where a, b, c, d are positive real numbers, ad-bc> O. The series converges for
Re(s, +S2) > 2 and positive x and y. Shintani's loop integral expression for ~(S"S2'X,y)
provides the analytic continuation necessary to justify the following.
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80
In analogy with the second section, we have
(8)
;x t(S1,S2,X,y) = -S1 t(S1 + 1,s2'x,y),
(9)
;y t(S1,S2,X,y) = -S2 t(s"s2+ 1,x,y).
Further, for Re(s1 +S2) < 2, we have the formula,
(10)
S~ S~ t(s"s2,ax+by,cx+dy) dx dy = 0,
although the proof is more difficult: we have
a
S; S~ (s1-1) t(S1,S2,ax+by,cx+dy) dx dy +
cS~
g
S2 t(s1- 1,s2+ 1,ax+by, cx+dy) dx dy
f1
1 ,s2,ax+by,cx+dy) \X=l
= JO-t(s1x=O dy
io1 n=O
L (bn+by)S,-1 (dn+dy)S2 dy
.
00
=
O.
Likewise,
b S~S~ (s1- 1) t(s"s2,ax+by, cx+dy) dy dx +
d S~S~ S2 t(s1- 1,s2+ 1,ax+by,cx+dy) dy dx
=0
from which (10) follows.
For example, by comparison with the integral, it is easy to see that
s(s+lH(s+2,s,x,y)ls=o=ress=2
L
L
(am+bn+xys=;b'
m=O n=O
Hence,
s t(s+ 1,s,x,y)ls=o = - a~ + g(y)
for some function g(y). But further,
S2 t(s+ 1,s+ 1,x,y)ls=o = 0,
and so,
s t(s+ 1,s,x,y)ls=o = - :., +
c
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81
where C is constant. But by (10),
_ Cl Cl ax+by
a+b
C- JOJO~dxdy= 2ab'
s
~(s+ l,s,x,y)ls=ü =
a~ + ~!:
-
.
By interchanging variable names, we see that
s
~(s,s+ l,x,y)ls=ü = - ~ + c2~ff .
Hence,
~(O,O,x,y) =
2;b [x
2
-
(a + b)x] +
2~d [y2- (c+d)y] + C
for some constant C. Again, we find C from (10), which gives
~(O,O,x,y) =
1
12ab [6x 2 -6x(a+b) + (a 2 +3ab+b 2 )]
+ 1lcd [6y2 - 6y(c+d) + (c2 +3cd+d 2)].
This is the formula found by Shintani and Zagier.
4. First derivatives at s = 0
We now turn to first derivatives at zero of L-functions defined over number fields. As
an example, let us take the case of a pure cubic field, say K = Q(-?!z). Dedekind
showed using the cubic reciprocity law that
~K(S)
= ~(s) L(s,X)
where L(s,X) is an abelian L-function defined over k = Q(y:3). The analytic continuation and functional equation of ~K(S) follow. This was one of the main examples
pointing the way towards Hecke's eventual general result. This example also anticipated Artin's general theory of non-abelian L-functions and their connection with
abelian L-functions via the reciprocity law. In this regard, it should also be mentioned
that the requisite theory of representations of non-abelian finite groups was inspired
by the letter exchange between Dedekind and Frobenius.
For our purposes, we see that
L' (O,X) = h(K) log (EK)
where h(K) = 1 is the dass-number of K and EK =(-?!z-1)-' is the fundamental unit
of K. This illustrates a special case of the only other type ground field where my first
order zero conjectures are proved. The situation is as folIows. Suppose that k is a
complex quadratic field and K is a dass field of k whose conductor divides an ideal
f =1= (1). We let G = Gal(K/k), W = W(K) and also we use /la/l = lal 2 to denote the
normalized archemedian valuation of K.
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Theorem [7]. There is an integer E in K such that E g is an associate of E for all g in G,
K(El/ W) is an abelian extension 01 k and for every X 01 G,
0
L' (O,Z,f) = -
J., L X(g) log IIE ogll·
gEG
If
f
has two distinct prime ideal lactors,
E
is a unit.
The proof of this theorem makes use of Kronecker's second limit formula. Let
Q = [W1,W2] denote the lattice generated by W1 and W2 ordered such that z = W2W1-1
is in the upper half plane. For w not in Q, Kronecker's second limit formula at s = 0 is
where
{}l(y,Z) is Jacobi's theta function and T](z) is the Dedekind eta function. When y is of
the form az~b with a and b in 'L, F(y,z) is a modular function of level 12N2. When z is
in k, this puts F(y,z) in a dass field of k. However, the fact that F(y,z) is nearly a unit
is independent of this. So long as j(z) is an algebraic integer, F(y,z) will be an N-unit
(in other words, a unit at all primes not dividing N) and indeed will be a unit if N has
at least two distinct prime factors. If j(z) is algebraic with denominator dividing Il.,
then F(y,z) will be an NIl.-unit and in fact will be just a Il.-unit if N has at least two
distinct prime factors. This opens up some interesting non-abelian possibilities and I
would like to dose this paper by briefly discussing them.
Recall that any elliptic function may be expressed as a theta quotient. As a result,
any elliptic function may be expressed via Kronecker's limit formula. For instance,
suppose that E is an elliptic curve in Weierstrass normal form,
y2 = 4x 3 - g2 x - g3,
with discriminant Il.(E) = g2 3 - 27g/. If Q is the corresponding lattice, we have
Il.(E) = (2n:/Wl)12T](Z)24. Comparing zeros and poles shows that
fJ(w) -fJ(wo)
Il.(E) I,6
O ) F(W-WO )
F(W+W
00,
,Z
0>1' Z
for an appropriate sixth root of Il.(E) and hence,
L
2s
2s
2S
{res)WEQ [lw+w+wol- + Iw+w-wol- - 2Iw+wl- - 2Iw+wol-2S]}I_
s-o
= -log r,\f)(W) -fJ(wo}
L
Il.(E)I/6
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\2]
.
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83
A similar result holds for f)'(w),
In particular, if g2 and g3 are integral, and wand Wo are N-division points with neither
w nor Wo nor w+wo nor W-Wo in Q, or simply 2w is not in Q in the second case, then
f)' (w) -f)'(wo) and f)'(w)
~(E)l/h
~(E)1/4
are N~-units with the indicated improvements holding for N having at least two
distinct prime factors or j(z) being integral. These numbers even arise from the first
derivative at s=O of generalized Dirichlet se ries as the formulas above show. Whether
or not they also arise naturally as units in my conjectures is not known, but we have,
at the very least, an extremely interesting supply of new units to think about.
References
[1] Bruce C. Bemdt and Ronald J. Evans: Chapter 7 of Ramanujan's Second Notebook, to
appeaL
[2] Bruce C. Bemdt and B. M. Wilson: Chapter 8 of Ramanujan's Second Notebook, to appear.
[3] Benedict H. Grass: p-adic L-series at s=O, to appeaL
[4] Takuro Shintani: On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at
non-positive integers, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo 23 (1976),393-417.
[5] C.L. Siegel: Über die Fouriersehen Koeffizienten von Modulformen, Nachr. Akad. Wiss.,
Göttingen (1970), 15-56.
[6] H. M. Stark: Values of L-functions at s = 1. III. Totally real fields and Hilbert's twelfth problem, Adv. in Math. 22 (1976), 64-84.
[7] H.M. Stark: Values of L-functions at s=1. IV. First derivatives at s=O, Adv. in Math. 35
(1980),197-235.
[8] John Tate: Brumer-Stark-Stickelberger, Seminaire de Theorie des Nombres Annee 198081, expose n° 24.
[9] D. Zagier: Valeurs des fonetions zeta des corps quadratiques reels aux entiers negatifs,
Joumees Arithmetiques de Caen, Asterisque 41-42 (1977), 135-151.
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Boolean Groups
By Irving H. Anellis, Duluth/USA
Abstract
Abstract groups are constructed as equivalence c1asses from elements of Boolean
algebra (A,u,n,~,-) associated to the elements of the sequence of natural numbers
whose model is N = < 0,0), + , . >, where apartition modulo-m is a subc1ass defined
on the Boolean equivalence and congruence relation IN defining NmcA/ lJ with IN
associated with identity. This gives a Boolean algebra 91, whose groups, then, are not
multiplicative sets, but c1asses of rn-partition subc1asses of the model N_of the Boolean
universe V~ defining the algebra 91. Thus, a Boolean group for 91 with universe V~
may be either an additive or a multiplicative c1ass. These Boolean groups are c10sely
related to the .t-groups constructed in Birkhoff's Lattice Theory.
AMS 1970 subject c1assifications. Primary: 02105, 06A40, 20F99;
Secondary: 06A55, 06A60, 20E40, 02H15.
Key words and phrases. Boolean algebra, ordered lattices, ordered groups, infinite
groups.
O. Introduction
Groups are defined as multiplicative sets. Thus, for some group G, G = (S, *),
where {S} is a set and * is a productive operation on the elements of {S}, such that,
for all X,YES, X*YES and x*y is a unique product of x,y. We then say that all groups
satisfy the condition CI(x*y). Here, we define groups as equivalence c1asses of Boolean
elements c10sed under * defined as group addition.
We have, then, abstract groups constructed as equivalence c1asses from elements
of the Boolean algebra (A,u,n,~,-) associated to the elements of the sequence of
natural numbers whose model is N = < 0,0), +, . >, where a partition modulo-m is a
subc1ass defined by the Boolean equivalence and congruence relation IN defining
NmcA/ lJwith IN associated with identity. This gives a Boolean algebra 91, whose
groups, then, are not multiplicative sets, but c1asses of rn-partition subclasses of the
model N of the Boolean universe V~ defining the algebra 91. Thus, a Boolean group
for 91 with universe V~ may be either an additive or (by the usual characterization of
groups) a multiplicative c1ass. We also note that Boolean groups are abelian (but leave
the routine proof to the reader).
Boolean groups are c10sely related to the .t -groups of [1], which are defined as
po-groups in which any two elements have l.u.b. and g.l.b .. There, according to
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Irving H. Anellis
Lemma 2, the algebra (A, + ,V) is an -l-group iff it is a group under +, a join-semilattice under V, and the distributive laws hold for a,b,x,YEA for + ,A, and V.
The apparatus for construction of Boolean groups has long been available, but
group-theorists prefer to use a set-theoretic approach, usually through ZF. Willie
Brown suggested that it might be possible to construct such groups, but that no one
had yet made the attempt. I wish to thank hirn here for his suggestion.
1. Boolean Lattices
A Boolean algebra is abstract, and is constructed on a domain U, composed of a
family of sub-domains Q of U such that each domain defines a dass. For U we obtain
the intersection of all subdomains of Q. Thus, if Q 0, U *,~. A Boolean algebra
based on a nonempty family of subdomains Q of U is a lattice. Für twü dasses A,B EQ,
AuBEQ and AnBEQ, and if AEQ, ÄEQ. A simple Boolean algebra is dosed, then,
under the binary operations of union and intersection. The algebra (A,u,n) with
these two binary operations is a lattice if, for all a,b,cEA, the following equations hold:
*'
aub =bna
au(buc) = (aub)uc
(aub)nb = b
anb=bua
(anb)nc = an(bnc)
au(anb) = a
Thus, we obtain immediately as theorems
Theorem 1.1. If (A,u,n) is a lattice, then for all a,bEA, aub = b iff anb = a.
Theorem 1.2a. If (A,u,n) is a lattice, then for all a,bEA, we obtain the relation ~
on A, defined as a ~ b äff one of the equations of Theorem 1.1 holds, and ~ is the
lattice ordering on A.
Theorem 1.2b. For the ordered dass (A,~) we obtain aub=sup{a,b}, anb=inf{a,b}
on the elements {a,b}.
Theorem 1.3. The ordered dass (A,~) is a lattice. Proof is übtained where (A,~)
contains a nonempty subdass Y' of the dass A and Y' is a filter where, for all elements
a,bEA, anbEY' if aEY' and bEY'.
Proof. Let (A,u,n) be a lattice. Then the following conditions, all of which are equivalent, hold
1. anbEY' iff
2. if aEY' and
if aEY' and
3. ifaEY' and
if aEY' and
aEY' and bEY'.
bEY', then anbEY',
a~b, then bEY'.
bEY', thenanbEY',
bEY', then aubEY'.
Then dearly (A,~) is a lattice equivalent to the lattice (A,u,n). We mayaiso note
that, if the lattice has the greatest element V, then {V} is a filter. •.
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Boolean Groups
87
Examples. All of the following are filters
1. If (A,~) is a lattice, then (ao) = {aEA: ao ~a} is a filter (the filter generated by ao).
2. If (A,~) is a lattice and BcA, thenV(B) = {aEA: (3:b" ... ,b nEB) (bln ... nbn~
~ a)} is a filter (the filter generated by B).
3. If (A,~) is a lattice, Vo is a filter and aEA, then V(Vo,a) {xEA: (3:bEVo) (bna ~ x)}
is a filter.
Proof: Let X,YEV(Vo,a). Then anb, ~x and anb2~y for some b"b 2EVo. Therefore
(anb,)n(anb2)~xny. But (anb 1 )n(anb 2) =an(b 1 nb 2) =anb, where b=b 1 n
nb 2EV Q • Then xnYEV(Vo,a) .•
Theorem 1.4a. A lattice (A,u,n) is distributive ü, for aII a,b,cEA, an(buc)=(anb)u
u(anc).
The proof is easy and left to the reader.
Theorem 1.4b. H (A,~) is distributive, then every maximal filter is prime.
Proof. We begin with definitions of maximal and prime filters.
Definition 1.4b1. A filter V is prime if it is proper (i.e. there is an element aEA such
that a$V for the lattice (A,u,n».
Definition 1.4b2. A filter V is maximal provided it is proper and is not a proper subcIass of any proper filter.
Definition 1.4b3. A filter V is prime if it is proper and aubEV implies either aEV
or bEV.
Now assume that V is maximal but not prime. Then there exist a,bEA such that
aUbEV,a$V and b$V. But consider V,(V,a). V,(V,a) = A, so bEV 1 (V,a). Thus,
xna~b for XEV. Therefore, (xna)ub=b=(xub)n(aub)EV; and we obtain a
contradiction . •
Principle 1.5. Every relatively pseudo-complemented lattice is distributive.
An abstract algebra (A, u, n,~) is a relatively pseudo-complemented lattice if
(A,u,n) is a lattice and for all a,b,xEA, the condition anx~b iff x~ a~b is satisfied.
Let (A,u,n) be a lattice and BcA. Then assume sup(B) = a iff [(VbEB) (b~a) &
(VbEB) (b~c)~(a~c)J, and.ll is the g.l.b. of B. Then note, by the condition for a
relatively pseudo-complemented lattice, that a~b is the upper bound for {xEA:
anx~b}.
An abstract algebra (A,u,n,~,-) is pseudo-Boolean if (A,u,n,~) is a relatively
pseudo-complemented lattice and satisfies the condition
for any aEA, ä= a~A
where A is the least element of a lattice and {A} is an ideal. We note then that a
pseudo-Boolean algebra has a greatest element V and a filter {V} insofar as it is
relatively pseudo-complemented, and a least element A and an ideal {A}. The algebra
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Irving H. Anellis
(A,U,II) is a complete lattice if it is a lattice and, for all BcA, sup(B) and inf(B) are
defined.
Principle 1.6. An abstract algebra (A,U,II,-'>,-) is a Boolean algebra if it satisfies
the conditions
a. (A,U,II,-,>,-) is a pseudo-Boolean algebra
b. au-a = V far all aEA.
Theorem 1.6.1. If (A,U,II,-,>,-) is a Boolean algebra, the foUowing conditions are
equivalent
1. V is a maximal filter
2. V is a prime filter
3. for all aEA, exactly one of the elements a, -a belong to V.
Principle 1.7. Far a Boolean algebra (A,U,II,-'>,-), lJ:::>A 2 is an equivalence relation
and j:l is a congruence relation on (A,U,II,-,>,-) if, far Xlj:lYl and X2j:lY2, then (Xl UX2)j:l
j:l(Y, UY2), (x, IIX2)lJ(Y, IIY2), (X,-'>X2)lJ(y,-'>Y2), and (-x'):P(-Yl)'
Theorem 1.7,.1.' Let (A,U,II,-,>,-) be a Boolean algebra and V a filter. Let :pcA2
be a relation defined by alJb üf a-'>bEV and b-'>aE'V. Then
and
a. lJ is an equivalence relation
b. \) is a congruence relation.
Corollary 1.7.2. lJ is a congruence relation defined as a:pb iff a-'>bEV and b-'>aEV.
We denote A/lJ as the set of all equivalence classes of lJ.
2. The Number-theoretic Boolean Algebra W.
We now prove that the sequence N of natural numbers belongs to a subclass of the
Boolean algebra (A,U,II,-,>,-). We do so by showing that W is a Boolean algebra
with elements nEN of the ordered sequence N.
We know that Wis a Boolean algebra iff it is a relatively pseudo-complemented
lattice and that the sequence N is defined by N = < 0,0), + , .>.
Theorem 2.1. N can be ordered and
(N,~)
is an ordered dass Ü, for any x,YEN,
x~y.
The proofs are routine. It is also easy to prove the stronger theorem (Zermelo)
that every set can be well-ordered.
Thus, (N,~) is a lattice.
It follows that, where inf{O} and sup{O)} on the elements of N, for any nEN, O~n
and n ~ 0). Thus, for all nEN, Wis a lattice having a least element 0 associated to" and
a greatest element V associated to 0). We note that singleton {0'} is defined as having a
value 0; then {0'} is an ideal and {O)} is a filter.
Definition 2.2. Let RN be an operation of W such that RN
every Nu; ~N. Then RN is the closure of N.
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= {lNao ... NuR, where
U;;;;
w
'
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Boolean Groups
Definition 2.3. Identity Id is the universal cIosure of a Boolean sub algebra \8 S;;
s;;(A,u,n,~,-).
Theorem 2.4. IN is the identity relation of the Boolean subalgebra W. Therefore IN is
a congruence relation and equivalence relation.
Proof. First we denote by Id N the number-theoretic identity on N, and associate the
operator IN to IdN. We obtain Id N where, for all x,YEN, xny~ynx, ynx~xny,
xuy~yux, yux~xuy. Next we note that, by Theorem 2.1, (N~) is an ordered dass.
Thus, we define IdN for (N,~) according to the usual rules for the arithmetic identity
relation = and note that IdN gives dosure for all aEN where a 2 = a satisfying the
conditions
ana=a,
aua=a
where ana=a+{1}, aua=a+{!il'} defined for all ordered pairs <x,y>EN such
that
<x,y> = {{x}, {x,y} ~--HIdNY = {<x,y>: x=y}
under the condition <x,y> = <y,x>.
Let a,b,cEN. Then IN is an equaivalence relation if the following conditions hold
a. For aINa,
b. For aINb,
c. For aINbINc,
ana~a,
anb~bna,
(reflexivity)
(symmetry)
anbnbnc~anbnc,
aububuc~aubuc
(transitivity).
Then xINy defines an equivalence relation on x,YEN where xINy determines the conditions of reflexivity, symmetry, and transitivity of elements x,YEN. Moreover xINy is
a congruence relation if it satisfies the following additional conditions
d. For aINb ~nd a,bEN, if a~b, b~a, then lai = Ibl
(Schröder-Bernstein Theorem)
e. If xINy, for all x,YEN, then ancINbnc for all c
f. aINb~a'INb' for all a,bEN.
It is dear that IN satisfies all of these conditions for N . •
We have next to show that the following theorem holds.
Theorem 2.5. Wis a Boolean algebra whose elements are given by the sequence N.
We do so by showing first that the two following conditions hold
a. Wis pseudo-Boolean
b. nnu-nn = V N for all nEN.
Proof. First note that conditions a and bare exactly those of Principle 1.6. Thus, if !Je
satisfies these, it satisfies all subconditions for lattices and relatively pseudo-complemented lattices.
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Irving H. Anellis
We also note that the algebra W is closed under addition and multiplication for
N = {O,l, ... ,n}, n~O), and that 91= <0,0),+,' >.
a. 91 is pseudo-Boolean if it is a relatively pseudo-complemented lattice and
satisfies the condition that, for any nEN, -n = n~I\, where 1\ is the least element of
a lattice and {A} is an ideal.
Let OEN be defined as 0. We note that for any n,mEN, where m = n+n, there is
associated a zero to any m such that m = n where n + n = n. Then 0 is a zero element
for a sequence N if -0 = 13', such that 0 is the least element of a lattice yN for N. If yN
is a lattice for the structure 91 whose elements are N= {0,1, ... ,0)}, then {0} is an
ideal. 0
b. Let a = --a. If aub = V and anb = 1\, then b = -a. For a~b, we obtain
au-a. Then au-a=V. Now assurne yNc;::Y. Then yNI={nn:n~O),nEY}. Let
no,n" ... ,nwEN. Select any nn;§;nw and any nmc#nn. Then nm-nn' Now let a=n m
and b = nn. Then for aub = y, we obtain nmu-nn = yN. Then nmu-n m= yN. Now
note that aub=sup{a,b}. Then nmunn=sup{nm,nn}. Then for yN={nn:n~O)},
nmu-nm=yN.O
The other conditions for 91 being Boolean follow .•
If 91 is a Boolean algebra, then N cA/~.
Theorem 2.6.
NcA/~,
for
A/~
the set of all equivalence relations
of~.
Proof. Follows directly from Theorems 2.4 and 2.5 (from IN being an equivalence and
congruence relation on N, and from Wbeing Boolean).
Note that NcA/~ iff A/~ is true only where Nc;::I N.
3. Boolean Gronps
Boolean groups may be constructed directly by applications of some equivalence
relation E modulo-m (m < 0)) of the set of elements of y~ of the Boolean algebra 91.
It is important to define the group operations as Boolean.
We remind the reader that, by Principle 1.7, for a Boolean algebra (A,u,n,~,-),
~cA2 is an equivalence relation, and ~ is a congruence relation on (A,u,n,~,-) if,
for x,~y, and X2~Y2' the following conditions hold
a.
b.
c.
d.
(X,UX2) ~ (y,UY2)
(x, nX2) ~ (y, nY2)
(x, ~X2) ~ (Y'~Y2)
(-x,) ~(-Yl)
Also recall Theorem 1.7.1 and Corollary 1.7.2, whereby we find that ~cA2 = d f
(a~b iff a~bEV and b~aEV) such that ~ is an equivalence relation. By Theorem 2.4,
we have IN, the identity of number theory, the congruence and equivalence relation
of Boolean algebra W.
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Boolean Groups
91
We now prove that a group G is Boolean if it is defined on a lattice .\3n whose
structure is < G, * >, for * group addition, where elements of G are elements of a
Boolean algebra. Here, a11 elements of G are elements of~. We begin by proving that
Ern and Er:., m < ware values for the equivalence and congruence IN.
First we offer some definitions.
Definition 3.1. The arithmetic operations of addition and multiplication may be
defined as Boolean operations such that
a. a+ß=[(an-ß)u(-anß)]=auß
b. a'ß=anß
where ana = a + {I} and aua = a + {ß'}
(see proof of Theorem 2.4).
Note that multiplication may be defined in terms of addition.
Definition 3.2. Ern and Er:. are modulo-m equivalence relations for 1% such that
a. Ern(a,ß) = auß/m
b. E';'(a,ß) = anß/m
where aI~ß = auß/m if aI~ß = a + ß/m and aI~ß = anß/m if aI~ß = a' ß/m
Definition 3.3. (Samuel [3]). sup(x,y) = x+y+xy, i.e. (xuy), and inf(x,y) = X' y,
where, for inverse (complement) of x,x' 1 = y, sup(x,y) = 1, inf(x,y) = O.
Theorem 3.4. Ern (E-mod m), m < w is an equivalence and congruence relation iE
Ern = I~=(k+..l)~UJ.
Proof. We use well-known theorems of Gauss. Suppose n,m,..l,kEN, and let m =k +..l.
Now let a,ßEN, and let m+k=n. Then if y,öEN, and m+a=y or m+ß=ö, then
either a=ß=k, y=ö=n, and I~=(k+..l)~UJ defines an identity mod-m or y,.:ö,.:n.
Assurne G>:;;.N. Suppose aEG, a=k. Then YEG, y=n, and m+a=n. Thus, a, kare
equivalent mod-m, and y, n are equivalent mod-m. And if we have a mod-m system,
m is zero, m + m = m, m + a = a for any a. Now consider the relation Ern on the elements of the algebra ~. Let {N} = {< 0,1,2, ... , n >} and let n ~ (0, m < n. For any
p,x,y,zE{N}, Ern defines apartition p if x+m=z/p, y+m=z/p. Then Ern is an equivalence ahd congruence relation mod-m, and partitions elements of G!;;N into
congruent dasses such that, for any X,YEG, there is a zEG, if m+x=z/p, m+y=z/p,
then x, y are congruent mod-m. Then Ern defines x, y elements of the same equivalence dass .•
The relation Ern can be understood as a group-theoretic identity, where Ern is just
I~=(k+.l) ~UJ' which partitions elements of N into equivalence dasses.
Theorem 3.5. Let e,a,b,c, ... , c+n, m-n, rn-I E G!;;N, (c+n) (m-n) = m. Tben if '"
is addition for Ern, we obtain a modulo-m additive group for Ern if m = e and for all
k, lEG,
Ern {<e,e> =e, <e,k> = k, ... , <c+n,m-n> =c+m =c, ... ,
<a,m-l>=m=e, ... , <k,.l> = k+.l , ... , <m+k,.l> =k+..l}.
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Irving H. Anellis
92
Proof. The proof is by Theorem 3.4 .•
Corollary 3.5.1. If X,YEG and G is a group, then Clrn(x*y) where
* is group addition.
Proof. Let x*y=z. Then either zEG or x*y""z.
Case I: Let x*y*z. Then z-x*y, ZEG, and x$G or Y$G. But by definition, X,YEG.
Contradiction.
Case 11: Let x*y=z. Then z-x=y, so if X,YEG, -X,zEG. Note that a+(-b)=a-b.
Then z+(-x)=z-x. Moreover, z-x=y and YEG; and if xEG then -xEG, the inverse
-x of xEG is an element of G, since x-x=O, and by Theorem 3.5, Ern«x,-x>=m)!
Ern(m,-x)= -x, where by au-a=V, and nnu-nn= V NTheorem 2.5b) .•
Corollary 3.5.2. For X,YEG and Clrn(x*y), G has a zero element e such that, for some .
aEG, a*m = e.
Proof. The proof is by Theorems 3.4, 3.5, and Corollary 3.5.1. We know that
E rn (m,m- 1) = e by I~-addition. Now choose some a such that a = m- 1 • Then by group
addition mod-m, a*m = e and e is the zero for group addition mod-m where e = m .•
Modulo-m group G whose elements are the elements of the Boolean algebra lJl
satisfies the conditions of closure under group addition and of having a zero element.
Thus, G is minimallY an t-group, as defined by [1]. Then Ern is group addition for * in
G. But it would be possible also to present a relation E';' under which * is group multiplication mod-m and defines a multiplicative group G whose elements are exactly
those of the additive group G mod-m. We then obtain
Theorem 3.6. Let e,a,b,c, c+n, m-n, rn-I E G~N, (c+n) (m-n) = m. Then if * is
group rnultiplication under E:". we obtain a rnod-rn rnultiplicative group for E;" if
m +e, and for all k,t E G,
E:., {<e,e> =e,<e,k> = e, ... , <c+n, m-n> = e, ... <t,k> =
(k -1 .t ) +J, , ... , < k, k > = (J, -1 . k) + k, ... }
where any group product divisible by an rn-quotient (c+n), (m-n) is e,
e=m, or a remainder e-r, rEG if r=Fe or an rn-quotient of e, and tor aO
XEG, E:.,(x,m) = m, E:.,(e,m) = e,e the zero.
Proof. The proof is easy that multiplicative sets are groups under group multiplication. If, for (x,Y)rn/E~, m,x,YEG, X*YEG, then m*x,m*YEG, provided m is a partition
element of G. Then for some aEG, a/x=m and mEG, or a/m=x and m is a partition
element of G. Then mEG. We prove that e is a zero for G mod-m in Clm(x,m) for
x,mEG, and x*mEG for * group multiplication mod-m. We can also show that
e=m .•
Ern and E~ define group addition and group multiplication for a group G on a
partition m on the elements of Boolean algebra 1Jl, where m gives the least element of
lJl and thus m = 0 for AN. Then if IN is the congruence and equivalence relation for 1Jl,
Ern and E~ define the equivalence classes for mod-m group G. Thus, if I~ denotes the
mod-m equivalence classes defined by Ern and E~, then I~ is the congruence and
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Boolean Groups
93
equivalence relation for G. Also note that G is a Boolean group if elements of Gare
elements of a Boolean algebra, and if, for X,YEG, we obtain Clm(xI~y) and the conditions of Principle 1.7 hold. Then we obtain
CoroUary 3.6.1. G is a Boolean group if, for a,ß,y,ÖEG, mla-ß (a == ß mod-m),
mlY-ö (y == Ö mod-m), the following conditions hold
a.
b.
c.
d.
e.
a+y == ß+ö mod-m
ay == ßÖ
mod-m
a--,>y == ß--'>ö mod-m
-a == -ö
mod-m
For all t, if tEG, t is a zero element for G if t == n'l.
The first four of these conditions are equivalent to the conditions of Principle 1.7. The
first two follow direct1y from Theorems 3.5 and 3.6, as does the last one. The remaining ones follow routinely and are easy to prove. Thus, if I~ is lJ for the subalgebra W,
Xl,X2,y"Y2 are elements of 91, and I~ defines mod-m groups for W, we obtain the
following, equivalent, conditions
a'.
b'.
c'.
d'.
e'.
(x,ux2)I~(Y1UY2)
(xlnx2)I~(YlnY2)
(Xl--'>X2)I~(Yl--'>Y2)
(-xl)I~(-y)
For all zEG, if Z = m, then (znxl)I~(z) and (zuxl)I~(Xl)' and z is the zero
for G.
We next extend the structure for G to obtain a structure <L,*,> for a lattice 2"
which includes Z. Then the group L for 2" is Boolean and cyclic. We begin with definitions of lattices 2" and 2 z •
Definition 3.7. 2" is any lattice with n-many elements, n ~ 0), and B' is a lattice whose
elements are the integers such that for
L is equinumerous with Z.
It follows from this definition that if Z is the group for 2 z and L is the group for
2", L<;;;Z or LcZ, and that if LcZ, L is isomorphie to Z by the paradox of the infinite.
B"
Theorem 3.8. L is a cyclic group.
Proof. Consider a lattice Bz defined by a structure < Z, *,' >, where, for every ZEZ,
Z~ 0) and Z is a Boolean ring defined on the set of integers constructed from the set N
of natural numbers, addition and negation. Then for the algebra (A,u,n,--,>,-), if
elements of A are elements of N, we obtain Z where, for all aEA, if au-a = yN,
-au-a=yN+, and if an-a=I\N, -an-a=I\N~ Then -an-a~,O' and
{I\W} is an ideal for Z, such that {I\W} ~ {I\N}. That is, we obtain Z by algebraic
operations on elements of N and their inverses. Then the lattice 2 z of the group Z of
the ring Z is a Boolean algebra. Moreover, Z is cyclic. Now expand G in exactly the
same way, and let L be the expansion of G. By Definition 3.7, L is equinumerous with
Z, and it follows that the elements of L are exactly the elements of Z by Theorem 2.5
and Corollary 3.6.1. Then we obtain a lattice 2" defined by a structure <L,*,>,
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Irving H. Anellis
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where, for every tE L, t ~ wand L is a Boolean ring under exactly the same conditions
as Z. Then L is cyclic if Z is cyclic. Since a group is cyclic if it contains some element
a such that for a11 a\ where kEZ, the group is the set of a11 a\ L is cyclic if for every
tE L, t ~ w, where W obtains the filter {V N +} and an ideal {J\W}. Then clearly L is
cyclic .•
Theorem 3.9. L is abelian.
Fo11ows from L being cyclic.
It is most important to show that L is Boolean.
Theorem 3.10. L is a Boolean group.
Proof. We reca11 that, according to Principle 1.6, an algebra is Boolean if it is pseudoBoolean and if, for a11 elements of the class for the algebra, the union of the element
with its inverse obtain the greatest element. Then L is a Boolean group if .52" is a
Boolean algebra. We have already claimed (in the proof of Theorem 3.8) that QZ is a
Boolean algebra. It follows from Definition 3.7 and Theorem 3.8 that, if QZ is
Boolean, so is 52". We now show that 52" and thus 52°, satisfy the conditions of Principle 1.6.
Let ~ = (Z,u,n,~,-), where, by substitution, we obtain the structure <L,*,· >,
where * and . are group addition and group multiplication, and L is the group defined
on Z by Definition 3.7. We reca11 that Z was obtained as an extension of N. Thus, if G
is Boolean, L is Boolean, and L is an elementary extension of G. Then if NeZ, GeL,
and for Z Boolean, L is Boolean. Moreover, we proved that mis Boolean (Theorem
2.5). If is Boolean, then so is 52". We say, then, that QO is Boolean if, for any nLEL,
-nL = nL~J\. The zero element for 52° is the zero for Z, and is associated to the group
element eEL. It is also easy to show that, for a11 nLEL, nLu-nL = VN +. •
One mayaiso show that Z is Boolean for a ring < Z, + , . >, and that, therefore,
L is Boolean for the ring< L, *, . >.
We next have to prove that 52" has a greatest element VN + for 52° Boolean.
m
Theorem 3.11. Let W( be VN + for 52° Ü, for {xLlxLEL~x~wd. Then VN + is the
greatest element for Q" Ü W( = x . x.
Proof. We note that Z obtains the structure 52 = < Z, *, . >, and that G obtains the
structure 52" = <G, *,. >. Then for aIl nzEZ, there is an element nLEL corresponding
to nzEZ and Cl(nL· nd. If Wz is sup for Z, there is some WLEL such that WL is the sup
for the lattice of the group L. Suppose WL is infinite (clearly WL is infinite if Wz is
infinite). Now define
as the element obtained by Cl(wL" wd. But if WL is infinite,
then
= WL· WL = WL. Then VN + exists for L. •
Z
wt
wt
Theorem 3.12. Let WL be J\w for QO ü for {-xLi -XLE~-X~-wd. Then VW is the
least element for 52° ü -w = x· -x.
This theorem is the dual of the previous theorem, and its proof is thus the dual of
the previous proof.
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Boolean Groups
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Theorem 3.13. For WzEZ, if Wz = sup(Z), Z has a greatest element and Z is infinite.
Let Wz correspond to WL for WL EL. Then there is a Wz EZ for Z c10sed nnder addition
and mnltiplication, where Wz' Wz in < Z, +, . > is
Then there is a
L for L c10sed
Then
nnder gronp addition and mnltiplication, where WL' WL in < L, *, . > is
= WL . WL = WL. Then L is an infinite cyclic gronp c10sed nnder gronp addition and
multiplication.
Wt.
wt
wt
wt.
Proof. Follows directly from Theorems 3.11 and 3.12.
L is a Boolean group defined on the integers. It is standard that the integers closed
under addition is an infinite cyclic group.
We next prove that L closed under multiplication is infinite cyclic. Recall that any
group C is cyclic if, for any nLEL, nL is the period of C and x is the generator of C such
that x"L=e and e,x,x 2L, ... ,x"-lLEC, with e the identity element. Let nL~wL' Let
X"L = e and -X"L = e. If
= WL'WL, we obtain
= e for X"-lL·X"-lL. Then wt=X"L.
Now recall that a cyclic group is infinite if, for any XEC, x and -x are generators for C.
Also note that for a group [x] generated by x, [x] = C, Cis infinite when for all xm ,
xu*x v if u*v and U,VEZ. Recall too that L is a Boolean ring closed under addition
and multiplication. If L- 1 is the set of invertibles of the ring L with unity, then L- 1 is a
1
nt EL- 1 • Then
= mt. . nt. = (mL . nd- 1 and
multiplicative group. L'et
1
(mLnLt EL. We also note that for all mt,ntEL, mL,nLEL, and that multiplication of
inverses of
and nt obtain the same product in Las do multiplication of
and nt.
Now let nL ~
Then
= wt.· wt. where WL is the inverse of
and in each case
= e for X"-lL.
we obtain X"-lL +"-lL, where X"-lL. X"-lL gives us our zero element if
X"-lL, with
= X"L. For both
and WL generators of L, we obtain the same product,
and in each case identity is preserved . •
wt
wt
mt,
mt
wt.
(mt· ntt
wt .wt
wt
wt
wt,
wt
mt
Remark. Zunder multiplication is a group iff there is a subset of Zunder group multiplication which is a group. Then if H is a group I is a subgroup of H if, for any i",ijlEI,
i"ißEI, and i"i ß == h where hEH, and if the zero of H is a zero of 1. Suppose a' ß =
(n-1)z for the mod-nz group Z. Then we define the zero for Zunder multiplication
as nz for aß/nz, such that nz = O. Clearly, the same consideration obtains for subgroups of L.
Example. < 0,1,2, . > is a group if < 1,2 . > is a subgroup for < 0,12, . >, as indicated
by the following table:
o
012
000
1
0f12
2
012
1
We finally prove that the Boolean group L is a Boolean ring isomorphic with the ring
of integers.
Theorem 3.14. ilm+ilk=IILm/Lkll, where ilm,il k are Boolean lattices of m-many and
k-many elements respectively.
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96
Irving H. Anellis
Prool. Let m+k=n, n~wt. Suppose both 2 mand 2 k are quotient algebras. Then for
any a,ßELI\:l, [a]u[ß] = [auß], [a]n[ß] = [anß], [a]--4[ß] = [a--4ß], -la] = [-al, and
aE[V] iff aEV. We obtain a partition n/m=k, n/k=m. Let the additive property hold
between elements of 2 m, 2\ sueh that, for all a,ßEL/.):>, a=ma+ka, ß=mß+k ß. Then
the power of the sum of lattices 2 m and 2 k has a value determined by the number of
elements of groups of any modulus m, k, m + k = n, n ~ W( .•
Theorem 3.15. 2" = < L, *, . >.
Proof. Let n=m+k. Then 2"=5}m+2 k by the previous theorem. For n~w( and
nz~w!, we obtain a ring 2" of integers, such that Cl(xL *Yd, Cl(xL' YL) for all XL,yLEL,
L the expansion of the Boolean group G by the integers. Then 2" is the ring defined
on the Boolean group L. •
CoroUary 3.15.1. 2" is a Boolean ring.
Proof. Follows directly from Theorem 3.15.
Theorem 3.16. 2" = 91 for 91 the ring 01 integers and 2" the Boolean ring for the
groulJ L.
Prool. The lattice 2" is just the lattiee 2 z where for all nLEL, nL is associated to an
nz EZ. Recall that 2 z is given by the structure < Z, + , . >, 2" by < L, *, . >, and that L
is the natural extension of G to the integers. We know that a Boolean ring with a unit
element is equivalent to a Boolean algebra. For the Boolean algebra 2", the ring of
integers is a Boolean algebra if the ring is Boolean. Say 2 z is the natural extension of
2" for the group G and the elements of Z.1f so, then 2 z is the ring 91 or 2 z is a subring
of 91.
Case I: If 2 z = 91, then 2" = 91 z such that 2" = 91.
Case 11: Suppose 2 z is a subring of 91. We know that two groups are isomorphie
which have the same order. Then if any two groups have the same residue, they are
isomorphie. Moreover, we know that infinite groups, such as Z, may be isomorphie to
other infinite groups, provided they satisfy the condition of having the same resiude.
We also know that, for a group H, I is ft subgroup of H if, for any ia,ißEI, iaißEI is
equivalent to a product hEH, and if the zero of H is the zero of I. Then if 2 z is a subring of 91, we suppose that L is a subgroup of Z. But we recall from Theorem 3.13
that for Wz sup(Z), there corresponds a WL for L, and that W( = WL . WL = WL, whereby
L is an infinite cyelic group. We also recall that Z is the infinite cyc1ie group, and that
all infinite cyc1ic groups are isomorphie with Z. Consider now the rings 2" and 91. We
note that for some homomorphism (J of 2" into 91, there exists a kernel kerk} for 2",
91, such that ker0' is the set of all nLE2", 0(nd = (0), where 0 is the zero of 91. Now let
2" be an ideal of 2 z • Then for 2" the kernel of 2" by the homomorphism of 2 z 91,
2Z /2" = 91. But by Theorem 3.13, we obtain W( = w~. Then if 2 Z /2" =91, we obtain for
2 z12" the zero, and 2 z = 2", so that, if 2 z = 91, 2" = 91.•
=
Remark. Halmos [2] has defined a Boolean group as an (additive) abelian group in
which every element has order two, i.e. Vp(p+p=O). We note that the .t-group
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Boolean Groups
97
defined by Birkhoff [1] is also an additive group, and very dose to that defined by
Halmos. Gur own work has shown that we may remove the restrietion from Halmos's
definition and define a Boolean group as an abelian group which is infinte cydic under
addition and multiplication. Halmos asks in the same place whether every Boolean
group is the additive group of some Boolean ring. Theorems 3.15, 3.16, and Corollary
3.15.1 answer this question.
References
[1] Garrett David BIRKHOFF, Lattice Theory. Vol. 25, Colloquiurn Publications; Providence:
American Mathematical Society, 3rd edition, 1967.
[2] Paul R. HALMOS, Ledures on Boolean Algebras. New York, Heidelberg, Berlin: SpringerVerlag, 1974.
[3] Pierre SAMUEL, "Modeies Booleiens et Hypothese du continu", Seminaire Bourbaki, vol.
1966/1967, Expose 317-03. New York & Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc., 1968.
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Normen in Diedererweitemngen von Zahlkörpern
Von Peter K. DraxI, Bielefeld
Einleitung
Es sei r eine endliche abelsche Gruppe und T = {I, t}. Wir betrachten die zerfallende Gruppenerweiterung
(1)
l~r~G~T~I,
wobei tauf r via Inversenbildung operiere
und nennen solch ein G vom Diedertyp. Wegen (01)2 = o(tot) = 00- 1 = 1 ist dann
Ta: = {1,ot} Untergruppe von G für jedes OEr.
Nun sei Llk eine Galoissche Erweiterung mit G = Gal(Llk) vom Diedertyp. Bezeichnet sodann K den Fixkörper von r und (für jedes OEr) .ta den von Ta> so ergibt
sich NLlK(,t~) c kX, und folglich ist es sinnvoll, die Faktorgruppe
(2)
zu betrachten.
In der folgenden Arbeit werden nach einigen Vorbemerkungen (in §§ 1.,2.) die
Gruppen J(Llk) gemäß (2) untersucht. Dabei zeigt sich ein enger Zusammenhang von
J mit diversen Galoiskohomologiegruppen der Erweiterung Llk (vgl. § 4.), welcher
allerdings erst nach einer naheliegenden Verallgemeinerung der gesamten Fragestellung (vgl. § 2.) in seiner vollen Kraft zur Geltung kommt. Für die (so verallgemeinerten) Gruppen J ergeben sich dabei Rechenregeln, welche formal den gewohnten
Regeln aus der Tateschen Kohomologietheorie der endlichen Gruppen entsprechen
(vgl. § 3.,6.,8., 11.).
Will man die Gruppen J gemäß (2) bei gegebenem Llk konkret bestimmen, so
läuft dies (mit § 4.) auf die Kenntnis gewisser Größen in gewissen ersten und (-I)-ten
Kohomologiegruppen hinaus; außer im Spezialfall, wo r in (1) zyklisch, als G Diedergruppe (im üblichen Sinne) ist (vgl. § 5.), kann allerdings J(Llk) bei beliebigem k
allgemein nicht konkret berechnet werden. Anders im zahlentheoretischen Fall: bei
lokalem (vgl. § 7.) resp. globalem (vgl. §§ 7., 9., 10., 12.) Grundkörper k gelingt eine
solche Berechnung hingegen durch Einsatz der (kohomologischen Version der) Klassenkörpertheorie, im globalen Fall allerdings hier zunächst nicht in allen (für die bekannten Anwendungen aber ausreichend vielen) Fällen; vgl. näheres dazu in § 12.
Die Motivierung zu alle diesen Untersuchungen kam übrigens aus der Theorie der
Schiefkörper mit Involution zweiter Art. Darauf wird in §§ 5.,10. am Rande kurz eingegangen.
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100
Peter K. Draxl
§ 1. Groppen vom Diedertyp und Diedererweiterongen
Die Gruppen vom Diedertyp sind schon in der Einleitung in (1) definiert worden:
eine solche Gruppe G ist dann das semidirekte Produkt des abelschen Normalteilers r
mit der zyklischen Gruppe T = {I, t}, wobei die Involution tauf r invertierend wirkt,
d.h.
(3)
to = 0-1 t für jedes OEr.
Ist r zyklisch, so ist G eine Diedergruppe im üblichen Sinne. Im übrigen ist G wegen
(3) genau dann abelsch, wenn r elementarabelsch vom Exponenten 2 ist, d. h. nur aus
Involutionen besteht. Eine leichte Rechnung zeigt
[G,G] = r 2 , also Gab == TX r/r 2
und ferner, wenn verG/r : Gab~ r ab = r dit; kohomologische Verlagerung bezeichnet
(4)
(5)
verG/r = O.
Nun sei Llk eine endlich Galoissche Körpererweiterung. Abweichend von der eingebürgerten Terminologie wollen wir Llk eine Diedererweiterung nennen, wenn
G = Gal(Llk) vom Diedertyp ist; ist dabei G sogar Diedergruppe (im üblichen Sinne,
d. h. r zyklisch), so bezeichnen wir Llk als reine Diedererweiterung (zu diesen vgl.
§ 5.).
§ 2. Moduln über Groppen vom Diedertyp
G sei vom Diedertyp und M sei ein (im allgemeinen additiv geschriebener)
G-(Links-) Modul. Dann kann man wegen (3) M genauso gut als r -(Links-) Modul
(6)
mit Involution
m := Im, so daß "m = ,,-'rn für alle mEM,
auffassen. Wie schon in der Einleitung geschehen, kann man für jedes OEr die zweielementige Untergruppe T" = {l,at} betrachten, wobei wegen 02 t = ato- 1 die Beziehung
(7)
Ta' = oTo- 1
gilt, genauer: T und T(l sind genau dann in G konjugiert, falls Q =
OEr gilt. Nun bezeichne im folgenden
Mo:= MT" den Fixmodul unter T" (OEr).
Dann ist mit (6) klar:
(8)
m = "-'rn ist äquivalent mit mEM"
bzw. mEM,,-,.
Nun sei wie üblich
Nr:M~Mrmitm~L "in
OEr
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02
für geeignetes
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101
der Normhomomorphismus; zufolge (6) gilt dabei
(9)
Nr(m) = Nr(iü)
und wegen (8) und (9) hat man dann aufgrund ~ = Mr (J MT
(10)
Nr'(MG ) = {mEMINr(m) = Nr(m)} und Nr(Mo) ~~ (OEr),
d.h. es ist sinnvoll, die Faktorgruppe
(11)
zu betrachten. Ist also Llk eine Diedererweiterung, so gilt
J(Llk) = J(G,U),
wobei die linke Seite im Sinne von (2) und die rechte gemäß (11) zu verstehen ist.
Nun einige elementare Rechenregeln im Zusammenhang mit J; zunächst ist klar:
(12)
J(G,.) ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der G-(Links-)moduln
in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Außerdem entnimmt man (8)
(13)
m+om, m+om E Mo für alle mEM (OEr),
folglich wegen (o-l)m = (m+am) - (m+m):
(14)
(o-I)M~Mo+M,
(OEr).
Andererseits sieht man wegen (7) leicht
(15)
mE~o2 genau dann, wenn o-'mEMQ(Q,OEr).
Wegen m = a-'m+(o-l)a-'m entnimmt man (14) und (15) sofort
(16)
MQo'~~+Mo+M,
und daraus durch Iteration:
Ist f
(17)
= (y)
zyklisch (also G Diedergruppe), so gilt
L Mo=M, +My=M, + My_,.
oEf
Zu guter Letzt heben wir noch hervor (und dies ist offensichtlich):
(18)
Läßt man (für irgendein OEr) Ta die Rolle von T spielen, so ändert sich nichts
an der Definition von J(G,M).
§ 3. Restriktion und Korestriktion
Es sei G vom Diedertyp und H ~ G eine Untergruppe. Dabei betrachten wir zunächst den
Falla): H$f.
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Zufolge (18) kann dabei ohne Einschränkung H = LlT mit Ll: = Hnf angenommen
werden. Ist jetzt Mein G-Modul, so ist klar:
(
19)
a
Die Identität auf M induziert einen Gruppenhomomorphismus
J(H,M)_J(G,M), genannt Korestriktion.
corO/H
:
Nun sei f= YLlA eine Nebenklassenzerlegung von f modulo Ll (A durchlaufe dabei
ein fest gewähltes Vertretersystem), dann ist G = UAH eine solche von G modulo H,
A
und wir behaupten:
(20a)
Die Zuordnung m~F'm induziert einen von der Wahl des Vertretersystems
{A} unabhängigen Gruppenhomomorphismus res O/H : J(G,M) _J(H,M),
genannt Restriktion.
In der Tat folgt zunächst aus Nr(m) = Nr(m) sofort N",(Fm) = Nr(m) = Nr(m) =
= N",(Fm). Nun sei mEM" und A fest: dann gilt entweder A"1 0 "1 = Ö"l A mit geeignetem ÖELl, also (vgl. (6), (8» Affi = A"m: = A",,"m = Ö"Am, d.h. AmEMa, oder es gibt in
unserem Vertretersystem ein von A verschiedenes fJ., so daß man für geeignetes ÖELl
A"1 0 "1 = Ö"lfJ. und damit fJ."1 0 "1 = Ö"l Ahat; dann gilt (vgl. wiederum (6), (8» Am +I'm =
= A"m + I"'m = A",,"m + I"',,"m = Ö"(l'm + Am), d. h. Am + I'mE~. Damit ist stets
pm Eö~l"1ö' Es bleibt also nur noch die Unabhängigkeit von {A} zu zeigen; diese ist
jedoch mit (14) klar.
Wegen IG:HI'm=lf:LlI'm=Fm-pA-l)m und (14) folgt jetzt (wie in der
Kohomologie'theorie)
(21 a)
corO/HoresOIH = IG: HI· Id.
Wählt man in (21 a) speziell H = T, so folgt wegen J(T, M) = 0:
(22)
J(G,M) ist Torsionsgruppe mit exp(J(G,M» Ilfl.
Wir kommen zum
Fall b): H,;;;f.
Bezeichnet allgemein Hq(G,M) die q-te Tatesche Kohomologiegruppe des G-(Links-)
Moduls M (qEZ), so folgt aus (14) sofort!):
(19b)
Die Identität auf M induziert einen Gruppenhomomorphismus
H"l(H,M)_J(G,M), genannt Korestriktion.
corO/H
:
Nun sei f= YHA eine Nebenklassenzerlegung von f modulo H, dann ist G =Y
(HAuhAt) eine solche Gruppe von G modulo H, und wir behaupten:
(20b)
Die Zuordnung m~tC'm - Am:) induziert einen von der Wahl des Vertretersystems {A.} unabhängigen Gruppenhomomorphismus resO/H : J(G,M) H"l(H,M), genannt Restriktion.
1) Hier und im folgenden machen wir zwangslos von der Tateschen Kohomologietheorie endlicher Gruppen Gebrauch (vgl. etwa [2), eh. IV in [3], I. in [10] oder [11]), ebenso von den
Grundzügen der Galoiskohomologie (vgl. dazu auch II.I§ 2. in [10]).
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Zum Beweis betrachten wir zunächst den Spezialfall H = r : dann ist die fragliche
Abbildung durch m~m - ffi. gegeben, und alle Behauptungen lassen sich umgehend
verifizieren. Im allgemeinen Fall sieht man sofort, daß resGIH = resr}H oresG/r gilt, wobei reSr}H die übliche Restriktion bei (-1 )-ten Kohomologiegruppen ist. Damit ist alles
gezeigt.
Übrigens hat man auch hier wegen IG : HI . m = 2 ·1 r: HI . m = L (i'm - Affi.) t(i,-l)(m -m)+ Ir:HI·(m+m) mit (13) und (14)
I(21b)
corG/HoresGIH=IG:HI·Id.
Wählt man in (20b) speziell H = r und definiert
(23)
Jo(G,M) : = Ker resG/f>
so resultiert aus (21 b)
(24)
exp(Jo(G,M» 12,
folglich zusammen mit (22):
(25)
Ist Irl ungerade, so ist resG/r : J(G,M)~H-'(r,M) injektiv, mehr noch:
J(G,M) kann dann als direkter Summand in R' (r, M) aufgefaßt werden.
§ 4. Drei exakte Sequenzen
Lemma 1. - Man hat die exakte 5-Terme-Sequenz
o ~Jo(G,M)~J(G,M) --'4 R'(r,M) L H-'(G,M) ~ H-'(T,Nr(M» ~ 0
mit u = resGI!' gemäß (20 b) (also durch m~m - m induziert), ß = cordi!'
und y = defd/r die Deflation im Sinne von Kuzmin (also die durch m~Nr(m)
induzierte Abbildung aus Lemma 7. in [4]).
Zusatz zu Lemma 1. - Ist zusätzlich Irl ungerade und H' (T,M r ) = 0, so gilt Jo(G,M) =
= 0 = H-'(T,Nr(M», und die verbleibende kurze exakte Sequenz zerfällt, d. h.
H-'(r,M) == J(G,M)EBH-'(G,M).
Zum Beweis beachten wir, daß zufolge Lemma 7, in [4] zusammen mit (23) nur noch
"Im u;;;?Ker ß" zu zeigen bleibt, denn "ßou=O" ist klar. Dazu sei mEKer NrnIGM
(wobei wie üblich IG das Augmentationsideal im Gruppenring LG bezeichne), d. h.
es gibt ein XEM mit mE(X-X) + IrM. Aus letzterem folgt mit (9): O=N,(m) =
= Nr(x) - Nr(x). Also repräsentiert x ein Urbild von munter u. Was nun den Zusatz
betrifft, so genügt es wegen (25) H'(T,Nr(M» == H-'(T,Nr(M» = 0 zu beweisen. Da
voraussetzungsgemäß Irl ungerade ist, ist dann HO(r,M) als T-Modul kohomologisch
trivial, d.h. aus der exakten T-Modulsequenz
O~Nr(M)~Mr~HO(r,M)~O
ergibt sich nach Übergang zur exakten Kohomologiesequenz
Hq(T,Nr(M» == Hq(T,M r ) für alle qEL,
d. h. wir sind fertig.
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Die exakte Sequenz in Lemma 1. befriedigt noch nicht (ausgenommen im Falle
"Irl ungerade"), denn sie macht ja nur eine Aussage über J/Jo. Wenigstens in Spezialfällen kann man sofort mehr aussagen:
Lemma 2. - Ist r= (y) zyklisch (also G Diedergruppe), so hat man eine exakte Sequenz
o~ J(G,M) ~ H' (G,M) ~ H' (T, M) EB H' (Ty,M)
mit 'iJ = (resbm resb/Ty ) und cp induziert durch m~Xm, wobei
i-1
Xm(yi):=
yV(t-l)m und Xm(yit )
L
v=O
i
:=L yV(t-l)m (O<i~ Irl).
v=O
Zum Beweis zeigt zunächst eine (längliche) direkte Rechnung, daß durch obige Festsetzung ein normierter 1-Kozykel Xm wohldefiniert ist (d.h. xm(1.) = 0 und xm(rs) =
= xm(r) + Txm(S) für alle r,sEG). Wir berechnen nun den Kern der durch m~xm gegebenen Abbildung N-'(MG)~H'(G,M); sei dazu xm(s) = (S-I)y für alle SEG, so folgt
(y-l)y = xm(y)
= (t-I)m = xm(t) = (t-l)y,
also (vgl. (8»
m = y+z mit YEMy, und zEM" d.h. wegen (17)
mEL Mo'
OEr
Der Schluß ist umkehrbar, also ist cp injektiv. Außerdem ist wegen xm(t) = (t-l)m sowie
xm(yt) = (l +y) (t-l)m = (yt-I) (I-t) m ersichtlich 'iJ0CP = 0, so daß nur noch "Ker 'iJ S;; Im cp"
zu zeigen bleibt. Dazu sei xEZ'(G,M) ein normierter 1-Kozykel, insbesondere also
Nr(x(y» = 0 und x(t) +x(t) = 0 (v gl. etwa den Beweis von Satz (6.1) auf p. 82 oben
in [10]). Repräsentiert jetzt x zunächst nur ein Element in Ker res biT , so folgt für
.
y
geeignetes YEM
(Y-I)y - (t-I)y = (yt-I)y = x(yt) = x(y) + Yx(t) = x(y) - Yx(t) =
= x(y) - x(t) - (y-l)X(t) + (t-l)X(t),
d.h. der durch xo(s) : = x(s) - (s-l)(y+x(t» definierte und in W(G,M) dieselbe Klasse
wie x repräsentierende 1-Kozykel Xo erfüllt die Gleichung xo(Y) = xo(t). Repräsentiert
jetzt x und damit Xo auch noch ein Element in Ker resblTo so folgt xo(t) = (t-l)m = xm(t)
mit mEN-'(MG) wegen (9) und (10) zufolge Nr«t-l)m) = Nr(xo(Y» = Nr(x(y» = O.
Wie in [10], loc. eit. folgt daraus durch Iteration wie gewünscht Xo = xm.
Des Zusammenspiels mit Lemma 1. wegen ist es vorteilhaft, Lemma 2. wie folgt
zu ergänzen:
Lemma 3. - Ist r= (y) zyklisch (also G Diedergruppe), so hat man eine exakte Sequenz
0~1o(G,M)~H'(G,M)~H'(T,M) EBH'(Ty,M) EBH'(r,M)T
mit X = (resbIT> resbiTy , resb/r) und cp wie in Lemma 2..
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In Kenntnis von Lemma 2. samt Beweis ist hier nur noch "Im qJ = Ker X" zu beweisen;
dabei ist ,,~" klar wegen (t-l)m = xm(y) = (Y-l)y zufolge IrM = (y-l)M (da r zyklisch).
Da diese Schlußweise umkehrbar ist sind wir fertig.
§ 5. Moduln über Diedergruppen
G sei hier zunächst Diedergruppe, als
Lemma 2. sofort:
r= (y)
Satz 1. - Ist G Diedergruppe und ist H'(G,M)
KoroUar 1. - J(Llk)
= 1,
zyklisch. Dann ergibt sich aus
= 0, so folgt J(G,M) = o.
falls Llk reine Diedererweiterung.
Ist dabei Irl = 2, also G die Kleinsche Vierergruppe, so geht Satz 1. in das Corollaire
auf p. 68 in [5] über. Darüber hinaus erscheint erwähnenswert, daß auch Proposition
2. ibid. nur ein Spezialfall unseres Lemma 2. ist; dazu muß man allerdings letzteres
umformulieren: denkt man sich nämlich die Adamsonschen Kohomologiegruppen
(siehe [1])
H'([G:T],M), H'([G:Ty],M) und H'([G:r],M) == H'(T,M r )
jeweils via Inflation in H'(G,M) eingebettet (vgl. Theorem 7.3 ibid.), so kann man
Lemma 2./3. auch so lesen:
J(G,M) == H'([G: T],M) n H'([G: Ty],M) resp.
Jo(G,M) == H'([G :T],M) n H'([G : Ty],M) n H'(T,Mr ).
Ferner möge auf folgenden Zusammenhang mit [9] (vgl. auch die Vorankündigung
[8] dazu) hingewiesen werden: die Gruppe PU('t,B) in der Terminologie von [8] ist
nämlich nichts anderes als
J(G,Nrds/C(slB
X
»mit G : =
(o,'T 2 )
bei Verschmelzung beider Terminologien (d.h. der aus [8] und unserer). Insofern sind
Cor.1./2./3. iJl [8] (resp. die entsprechenden Korollare in § 4. von [9]) jeweils direkte
Folgerungen unseres Satz 1., wobei man bei Corollary 1. (resp. Corollary 4.17) noch
die Erkenntnis der vorletzten Zeile auf p. 120 in [4] für q = 1 hinzunehmen muß.
Unser Korollar 1. tritt demnach versteckt schon im Beweis von Corollary 4.13 auf
p. 205/6 der englischen Übersetzung von [9] auf. Übrigens sieht man so (auch im
Hinblick auf den Zusammenhang mit [5]) einige schon in der Einleitung erwähnte
Berührpunkte mit der Theorie der Schiefkörper.
Nun wollen wir aus Satz 1. eine leichte Folgerung herleiten, die sich nicht nur auf
Diedergruppen bezieht:
Satz 2. - Ist G vom Diedertyp und ist H'(H,M)
gilt sogar (in Verschärfung von (22»
= 0 für jede
exp(J(G,M»· exp(r) Ilrl.
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Diedergruppe H ~ G, so
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Korollar 2. - Ist L/k Diedererweiterung, so gilt sogar
exp(J(L/k»' exp(Gal(L/K» 1I L: KI·
Offenbar ist Korollar 1. ein Spezialfall von Korollar 2.! Zum Beweis wähle man in r
eine zyklische Untergruppe A mit lAI = exp(r) und betrachte die Diedergruppe
H := AT. Dann ist mit Satz 1. J(H,M) = 0, und wegen IG:HI = Irl/exp(r) folgt
dann die Behauptung aus (21 a).
§ 6. Ein Deflationssatz
Die Ergebnisse in § 4. haben den Mangel, daß man bei nicht-zyklischem r nur
Aussagen über J(G,M)/Jo(G,M) machen kann. Dem begegnet man durch Entwickeln
einer Technik, die die Möglichkeit des Ausnutzens von Induktion nach der Anzahl der
Erzeugenden von r eröffnet.
Sei nun A:2i r, also sogar A:21 G. Dann kann man für jedes GEr die Gruppe H" : =
: = AT,,:2i G vom Diedertyp betrachten. Also ist J(H",M) erklärt, wobei offenbar
J(H",M) = J(H"b,M) für alle öEA (vgl. (18». Andererseits verifiziert man leicht
mittels (15):
(26)
ml---"""m induziert einen Isomorphismus J(H,,2Q,M)~J(Ho,M).
Nun setzen wir G : = GI A und f : = r/ A; G ist dann vom Diedertyp, wobei G = fT
(T bettet sich kanonisch in G ein). Wegen der Normschachtelungsformel NfoN", = N r
und wegen N",(M"o) [;; N",(ML ~ N",(M,,) (oEf,ÖEA) hat man:
(27)
Die Zuordnung ml---"N",(m) induziert einen surjektiven Homomorphismus
defG!'" : J(G,M)~J(G,N",(M)), genannt Deflation.
Der nachfolgende Deflationssatz eröffnet nun die eingangs dieses Paragraphen erwähnten Möglichkeiten.
Lemma 4. - In der Situation von (26) und (27) hat man die exakte Sequenz
$J(HA,M)~J(G,M)~J(G,N",(M))~O
A
mit \'t = defO!"" wobei {A} ein fest gewähltes Vertretersystem von r modulo A
durchläuft und ()J = [COIO/H'
(im Sinne von (19 a» ist.
).
A
Da def GI6. ()J = 0 klar ist, genügt es zufolge (27) "Ker defO!'" [;; Im (0" zu zeigen. Dazu
sei N",(m) = N",(m) und gleichzeitig N",(m) = [N",(m A) = N",([mJ, wobei jeweils
A
N",(m A) = AN",(m A); folglich repräsentiert jedes mA ein Elem~nt in J(HA,M) und
mo: = m - [m AE Ker N", [;;N1(M H ) ein solches in J(H 1 ,M), q.e.d ..
0
A
Als Vorbereitung einer ersten Anwendung von Lemma 4. zeigen wir nun
Lemma 5. - G sei vom Diedertyp und A:2i f derart, daß f : = r I A zyklisch (also
G := G/A Diedergruppe) ist. Ist dann H 1 (G,M)=0 und für H := AT
res~!", : HO(H,M)~HO(A,M) die Nullabbildung, dann folgt J(G,N",(M)) =0.
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Normen der Diedererweiterungen von Zahlkörpern
Man hat nämlich das kommutative Diagramm
wobei dann voraussetzungsgemäß e die Nullabbildung ist. Andererseits erhält man
aus der üblichen Inflation-Restriktion-Sequenz H'(G,MÖ) = 0, so daß sich aus der
exakten Sequenz
O_Nö(M)~MÖ_HO(~,M)_O
nach Übergang zu G - resp. T - invarianten Elementen das folgende kommutative
Kohomologiediagramm mit exakten Zeilen ergibt:
MG_~(~,M)G_Hl(G,Nö(M»_O
r
r
1reS~/T
MH~~(~,M)T_H'(T,Nö(M» .
Wegen e = 0 (siehe oben) ist dann res5/T injektiv, demnach J(G,Nö(M» = 0 wegen
Lemma 2 ..
Als erste Anwendung von Lemma 4./5. zeigen wir:
Satz 3. - Ist G vom Diedertyp und M kohomologisch trivialer G-Modul, so folgt
J(G,M) =0.
Wir schließen nach der Anzahl der Erzeugenden von r; der Induktionsanfang ist dann
mit Satz 1. erledigt. Im allgemeinen Fall wählen wir ~ ~ r so, daß r := r/ ~ zyklisch
ist und ~ weniger Erzeugende als r hat. Dann folgt nach Induktionsvoraussetzung
aus Lemma 4. J(G,Nt;(M»
J(G,M) und aus Lemma 5. sodann wie behauptet
J(G,Nt;(M» = o.
=
§ 7. Diedererweiterungen und Klassenformationen
Satz 4. - Ist Llk Diedererweiterung und k lokaler Körper, dann gilt J(Llk)
= l.
Zum Beweis können wir den von Satz 3. abschreiben; der einzige Unterschied ist der,
daß die Voraussetzungen zur Benutzung von Lemma 5. hier nicht trivialerweise erfüllt
sind, sondern vielmehr aus der Kommutativität des aus der (lokalen) Klassenkörpertheorie bekannten Diagramms
HO(H,U) --='--~l Hab
1
1res~/t;
HO(~,U)
verH/t;
l
~
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Peter K. Draxl
erst verifiziert werden müssen (siehe z.B. [10], II./§ 5.). Dies ist aber klar wegen
(5).
Natürlich haben wir beim obigen Beweis nur benutzt, daß die lokalen Körper eine
Klassenformation konstituieren: Satz 4. ist also in Wahrheit ein Ergebnis über Klassenformationen (zu diesem Begriff vgl. etwa [10], 11. / § 1. oder [2], 65.), und deshalb
beweist man formal genauso (siehe [10], 111.) das nachfolgende globale Pendant dazu:
Satz 5. - Ist Llk Diedererweiterung, k globaler Körper und CL die Ideleklassengruppe
von L, dann gilt J(G,C L ) = 1.
§ 8. Eine Art "Lemma von Shapiro"
Im Hinblick auf die Erfordernisse des nächsten Paragraphen benötigen wir ein
weiteres Hilfsmittel, nämlich einen Satz, der dem "Lemma von Shapiro" aus der
Tateschen Kohomologietheorie nachempfunden ist.
Hierzu sei G vom Diedertyp und H ~ G Untergruppe. Wie schon in § 3. betrachten
wir zunächst den
Fall a): H$r.
Abermals kann wegen (18) ohne Einschränkung H = ~ T mit ~ : = H n r angenommen werden, und wir wählen auch wieder eine Zerlegung r = YA~, also G = YAH,
diesmal mit A= 1 bei AE~.
~
P sei jetzt H-Modul; dann ist M : = ~G 0"'HP = EB A0 P G-Modul. l : P~M mit
pl-----+10p und Jt: M~P mit LA0PA~P' sind dann H-Homomorphismen und
A
induzieren entsprechende Homomorphismen lo und Jto zwischen den zugehörigen J
(im Sinne von (12». So und mittels (19a) resp. (20a) definiert das nachfolgende
Diagramm
J(G,Mk
(28a)
00'0,"
) J(H,M)
1 "~~~;;~~
J(H,M) (
lo
I·.
" J(H,P)
zwei Homomorphismen <I> und'P, wobei man aus Jt(4:'\0P) = P zunächst <I>o\lf= Id
schließt. Andererseits gilt für jeden Vertreter [lE{A} Jt(I 'Ül0 Pu» = A'[l0 Pu = [l0P~1 +
+ (i-II([l0PI.)' wobei A' derart, daß A'[lE~ gilt. (14) ~rgibt dann 'l'ocp ='Id, d.h. <I>
und 'l'sind zueinander inverse Isomorphismen. Nun zum
Fallb):
H~r,
wo wir von der Zerlegung r = YAH ausgehen, welche dann die Zerlegung G =
= Y (AH utAH) nach sich zieht Auch hier sei A= 1 bei AE~.
Jetzt sei P wieder H-Modul; auch hier interessieren wir uns für den G-Modul
M : = ,ZG 0 "'HP = EB (A0 P$ tA ® P); l und Jt sind danll wie in Fall a) definiert. Bel-.
zeichnen dabei l' resp. Jt' die jeweils auf den H-' dadurch induzierten Homomorphis-
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Normen der Diedererweiterungen von Zahlkörpern
109
men, so definiert das gemäß (19b) resp. (20b) zu verstehende nachfolgende Diagramm
(28b)
zwei Homomorphismen Il> und Wo Wegen Jt(L:(A!8l P + tA!8lp)) = p folgt dann einerseits ll>oW= Id, andererseits hat man für jedes\!E{A} sowohl
+ (A'-l)(!!!8l Pi!) mit A'!!E~,
A'!!!8lPi! = W!8lPi! - (t!!!8lPi! +
Jtq:C'(!!!8lP~I)- A!(~l !8lPi!))) = A'!!!8lPi! = !!®Prl
als auch Jt(t("(t!!!8lP r.) - A!(t!!!8lP rl))) = + A'!(t!! !8l Pr.))'
(13) und (14) ergeben daraus Wo<l> = Id, d.h. auch hier sind <I> und Wzueinander inverse Isomorphismen.
Nun behaupten wir noch Jo(G,M) = 0 im Falle b); zum Beweis schreiben wir
künstlich M=~G!8l.l:r(~f!8l.l:HP) und wenden <I> aus (28b) zuerst im Spezialfall
H = f an, um dann den Isomorphismus des üblichen "Lemma von Shapiro" für
(-l)-te Tatesche Kohomologiegruppen nachzuschalten. Zufolge (23) wird dabei
Jo(G,M) schon im ersten Schritt auf Null abgebildet! Also haben wir insgesamt bewiesen:
Lemma 6. - P sei H-Modul, H::::::;G mit G vom Diedertyp. Ist dann M:= ~G!8l.l:HP
(also G/H-induzierter Modul), so hat man mit (28) einen Isomorphismus
J(G,M)~{J(~,P)
H- (H,P)
falls a): H$f,
b): Hs;;;f.
Dabei gilt im Falle b) sogar Jo(G,M) = O.
§ 9. Diedererweiterungen und Idelegruppen
In diesem Abschnitt sei k durchweg ein globaler Körper; Llk sei eine Diedererweiterung und IL die Idelegruppe von L. Ziel dieses Abschnittes ist der Beweis von
Satz 6. - Man hat Jo(G,Id = 1 und
n
J(G,I L ) --=-+
H2(Gp,Q/~)2),
Gps;;;f
Gv nicht zyklisch
2) Die Schurschen Multiplikatoren rechts berechne man mit Satz 25.10 in [7].
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wobei G~ die (hier wegen G v k: f durch l:J eindeutig festgelegte) Zerlegungsgruppe bezüglich irgendeiner Fortsetzung ~ von l:J in Llk bezeichnet. Insbesondere ist J(G,Id endlich und man hat sogar
exp(J(G,Id)2\lrI.
Der Beweis ist bereits weitgehend vorbereitet. Zunächst heben wir jedoch hervor,
daß die beiden letzten Behauptungen klar sind, die letzte wegen Satz 23.9a) in [7].
Nun zum eigentlichen Beweis: aufgrund der funktoriellen Eigenschaften von J ist
dieses mit Produkten vertauschbar; daher hat man unter Benutzung der bereits erI u mit endlichem Sund
läuterten Bezeichnungen wegen I L =
Y
I LS =
•
f1
VES
(z'GQ9-l:GvL~) X
f1 (Z,GQ9-l:GvU\jl),
VtS
wo U\jl die Gruppe der ~-lokalen Einheiten von L bezeichnet. Nun bedenken wir, daß
für in Llk unverzweigtes l:J der Gv-Modul U\jl kohomologisch trivial ist (vgl. etwa Satz
(4.3) in [10], II./§ 4.); dies zusammen mit Satz 3. und Lemma 6. sowie Satz 4. und
Lemma 6. ergi15t für genügend großes S (S enthalte alle die endlich vielen Primstellen
mit nicht zyklischem G v) zusammen mit "Hilberts Satz 90" (dieser unendlich oft angewandt) die Isomorphie
J(G,IL,S) ---=4
n
H-'(G v, L~):
Gpk:f
G~
nicht zyklisch
wobei das endliche Produkt auf der rechten Seite dann von S unabhängig ist. Jetzt sind
wir aber fertig, denn den Rest besorgt die lokale Klassenkörpertheorie (siehe z. B.
Satz (5.7) in [10], ILI § 5.) zusammen mit dem Dualitätssatz für Tatesche Kohomologruppen (vgl. Formel (11) in [2], 47.) wegen H-'(Gp,L~) == R 3(Gp,Z) == H 2(G V,Q/z').
ZU guter Letzt folgt noch aus dem Beweisgang zusammen mit Lemma 6. Jo(G,I L ) = 1.
§ 10. Bizyklische Diedererweiterungen
G sei vom Diedertyp und r sei dabei bizyklisch, d.h. es gebe eine zyklische Untergruppe ß~G mit zyklischem
riß (ß sei dabei im folgenden festgehalten);
G : = GIß ist dann Diedergruppe, und wir wollen in dieser Situation G vom bizyklischen Diedertyp nennen. Ist dann Llk Körpererweiterung mit G = Gal(Llk) vom
bizyklischen Diedertyp, so wollen wir Llk fortan kurz eine bizyklische Diedererweiterung nennen.
r:=
Satz 7. - Ist G vom bizyklischen Diedertyp und W(g,M) = 0 für jede Untergruppe
g~ G, so liefert die Deflation (gemäß (27)) den IsomQrphismus J(G,M) ==
== J(G,Nt;(M», welcher Ja auf Jo abbildet.
Dies ist bis auf die letzte. Behauptung wegen Satz 1. im Zusammenspiel mit Lemma 4.
klar; der Rest folgt aus dem nachfolgenden kommutativen Diagramm _ dabei ent-
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Normen der Diedererweiterungen von Zahlkörpern
111
stehen die exakten Zeilen aus Lemma 1. und der vertikale Isomorphismus rechts aus
[4], Lemma 7. wegen H- 1 (A,M) == H 1 (A,M) = 0 l~Jo(G,M)
d(G,M)
1
1
)H- 1 (r,M)
1
11
11
1~ 1o{G,N",(M» ~ J(G,N",(M» ~ H- (f, N",(M» ,
1
denn der vertikale Pfeil links ist dann notwendig ein Isomorphismus.
Ist jetzt Llk bizyklische Diedererweiterung und F der Fixkörper von A (dann sind
sowohl LlF als auch F/K zyklische Erweiterungen), so liefert Satz 7.
KoroUar 3. - Ist Llk bizyklische Diedererweiterung, dann hat man
J(Llk) == J(G,NLlF(U» und Jo(Llk) == JO(G,NLlF(U».
Von besonderem Interesse ist dabei der Spezialfall
(29)
L = FoF mit einer zyklischen Erweiterung FolK, wobei F o n F = K.
Im Zusammenhang mit der schon in § 5. erwähnten Arbeit [9] kann man nämlich in
der Situation von (29) die Isomorphie
(30)
PU(L,F,K)--=-'J(G,NLlF(U»
beweisen, wobei die Gruppe links gemäß der Definition in 5.1 (auf p. 208 der englischen Übersetzung) von [9] zu verstehen ist (der Isomorphismus wird - in der dortigen Terminologie - durch a~b induziert). Insofern kann also unser J(Llk) in der
Situation von (29) (und diese kann ja im bizyklischen Fall durch geeignete Wahl von
F immer erreicht werden) als USK 1 (D,T) (vgl. zu diesem Begriff etwa § 1. in [5])
eines geeigneten Schiefkörpers D mit Involution zweiter Art T aufgefaßt werden.
Außerdem hat man dann in Form von [9], Theorem 5.6 (zusammen mit (30) und
Korollar 3.) noch eine andere schöne Kennzeichnung von J(Llk) bei bizyklischen
Diedererweiterungen, von der wir hier allerdings keinen Gebrauch machen wollen.
Jetzt setzen wir für den Rest dieses Paragraphen
k global
voraus, beginnen jedoch mit einem Hilfssatz, welcher sich nicht nur auf bizyklische
Diedererweiterungen bezieht, sondern im Hinblick auf gewisse Erfordernisse in § 12.
ein wenig allgemeiner angelegt ist.
Lemma 7. - Llk sei vom Diedertyp, k sei globaler Körper und F sei ein über K zyklischer Zwischenkörper von LlK (insbesondere ist dann G = Gal(F/k) Diedergruppe), dann ist J(G,NLlF(U» endlich. Ist zusätzlich auch LlF zyklisch (also
Llk bizyklische Diedererweiterung), so ist die Sequenz
1--NLlF(LX)--NLlF(Id--NLlF(CL)--l
exakt 3 ).
3) Bezeichnungen wie in §§ 7., 9.
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112
Zum Beweis4 ) beachten wir, daß das Schlangenlemma das nachfolgende kommutative
Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten liefert; hierbei ist f... die Fixgruppe von F
(also Ci = GI M, v(LlF) ist der Scholzsche Knoten von LlF (also die Hindernisgruppe
in Bezug auf den Hasseschen Normensatz), und man hat Y = NLlF(CL) gen au dann,
wenn v(LlF) = 1.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1s 1
1
1
1
1
l~NLlF(U) ~ px~
(31)
v(LlF)
HO(f...,U) ~ 1
l~NLlF(Id~IF~ HO(f...,I L) ~1
1~v(LlF) ~ Y ------'> CF~HO(f...,CL) ~ 1
1
1
1
Also ist mit dem Hasseschen Normensatz der zweite Teil der Behauptung erledigt.
Nun zum ersten: mit Lemma 2. braucht natürlich nur die Endlichkeit von
W(G,NLlF(U» gezeigt zu werden; nun hat aber wegen HO(f...,C L) == f... die Gruppe
ImS in CF endlichen Index, d.h. H"(G,Ims) ist endlich für jedes qEZ (denn dasselbe
gilt ja für die Hq(G,CF», folglich (wegen der Endlichkeit von v(LlF» ebenso Hq(G,Y).
Demnach genügt insgesamt der Nachweis der Endlichkeit von H 1 (G,NLlF (I L», was
mit (27) und Satz 6. in Verbindung mit Lemma 2 auf die Endlichkeit der Gruppen
H- 1 (T,N uF(I L» == W(T,NuF(IL» resp. H-l(Ty,NuF(IL» == W(Ty,NuF(I L» hinausläuft. Letztere sind aber zufolge [4], Lemma 7. homomorphe Bilder der endlichen
Gruppen H- 1 (H,I L) resp. R 1 (Hy,IL) (hierbei H := f...T und By := f...Ty, wobei YEf
das Element YEf = ("1) repräsentiert), womit alles bewiesen ist.
Nun kommen wir zum Hauptresultat dieses Paragraphen:
Satz 8. - k sei globaler Körper und Llk bizyklische Diedererweiterung mit:
(32)
es gebe eine PrimsteIle \J von k mit G~= G = Gai(Llk).
Dann induziert L x~IL einen Isomorphismus
m: J(Llk)~J(G,IL)'
wobei Jo(Llk) = 1.
4) Hier und im folgenden machen wir zwanglos von der globalen Klassenkörpertheorie Gebrauch; vgl. dazu etwa [101, IIl. oder [31, eh. VII, insbesondere Abschnitt 11.4 auf pp. 198/9
ibid ..
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Normen der Diedererweiterungen von Zahlkörpern
113
Die Injektivität von w beinhaltet dabei natürlich ein Hasseprinzip! Zum Beweis betrachten wir das Diagramm (31) im hier vorliegenden Fall; dies bedeutet: v(LlF) = 1
und die rechte Spalte zerfällt sogar - letzteres selbst ohne die Voraussetzung (32),
denn das zyklische L\ kommt zufolge des Frobeniusschen Dichtigkeitssatzes (siehe
etwa [3], Ch. XI, p. 273 oben) sogar unendlich oft als Zerlegungsgruppe vor -, ferner
Y = NL/F(CL). Nun betrachten wir irgendeine Untergruppe g~ G = Gal(F/k); da (31)
sogar ein Diagramm von g-Moduln ist, können wir zum Kohomologiediagramm übergehen:
1
1
HO(g,P) ~HO(g,HO(L\,U» ~ H 1(g,N LlF (L X» ~ 1
1
1
1
1
H
1
1
HO(g,I F) ~ HO(g,HO(L\,I L» ~ H 1(g,N LlF (Id) ~ 1
HO(g,CF)~HO(g,HO(L\,CL»~H1(g,NLlF(CL» ~
1
1
1
1
Wegen (32) ist oben auch die linke Spalte eine zerfallende kurze exakte Sequenz,
wobei man die Zerfällung mit derjenigen der mittleren Spalte kompatibel machen
kann. Also gilt:
(33)"
1 ~H1(g,NLlF(L X))~H1(g,NLlF(IL))~H1(g,NLlF(Cd)~ 1
ist für jede Untergruppe g~ G = Gal(F/k) exakt.
Jetzt fassen wir Lemma 2. (mit G statt G) als Funktor auf der exakten Sequenz aus
Lemma 7. auf; wegen (33) führt dies zur Konfiguration des Schlangenlemmas, wobei
die zugehörige exakte Sequenz der Kerne lautet:
1~J(G,NLlF(LX))~J(G,NL/F(IL))~J(G,NLlF(CL))·
Wegen Satz 5./6./7. sind wir dann fertig, denn obige Sequenz geht dadurch in die
exakte Sequenz
1~J(Llk)~J(G,Id~J(G,CL)
=1
über, wobei Jo(Llk) == Jo(G,I L) = 1 (man schließe wie oben, nur mit Lemma 3. statt
Lemma 2.).
§ 11. Übergang zu Sylowgruppen
Hier soll eine weitere Analogie zur Tateschen Kohomologietheorie diskutiert werden, nämlich das Pendant zu (A. 2) auf p. 79 in [6].
Lemma 8. - L\i (i = 1,2) seien abelsch, f : = L\1 X L\2 und G : = fT vom Diedertyp,
also auch G i := G/L\i. Sind dann lL\il teilerfremd - d.h. n1 ·1L\11 + n2·1L\21 = 1
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Peter K. Draxl
114
für geeignete nj -, so hat man für G-Moduln M den J o in die Summe der J o
überführenden Isomorphismus
J(G,M)-=-'J(G"M~1) Ef)J(G2,M~2),
wobei die Projektionen auf die Faktoren durch N~, induziert werden.
Zum Beweis beachte man zunächst, daß die N~ einen (im allgemeinen nicht surjektiven) Homomorphismus Jtj: J(G,M) ~J(GhM~') induzieren; dies schließt man
genauso wie bei (27)5). Andererseits induzieren die Einbettungen M~'~M Homomorphismen Lj: J(GbNP') ---,>J(G,M). Also ist es vernünftig, die beiden Homomorphismen
Jto:= (Jt"Jt2) und lo:= l,on,·Id+l 2on2· Id
zu betrachten. Wegen
n,· N~1(m) + n2· N ~2(m) = (n,
·I~,I
2
+ n2 ·1~21)·m +
(5;-1) n··m
i=l ÖiE~j
1
folgt zunächst mit (14) L00Jto = Id, und wegen
L L
(n,·I~,I·m"n2·1~21·m2) = (m"m2) - (1~21·n2·m1,1~11·n1·m2)
folgt schließlich unter Benutzung von (22) (angewandt auf J(GbM~')) auch noch
Jtoolo = Id, d. h. Jto und LO sind zueinander inverse Isomorphismen. Daß bei alledem Jo
in die direkte Summe der J o übergeht, sieht man durch Kombination obigen Beweisganges mit dem von (A. 2) auf p. 79 in [6] zusammen mit der Definition (23).
Wegen Lemma 8. genügt es bei Untersuchungen von J(G,M) oft, die Fälle "Irl
ungerade" und "Irl Zweierpotenz" getrennt zu behandeln. Dabei ist wegen (25) und
des Zusatzes zu Lemma 1. der erstere vielfach der angenehmere.
§ 12. Diedererweiterungen über globalen Körpern
In diesem abschließenden Paragraphen sei k durchweg globaler Körper.
Satz 9. - Ist Llk Diedererweiterung und k globaler Körper, so ist J(Llk) stets endlich.
Der Beweis erfolgt durch Induktion nach der Anzahl der Erzeugenden von
r= Gal(LlK); den Induktionsanfang verkörpert Korollar 1., den Induktionsschluß
führt man mittels Lemma 4. unter Benutzung von Lemma 7. ohne Mühe.
Nun das Hauptergebnis dieser Arbeit:
Satz 10. - k sei globaler Körper und Llk Diedererweiterung mit:
(34)
die 2-Sylowgruppe von r sei bizyklisch
und
5) Man könnte Itj die Deflation im Sinne von Weiss nennen, während unsere Deflation aus (27)
mehr im Sinne von Kuzmin ist; vgl. dazu das auf p. 79 ganz unten in [6J Gesagte.
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Normen der Diedererweiterungen von Zahlkörpern
115
es gebe eine PrimsteIle .):l von k mit GI' = G = Gal(Llk).
Dann induziert LX~IL einen Isomorphismus
(35)
w : J(Llk) ~J(G,IL)'
wobei Jo(Llk) = 1.
Genau wie bei Satz 8. beinhaltet die Injektivität von wein Hasseprinzip. Zum Beweis
beachten wir zunächst, daß (34) wegen (25) und in Verbindung mit (35) wegen Satz 8.
sofort Jo(Llk) = 1 impliziert. Faßt man jetzt Lemma 1. als Funktor auf der exakten
Sequenz
l~LX~IL~CL~l
auf, so führt dies (da auf dieser Sequenz wegen (35) alle Hq als exakte Funktoren
wirken) zur Konfiguration des Schlangenlemmas, wobei die zugehörige exakte Sequenz der Kerne wegen Satz 5./6.
l~J(Llk) ~J(G,IL) ~
1
lautet.
Abschließend noch einige Bemerkungen zu den einschränkenden Annahmen (34)
und (35). Erstere stört im Hinblick auf die in § 10. skizzierten Anwendungen im Zusammenhang mit [9] weniger. Mehr schon ist (35) unbefriedigend: aber selbst im Falle
"Irl ungerade" (dann ist ja (34) gegenstandslos) sind die Auswirkungen des Fallenlassens von (35) verwickelt und führen zu Fragen betreffend gewisse vierte Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in ~; dies soll Gegenstand einer späteren Veröffentlichung sein.
Literatur
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
I. T. Adamson: Cohomology Theory for Non-Normal Subgroups and Non-Normal Fields.
Proc. Glasgow Math. Assoe. 2 (1954/56), 66-76.
A. Babakhanian: Cohomological Methods in Group Theory, Marcel Dekker, New York
(1972).
J. W. S. Cassels und A. Fröhlich (Herausgeber): Algebraic Number Theory, Academic
Press, London and New York (1967).
P. Draxl: SK, von Algebren über vollständig diskret bewerteten Körpern und Galoiskohomologie abelscher Körpererweiterungen, J. reine u. angew. Math. 293/294 (1977), 116142.
P. Draxl: Corps gauches a involution de deuxieme espece, Soc. Math. de France Asterisque
61 (1979), 63-72.
P. Draxl und M. Kneser (Herausgeber): SK, von Schiefkörpern, Lecture Notes in Math.
778, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1980).
B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1967).
V. I. Jancevskii: über reduzierte unitäre K-Theorie (russisch), Dokl. Akad. Nauk 229
(1976), 1332-1334 = Soviet Math. Dokl. 17 (1976),1220-1223.
V. I. Jancevskii: Reduzierte unitäre K-Theorie und Schiefkörper über diskret bewerteten
Henselkörpern (russisch), Izv. Akad. Nauk 42 (1978), 879-918 = Math. USSR Izv. 13
(1979),175-213.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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116
Peter K. Draxl
[10] J. Neukireh: Klassenkörpertheorie, B.I.-Hochschulskripten 713/713a, Bibliographisches
Institut, Mannheim, Wien, Zürich (1969).
[11] E. Weiss: Cohomology of Groups, Academic Press, London and New York (1969).
[12] H. Zassenhaus: The Theory of Groups (2nd ed.), Chelsea, New York (1958).
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117
Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
Von Marcel Erne, Hannover
Abstract
The DEDEKIND-MACNEILLE completion by cuts as weil as FRINK's ideal completion are used in order to introduce distributive laws in partially ordered sets.
Replacing each identity of the form x =y Y by ~x = ~ Y, where ~ Y is the least cut
(i.e. the intersection of all principal ideals) containing Y, we transform the distributive
law (d y ) x /\ (yyz) = (x/\y) Y (x/\z) into the identity (ö y ) ~x n ~{y,z} = ~(~x n
n (~y u ~z», and the infinite distributive law (dy) x /\ YY = Y {X/\Y:YEY} into
(öy) ~x n ~ Y = ~(~x n U {~Y:YEY}). Accordingly, we call a quasiordered set Q
with cut operator ~ weakly distributive or strongly distributive, respectively, if (ö y)
or (öy) are satisfied. Replacing the cut operator ~ with the ideal operator I (which
associates to each subset the least ideal containing it), we arrive at the notion of ideal
distributivity. Finally, we say Q is cut distributive if (ö y) holds at least for all sets Y
which are finite unions of cuts.
Besides various different characterizations of these distributivity concepts, we obtain
the following facts:
(1) Q is strongly distributive if and only if the cut completion ö(Q) satisfies the infinite
distributive law (d y ).
(2) Q is weakly distributive if and only if the least sublattice of ö(Q) containing all
principal ideals is distributive.
(3) Q is cut distributive if and only if ö(Q) is distributive.
(4) Q is ideal distributive if and only if the ideal completion L(Q) is distributive.
Most of the results are extended from cut resp. ideal completions to arbitrary c10sure
systems. Furthermore, it is shown by counterexamples that for arbitrary quasiordered
sets, all four types of distributivity are distinct while in lattices, (2), (3) and (4)
describe the usual distributive law (d y ).
1. RICHARD DEDEKIND und die Grundlagen der Verbandstheorie
Hierbei verliert zwar die Untersuchung ihr arithmetisches Gepräge fast
ganz, so daß sie mathematische Kenntnisse kaum noch voraussetzt, aber
zugleich treten die Gesetze und ihre Gründe deutlicher hervor, und ich
darf hoffen, daß in dieser Hinsicht meine Arbeit doch noch einigen Mathematikern willkommen sein mag. (R. DEDEKIND, aber Zerlegungen von
Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler. Festschrift der Technischen
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Marcel Erne
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Hochschule zu Braunschweig bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte, S.1-40, 1897).
Mit diesen bescheidenen Worten eröffnet DEDEKIND eine Arbeit, deren Entstehung man als Geburtsstunde der modernen Verbandstheorie ansehen kann, obwohl
es an die vierzig Jahre dauern sollte, bis die Tragweite dieser Theorie in vollem Ausmaß erkannt wurde und durch Arbeiten von F. KLEIN-BARMEN [23], G. BIRKHOFF [8], [9] und M. H. STONE [34], [35] allgemeine Anerkennung fand.
E. NOETHER hat allerdings schon früher auf die besondere Bedeutung der DEDEKIND'schen Theorie der "Dualgruppen" hingewiesen (vgl. [14, S.147 u. 271]).
Heute hat sich für diese Strukturen die von F. KLEIN-BARMEN stammende Bezeichnung" Verbände" durchgesetzt.
In § 4 der eingangs zitierten DEDEKIND'schen Abhandlung steht bereits implizit
die Äquivalenz der ordnungstheoretischen und der algebraischen Definition der Verbände, welche sich später als so überaus fruchtbar erweisen sollte. Allerdings taucht
der Begriff der teilweise geordneten Menge erst bei HAUSDORFF [21] auf, während
DEDEKIND statt mit den Ordnungsrelationen ~ (bei ihm etwas mißverständlich
mit < bezeichnet) lieber mit den "Hauptschnitten " t Y= {x: x ~ y} arbeitete (ohne
diesen Namen explizit zu verwenden). Für eine detaillierte Schilderung der Entwicklung der Verbandstheorie aus den DEDEKIND'schen Anfängen bis in die vierziger
Jahre unseres Jahrhunderts sei auf H. MEHRTENS [26] verwiesen.
Die distributiven Verbände, also solche, in denen das Distributivgesetz (bei DEDEKIND: ,,1dealgesetz ")
(d v ) x /\ (yvz) = (x/\y)
V
(x/\z)
gilt, nannte DEDEKIND "Dualgruppen vom Idealtypus". Dabei hatte er (wie schon
die Namensgebung verrät) vorrangig die Gruppen gebrochener Ideale in algebraischen Zahlkörpern vor Augen. Daß es sich hierbei tatsächlich um distributive
Verbände handelt, bewies er auf äußerst elegante Weise mit Hilfe des folgenden viel
allgemeineren Satzes, den man als Fundamentalsatz der Verbandsgruppentheorie bezeichnen kann; (vgl. [14, S.127-135] und [9, VIII, Th. 2-4]). Ist G sowohl eine
Gruppe als auch ein /\-Halbverband mit
(-)
x(y /\z) = xy /\ xz
so ist G bereits ein distributiver Verband, in welchem das Supremum xvy durch die
Gleichung
(x/\ Y) (xvy) = xy
bestimmt ist.
Man kann sogar zeigen, daß in einer solchen "Verbandsgruppe" das unendliche Distributivgesetz
(d V) x/\VY=V(x/\Y)
(mit x/\ Y
= {X/\Y:YEY})
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
119
für jede Menge Y erfüllt ist, welche ein Supremum YY besitzt (vgl. hierzu etwa [9,
VIII, Th. 25]). In allgemeinen distributiven Verbänden gilt (d y ) jedoch nur für nichtleere endliche Teilmengen Y. Einen vollständigen Verband, in dem (d y ) für beliebige
Teilmengen Y richtig ist, wollen wir V-distributiv nennen (vgl. KATRINÄ.K [22]).
Man beachte, daß eine nichttriviale Verbandsgruppe kein größtes Element besitzt und
daher kein vollständiger Verband sein kann. Beispiele V-distributiver Verbände sind
alle vollständigen Ketten und alle vollständigen Booleschen Verbände, aber auch jede
Topologie, aufgefaßt als System der offenen Mengen eines topologischen Raumes.
Hingegen ist das System der abgeschlossenen Mengen zwar stets ein distributiver vollständiger Verband, jedoch im allgemeinen nicht V-distributiv. Zum Beispiel ergibt
sich im Verband der abgeschlossenen Teilmengen von R (bezüglich der Euklidischen
Topologie):
{O}
1\
Y {[*,l]:nEIN}
Y{ {O}
1\
= {O}
n [0,1]
= {O},
[*:1] :nEN} =Y0 = 0.
Neben den Idealverbänden erwähnt DEDEKIND bereits eine ganze Reihe weiterer
Beispiele von distributiven Verbänden, so die Teilerverbände und die von E. SCHRÖDER [32] eingehend studierten Mengensysteme, welche gegen binäre Vereinigungsund Durchschnittsbildung abgeschlossen sind. Die heute übliche Bezeichnung für ein
solches System ist Mengenverband (oder auch Mengenring).
Während der ringtheoretische Idealbegriff im Brennpunkt vieler algebraischer und
zahlentheoretischer Studien DEDEKINDS steht, taucht der völlig analog definierte
(und in entsprechender Weise auf Zerlegungsprobleme anwendbare) Begriff des Verbandsideals anscheinend erst sehr viel später auf, nämlich in den Arbeiten von M. H.
STONE [34], [35] aus den dreißiger Jahren. Unter einem Ideal eines Verbandes V
versteht man bekanntlich eine (gelegentlich als nichtleer vorausgesetzte) Teilmenge Y
von V mit den beiden Eigenschaften
XEY und YEY ~ XVYEY,
XEV und YEY ~ XI\YEY,
welche man zu der Äquivalenz
xEYund YEY <O>XVYEY
zusammenfassen kann. Die Gesamtheit L(V) aller Ideale von V ist bezüglich Mengeninklusion ein vollständiger Verband, welcher zwei bemerkenswerte Eigenschaften
hat:
(1) L(V) ist genau dann distributiv, wenn dies für V gilt.
(2) Jedes Element von L(V) ist Infimum (d. h. Durchschnitt) von (infimum-) irreduziblen Idealen.
(vgl. [12, 6.1 und 9.1]). In dieser Zerlegungseigenschaft liegt, ähnlich wie bei der
Theorie der Ringideale, die vorrangige Bedeutung des Idealbegriffs. Beispielsweise
läßt sich aus ihr sofort der BIRKHOFF-STONE'sche Darstellungssatz ableiten,
welcher besagt, daß ein Verband genau dann distributiv ist, wenn er isomorph zu einem
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120
Marcel Erne
Mengenverband ist: Ordnet man jedem Element x eines distributiven Verbandes V
die Menge aller x nicht enthaltenden irreduziblen Ideale ("Primideale") zu, so erhält
man einen Verbandshomomorphismus von V in eine Potenzmenge, und folglich ist
das Bild dieses Homomorphismus ein Mengenverband. Die Zerlegungseigenschaft (2)
garantiert dabei gerade die Injektivität der angegebenen Abbildung (vgl. BIRKHOFF
[8] und [9, S.194]).
Etwa gleichzeitig mit SCHRÖDER entdeckte DEDEKIND den "eigenthümlichen
Dualismus des Idealgesetzes", d.h. die Äquivalenz der Identität (d y ) mit dem dualen
Gesetz
(dA) x Y (YAZ) = (xvy) A (Xyz).
Heute sagt man, Distributivität sei eine selbstduale Eigenschaft. Darunter versteht
man allgemein eine Eigenschaft, welche gen au dann für einen Verband V (oder allgemeiner für eine geordnete Menge) erfüllt ist, wenn sie für die zu V duale Struktur
V- gilt, welche aus V durch Umkehrung der Ordnungsrelation entsteht.
Bei der Suche nach sinnvollen Verallgemeinerungen des Distributivgesetzes auf beliebige quasigeordnete Mengen werden wir uns von den Postulaten der "Idealinvarianz" und der "Selbstdualität" leiten lassen. Wir vermerken an dieser Stelle, daß
V-Distributivität natürlich keine selbstduale Eigenschaft ist (wie das Beispiel der
Euklidischen Topologie, aufgefaßt als vollständiger Verband, zeigte: Der duale Verband ist hier bis auf Isomorphie gerade das System der abgeschlossenen Mengen).
Die eingangs zitierte Arbeit und die daran anknüpfende Schrift "Ober die von drei
Moduln erzeugte Dualgruppe" [14] aus dem Jahre 1900 sind keineswegs die einzigen
Beiträge DEDEKINDs zur Begründung der modernen Ordnungs- und Verbandstheorie. Eine mindestens ebenso wichtige "Erfindung" auf diesem Gebiet waren
zweifellos die berühmten DEDEKIND'schen Schnitte, mit Hilfe derer er den angeordneten Körper der reellen Zahlen aus dem der rationalen Zahlen gewann [13].
Auch wenn heute nicht generelle Einigkeit darüber besteht, ob DEDEKINDs
Methode die elementarste und eleganteste Einführung der reellen Zahlen darstellt
(vgl. G.J. RIEGER: "Was sind und was sollen die DEDEKIND-Schnitte noch?", diese
Festschrift), so ist doch die Tragweite seiner Konstruktion im Hinblick auf die Vervollständigung beliebiger geordneter Mengen unumstritten. Eine systematische Analyse dieses allgemeinen Konzepts der "Vervollständigung durch Schnitte" findet sich
allerdings erst in den Arbeiten von H.M. MACNEILLE [24], [25], gut fünfzig Jahre
nach der 1872 erschienenen Erstveröffentlichung von DEDEKINDs Abhandlung
über "Stetigkeit und irrationale Zahlen" [13].
Bekanntlich verstand DEDEKIND unter einem Schnitt eine Zerlegung der Menge
der rationalen Zahlen in zwei nichtleere Teilmengen A (genannt Unterklasse ) und B
(genannt Oberklasse) mit der Eigenschaft, daß jedes Element von A kleiner als jedes
Element von B ist. Die vom axiomatischen Standpunkt aus etwas unbequeme Tatsache, daß bei dieser Definition jeder rationalen Zahl q zwei Schnitte entsprechen (je
nachdem ob man q zur Unter- oder zur Oberklasse rechnet), hat MACNEILLE durch
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
121
einen einfachen Kunstgriff geschickt umgangen: Anstatt die Disjunktheit der Mengen
A und B in der Schnittdefinition zu fordern, verlangte er, daß A genau die Menge
aller unteren Schranken von B und umgekehrt B genau die Menge aller oberen
Schranken von A sein solle. In dieser Definition, welche sich offenbar auf beliebige
teilweise geordnete Mengen anwenden läßt, ist wiederum die Unterklasse A durch die
Oberklasse B eindeutig bestimmt, so daß es genügt, sich auf die Betrachtung einer der
beiden Mengen zu beschränken. Dies führt auf den heute üblichen Begriff der
(unteren bzw. oberen) Schnitte in quasigeordneten Mengen, wie wir ihn in der vorliegenden Arbeit verwenden wollen. Die Gesamtheit aller Schnitte bildet (wie in Abschnitt 2 genauer erläutert wird) einen vollständigen Verband, der üblicherweise
Schnittvervollständigung oder Normalvervollständigung genannt wird. (Im Sinne der
allgemeinen ordnungstheoretischen Definition bekommt man als Vervollständigung
der total geordneten Menge Q natürlich nicht die reelle Zahlengerade R, sondern
deren "Zweipunktkompaktifizierung" Ru { ± 00 }.)
Von den vielen universellen Eigenschaften der Normalvervollständigung einer teilweise geordneten Menge Q sei hier nur erwähnt, daß es sich dabei in gewissem Sinne
um den kleinsten vollständigen Verband handelt, welcher die vorgegebene Menge Q
enthält: Jede ordnungserhaltende Abbildung von Q in einen beliebigen vollständigen
Verband läßt sich (im allgemeinen allerdings nicht eindeutig) auf die Normalvervollständigung fortsetzen. Für weitere Details sei auf die Arbeiten von MACNEILLE
[24], [25], BANASCHEWSKI und BRUNS [3], [4], [10], SCHMIDT [30] und
BISHOP [7] verwiesen.
Wir wollen nun im folgenden der Frage nachgehen, wie man das Konzept der Schnitte
zur Erweiterung der verbands theoretischen Distributivgesetze auf beliebige teilweise
geordnete Mengen (allgemeiner: quasigeordnete Mengen) ausnutzen kann. Eine ausführliche Darstellung der zugrundeliegenden "vervollständigungsinvarianten "
Theorie teilweise geordneter Mengen sowie einige der im folgenden vorgestellten
Resultate findet man in [17]. Zum Verständnis der vorliegenden Arbeit ist die Kenntnis des" Vorläufers" [17] jedoch nicht erforderlich.
Der Spezialfall der Verbände wurde bereits 1952 von DILWORTH und MCLAUGHLIN in [15] behandelt.
2. Hüllenoperatoren und Schnittoperatoren
Bevor wir zur eigentlichen Theorie der Schnittoperatoren kommen, erscheint es unumgänglich, einige der verwendeten Symbole und Begriffe kurz zu erläutern, da die
in der Literatur auftretenden Bezeichnungen sehr uneinheitlich sind. Wir beginnen
mit einigen mengen- und ordnungstheoretischen Notationen.
Ist Y eine Teilmenge der Menge X, so schreiben wir Y <;; X, während Z ~ X bedeutet,
daß Z eine endliche Teilmenge von X ist (Z = kf nicht ausgeschlossen). Das Symbol
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122
I,ßX steht für die Potenzmenge von X, @:X für das System aller endlichen nichtleeren
Teilmengen und ßX für das aller endlichen Teilmengen von X. Eine beliebige Teilmenge [l von I,ß X ist ein Mengensystem auf X. Es sei
U [l : = {XEX:XEY für mindestens ein YE[l}
die Vereinigung, und
n[l:= {xEX:xEYfür jedes YE[l}
der Durchschnitt des Systems [l.
Die Begriffe Hüllenoperator, Hüllensystem etc. haben die übliche mengentheoretische Bedeutung. Ein Hüllenoperator über X ist also eine extensive, isotone und
idempotente Abbildung der Potenzmenge I,ßX in sich (vgl. etwa SCHMIDT [27],
[28], [29]). Bekanntlich erhält man eine Bijektion zwischen Hüllenoperatoren und
Hüllensystemen, indem man jedem Hüllenoperator [ sein Bild q I,ßX] (d. h. das
System der [-abgeschlossenen Mengen) zuordnet. Umgekehrt erhält man zu einem
Hüllensystem I den zugehörigen Hüllenoperator [ durch die Festsetzung
[Y= n{ZEI:Y<;;;Z}.
Das Paar (X,r) nennen wir einen Hüllenraum und die Mengen fy: = f{y} Punktabschlüsse.
Für jede Menge X sind die folgenden vier Abbildungen spezielle Hüllenoperatoren
über I,ßX (nicht über Xl):
"\J: II--->"\JI = {U[l :[l<;;; I},
.n: II--->.nI= {n[l :[l~I},
"V:
II---> vI= {U .8:.0"* Ir;;;;.8}'
.LI I = {n.8 :.0"* I~.8}.
.n: II--->
Offenbar ist .n I gerade das kleinste I umfassende Hüllensystem. Gilt I =-U I =
.nI, so nennen wir I eine A-Topologie; üblich sind auch die Bezeichnungen (A-)
diskrete Topologie [2], prinzipale Topologie [33] oder volistChdiger Mengenring [9],
[11]. A-Topologien sind also genau diejenigen Hüllensysteme, weIche zugleich Topologien sind.
Nun zu den ordnungstheoretischen Grundbegriffen: Eine Quasiordnung auf der
Menge X ist eine reflexive und transitive Relation ~ auf X. Ist sie auch antisymmetrisch, so sprechen wir von einer teilweisen Ordnung. Sind außerdem je zwei Elemente X,YEX bezüglich ~ vergleichbar (d.h. x~y oder y~x), so handelt es sich um
eine totale Ordnung. Entsprechend nennt man das Paar Q = (X,~) eine quasi-, teilweise oder total geordnete Menge (im letzten Fall auch Kette). Ist ~ eine Quasi(teilweise, totale) Ordnung, so auch die durch x~y:~ y~x definierte duale Relation
~. Q- = (X,~) heißt die zu Q = (X,~) duale quasi- (teilweise, total) geordnete
Menge. Für ein Element YEX setzen wir
~y:= {XEX:X~Y},
iy:= {XEX:}!~X},
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
123
und für eine beliebige Teilmenge Y von X sei
tY:= U {ty: YEY}, iY:= U {iy: YEY},
Yt:=(l{tY:YEY}, yi:=(l{iY:YEY}.
t Y (bzw. iY) heißt der von Y erzeugte untere (bzw. obere) Abschnitt. Ist Y eine endliche Menge, so sagen wir, tY sei ein endlich erzeugter (unterer) Abschnitt. Die Elemente von Yt sind die unteren Schranken, die Elemente von Y i die oberen Schranken
der Menge Y. Jede zu Y gehörige untere Schranke von Y heißt kleinstes Element von
Y. In quasigeordneten Mengen können Teilmengen mehrere kleinste Elemente besitzen (die dann allerdings paarweise vergleichbar sind), während in teilweise geordneten Mengen kleinste Elemente eindeutig bestimmt sind. Größte Elemente definiert
man dual. Die Begriffe Infimum (größte untere Schranke), Supremum (kleinste obere
Schranke), v - bzw. 1\ -Halbverband, Verband, vollständiger Verband, Verbandshomomorphismus etc. sowie die Symbole v, 1\ ,v, /\ verwenden wir im üblichen Sinn (vgl.
etwa BIRKHOFF [9] oder GRÄTZER [20]). Dabei greifen wir lieber auf die ordnungstheoretischen als auf die algebraischen Definitionen zurück, um später die gewünschten Verallgemeinerungen auf quasigeordnete Mengen mühelos vollziehen zu
können.
Eine wichtige Klasse vollständiger Verbände ist die der (durch Mengeninklusion teilweise geordneten) Hüllensysteme. Hier stimmen beliebige Infima mit den entsprechenden Durchschnitten überein, während das Supremum eines Teilsystems ~er
Abschluß der Vereinigung ist. In einem Hüllensystem I mit zugehörigem Hüllenoperator r gilt also
In einer A-Topologie fallen auch beliebige Suprema mit den entsprechenden Vereinigungen zusammen (und der zugehörige Hüllenoperator erhält nicht nur endliche,
sondern sogar beliebige Vereinigungen).
Das folgende Lemma über supremumerhaltende Abbildungen zwischen gewissen
Mengensystemen wird im Verlauf unserer Betrachtungen von besonderem Nutzen
sein:
Lemma 2.1. Sei rein Hüllenoperator über X und I das zugehörige Hüllensystem.
Dann ist für jedes I umfassende Mengensystem m auf X die Restriktion q ~11 eine
Abbildung von m auf I, die alle existierenden Suprema bewahrt. (Dabei ist die Ordnungsrelation auf IDc und I die Mengeninklusion).
Den einfachen Beweis können wir hier übergehen.
Wir werden dieses Lemma meist in Verbindung mit der folgenden offensichtlichen
Tatsache anwenden:
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Lemma 2.2. Das Bild eines distributiven Verbandes V unter einem Verbandshomomorphismus cp ist wieder ein distributiver Verband. Ist V sogar V-distributiv und erhält cp
zusätzlich beliebige Suprema, so ist auch das Bild cp[V] V-distributiv.
Jeder Hüllenoperator r über einer Menge X induziert eine Ouasiordnung ~ vermöge
(X,YEX).
Umgekehrt gibt es zu jeder quasigeordneten Menge 0 = (X,~) zwei "charakteristische" Hüllenoperatoren, welche die Ouasiordnung ~ induzieren, nämlich den
Abschnittoperator
~: ~X---->~X,Yf-->~Y= U{~Y:YEY}
und den Schnittoperator
ö.: ~X----> ~X, Yf--> yi~ = n{~y :Ydy}.
Die Fixpunkte des Abschnittoperators ~ heißen (untere) Abschnitte; sie bilden nicht
nur ein Hüllensystem, sondern sogar eine A-Topologie 8(0) (vgl. ALEXANDROFF
[2]).
Die Fixpunkte des Schnitt operators ö., im folgenden (untere) Schnitte genannt, bilden
ein Schnittsystem ö(O), d.h. ein Hüllensystem, dessen sämtliche Elemente als Durchschnitte von Punktabschlüssen darstellbar sind (vgl. ABIAN [1], BANASCHEWSKI
[3], SCHMIDT [30]).
Wie eine einfache Überlegung zeigt, ist 8(0) das größte und ö(O) das kleinste Hüllensystem, dessen Hüllenoperator die vorgegebene Ouasiordnung induziert. Analog
definieren wir obere Abschnitte und obere Schnitte mit Hilfe der "dualen" Hüllenoperatoren
t : ~X ----> ~X, Y f--> iY,
'V: ~X ----> ~X, Y f--> Y/ .
Unsere Schnittdefinitionen hängen mit der ursprünglichen, von MACNEILLE gegebenen, folgendermaßen zusammen: Ein Paar (A,B)E~X X ~X ist genau dann ein
DEDEKIND-MACNEILLE'scher Schnitt, wenn A=B~ und B=~ gilt. In diesem
Fall ist A ein unterer und B ein oberer Schnitt. Umgekehrt sind für jeden unteren
Schnitt A und jeden oberen Schnitt B die Paare (A,A ) und (B~ ,B) DEDEKINDMACNEILLE'sche Schnitte.
Wir merken noch an, daß jede quasigeordnete Menge sowohl durch ihren Abschnittals auch durch ihren Schnittoperator eindeutig bestimmt ist. Genauer ist die Zuordnung 0 f--> 8(0) eine Bijektion zwischen quasigeordneten Mengen und A-Topologien, während die Zuordnung Of-->ö(O) eine Bijektion zwischen quasigeordaeten
Mengen und Schnittsystemen darstellt (vgl. [2] und [16]).
In beliebigen quasigeordneten Mengen können wir die Tatsache, daß x eine kleinste
obere Schranke der Menge Y ist, durch jede der beiden Gleichungen ix = y i und
Ö.x = Ö. Y beschreiben. Entsprechend ist x genau dann größte untere Schranke von Y,
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
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wenn tx=Ij, bzw, Ax= n{AY:YEY} gilt, Auf diese Weise lassen sich alle Gleichungen, welche Suprema und Infima beinhalten, allein mit Hilfe des Schnittoperators A
formulieren, Wir werden hiervon später ausgiebig Gebrauch machen,
Da ö(Q) und 8(Q) Hüllensysteme, insbesondere also vollständige Verbände sind,
spricht man auch von der SchnittvervollständigungÖ(Q) und der Abschnittvervollständigung 8(Q), Im Falle der total geordneten Menge Q der rationalen Zahlen ist ö(Q)
ein Modell für die vervollständigte reelle Zahlen ger ade Ru {± oo}, während 8(Q)
gerade aus allen Unterklassen DEDEKIND'scher Schnitte im ursprünglichen Sinne
besteht (ohne Identifikation der jeweils zwei Schnitte, die von einer rationalen Zahl
erzeugt werden!), einschließlich der leeren Menge fif und der Gesamtmenge Q, Im allgemeinen ist 8(Q) wesentlich größer als Ö(Q), Zum Beispiel ist 8(R) isomorph zu
einer Kette, die man bekommt, indem man jede reelle Zahl "verdoppelt" und ± 00
hinzufügt, Für eine Antikette A (d, h, eine Menge paarweise unvergleichbarer Elemente) entsteht Ö(A) (bis auf Isomorphie) durch Hinzufügen eines kleinsten und
eines größten Elements, während 8(A) die volle Potenzmenge jßA ist,
Jede teilweise geordnete Menge kann als Teilmenge ihrer Schnitt- bzw, Abschnittvervollständigung aufgefaßt werden, vermöge der Einbettung, welche jedem Element
Y den davon erzeugten Hauptschnitt ty zuordnet, Für vollständige Verbände V ist
diese Abbildung bereits ein Isomorphismus zwischen V und ö(V), weshalb die Hüllensysterne (ja sogar die Schnittsysteme ) bis auf Isomorphie alle vollständigen Verbände
repräsentieren, Hingegen ist V niemals isomorph zu 8(V)! Neben der Schnittvervollständigung Ö(Q) und der Abschnittvervollständigung 8(Q) einer quasigeordneten
Menge Q = (X,~) ist ein weiteres Hüllensystem von besonderer Wichtigkeit für
unsere Untersuchungen, nämlich die sogenannte Idealvervollständigung
L( Q) = {Y~X: Z<;h Y impliziert AZ<;;;: Y}.
Die Elemente von L(Q) heißen Ideale. Sie sind offenbar genau die Vereinigungen
gerichteter Systeme von Schnitten. Diese auf FRINK [181 zurückgehende Idealdefinition umfaßt die klassische Definition der Verbandsideale, ist aber wesentlich "jünger"
als letztere. Die leere Menge ist genau dann ein Ideal, wenn die Gesamtmenge kein
kleinstes Element hat, Jedes Ideal ist ein Abschnitt, und jeder Schnitt ist ein Ideal.
Deshalb werden die Hauptschnitte t y auch Hauptideale genannt, Der zu dem Idealsystem L(Q) gehörige Hüllenoperator ist der Idealoperator
I: jßX------? jßX, Yf-,> U{AZ: Zg;Y}.
Aus dieser Darstellung ersieht man sofort, daß L(Q) sogar ein algebraisches Hüllensystem ist (vgl. BANASCHEWSKI [3] und SCHMIDT [27], [28]).
Fassen wir zusammen:
Satz 2.3. Für eine quasigeordnete Menge Q sei !-t(Q) das System der Hauptideale. Dann
gilt:
(1) Die Schnittvervollständigung ö(Q) ist das kleinste !-t(Q) umfassende Hüllensystem.
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(2) Die Abschnittvervollständigung 8(Q) ist die kleinste ~(Q) umfassende A- Topologie.
(3) Die Idealvervollständigung L(Q) ist das kleinste ~(Q) umfassende algebraische
Hüllensystem.
Neben diesen Vervollständigungen werden wir drei weitere zwischen ~(Q) und 8(Q)
liegende Systeme zu betrachten haben, welche zwar Verbände, aber im allgemeinen
nicht vollständig (insbesondere keine Hüllensysteme) sind. Das erste ist der von ~(Q)
erzeugte Unterverband von ö(Q), bezeichnet mit Ö(Q). Wir nennen ihn die Verbandsergänzung der quasigeordneten Menge Q. Das zweite System besteht aus allen nichtleeren endlichen Durchschnitten nichtleerer endlich erzeugter unterer Abschnitte.
Dies ist offenbar ein Mengenverband (gen au der von ~(Q) erzeugte Unterverband
von 8(Q», und soll mit 8(Q) bezeichnet werden. Ebenfalls ein Mengenverband ist das
System -uö(Q) aller nichtleeren endlichen Vereinigungen von Schnitten.
Für die zuvor eingeführten Systeme gelten die folgenden Inklusionen:
~(Q) c:. b(Q) <;; ö(Q) <;; L(Q) <;;;; 8(Q),
~(Q) ~ 8(Q) ~ -uö(Q) c;;; 8(Q).
Ohne Beweis vermerken wir schließlich, daß hiervon die Systeme ~(Q), b(Q), ö(Q)
und 8(Q) dualisierungs-invariant sind, d. h. für ~E {~,Ö,ö,8} ist jeweils ~(Q-) isomorph
zu ~(Q)-. Im Falle der Schnittvervollständigung ö(Q) und der Verbandsergänzung
b(Q) ist ein Isomorphismus gegeben durch die zueinander inversen Zuordnungen
Y~Yi,Z~Z~.
3. Distributivgesetze und Ideale in Hüllenräumen
Auf die Bedeutung und Nützlichkeit einer Idealtheorie in Hüllenräumen hingewiesen
zu haben, ist das vorrangige Verdienst von J. SCHMIDT [27], [28], [31]. Wir wollen
im folgenden darlegen, wie sich das klassische Distributivgesetz für Verbände in die
allgemeine Theorie der Hüllenräume einordnet. Die wesentlichen Resultate sind die
Sätze 3.2 und 3.6, doch wird ihre Tragweite aufgrund des hohen Allgemeinheits- und
Abstraktionsgrades erst aus den ordnungstheoretischen Anwendungen im vierten
Abschnitt hervorgehen.
Im weiteren sei r stets ein Hüllenoperator auf der Menge X und ~ der assoziierte Abschnittoperator , also
ty=u{rY:YEY}
(Yc;;;X).
Eine leichte Rechnung ergibt die Identität
ry=~ry=rw
(Yc;;;X).
Ein Mengensystem ~ auf X heiße nun r -treu, falls
( l {fY:
YESl)}
= ren {1Y: YE~})
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
127
gilt. Hierbei genügt es, die Inklusion ,,<;;;;" statt Gleichheit zu fordern, da die umgekehrte Inklusion aufgrund der Hülleneigenschaften von r stets erfüllt ist.
Ein nützliches Hilfsmittel bei der Gewinnung r-treuer Systeme ist
Lemma 3.1. Seien Wund .8 zwei Mengensysteme auf X derart, daß für jedes XEX die
Systeme {{x}} u Wund {{x}} u.8 r -treu sind. Dann gilt:
(1) All rJ{rz: ZE.8} <;; ; r(AllrJ PZ: ZE.8}) für jeden unteren Abschnitt A.
(2) ID,.8 und IJ) u.8 sind ebenfalls r -treu.
Beweis.
(1) Definitionsgemäß ist ein unterer Abschnitt A eine Vereinigung von Punktabschlüssen. Somit gilt:
All rJ {rz: ZE.8} =u {rxll rJ {rz: ZE.8}: xEA}
= u {r(txll rJ {tZ: ZE.8}): xEA} .<;;;;r(U {tXllrJ {tZ: ZE3}: xEA})
= r(AIl rJ (tZ: ZE.8}).
(2) A = rJ {t Y: Y EID} und B = rJ {rz: ZE 3} sind untere Abschnitte, da jedes tY
und jedes rz ein unterer Abschnitt ist. Indem wir nun (1) zweimal anwenden,
erhalten wir
rJ{rY:YElJ)u.8} = rJ{rY:YEIJ)} IlB<;;;;
r(rJ{ tY: YEIJ)} IlB) = r(A IlrJ {rZ:ZE.8}) <;;;;
r(r(A IlrJ {tZ:ZE.8}» = r(rJ {t Y:YEID u .8}).
Die umgekehrte Inklusion gilt, wie schon bemerkt, in jedem Fall. Also ist IJ) u .8
r-treu. Für das System .8 folgt dies unmittelbar aus (1), indem man A=X setzt, und
für ID schließt man analog. 0
Ist im ein beliebiges Mengensystem auf X, so setzen wir
m: = imu { {x} : XEX},
W~: = .n PM: MEW1}.
In praktischen Anwendungen wird meist im =Wl sein (oder wenigstens {tM: ME ID1}
= {tM: ME itll}). ~ besteht aus allen Durchschnitten über nichtleere endliche Systeme von unteren Abschnitten, die entweder Hauptideale sind oder von Mengen aus
ID1 erzeugt werden. Nehmen wir zum Beispiel für im das System (i;X aller nichtleeren
endlichen Teilmengen von X, so ist im der kleinste Mengenverband, der alle Hauptideale enthält. Offenbar gilt ganz allgemein
9)1 = i\3L
Unser erstes Hauptresultat über r-treue Systeme ist nun
Satz 3.2. Sei (X,r) ein Hü./lenraum und im ein beliebiges Mengensystem auf X. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Ist MEID1 und xErM, so existiert eine Menge N mit
(b) tx 11 rM = r(tx 11 tM) für alle XEX, MEim.
N~tM
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und tx=rN.
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(c) Jedes endliche Teilsystem von mist f-treu.
In allen drei Aussagen darf man
m durch Wl
ersetzen. Außerdem kann man in (a)
NEm wählen.
Beweis.
(a) =*" (b): Sei YEtxnfM, ME~.m. Dann existiert eine Menge Nc;;;tM mit ty=fN. Es
folgt Nf;TN=tyc;;;tx, also Nc;;;txntM, und damit YEfN,:;;X(txntM).
(b) =*" (c): Durch vollständige Induktion zeigen wir, daß für jedes endliche I c;;; ~jl
und jedes XEX das System {{x}} u I f -treu ist. Für I =13 und für
I = {{y}} ist dies trivial, und für I = {M} mit ME mstimmt es nach Voraussetzung (a). Wir dürfen also annehmen, daß I ein n + l-elementiges
Teilsystem von 9n ist, etwa I = {M} u 3 mit ME 9n und 131 = n. Weiter
können wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung annehmen, daß die
Systeme {{x}} u 3 und {{x },M} f -treu sind. Wählen wir ein weiteres
Element YEX, so ist die Menge A=txnty=fxnfy f-abgeschlossen,
insbesondere also ein unterer Abschnitt. Lemma 3.2(1) liefert zunächst
fAnfM = AnfMc;;;f(AntM) c;;;fAnfM, d.h. fxnfynfM = f(txntyn
ntM). Mit anderen Worten, das System {{x},{y},M} ist f-treu. Nun
kommt 3.2(2) zur Anwendung, und wir schließen, daß für jedes YEX das
System {{y},M} u3 = {{y}} u 3 f-treu ist. Damit ist der Induktionsbeweis beendet. Die Aussage (c) ergibt sich nun sofort durch Vereinigung
über alle Hauptideale tx.
( c) =*" (b): Klar.
Es bezeichne (b) diejenige Aussage, welche aus (b) bei Ersetzung von m durch m(
entsteht. Aus dem zuvor Bewiesenen resultiert unmittelbar die Implikation
(c) =*" (b): Zu ME
gibt es ein endliches Teilsystem Il) von Wl mit M = rl (t Y :
YEIl)}, und da das System {{x}}ull) f-treu ist, folgUxnfMc;;;fxnrl
{fY:YEIl)} = f(txnrl {tY:YEIl)}) = r(txnM) = f(txn tM).
(b) =*" (a): Für ME m liegt der Abschnitt tM in 9J1, und fürxEfM folgn x=txnfM=
~(1X n tM) = fN, wobei N = tx n 1M eine in tM enthaltene Menge aus
ist. o
m
mc
Ein Hüllenraum, der die äquivalenten Bedingungen in Satz 3.2 erfüllt, heiße endlich
m-distributiv. (Das Attribut "endlich" fügen w}r zur Unterscheidung von Hüllenräumen bei, in denen beliebige Teilsysteme von m f-treu sind; vgl. [6]).
mc
Zunächst wollen wir uns dem Spezialfall
= I.j3X zuwenden, der bereits eine Vielzahl
nützlicher Anwendungen beinhaltet. Definitionsgemäß ist ein Hüllenraum (X,r)
gen au dann I.j3X-distributiv, wenn jedes seiner Elemente x f -distributiv ist, d. h. die
Gleichung
t x n fY = f(! x n 1Y)
für jede Teilmenge Y von X erfüllt. Wegen fY = f !Y ist dies gleichbedeutend mit der
Forderung, daß
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lXllrA = r(lx 11 A)
für jeden unteren Abschnitt A gilt. Diesen allgemeinen Begriff der r-Distributivität
kann man nun leicht auf das "klassische" unendliche Distributivgesetz in Verbänden
zurückführen, indem man ausnützt, daß jedes Hüllensystem ein vollständiger Verband ist:
KoroUar 3.3. Für einen Hüllenraum (X,r) und das zugehörige Hüllensystem I sind
äquivalent:
(a) Ist xErM, so existiert ein Nc;;;;lM mitlx=rN.
(b) Jedes Element von X ist r -distributiv.
(c) r erhält endliche Durchschnitte unterer Abschnitte.
(d) r induziert einen Verbandshomomorphismus von der A-Topologie der unteren
Abschnitte auf das Hüllensystem I .
(e) I ist ein V -distributiver Verband.
Diese Äquivalenzen ergeben sich sofort aus 3.2, 2.1 und 2.2. (Vgl. [15, Thm. 3.4]).
Eine natürliche Verallgemeinerung des Idealbegriffs erhält man auf folgende Weise
(vgl. [31]): Für einen Hüllenraum (X,r) und ein Mengensystem WI aUf X definieren
wir den Wl- Idealoperator
r~)J/: I.ßX~I.ßX, Y~ U {rM: ME9.R, Mc;;;;Y}.
Ein solcher Operator ist zwar stets isoton und extensiv, aber im allgemeinen leider
nicht idempotent, also kein Hüllenoperator. Dennoch ist in jedem Falle das System
c.e. (rl1)1) =
{Yc;;;;X: r IlJIY=Y}
der [;)J/-abgeschlossenen Mengen (im folgenden Wl-I deale genannt) stets ein Hüllensystem (vgl. TARSKI [36, Th. 29]). Den zugehörigen Hüllenoperator bezeichnen wir
mit f~lJI' Es gilt also genau dann r~)J/ = fI1J/' wenn r%, bereits idempotent ist. Drei Beispiele solcher idempotenten Wl-ldealoperatoren (wobei r der Schnittoperator A einer
quasigeordneten Menge ist) haben wir bereits kennengelernt:
den Schnittoperator A = A'llx,
den Idealoperator I = A0'x
und den Abschnittoperator ! = Af,f.
Allgemein fällt für einen beliebigen Hüllenoperator r über X der Operator r 'llX mit
r zusammen, und r f,f ist der Abschnittoperator 1 . Daher sind die unteren Abschnitte
nichts anderes als die 0- Ideale, und es gilt
c.e.(r~)
=vc.e.(r).
Der iJ-Idealoperator rO'x erweist sich sogar stets als algebraischer Hüllenoperator,
und die algebraischen Hüllenoperatoren sind genau diejenigen, welche die Gleichung
r = r ~x erfüllen.
Ein anderes wichtiges Beispiel eines (im allgemeinen nicht idempotenten) Wl-Idealoperators erhält man, indem man für 9JI alle gerichteten Teilmengen einer quasigeordneten Menge und für r den Schnittoperator A nimmt. Im Falle eines vollstän-
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Marcel Erne
130
9n -
digen Verbandes sind die
Ideale dann genau die in der sogenannten Scott- Topologie abgeschlossenen Mengen, welche in der Theorie der stetigen Verbände eine
besondere Rolle spielen (siehe etwa [5]). Wir können nicht auf Details dieser Anwendung eingehen, wollen aber wenigstens ein Beispiel angeben, wo D.'1J.' nicht idempotent ist:
Beispiel 3.4. Für den im nachfolgenden Diagramm skizzierten vollständigen Verband
V = (X, ~) sei 9), das System aller gerichteten Teilmengen.
-0----_-,
_--0
--D~i_--T""
o~-~
. _ -r
_1I
__
I
\UJ-y
'--- -Hier gilt
D. Il}/ Y =
X\{ I}, aber
D. IlJ1 D.IlJI Y
I
I
X
,
I
= X.
Wir vermerken noch, daß jeder der Hüllenoperatoren r~l.\' dieselbe Quasiordnung wie
r induziert, d. h. die gleichen Punktabschlüsse hat. Allgemeiner gilt
A
•
C1H M =
f~l)IM
= fM für jedes MEm.
Definitionsgemäß sind die 9)c-Ideale genau diejenigen unteren Abschnitte, welche mit
ME 9)c auch den Abschluß fM enthalten. Insbesondere ist jede f-abgeschlossene
Menge ein m -Ideal.
In Anbetracht der Tatsache, daß f 11)/ nicht immer ein Hüllenoperator ist, können wir
Korollar 3.3 nicht unmittelbar auf f \1)1 anstelle von f anwenden. Glücklicherweise
übertragen sich jedoch die zur Diskussion stehenden Homomorphie-Eigenschaften
von f 9.11 auf 9.11' Nennen wir ein Element x C1)/-distributiv, falls
r
lxnf9.l/A=f9JI (lxnA)
für jeden Abschnitt A erfüllt ist, so gilt:
Lemma 3.5.
(1) Jedes f,11t distributive Element ist auch [\1J/-distributiv.
(2) Erhält r911 endliche Durchschnitte unterer Abschnitte, so auch
[9)/'
Beweis.
(1) Für festes x betrachten wir die Menge S aller isotonen und extensiven Abbildungen<l> : I,ßX~I,ßX mit den folgenden beiden Eigenschaften:
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
131
(i) Für jeden Abschnitt A ist auch <I>A ein Abschnitt, und
1x n <I>A = <I> (1 x n A).
(ii) 1 ~J1 g <I> g.I\n·
Dabei bedeute <I> g W, daß für jede Teilmenge Y von X das Bild <I>Y in WY enthalten ist. Setzen wir x als Gm-distributiv voraus, so gehört 19)/ zu e;, und das
gleiche gilt offenbar für die durch
WY = U {<I>Y: <I>E6}
definierte Abbildung W. Wir zeigen, daß auch Wo Wein Element von 6 ist:
(i) Für jeden Abschnitt A ist auch WA und damit WW A ein Abschnitt, und es
gilt
1xn WWA = W(lX n WA) = WW(lxnA).
(ii) Da W isoton und extensiv ist, folgt
19), g W Q W W Q [9J1 9)1 = [ 9)1 .
Nun ist W aber das größte Element von 6 , so daß Wo W mit W zusammenfallen
muß. Mit anderen Worten, W ist ein Hüllenoperator. Andererseits impliziert die
Inklusion 19JIWY ~ WWY = WY, daß WY ein Yumfassendes 9TI-Ideal ist; folglich
ist auch t 9)IY in WY enthalten. Insgesamt zeigt dies, daß 9)1 = W zu 6 gehört,
und daher ist x t 9J1-distributiv.
0
0
[
r
(2) Erhält 19J1 endliche Durchschnitte unterer Abschnitte, so gilt insbesondere
1 x n 1 9J /A = L1J11x n 1 9J1 A
= 1 9J1 (lx n A)
für jedes XEX,
und mit (1) folgt, daß alle Elemente von X I9J/-distributiv sind. Korollar 3.3 liefert
nun die Behauptung. D
Nach diesen Vorbereitungen können wir eine nützliche Verallgemeinerung von
Korollar 3.3 zeigen:
Satz 3.6. Für einen Hüllenraum (X,r) und ein Mengensystem 9TI auf X betrachten wir
die nachfolgenden sieben Bedingungen:
m
Ist ME 9TI und xEIM, so existiert ein NE
mit N ~ 1M und 1x = IN.
(b'), (bA) Jedes Element aus X ist 19J1- (bzw. 9)() distributiv.
(c'), (CA) 19J1 (bzw. (9)1) erhält endliche Durchschnitte unterer Abschnitte.
9)/ induziert einen Verbandshomomorphismus von dem Hüllensystem
(d)
C.t(I.0) der unteren Abschnitte auf das Hüllensystem Ci (1911) der \]Jl-Ideale.
C.t (1 9Jl) ist ein V -distributiver Verband.
(e)
(a')
r
t
Die folgenden Implikationen gelten stets:
(c') => (a') ~ (b') => (bA) ~ (CA) ~ (d) ~ (e).
Jede dieser Bedingungen ist hinreichend für endliche 9TI -Distributivität des Hüllenraumes (X,r), im Falle W, = 9Je auch notwendig.
Wenn 19)1 idempotent ist, sind alle sieben Bedingungen äquivalent.
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132
Beweis. Die Implikationskette (c') => (b') => (bA) ~ (CA) ~ (d) ~ (e) haben wir bereits gezeigt (siehe 3.3 und 3.5).
(a') => (b'): Sei A ein unterer Abschnitt und YE tx n f9J1A. Dann finden wir ein ME 9.n
mit M<;;;A und YEfM, und hierzu ein NE IDl mit N~tM und ty=fN. Es
folgt N~fN=ty<;;;tx und N<;;;tM<;;;tA=A, also insgesamt N<;;;txnA und
damit YEfN~f9J10xnA). Dies zeigt die Inklusion txnf9JIA~
f 9)/( tx n A).
(b') => (a'): Für ME 9Rgilt offenbar fM= f 9J1 M, und xEfM impliziert XEtX n f 9J /M=
f9JC(txntM), d.h. xEfN für ein NE 9.nmit N~txntM. Dann ist aber
bereits tx~fN<;;;nx=tx, also tx=fN.
Um zu sichern, daß jede dieser Bedingungen endliche 9R-Distributivität zur Folge hat,
genügt es, aus (bA) die Gleichung
(b) txnfM = f(txn tM)
für XEX, ME 9R
abzuleiten. Dies ergibt sich aber sofort aus der Tatsache, daß fM = f 9.l/M = [9J1 M für
jedes ME 9R gilt.
Im Falle 9R=9R läßt sich aus der Charakterisierung 3.2(c) der endlichen 9R-Distributivität des Hüllensystems (X,r) leicht die Bedingung (c') folgern.
Die letzte Aussage in Satz 3.6 ist klar, da ein idempotentes f
stimmt. 0
Wegen Wc =
9)/
mit
[9)/
überein-
merhalten wir nun sofort
Koronar 3.7. Ein Hüllenraum (X,r) ist genau dann endlich 9R -distributiv, wenn das
Hüllensystem der 9R -1 deale V -distributiv ist.
m
Wir werden in 4.13 ein Beispiel diskutieren, aus dem hervorgeht, daß man in 3.7
nicht durch m ersetzen darf. Unter Ausnutzung dt;:s bekannten Satzes, daß für ein
algebraisches Hüllensystem Distributivität und V -Distributivität gleichbedeutend sind
und daß der zugehörige Hüllenoperator f mit dem Idealoperator f \)X übereinstimmt,
gelangen wir schließlich zu
Koronar 3.8. Ein algebraisches Hüllensystem mit zugehörigem Hüllenoperator f über
X ist genau dann (V-) distributiv, wenn für jede endliche Teilmenge Y von X und jedes
xEfY eine endliche Teilmenge Z von tY mit fx=fZ existiert.
Dieses Korollar kann man zum Beispiel auf das Hüllensystem der Untermoduln eines
Moduls anwenden, dessen sämtliche endlich erzeugten Untermoduln zyklisch sind.
Für solche "lokal zyklischen" Moduln ist also der Untermodulverband distributiv.
4. Distributivgesetze in quasigeordneten Mengen
Bei der Ausdehnung von Distributivgesetzen auf quasigeordnete Mengen lassen wir
uns durch die beiden Ersetzungsregeln leiten, welche verbandstheoretische Gleichungen in entsprechende Identitäten für den Schnittoperator "transformieren":
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133
x=VY = Ax= AY,
x=!\Y=Ax= n{AY:YEY}.
Zur Formulierung allgemeinster Distributivgesetze ist das Konzept der Auswahlmengen von besonderem Nutzen. Betrachten wir etwa das erweiterte Distributivgesetz
(wvx) 1\ (yvz) = (WI\Y) V (Wl\z) V (XI\Y) V (Xl\z),
so sehen wir, daß auf der rechten Seite all diejenigen Mengen gebildet werden, welche
aus jedem der beiden Klammerausdrücke der linken Seite ein Element "auswählen".
Gehen wir nun zu einem beliebigen Mengensystem sn auf X über, so heißt jede Abbildung 'Ij! : ID ~ U ID mit 'Ij!(Y) EY für alle Y EIDeine Auswahlfunktion, und ihr Bild
'Ij![IDl eine Auswahlmenge. Die Gesamtheit aller Auswahlmengen für das System ID
bezeichnen wir mit
Weiter sei ID das System aller in X enthaltenen Obermengen
von Mengen aus ID, also der von ID im Potenzmengenverband I.ßX erzeugte obere
Abschnitt. Man nennt ID den von ID erzeugten Stapel. Schließlich definiert man den
Verzahnungsoperator .., durch
sb.
..,
ID:= {Zc;;;;X:YnZ*0
fürjedesYEID}·
Eine einfache Rechnung ergibt·
rn
'T'
~
ID = ID und sn = ID·
Indem wir beachten, daß für ein beliebiges Mengensystem ID auf einem vollständigen
Verband die Gleichung
n {lY: YEID} = !(!\Z: zEll)}
besteht, erhalten wir einen fundamentalen Zusammenhang zwischen A-treuen Systemen und gewissen Distributivgesetzen:
Lemma 4.1. Sei V = (X,~) ein vollständiger Verband mit Schnittoperator A. Für ein
System sn c;;;;I.ßX ist das Distributivgesetz
(D) !\ {VY: YEsn} = V {!\Z: ZEsD}
genau dann erfüllt, wenn ID A-treu ist.
-
,
..,
Hierbei darf man ID durch ID und ID durch ID ersetzen.
Beweis. Einerseits gilt
A(!\{VY: YEID}) = n{AVY: YEID} = n{AY: YEID},
andererseits
,
,
A{!\ Z : ZEID} = At{!\Z : ZE ID} = A(n {!Y : Y EID})·
Somit sind äquivalent:
(a) !\{VY:YEIJ}}=V{!\z:zdn"
(b) A(!\{VY: YEID}) = A{!\Z: ZEIJ}},
(c) n{AY:YEIJ}}=A(n{tY:YEV}})'D
Sind alle in 4.1 auftretenden Mengen endlich und nichtleer, so kann offenbar auf die
Vollständigkeits-Voraussetzung verzichtet werden.
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134
Nennen wir nun eine quasigeordnete Menge (X,~) endlich 9R -distributiv, wenn der
assoziierte Hüllenraum (X,A) diese Eigenschaft hat (d.h. jedes endliche Teilsystem
von 9R A-treu ist), so liefert Lemma 4.1 in Verbindung mit Satz 3.2:
Korollar 4.2. Ein vollständiger Verband V = (X,~) ist genau dann endlich 9R -distributiv, wenn
x/\ VM=V (x/\M)
für jedes XEX und jedes ME \)Je gilt, bzw. wenn (D) für jedes endliche Teilsystem
von We erfüllt ist.
ID
Speziell heiße eine quasigeordnete Menge Q stark distributiv, falls jedes ihrer Elemente A-distributiv ist. Entsprechend heiße Q idealdistributiv, wenn jedes ihrer Elemente I-distributiv ist (wobei wie vorher I den Idealoperator bezeichnet).
Korollar 4.3. Ein Verband ist genau dann (ideal)distributiv, wenn
1 xn AY = A(lxn lY)
für jedes Element x und jede endliche Teilmenge Y gilt. Für vollständige Verbände sind
die Eigenschaften "V-distributiv" und "stark distributiv" gleichwertig. (Vgl. [15]).
Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen macht es keine Mühe, eine ganze Reihe
von Sätzen herzuleiten, die gewisse Typen endlicher 9R -Distributivität durch Distributivgesetze für geeignete Vervollständigungen beschreiben. Dabei wenden wir die
Resultate des dritten Abschnitts jeweils auf den Schnittoperator A oder auf den Idealoperator I an. Aus 3.3 ergibt sich sofort für r = A:
Satz 4.4. Für eine quasigeordnete Menge Q sind äquivalent:
(a) Ist A ein unterer Abschnitt und xEAA, so existiert eine in A enthaltene Menge, für
die x kleinste obere Schranke ist.
(b) Q ist stark distributiv.
(c) Der Schnittoperator A erhält endliche Durchschnitte unterer Abschnitte.
(d) A induziert einen Verbandshomomorphismus von der Abschnittvervollständigung
8(Q) auf die Schnittvervollständigung ö(Q).
(e) NQ) ist ein V-distributiver Verband.
Insbesondere ist ein vollständiger Verband genau dann V-distributiv, wenn er das Bild
einer (A-)Topologie unter einem Verbandshomomorphismus ist, der beliebige Suprema
erhält.
KATRINAK [22] nennt einen v-Halbverband distributiv, falls zu je drei Elementen
x,y,z, die x ~ x v z, aber weder x ~y noch x ~ z erfüllen, zwei weitere Elemente y, ~ y
und z, ~ z existieren mit x = y, V z,. Durch vollständige Induktion verifiziert man
leicht, daß diese Bedingung zu der folgenden gleichwertig ist: Zu jeder endlichen
Teilmenge Y 0' und jedem x~VY existiert eine endliche Menge Z~ lY mit
x = VZ. Die von KA TRINAX bemerkte Tatsache, daß ein v -Halbverband genau
*'
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
135
dann distributiv ist, wenn dies für seinen Idealverband zutrifft, gestattet folgende Verallgemeinerung:
Satz 4.5. Für eine quasigeordnete Menge Q sind äquivalent:
(a) Ist A ein endlich erzeugter unterer Abschnitt und xEAA, so existiert eine in A enthaltene endliche Menge, für die x kleinste obere Schranke ist.
(b) Q ist idealdistributiv ..
(c) Der Idealoperator I erhält endliche Durchschnitte unterer Abschnitte.
(d) I induziert einen Verbandshomomorphismus von der Abschnittvervollständigung
8(Q) auf die Idealvervollständigung L(Q).
(e) L(Q) ist V-distributiv.
(f) L(Q) ist distributiv.
Dies folgt sofort aus Satz 3.6, indem man für r den Schnittoperator A und für Wc das
System iYx aller endlichen Teilmengen nimmt. Zur Äquivalenz von (e) und (f) siehe
3.8. D
Korollar 4.6. Eine quasigeordnete Menge Q ist genau dann stark distributiv, wenn dies
für die Schnittvervollständigung ö(Q) zutrifft. Entsprechend ist Q genau dann idealdistributiv, wenn dies für die Idealvervollständigung L(Q) gilt.
Hingegen ist die Schnittvervollständigung einer idealdistributiven quasigeordneten
Menge im allgemeinen nicht mehr (ideai)distributiv. Wie FUNA YAMA [19] (vgl.
[15] und [12, S. 71]) gezeigt hat, braucht nicht einmal die Schnittvervollständigung
eines distributiven Verbandes distributiv zu sein. Andererseits bewies bereits STONE
[34], [35], daß die Schnittvervollständigung eines Booleschen (d. h. komplementären
distributiven) Verbandes stets wieder distributiv ist. Woran dies liegt, sieht man anhand
der hüllentheoretischen Beschreibung der Distributivgesetze sofort ein: Jeder Boolesche Verband und allgemeiner jeder Brouwersche Verband V ist stark distributiv, seine
Schnittvervollständigung also sogar V-distributiv. Dabei heißt ein Verband V=(X,~)
Brouwersch, falls für je zwei Elemente X,ZEX ein Element z: x (genannt relatives
Pseudokomplement) existiert, so daß die folgende Äquivalenz besteht:
X /\
Y~ Z <0> Y~ z : x.
Die starke Distributivität Brouwerscher Verbände ist eine unmittelbare Folge von
Lemma 4.7. Für je zwei Elemente x,z eines Verbandes V = (X,~) sei I~ die Menge
aller YEX mit x /\ Y~z. Dann gilt:
(a) V ist genau dann (ideal)distributiv, wenn jedes I~ ein Ideal ist.
(b) V ist genau dann stark distributiv, wenn jedes I~ ein Schnitt ist.
(c) V ist genau dann Brouwersch, wenn jedes I~ ein Hauptideal ist.
Die letzte Aussage ist klar nach Definition. Die anderen beiden sind Spezialfälle von
Satz 4.8. Für je zwei Elemente x,z einer quasigeordneten Menge Q = (X,~) sei Px die
Menge aller YEX mit ~x n ~Y ~ ~z. Dann gilt für ein beliebiges Mengensystem m auf x:
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Q ist genau dann endlich Wl-distributiv, wenn jede der Mengen I~ ein Wl-Ideal des
Hüllenraumes (X,M ist.
Beweis. Daß I~ stets ein unterer Abschnitt ist, bedarf keiner Erklärung. Sei Q (d.h.
(X,~» endlich ffR-distributiv. Ist ME meine Teilmenge von Px, so gilt t x nt y!;;; tz für
jedes YEM, und damit tx n tM~ tz. Es folgt tx n ~M = ~(tx n tM) ~ ~tz = tz. Insbesondere hat man für jedes YE~M die Inklusion tx n ty ~ iz, d. h. ~M ist in Px enthalten.
Sei umgekehrt vorausgesetzt, daß jedes I~ ein Wl-Ideal ist. Für XEX und ME 9.n haben.
wir zu zeigen, daß die Menge tx n ~M in ~(tx n tM) = n {tz: tx n tM~ tz} enthalten ist. Wie wir soeben sahen, ist aber tx n tM ~ tz gleichbedeutend mit M \;; I~,
und daraus folgt ~M ~ I~, d. h. tx n ~M ~ tz. 0
Aus 4.7 ergibt sich noch als unmittelbare Folgerung der bekannte Satz, daß die vollständigen Brouwerschen Verbände genau die V-distributiven sind (vgl. BIRKHOFF
[9, Ch. V, Th. 24]). Weitere Beispiele stark distributiver Verbände sind alle Ketten,
während zu den Brouwerschen Verbänden nur diejenigen Ketten gehören, die ein
größtes Element besitzen.
Als nächstes geben wir einige Charakterisierungen quasi geordneter Mengen mit
distributiver Schnittvervollständigung.
Satz 4.9. Sei Q = (X,~) eine quasigeordnete Menge und 9JC das System aller nichtleeren endlichen Vereinigungen von unteren Schnitten. Dann ist ffR ein Mengenverband, und die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) Ist ME Wl und xE~M, so existiert eine Teilmenge von M, für die x die kleinste
obere Schranke ist.
(b) txn ~M = ~(txn tM) für jedes XEX und ME Wt
(c) Der Schnittoperator ~ erhält endliche Durchschnitte von Mengen aus Wl.
(d) ~ induziert einen Verbandshomomorphismus von Wl auf Ö(Q).
(e) ö(Q) ist ein distributiver Verband.
Beweis. Die Aussagen (a), (b) und (c) sind nach 3.2 äquivalent und bedeuten gerade
endliche ffR-Distributivität.
(c)
(e)
= (d) = (e): Siehe 2.1 und 2.2.
= (b):
Sei MEm, etwa M=U~ mit ~ g;ö(Q). Dann berechnen wir in
ö(Q):
txn~M=txl\ V~= V {txnY:YE~} =
~(U{txn Y:YE~}) = ~(txnM). 0
Nennen wir eine quasigeordnete Menge, welche die äquivalenten Bedingungen in Satz
4.9 erfüllt, schnittdistributiv, so ist klar, daß für vollständige Verbände Distributivität
und Schnittdistributivität gleichwertige Eigenschaften sind, während dies für beliebige
Verbände nach den vorangegangenen Bemerkungen nicht mehr zutrifft. Weiter
wissen wir aus Satz 4.9, daß Schnittdistributivität eine sowohl selbstduale als auch
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137
"vervollständigungsinvariante" Eigenschaft ist, sich jedoch nicht als "natürliche Verallgemeinerung " des klassischen Distributivgesetzes
(d v ) x!\ (yvz) = (XI\Y)
V
(X!\z)
eignet, da letzteres ja gerade nicht vervollständigungsinvariant ist. Als eine mit (d v )
verträgliche Eigenschaft für quasigeordnete Mengen erweist sich gemäß Korollar 4.3
die Idealdistributivität. Doch ist diese leider, wei Beispiel 4.13 zeigen wird, nicht
selbstdual. Eine andere konsistente Definition distributiver quasigeordneter Mengen
erhält man, indem man das bewährte Ersetzungsrezept
x=yvz<o> Ax=A{y,z}
x = Y !\ Z <0> Ax = Ay n Az
auf die Gleichung (d v ) anwendet. Die transformierte Gleichung lautet dann:
AxnA{y,z} = A(txnt{y,z}),
und wir wollen eine quasigeordnete Menge Q = (X,~) schwach distributiv nennen,
wenn diese Identität für beliebige Elemente x,y,z E X erfüllt ist. Während der Beweis
für die Selbstdualität des Distributivgesetzes in Verbänden schon bei DEDEKIND in
drei Zeilen erledigt wurde, muß man sich im Falle beliebiger quasigeordneter Mengen
einiges einfallen lassen, um die Selbstdualität der schwachen Distributivität herzuleiten. Als Schlüssel für alle Dualisierungsaussagen erweist sich
Satz 4.10. Sei Q = (X,~) eine quasigeordnete Menge mit unterem Schnittoperator A
und oberem Schnittoperator V. Für ein beliebiges Mengensystem ID auf X sind dann die
folgenden Bedingungen äquivalent:
(a) ID bzw. IV ist A-treu.
(b) ID bzw. ID ist V -treu.
(c) Das Paar (ID i t, sb t i) ist ein DEDEKIND-MACNEILLE'scher Schnitt.
Dabei ist definitionsgemäß
Il}t := U {Yt : YEIl}}, Il}i := U {y i : YEIl}}.
Beweis. Zunächst gilt
r1 {AY:YEIl}}=r1{yit :YEIl}}=(U{yi:YEIl}})t=Il}\,
und dual r1{VZ: Zd)}
Andererseits ergibt eine Anwendung der unendlichen mengentheoretischen Distributivgesetze
I
i
I
t
A( r1 { tY : Y EIl}}) = (U {Z t: ZE Il} }) t =Il} t t,
und dual V(r1{iZ: Zd)}) = (U {yt: YEID})t i =Il} ir
=SVr
Somit sind die folgenden Bedingungen allesamt gleichbedeutend:
(a) r1{AY:YEIl}}=A(r1pY:YEIl}}),
i
(a') Il} i t = ID t t ,
(c) (Il) i t, ID t i) ist ein Dedekind-MacNeille'scher Schnitt.
(b')Vhi=ll}iti"
,
(b) r1{VZ:ZEIl}}=V(r1{iZ:ZEIl}}).
I
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138
Offenbar kann man in (a) 11) durch
iD und in (b) SV durch Wersetzen. 0
Daß die zuvor als "schwache Distributivität" eingeführte Eigenschaft selbstdual ist,
läßt sich nicht unmittelbar aus Satz 4.10 ableiten; denn für 11) = {{x}, {y,z}} ist das
Auswahlsystem = {{x,y}, {x,z}} im allgemeinen nicht von der gleichen Form wie 11).
Durch Kombination mit Satz 3.2 kommt man jedoch zum Ziel: Ist jedes der Systeme
11) = { {x}, {y,z} } V -treu, so auch jedes der Systeme {{ w,x}, {y,z} }; insbesondere gilt
dies für Systeme der Form SV' und mit 4.10 schließen wir, daß dann IV A-treu ist.
Dieses Dualisierungsargument wird entscheidend in den Beweis des folgenden Hauptsatzes eingehen:
1>
Satz 4.11. Für eine quasigeordnete Menge 0
die dazu dualen sämtlich äquivalent:
= (X,:2i) sind die folgenden Aussagen und
(a) Ist A ein endlich erzeugter Abschnitt und xEAA, so existiert eine in A enthaltene
Menge, für die x kleinste obere Schranke ist.
(b) lx n AA = A(lX nA) für jedes XEX und jeden endlich erzeugten Abschnitt A.
(c) Der Schnittoperator A erhält endliche Durchschnitte endlich erzeugter Abschnitte.
(d) A induziert einen Verbandshomomorphismus von dem kleinsten alle Hauptideale
enthaltenden Mengenverband 8(0) auf die Verbandsergänzung 6(0), d. h. den
von den Hauptidealen erzeugten Unterverband der Schnittvervollständigung.
(e) ['(0) ist ein distributiver Verband.
(f) 0 ist schwach distributiv.
Beweis. Die Äquivalenz von (a), (b) und (c) ist wieder ein Spezialfall von Satz 3.2:
Man nehme für
das System der endlich erzeugten Abschnitte und für r den
Schnittoperator A.
m
(c)
'* (d):
Da 6(0) im allgemeinen kein Hüllensystem ist, können wir an dieser Stelle
Lemma 2.1 nicht anwenden. Jedoch gilt für nichtleere endliche TeilmengenB von 8(0): A(vB) = A(uB) = A(UA[BD =v A[.8].
Also induziert A unter Voraussetzung (c) einen Verbandshomomorphismus von dem Mengenverband 8(0) in die Vervollständigung ö(O), und
daher ist das Bild A[8(0)] ein Unterverband von ö(O), der alle Hauptideale enthält. Nach Definition ist 5(0) der kleinste Unterverband mit
dieser Eigenschaft. Andererseits bildet A den Verband 8(0) sogar in [,(0)
ab, denn ein typisches Element von 8(0) ist darstellbar als Durchschnitt
eines nichtleeren endlichen Systems B nichtleerer endlich erzeugter Abschnitte, so daß das Bild
A«(I.8) = (I {AZ: ZE.8} =/\ {V {lx: XEZ} : ZEB}
tatsä~hlich zu 6(0) gehört. Insgesamt ist damit gezeigt, daß b(O) das Bild
von 8(0) unter der Abbildung A ist.
(d)
'* (e):
Nach 2.2 ist das Bild eines Mengenverbandes unter einem Verbandshomomorphismus distributiv.
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
139
(e) => (f): tx n A{y,z} = Lx 1\ (ly v tz) = (tx 1\ ty) v (tx Atz) =
A«lxnty) u(lxnlZ» = AUxn t{y,z}).
Hier wurden Suprema und Infima in dem distributiven Verband 6(Q)
gebildet.
(f) => (b): Dieser "Sprung" von zweie1ementigen auf beliebige endliche Mengen
(bzw. endlich erzeugte Abschnitte) ist der eigentlich problematische Teil
des Beweises, denn eine Induktion a la Verbandstheorie versagt mangels
der Existenz gewisser (endlicher) Suprema. Die Lösung dieses Beweisschrittes besteht in einer doppelten Dualisierung, welche sich auf Satz 4.10
stützt.
Für natürliche Zahlen k 1 , ... ,kn sei S(k 1 , ... ,kn ) die Gesamtheit aller
Systeme I[) = {Y 1 , ... ,Yn h;;,$X mit IYjl;;:;;kj. Die Aussage (f) bedeutet
nichts anderes, als daß jedes I[)ES(I,2) A-treu ist. Wir sahen bereits, daß I[)
dann auch V-treu ist. (Die erste Hürde!) Hieraus folgt nun wieder mit
Satz 3.2, daß sogar für beliebig viele k j ;;:;; 2 jedes I[)ES(k 1 , ••• , kn ) V-treu ist.
(Die zweite Hürde!) Jetzt machen wir nochmals von Satz 4.10 Gebrauch
und folgern, daß jedes I[)ES(I, n) A-treu ist (denn für I[)ES(I, n) gehört das
Auswahlsystem Wzu einem S(k 1 , ... ,kn ) mit kj;;:;;2). Da n eine beliebige
natürliche Zahl war, bedeutet dies aber gerade die in (b) beschriebene
Eigenschaft, und die letzte Hürde ist genommen'D
Zur Klärung der Begriffe lohnt es sich, schwache Distributivität einmal mit der Idealdistributivität anhand der jeweiligen Bedingung (a) zu vergleichen: Die quasigeordnete Menge Q ist dann und nur dann schwach distributiv, wenn zu jedem endlich
erzeugten Abschnitt A und jedem xEAA eine Menge Bc;;;A mit tx = AB existiert,
wobei man nach 3.2 B als endlichen Durchschnitt endlich erzeugter Abschnitte annehmen kann. Der einzige Unterschied in der entsprechenden Charakterisierung der
Idealdistributivität besteht darin, daß B selbst ein endlich erzeugter Abschnitt (oder
eine endliche Menge) sein muß. Folglich fallen beide Begriffe zusammen, sobald das
System der endlich erzeugten Abschnitte abgeschlossen gegen endliche (nichtleere)
Durchschnittsbildung ist. Wie eine einfache Anwendung mengentheoretischer Distributivgesetze zeigt, genügt es zu fordern, daß der Durchschnitt von je zwei Hauptidealen einen endlich erzeugten Abschnitt liefert, was z. B. trivialerweise in jedem
1\ -Halbverband der Fall ist. Wir gelangen damit zu
KoroUar 4.12. Es sei Q eine quasigeordnete Menge, in welcher der Durchschnitt zweier
Hauptideale stets ein endlich erzeugter Abschnitt ist. Dann sind schwache Distributivität
und I dealdistributivität gleichwertige Eigenschaften für Q.
Ohne Beweis sei vermerkt, daß in diesem Falle die Idealvervollständigungen von Q
und der Verbandsergänzung 6(Q) isomorph sind. Für beliebige schwach distributive
quasigeordnete Mengen (sogar v-Halbverbände) ist dies im allgemeinen falsch, wie
aus Beispiel 4.13 hervorgehen wird.
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140
Insgesamt erhalten wir das folgende Implikationsdiagramm:
Q stark distributiv
Ö(Q) V -distributiv
Q idealdistributiv
I
L(Q) distributiv
Q
"'hnit,;;,tdb~
Q- idealdistributiv
L(Q-) distributiv
ö(Q) distributiv
I
1
Q schwach distributiv
Ö(Q) distributiv
----
Für endliche quasigeordnete Mengen fallen natürlich alle fünf Eigenschaften zusammen, da dann L(Q) = ö(Q) = Ö(Q) und L(Q-) = ö(Q-) = (6(Q)- gilt. In Verbänden
sind Idealdistributivität, duale Idealdistributivität und schwache Distributivität alle
drei gleichbedeutend mit der gewöhnlichen Verbandsdistributivität, während Schnittdistributivität im allgemeinen eine schärfere Bedingung darstellt. In vollständigen
Verbänden schließlich ist trivialerweise Schnittdistributivität und schwache Distributivität dasselbe, wogegen starke Distributivität hier mit V -Distributivität gleichwertig und daher eine schärfere Forderung als die gewöhnliche Distributivität ist.
Um nachzuweisen, daß die drei Eigenschaften
"idealdistributiv'" , "stark distributiv", "dual idealdistributiv"
unabhängig sind, also keine von ihnen aus den beiden anderen folgt, müssen wir nur
noch ein Beispiel finden, in dem die Schnitt- und die duale Idealvervollständigung
L(Q-), nicht aber die Idealvervollständigung L(Q) (V-)distributiv ist.
Beispiel 4.13. Für eine unendliche Menge X sei I das System aller Teilmengen,
welche entweder endlich sind oder ein höchstens einelementiges Komplement haben.
Teilweise geordnet durch Mengeninklusion, wird I zu einem v-Halbverband, jedoch
nicht zu einem Verband. Die Schnittvervollständigung Ö(I) ist isomorph zur Potenzmenge ~X, also insbesondere V -distributiv, was bereits zeigt, daß I selbst stark
distributiv ist. Die Verbandsergänzung b(I) ist offenbar isomorph zum Booleschen
Verband m aller endlichen und co-endlichen Teilmengen von X. Die Idealvervollständigung L(X-) des zu I dualen /\-Halbverbandes r ist isomorph zu L(m) und
daher distributiv, weshalb X- idealdistributiv sein muß (dies folgt auch aus 4.12).
Dagegen werden wir sofort sehen, daß I selbst nicht idealdistributiv sein kann. Bezeichnen wir mit I y das Ideal aller endlichen Teilmengen von Y, so ist für zwei Mengen Y,ZI:;X mit Ixwl = IX\ZI = 1 das fünfelementige System
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
141
Iyu {Y}
Iz U {Z}
Iy
ein nichtdistributiver Unterverband der Idealvervollständigung t(I), weshalb diese
nicht distributiv sein kann. I dealdistributi·vität ist also weder selbstdual, noch folgt sie
aus der starken Distributivität, nicht einmal in v - Halbverbänden. Ganz anders liegen
die Dinge bei /\-Halbverbänden: Hier ist Idealdistributivität sogar eine Folge der
schwachen Distributivität, wie wir in 4.12 sahen.
Das vorangehende Beispiel dokumentiert, daß es keinen ideal-vervollständigungsinvarianten und zugleich selbstdualen Distributivitätsbegriff für quasigeordnete
Mengen geben kann. Allerdings existiert eine andere " Idealvervollständigung" , die
genau dann distributiv ist, wenn die quasigeordnete Menge Q schwach distributiv ist,
nämlich die Idealvervollständigung des Verbandes b(Q). Die Konstruktion von
t(Ö(Q)) ist jedoch in konkreten Fällen recht unhandlich, da man zwei Mengenstufen
höhergehen muß. Eine dritte, "modifizierte Idealvervollständigung" , die auf der
selben Stufe wie t(Q) steht und die gewünschte Dualisierungseigenschaft hat, erhält
man folgendermaßen: Versteht man unter einem starken Ideal einer quasigeordneten Menge Q einen unteren Abschnitt, der mit ZE8(Q) auch AZ enthält, so ist dies
nichts anderes als ein e(Q)-Ideal im Sinne von Abschnitt 3. Offenbar ist jedes starke
Ideal auch ein FRINK'sches Ideal, und in /\-Halbverbänden stimmen beide Idealbegriffe überein (da dann e(Q) aus allen nichtleeren endlich erzeugten unteren Abschnitten besteht). Für v -Halbverbände trifft dies jedoch im allgemeinen nicht zu,
wie man an Beispiel 4.13 sieht: Dort sind die starken Ideale genau die unteren
Schnitte. Bezeichnen wir mit t(Q) das Hüllensystem der starken Ideale, so erhalten
wir als Spezialfall von Satz 3.6:
Satz 4.14. Für eine quasigeordnete Menge Q sind äquivalent:
(a) Q ist schwach distributiv.
(b) Der starke Idealoperator I: Y ~ U {AM: ME8(Q), M~Y} U ~Y erhält endliche
Durchschnitte unterer Abschnitte.
(c) I induziert einen Verbandshomomorphismus von 8(Q) auf L(Q).
(d) L(Q) ist ein (y- )distributiver Verband.
Definitionsgemäß gilt Tz = AZ für endliches Z (denn dann ist der Abschnitt ~Z aus
8(Q)). Daher ist I genau dann ein algebraischer Hüllenoperator, wenn I mit dem
Idealoperator I zusammenfällt. In Beispiel 4.13 haben wir den Fall eines nicht algebraischen starken Idealsystems L(I) = beI), obgleich hier Isomorphie zu einer Potenz-
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142
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menge vorliegt! Das System Ix = U {I z : Z g; X} aller endlichen Teilmengen ist zwar
gerichtete Vereinigung von Hauptidealen, aber kein unterer Schnitt (d. h. kein starkes
Ideal). Obwohl also t(Q) kein algebraisches Hüllensystem zu sein braucht, kann man
aus der Distributivität von "[(Q) direkt auf die schwache Distributivität von Q schließen, indem man ausnutzt, daß das Supremum zweier Hauptideale ! y und! z in 1(Q)
der untere Schnitt ~{y,z} ist (vgl. den Beweis der Implikation (e) => (b) in 4.9). In
Beispiel 4.13 sind die Idealvervollständigungen t(I), l(I) und t(6(I» paarweise
nichtisomorph; denn l(I) = beI) ist ein vollständiger Boolescher Verband, während
L(Ö(I» zwar distributiv, aber nicht komplementär ist; und L(I) ist, wie wir sahen,
nicht einmal distributiv. Im allgemeinen gibt es also drei verschiedene "natürliche"
Idealvervollständigungen einer quasigeordneten Menge, während in ,,-Halbverbänden alle drei Versionen isomorph sind.
KA TRIN AK [22] hat für den Spezialfall nach unten gerichteter v -Halbverbände eine
Charakterisierung der Idealdistributivität gegeben, die der Äquivalenz (e) ~ (f) in
4.11 entspricht. Diese Charakterisierung läßt sich mühelos auf quasigeordnete Mengen übertragen, und wir notieren als abschließendes Resultat:
Satz 4.15. Eine quasigeordnete Menge Q ist genau dann idealdistributiv, wenn der von
den Hauptidealen erzeugte Unterverband t(Q) des Idealverbandes L(Q) distributiv ist.
5. Schlußbemerkuugeu
Faßt man eine teilweise geordnete Menge Q als Teilmenge ihrer Schnittvervollständigung V = NQ) auf, so ist b(Q) der von Q erzeugte Unterverband von V. Im Sinne
dieser Identifikation bedeutet schwache Distributivität von Q einfach, daß für je drei
Elemente x,y,z von Q das gewöhnliche Distributivgesetz
X" (yv z) = (X" y) V (x"z)
in V erfüllt ist. Satz 4.11 besagt unter anderem, daß in diesem Fall bereits der ganze
von Q erzeugte Unterverband <Q> = 6(Q) distributiv ist. Die Frage, ob in dieser
Aussage b(Q) durch einen beliebigen vollständigen Verband Versetzt werden darf,
der Q umfaßt, muß leider verneint werden, wie das folgende Beispiel zeigt:
V=<Q>
Eine zweite naheliegende Frage ist, ob sich Modularität (oder allgemeiner eine beliebige durch Gleichungen definierbare Eigenschaft) von Q auf 6(Q) überträgt. Dabei
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
143
würde man in Analogie zur Definition der Distributivität eine quasigeordnete Menge
Q modular nennen, wenn
txn~{y,z}
=
~(txn
t{y,z})
für je drei Elemente x,y,z aus Q mit z~x gilt. Die Antwort auf diese Frage steht noch
aus. Man beachte, daß ein von einer endlichen Menge erzeugter distributiver Verband
stets endlich ist, auch wenn seine Kardinalität sehr groß werden kann - nach DEDEKIND ,,18 im Falle n= 3, und (wenn ich nicht irre) 166 im Falle n=4" (er irrte nicht!)
Dagegen kann ein modularer Verband mit vier Erzeugenden bereits unendlich werden (vgl. C. HERRMANN, "Ober die von vier Moduln erzeugte Dualgruppe", diese
Festschrift) .
TABELLE
der distributiven teilweise geordneten Mengen mit höchstens vier Elementen
und ihrer Vervollständigungen
Elemente I
1
2
I
•
ö(Q)
•
Q
I
I
••
t
t
A
V
•1 •••
9
<-
0
~
V
M Vl
V
~
•t-
'V
•t
~
<V <V
0
Q
ö(Q)
4
nicht distributiv
Q
ö(Q)
3
I
distributiv
Q
Ö(Q)
Q
ö(Q)
f
~
!V s
Y .l.
y
~
0 <>
.A ·V
<i>
•
11 • • 1 • • • •
1- 0 <D
Wie man leicht sieht, ist die einzige unzusammenhängende distributive teilweise geordnete Menge die zweielementige Antikette. Das Beispiel
zeigt, daß sich Distributivität nicht auf beliebige Teilmengen überträgt.
t1
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144
Marcel Erne
Literatur
[1]
A. ABIAN: On definitions of cuts and completion of partially ordered sets. Z. Math. Logik
Grundlagen Math.14 (1968), 299-309.
[2] P. S. ALEXANDROFF: Diskrete Räume. Mat. Sb. (N.S.) 2 (1937),501-518.
[3] B. BANASCHEWSKI: Hüllensysteme und Erweiterung von Quasi-Ordnungen. Z. Math.
Logik Grundlagen Math. 2 (1956),117-130.
[4] B. BANASCHEWSKI & G. BRUNS: Categorial characterization of the MacNeille compietion. Arch. Math. 43 (1967), 369-377.
[5] B. BANASCHEWSKI & R.-E. HOFFMANN (editors): Continuous lattices. Lecture
Notes in Mathematics 871, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1981.
[6] H.-J. BANDELT & M. ERNE: Representations and embeddings of IDl-distributive
'Iattices. Houston J. Math. (to appear).
[7] A. BISHOP: A universal mapping characterization of the completion by cuts. Algebra
Universalis 8 (1978), 349-353.
[8] G. BIRKHOFF: Rings of sets. Duke Math. J. 3 (1937), 443-454.
[9] G. BIRKHOFF: Lattice theory. Amer. Math. Soc. Col!. Pub!. 25, third ed., Providence,
R.1.,1973.
[10] G. BRUNS: Darstellungen und Erweiterungen geordneter Mengen, I, II. J. Reine Angew.
Math.209 (1962, 167-200; 210 (1962), 1-23.
[11] G. BRUNS: Verbandstheoretische Kennzeichnung vollständiger Mengenringe. Arch. Math.
10 (1959), 109-112.
[12] P. CRAWLEY & R.P. DILWORTH: Algebraic theory of lattices. Prentice-Hall Inc.,
Englewood Cliffs, N.J., 1973.
[13] R. DEDEKIND: Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872); 7. Auflage, Vieweg, Braunschweig 1969.
[14] R. DEDEKIND: Gesammelte Mathematische Werke II, Vieweg, Braunschweig 1931.
[15] R.P. DILWORTH & J.E. MCLAUGHLIN: Distributivity in lattices. Duke Math. J. 19
(1952),683-693.
[16] M. ERNE: Isomorphismen und Identifikationen in der Ordnungstheorie. Math. Sem. Ber.
28 (1981),74-91.
[17] M. ERNE: Verallgemeinerungen der Verbandstheorie I, II. Preprint und Habilitationsschrift, Hannover 1979.
[18] O. FRINK: Ideals in partially ordered sets. Amer. Math. Monthly 61 (1954),223-234.
[19] N. FUNAYAMA: On the completion by cuts of distributive lattices. Proc. Imp. Acad.
Tokyo 20 (1944), 1-2.
[20] G. GRÄTZER: Generallattice theory. Birkhäuser, Basel 1978.
[21] F. HAUSDORFF: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Co., Leipzig 1914.
[22] T. KATRI~AK: Pseudokomplementäre Halbverbände. Mat. casopis 18 (1968), 121-143.
[23] F. KLEIN-BARMEN: Grundzüge der Theorie der Verbände. Math. Ann. 111 (1935),
596-621.
[24] H. M. MACNEILLE: Extensions of partially ordered sets. Proc. Nat. Acad. Sci. U .S.A. 22
(1936),45-50.
[25] H. M. MACNEILLE: Partially ordered sets. Trans. Amer. Math, Soc, 42 (1937),416-460.
[26] H. MEHRTENS: Die Entstehung der Verbandstheorie. Arbor scierttiarum; Gerstenberg,
Hildesheim 1979.
[27] J. SCHMIDT: Über die Rolle der transfiniten Schlußweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. Math. Nachr. 7 (1952), 165-182.
[28] J. SCHMIDT: Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. Ber. Math. Tagung Berlin (1953),21-48.
[29] J. SCHMIDT: Beiträge zur Filtertheorie 11. Math. Nachr. 10 (1953),197-232.
[30] J. SCHMIDT: Zur Kennzeichnung der Dedekind-MacNeilleschen Hülle einer geordneten
Menge. Arch. Math. 7 (1956),241-249.
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Distributivgesetze und DEDEKIND'sche Schnitte
145
[31] J. SCHMIDT: Every join-completion is the solution of a universal problem. J. Austral.
Math. Soc. 17 (1974),406-413.
[32] E. SCHRÖDER: Vorlesungen über die Algebra der Logik, Dritter Band. Teubner, Leipzig
1895.
[33] A.K. STEINER: The lattice of topologies: Structure and complementation. Trans. Amer.
Math. Soc. 122 (1966),379-398.
[34] M. H. STONE: The theory of representations for Boolean algebras. Trans. Amer. Math.
Soc. 40 (1936),37-111.
[35] M. H. STONE~ Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics.
Casopis Pest. Mat. 67 (1937), 1-25.
[36] A. TARSKI: Sur les classes d'ensembles closes par rapport a certaines operations elementaires. Fund. Math.16 (1930), 181-304.
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147
Fortsetzungen von Manisbewertungen
Von Joachim Gräter, Braunschweig
Einleitung
Als Verallgemeinerung der Krullbewertungen definiert M. Manis in [2], [3] Bewertungen auf kommutativen Ringen mit Eins. Es stellt sich heraus, daß im allgemeinen eine Bewertung v eines Ringes R nicht auf jeden Oberring S fortsetzbar ist.
Manis zeigt in [3], daß sich v genau dann auf S fortsetzen läßt, wenn S' v· 1 (O) n R =
v· 1 (O) gilt. Ist weine Fortsetzung von v auf S, so ist w· 1 (O) ein Primideal von S mit
w· 1 (O) nR = v· 1 (O). Ziel dieser Arbeit ist es zu beweisen, daß es zu jedem Primideal P
von S mit P n R = v· 1 (O) eine Fortsetzung w von v auf S mit w· 1 (O) = P gibt. Außerdem wird gezeigt, daß in dem Fall, in dem v auf S nicht fortsetzbar ist, sich zumindest
eine Bewertung w von S konstruieren läßt, die mit v auf R\v· 1 (O) übereinstimmt.
Der Fortsetznngssatz für Manisbewertungen
Im Verlaufe dieser Arbeit sollen Rund S Bezeichnungen für Ringe sein, wobei ein
Ring stets ein kommutativer Ring mit Eins ist. Die Eins eines Teilringes soll immer
mit der Eins des Ringes übereinstimmen.
Ist feine multiplikativ geschriebene geordnete Gruppe und = fu {O}, dann
heißt eine surjektive Abbildung
r
v:R~t
x
~v(x)
eine (Manis-)Bewertung von R, wenn für alle x,y E R gilt
(BI) v(xy) = v(x)v(y).
(B2) v(x+y) ~ max{v(x),v(y)}.
f heißt die zu v gehörende Wertegruppe. Die Anzahl der echten konvexen Untergruppen von f bezeichnen wir mit Rang v. Ist R ein Körper, so ist v eine Krullbewertung (siehe [1]).
Abkürzend führen wir für eine Bewertung v von R folgende Bezeichnungen ein:
Nv = {XIXER,-,v(x) =O}, Pv ={xlxERAv(x)<l}, Bv={xlxERAv(x)~l} und v =
{V(X)IXER}. Manis zeigt in [3]
r
(1) Ist A ein Teilring von Rund Pein Primideal von A, so gibt es eine Bewertung v
von R mit A ~ Bv und Pv n A = F.
(2) Ist A ein Teilring von Rund Pein Primideal von A, so gibt es genau dann eine
Bewertung v von R mit Bv = A und P v = P, wenn es zu jedem XE R\A ein y E P
mit xy E A\P gibt.
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Joachim Gräter
148
(3) Ist v eine Bewertung von R, Pein Primideal von B v mit Nv~P~Pv, sowie B =
{XIXER"xPs;:P} und L= {V(X)lxEB\P}, dann ist L eine konvexe Untergruppe
von f v und
w:B~
"-
L
x ~ {V(X) falls xEB\P
o
XEP
eine Bewertung von B.
Ist v eine Bewertung von R, S eine Erweiterung von Rund weine Bewertung von S,
so heißt weine Fortsetzung von v auf S, wenn es einen isotonen Monomorphismus
<1>: t v ~ t w gibt, so daß für alle XE R w(x) = <I>(v(x» gilt. Der Einfachheit halber
nehmen wir dann sogar t v s;;; t w an, so daß für alle XE R v(x) = w(x) gilt.
Lemma: Sind R f;;; S zwei Integritätsbereiche sowie Kund L deren zugehörige Quo-
tientenkörper, so gibt es zu jeder Bewertung v von K mit v(R) =
Fortsetzung w von v auf L mit w(S) = w.
t
fv
eine
Beweis: (1) L sei eine algebraische Erweiterung von Kund SK' = {sr-'Is E S"r E R\
{O}}. Weil jedes aESK'f;;;L algebraisch über Ks;;;SK' ist, gilt K(a)=K[a]f;;;SK'.
Also ist SR-' ein Körper, und es folgt SK' = L. Aufgrund des Fortsetzungssatzes für
Körperbewertungen existiert eine Fortsetzung w von v auf den algebraischen Erweiterungskörper L = SK'. Zu zeigen bleibt w(S) = f w. w(S) s;;; t w gilt trivial. Sei also
YEt w und sES,rER\{O} mit w(sr-') =y. Wegen w(R) =v(R) = t v gibt es ein r'ER
mit wer') = w(r-'), also ist sr' E S mit w(sr') = y.
(2) Sei L eine beliebige Erweiterung von K. Es existiert eine algebraisch unabhängige Teilmenge M von S, so daß L eine algebraische Erweiterung von K(M) bzw. S
eine algebraische Erweiterung von R[M] ist. Mit T bezeichnen wir die Menge aller
nk
Monome m,n' ... mk mit m" ... ,mkEM und n" ... ,nkElNu {O}. Jedes xER[M] besitzt eine eindeutige Darstellung
x = r,t, + ... + rlt l
mit r" ... ,rl E R und paarweise verschiedenen t i E T.
Bekanntlich ist dann
)tv
u: r,t,+ ... +rltl~max {v(r,), ... ,v(rln
u: R[M]
eine Bewertung von R[M] (Gaußbewertung).
Wegen Nv = {O} folgt sofort Nu = {O}. Für die eindeutige Fortsetzung u' von u auf
den Quotientenkörper K(M) von R[M] gilt tU>=t u , also u'(R[M])=t u '. Weil Leine
algebraische Erweiterung von K(M) ist, existiert wegen (1) und R[M]~S eine Fort-
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Fortsetzungen von Manisbewertungen
setzung w von u' auf L mit w(S)
gewünschten Eigenschaft.
149
= t w' w ist damit eine Fortsetzung von v auf L mit der
Mit Hilfe des Zornschen Lemmas zeigt man den folgenden
Hilfssatz: Es sei Rein Teilring von Sund Pein Primideal von R. Gibt es ein Ideal I
von S mit Rn I s;;; P, so existiert ein Primideal Q von S mit I s;;; Q und
RnQs;;;P.
Satz 1:
Es sei v eine Bewertung und S eine Erweiterung von R. Zu jedem Primideal P von S mit P n R = Nv gibt es eine Fortsetzung w von v auf S mit
Nw=P.
Beweis: Sei v die durch v auf R = R/Nv induzierte Bewertung, S = S/P und R bzw. S
der Quotientenkörper von R bzw. S. Die Fortsetzung von v auf R bezeichnen wir
mit V. Es gilt v(R) = t v = t v. Wegen des Lemmas existiert eine Fortsetzung wvon v
auf S mit w(S) = t w. Folglich ist die Restriktion Wvon w aufS eine Bewertung von S,
die v fortsetzt und für die Nw = {O} gilt. W induziert damit auf S eine Bewertung w,
die v mit der gewünschten Eigenschaft fortsetzt.
Korollar 1 (Manis): Eine Bewertung v von Rist genau dann auf den Oberring S fortsetzbar, wenn
SN v n R = Nv gilt.
Beweis: Ist weine Fortsetzung von v auf S, so gilt
Nv = Rn Nv,s;;;RnSNvs;;;RnSNw = RnNw = Nv.
Ist andererseits SN v n R = Nv, so existiert nach dem Hilfssatz ein Primideal Q von S
mit SNvs;;;Q und QnRs;;;N v bzw. Nvs;;;SNvnRs;;;QnRs;;;Nv. Wegen Satz 1 folgt die
Behauptung.
Korollar 2: Es sei v eine Bewertung von R. Ist Nv ein minimales Primideal von R, so
ist v auf jeden Oberring S von R fortsetzbar.
Beweis: Da {O} ein Ideal von S mit {O} n Rs;;;Nv ist, gibt es wegen des Hilfssatzes ein
Primideal Q von S mit Q n R s;;; Nv. Aufgrund der Minimalität von N v folgt QnR = Nv,
und wegen Satz 1 gilt die Behauptung.
Abschließend zeigen wir, daß in dem Fall, in dem sich eine Bewertung v von Rauf
den Oberring S nicht fortsetzen läßt, sich zumindest eine Bewertung w von S konstruieren läßt, die mit v auf R\Nv übereinstimmt.
Satz 2: Es sei v eine Bewertung und S eine Erweiterung von R. Dann existiert eine
Bewertung w von S, so daß für alle XE R\N v gilt: w(x) = v(x).
Beweis: Ist v auf S fortsetzbar, so betrachte eine solche Fortsetzung w. Sei also v nicht
auf S fortsetzbar. Nach (1) existiert eine Bewertung u von S mit R~Bu und PunR=Nv.
Aufgrund von Satz 1 gibt es eine Fortsetzung v' von v auf Bu mit Nv , = Pu, u ist nicht
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Joachim Gräter
150
"*
trivial, d. h. Bu S. Mit (2) kann man sich leicht davon überzeugen, daß es eine Bewertung w von S gibt, für die Bw = By " P w = P y, und Pu ~ Pw gilt. Es ist sogar N w ~P u'
denn anderenfalls gäbe es ein XE S mit w(x) = 0 und u(x) O. Da u nicht trivial ist,
könnte man u(x) > 1 annehmen, im Widerspruch zu XE Bw = B y , ~ B u. Also ist Pu ein
Primideal von Bw mit Nw~Pu ~Pw' Wegen Bu = {XIXE S"xP u ~Pu} ist nach (3)
"*
w.'. Bu~ {W(X) faIIs xEB;;-'P u
o
XEPu
X~
t
eine Bewertung von Bu, wobei L = {W(X)IXEB~Pu} gilt. Bw, = Bw = By • und P w. =
P w = P y, • Also ist v' = w' und damit die Behauptung gezeigt.
Als unmittelbare Folgerung aus Satz 2 erhält man das folgende
KoroUar: Ist v eine Bewertung und S eine Erweiterung von R, so gibt es eine Bewertung w von S mit Rang w ~ Rang v.
Literatur
[1] Krull, W.: Allgemeine Bewertungstheorie. J. Reine Angew. Math. 167 (1932), 160-196.
[2] Manis, M.E.: Extension of valuation theory. Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967),735-736.
[3] Manis, M.E.: Valuations on a commutative ring. Proc. Amer. Math. Soc. 20 (1969),193198.
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151
Q-Differenzen von Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen
Von Erleh Härtter, Mainz
1. Neben der Addition von Mengen ~No wurden wiederholt auch Differenzen solcher Mengen betrachtet. Es sind hier u. a. zu nennen Arbeiten von A. Brauer (1945)
[1], Erdös-Gil (1948) [3], Redei-Renyi (1949) [10], Kasch (1955) [8], Leech (1956)
[9], Haselgrove-Leech (1957) [7], Wichmann (1963) [12], Sierpinski (1964) [11],
Härtter (1968) [5], Berekovi (1972) [2], Golay (1972) [4], Härtter-HofmeisterZöllner (1978) [6]. Meistens wurde das Problem behandelt, eine Menge A von natürlichen Zahlen mit minimaler Elementeanzahl zu finden, so daß alle Zahlen 1,2, ... , N
als Differenz zweier Elemente aus A darstellbar sind. Weniger wurde jedoch der
Frage nachgegangen, Dichteaussagen, wie man sie für die Addition von Mengen
kennt, auch für Differenzen von Mengen zu gewinnen. Aussagen in dieser Richtung
finden sich in [11], [5] und [2]. Bei allen diesen Untersuchungen lag im wesentlichen
folgender Begriff der Differenz zweier Mengen A,B c;;lN"o zu Grunde:
Definition 1: A-B:={zElNolz=a-b; aEA,bEB}.
Es sollen hier nun Differenzen zweier Mengen A,B c;;lNo unter einer gewissen Restriktion betrachtet werden; wir geben dazu folgende
Definition 2: Seien A,B c;;lNo und
e ER mit 0< e~ 1. Dann heißt
A"QB: = {zElNolz = a-b; aEA, bEB mit b~e a}
e-Differenz von A und B.
Im Spezialfall
benutzt.
e = 1 erhält man Definition 1, und Definition 2 mit e =! wurde in [5]
Einige einfache Eigenschaften der Differenz
,,"Q"
seien genannt:
(1) {O} ist Nullelement für diese Subtraktion.
(2) a)
b)
c)
d)
(AuB)"QC=(AQ"C)u(B"QC);
(AnBhCc;;(AQ"C)n(BQ"C);
A"Q(BuC)=(AQ"B)u(AQ"C);
A"Q (B n C) c;; (A Q" B) n (A Q" C) für alle A, B, C c;;lNo·
Wir geben hier, da die Beweise ähnlich verlaufen, nur den
Beweis von (2) a): Sei XE (A u B)"Q C;
Ci mit a E A, Ci E C und Ci ~ ea oder
x = b - Cj mit bEB, Cj EC und Cj~eb;
=> xE(AQ"C)u(B Q"C)'
=> x = a -
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Erich Härtter
152
Die umgekehrte Richtung zeigt man ebenso.
Weiter gilt
(3) (AilB)"(lC~A"(l(B+C)
Beweis: Sei x E A il (B
füralleA,B,C~lNo·l)
+ C);
=> x = a - (b+c) mit aE A, bEB, CE C und b+c~Qa;
=> x = (a - b) - c mit aEA, bE B, CEC und b~Qa; c~Qa- b~Q (a- b);
=>xE(AilB)"(lC.
Bemerkung: Für Q = 1 gilt in (3) das Gleichheitszeichen, wie in [6] gezeigt wurde.
2. Für die Q-Differenz von Mengen gilt, wie in [5] bemerkt, ein Analogon zum Mannschen Satz nicht. Im weiteren sollen zunächst einige Dichteaussagen für Q-Differenzen
von Mengen, die Analoga zu bekannten Resultaten für die Addition von Mengen
sind, hergeleitet werden. Der Schlußteil der Arbeit bringt dann einen Satz über Differenzminimalbasen.
Dazu sei für das Folgende cp:IN.....,R+ eine monoton wachsende Funktion mit
für alle x EIN und k: = min (1, I ~Q). Wir beweisen zunächst einen
Hilfssatz: Seien A,B ~lNo und A
die Ungleichung 2 )
Q
cp(x)~x
B 1) IN; d. h. es gibt x EIN mit XE A "(l B. Dann gilt
kcp(x) ~ A(x + kcp(x)) - A(x)
+ B(kcp(x)).
Beweis: Sei B n [1, kcp(x)] = {b" ... , b r }, also B(kcp(x))
wir die Zahlen x + b" ... ,x + b r • Diese sind $ A, denn
= r (r ~ 0)3).
Nun betrachten
bj ~ kcp(x) ~ kX;
für Q~ 1ist k = 1, also b j ~ x;
bi1-Q)~bjQ ~ QX;
b j ~ Q(x + b j );
für Q< ist k = 1 ~Q' also bj ~ l~Q X und ebenso b j ~ Q(x+ bj);
1
also wäre (x+ bj) - bj = XE A"(lB
(j = 1, ... ,r).
Sei Ä die Komplementärmenge von A. Wegen 1 ~bj~kcp(x) => x<x+ bj~x+ kcp(x);
=> Ä(x + kcp(x)) - Ä(x) ~ r;
x + kcp(x) - A(x + kcp(x)) - x + A(x) ~ r,
woraus man sofort die Behauptung erhält.
') Dabei ist wie üblich
B+C: = {zElNolz=b+c; bEB; CEC}.
2) Dabei bedeutet wie üblich für eine Menge A ~ No
A(x): = [1 (x ER).
O<a~x
aEA
3) r = 0 bedeutet, daß die Menge leer ist.
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(i-Differenzen von Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen
153
Diesen Hilfssatz benutzen wir, um einige Dichteaussagen für die g-Differenz zweier
Mengen A und B herzuleiten; ein Spezialfall mit g = 1 wurde schon in [5] behandelt.
Satz 1: Seien A, B ~lNo und
inf A(x+ kcp(x» - A(x) =: a'(g,cp), inf B(kcp(x» =: ß(g,cp)
x EIN
kcp(x)
x EIN kcp(x)
sowie a'(g,cp) + ß(g,cp) > 1. Dann gilt A Q B 21N.
Beweis: Wäre A
wird
B 12 IN, dann gäbe es ein x EIN mit XE Ag B. Nach dem Hilfssatz
Q
kcp(x) ~ A(x + kcp(x» - A(x) + B(kcp(x» ~
~ (a'(g,cp) + ß(g,cp» kcp(x) > kcp(x),
womit wir einen Widerspruch haben.
Bemerkung: 1) Im Spezialfall cp(x) = x und g ~ ~ wird
a'(g,cp)
=
inf A(2x) x- A(x) und ß(g,cp) gleich der Dichte von B.
IN
XE
2) Es würde genügen, A ~IN vorauszusetzen.
Für die nächste Aussage treffen wir folgende
Definition 3:
=
A,B~lNo
heißen asymptotisch gleich
es gibt ein N EIN, so daß An [N,:xl[
Wir schreiben A
~
=
B n [N,:xl[.
B.
Satz 2: Seien A,B ElN o und
A(x + kcp(x» - A(x) - '(
) I'
B(x)
·
()
-g g,cp, ~ -x- =:Jlsowie g'(g,cp) +./2.> 1.
x E IN
kcp x
X E IN
I
~
Dann gilt A
Q B ~IN.
Beweis: Sei g'(g,cp) + Jl = 1 + 2ö (Ö > 0). Zu jedem E> 0 gibt es ein n1 und ein n2, so
daß gilt
A(x + kcp(x» - A(x) ~ (!!,(g,cp) - E) kcp(x) für alle x ~ n1 und
B(kcp(x» ~
E) kcp(x)
für alle x ~ n2'
m-
Wäre Ag B +IN, dann gäbe es eine unendliche Menge von Zahlen x E IN mit XE A g B.
Unter Benutzung des Hilfssatzes erhalten wir
kcp(x) ~ (g'(g,cp) + ./2. - 2E)kcp(x)
für alle x ~ max(n1' n2)'
Wir wählen nun E<Ö;
=> kcp(x) > (g'(g,cp) +
Jl- 2ö) kcp(x) = kcp(x),
womit wir einen Widerspruch haben.
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Erich Härtter
154
Bemerkung: 1) Das Beispiel A = {x ElNlx == O(mod 2)} = B zeigt, daß in Satz 2 die
Ungleichung !!'(Q,cp) + 12> 1 nicht durch !!'(Q,cp) + 12~ 1 ersetzt werden kann.
2) Auch hier würde es genügen, As;;;1N anzunehmen.
3. Für das Weitere geben wir folgende Definitionen: Dazu seien M ~ IN und wie bisher QE R mit O<Q~ 1:
Definition 4: As;;;No heißt Q-Differenzbasis für M<o> Ms;;;A"Q A.
Definition 5: A~lNo heißt asymptotische Q-Differenzbasis für M<o> es gibt ein N EN,
so daß Mn [N,oo[s;;;AQ"A.
Definition 6: Sei A Q-Differenzbasis für Mund a E A. Dann bedeutet
E(a): = {zEMlzct(A\{a})"Q(A\{a})}.
Entsprechend für asymptotische Q-Differenzbasen.
Definition 7: Eine Q-Differenzbasis A für M heißt Q-Differenzminimalbasis <0> IE(a)1
~ 1 für alle a E A;
eine asymptotische Q-Differenzbasis A für M heißt asymptotische Q-Differenzminimalbasis <0> IE( a) I = 00 für alle a E A.
Für M = {I, 2, ... ,n} sprechen wir von einer Q-Abschnittsdifferenzbasis bzw. einer
Q-Abschnittsdifferenzminimalbasis für n.
Offenbar ist in jeder Q-Differenzbasis für eine endliche Menge Meine Q-Differenzmininalbasis für Mals Teilmenge enthalten.
Wir betrachten weiterhin den Fall Q= 1 und setzen A "1 B =: A - B und sprechen
außerdem kurz von Differenzbasen, asymptotischen Differenzbasen, Differenzminimalbasen usw. statt von 1-Differenzbasen, asymptotischen 1-Differenzbasen und
1-Differenzminimalbasen. Nachdem in [5] schon die Existenz von Differenzminimalbasen bewiesen worden ist, zeigen wir nun
Satz 3: Es gibt asymptotische Differenzminimalbasen für jede unendliche Menge
M = {m, <m2< ... <mn < ... }~IN.
Beweis: Induktiv konstruieren wir nun eine asymptotische Differenzminimalbasis
für M. Sei A,: = {ao = 0, a, = m,}.
= {aO,a"a2 ... } ~lNo schon konstruiert. Wir setzen für
mn+, E An - An die Menge A n+,: = An, und für
Für n~ 1 sei An:
(I)
(11) mn+, ct An - An machen wir eine Fallunterscheidung:
a) Wir setzen A;;+,: = An U {mn +, + aj} mit aj E Am aber nur falls mn +, >
2 max Am, wobei m der Induktionsschritt ist, bei dem zum letzten Mal nach
(II)a) verfahren wurde; dann bestimmen wir eine in A~+, enthaltene
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Q-Differenzen von Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen
155
Differenzminimalbasis A n+l für Mn[1,mn+l ]; dabei bleibt A mcAn+l . Die Menge Al kann hier zum ersten Mal an Stelle von Am auftreten.
Bei diesem Induktionsverfahren soll aj unendlich oft die Elemente der
schon konstruierten Mengen etwa nach dem folgenden Schema durchlaufen:
ao
ao
t
-7--
al
/
/
al
ao
al
/
ao
~
a2
/
/
/
~
/
a2
a4 ...
a3
/
a3 ...
/
a2 ...
al
b) Sonst setzen wir A n+l : = An U {Cn+h Cn+l
Dann bilden wir A:
+ mn+l} mit Cn+l > 2 max An.
00
= n):! 1 An.
Nun ist A nach Konstruktion asymptotische Differenzbasis für M. Ferner ist IE(a)1 > 0
für alle a E A, denn für aj E An ist nach (11) a) sicher m n+l E E(a), da mn+l = (m n+l +
aj) - aj wegen m n+l > 2 max Am nach (11) a) eindeutig dargestellt wird. Schließlich ist
IE(a)1 = 00 für jedes a E A.
Bemerkung: Da im Induktionsschritt (11) b) jeweils die Wahl zwischen mehreren
Konstruktionsmöglichkeiten besteht, ist die Klasse der asymptotischen Differenzminimalbasen für jede unendliche Menge Mt;;;1N von der Mächtigkeit des Kontinuums.
Literaturverzeichuis
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Brauer, A.: A problem in additive number theory and its application in electrical engineering. Joum. of the Elisha Mitchell Scientific Soc. 61 (1945), 55-66.
Berekovi, H.: On difference sets of sets of non-negative integers. Acta Fac. Rerum Natur.
Univ. Comenian. Math. Pub!. 27 (1972),107-115.
Erdös, P. and I. S. Gil: On the representation of 1,2, ... N by differences. Nederl. Akad.
Wetensch. Proc. 51 (1948),1155-1158 = Indagationes Math. 10 (1948), 379-382.
GOlay, M.J.E.: Notes on the representation of 1,2, ... n by differences. Joum. London
Math. Soc., 11. Ser. 4 (1972), 729-734.
Härtter, OE.: Differenzen von Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen. Joum. reine und
angew. Math. 232 (1968), 112-117.
Härtter, E., G. Hofmeister und J. Zöllner: Relativnullen und reduzible Mengen bei Differenzen von Mengen ganzer Zahlen. Joum. reine und angew. Math. 299/300 (1978), 301317.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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156
Erich Härtter
[7]
Haselgrove, C.B. and J. Leech: Note on restricted difference bases. Journ. London Math.
Soc. 32 (1957), 228-231.
[8] Kasch, F.: Abschätzung der Dichte von Summenmengen. Math. Z. 62 (1955), 368-387;
S. 385 folg.
[9] Leech, J.: On the representation of 1,2, ... n by differences. Journ. London Math. Soc. 31
(1956),160-169.
[10] Redei, L. und A. Renyi: Über die Darstellung der Zahlen 1,2, ... N mittels Differenzen
(Russisch). Mat. Sbornik N.S. 24 (66) (1949),385-389.
[11] Sierpinski, W.: Sur une propriete des nombres natureIs. Elemente Math.19 (1964),27-29.
[12] Wichmann, B.: A note on restricted difference bases. Journ. London Math. Soc. 38 (1963),
465-466.
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157
Über die von vier Moduln erzeugte Dualgruppe
Von Christian Herrmann, Darmstadt
Richard Dedekind hat in [2] unter der Bezeichnung "Dualgruppe" den Verbandsbegriff als Grundlage für das Rechnen mit Untermoduln eingeführt. Insbesondere
erkannte er die Bedeutung des modularen Gesetzes. In [3] bestimmte er den freien
modularen Verband mit drei Erzeugenden. Damit waren zwei für die Verbandstheorie bedeutsame Themen angeschnitten: das Studium der von gegebenen Konfigurationen erzeugten Verbände und die Suche nach einer angemessenen Axiomatisierung.
In diesem Zusammenhang sind offenbar die folgenden Klassen von Verbänden
von Belang: Sei R ein Ring mit 1 und V(R) die gleichungsdefinierte Klasse von Verbänden, die von allen Verbänden von Untermoduln unitärer R-Moduln erzeugt wird.
VGZ) umfaßt also alle Untergruppenverbände abelscher Gruppen. Die Gültigkeit von
Gleichungen in V(Z) ist entscheidbar, also V(Z) rekursiv axiomatisierbar. Auch wird
V(~) von endlichen Verbänden erzeugt [13].
Für beliebige Ringe R läßt sich die Gültigkeit von Gleichungen in V(R) zu Teilbarkeitsbedingungen pk+'lpk für R in Beziehung setzen [16]. Jedes V(R) ist von endlichdimensionalen Verbänden erzeugt. Andererseits ist kein V(R) endlich axiomatisierbar [14]. Es gilt sogar, daß keine endlich axiomatisierbare gleichungsdefinierte
Klasse modularer Verbände, die V(<Q) enthält, von endlichdimensionalen Verbänden
erzeugt wird [12].
Eine befriedigende Axiomatisierung der Verbände von Untermoduln ist demnach
nicht möglich. Dennoch reicht das modulare Gesetz zur Behandlung vieler Fragen
aus. Dies gilt auch für die Untersuchung freier Verbände über kleinen oder sehr
starken Relationen unterworfenen Erzeugendensystemen. Neben Dedekinds Pionierwerk [3] sind hier insbesondere die Ereignisse von Wille [18] und Gross [6] zu nennen.
Letztere entstanden als HiHsmittel für die Theorie unendlichdimensionaler quadratischer Räume.
Andererseits lassen sich leicht modulare Verbände konstruieren [8], die aus der
Sichtweite der Untermodulverbände nur pathologisch genannt werden können.
Freese [4] bemerkte, daß dabei schon fünf Erzeugende ausreichen und benutzte dies,
um die Unentscheidbarkeit von Gleichungen in fünf Variablen für die Klasse der
modularen Verbände zu zeigen.
Der Fall von vier Erzeugenden läßt sich zunächst für modulare Verbände ganz
allgemein angehen. Es seien M4 und R" die in Figur 1 angegebenen Verbände und Sn
das Intervall [e n,l] von R".
Satz 1 [9J. Jeder von Elementen a,b,c,d mit a + b = c+d und ab = cd erzeugte
modulare Verband ist subdirektes Produkt der Verbände ~,Sn> R" und dessen
Dual R~.
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Christian Herrmann
158
Dieser Satz kann benutzt werden, um Baers [1] Verfeinerungssatz für direkte Zerlegungen von Gruppen in eine verbandstheoretische Version zu übertragen [7]. Um
die Rolle von Satz 1 für das Studium beliebiger von vier Elementen erzeugter Verbände deutlich zu machen, benötigen wir die folgenden Verbandsterme:
~=~+~~+~,~=~+~~+~,~=~+~~+~
SI =a+b+c+d und induktiv Sn+l =t;sn(qia, ... ,qid).
Die s~ seien dual definiert. Es gilt s~ ~ s'mi +l ~ Sn+l ~ Sn·
Satz 2 [10]. Sei Mein subdirekt irreduzibler modularer Verband mit Erzeugenden
a,b,c,d und zu keinem der Verbände aus Satz 1 isomorph. Dann gibt es ein n so, daß
sn(a,b,c,d) = 0 oder s~(a,b,c,d) = 1 gilt.
Umgekehrt gilt in den Verbänden aus Satz 1 Sn = 1 und s* = 0 für aUe n. Satz 2
schöpft die durch Diagramme darstellbaren subdirekt irreduziblen modularen Verbände mit vier Erzeugenden aus. Es gibt jedoch weit mehr Verbände, die nicht gezeichnet werden können.
Satz 3 [11]. Jeder von einem Rahmen erzeugte modulare Verband wird auch von vier
Elementen erzeugt.
Dabei ist ein Rahmen der Ordnung n im Sinne von v. Neumann [17] die verbandstheoretische Abstraktion eines Koordinatensystems einer n-1-dimensionalen projektiven Geometrie. Die Erzeugenden können in Analogie zu unzerlegbaren Quadrupeln
von Unterräumen eines Vektorraumes nach Gel'fand und Ponomarev [5] gewählt
werden. Die von einem Rahmen der Ordnung n ~ 4 erzeugten modularen Verbände
(bzw. n~3 für V(,z» lassen sich genau bestimmen [12].
d
b
,, , ,
" "
',,~
Figur 1
00
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,
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Über die von vier Moduln erzeugte Dualgruppe
159
Satz 4 [11]. Ist R ein Körper, so sind die von vier Elementen erzeugten Verbände in
V(R) gerade die Verbände aus Satz 1 und die projektiven Geometrien von Dimension n~2 über dem Primkörper von R. Für V(R) ist das Wortproblem in vier Erzeugenden lösbar.
In V(Z) gibt es jedoch subdirekt irreduzible, die weder unter Satz 1 noch unter
Satz 3 fallen. Es ist jedoch zu vermuten, daß alle diese Verbände effektiv als Verbände
von Untergruppen abelscher Gruppen konstruiert werden können, und daß für V(Z)
das Wortproblem in vier Erzeugenden ebenfalls lösbar ist. Demgegenüber enthält
nach Hutchinson [15] jede ein V(R) umfassende gleichungsdefinierte Klasse modularer Verbände einen endlich präsentierten Verband mit fünf Erzeugenden, der ein
unlösbares Wortproblem hat.
Literatur
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
R Baer, Direct decompositions. Trans. Amer. Math. Soc. 61 (1947) 62-98.
R. Dedekind, Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler. Festschrift der TH Braunschweig bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte, 1897, S.1-40.
R. Dedekind, Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Math. Ann. 53 (1900),
236-271.
R Freese, Free modular lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 261 (1980),81-91.
1. M. Gel'fand und V. A. Ponomarev, Problems of linear algebra and dassification of quadruples of subspaces in a finite dimensional vector space. Col!. Math. J. Bolyai 5 (1970),
1-56.
H. Gross, Quadratic forms in infinite dimensional vector spaces. Birkhäuser Verlag,
Boston, Basel, Stuttgart 1979.
H.P. Gumm und C. Herrmann, Algebras in modular varieties: Baer refinements, cancellation and isotopy. Houston J. Math. 5 (1979), 503-523.
M. Hall und RP. Dilworth, The imbedding problem for modular lattices. Ann. Math. 45
(1944),450-456.
C. Herrmann, On modular lattices generated by two complemented pairs. Houston J. Math.
2 (1976), 513-523.
C. Herrmann, A parameter for subdirectly irreducible modular lattices with four generators.
Acta Sei. Math. 43 (1981), 169-179.
C. Herrmann, Rahmen und erzeugende Quadrupel in modularen Verbänden. In print,
Algebra Universalis 1981.
C. Herrmann, On the arithmetic of projective coordinate systems. Preprint Lakehead 1981.
C. Herrmann und A. P. Huhn, Zum Wortproblem für freie Untermodulverbände. Arch.
Math. 26 (1975), 449-453.
C. Herrmann und W. Poguntke, The dass of sublattices of normal subgroup lattices is not
elementary. Algebra Universalis 4 (1974), 280-286.
G. Hutehinson, Embedding and unsolvability theorems for modular lattices. Algebra Universalis 7 (1977), 47-84.
G. Hutchinson und G. Czedli, A test for identities satisfied in lattices of submodules.
Algebra Universalis 8 (1978), 269-309.
J. v. Neumann, Continuous Geometry. Princeton 1960.
R Wille, Über modulare Verbände, die von einer endlichen halbgeordneten Menge frei
erzeugt werden. Math. Z.131 (1973), 241-249.
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I
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
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j
j
j
j
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j
J
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161
Eine Verallgemeinerung des Reichweitenproblems
Von Gerd Hofmeister, Mainz
Ausgehend vom klassischen Reichweitenproblem wird über das lineare diophantische Problem von Frobenius eine Verallgemeinerung des ersten Problems betrachtet, die dem Übergang von Basen schlechthin zu asymtotischen entspricht.
1. Das klassische lokale Reichweitenproblem:
Gegeben sei eine Menge A k = {a1' ... , ak} in IN mit 1 = a1 < ... < ak. Dann setzen wir
h
und
k
k
* A k : = {m E !No Im = L
Xiaj, Xi E No, L Xi ~ h}
i=1
i=1
[a,b] : = {m E !No Ia ~ m ~ b}, auch Intervall genannt.
Das klassische lokale Reichweitenproblem besteht in der Frage nach dem größten
Intervall
[O,n]
~
h *Ak •
Das größte derartige n wird mit n(h,A k) bezeichnet und Reichweite von A k bez. h
genannt (Rohrbach [5], Stöhr [7], Hofmeister [1]).
Bekannt sind (Stöhr [7])
n(h,A2) = (h + 3 - a2)a2 - 2 für 2 ~ a2
~
h+2
und Verfahren zur Bestimmung von n(h,A 3 ) (Windecker [8],
n(h,A k) für spezielle A k (etwa [1]).
R~dseth
[4]) sowie
2. Beim klassischen globalen Reichweitenproblem wird die Frage nach
n(h,k) : = max n(h,Ak)
Ak
untersucht (Rohrbach [5]). Hier sind zur Zeit die Werte von n(h,k) samt den zugehörigen optimalen Mengen A k im wesentlichen für alle h,k E IN mit
(h-1)(k 2 -9) ~ 190
bekannt.
3. Das lineare diophantische Problem von Frobenius:
Gegeben sei eine Menge A k = {a" ... ,ak} mit a1 < ... <ak und g.g.T. (a" ... ,ak) = 1.
Wir setzen
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162
Gerd Hofmeister
k
00
und
*Ak := {m EINolm =
L Xiah Xi E lNo}
i=l
[a,oo):= {mElNolm~a}.
Was ist das größte Intervall
[G, (0)
~
00
*A
k
?
Das kleinste derartige G wird mit G(Ad bezeichnet und Frobeniuszahl von A k genannt.
Es gilt G(A2) = (a,-1)(a2-1), und für G(A 3 ) gibt es Verfahren (Siering [6],
R",dseth [3]). Im Fall k ~ 4 ist G(A k ) nur für spezielle A k bekannt. Daneben existieren
noch zahlreiche (zumeist obere) Abschätzungen.
4. Zwischen 1. und 3. besteht ein Zusammenhang (Meures [2]):
Definiert man zu beliebigen A k
so zeigt Meures
n(h,A k) + G(Äk) = h ak für h ~ h o,
dabei muß natürlich a, = 1 sein, damit n(h,Ak) definiert ist.
Dies zieht aber sofort ä k_, = äk-l nach sich, also mehr als nur g.g.T. Ä k = 1.
5. Als Verallgemeinerung von 1. betrachten wirfür A k = {a" ... , ak} mit a, < ... < ak
und g. g. T. A k = 1 sowie hEIN das größte Intervall
[G(Ak), r] ~ h
* Ak
und bezeichnen das größte ganze derartige r mit r(h,Ak ), auch Reichweite von A k
bez. h genannt (mündlicher Vorschlag von A. Beutelspacher).
Weiter heißt
s(h,Ak ) : = r(h,Ak) - G(A k)
Spannweite von A k bez. h. Dann gilt in der Tat
r(h,A k )
+ G(Äk ) = h ak
für beliebige A k mit g. g. T. A k = 1, sofern nur h genügend groß ist.
6. Interessant ist auch die Frage nach
s(h,k) : = max s(h,Ak).
Ak
Während im Fall k = 2
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Eine Verallgemeinerung des Reichweitenproblems
163
s(h,2) = n(h,2)
gilt, hat man im Fall k = 3 für h :?; 20
s(h 3) 2:: -.I. h 3 + ~ h2 +!L 15
, - 27
3
2 2
:?;
4 3
2
81 h + ~ h +
ii -lI:?;
h
n(h, 3).
Asymptotisch ist also s(h,3) erheblich größer als n(h,3), mindestens um den Faktor ~.
Dieses Resultat wurde gemeinsam mit P. Stoll gefunden.
Literatur
[1] Hofmeister, G., Über eine Menge von Abschnittsbasen. Journ. f. reine und angew. Math.
213 (1964), 43-57.
[2] Meures, G., Zusammenhang zwischen Reichweite und Frobeniuszahl. Staatsexamensarbeit,
Mainz 1978.
[3] RiZldseth, (2\., On a linear Diophantine problem of Frobenius. Journ. f. die reine und angew.
Math. 301 (1978),171-178.
[4] RiZldseth, (2\., On h-bases for n. Math. Scand. 48 (1981), 165 -183.
[5] Rohrbach, H., Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie. Math. Zeitschr. 42 (1936), 1-30.
[6] Siering, E., Über lineare Formen und ein Problem von Frobenius. Diss., Mainz 1974.
[7] Stöhr, A., Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe I. Joum. f.
die reine und angew. Math.194 (1955), 40-65.
[8] Windecker, R., Zum Reichweitenproblem. Unveröffentlichtes Manuskript, Mainz 1978.
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165
Quaternionen über Polynomringen, quadratischen Formen
über lR(x,y] und Vektorbündel über 1P 2 «(;)
Von Max-A1bert Knus,Zürich
Einführung
Es sei A = K[X" ... , Xn ] ein Polynomring in mindestens 2 Variablen über einem
Körper K. Nach einem tiefliegenden Satz von Quillen [13] und Suslin sind endlich
erzeugte projektive A-Moduln immer frei. Ersetzt man K durch einen Schiefkörper
D, so gilt der Satz nicht mehr. Für jeden nicht kommutativen Schiefkörper D gibt es
projektive D[X1 , ••• ,Xn ]-Moduln, welche nicht frei sind [9]. Diese Moduln sind alle
Ideale, d.h. sie haben Rang eins. Es gelang Stafford 1980 zu zeigen, daß projektive
Moduln vom Rang größer als eins über D[X" ... ,Xn ] frei sind [14].
In diesem Übersichtsvortrag werden Beispiele von nicht freien projektiven Idealen
in lH[x,y] konstruiert, wobei IH die reellen Quaternionen bezeichnet. Dann zeigen wir,
daß die projektiven Ideale von lH[x,y] eng mit positiv-definiten quadratischen Formen über lR[x,y] zusammenhängen. Im letzten Teil wird eine Klassifikation eines
Teiles dieser Ideale gegeben. Dabei werden Resultate von Barth [1] über stabile
Vektorbündel über 1P2(C) benützt.
1. Konstruktion von projektiven Idealen vonlH[x,y] ([9])
Wir bezeichnen den Polynomring lH[x,y] = 1H®IRIR[x,y] mit H. Alle H-Moduln
werden Linksmoduln sein. Sei a: H 2 -,> H die H-lineare Abbildung, definiert durch
a«l,O)) = x+i und a«O,l)) = y+j, wobei i und j die üblichen Erzeugenden von H
sind. Da -(y+j)(x+i) + (x+i)(y+j) = 2ij eine Einheit von H ist, ist die Abbildung a
surjektiv. Weiter zeigt man leicht, daß a einen Schnitt besitzt. Folglich ist der Kern K
von a projektiv. Durch Projektion auf den ersten Summanden von H 2 wird K mit
einem Ideal Px,y von H identifiziert. Die zwei Elemente (y + j) (x - i) und y2 + 1 erzeugen P x,y als Ideal, und eine einfache Gradbetrachtung zeigt, daß Px,y nicht frei sein
kann. Weitere Beispiele von projektiven Idealen erhält man durch Ersetzen von x
und y in der Definition von Px,y durch beliebige Polynome fund gaus IR[ x,y]. Sei P f,g
das zugehörige Ideal. Dann stellt sich die Aufgabe, die Isomorphieklassen der Ideale
Pf,g zu untersuchen. Das erste Resultat in dieser Richtung wurde von R. Parimala und
R. Sridharan [11] bewiesen: die Ideale Px,yn sind für verschiedene Werte von n (n eine
ganze natürliche Zahl) untereinander nicht isomorph. Ihr Beweis war sehr kompliziert. Ein anderer Beweis folgt aus den Methoden, welche im dritten Teil dieser
Arbeit beschrieben werden.
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Max-Albert Knus
166
2. Quadratische Formen über lR[x,y]
Die reduzierte Norm von H definiert durch Skalarerweiterung eine reguläre quadratische Form auf H. In [5] wurde eine reduzierte Norm mit funktoriellen Eigenschaften für Moduln über Azumaya-Algebren eingeführt. Für ein projektives Ideal P
in H = lH[x,y] gibt diese reduzierte Norm eine reguläre quadratische Form vom Rang 4
über lR[x,y]. Falls das Ideal nicht frei ist, ist die Form unzerlegbar (als orthogonale
Summe) über lR[x,y], also insbesondere nicht diagonalisierbar. Zwei projektive Ideale
sind genau dann isomorph, wenn die entsprechenden Formen isometrisch sind.
Durch die Wahl einer Basis des Ideals als lR[x,y]-Modul wird die reduzierte Norm
durch eine symmetrische 4 X 4-Matrix mit Koeffizienten aus IR[ x,y] und Determinante
eine positive reelle Zahl dargestellt. Diese Matrix ist positiv-definit, d. h. jedes Einy ~ Ti gibt eine positiv-definierte Form über IR.
setzen von reellen Werten x ~
In [6] wurde gezeigt, daß die reduzierte Norm vom Ideal Pf,g durch die symmetrische
Matrix
s,
Q",'
(4+g'(1
+I')
o
-g(l +f2g2 )
4+i(1 +f2)
gegeben ist.
Diese Matrix war für f = x und g = y das erste explizite Beispiel einer regulären
quadratischen Form über einem Polynomring, welche nicht diagonalisierbar ist [10].
Jede positiv-definite reguläre quadratische Form über IR[X1"" ,xn ] läßt sich als
orthogonale Summe von unzerlegbaren Formen darstellen. Eine natürliche Frage ist,
ob eine Eindeutigkeit der Zerlegung nach Krull-Schmidt gilt. Bis jetzt konnte erst der
Fall von 2 Variablen behandelt werden [4]. Dabei wurden Methoden benützt, die im
nächsten Teil beschrieben werden. Eine weitere Frage ist die Existenz von unzerlegbaren Formen in allen Dimensionen. Formen vom Rang ~ 2 sind immer zerlegbar
[10]. Unzerlegbare Formen vom Rang 3 und 4 wurden in [5] klassifiziert. Beispiele
von unzerlegbaren Formen vom Rang> 4 wurden erst kürzlich konstruiert: Beispiele
vom Rang 6 in [4] und vom Rang 4n für alle n in [8].
3. Ideale nnd Formen auf der projektiven Ebene
Ein projektives Ideal in H[x,y] kann geometrisch interpretiert werden als ein
reelles Vektorbündel vom Rang 4 mit einer quaternionalen Struktur über der reellen
2
affinen Ebene A (IR). Wir denken uns die affine Ebene in der projektiven Ebene
2
1P (1R) eingebettet. Knebusch stellte die Frage, ob quadratische Bündel über A 2 sich
2
auf 1P erweitern lassen. In [7] wurde gezeigt, daß jedes anisotrope quadratische
Bündel über A 2(K) eine eindeutige Erweiterung auf p2(K) besitzt für beliebige
Körper K der Charakteristik nicht 2. Eine Anwendung dieses Resultates ist der Satz
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Quaternionen über Polynomringen, quadratischen Formen und Vektorbündel
167
von Krull-Schmidt für positiv-definite Formen über lR[x,y]: Aus [12] folgt, daß der
Satz von Krull-Schmidt für quadratische Bündel über 1P2(1R) gilt [4]. Also gilt er auch
für A 2(1R).
Eine entsprechende Erweiterung von 1A2 auf 1P2 ist auch für Ideale in lH[x,y] möglich, wobei jedoch die Eindeutigkeit der Erweiterung auf 1P 2 nur bis auf ein Tensorprodukt mit einem Linienbündel O(n) von 1P2 gewährleistet wird [7].
Durch die Einbettung C c IH induziert jede quaternionale Struktur eine komplexe
Struktur, und ein "quaternionales" Bündel, welches die Erweiterung eines Ideals in
lH[x,y] ist, kann als komplexes Vektorbündel vom Rang 2 über p2(C) betrachtet werden. Komplexe Bündel vom Rang 2 über PC(C) werden topologisch durch ihre zwei
ersten ehern-Klassen c, und C2 klassifiziert. Für jedes projektive Ideal P in lH[x,y]
gibt es eine (bis auf Isomorphie) eindeutige Erweiterung g(P) auf 1P2 mit c, = 0 ([3]
oder [7]). Für dieses " normierte " Bündel ist dann C2 automatisch eine gerade Zahl [7].
Insbesondere kann man zeigen [3], daß C2(E;(Pf,g)) = 2 . [C(x,y): C(f,g)], falls f(x,y)
und g(x,y) keine gemeinsame Nullstelle auf der !Xl-Geraden von 1P2(C) haben. Da
C2(E; x,yn) = 2n ist, folgt, daß die Moduln P x,yn und P x,ym resp. Q x,yn und Q x,ym nicht
isomorph sind für n i= m.
In [6] wird auch bewiesen, daß die Bündel !;(P) stabile Bündel sind. Die Klassifikation von stabilen 2-Bündeln auf 1P2(C) mit c, = 0 und C2 = 2, die von Barth gegeben wurde [1], hat dann Anwendungen auf Ideale von lH[x,y]. Es gilt insbesondere
die folgende Klassifikation [7]:
Satz. Jedes Ideal P von lH[x,y] mit C2(!;(P)) = 2 ist isomorph zu einem Ideal Pf,g
(siehe § 2) mit
(*)
f = a,x+a2y+a3
g= b,x+b 2y+b 3
Weiter ist Pf,g isomorph zu Px,y genau dann, wenn die affine Abbildung (*) orthogonal ist.
Also werden die projektiven Ideale von lH[x,y] mit c, = 0 und C2 = 2 durch den
Restklassenraum GA(1R 2)/O(R 2) klassifiziert, wobei GA die affine Gruppe und 0 die
orthogonale Gruppe ist. Entsprechende Resultate gelten für die zugehörigen quadratischen Formen Qf,g'
Eine weitere Anwendung der Theorie der stabilen Bündel ist die im zweiten Teil
erwähnte Konstruktion [8] von unzerlegbaren quadratischen Formen vom Rang 4n
über lR[x,y]. Dabei werden unzerlegbare komplexe Bündel benützt, welche von Hulek
stammen [2].
Literatur
[1]
[2]
W. Barth, Moduli of vector bundles on the projective plane, Inventiones Math. 42 (1977),
63-91.
K. Hulek, On the classification of stable rank-r vector bundles over the projective plane,
Proceedings, Vector Bundles and Differential equations, Nice, 1979, Birkhäuser Verlag =
Progress in Mathematics 7.
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168
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
Max-Albert Knus
M.-A. Knus, Quaternionic modules over 1P2 (R), Proceedings, Brauer groups and applications, Antwerpen 1981, Springer Lecture Notes.
M.-A. Knus, M. Ojanguren and R. Parimala, Positive definite quadratic bundles over the
projective plane, Preprint, 1981.
M.-A. Knus, M. Ojanguren and R. Sridharan, Quadratic forms and Azumaya algebras,
J. Reine Angew. Math. 303/304 (1978), 231-248.
M.-A. Knus and R. Parimala, Quadratic forms associated with projective modules over
quaternion algebras, J. Reine Angew. Math. 318 (1980), 20-3l.
M.-A. Knus, R. Parimala und R. Sridharan, Non-free projective modules over H[x,y] and
stable bundles overIP2 (C), Inventiones Math. 65 (1981), 13-27.
M. Ojanguren, R. Parimala and R. Sridharan, Indecomposable quadratic bundles of rank
4n over the real affine plane, Preprint, 1981.
M. Ojanguren and R. Sridharan, Cancellation of Azumaya algebras, J. Algebra 18 (1971),
501-505.
R. Parimala, Failure of a quadratic analogue of Serie's conjecture, Amer. J. Math. 100
(1978),913-924.
R. Parimala and R. Sridharan, Projective modules over polynomial rings over division
rings, J. Math. Kyoto Univ. 15 (1975),129-148.
H. G. Quebemann, W. Scharlau and M. Schulte, Quadratic and Hermitian forms in additive
and abelian categories, J. Algebra S9 (1979), 264-289.
D. Quillen, Projective modules over polynomial rings, Inventiones Math. 36 (1976), 16717l.
J. T. Stafford, Projective modules of polynomial extensions of division rings, Inventiones
Math. 59 (1980), 105-117.
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169
Eindeutige Faktorisierung ohne ideale Elemente
Von Ulrich Krause, Bremen
1. Extraktionsbereiche
In diesem Artikel wird versucht, für Bereiche, in denen eine global eindeutige Faktorisierung von Nichteinheiten in irreduzible Elemente nicht mehr möglich ist, dennoch eine Faktorisierung im Bereich selbst zu finden, die, auf noch zu erläuternde
Weise, lokal eindeutig ist. Die geeigneten Bereiche dafür sind die unten definierten
Extraktionsbereiche. Es zeigt sich, daß ein Be~eich, der eine eindeutige Faktorisierung durch ideale Elemente erlaubt - d.h.: eine Divisorentheorie besitzt - auch ein
Extraktionsbereich ist, daß es jedoch interessante Extraktionsbereiche gibt, die keine
Divisorentheorie besitzen.
Unter einem (Teilbarkeits)Bereich S wird im folgenden immer eine kommutative
(meistens multiplikative) Halbgruppe mit Einselement und Kürzungsregel verstanden. Ist R ein (kommutativer) Integritätsring mit 1, so ist R* = R\{O} bzgl. Multiplikation ein solcher Bereich. Wie im Falle von Ringen bezeichnet xh, daß XES ein
Teiler von YES ist, U die Gruppe der Einheiten von S, (x) = xS das von x erzeugte
Ideal, rad (x) = {YESlyOE(X) für ein nElNu {O} } das Radikal von (x) (IN = {1, 2, ... }).
Ist XES eine Nichteinheit, so heißt x irreduzibel, wenn x = Y' z impliziert, daß Yoder z
aus U ist; x heißt prim, wenn xh· z impliziert, daß x~y oder xh; x heißt semiprim,
wenn (x) semiprimes Ideal ist, d.h. rad(x) = (x).
Besonders durchsichtig ist die Teilbarkeitstheorie in einem Gaußbereich, d. h. einem
Bereich S, in dem jede Nichteinheit eine eindeutige Faktorisierung, bis auf Einheiten
und Reihenfolge der Faktoren, in irreduzible Elemente besitzt (v gl. [Kurös]). Aber
bereits der einfache Gaußbereich IN (bzgl. Multiplikation) enthält Bereiche S, deren
Teilbarkeitsrelation mit der von IN übereinstimmt, d. h. für X,YES gilt xh gen au dann,
wenn x~y gilt, die jedoch nicht gaußsch sind, z.B. S= {4n+1InENu{0}} (vgl.
[Sommer]). Allgemein gilt, daß jeder Gaußbereich, der keine Gruppe ist, einen Bereich enthält, der nicht gaußsch ist ([Greiter]). Für die Untersuchung der Teilbarkeitseigenschaften in einem Bereich, der nicht gaußsch ist, erweist sich der folgende
Extraktionsgrad als nützlich, der gewissermaßen den größten Anteil mißt, mit dem ein
Element in einem anderen enthalten ist und daher aus diesem extrahiert werden kann.
(Die im folgenden dargestellte Methode wurde ursprünglich in [Hinrichsen/Krause1
für konvexe Mengen entwickelt, insbesondere zur simplizialen Zerlegung von Polyedern.)
Definition. Für einen Bereich S heißt die Abbildung
'-s: SxS~IR+u +
00,
'-s(x,y)
= sup{ WI xmJyo mit m,nE lNu{O}, n*,O}
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Ulrich Krause
170
Extraktionsgrad in S. Gibt es für jedes Paar X,YES mit x$U ein Paar m,nENu{O}
mit n 0, so daß xmh n und As(X,y) = Wist, so heißt S Extraktionsbereich. Ist Sein
Extraktionsbereich, so bezeichne für XES\U, YES e(x,y) den durch As(X,y) = W,
yn = xm. z bei minimalem n eindeutig bestimmten Rest z, und e: S \U ~ S die dadurch
definierte Extraktionsfunktion. Ist As(X,y) > 0, so heißt x Komponente von y. Der
Extraktionsgrad in einem Extraktionsbereich besitzt folgende elementare Eigenschaften.
+
Eigenschaften des Extraktionsgrades A
(1) (X)C{YES IA(X,y) ~ 1}C{YES IA(X,y) >O} = rad(x)
(2) A(X\yl) =
A(X,y) für k,IEN
(3) A(X,· X2,y) ~min{A(x"y), A(X2,y)}
(4) A(X'Y'·Y2)~A(X,y,)+A(X'Y2)
(5) x ist genau dann semiprim, wenn für alle YES A(X,Y)ENu{O}
bzw. A(X,y) = max{ mENu{O} IxmIY}.
(6) x ist genau dann prim, wenn x semiprim ist und für alle y"Y2ES gilt
A(X,Y"Y2) = A(X,y,) + A(X'Y2).
t.
Offensichtlich ist IN bezüglich der Multiplikation und Nu{O} bezüglich der Addition
ein Extraktionsbereich. Der folgende Satz liefert zwei Prinzipien, um aus Extraktionsbereichen, z. B. den eben genannten, weitere Extraktionsbereiche, z. B. Krullringe,
zu gewinnen.
Satz 1
(a) Sei Rein Extraktionsbereich und Sein Unterbereich von R derart, daß zu X,YES
mit xh ein kEIN existiert mit xk~l. Dann ist Sein Extraktionsbereich und die
Extraktionsgrade von Sund R stimmen auf SxS überein.
(b) Sei S ein Bereich, der Durchschnitt einer Familie {RjhEI von Extraktionsbereichen (in einem Bereich R) ist, derart, daß jedes Element von S nur für endlich viele iEI eine Nichteinheit von R i ist. Dann ist Sein Extraktionsbereich und
für die Extraktionsgrade A von S, Ai von R i gilt A(X,y) = min{Ai(x,y) Ix Nichteinheit von R j} für X,YES.
Beweis:
(a) Seien X,YES. Es ist As(X,y) ~AR(X,y). Ist x Einheit in S, so As(X,y) = + 00 und es gilt
Gleichheit. Ist x keine Einheit in S, so nach Voraussetzung auch keine Einheit
in R. Da RExtraktionsbereich, so folgt AR(X,y) = Wund xmh n. Nach Voraussetzung gibt es ein kEN mit xmk~yn\ und es ist AS(X,y) ~ ~~ = AR(X,y) ~ As(X,y).
(b) Seien X,YES und I={iEllx Nichteinheit in R i}. Da ScRi für iEI, so As(X,y)~
~min{Aj(x,y) IiEI}. Wegen S = QR i ist x Einheit in S genau dann, wenn x Ei'lheit in allen Ri ist. Ist also x Einheit in S, so As(X,y) = + 00 = min{Ai(x,y) IiE I}.
Ist
x Nichteinheit
in S, so ist 1*'0. Für iEI gibt es m·., n·1 mit A'(X
y) = m,
und
n'
m"
I,
n,
y 1 = Xl. Zh Zi ERh da R j Extraktionsbereich ist. Sei
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Eindeutige Faktorisierung ohne ideale Elemente
171
~=min {'::,' IiE!}. Dann
yOjOj = xmjoj . z~j, yOjOj = xmjoj . Z~i und wegen
mj' nj ~ mj' nj ist xmiOrffijOj. z~j = zr i.
Da XES, zjERj, so z~jERj für alle iE!. Ist n = IEIlnj,
so ZfERj für iEI. Für iEI, iEtl ist
I
x Einheit in R j und wegen ljo = xmjo . zr daher zrERj für iEtl. Also ist ZOES und
}
daher xmjoVjO und As(x,y) ~ 'if$ = min{Aj(x,y)liEl} ~As(x,y).
Folgerungen
(1) Sei h: S~ Rein Halbgruppenhomomorphismus der Bereiche Sund R mit
h(X)kh(Y) ~ xh für X,YES. Dann ist mit Rauch Sein Extraktionsbereich und
As(x,y) = AR(h(x),h(y» für X,YES (nach Satz 1 (a».
Beispiel: Sei Rein Bewertungsring zu einer diskreten Bewertung v. v induziert
einen Halbgruppenhomomorphismus des Bereiches R * in den Extraktionsbereich lNu{O} (bzgl. Addition) mit xk*y ~ v(x) ~v(y). Also ist R* ein Extraktionsbereich und AR'(x,y) =
für x,YER *, da ~u{o}(k,l) = t (mit ~ = + (0).
(Der Zusammenhang zwischen AR' und v ist so eng, daß man einen diskreten
Bewertungsring durch Eigenschaften seines Extraktionsgrades charakterisieren
kann.)
(2) Ist Rein Krullring, so ist R* ein Extraktionsbereich und AR'(x,y) = min{~ IVj(x)
> 0, iEI}, wobei (Vi)iEI definierende Familie diskreter Bewertungen von R.
(Folgt aus Satz 1 (b) und Beispiel unter Folgerung (1).) Insbesondere sind also
Gaußsehe Ringe (faktorielle Ringe) und Dedekindsche Ringe Extraktionsbereiche.
(3) Sei S ein Bereich mit Divisorentheorie, d. h. es gibt einen Halbgruppenhomomorphismus h: S~ G in einen Gaußbereich G mit xh ~ h(X)6h(y) (vgl. [GundIaeh]). Da ein Gaußbereich, analog wie ein Gaußring, ein Extraktionsbereich ist,
so folgt aus Folgerung (1), daß Sein Extraktionsbereich ist mit As(x,y) = Ao(h(x),
*
h(y». Insbesondere ist also ein Unterbereich eines Gaußbereiches G, dessen
Teilbarkeitsrelation mit der von G übereinstimmt, ein Extraktionsbereich.
(4) Sei Rein Krullring und Sein Unterbereich von R * derart, daß für jedes Element
von R * eine Potenz in S liegt. Dann ist Sein Extraktionsbereich, As und AR' stimmen auf SxS überein. (Folgt aus Satz 1 (a) und Folgerung (2).) Im allgemeinen
ist ein Unterring Seines Krullringes mit obiger Eigenschaft nicht selbst wieder
zeigt.
ein Krullring, wie etwa das Beispiel R = Z(yCS), S = Z + 2Z'
Z + 2Z' \1-3 ist ein Extraktionsbereich, besitzt aber als Nicht-Hauptordnung
keine Divisorentheorie.
v=s
Bemerkung. Indem man für einen Bereich die zugehörige Quotientengruppe betrachtet, kann man ähnlich wie im Fall von Ringen Bewertungen, Bewertungsbereiche und
Krullbereiche definieren. Die obigen Folgerungen gelten dann ganz analog für diese
etwas allgemeinere Situation.
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172
2. Markierte Faktorisierungen
Sei Sein Extraktionsbereich mit Extraktionsgrad "- = "-s und S bestehe nicht nur aus
Einheiten. Die Extraktion von Elementen, beschrieben durch die Extraktionsfunktion
e( . , .), läßt sich iterieren, ~enn für jede Nichteinheit eine zu extrahierende Nichteinheit markiert wird. Um die gewünschte lokale Eindeutigkeit zu erreichen, erweist
sich der folgende Begriff als zweckmäßig.
Definition. Eine Abbildung Il:S\U~S\U heißt eine Markierung auf S, wenn
(a) Il(x) Komponente von x ist, für jedes x
(b) x Komponente von y, Il(Y) Komponente von x impliziert, daß Il(X) = Il(Y).
Ist Il eine Markierung auf S, dann heißt die Abbildung e : S\U ~ S, definiert durch
e(x) = e(ll(x),x),
markierte Extraktion auf S.
Lemma 1. Für XES""U, SExtraktionsbereich, sei m(x)=sup{ iENu{O} lei (x) ES""U }
Xi = ei(x), ei = Il(Xi) und X~i = erie(e;,xi)
für 0 ~ i < m(x) + 1.
Die Folgen der Xi und ei haben folgende Eigenschaften:
FürO~i~j<m(x)+1 ist
ki_ I;. li+1
lj.
()
a Xi - ei ei+1 ... ej Xj+1
mit ki = ni ·ni+1· .. njEN, li = mi ·ni+1 ... njEIN.
(b) rad(xi)\;rad(xi+1), und ei ist Komponente von x;, aber nicht von Xi+1. Insbesondere sind ei und ej nicht assoziiert für i 'i= j.
Beweis:
(a) Nach Definition ist Xi+1 = e(x;) = e(ll(xi),Xi) = e(e;,xi)' also xr i = ej"i . Xi+1. Durch
Iteration folgt (a), wobei liEN, da Il(Xi) Komponente von Xi ist.
(b) Nach (a) ist rad(xi) = rad(ei)nrad(ei+1) ... nrad(ej)nrad(xj+1), also rad(xi)c
crad(xi+1). Wegen X~i =er i . Xi+1 ist ,,-(e;,Xi+1) = 0, also ei keine Komponente von
Xi+" also Xi+1 $rad(ei). Da ei = Il(Xi) Komponente von x;, so xiErad(e;). Also ist
rad(xi) =F rad(xi+1). Wären für i < j ei und ej assoziiert, so rad(xi+1)crad(xj)c
crad(ej) = rad(ei), also wäre ei eine Komponente von Xi+1.
Der durch Iteration der markierten Extraktion definierte Extraktionsalgorithmus
bricht wegen Lemma 1 (b) nach endlich vielen Schritten ab, wenn S der folgenden
Endlichkeitsbedingung genügt.
Definition. Ein Bereich S heißt vom endlichen Typ, wenn jede aufsteigende Kette
rad(Y1)crad(Y2) c ... '(YiES) konstant wird.
Bemerkungen
(1) Für YES sei F(y) = {xESI,,-(x,y»O} die Menge aller Komponenten von y. F(y)
ist der kleinste Unterbereich von S, der y enthält und mit jedem Element auch
deren Teiler. Es ist rad(y)crad(y') genau dann, wenn F(Y)::::lF(y'). Daher ist ein
Bereich S genau dann vom endlichen Typ, wenn jede absteigende Kette von
Komponentenmengen F( . ) konstant wird.
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Eindeutige Faktorisierung ohne ideale Elemente
173
(2) Ist Rein Krullring, so ist R * vom endlichen Typ, denn nach Folgerung (2) von
Abschnitt 1 gilt rad(y)crad(x) <0> A(X,y) > 0 <0> {iEI Iv;(x) > O} c {iEI IVj(Y) > O}
und letztere Indexmengen sind endlich.
Offensichtlich ist für einen noetherschen Ring R der Bereich R * vom endlichen
Typ, die Umkehrung gilt jedoch nicht (da nicht jeder Krullring noethersch ist).
(3) Ist h: S~ Rein Halbgruppenhomomorphismus der Bereiche Sund R mit
h(x)k.h(y) <0> xh für X,YES, so ist mit Rauch S vom endlichen Typ.
Insbesondere sind also Bereiche mit Divisorentheorie vom endlichen Typ.
Ist Sein Extraktionsbereich vom endlichen Typ, so erzeugt der Extraktionsalgorithmus nach Lemma 1 eine endliche Folge (ej), die Il-unabhängig in folgendem Sinne ist.
Definition. Eine endliche Menge von nichtassoziierten Nichteinheiten in einem Extraktionsbereich S mit Markierung 11 heißt Il-unabhängig, wenn Nichteinheiten
Yo'Y""',Ym existieren, so daß M= {1l(Yo),Il(Y,), ... ,Il(Ym)} und rad(Yo)crad(y,)c ...
crad(Ym). (Die Mengen dieser Kette sind dann verschieden.
Lemma 2. Sei M = {ao, a" ... , am} eine Il-unabhängige Menge im Extraktionsbereich
S mit Markierung 11, und
x = a~o. a;' ... a~' u mit rjEIN, UEU.
Der Extraktionsalgorithmus angewandt auf x ergibt (vgl. Lemma 1): m(x)=m, aj =ej
für O~i~m, und
Beweis: Es ist rad(x) = rad(ao)nrad(a,)n ... nrad(a m). Da aj = Il(Y;) mit rad(yo)c ...
crad(Ym), so ist aj Komponente von Y;, also rad(Yj)crad(aj), und daher YoEfad(x).
Also ist x Komponente von Yo. Da ao = Il(Yo) Komponente von x, so ist nach Definition der Markierung ao = Il(Yo) = Il(x) = eo·
Es ist A(ao,x) = r:;: ~ ro, xOo = a~o. e(ao,x). Also a~o-ooro. e(ao,x) = a;'oo ... a~mOOuoo.
Wäre mo-noro>O, so rad(a,)nrad(a2)n ... nrad(am)crad(ao), also rad(y,)crad(ao)
und daher ao Komponente von y,. Da Y, Komponente von Yo, so wäre nach Definition
der Markierung a, = Il(Y,) = Il(Yo) = ao, und M wäre nicht Il-unabhängig. Also ist
mo-noro = O. Damit
ro = '::: wobei x~o = e~o . e( eo,xo), und
x, = e(ao,x) = a;'oo ... a~moOuno. Durch Iteration dieses Arguments für X"X2,'" folgt das
Lemma.
Durch Kombination der beiden Lemmata ergibt sich der folgende Satz.
Satz 2 (markierte Faktorisierung)
Sei Sein Extraktionsbereich vom endlichen Typ, versehen mit einer Markierung Il.
Dann hat jede Nichteinheit
x von S eine Darstellung
XO
= uaEM
n a"a
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Ulrich Krause
174
mit eindeutig bestimmter Il-unabhängiger Menge M, eindeutig bestimmten Quotienten 4r- positiver ganzer Zahlen und mit Einheit u. Diese markierte Faktorisierung wird
durch den Extraktionsalgorithmus geliefert.
Es soll nun gezeigt werden, daß ein Extraktionsbereich vom endlichen Typ tatsächlich
eine Markierung besitzt.
Definition. Eine Nichteinheit y eines Extraktionsbereiches heiße extremal, wenn für
jede Nichteinheit x, die y teilt, e(x,y) eine Einheit ist.
Irreduzible Elemente sind stets extremal.
Lemma 3
(a) Ist Sein Extraktionsbereich vom endlichen Typ (nicht nur aus Einheiten bestehend), so hat jede Nichteinheit eine extremale Komponente, und es existiert
eine extremale Markierung, d. h. eine Markierung, deren Werte extremale Elemente sind.
(b) Ist S die multiplikative Halbgruppe eines Krullringes, so hat jede Nichteinheit
eine irreduzible Komponente, und es existiert eine irreduzible Markierung, d. h.
eine Markierung, deren Werte irreduzible Elemente sind.
Beweis:
(a) Sei yeS\U. Es wird gezeigt, daß y eine extrem ale Komponente hat. Ist y extremal, so ist nichts zu zeigen. Ist y nicht extremal, so gibt es ein xeS\U mit xlY
und Yl =e(x,y)EtU. Es ist y"=Xm ·Yl'-,*=t..(X,y), und daher rad(y)crad(Yl).
Nach Definition von Yl ist t..(X'Yl) = 0, also Yl $rad(x) und daher Yl $rad(y). Also
ist rad(y)SErad(Yl). Ist Yl extremal, so eine extremale Komponente von y. Ist Yl
nicht extremal, so ergibt sich wie eben die Existenz eines Y2$U mit rad(Yl)~
SErad(Y2). Durch Iteration ergibt sich die Existenz einer extremalen Komponente
von y, da S vom endlichen Typ ist.
Sei nun Mein Repräsentantensystem, bzgl. Assoziiertsein, der nicht leeren
Menge aller extremalen Elemente von S. M sei mit einer beliebigen Wohlordnung ,,<" versehen. Ist für xeS\U Il(x) die bzgl. ,,<" kleinste Komponente von x
aus M, so ist 11 eine extremale Markierung auf S.
(b) In einem Krullring wird jede aufsteigende Kette (Yl)C(Y2)c ... konstant, und
daher besitzt jede Nichteinheit eine irreduzible Komponente. Analog wie unter
(a) ergibt sich die Existenz einer irreduziblen Markierung.
Aus Satz 2 ergibt sich mit Hilfe von Lemma 3 (und früheren Folgerungen bzw.
Bemerkungen) das folgende Korollar.
Korollar. Ist Sein Extraktionsbereich von endlichem Typ (z.B. multiplikative
Halbgruppe eines Krullringes), so gibt es eine Markierung auf S derart, daß jede
Nichteinheit eine eindeutige markierte Faktorisierung im Sinne von Satz 2 in
extremale (irreduzible) Elemente hat. Sind alle extremalen (irreduziblen) Elemente semiprim, so kann in der Faktorisierung n= 1 gewählt werden.
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3. Gauß-Komplexe
Sei Sein Extraktionsbereich mit Markierung 11 (S =l= U). Für eine Teilmenge McS sei
S(M) die von Mund U in S erzeugte Halbgruppe. Für einen Bereich B bezeichne
Pr(B) bzw. Ir(B) die Menge der Elemente von B, die prim bzw. irreduzibel sind.
Definition. Eine beliebige Teilmenge M von S heiße l1-unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von M l1-unabhängig ist. Eine maximale l1-unabhängige Menge heiße
markierte Basis (I1-Basis).
Nach Zorn's Lemma ist jede l1-unabhängie Menge in einer markierten Basis enthalten.
Lemma 4. Ist 11 irreduzibel, so gibt es ein Repräsentantensystem (bzgl. Assoziiertsein)
von Pr(S), das l1-unabhängig ist.
Beweis: Ist P eine endliche Teilmenge von Pr(S), so gibt es UEU, p'EP mit 11( n p) =
up', denn: 'Ist x = pQp p, so ist y = l1(x) irreduzibel und eine Komponente vori~ also
xk = Y' z mit ZES. Teilte kein PEP das y, so wäre xklz und y eine Einheit. Also gibt es
ein P'EP mit p'ly. Da y irreduzibel, so y = up' mit UEU. Insbesondere ist also für
pEPr(S) l1(p) = Up,UEU. Für p = up gilt dann l1(p) = l1(p) = p. Sei M das Repräsentantensystem der p mit pEPr(S). Ist PcM, P endlich, so nach dem eingangs gezeigten
11( PEP
n p) = up' mit UEU,p'EP. Da 11(11(-» = 11(-), so 11( pEnpp) = l1(up') = l1(p') = p'.
Setze P1 = p'.
Analog ergibt sich 11 (n p ) = P2, P2 EP\ {P1}'
pE P\{p,}
Durch Iteration erhält man P = {P1, P2,· .. , Pn} mit I1(Pi'" Pn) = Pi für 1 ~ i ~ n. Mit
Yi = Pi'" Pn folgt Pi = I1(Yi) und rad(Y1) c rad(Y2) c ... c rad(Yn). Also ist P l1-unabhängig und daher auch M.
Lemma 5. Für eine l1-unabhängige Menge Mist S(M) ein Gaußbereich mit Pr(S(M»
= M· U. Ist 11 irreduzibel, so ist Pr(S(M» = Ir(S)nS(M).
Beweis: Es ist S(M) = {ua~ManaluEU, naEIN für endlich viele a, sonst o}. Also ist
Pr(S(M»cM' U und M· U = Ir(S)nS(M), wenn 11 irreduzibel ist. Es genügt daher, zu
zeigen, daß McPr(S(M» ist. Sei aoEM, und zunächst aolua~Mana in S(M). Also
u n ana=ao' v n affia , wobei U,VEU und nur endlich viele na,maEIN. Aus der Eindeu.aEM .
aEM
.
I
.
n ka
n la
tlgkeItsaussage von Lemma 2 folgt n ao > O. Sei nun ao x . y mIt x = uaEMa , y = vaEM a
(in S(M». Nach dem eben Gezeigten ist kao + 1ao > 0, also k ao > 0 oder 1ao >0 und
daher aolx oder aolY. Also ist aoEPr(S(M».
Lemma 6. Sind Mund N l1-unabhängige Teilmengen von S, so gilt:
(a) S(M)nS(N) = S(MnN)
(b) Ist xffiynES(M) mit m,nEIN, so ist mit x,YES(N) auch x,YES(M).
Beweis:
na
(a) Es ist S(~nN)cS(M)nS(N). Sei xES(M)nS(N), also x = ua~M a = vbQNbffibmit
U,VEU und na,mbEIN nur für endlich viele a bzw. b. Nach Lemma 2 ist
{aEMlnaEIN} = {bENInbEIN}, also xES(MnN).
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176
Ulrich Krause
(b)
Definition. Die nichtleere Familie
® = {S(M)IM markierte Basis von S} heiße
Gauß-Komplex von S bzgl. IA.
Aus den Lemmata 5 und 6 und Satz 2 (bzw. des Korollars dazu) ergibt sich
Satz 3. Ist Sein Extraktionsbereich vom endlichen Typ mit einer irreduziblen Markierung, ist insbesondere S die multiplikative Halbgruppe eines Krullbereichs, so hat
der Gauß-Komplex von S folgende Eigenschaften:
(a) Jedes GE® ist ein Gaußbereich, maximal in ®.
(b) Pr(G) = Ir(S)nG für GE®.
(c) Für G,G'E® ist GnG' wieder ein Gaußbereich, dessen Teilbarkeitsrelation auf
GnG' mit der von G und G' übereinstimmt und für den Pr(GnG') = Pr(G)n
nPr(G') gilt.
(d) Für jedes Element von S liegt eine Potenz in c3j(lj G.
Faktorielle Ringe (Gaußringe) lassen sich folgendermaßen durch einen einfachen
Gauß-Komplex charakterisieren.
Korollar. Folgende Aussagen für einen Ring R sind äquivalent.
(a) Rist faktorieil.
(b) R'ist ein Krullring, dessen irreduzible Elemente semiprim sind und dessen GaußKomplex für jede irreduzible Markierung einelementig ist.
(c) R * ist ein Extraktionsbereich vom endlichen Typ, und es existiert eine irreduzible Markierung, so daß der zugehörige Gauß-Komplex ganz R * überdeckt und
einelementig ist.
Beweis:
(a) =>(b): Ist R faktoriell, so ist Rein Krullring, dessen irreduzible Elemente prim,
also semiprim sind. Ist IA eine irreduzible Markierung auf R *, so gibt es
nach Lemma 4 ein Repräsentantensystem M von Pr(R *), das lA-unabhängig ist. Also S(M)cGE®, wobei ® der Gauß-Komplex bzgl. IA ist. Da
S = S(M)cG, so S = G. Wegen der Maximalität aller GE ® ist also
® = {S}, also ® einelementig.
(b) => (c): Da R Krullring, so ist R* ein Extraktionsbereich vom endlichen Typ. Nach
Lemma 3 gibt es eine irreduzible Markierung auf R*. Nach Voraussetzung
ist der zugehörige Gauß-Komplex einelementig. Da jedes irreduzible
Element semiprim ist, so überdeckt der Gauß-Komplex ganz R*.
(c) => (a): Aus (c) folgt, daß R* ein Gaußbereich ist, also R faktoriell.
Bemerkung. Das Korollar legt nahe, als den Gaußbereichen benachbart, solche Bereiche anzusehen, deren Gauß-Komplex bezüglich einer geeigneten Markierung nur
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Eindeutige Faktorisierung ohne ideale Elemente
177
aus einem einzigen Gaußbereich besteht. Ist S ein solcher quasi-Gaußbereich mit
{G} für eine geeignete Markierung, so ist G ein gaußscher Unterbereich von S,
dessen Teilbarkeitsrelation mit der von S übereinstimmt und für den gilt S = radG =
= {xESlxDEG für ein nEIN}. Es zeigt sich, daß umgekehrt ein Extraktionsbereich vom
endlichen Typ S, der einen Gaußbereich G enthält, dessen Teilbarkeitsrelation mit
der von S übereinstimmt und für den S = radG gilt, ein quasi-Gaußbereich ist. So
gesehen ist ein quasi-Gaußbereich, ohne daß ideale Elemente eingeführt würden, ein
Pendant zu einem Bereich mit Divisorentheorie, dessen Divisorenklassenhalbgruppe
eine Torsionshalbgruppe ist; letztere sind in der Tat quasi-Gaußbereiche. Ein quasiGaußbereich läßt sich auch charakterisieren als ein Extraktionsbereich vom endlichen
Typ S, in dem von jeder Nichteinheit eine geeignete Potenz Produkt von quasiprimen
Elementen ist; dabei heißt eine Nichteinheit quasiprim, wenn I..(x, . ) additiv auf S ist.
Ist insbesondere S die multiplikative Halbgruppe eines Krullringes R, so sind die
quasiprimen Elemente gerade die primären Elemente, d. h. diejenigen, die ein primäres Ideal erzeugen. Es ist S genau dann ein quasi-Gaußbereich, wenn R fastfaktoriell ist (vgl. [Storch]).
@=
Literatur
Bourbaki, N.: Commutative Algebra. Chapter VII Divisors. Hermann, Paris 1972.
Greiter, G.: Nonunique factorization in subsemigroups of semigroups with unique prime factorization. American Mathematical Monthly, 1980, p. 473-474.
Gundlach, K. B.: Einführung in die Zahlentheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1972.
Hinrichsen, D. / Krause, U.: Unique representation in convex sets by extraction of marked components. Forschungsschwerpunkt Dynamische Systeme, Report Nr. 48, Bremen 1981.
Kuros, A.G.: Vorlesungen über allgemeine Algebra. Teubner, Leipzig 1964.
Sommer, J.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Teubner, Leipzig und Berlin 1907.
Storch, U.: Fastfaktorielle Ringe. Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität
Münster, Heft 36, 1967.
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179
A note on q-rings
By Adil G. Naoum, Baghdad/lraq
§ 1. Introduction
Let R be a commutative ring with 1, and let e be an idempotentelement of R. An
ideal I of R is called quasi-invertible for e (for short, q-invertible) iff
(i) e E 11-1 and
(ii) ann(e)~ann(I).
Equivalently,
(i') 11-1 = (e) and
(ii') ann (e) = ann (I)
where
r 1 = {xERs =
Klxl~R}
R s = the total quotient ring of R
ann (I) = {x E R I xl = (O)}, [8].
Notice that if e = 1, then I is invertible. It is easy to see that I is q-invertible iff. I is
invertible in a direct summand of R.
It is weIl known that a finitely generated ideal I of R is invertible iff I is projective
and contains a regular element [7].
On the other hand, it is proved in [8] that a f. g. ideal I of R is q-invertible for e iff
I is projective and contains an element a such that
ann (a) = ann (e) = ann (I).
Now recall that a ring R is called a P.P. ring iff every principal ideal of R is projective
[2]. Equivalently, R is a P.P. ring iff for each a E R, there exists a unique idempotent
a' ERsuch that
aa' =a, and
ann (a) = ann (a')
see [1]. The author calls in [1] an element a having this property sem i-regular with
associated idempotent a' (ln the terminology of Griffin in [5], ais called a'-regular).
It was shown in [5] that if a is a' -regular, then 3 x E Rs such that ax = a'.
It follows from this tbat if R is a P.P. ring, then every principal ideal of R is qinvertible for some idempotent of R.
In this note we study rings in which every ideal is q-invertible. We call a ring with
this property a q-ring.
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180
Adil G. Naoum
§ 2. Statements of results
Theorem 2.1: If R is a commutative P.P. ring, then every finitely generated projective ideal of R is q-invertible.
Theorem 2.2: Let R be a commutative ring, then R is a q-ring iff R is Noetherian
and semi-hereditary.
Theorem 2.3: Let R be a commutative ring, then R is q-ring iff R is a finite direct
sum of Dedekind domains.
Since every Dedekind domain satisfies property (n) for each positive integer n [3],
we get the following:
Corollary 2.4: Let R be a commutative Noetherian semi:hereditary ring. Then R
satisfies property (n) V n, i. e. for each positive integer n, and for all a,b E R,
(a,b)ß = (aß, bß).
Note: We will show in a forthcoming paper that the above relation is satisfied by every
projective ideal (a,b) in any commutative ring.
The following corollary follows from theorems 2.3, and 2.2.
Corollary 2.5: If R is Noetherian semi-hereditary ring, then every ideal of R is a
finite product of prime ideals.
Theorem 2.6: Let R be a commutative P.P. ring which is integrally c1osed. Assurne
that for each a,b E R, and for some positive integer n ~ 2,
(a,b)ß = (aß, b ß)
(property (n)), then R is semi-hereditary ring.
§ 3. Proofs
Proof ofTheorem 2.1: Let I be a non-zero f.g. ideal of R generated by (a1,a2'" .ao),
and let
A = ann (I).
Since I is projective, then A is generated by an idempotent e. Therefore, to show that
I is q-invertible, it is enough to show that e belongs to 11-1. If this is false, then let M
be an ideal of R which has the following properties:
(1) M;2I1- 1
(2)
e~M.
(3) M is maximal among all ideals having properties (1), (2). Such an ideal exists by
Zorn's lemma. It is easy to check that M is maximal ideal and 1-e E M.
Now, IM is projective (in fact invertible) in the local ring R M, and hence IM is principal ideal generated by t, say, a E I, t ~ M [9]. Therefore, for each i, 1 ~ i ~ n, 3 Si ~ M
such that
ai sjEaR.
Let s = S1 S2' .. Sn. Clearly S ~ M.
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A note on q-rings
181
Since R is a P.P. ring, there exists an idemptotent e, ERsuch that
ae, = a and
ann (a) = ann (e,) [1].
Now, it is easy to check that a #- 0, and e, f/: M, 1-e, E M. Using the result of Griffin
quoted in the introduction, there exists XE R s such that ax = e,. Therefore xsaj E R,
and hence xs E r', moreover,
xsa = se, E 11-' >; M.
But this is a contradiction because s f/: M and e, f/: M, and this completes the proof of
theorem 2.1.
Proof of Theorem 2.2:
If R is a q-ring, then every ideal I of R is q-invertible, and hence is finitely generated and projective [8], hence R is Noetherian and semi-hereditary. The converse
follows from theorem 2.1.
Proof of theorem 2.3:
If R is a finite direct sum of Dedekind domains, then it is easy to see that R is a
q-ring. To prove the converse, we first show that for each maximal ideal M of R, there
is no ideal between M and M2 • In fact if ann (M) = (0), then M is invertible and it is
easy to check that there is no ideal between M and M2 • On the other hand, if ann
(M) = (e) "* (0), where e 2 = e, (remember that M is projective), then by [9], there
exists a principal ideal L generated by (l-e) such that M ~ L, and ML = M. But since
M is maximal and L #- R, then L = M and M 2 = M. It follows now from [7, p. 207]
that R is a finite direct sum of Dedekind domains and special primary rings. It is easy
to see that each special primary ring in this case is a principal ideal domain and hence
is Dedekind domain. This completes the proof.
Proof of theorem 2.6:
Let M be any maximal ideal of R. Since R is a P.P. ring, then R M is an integral
domain [2]. Moreover, since R is integrally closed and satisfies property (n), then it is
easy to check that R M is integrally closed and satisfies property (n). It follows from [4]
that each non zero finitely generated ideal of R M is invertible and hence is principaI.
Using an argument similar to the one given in the proof of theorem 2.1, we can show
that every f. g. ideal of R is projective, hence R is semi-hereditary (we leave the details
of the argument to the reader). This completes the proof.
References
[1]
[2]
[3]
H.S. Ahmed and A.G. Naoum: Projective ideals in commutative rings. Islamabad J. of
Science and Mathematics 3 (1977).
S. Endo: A Note on P.P. rings. Nagoya Math. J.17 (1960).
R. Gilmer: On a condition of J. Ohm for integral domins. Can. J. Math. 20 (1968).
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
Digitale Bibliothek Braunschweig
182
Adil G. Naoum
R. Gilmer and A Grams: The "quality (A n B)n = An n Bn" for ideals. Can. J. Math. 24
(1972).
[5] M. Griffin: Valuations and Prufer rings. Can. J. Math. 26 (1974).
[6] M.D. Larsen and P.J. McCarthy: Multiplicative Theory of ideals. A cad. Press New York
1971.
[7] R. E. MacRae: On an application of the Fitting invariants. J. Algebra 2 (1965).
[8] AG. Naoum: Quasi-invertible ideals and projective ideals. Iraqi J. Sci.19 (1978).
[9] AG. Naoum: On finitely generated projective ideals in commutative rings. To appear,
Periodica Mathematica Hungarica.
[10] AG. Naoum: A note on commutative semi-hereditary rings. To appear, Islamabad J.
Science and Mathematics.
[4]
Department of Mathematics
College of Science
University of Baghdad
Adhamiyah, Baghdad, IRAQ
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183
Richard Dedekind and the development of the theory
of finite fields
By Harald Niederreiter*, Frankfurt
In the years 1856-57 the young Privatdozent Dedekind followed Dirichlet's
lectures on number theory at the University of Göttingen which he later was to edit
in such masterly form. It is certainly safe to say that this experience turned out to be
decisive for Dedekind's mathematical career. Dirichlet had just come from Berlin to
Göttingen, where he succeeded Gauss, and brought with hirn a dazzling collection of
new techniques and concepts in analytic and algebraic number theory which immediately fascinated his pupil. The arrival of Dirichlet could not have come at a better
time since Dedekind seems to have been searching for a subject on which 10 foeus his
talents. Several years ago he had abandoned Euler integrals, the topic of his dissertation under the direction of Gauss, and in the meantime he had dabbled without any
noteworthy success in analytic geometry and elementary prob ability theory. The
systematic exposure to a field like number theory, which was at an exciting stage of
its development following the progress achieved by Dirichlet, Kummer, Eisenstein,
Jacobi, and Cauchy in the previous two decades, just provided the impetus he needed.
One of the consequences of Dedekind's involvement with Dirichlet's lectures was
his observation that Gauss's project of developing a theory of "higher congruences"
(see [10]) could be carried out by establishing an analogy with the theory of ordinary
congruences and then emulating Dirichlet's approach to the latter topic. The most
important outgrowth of this observation is the seminal paper [6] which not only put
the theory of "higher congruences" (or, equivalently, of finite fields) on a sound basis,
but also played a role in the conceptual development of algebraic number theory and
abstract algebra. Moreover, the results of this paper were used later by Dedekind in
his famous work on the factorization of ideals in rings of algebraic integers.
The basic properties of the finite prime fields Fp =Z/pZ were already established
weIl before Dedekind's time through the efforts of Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, and Gauss. The next step in the genesis of the theory oi finite fields was the
investigation of the arithmetic in the polynomial rings Fp[x], in particular the realization that in these rings the Euclidean algorithm and unique factorization are valid.
This was carried out with admirable precision by Gauss in his posthumous paper [10]
which, as the introduction to [6] suggests, was known to Dedekind. The construction
oi extension fields of F p was described by Galois [9], who used an "imaginary" root i
* This work was carried out while the
author was supported by the Alexander von Hurnboldt-
Stiftung.
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184
Harald Niederreiter
of an irreducible polynomial over F p of degree n and showed that the express ions
ao + a1 i + ... + aD-1 iD-1 with aj EF p form a field of order pD. This process was regarded
with some suspicion by Gauss (see [10], § 338), and in fact our modern standpoint
would only allow this construction if i is contained in some apriori given extension of
F p. Gauss adds in a footnote: "Vielleicht werden wir bei anderer Gelegenheit unsere
Ansicht hierüber ausführlicher darlegen", but he never returned to the subject.
Another contribution to the theory of finite fields prior to Dedekind's work is that
of Schönemann [17]. Here the use of imaginary roots is avoided by employing complex roots obtained from the fundamental theorem of algebra. This is again not
entirely satisfactory. An interesting technical innovation is the use of double modulus
congruences for setting up equivalence relations among polynomials. For f,g,h EZ[X]
and a complex root a of f, Schönemann writes g== h (mod p,a) if g(a) = h(a)+ pr(a)
for some r E ~[x].
It should be noted that shortly before Dedekind started to write about finite fields,
Serret brought out the second edition of his widely read book [18] on higher algebra
which included an account of the results of Galois and some of his own ideas, so that
Dedekind was certainly familiar with the work of all his predecessors both in Germany
and in France.
In his paper [6] Dedekind's first important observation is the elose analogy between the arithmetic in 7L and the arithmetic in Fp[x]. He proves again the results of
Gauss [10] on greatest common divisors and unique factorization in Fp[x] by modeling
the arguments on the corresponding ones for lL. Polynomials over F p are viewed as
equivalence classes of polynomials over lL in an obvious way.
A major novelty in [6] is a rigorous construction of finite fields of order pD for
which the objections against earlier constructions do not apply. Dedekind's idea
evolves from the systematic extension of the theory of congruences to the ring Fp[x].
This is achieved by means of double modulus congruences in the following sense. If
A, B, M ElL[x], then Dedekind writes A == B (modd. p,M), or briefly A =. B (mod. M),
if A-B is divisible modulo p by M. He shows that a complete system of incongruent
polynomials (with respect to this double modulus congruence) contains exactly pD
elements, where n is the degree of M modulo p. If M is taken to be an irreducible
polynomial P modulo p, then it is proved that such a complete system forms a field.
In modern terms, finite fields of order pD are constructed as residue class rings
Fp[x]/(P) with PE Fp[X] irreducible of degree n. Since it is also shown in the paper that
for every positive integer n there is an irreducible PE Fp[X] of degree n (which is, in
fact, a consequence of the formula of Gauss [10] for the number of monic irreducible
polynomials over Fp of fixed degree), it follows that Dedekind knew how to construct
finite fields for any prime-power order in a rigorous manner. It was only shown much
later by Moore [13], [14] that finite fields must have primer-power orders and that
finite fields of the same prime-power order are isomorPhic. Therefore, Dedekind's
construction yields all possible finite fields.
Dedekind's use of double modulus congruences is somewhat awkward from a
modern standpoint, but he displays considerable ease in working with the resulting
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Richard Dedekind and the development of the theory of finite fields
185
equivalence classes. The structure of the residue dass rings Fp[x]/(M) emerges
dearly from his investigation. With several epochs of abstract algebra between us and
the early masters, it is of course a triviality to observe that the approach of Galois via
imaginary roots and that of Dedekind via residue class rings Fp[x]/(P) are essentially
equivalent, although Galois's construction was not weIl founded at that time. The link
is provided by the later result of Kronecker [11] to the eifect that for any irreducible
polynomial f over any field F there is an extension fjeld of F in which f has a root. In
the modern proof of this result the extension field is constructed by means of the
factor ring F[x]/(f), and here we are again entering the circle of Dedekind's ideas.
The paper [6] contains a host of other results on the rings Fp[x] and Fp[x]/(M), but
we will discuss only those which we find of interest for the history of algebra and
number theory. Dedekind devotes considerable attention to the structure of the group
of units of Fp[x]/(M). He determines its order, thus obtaining an analog of Euler's
totient function which was studied later by other authors (see e. g. Carlitz [3], [5]). He
shows also that the group of units is cyclic in case M is irreducible over F p, hence the
existence of-primitive elements for any finite field.
Dedekind treats also congruences of the form G(y):= 0 (mod. P) with Ga polynomial over Fp[x] and P irreducible over F p. In modern terminology this amounts to
considering equations over the finite field of order pn, where n is the degree of P. He
proves that the number of solutions cannot exceed the degree of G. Criteria for solvability are established in the case of binomial congruences yk:= A (mod. P). In the
special case k = 2 this leads to a theory of quadratic residues and a law of quadratic
reciprocity for Fp[x]. In detail, if Q and Rare distinct monic irreducible polynomials
over F p of degree m and n, respectively, then it is shown that
where the symbol on the right-hand side is the standard Legendre symbol. Such reciprocity laws were considered further by Artin [2], Carlitz [3], [4], Ore [15], and
Schmidt [16]. It is an interesting phenomenon that higher reciprocity laws are easier
to establish for Fp[x] than for JL.
There is an unexpected treasure hidden in [6], namely the first general statement
and proof of the formula (nowadays called the Moebius inversion formula) which
allows us to recover an arithmetic function from its summatory function. As an application, Dedekind finds that the number An of monic irreducible polynomials over F p
of degree n is given by
(1)
An =
ft L !l(~)pd,
dln
where is the Moebius function. The same formula was obtained by Gauss [10], but
he did not deduce it from a general inversion formula. Dedekind establishes also the
multiplicative form of the Moebius inversion formula and applies it as folIows. He
shows the identity
!l
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Harald Niederreiter
186
xpn -x = [1 f(x),
where f(x) runs through all monic irreducible polynomials over F p of degree dividing
n, and then by Moebius inversion he concludes that the product In of all monic irreducible polynomials over F p of degree n is given by
(2)
In =
ß
(xPd -
x),,(n/d).
This formula is still known as Dedekind's formula in the theory of finite fields (see
Albert [1]). A comparison of degrees in (2) obviously yields again the formula (1).
Dedekind returned to the subject of finite fields in his fundamental paper [7) on
the factorization of ideals in algebraic number fields. If K is an algebraic number Held
and p a rational prime, then he starts from the observation that a congruence modulo
p in the ring of algebraic integers in K is equivalent to a double modulus congruence
with moduli p and f, where f is an irreducible defining polynomial of K. This relationship enables him to apply results on finite fields from the earlier paper [6). The most
important application occurs in connection with the problem of factoring the principal
ideal (p) of the ring of algebraic integers in K. Here f is viewed as a polynomial over
Fp , and then Dedekind establishes the well-known relationship between the canonical
factorization of f over F p and the factorization behavior of the ideal (p). For the special
case of cyclotomic fields this was already shown by Kummer [12). Dedekind's proof
makes essential use of properties of finite fields (or "higher congruences" in his terminology).
In one of his supplements to Dirichlet's Vorlesungen, Dedekind reviews briefly
the connection between double modulus congruences and congruences modulo prime
ideals in algebraic number fields, and he remarks also that in the theory developed in
[6) the underlying field F p can be replaced by any finite field (see [8), § 180). Thus,
Dedekind's method allows the treatment of extensions of finite fields in fuH generality.
We have already noted in several instances the influence of Dedekind's work on
later developments. A mathematician who acknowledged his special indebtedness to
Dedekind was EmU Artin. In his pioneering paper [2) on algebraic function fields with
finite fields of constants and on congruence zeta-functions, Artin was very much
inspired by Dedekind's work on "higher congruences" and he followed [6) at some
length in laying the foundations of his subject. Thus it seems that Dedekind's contributions to the theory of finite fields, though not on the same footing with his celebrated work on ideal theory and on the real number system, still deserve to be widely
known.
References
[1]
[2]
A.A. Albert, Fundamental Concepts of Hi~r Algebra, Univ. of Chicago Press, Chicago,
1956.
E. Artin, Quadratische Körper im Gebiete d4!r höheren Kongruenzen, Math. Z. 19, 153246 (1924); Collected Papers, pp. 1-94, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
Digitale Bibliothek Braunschweig
Richard Dedekind and the development of the theory of finite fields
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
187
L. Carlitz, The arithmetic of polynomials in a Galois field, Amer. J. Math. 54, 39-50
(1932).
L. Carlitz, On a theorem of higher reeiprocity, BuH. Amer. Math. Soc. 39,155-160 (1933).
L. Carlitz, Some topics in the arithmetic of polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 48, 679691 (1942).
R. Dedekind, Abriß einer Theorie der höheren Congruenzen in Bezug auf einen reellen
Primzahl-Modulus, J. reine angew. Math. 54, 1-26 (1857); Gesammelte Math. Werke,
vo!. 1, pp. 40-66, Vieweg, Braunschweig, 1930.
R. Dedekind, Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie
der höheren Kongruenzen, Abh. König!. Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen 23,
1-23 (1878); Gesammelte Math. Werke, vo!.l, pp. 202-230, Vieweg, Braunschweig,
1930.
R. Dedekind, Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, Supplement of Dirichlet's
"Vorlesungen über Zahlentheorie", 4th ed., pp. 434-657, Vieweg, Braunschweig, 1894;
Gesammelte Math. Werke, vo!. 3, pp. 1-222, Vieweg, Braunschweig, 1932.
E. Galois, Sur la theorie des nombres, Bull. Sei. Math. de M. Ferussac 13, 428-435 (1830);
Oeuvres mathematiques, pp. 15 - 23, Gauthier-Villars, Paris, 1897.
C.F. Gauss, Analysis residuorum: Disquisitiones generales de congruentiis, Werke, vo!. 2,
pp. 212-240, König!. Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1876.
L. Kronecker, Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, J. reine angew. Math. 100,
490-510 (1887); Werke, vo!. 3, part 1, pp. 209-240, Teubner, Leipzig, 1899.
E. E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen
Zahlen in ihre Primfactoren, J. reine angew. Math. 35, 327-367 (1847); Collected Papers,
vo!.l, pp. 211-251, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
E.H. Moore, A doubly-infinite system of simple groups, Bull. New York Math. Soc. 3,
73-78 (1893).
E. H. Moore, A doubly-infinite system of simple groups, Math. Papers read at the Congress
of Mathematics (Chicago, 1893), pp. 208-242, Chicago, 1896.
O.Ore, Contributions to the theory of finite fields, Trans. Amer. Math. Soc. 36,243-274
(1934).
F. K. Schmidt, Zur Zahlentheorie in Körpern von der Charakteristik p, Sitzungsber. Phys.
Ges. Erlangen 58/59,159-172 (1928).
T. Schönemann, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der höheren Congruenzen, deren
Modul eine reelle Primzahl ist, J. reine angew. Math. 31, 269-325 (1846).
J.A. Serret, Cours d'algebre superieure, 2nd ed., Mallet-Bachelier, Paris, 1854.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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Der Schur-Multiplikator in der algebraischen Zahlentheorie
Von Hans Opolka, Münster
1. Einleitnng
Ein hauptsächlich auf Tate zurückgehendes Resultat besagt, daß der Schur-Multiplikator der absoluten Galoisgruppe eines lokalen oder globalen Zahlkörpers k verschwindet. Es soll über einige Folgerungen aus diesem Satz berichtet werden. Die
Hauptpunkte sind: Beschreibung der Geschlechter von zentralen Erweiterungen
einer gegegebenen endlichen Galoiserweiterung K/k, eine Verallgemeinerung des
Hasseschen Normensatzes, Geschlechtertheorie für die Darstellungen der absoluten
Galoisgruppe von k. Gleichzeitig wird auf Literatur hingewiesen, die mit diesen
Themenkreisen mehr oder weniger eng zusammenhängt.
2. Bezeichnungen
U sei die Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Für eine topologische
Gruppe C bezeichne C die Gruppe der stetigen Homomorphismen von C mit Werten
in U. Ist 9 eine proendliche Gruppe, so sei M(g) = H 2( g,U) die zweite Kohomologiegruppe von 9 in bezug auf den diskreten trivialen g-Modul U. M(g) heißt Schur-Multiplikator von g. Für einen lokalen oder globalen Zahlkörper k bezeichne k einen algebraischen Abschluß von kund G k = G(k/k) sei die absolute Galoisgruppe von k. Sei
G = G(K/k) eine endliche Faktorgruppe von G k • Wir setzen G K = G(k/K). Es sei GRb
die Galoisgruppe der maximalen in k enthaltenen abelschen Erweiterung von K.
Schließlich bezeichnen wir mit C K die multiplikative Gruppe K* von K im Lokalen
bzw. die Idealklassengruppe von K im Globalen.
3. Die exakte Hochschild-Serre Sequenz
Sei k lokal oder global. Dann gilt
(3.1)
M(G k ) = 1,
vgl. z.B. [38], § 6. Die exakte Hochschild-Serre Sequenz [18], Th. 2, S.129, liefert
daher die folgende exakte Sequenz
(3.2)
1 ~ 6~ 6k~6R~ M(G)~ 1;
hierbei bezeichnet 't diejenige Transgressionsabbildung, die zur Kohomologieklasse
v = a*(u) E H2(G,G~b) gehört, wobei u E H 2(G,4) die kanonische Klasse und
a*: H 2(G,C K)--'> H2(G,G~b) die durch das universelle G-equivariante Artinsymbol
a: C K --,> G~b induzierte Abbildung bezeichnet, vgl. [2], S. 222 ff.
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4. Der Kern der Lokalisierungsabbildung
Sei k global. Für jede PrimsteIle v von k sei v eine Fortsetzung von v auf k und GI'
sei die Zerlegungsgruppe von V!K. Mit .ti=.ti(K/k) bezeichnen wir den Kern der
Lokalisierungsabbildung
(4.1)
M(G) ~
ilv M(G,,),
wobei v alle Prim stellen von k durchläuft. Man beachte, daß fast alle v in K unverzweigt, daher fast alle Zerlegungsgruppen G v zyklisch und somit fast alle lokalen
Schur-Multiplikatoren M(G v) trivial sind. Nach Tate [44], S.198, gilt
(4.2)
~ = ~(K/k)
ist dual zum lahlknoten Si' = Si'(K/k) von K/k.
Der lahlknoten Sf ist wie folgt definiert, vgl. Scholz [34], S.101:
{a E k * Ia ist lokal überall Norm in K/k}
I
.Il = {a E k* a ist globale Norm in K/k}
(4.2) ist neuerdings zum wichtigen Hilfsmittel bei der Klassifikation der Galoiserweiterungen K/k, für die der Hassesche Normensatz gilt, geworden, vgl. [9], [10], [11],
[12], [13], [14], [15], [32].
5. Geschlechter von zentralen Erweiterungen
Sei k lokal oder global. Eine endliche Galoiserweiterung L von K/k (das ist eine K
umfassende endliche Galoiserweiterung von k) heißt zentral, wenn G(L/K) im Zentrum von G(L/k) enthalten ist. Zwei zentrale Erweiterungen L,L' von K/k heißen
vom gleichen Geschlecht, falls eine endliche abelsche Erweiterung kolk existiert, so
daß L· ko = L' . ko.
(5.1) Die Geschlechter von zentralen Erweiterungen von K/k entsprechen bijektiv
den Untergruppen des Schur-Multiplikators M(G).
Diese Bijektion ß entsteht folgendermaßen: Zu jeder Untergruppe ~{~ M(G)
existiert nach (3.2) eine Teilmenge X c G~, so daß .(X) = 91. Sei L der Fixkörper zu
11 Kerx, XE X. Das zu L gehörige Geschlecht [L] ist nach (3.2) durch m eindeutig
bestimmt. Setze ß(m) : = [L]. Die Umkehrabbildung y von ß: Sei [L] ein Geschlecht
zentraler Erweiterungen von K/k. Setze y([L]) : = .(G(L/Kn, vgl. (3.2).
Sei k global. Jedem Geschlecht von zentralen Erweiterungen [L] von K/k sind
dann die lokalen Geschlechter [Lv] von zentralen Erweiterungen von K"/k v zugeordnet. Aus (4.2) und (5.1) folgt
(5.2) Gilt in K/k der Hassesche Normensatz, dann sind zwei Geschlechter von zentralen Erweiterungen von K/k genau dann gleich, wenn an allen PrimsteIlen v von k,
die in K verzweigen, die entsprechenden lokalen Geschlechter gleich sind.
Sei k lokal oder global. Für alle fE M(G) definieren wir den Index l(f) von f aufgrund von (3.2) wie fOlgt.
l(f): = Min {GK:Kerx IXE G~, .(X) = f}.
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Der Schur-Multiplikator in der algebraischen Zahlentheorie
191
(5.3) Sei k lokal. Für alle fE M(G) gilt dann l(f) <m· m', wobei m die Ordnung von f
ist und m' die maximale Ordnung einer in k enthaltenen Einheitswurzel von m-Potenzordnung bezeichnet.
Sei k global, sei fE M(G) und sei S = S(f) die Menge der PrimsteIlen v von k, für
die die Einschränkung f" E M(G,,) nicht trivial ist.
(5.4) Sei k global. Für alle fE M(G) gilt dann
1(f)~kgV(I(fv»· (K:k)~kgV(m,,· m~)· (K:k),
VES
VES
wobei m" die Ordnung von f" bezeichnet und m~ die gleiche Bedeutung hat wie m' in
(5.3).
Aus (5.3) und (5.4) ergibt sich die folgende Aussage.
(5.5) Sei k lokal oder global und sei 2[~ M(G). Dann läßt sich jedes Geschlecht zentraler Erweiterungen von K/k, das im Sinne von (5.1) zu 9l gehört, durch eine zentrale
Erweiterung L von K/k repräsentieren, so daß die folgenden Gradabschätzungen richtig
sind: Im Lokalen
L: K~ (e· e')Rank(j[l,
wobei e = exp2rund e' = maximale Ordnung einer in k enthaltenen Einheitswurzel von
e-Potenzordnung. Im Globalen
L:K~[kgV(ev·
e;)· (K:k)]Rank(:>[1,
VES
wobei S die Menge der PrimsteIlen v von k bezeichnet, für die die Einschränkung
nicht trivial und e" = exp9[y, e~ wie oben.
(5.1) bis (5.5) werden in [30] bewiesen.
Für eine klassenkörpertheoretische Kennzeichnung zentraler Erweiterungen, wie
sie von A. Scholz [34], [35] eingeleitet wurde, ist die Frage nach Repräsentanten von
Geschlechtern zentraler Erweiterungen mit einem "kanonischen" Führer von großer
Bedeutung. Die weitreichendsten Ergebnisse in dieser Richtung finden sich in [7J.
[39], [40], [41]. Eine systematische Darstellung findet man in [17]. Vollauf befriedigende Ergebnisse sind im Globalen aber nur im Speziaifall k = Q, K/Q abelsch,
bekannt. Das Hauptresultat lautet wie folgt, vgl. z. B. [17], S. 80.
(5.6) Sei K/Q abelsch. Abgesehen von dem Fall, daß 2 in K verzweigt ist, wenn K: Q
gerade ist, läßt sich jedes Geschlecht zentraler Erweiterungen von K/Q durch eine zentrale Erweiterung L von K/Q repräsentieren, die in demjenigen zentralen Klassenkörper
von K enthalten ist, der zum sogenannten Geschlechtermodul gK von K gehört:
~[v~ M(G,,)
gK =nlJ'I/i,,-I)+I,
p
wobei lJ alle endlichen und unendlichen PrimsteIlen von K durchläuft, Cj!,> die sogenannte
Hassefunktion bezeichnet, vgl. [37], IV, § 3, und pi, P Primzahl oder unendliche
PrimsteIle, die Zerlegung des Führers von K/Q in PrimsteIlenpotenzen ist.
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6. Auflösung zahlentheoretischer Knoten
Sei k global.
(6.1) Diejenigen zentralen Erweiterungen L von K/k, die im Sinne von (5.1) zum
Kern 5)=NK/k) der Lokalisierungsabbildung (4.1) gehören, lassen sich durch die folgende Auflösungseigenschaft charakterisieren. Ein Element in k*, welches lokal überall
Norm in Llk ist, ist globale Norm in K/k.
(6.1) kann als eine Verallgemeinerung des Hasseschen Normensatzes gedeutet
werden; denn wenn K/k zyklisch ist, dann ist M(G) und damit auch s;, trivial. s;, läßt
sich dann im Sinne von (5.1) durch K repräsentieren, und die in (6.1) beschriebene
Auflösungseigenschaft wird zur Aussage des Hasseschen Normensatzes. Zum Beweis
von (6.1) vgl. [26J, [28].
(6.2) Das zu.p(K/k) gehörige Geschlecht läßt sich durch eine zentrale Erweiterung L
von K/k repräsentieren, so daß
L: K ~ (K: k)Rallk([').
(6.3) Sei k = Q. Das zu s;,(K/Q) gehörige Geschlecht läßt sich durch den zentralen
engeren Hilbertschen Klassenkörper H~ von K repräsentieren.
(6.2) folgt aus (5.5). (6.3) führt ins Zentrum der klassischen Geschlechtertheorie
[34], [35], [6], [25], [8], [27], [20], [22], 1I. Ein kurzer Beweis von (6.3) findet sich in
[29]. In Spezialfällen läßt sich die in (6.2) gegebene Abschätzung verbessern, vgl.
dazu [42].
7. Geschlechter von Galoisdarstellungen
Sei k lokal oder global. Sei D eine (komplexe, stetige, endlichdimensionale) Darstellung von Gk> d. h. D ist ein Homomorphismus D: G k ~ GL(n,(:), so daß G k :
Ker D< 'Xl. Zwei Darstellungen D" D 2 von G k heißen vom gleichen Geschlecht, falls
ein 'A. E Gk existiert, so daß D 2 ähnlich zu 'A. c>9 D 1 ist. [D] sei das Geschlecht der Darstellung D: Gk~GL(n,(:). Der Index I([D]) von D ist wie folgt definiert.
I([D]) : = Min {G k : Ker D' I 0' E [D]}.
D definiert eine projektive Darstellung
i5: G k ~ GL(n,{:) ~ PGL(n,q,
deren Äquivalenzklasse durch [D] eindeutig bestimmt ist. Sei G: = D(G k). Die exakte
Sequenz 1 ~ (:* ~ GL(n,q ~ PGL(n,q ~ 1 definiert einen Verbindungs homomorphismus ö: Hom(G,PGL(n,q) ~ H 2 (G,{:*) == M(G). Setze f : = ö(D). f hängt
nur von [D] ab. Es gilt
(7.1)
I([D]) = I(f) ·IGI.
Vom Standpunkt der Theorie der Artinschen L-Reihen [1] ist es vernünftig, primitive
Darstellungen von G k zu untersuchen; das sind solche, die irreduzibel und nicht echt
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Der Schur-Multiplikator in der algebraischen Zahlentheorie
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induziert sind. Ist A. E Gk> so ist mit D nach dem Frobeniusschen Reziprozitätsgesetz
auch A. ® D primitiv.
Sei nun D primitiv, sei H = D(Gk), G = O(G k). Als endliche Untergruppe von
GL(n,C) enthält H nach einem wohlbekannten Resultat von C.Jordan, vgl. z.B. [5],
(36.13), S. 258, einen abelschen Normalteiler A, so daß H:A;§;t(n), wobei t(n) eine
nur vom Grad n von D abhängige Zahl bezeichnet. Wegen der Primitivität von D ist A
nach der Cliffordschen Theorie [5], § 49, im Zentrum von H enthalten. Das Zentrum
von H stimmt aber nach dem Schurschen Lemma mit dem Kern der durch 3t: GL(n,C)
~ PGL(n,C) vermittelten Abbildung H~G überein. Deshalb gilt
IGI ;§; t(n).
Beachtet man noch, daß die Ordnung von f nach I. Schur den Grad n von D teilt, so
läßt sich aus (5.3) und (7.1) der folgende Satz ableiten.
(7.2) Sei k lokal. Ist D:Gk~GL(n,C) eine primitive Darstellung, so gilt 1([D]);§;
;§; T(n,k), wobei T(n,k) eine nur von n und k abhängige Zahl bezeichnet. Insbesondere
gibt es nur endlich viele Geschlechter primitiver Darstellungen von G k von gegebenem
Grad.
Die Endlichkeitsaussage ergibt sich zusammen mit der Abschätzung aus der Tatsache, daß nur endlich viele Erweiterungen von k von festem Grad existieren, vgl.
[24], Prop.14, S. 54.
Sei k global. [D] heißt unverzweigt außerhalb einer endlichen Primstellenmenge S
von k, wenn die Erweiterung K/k, D(Gk ) = G(K/k), außerhalb S unverzweigt ist. Aus
(5.4) und (7.1) läßt sich der folgende Satz ableiten.
(7.3) Sei k global. Ist D : Gk~ GL(n,q eine primitive Darstellung, deren Geschlecht
[D] außerhalb einer endlichen Primstellenmenge S von k unverzweigt ist, dann gilt
1([D]);§;T(n,k,S), wobei T(n,k,S) eine nur von n, kund S abhängige Zahl bezeichnet.
Insbesondere gibt es nur endlich viele Geschlechter primitiver Darstellungen von G k
von vorgegebenem Grad, die außerhalb einer vorgegebenen erzdlichen PrimsteIlenmenge von k unverzweigt sind.
Die Endlichkeitsaussage ergibt sich zusammen mit der Abschätzung aus einem
klassischen Resultat von Minkowski, welches besagt, daß es nur endlich viele Erweiterungen von k von festem Grad gibt, die außerhalb einer endlichen Primstellenmenge
von k unverzweigt sind.
Geschlechter von Galoisdarstellungen werden ausführlicher in [31] behandelt.
8. Schlußbemerkungen
Einige Aspekte sind unerwähnt geblieben: insbesondere die erwiesenermaßen nützliche Rolle des Schur-Multiplikators bei der Lösung des Klassenkörperturmproblems,
vgl. dazu [33], und die bisher eher ungewisse Rolle des Schur-Multiplikators im Zusammenhang mit der sogenannten Leopoldt-Vermutung, vgl. dazu [16], Abschnitt
4.4.
Die Literaturliste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
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Hans Opolka
Literaturverzeichnis
[1]
E. Artin: Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. In: Ges. Abh.,
165-179. The collected papers of E.Artin, edited by S.Lang and J. Tate, Addison Wesley,
Reading, Mass., 1965.
[2] E. Artin, J. Tate: Class field theory. W.A. Benjamin, Reading, Mass., 1967.
[3] J. Buhler: Icosahedral Galois representations, LNM 654. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.
[4] J.W.S Cassels, A. Fröhlich: Algebraic number theory. Academic Press, New York, 1967.
[5] C. W. Curtis, 1. Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras.
Interscience Publishers, New York, 1962.
[6] A. Fröhlich: The genus fields and genus group in finite number fields I, H. Mathematika, 6,
1959,40-46,142-146.
[7] A. Fröhlich: On fields of dass two. Proc. London Math. Soc., 4,1954,235-256.
[8] Y. Furuta: The genus field and genus number in algebraic number fields. Nagoya Math. J.,
29,1967,281-285.
[9] D. A. Garbanati: The Hasse norm theorem for non cydic extensions of the rationals. Proc.
London Math. Soc., 37, 1978, 143-164.
[10] D. A. Garbanati: The Hasse norm theorem for I-extensions of the rationals. In: Nurnber
Theory and Algebra, edited by H.Zassenhaus, Academic Press, New York, 1977,77-90.
[11] F. Gerth: The Hasse norm principle for abelian extensions of number fields. Bull. AMS, 83,
1977,264-266.
[12] F. Gerth: The Hasse norm principle in cydotomic number fields. JRAM (CreIle), 303/304,
1978,249-252.
[13] S. Gurak: On the Hasse norm principle. JRAM (CreIle), 299/300, 1978, 16-27.
[14] S. Gurak: The Hasse norm principle in non abelian extensions. JRAM (CreIle), 303/304,
1978,314-318.
[15] S. Gurak: The Hasse norm principle in a compositurn of radical extensions. J. London Math.
Soc., 22,1980,385-397.
'
[16] K. Haberland: Galois cohomology of algebraic number fields. VEB Deutscher Verlag der
der Wissenschaften, Berlin, 1978.
[17] F.P. Heider: Zur Theorie der zahlentheoretischen Knoten. Dissertation, Köln, 1978.
[18] G. Hochschild, J.P. Serre: Cohomology of group extensions. Trans. AMS, 74,1953,110134.
[19] B. Huppert: Endliche Gruppen 1. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1967.
[20] M. Ishida: The Genus Fields of Algebraic Number Fields, LNM 555. Springer Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York, 1976.
[21] S. Iyanaga: Zur Theorie der Geschlechtermoduln. JRAM (CreIle), 171, 1934, 12-18.
[22] W. Jehne: On knots in algebraic nurnber theory. JRAM (CreIle), 311/312,1979,215-254.
[23] L. V. Kuzmin: Homology of profinite groups, Schur multiplier and dass field theory. Izv.
Akad. Nauk. SSSR, 33, 1969, 1220-1254.
[24] S. Lang: Algebraic number theory. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1970.
[25] H. W. Leopoldt: Zur Geschlechtertheorie in abelschen Zahlkörpern. Math. Nachr., 9, 1953,
351-362.
[26] F. Lorenz: Über eine Verallgemeinerung des Hasseschen Normensatzes. Math. Zeitschrift,
173,1980,203-210.
[27] K. Masuda: An application of the generalized norm residue symbol. Proc. AMS, 10, 1959,
245-252.
[28] H. Opolka: Zur Auflösung zahlentheoretischer Knoten. Math. Zeitschrift, 173, 1980,
95-103.
[29] H.Opolka: Solution of the nurnber knot of small degree. Erscheint in Proc. AMS.
[30] H. Opolka: Geschlechter von zentralen Erweiterungen. Archiv d. Math., 37, 1981,418424.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
Digitale Bibliothek Braunschweig
Der Schur-Multiplikator in der algebraischen Zahlentheorie
195
[31] H. Opolka: Der Liftungsindex primitiver Galoisdarstellungen. Erscheint im J. of Algebra.
[32] M.J. Razar: Central and genus dass fields and the Hasse norm theorem. Compositio Math.,
35, 1977,281-298.
[33] P. Roquette: On dass field towers. In: [4],231-249.
[34] A. Scholz: Totale Normenreste, die keine Normen sind, als Erzeuger nicht abelscher Körpererweiterungen 1. JRAM (Crelle), 175, 1936, 100-107.
[35] A. Scholz: Totale Normenreste, die keine Normen sind, als Erzeuger nicht abelscher Körpererweiterungen Il. JRAM (Crelle), 182, 1940, 217-234.
[36] 1. Schur: Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. In: Ges. Abh., 86-116. - 1. Schur: Ges. Abh., herausgegeben von A. Brauer und
H. Rohrbach, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
[37] J.P. Serre: Corps locaux. Hermann, Paris, 1962.
[38] J. P. Serre: Modular forms of weight one and Galois representations. In: Algebraic number
fields, edited by A. Fröhlich, Academic Press, London, 1977.
[39] S. Shirai: On the central dass field mod m of Galois extensions of an algebraic number field.
Nagoya Math. J., 71, 1978, 61-85.
[40] S. Shirai: On Galois groups of dass two extensions over the rational number field. Nagoya
Math. J. 75,1979,121-132.
[41] S. Shirai: On the central ideal dass group of cyclotomic fjelds. Nagoya Math. J., 75, 1979,
133-144.
[42] G. Steinke: Dissertation. Univ. Münster, in Vorbereitung.
[43] J. Tate: Duality theorems in Galois cohomology over number fjelds. Proc. of the Int. Congress of Math., Stockholm, 1962.
[44] J. Tate: Global Class Field Theory. In: [4],163-203.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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Zur Universalität und Hypertranszendenz
der Dedekindschen Zetafunktion
Von Axel Reich, Göttingen
1. Einleitung
Es werden zwei Problemkreise behandelt, die das Verhalten der Dedekindschen
Zetafunktion ~K eines algebraischen Zahlkörpers K über Q betreffen, und die beide
selbst im Falle K = Q (Riemannsche Zetafunktion) klassische Resultat recht weitgehend erweitern. Beide Probleme sind in [9], [10] in jüngster Zeit bearbeitet worden, und es soll hier nun auseinandergesetzt werden, daß mit den in [9], [10] verwendeten Methoden abschließende Ergebnisse für die Dedekindsche Zetafunktion erzielt
werden können.
Das erste Problem behandelt die sogenannte Universalität von Zetafunktionen im
Teil 112 < Re s< 1 des kritischen Streifens: Das klassische Resultat von BOHR und
COURANT [2] über die Riemannsche Zetafunktion ~(s), daß für jedes feste oE(1h,1)
die Menge {t(o+it):tER} dicht in C liegt, wurde im Anschluß an das Ergebnis von
VORONIN [12] über ~(s) nicht nur auf die Dedekindsche Zetafunktion verallgemeinert. In [9] wurde gezeigt, daß für geeignetes 0K< 1 (mit 0K = 112 für K = Q) ~K
die folgende Approximationseigenschaft besitzt: Zu jedem im Streifen 0K < Re s< 1
gelegenen (abgeschlossenen) Kreis D, jeder auf D holomorphen Funktion f ohne
Nullstellen und jedem 10>0 besitzt die Ungleichung
(1)
sup If(s) - ~K(s+in)1 <10
sED
eine Lösung nEN. Es gilt sogar, daß die untere asymptotische Dichte aller nEIN, für
die (1) gilt, positiv ist. Diese Eigenschaft von ~K ist bereits von rein funktionentheoretischem Interesse (vgl. Z.B. [6]), denn von LUH [5] stammt z.B. der folgende
Existenzsatz für "universelle Funktionen in C": Zu der Folge An = in gibt es eine
ganze Funktion G mit der universellen Eigenschaft, daß zu jedem Kompaktum BcC
mit zusammenhängendem Komplement, jeder auf B stetigen und im Innern von B
holomorphen Funktion f, jedem 10 > 0 die Ungleichung
sup If(s) - G(s+in)1 < 10
sEB
eine Lösung nE IN besitzt (statt An = in kann man eine beliebige Folge (An)cC mit 00
als Häufungspunkt vorgeben). Daher ist die Frage von Interesse, ob sich das Resultat
in [9] von Kreisen auf die in [5] betrachteten kompakten Mengen übertragen läßt. Im
Falle der Riemannschen Zetafunktion (und für L-Reihen) ist dies für gewisse B bereits von BAGCHI [1] durchgeführt worden. Hier wird diese Frage für die Dede-
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Axel Reich
198
kindsche Zetafunktion abschließend behandelt, indem gezeigt wird, daß sich die
Resultate von [9] auf genau die kompakten Mengen B in 0K< Re s< 1 übertragen
lassen, die ein zusammenhängendes Komplement besitzen. Somit liefert die Dedekindsche Zetafunktion ein konkretes Beispiel einer universellen Funktion im Gebiet
0K<Re s<l.
Das zweite Problem behandelt Erweiterungen der klassischen Resultate von
HILBERT und OSTROWSKI zur Hypertranszendenz von SK' Eine Funktion f heißt
hypertranszendent, wenn aus dem Bestehen der algebraischen Differentialgleichung
(2)
<I>(f(s), f(s), ... , f(n-l)(s» = 0
für alle s mit einem Polynom <I> E C[z" ... ,zn] folgt, daß <I> das Nullpolynom ist.
HILBERT [4] erkannte die Riemannsche Zetafunktion als hypertranszendent, und
OSTROWSKI [7] bewies allgemeiner das entsprechende Ergebnis u. a. für die Dedekindsche Zetafunktion sogar für algebraische Differenzen-Differentialgleichungen
(vgl. § 2).
In [10] wurde nun mit analytischen Methoden das Ergebnis von OSTROWSKI,
das mit i. w. algebraischen Methoden erzielt wurde, fürsK dahingehend verallgemeinert, daß für SK sogar nicht-triviale holamorphe Differenzen-Differentialgleichungen unmöglich sind. Der Beweis in [10] liefert sogar die schärfere Aussage: Ist
<1>: cn~ C holomorph und gilt für f = SK Z. B. die Gleichung (2) lediglich für alle s
einer festen Geraden Re s = 00 (00) 1 beliebig), so ist <I> die Nullfunktion. Die Frage,
ob man weiter die Gerade Re s = 00 durch eine diskrete, möglichst dünne Teilmenge
ersetzen kann, wird hier (auch für Differenzen-Differentialgleichungen) abschließend
beantwortet: Ist <1>: cn~ C holomorph, 00> 1 beliebig, Xk eine beliebig schnell
gegen 00 wachsende Folge reeller Zahlen, so gibt es eine (übrigens von K unabhängige) Folge nkEN mit nk>xk, so daß aus dem Bestehen der Gleichung (2) für
f = SK und alle s = oo+ink folgt: <I> ist die Nullfunktion.
Die Resultate schließen noch offene Fragen aus [9], [10] über die Dedekindsche
Zetafunktion ab, benötigen aber zum Beweis bereits wesentlich die Ergebnisse und
Methoden aus [9], [10]. Beim Beweis von Satz 1 wird zusätzlich der funktionentheoretische Satz von MERGELY AN benutzt.
2. Definitionen nnd Resultate
Für einen algebraischen Zahlkörper K über ((2 mit endlichem Körpergrad n =
[K: ((2] ist die Dedekindsche Zetafunktion SK für Re s> 1 durch
'*
(Summation über alle ganzen Ideale a 0 in K) definiert. SK ist bekanntlich bis auf
einen Pol bei s = 1 holomorph nach C fortsetzbar und besitzt für Re s> 1 ein Eulerprodukt
(3)
SK(S)
= D(1-(Nj:Jt sr 1 ,
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Zur Universalität und Hypertranszendenz der Dedekindschen Zetafunktion
199
wo das Produkt über alle Primideale +> in K zu erstrecken ist. Für
0K = max (1h,l-l/ n )
sei SK die Menge aller kompakten Mengen B im offenen Vertikalstreifen 0K < Re s< 1
mit zusammenhängendem Komplement. Für BESK sei A(B) der Banachraum aller
auf B stetigen Funktionen, die im Innern von B holomorph sind, Ao(B) sei die Menge
aller fEA(B), die in B keine Nullstelle besitzen. Bezeichnet man für LeIN die (untere
asymptotische) Dichte von L in IN durch
e(L) = ~N-1card {m~N: mEL},
N~oo
so besitzt die Dedekindsche Zetafunktion folgende universelle Eigenschaft:
Satz 1. Sei BESK, fEAo(B). Für jedes relle Ll
01=
0 besitzt die Menge
t.= {mEIN: sup If(s) - ~K(s+iLlm)1 <E}
sEB
eine positive Dichte !2(t.).
Bemerkungen.
(i) Die Bedingung BESK ist sicher notwendig (man übertrage [11], 13.8 auf diese
Situation).
(ii) Ist B ES K und ~K(S + iLlnk) auf B gleichmäßig konvergent, so gilt für die Grenzfunktion f notwendig fEA(B). Z.B. im Falle K = Q läßt sich für jedes BESKmit nichtleerem Inneren in Satz 1 Ao(B) sicher nicht durch A(B) ersetzen, falls die Riemannsche Vermutung richtig ist (vgl. die Bemerkung nach [9], Cor. 4.1).
(iii) Wegen Q(.tl) > 0 läßt sich jedes fEAo(B) sogar überraschend häufig durch
Translate von ~K approximieren.
Um die Resultate von HILBERT und OSTROWSKI über die Hypertranszendenz
von Zetafunktionen im Anschluß an [10] weitestgehend zu verschärfen, seien endlich
viele reelle Zahlen ho<h1< ... <h~ und vo, V1, ... ,V~EINU{0} vorgegeben. Zu M=
Vo +V1 + ... + v~ + ~ + 1 und einer zunächst beliebigen Funktion <1>: CM~ C betrachten wir für f = ~K die Differenzen-Differentialgleichung
(*)
<I>(f(s + ho), fI(s+ ho), ... , f{vo)(s+ h o), f(s+ h1), ... , f{Vtl(s+ h,), ...
... , f(s + h~), f'(s + h~), ... ,f{v~)(s + h~)) = O.
OSTROWSKI [7] bewies (vgl. auch [8]) u. a.: Gilt für f = ~K und ein Polynom <I> die
Gleichung (*) in der Halbebene Re s> I-ho, so ist <I> die Nullfunktion. Mit [10],
Satz 2.1 wurde dieses Ergebnis für holomorphes <I> bewiesen, das hier verbessert
werden soll zu
Satz 2. Sei <1>: CM~ C holomorph und 00> 1-ho eine fest gewählte reelle Zahl.
Zu jeder Folge (xk)dR gibt es eine Folge nkEIN mit nk>xbkEIN, und der folgenden
Eigenschaft: Gilt (*) für f = ~K und alle s = 00+ ink' kEIN, so ist <I> die Nullfunktion.
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Axel Reich
200
Bemerkung. Da (Xk) beliebig schnell wachsen darf, ist (nk) eine beliebig dünne
Teilmenge von N. Somit läßt sich Satz 2 in dieser Richtung sicher nicht weiter verbessetn, denn trivialerweise gibt es zu endlich vielen x" ... ,XlclR, oo>1-ho eine
nicht-triviale holomorphe Funktion <P: (;M----;> (; (sogar ein Polynom), so daß (*) für
alle s = 00 + iXj' j = 1, ... ,1, gilt.
3. Beweise
Beweis von Satz 1,' Sei ',ß, die Menge aller Primideale ersten Grades in K,
p, < P2 < ... die ihrer Größe nach geordnete Folge der Zahlen, die als Normen der
Primideale PE',ß, auftreten, und Uk die Anzahl aller PE',ß, mit Np = Pk' Demnach
spaltet sich für
00
n (l-Pksf'"
k=l
~\l'(s) =
das Eulerprodukt (3) von
~K(S)
~K
auf in
= ~\l,(s)' R(s),
wo R(s) in Re s> 1/2 holomorph und nullstellenfrei ist. Daher genügt es, Satz 1 in entsprechender Form für ~\l,anstelle von ~K zu beweisen.
Sei zunächst ein einfach zusammenhängendes B, ES K gegeben, dessen Rand analytisch ist und mit dem Rand von B" dem Inneren von B" übereinstimmt. Auf solche
B, können wir den in [9] für Kreise angegebenen (recht langen) Beweis übertragen,
wie die folgende Beweisskizze zeigt: Wegen L:lujpj"1 2 < 00 für 0> 1/2 gibt es Zahlen
VjEIR, JEN, so daß
J
00
(4)
.L exp(2nivj)ujpjS
J= 1
für Re s> 1/2 kompakt gleichmäßig konvergiert. Insbesondere ist die Reihe (4) im
Hardy-Raum H 2 (B,) (vgl. [3], 10.1) enthalten. H 2 CB,) ist nach [3], 10.1 ein Hilbertraum, der isometrisch isomorph zum klassischen Hardy-Raum H 2 des Einheitskreises
ist. Für
fj(s) = log(1-pj Sexp(2nivjW Uj
beweist man analog zu [9], Lemma 2.1 mit der in [1] z.B. für ~(s) angegebenen Übertragung auf einfach zusammenhängende B" daß die Menge aller in H 2(B,) konvergenten Um ordnungen der Reihe L:fj den ganzen Raum H 2(B,) liefert. Ist nun f auf B,
holomorph und ohne Nullstellen (nicht nur fEAo(B,», so ist f analog zu [9], Cor. 2.2
gleichmäßig auf B, durch gewisse endliche Eulerprodukte approximierbar. Die
Beweismethode von [9], Satz 3.1 wiederum liefert dann die Aussage von Satz 1 für
obige B, und alle auf B, nullstellenfreien, holomorphen Funktionen f. Nach dieser
Erläuterung ergibt sich mühelos der allgemeine Fall in Satz 1: Es sei BESK,fEAo(B).
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Zur Universalität und Hypertranszendenz der Dedekindschen Zetafunktion
201
Nach dem Satz von MERGELYAN (vgl. [11], Th. 20.5) gibt es zu E>O ein Polynom
Pmit
(5)
If(s) - P(s) I < E/2, sEB.
Wegen fEAo(B) läßt sich P so wählen, daß die Nullstellen Z" ... ,Zt nicht in B enthalten sind. Da außerdem das Komplement von B zusammenhängend ist, gibt es eine
einfach zusammenhängende Menge B, ESK der oben betrachteten Art, die zwar B
aber kein Zj,j = 1, .. .1, enthält. Somit ist P auf B, holomorph und ohne Nullstelle in
B" so daß nach obigem Ergebnis für jedes I!. *0 die Menge
j..'= {mEIN:sup Ip(s) - ~K(s+il!.m)1 <E/2}
sEB,
eine positive Dichte besitzt. Wegen B,:::>B und (5) ergibt sich Satz l.
Beweis von Satz 2: Ist ~ die Menge der Primideale in K, so wähle man q, < q2 < ...
als eine Folge rationaler Primzahlen, so daß jedes Primideal .\3 E ~ sich in der Form
N.\3= q~ mit geeigneten kEIN und f::;; n = [K: Q] (f der Grad des Primideals) schreiben
läßt. Es sei
ak(f) = card{.):> E~: N.\3 = qn.
Man benötigt aus [10] die folgenden Hilfsfunktiorien: Für eine Menge A = {k(l), ... ,
k(2M)} von 2M paarweise verschiedenen natürlichen Zahlen, 8 = ('frk{l)" .. , 'frk{2M) E
E[O,l]2M, Re s> 1 sei
n
00
f1 f1
n
f1 f1
~K(A,8,s) =
(l_q~S)-ak(f)
(l_q~S exp(2n:if'fr k»-a k(f)
k=l f=l
kEA f=l
kEtA
Dann gilt nach (3) für jedes AclN, SEC
~K(A,O,s) = ~K(S).
Für 00> 1- ho, 8E[0,1j2M, j ~ 11, V~Vj bezeichne (log ~K(A,8,00+ hj»{v) die v-te Ableitung nach s von log ~K(A,8,s) an der Stelle 00+ hj und <PA,a.: [O,lFM----,>CMdie (im
Hinblick auf die Relation (*) von Satz 2) durch
<PA,ao(8) = (log ~K(A,8,00+ ho), (log ~K(A,8,00+ ho»', .. ·, (log ~K(A,8,00+ ho»{vol,
log ~dA,e,oo + h,), ... , (log ~K(A,8,00 + hfl» (vfl)
definierte Abbildung. Zu fest vorgegebenem 00> 1- h o gibt es nach [10], Lemma 2.2
eine nun fest gewählte endliche Menge A = {k(l), ... ,k(2M)} und nicht-leere offene
Mengen U 2c[0,1]2M, U,cC Mmit <PA,ao(U2 ) = U,.
Für mEZ ist bekanntlich exp(2n:m)EQ nur für m =
°möglich, so daß eine Relation
L
m=
L mt(2n:)"' log qt
1= 1
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202
AxelReich
mit m,mlEZ,I= 1, ... ,L, nur für m = m, = ... = mL = 0 stattfinden kann. Ist lT'" das
vollständig direkte Produkt abzählbar vieler Kreisgruppen TI' = IR/z, so besitzt daher
für jedes noEIN nach der diskreten Form des Kroneckerschen Approximationssatzes
die durch
L(n) = (-n(2nt' log q" -n(2nt' log q2"") mod 1
definierte Abbildung L: INn[no,oo) ~ lT'" ein dichtes Bild in lT": Zu der in Satz 2 vorgegebenen Folge (Xk) läßt sich daher eine Folge (nk)clN mit nk>xk, kEIN, finden, so
daß {L(nk): kEIN} dicht in lT"'ist. Nur der Vollständigkeit halber wird nun das in [10]
angegebene Verfahren auf den diskreten Fall übertragen:
Sei E> 0 und CfJA,o'<8(0» (mit 8(0) = «(}~~h,
{}mM» E U 2) ein beliebiges Element
von U,. Für hinreichend groß gewähltes N=N(E) gilt
... ,
(6)
m
n
l(1ogSK)<v)(s+h,J-al(f) (1og (1_ q1 f(S+h,,»)(v) I <E/3
1=1 "f=d
L L
fürv~rrfaxv",x=O, ... ,f.t, m~N,
11.=1
s=oo+it, tER. Da {L(nk): kEIN} dicht in lT'" ist,
gibt es zu m = max (qk(2M),N(E» und zu jedem Ö > 0 ein kEIN mit
(7)
l-nk(2nt' log qk(j) - {}~~) I < ö mod 1, j = 1, ... , 2M,
l-nk(2nt' log 'Ii I <ö mod 1, j ~m, j$A.
Definiert man g: IN ~ C Mdurch
g(k) = (log SK( 00 + h o+ ink)' (log SK)'( 00 + ho + ink)" .. , (log SK) (Vo) (00 + ho + ink)'
log SK(OO+ h, +ink)'"'' (log SK)lVV\oo+h~ +ink»' kEIN,
so gilt für eine beliebige Komponente von g(k) - CfJA,oo(8(O» für hinreichend kleines
ö> 0 mit nach (7) gewähltem kEIN
.
I(log SK)(v)(00 + h" + ind - (log sdA,8(0) ,00 + hJ) (v) I
~ I(log SK)(V)(oo+h,,+ink) -
m
L Ln -al(f) (log (1_ q1 f(oo+h,,+ink»)(V)I +
l=lf=l
m
n
L L
+ I(log SdA,8(0),00+h,,» (v)_
-al(f) (log (1_ q1 f(oo+h,,+in k »)(v) I <E.
1= If= 1
Somit ist g(IN)nU, dicht in U,. Setzt man im Hinblick auf die Relation (*) von Satz 2
G(k) = (SK(OO + ho+ink)' sk( 00+ ho+ink)'"'' sto)(oo+ ho+ink)' SK(OO+ h, + ink) ,
r(v 1)( + h +')
r (
.
(v )
''''~K 00
, lllk '''''~K Oo+h~+lllk)'"'' SK!l(oo+h~+ink»,kEIN,
so existiert nach dem Beweis von [10], Lemma 2.4 eine Abbildung 'P: CM~CM mit
nirgends verschwindender Funktionaldeterminante und lJIo g = G. Daher ist für eine
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Zur Universalität und Hypertranszendenz der Dedekindschen Zetafunktion
203
geeignete offene Menge U cCM , U =1= 0, G(N)n U dicht in U. Da die Relation (*) für
s = 00 + ink mit <I>(G(k» = 0 gleichbedeutend ist, und eine holomorphe Funktion
<I> =1= 0 auf U nicht identisch verschwindet, ist Satz 2 vollständig bewiesen.
Literatur
(1]
B. BAGCHI: A joint universality theorem for Dirichlet L-functions. Indian Stat. Inst. Calcutta, Techn. Report, No. 14, 1-26 (1981).
[2] H. BOHR und R. COURANT: Neue Anwendungen der Theorie der Diophantischen
Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion. J. Reine Angew. Math. 144, 249274 (1914).
[3] P. L. DUREN: Theory of HP-spaces. Academic Press, New York-London, 1970.
[4] D. HILBERT: Mathematische Probleme. Ges. Abhandlungen I1I, 290-329. Berlin, 1935.
[5] W. LUH: On universal functions. Coll. Math. Soc. Janos Bolyai 19, 503-511 (1976).
[6] W. LUH: Über cluster sets analytischer Funktionen. Acta Math. Acad. Sc. Hung. 33,137142 (1979).
[7] A. OSTROWSKI: Über Dirichletsche Reihen und algebraische Differentialgleichungen.
Math. Z. 8, 241-298 (1920).
[8] J. POPKEN: Algebraic independence of certain zeta functions. Indag. Math. 28, 1-5
(1966).
[9] A. REICH: Werteverteilung von Zetafunktionen. Arch. Math. 34, 440-451 (1980).
[10] A. REICH: Zetafunktionen und Differenzen-Differentialgleichungen. Arch. Math. 38,
226-235 (1982).
[11] W. RUDIN: Real and complex analysis. Mc Graw-Hill, New York-Toronto-London,
1966.
[12] S. M. VORONIN: Theorem über die "Universalität" der Riemannschen Zeta-Funktion.
Isvestja Akad. Nauk SSSR 39, Seria Mat., 475-486 (1975) [Russisch].
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205
A new approach to the real nombers
(motivated by continued fractions)
By G.J. Rieger, Hannover
Introduction
There are several methods known of extending the ordered field Q of the rational
numbers to the complete ordered field IR of the real numbers. In this paper we give a
new and very natural method for this extension; the motivation comes from the theory
of continued fractions. We define the set IR\Q of the irrational numbers as the set of
all infinite sequences < ao, a1, a2, ... > with ao E~, 0< aj E ~ (j > 0). By this the set
IR : = Q u (IR\Q) is given in an explicit and simple form at the very beginning and we
believe that this approach is an important advantage over all other extensions of Q
to IR. After this we study ordering, completeness, and arithmetical operations for the
set IR. It is dear that an methods of extending Q to IR have some common features
since the result, namely IR and its structure, is always the same.
In § 1 we bring known facts conceming the continued fraction expansion of
rational numbers. In § 2 we introduce IR by our method as an ordered set which we
call K for caution's sake and we prove the theorem of the supremum for K. Afterwards K can be made a commutative additive group with Q as subgroup in § 3, a
division ring with Q as subring in § 4, and finally a field with Q as subfield in § 5; there
addition, subtraction, multiplication, and division, as far as they go beyong Q, are
defined by using the supremum. Finally, we write R instead of K.
§ 1. Rational numbers and finite continued fractions
Let aE'z, bEN; the fraction ~ is called reduced if and only if (a,b)
rational number can be written in exactly one way as a reduced fraction.
= 1.
Every
A finite sequence < ao, al, ... an > with
nENo := Nu {O}, aoE'z, aj EN (O<j~n)
is called a finite chain. The set of all finite chains we denote by E. A finite chain is
called normed, if and only if in case n> 0 we have an> 1. The set of all normed finite
chains we denote by E'. We have E' c E. We define the map
by
(1.1)
<1>: E-+Q
<1>( < ao, a" ... ,an» : =
ao + -----"1~-1-­
al + -+--"'-a2
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G.J. Rieger
206
the right hand side of this equation is called finite continued fraction. Let %E <0;
suppose the euclidean algorithm for a, b takes the form
O<r,<b,
0<r2<r"
0<r3<r2,
a=bao+r"
b=r,a, +r2'
r, = r2a2 + r3,
rn-2 = r n-, an-, + rn
rn_, = rnan + 0;
we obtain a map
by
.:1: Q~E'
.:1(E-) := <ao,a,,···,au>·
Elimination in the euclidean algorithm gives
Consequently, we have
~Q.A..
~E'~
<0
Q,
E'
E'
id
id
Especially, the restriction of <1> to E' is bijective. Since
<1>( < ao, ... , an-2, an-" 1 »
= <1>« ao, ... , au-2, an_, + 1»
(n> 0),
<1> itself is not injective. We are here mainly interested in Q; with respect to Q we do
not lose anything by
Convention 1. Any finite chain < ao, ... , an-2, an_" 1 > with n> 0 has to be replaced
by < ao, ... , an-2, an-, + 1 > E E'. Furthermore, we identify < ao, ... , au > EE' and
<1>( < ao, ... ,an» E Q.
For a = < ao, ... , an > E <0, jE \No let
(1.2)
a Gl := {<ao,a" ... ,aj> in case j<n
a
in case j ~n;
let furthermore
Po:= 0, p,:= 1, pj:=ajpj_,+Pj_2
(1 <j~n),
qo:= 1, q,:= a,,~:=aj~_'+~_2
Pi:= Pn, ~:= qn (j>n).
We have
a(j)
=ao+ ~
(j~0),
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
Pj-1CJ.j - pjCJ.j-1 = (-1);
pjCJ.j-2 - Pj-2CJ.j = (-l)j aj
(1.3)
a(O)
~
a(2)
~
a(4)
~
207
(O<j~n),
(1< j ~ n),
... ~ a
~
...
~
a(5)
~
a(3)
~
a(l)
~
a(O)
+1
(with = up to at most n + 1 exceptions),
a
(j+1)
- a
(j) _
(-1);
'IJ'IJ+1
-
(0<'
)
= J< n .
Following Fibonacci let
Fo : = 1, F 1 : = 1, F j : = F j_1 + F j_2 (j> 1).
Induction gives
F jF j+1~2j
by
CJ.j~Fj (j~0)
(1.4)
(j~0);
we conclude
la(j+1)-a(j)1~2-j
(j~O).
a = < ao, ... ,an> E Q and ß = < bo, ... ,b m > E Q can easily be compared in size. In
order to avoid case distinctions in case n i' m we introduce the symbol (0 with the
property r< (0 or equivalently (O>r (r E Q).
Convention 2. For every a = < ao, ... , an >
a = < ao, ... ,an. (0, (0, ••• > .
E
Q let aj : =
(0
(j > n) and hence
Obviously we have
Lemma 1.1. Let
= < ao, ... , an. (0, (0, ••• > E Q,
ß = <bo,·· .,bm , (0, (0, ••• > E Q,
a
ai' ß; we define k = k(a,ß) ElN o by
aj = bj (O~j<k), ak~ bk;
then we have
(1.5)
ak<bk in case 21k
a< ß ~ {ak> bkIn
' case 2 vk.
1
Here we have k(a,ß)
= k(ß,a) ~ sup{n,m}.
§ 2. Tbe ordered set K
We extend the set Q to the set K by adjoining as new elements all infinite sequences
< ao,a"a2"" > with ao E~, aj E IN (j >0).
For <ao,a1,a2""> EK, mEIN we have
(2.1)
Let a
am = (0 => aj =
= < ao, a1, a2,"
(0
(j >m).
. > E K,
ß = < bo, b 1, b2,.· . >
E K, a #: ß. We extend the definition
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G.J. Rieger
208
of k(a,ß) of Lemma 1.1 to a ft Q v ß ft Q. We have k(a,ß) = k(ß,a). Far a ft Q v ß ft Q
we use (1.5) as Definition 2.1 of a< ß or equivalently of ß > a.
For aEK, ßEK we have
(2.2)
a<ßv a= ß v a>ß, exclusively.
Furthermore, let YE K; then we have
(2.3)
(a<ß" ß<y) => a<y (transitivity of <).
Let a = <aO,a1,a2,'''> EK\Q, jE No; we extend (1.2) and let
a ül := <aO,a1, ... ,aj>,
where we observe Convention 1 and possibly Convention 2; instead of (1.3) we have
(2.4)
a(O) < a(2) < a(4) < ... < a < ... < a(5) <a(3)<a(1)~a(0)+1.
We have ro ft K since ro = a EK gives the contradiction ro ~ a (0) + 1 EZ.
Let a E K, ß E K, a =I ß, k: = k( a,ß). (1.5) implies
a<ß => (a ül = ßU) (O~j<k) " aU)<ßu) (j ~k)).
By (2.2) this implies
.3 a(i)<ß(il)
( lENo
=> a<ß.
We need the consequences
(2.5)
a(2j) ~ ß(2j) (j ~ 0) _ a ~ ß _ a(2j+1) ~ ß(2j+1) (j ~ 0),
{ O~ß_O~ß(Ol, O<ß_0<ß(2).
Let Me K, M "" ~; TE K is called upper bound of M if and only if a ~ T (a E M); M is
called bounded above if and only if there exists at least one upper bound of M; an
upper bound 0 of M is called supremum (or least upper bound) of M if and only if
every upper bound T of M satisfies O~T. M has at most one supremum.
Theorem 2.1 of the supremum. Every Me K, M:F ß, which is bounded above, has
exactly one supremum in K and we denote it by sup M.
Proof. We construct o=sup M. For MnQ we observeConvention 2. We use
repeatedly the well-ordering of Z. Let 0,," Ac N; denote by v(A) the minimal element of A; in case A is bounded above, denote by w(A) the maximal element of A;
in case A is not bounded above, let w(A): = ro; let also
v(Au {ro}):= v(A), v({ro}):= ro,
w(Au{ro}):= ro,
w({ro}):= ro.
For a= <ao,a1,a2""> EK we have
ao~<aO,a1,a2''''> <ao + 1.
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
M(O) : = M is bounded above and so is
Mlol: = {ao: a E M} cZ,;
we have MIOj ~ ~; denote by So the maximal element of MIOI. Let
M(l):= {aEM(O): ao=so}.
We have
~~
M(l) c M(O) ,
Ml 11 : = {al: a E M(1)}
In case Sl =
0)
=f.
0, Sl : = v(MI1I).
we are done and put
o : = < So,
0), 0), •••
>.
In case Sl "I' 0) we go on and let
M(2): = {a E M(1): a1
We have ~
= Sl}'
"* M(2) c M(1),
M[21:= {a2: aEM(2)} ~O, S2:= w(M I21).
In case S2 = 0) we are done and put
<so, Sl, 0),0), ••• > in case Sl >
1
0: = { <so+ 1,0),0),0), ••• > in case Sl
= 1.
In case S2 -F 0) we go on and let
M(3) : = {a E M(2): a2
= S2}'
We have 0 i=M(3)cM(2),
MI 31 : = {a3: a E M(3)} ~ 0, S3: = v(M I31).
In case S3 = 0) we are done and put
o :=
{ < so, Sl, S2, 0), 0), ••• > i~ case S2 > ~
so, 81 +
1, 0), 0), 0), •••
>
In
case 82 -
1.
In case S3 i= 0) we go on and let
M(4) : = {a E M(3): a3
We have
01= M(4) c
= S3}'
M(3),
MI 41 : = {a4: a E M(4)} ~ 0,
84 :
=
W(M I41).
In ca8e S4 = 0) we are done and put
0'=
.
<SO, Sl, S2, S3, 0), 0), ••• > in case S3> 1
{ < 80' 8j, 82 + 1, 0), 0), 0), ••• > in case 83 = 1.
In case S4 =f. 0) we go on. In this fashion we have defined
o = < so, 81, S2' ... > E K
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209
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210
by a terminating or non-terminating construction where w( ) and v( ) have been used
alternately.
Let a E M, a #- a. For k: = k(a,a) (as after (2.1)) we have
(2.6)
aj = Sj (O;a j < k), ak #- Sk;
in the construction above M(k) appears by (2.1) and we have a E M(k); by definition of
Sk we have
(2.7)
ak<sk in case 21 k
{ ak> Sk in case 2tk;
hence a<a, and a is an upper bound of M.
*'
Let a E K, a< a; by a< a we have (2.6) and (2.7); since ak w in case 21k and since
Sk =1= w in case 2%k it follows Sj W (O;a j < k) by (2.1), and in the construction above
certainly
*'
incase k=O
in case 2~k
incase 2Ik!\k>0
appears.
ß E M(l) satisfies ß>a.
Case 2{k. Every ß E M(k+l) satisfies ß> a.
Case k = O. Every
Case 21k!\ k> O. For M(k) we distinguish 3 possibilities. Let firstly Sk = W E M[k j ; then
and ß> a. Let secondly Sk = W $ M[kj ; then there exist
with arbitrarily large b k EIN; for bk>ak we have,ß>a. Let thirdly Sk<W; then there
exist
and we have ß> a. In every case we have found a ß E M with ß> a, and hence there
exists no upper bound of M which is smaller than a.
This proves the theorem.
This proof gives beyond (2.4) also
(2.8)
a
= sup{a(2n): n~O}
(aEK).
Theorem 2.2. For every a E K, ß E K with a< ß we can find rE CO with a < r < ß.
Proof. For aECO!\ ßE CO we take r: = ~. Let a$ CO v ß$ CO, k := k(a,ß),
a = <ao, al,"'>' ß = <bo, b 1 , ••• >.
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
211
Case 21 k. Then ak <bk; in case bk+1 < w we choose
r : = <bo, b 1, ... , bk> b k+1+ 1 >; in case b k+1 = w we have ß.E 02, a $ 02
and choose r:= <ao, a1,"" ak+" ak+2+1 >.
Case 2,(k. Then ak > b k; in case ak+1 < w we choose
r : = < ao, a" ... , ak, ak+ 1+ 1 >; in case ak +1 =
W
we have a E 02, ß ft 02
and choose r : = < bo, b" ... , bk+" bk+2+ 1 >.
§ 3. K as additive group
For a E 02, ß E 02 we have
(3.1)
a+ß = sup{a(2n) + ß(2n):
n~O}.
For a E K, ß E K, a ft 02 v ß ft 02 we use (3.1) as Definition 3.1 of a+ ß; here we observe
a(2n)+ß(2n)<a(1)+ß(1)
(n~O)
by (1.3) and (2.4), and the Theorem of the supremum is applicable.
For aEK, ßEK we have
a+O=O+a=a,
(3.2)
a+ß = ß+a
(commutativity of addition).
For a, ß, y, Ö from K we have
(3.3)
(a~ß
1\
y~ö)
'* a+y~ß+Ö
(monotonicity of addition);
indeed:
(n ~ 0) by (2.5) } '*
a ~ ß '* a(2n) ~ ß(2n)
.
a(2n) + y(2n) ~ ß(2n) + ö(2n)
y~ö ,*y(2n)~ö(2n)
(n~O)~ß+ö
by (3.1)
'* a+y~ ß+ö by (3.1).
For a E K, ß E K and h, j, m, n from lNo we have
(3.4)
a(2h) +
ß(2j)~a+ß~a(2m+1)
+ ß(2n+1)
by (1.3), (2.4), (3.3).
Theorem 3.1. For a E K, ß E K, YE K we have
(3.5)
(a+ß) + y = a + (ß+y)
(associativity of addition).
Proof. \je make the assumption "<"; by Theorem 2.2 there exist rE Q, s E Q with
(a+ß) +y<r<s<a + (ß+ö);
by (3.4) we have
a(2n) +
ß(2n)~a+ß,
y(2n) ~y,
+y(2n+1)
a~a(2n+1), ß+y~ß(2n+1)
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(n~O);
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212
by (3.3) we obtain
An: = a(2n) + ß(2n) + y(2n) ~ (a + ß) + y,
Qn : = a(2n+1) + ß(2n+1) + y(2n+1) ~ a + (ß+y)
(n~O);
by (2.3) we obtain in Q on the one hand
(n~O);
by (1.4) we have on the other hand
(n~O);
Qn-An<41-n
for all nEIN with 4 1-n ~ s-r this is a contradiction. Similarly the assumption ">" leads
to a contradiction. Finally (2.2) gives (3.5).
For a E K we have
(n~O);
by (1.3) and (2.4). For a E Q we have
(3.6)
-a = sup{_a(2n+1):
n~O}
and a + (-a) = O. For a E K\Q we use (3.6) as Definition 3.2 of -a.
Theorem 3.2. For a E K we have a + (-a)
= O.
Proof. By (3.6) we have
_a(2n+1) ~-a
(n~O).
By (1.3), (2.4) we have
(j ~O,
n~O)
and by (3.6) hence
-a ~ _a(2n)
(n~O).
By (1.3), (2.4) we have
(n~O).
Therefore (3.3) implies
a(2n) _ a(2n+1)
~
a + (-a)
~
a(2n+1) _ a(2n)
(n~O).
The assumption O<a + (-a) va + (-a)<O leads by Theorem 2.2, (2.3), (1.4) in Q
to the contradiction
3
'V
O<r<a(2n+1)_a(2n)~4-n.
rEQ, n~O
(2.2) gives the result.
Hence K is a commutative group with respect to + and has Q as subgroup.
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
213
Let aEK, ßEK, a-ß:= a + (-ß). We have
(3.7)
- (-a) = a, - (a+ß) = (-a) + (-ß) = -a- ß·
Since
a~ß
=> _ß(2ß+1)
=> - ß(2n+1)
~
~
_a(2n+1)
- a
(n ~ 0) by (2.5)
(n~O) by (3.6)
by (3.6)
=>-ß~-a
we find
(3.8)
a< ß ~ -ß < -a.
§ 4. Multiplication in K
For aEK we have
a in case a~O
.
Ia I : = sup {a, - a } = {-a m
case a<O
we have lai
=
by (3.8);
l-al~O. For aEK, ß EK we have
lai = IßI ~ (a = ß v a = -ß)·
For aEQ, ßE Q we have
sup {a(2ß)ß(2ß): n~O} incasea'~OI\ß~O
(4.1)
aß =
- (lai' ß)
- (a . IßI)
{
lai' IßI
in case a < 01\ ß > 0
in case a > 01\ ß < 0
in case a < 01\ ß < o.
For a E K, ß E K, a ($ Q v ß ($ Q we use (4.1) as Definition 4.1 of a . ß (or shorter aß);
in the uppermost case we observe
(n~O)
by (1.3), (2.4) and hence the Theorem of the supremum is applicable.
Let aE K, ß E K; (4.1) gives
(4.2)
aß = ßa
(commutativity of multiplication),
Oa = 0, 1a = a by (2.8),
~ ~ g: ~::~ ~ ~} => aß > 0 by (2.3)
(4.3)
a<OI\ß>O
{ a > 01\ ß < 0
a < 0 1\ ß < 0
=>aß<O by(3.8)
=> aß < 0 by (3.8)
=> aß > 0,
aß = 0 ~ (a = 0 v ß = 0) by (2.2);
distinguishing 4 cases as in (4.1) we obtain
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(4.4)
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laßI = lallßI
(indeed: for a ~ 0/\ ß ~ 0 this says aß = aß; for a < 0/\ ß > 0 we have
aß: = -(laIß)<O, laßI = lalß (by (3.7» = lallßI; for a>O /\ ß<O we have
aß := - (aIßI)<O, laßI = alßI = lallßI; for a<O /\ ß<O we have
aß:= lallßI >0, laßI = laIIßI;) and
(4.5)
(-a)ß = -(aß) = a(-ß), (-a) (-ß) = aß·
For a, ß, y, ö from K we have
(4.6)
(O~a~ ß /\ O~y~ö) ~ ay~ ßö
(monotonicity of multiplication);
indeed: we have 0 ~ a(2n)y(2n) ~ ß(2n)ö(2n) by (2.5) and hence
For aE K, ß E K,
(4.7)
a~O, ß~O
ay~ßö.
and h, j, m, n from lNo we have
0 ~ a(2h)ß(2j) ~ aß ~ a(2m+1)ß(2n+1)
by (1.3), (2.4), (4.6).
Theorem 4.1. For a E K, ß E K, YE K we have
(4.8)
(aß)y = a(ßy)
(associativity of multiplication).
Proof. We consider first the special case a>O, ß>O, y>O; we make the assumption
"<" (as in the proof of (3.5»; by Theorem 2.2 there exist rE Q, SE Q with
(aß)y < r <S < a(ßy);
by (4.7) we have
o ~ a(2n)ß(2n) ~ aß, 0 ~ y(2n) ~y,
o<
a
~
a(2n+1), 0 ~ ßy ~ ß(2n+1)y(2n+1)
(n~O);
by (4.6) we obtain
An: = a(2n)ß(2n)y(2n) ~ (aß)y,
Qn : = a(2n+1)ß(2n+1)y(2n+1) ~ a(ßy)
(n~O);
by (2.3) we obtain in Q on the one hand
(n~O);
An<r<s<Qn
by (1.3), (2.4), (1.4) we have
(4.9)
0~a(2n+1)
- a(2n)
~
4-n, 0 ~ a(2n)
~
a(l)
(n~O)
and similarly for ß and y; in Q this gives
Qn - An
~
~
(a (2n) + 4-n) (ß (2n) + 4-n) (y(2n) + 4-n) _ a (2n) ß(2n)y(2n)
4-n (a(1) + 1) (ß(1) + 1) (y(l) + 1)
and for large n we have on the other hand
Qn-An < s-r;
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(n~O)
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
215
this is a contradiction. Similarly the assumption ">" leads to a contradiction; finally
(2.2) gives (4.8). We consider now the general case; by (4.4) and by the special case
we have
lallßyl = laßllyl;
using this and also (4.2), (4.3), (4.4), (4.5) we settle the remaining 7 cases.
Theorem 4.2. For a E K, ß E K, Y E K we have
(4.10) a(ß+y) = aß+ay
(distributivity).
Proof. We consider first the special case a>O, ß>O, y>O; we shall show that the
assumption "<" as weIl as the assumption ">" gives a contradiction; then (2.2) gives
(4.10).
"<". By Theorem 2.2 there exist rE Q, s E Q with
a(ß+y) < r < s < aß+ay;
by (1.3), (2.4), (2.5), (3.3), (4.6) and with
(4.11) An: = a(2n) (ß(2n) + y(2n», Qn : = a(2n+ 1)ß(2n+l) + a(2n+l)y(2n+l)
we obtain in Q at onee
(n~O);
(4.12) An<r<s<Qn
by (4.9) this is a contradiction for large n.
">". By Theorem 2.2 there exist rE Q, SE Q with
aß + ay < r < s < a(ß + y);
with (4.11) we obtain in Q again (4.12).
We consider now the general case. Trivially we may suppose a # 0, ß # 0, y"* 0.
Since
(-a) (ß+y) = -a(ß+y) = a«-ß) + (-y»
(-a)ß + (-a)y = -(aß+ay) = a(-ß) + (a(-y)
by (4.5), (3.7) and since
A=f.t~-A=-f.t
(AEK,f.t EK)
we have
(4.13) a(ß+y) = aß+ay ~ (-a) (ß+y) = (-a)ß + (-a)y
~ a«-ß) + (-y» = a(-ß) + a(-y).
In the general case we may by (4.13) and by (-ß) + (-y) = -(ß+y) also suppose
a>O, ß+y>O. By (3.2) it is sufficient to prove (4.10) for
a>O, ß>O, y<O, ß+y>O.
But then we have
A:= -y>O, f.t:= ß- A= ß+y>O
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G.J. Rieger
and (4.10) reads by (4.5) now
a!J.= aß-aA
or, by (3.5) and Theorem 3.2, equivalently
a!J.+aA = a(!J.+A).
But this has been established in the special case.
Hence K is a commutative ring with respect to +, . without divisors of zero and has 02
as subring.
The axiom of (Eudoxos and) Archimedes for K can immediately be verified by
using Theorem 2.2, (4.6), (2.3).
§ 5. Division in K
For aEK, a>O we have
0<a(2)
a(2n+3)
~
~
a(2n+1)
~
a(1) by (1.3), (2.4),
0< ...L<.---1....o.<_I_<...L
a(l) =a(2n+lj = a(2n+3) = a(2)
(n~O).
For aE 02, a =I 0 we have
(5.1)
sup
a- 1 =
(
1
•
> ) In
. case a>O
(,,+1)'
n=O
u
-lal- 1
in case a<O
and aa- 1 = 1. For a E K\02 we use (5.1) as Definition 5.1 of a- 1.
Theorem 5.1. For a E K, a =I 0 we have aa- 1 = 1.
Proof. Let first a>O. By (5.1) we have
0<
<
=a-1
1
a(2n+1)
(n~O).
By (1.3), (2.4) we have
0< a(2j+l)
1
<
=
1
(j ~O,
0(2n+2)
n~O)
and by (5.1), (2.3) hence
0< a -1<
=
1
(n~O).
0(2n+2)
By(1.3), (2.4) we have
0<a(2n+2) ~a~a(2n+1)
Therefore (4.6) implies
0< 0(20+2) <
-1<
a{2n+l)
= an
(n~O).
(20+1)
=~
(n~O).
By (1.3), (2.4), (1.4) we have
0< 1
u("+')
-
a(2n+1)
0<U("+1)
=
<
=
1<
«(20+2) -
=
1
4"0(211+1)
1
4"a(211+2)
<
= 1
< 1
=4
4"«(2) ,
ß a(2)
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(n~O).
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A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
The assumption 1 <aa-' v aa-' < 1 leads by Theorem 2.2, (2.3) in Q to the contradiction
VI< r < 1 + 4'~(2)
:3
•
rE Q, nE !No
(2.2) gives the result. Let now a<O. By (3.8) we have lai = -a>O and therefore
lallal-' = 1. By (5.1) and (4.5) we obtain
aa-' = (-lai) (-Ial-') = lallal-' = 1.
Hence K is a field with respect to
+, . and has Q as subfield.
Final remarks
Altogether K is a complete ordered field and has Q as subfield. The elements
< ao, a" ... > of K we call now real numbers and we write R instead of K.
At several occasions we have used a common principle: a theorem for Q is used to
suggest a definition for R. This was done in passing from Q = E' to R: = K and from
Lemma 1.1, (3.1), (3.6), (4.1), (5.1) to the corresponding definition.
Let a = <ao, a" ... > ER\Q; by (2.4), (1.4) we have
la-a(nll < la(n+'l - a(nll ~ 2-n
(n~O)
and hence
a(n).,
a=lim
n~oo
by (1.1) this me ans
<a a a
0,
"
2,'"
> - a
-
0
+ __;.1_1_ _
a,+-----"'-a2+
:= lim (ao +
n ~ 00
a,
+ .1
)
.
1
+an
(infinite continued fraction).
This paper was written for the conference in honor of Richard Dedekind (18311916), held in October 1981 in Braunschweig.
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219
On the ideals 01 partial semigroups
By Karoly Seitz, Budapest
Introduction
Denote V the set of all real numbers, M the multiplieative free V-module of rank n,
consisting of all words of the form aj" a~2 ... a~" over the alphabet a" a2, ... , an where Ur
(r= 1,2, ... ,n) runs over the elements of the set V. The identity element of the
module M will be denoted by E.
Let us denote by F+ the set of all elements of M having the form af,' af: ... af;, (Xi> 0,
1 ~ r~ n) together with the identity element of M. The set of inverses of elements in
F+ will be denoted by F. The eouple a, b of elements of F+ will be called relatively
prime if the only common factor of a and b in F+ is E.
If, for elements a,b in F+ we have a=a'z and b=b'z, (a',b',zEF+), furthermore a'
and b' are relatively prime then the element z is called the "greatest common divisor"
of a and band is denoted by a~b. The "least eommon multiple" of elements a, bin F+
is defined by ab(a~br" and is denoted by aVb. We shall define an operation: ® on
the set F+ X F+ as folIows: The ® produet of the elements (a, b), (c,d) is defined if and
only if b~C*E, and in this case (a,b)®(c,d) = (ac(b~cr', bd(b~cr').
lt can be shown that for the elements (a,b),(c,d),(g,h) in F+XF+ we have (a,b) ®
(c,d»®(g,h) = (a,b)®(e,d)®(g,h» provided that b~C=l=E, g~d=h.
In this lecture we shall investigate the structure, and special ideals of the partial semigroup P(F+ X F+, ®).
The results of this work play an important role in the theory of systems of chemical
engineering. For the study of the field treated in this leeture, the reader is refferd to
the works [1], [2], [3].
1. The basic properties of the partial semigroup P(F+ X F+ ,®)
Denote L(a,b) resp. R(a,b) the set of all elements (x,y) from F+X F+ for which the
product (x,y)® (a, b) resp. (a, b) ® (x,y) does exist.
Denote H(a) the set of all elements of F+ for which a~Z=fE.
It can be seen at onee that the strueture of L(a,b),[R(a,b)] is essentially determined
by that of H(a), [H(b)] in view of the relations
L(a,b) =
U U
(x,y)
XEP YEH(a)
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Karoly Seitz
220
resp.
R(a,b)
=U
U (x,y).
yEf' xEH(b)
In the ease of aEF+, x,y,zEH(a) one has a~(xy)=t=E, and (xy)z=x(yz), henee it follows
that H(a) is a subsemigroup of F+, furthermore E$H(a) beeause of a~E=E.
The set F+\H(a)=H(a) is a submonoid of F+ beeause EEF+\H(a) and x,y,zEF+\H(a)
imply a~x=E, bLlx=E and aLl(xY)=E whenee xYEF+\H(a) moreover (xy)z=x(yz) in
the semigroup F+.
Theorem 1.1. If a,bEF+, then H(a)nH(b)=H(ab).
Proof. If xEH(ab), then (ab)Llx=E, a~X=E and x~(ab)=E, whenee xEH(ab) and the
inclusion H(a)nH(b)\;;;H(ab) folIows.
Henee in view of the eonverse inclusion
H(ab)\;;;H(a)nH(b) indeed H(a)nH(b)=H(ab).
Henee for any element a of F+ we have
H(an)=H(a), (n= 1,2,3, ... ).
Theorem 1.2. lf a,bEF+ we have
H(ab) = H(a)uH(b).
Proof. Sinee in ease of a,b,xEF+, xLla=t=E, it holds x~ab=t=E, whenee H(a)~H(ab).
Thus indeed H(a)uH(b),;;H(ab), beeause of H(a)\;;;H(ab), H(b),;;H(ab).
lf xEH(ab) then xLlab9=E and henee at least one of the relations x~a=t=E, X~b=fE
holds.
Therefore xEH(a)uH(b) whenee H(ab),;;H(a)uH(b). The inclusions H(a)uH(b),;;
,;;H(ab), H(ab),;;H(a)uH(b) imply
H(ab)=H(a)uH(b).
Denote T resp. T the set of all sets H(z) resp. H(z) where zEF+.
Our results imply that (T, u) and (T, n) are semilattiees.
Denote Sp the set of all elements (pa,pb) in F+ X F+ where E=t=PEF+.
Theorem 1.3. Sp is a subsemigroup of the partial semigroup P(F+ X F+, 18».
Proof. For arbitrary eouple (pa, pb), (pe, pd) of elements in Sp we have
(pa, pb) 18> (pe, pd) = (pae(b~et\ pbd(b~etl)ESp.
Thus it remains to show that
[(pa, pb) 18> (pe, pd)] 18> (pr, ps) =
= (pa, pb) 18> [(pe, pd) 18> (pr, ps)]
provided that (pa, pb), (pe, pd), (pr, pS)ES p.
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On the ideals of partial semigroups
To prove this equality, first we consider the following relations:
(I.)
where
[(pa, pb) QSl (pc, pd)] QSl (pr, ps) =
= (pac(bAct\ pbd(bAct') QSl (pr, ps) =
= (pu,pv) QSl (pr, ps) = (pur(rAvt\ psv(rAvt'),
u=ac(bAct\ v=bd(bAct';
(11.) (pa, pb) QSl [(pc, pd) QSl (pr , ps)] =
= (pa,pb)QSl(pcr(rAdt\ psd(rAdt') =
= (pa, pb) QSl (px,py) = (pax(xAbt\ pyb(xAbt'),
where
x = cr(r Adt' , y = sd(r Adt' .
Next we show that
and
pur(rAvt' = pax(xAbt'
pvs(rAvt' = pby(xAbt'.
It is enough to show the following:
ur(xAb) = ax(rAv),
vs(xAb) = by(rAv).
These equalities can be written in the following equivalent form:
ac(bAct\ [(cr(rAdt')Ab] =
= acr(rAdt' [rA(db(bAct')],
bd(bAct\ [(cr(rAdt')Ab] =
= bsd(rAdt' [rA(db(bAct')],
whence it follows that it is enough to prove the relation
(bAct' [bA(cr(rAdt')] =
= (rAdt'· [rA(db(bAct')].
Since
b=b,(bAc), c=c,(bAc), b,Ac, =E,
r=r,(rAd), d= d,(rAd), d,Ar, =E,
we obtain the following equivalent form of the above equality
resp.
(bAct' [«bAc)b,)A(c,r,(bAc) (rAdt')] =
= (rAdt' [(r,(rAd» A (b,d,(bAc) (rAd) (bAct')],
(bAct' [(bAc) (b,A(c,r,»] =
= (rAdt' [(rAd) (r,A(b,d,»],
which is equivalent to the following
b,A(c,r,) = r,A(b,d,).
But this is true in view of b,Ac, =E, r,Ad, =E, and
b,Ar, = r,Ab,.
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221
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Karoly Seitz
222
2. Ont the ideals of P(F+ X F+ , 0)
Denote J, the set of all elements (a,b) from F+ X F+ for which b=h. If (a,b), (u,v) E
EF+ X F+ and b~U=l=E, then
(a,b)0 (u,v) = (au(b~ut" bv(b~utl) EI,.
It can be seen immediately that (x,Y)0(a,b)EJ" if (x,Y)EF+X F+, y~a=h and (a,b)E
EJ,.
Therefore J, is a partialleft ideal of P(F+ X F+, 0).
Denote J r the set of all elements (a,b) from F+ X F+ for which a=l= E.
If (a,b),(u,V)EF+ X F+ and b~u=l=E, then
(a,b)0(u,v)
= (au(b~ut" bv(b~utl) EJ r •
It can be seen immediately that, (a,b) 0 (X,y)EJ n if (x,Y)EF+ X F+, b~x =1= 10 and (a,b)E
EJ r •
Therefore J r is a partial right ideal of P(F+ X F+ ,0).
It is easy to see, that
and
If x=I=y, X~y=l=E, (x,YEF+) then (E,X) 0(y,E)
this case Y(X~ytl =!= 10 and X(X~ytl =1= E.
If xEF+, then (E,x)0 (X,E)
= (y(x~yt"
X(X~ytl
= (10,10).
Therefore
Denote J p , (E=I=PEF+) the set of all elements (pu,v), (u,vEF+).
If (x,Y)EF+ X F+ and v~x=l= 10, then (pu,V)0 (x,y)
where
=
= (pux(v~xt" vY(V~xtl),
puX(V~xtl = pz, zEF+.
Therefore J p is a partial right ideal of P(F+ X F+, 0).
Denote pJ, (E=I=PEF+) the set of all elements (u,pv), (u,vEF+).
If (x,y)EF+ X F+ and y~U=l=E, then (x,y) 0 (u,pv)
= (xu(y~ur" pyv(y~url),
= pw, wEF+.
=
where PYV(Y~U)"l
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EJ,nJ n because in
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On the ideals of partial semigroups
223
Therefore pJ is a partialleft ideal of P(F+ X F+, 0).
Theorem 1.3. proves that Sp is a subsemigroup of the partial semigroup P(F+ X F+,0).
It is easy to see, that
Jp11 pJ
= Sp.
We conclude that J p 11 p1 is a subsemigroup of P(F+ X F+,0).
Denote ,\)r, (e=l=pEF+) the set of all J p •
It can be seen immediately that for the elements J p, JqE~r we have
JpllJ q
= J pq (p6qf'.
Thereforc .ur = (~r,lI) is a semilattice.
Denotc ,\)10 (e=l=pEF+) the set of all pJ.
It can be seen immediately that for the elements pJ, qJE'\)1 we have
p1 11 qJ = pq(p6q)"' J.
Therefore 2 1= (,\)1011) is a semilattice.
References
[1) A.H. Clifford and G.ß. Preston: The algebraic theory of Semigroups I-lI, Amer. Math.
Soc., Providence R.I.1961; 1967.
[2) K. Seitz and T. ßlickle: The structure of systems, K. Marx Univ. Economics, Dept. Math.,
ßudapest, 1974.
[3] G. Grätzer: Universal Algebra, D. van Nostrad Co. Inc. Princeton, N.J.1968.
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225
Über die Beziehungen
zwischen der Dedekindschen Zahlentheorie
und der Theorie der algebraischen Funktionen
von Dedekind und Weber
Von Walter Strobl, Kaiserslautern
Ursprünglich ganz unabhängige Gebiete der Mathematik, wie Galoistheorie, Zahlentheorie und Funktionentheorie, können durch die Theorie der algebraischen Funktionen verbunden werden. Eine Beziehung der beiden ersten ist durch die Körpertheorie gegeben, wodurch eine algebraische Sprache als Übergang zum Funktionentheoretischen nahegelegt wird. Unter den verschiedenen Möglichkeiten, die Theorie
der algebraischen Funktionen zu entwickeln (je nachdem ob man analytische,
algebraisch-geometrische oder arithmetische Methoden benutzt), besitzt die arithmetische Theorie, die jüngste unter ihnen, einen direkten Zusammenhang mit der
Zahlentheorie. Und allgemein haben ja mit der Zeit algebraische Beweisführungen
das geometrische Bild, das früher in der Arithmetik den Vorrang hatte, ersetzt.
So hat die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen eine besonders
interessante Prägung erhalten. Ihr Ursprung ist in zwei grundlegenden Arbeiten von
KRONECKER und DEDEKIND-WEBER aus dem Jahr 1882 zu finden.
Die zweifellos bahnbrechenden Methoden, die Kronecker für die Theorie der
algebraischen Funktionen mehrerer Veränderlichen entwickelt, sind ebenfalls in der
Zahlentheorie anwendbar; sie verlassen aber niemals die Arithmetik. Hiermit erfüllt
diese Theorie - mit rechtfertigender Absicht - vollständig die Kroneckerschen
Grundsätze der Arithmetisierung der Mathematik.
Die Theorie von Dedekind und Weber scheint weniger anspruchsvoll, weil sie sich
von Anfang an auf algebraische Kurven beschränkt; so ist sie zwischen Zahlentheorie
und Theorie der algebraischen Flächen einzuordnen. Da aber Dedekind und Weber
von der einschränkenden Strenge, mit der Kronecker die Grundlagen der Mathematik
betrachtet, frei sind, gebrauchen sie die Arithmetik nur als Ausgangspunkt und sind
bereit sie zu verlassen, sobald neue algebraische Begriffe hervortreten. Sie beschreiben insbesondere Strukturen wie Körper, Ring, Modul und Ideal, geben erstmals die
abstrakten Definitionen einer Stelle, einer Bewertung, eines Divisors, gewinnen für
die Algebra die funktionentheoretische "Idee der Riemannschen Fläche" und begründen rein formal die Differentialquotienten für algebraische Funktionen. Dedekind und Weber wollten (nur) die Riemannsche Theorie der algebraischen Funktionen allgemein und streng begründen und haben dabei (ohne es sich vorzunehmen)
einen der größten Beiträge zu den Grundlagen der "modernen" algebraischen Geometrie geleistet.
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226
Walter Strobl
Den allgemeinen Untersuchungen unserer Diplomarbeit über die DedekindWeber'sche Abhandlung folgend, wollen wir hier die speziellen Beziehungen, Analogien und Unterschiede zwischen der Zahlentheorie und der arithmetischen Theorie
der algebraischen Funktionen beschreiben. Dabei legen wir einen besonderen Wert
darauf, die schrittweise Loslösung dieser Theorie von ihrem zahlentheoretischen
Ursprung offenzulegen.
Wir beginnen (§§ 1-3) mit einer Beschreibung der historischen Entwicklung der
Theorie der algebraischen Funktionen im 19. Jahrhundert. Dabei konzentrieren wir
uns zunächst vorwiegend auf die arithmetischen Arbeiten von C. F. GAUSS,
L. DIRICHLET und E. E. KUMMER. Hier fällt der Einfluß der "Disquisitiones
arithmeticae" von Gauß und der "Vorlesungen über Zahlentheorie" von Dirichlet
auf die Theorien von Dedekind- Weber und Kronecker auf. Mit den aufgeführten
biographischen Daten möchten wir hauptsächlich die Einwirkungen, Beziehungen
und Entwicklungen, die die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen
beeinflußt haben, hervorheben. Die historischen Ergebnisse, welche die gemeinsamen
Forschungen von Dedekind und Weber betreffen, haben wir aus zum Teil noch unveröffentlichten autographischen Schriftstücken entnommen. Die wichtigsten Vertreter
der nicht-arithmetischen Theorien sind in der beigefügten schematischen chronologischen Aufstellung zu finden.
Der systematische Teil unserer Arbeit beginnt mit dem Vergleich des Begriffs der
"Klassen von äquivalenten algebraischen Funktionen" von B. RIEMANN (1857)
mit den Definitionen des Körpers K der algebraischen Funktionen nach DEDEKIND- WEBER (1882) und L. KRONECKER (1887) in § 4.
Ist IK als eine endliche algebraische Erweiterung des Körpers k(z) der rationalen
Funktionen einer Unbestimmten z (k algebraisch abgeschlossen mit Charakteristik 0)
erklärt, so entsteht mit der Definition des Ringes [) der ganzen algebraischen Funktionen das Problem, eine Basis von [) als Modul über dem Polynomring kfz] aus einer
Basis von K über k(z) zu erhalten. Wir fügen dem Dedekind- Weber'schen Beweis
der Existenz dieser Basen von [) einen Hilfssatz bei, der die praktische Konstruktion
dieser Ganzheits-Basen vereinfachen soll (§ 7).
Als Verallgemeinerung der Norm linearer Abbildungen kann man für jedes Ideal tJ
von [) ein Polynom N(tJ) in z definieren (die Norm von lJ), so daß lJ genau dann prim
ist, wenn N(lJ) linear in z ist. Auf diese Weise lassen sich alle Prim- bzw. Maximalideale von D charakterisieren (§ 8).
Wir schließen unsere Arbeit mit der Konstruktion des Verzweigungsideals nach
Dedekind und Weber.
Die Einschränkung auf einen algebraisch abgeschlossenen Körper k mit Charakteristik 0 bedarf vielleicht einiger Bemerkungen. Zunächst wäre es ebenfalls möglich,
eine (arithmetische) Theorie der algebraischen Funktionen zu entwickeln, wenn k
nicht algebraisch abgeschlossen ist; diese würde sich aber in einigen wesentlichen
Punkten von der Dedekind- Weber'schen Theorie unterscheiden. So wird z. B. von
der algebraischen Abgeschlossenheit von k im Beweis des Fundamentalsatzes, daß die
Norm eines Primideals linear ist, Gebrauch gemacht.
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
227
Die zweite Bedingung (Charakteristik = 0) macht sich hauptsächlich in der daraus
folgenden Separabilität der Erweiterung bemerkbar. Für inseparable Erweiterungen
ist die Diskriminante des Körpers K gleich 0 und die Konstruktion von Normalbasen
nach Dedekind und Weber würde entfallen. Die Inseparabilität erschwert auch die
Definition des Differentialquotienten. Ferner macht die Dedekind-Weber'sche
Beschreibung des Verzweigungsideals von der Eigenschaft Gebrauch, daß der Grundkörper eine nicht-endliche Anzahl von Elementen besitzt.
Die hier zitierten Ausschnitte aus Briefen von H. Weber an R.Dedekind stammen
aus den Schriftstücken, die uns freundlicherweise von Prof. Clark Kimberling (Evansville, U.S.A.) zur Verfügung gestellt wurden. Wir möchten uns nochmals dafür bei
ihm bedanken.
§ 1. Über die Zahlentheorie im 19. Jahrhundert:
Gauß, Dirichlet und Kummer
Der Ausgangspunkt für die Ergebnisse von R. DEDEKIND und H. WEBER, die
eine allgemeine Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen begründen, ist
in einem der ältesten Zweige der Mathematik zu finden: in der Zahlentheorie. Sie gehörte auch zu den Hauptforschungsgebieten dieser Wissenschaft im 19. Jahrhundert.
In der ersten Hälfte desselben erfolgte eine Reihe von grundlegenden Entdeckungen
für die Zahlentheorie, aber erst mehrere Jahrzehnte später erhielten diese Forschungen ein globales Bild in einer einheitlichen Theorie!).
Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) veröffentlichte im Jahr 1801 die Disquisitiones arithmeticae. In ihnen faßte er nicht nur die bisherigen Ergebnisse aus der Zahlentheorie zusammen, sondern ergänzte sie unter anderem mit der Theorie der Kongruenzen, der quadratischen Formen und Reste. Letztere vervollständigte er später
(Theoria residuorum bicuadratorum; commentatio prima (1825), commentatio secunda
(1831» mit neuen Methoden aus der Theorie der komplexen Zahlen, in einem ausführlichen Studium der Teilbarkeit im Ring 'z[i] der "ganzen Zahlen von Gauß".
Hiermit unterstreicht Gauß den zwischen Zahlentheorie und algebraischen Problemen existierenden Parallelismus und beschreibt unter Anwendung der geometrischen Auslegung der Theorie der ganzen algebraischen Zahlen gleichzeitig die
Beziehungen zu den doppeltperiodischen Funktionen. Die Arithmetik erhält auf diese
Weise eine neue Ausdrucksform und eine Strenge, die fast bis zur Jahrhundertwende
wegweisend für die arithmetisch-algebraischen Forschungen waren.
Mit wenigen Jahren Unterschied arbeitete Adrien Marie LEGENDRE (17521833) unabhängig über dieselben Fragen. In seinem Essai sur la theorie des nombres
1) Diese einheitliche Theorie wird z. B. in D. HILBERT [1] und P. BACHMANN [1] entwickelt.
Dirichlet-Dedekinds " Zahlentheorie " enthält - insbesondere was Dedekinds Supplemente
betriff - überwiegend neue Beiträge, so daß der ebenfalls in diesem Werk vorkommende zusammenfassende Charakter zum Teil verdunkelt wird.
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228
Walter Strobl
(1798, zweite Auflage 1808) behandelte er die wichtigsten Eigenschaften der Zahlen
(1816 und 1825 erschienen zwei Supplemente und 1830 eine dritte endgültige Auflage)2).
Legendre selbst äußerte seine Achtung und seine Bewunderung gegenüber der
Eigenart der Methoden von Gauß, die er in seine "Theorie des nombres" aufnehmen
wollte: 3)
" ... Legendre, welcher der höheren Arithemtik einen großen Teil seines Lebens
gewidmet hatte, (mußte) bei der zweiten Ausgabe seiner Zahlentheorie gestehen ... :
er hätte gern sein Werk mit den Gaußsischen Resultaten (sie) bereichert, aber die
Methoden dieses Autors seien so eigenthÜInlich, daß er ohne die größten Umwege, oder
ohne die Rolle eines bloßen Übersetzers zu übernehmen, dieselben nicht hätte wiedergeben können."
Die Disquisitiones arithmeticae waren während eines großen Teils des 19. Jahrhunderts das Lehrbuch für viele Mathematiker jener Zeit. Unter ihnen ist Peter Gustav
Lejeune DIRICHLET (1805-1859), der Nachfolger von Gauß in Göttingen4 ), besonders hervorzuheben. Das Ergebnis seines ausführlichen und langjährigen Studiums
der Disquisitiones ist in seinen Vorlesungen über Zahlentheorie zusammengefaßt, in
denen er die Gauß'schen arithmetischen Forschungen und Ideen darstellt, erklärt und
vervollständigt.
In der von R. Dedekind 1863 erstmals veröffentlichten Form beginnt Dirichlet
mit Untersuchungen über die Teilbarkeit und die Kongruenzen der Zahlen, der quadratischen Reste und Formen. Ihnen folgt die Bestimmung der Anzahl der Klassen, in
welche die binären quadratischen Formen mit gegebener Determinante zerfallen. Die
(Dirichletschen) Supplemente enthalten u. a. Beiträge zur Theorie der Kreisteilung
und der endlichen Reihen.
Obwohl Dirichlet keine eigentliche mathematische Schule gründete - wie es z. B.
Karl Weierstraß in Berlin tat -, so hatte er doch (hauptsächlich durch seine Lehrtätigkeit) einen bedeutenden Einfluß auf die Mathematik seines Jahrhunderts; insbesondere durch seine Schüler L. Kronecker und G. EisensteinS), B. Riemann 6),
R. Lipschitz7) und R. Dedekind, die tief in Dirichlets Gedanken eindrangen.
Trotz dem geringen Altersunterschied hat sich Ernst Eduard KUMMER (18101893) immer als Schüler von Dirichlet (und von Gauß) bezeichnet. Um die Nicht-
2) In F. KLEIN [1], S. 60-62, findet man einen ausführlichen Vergleich zwischen Arbeiten von
Legendre und Gauß.
3) E. E. KUMMER [3], S. 6.
4) Das damalige wissenschaftliche Leben wurde tief durch den Tod von C.F. Gauß (und A.L.
Crelle) im Jahr 1855 geprägt. Wie schon gesagt, übernimmt Dirichlet den Lehrstuhl von
Gauß, und Kummer tritt Dirichlets Nachfolge in Berlin an. In demselben Jahr kehrt Kronecker nach Berlin zurück, und bald darauf erfolgt die Berufung von Weierstraß in dieselbe
Stadt.
5) K.-R. BIERMANN [1], S. 20 und 22.
6) Dirichlets Nachfolger in Göttingen von 1859 bis zu seinem frühen Tod im Jahr 1866.
7) H. MINKOWSKI [1], S.163.
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
229
eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung (die Kummer beim Studium der Kreisteilungskörper vorfand) zu überwinden, adjungierte er sogenannte "ideale Zahlen'(8)
und legte somit den Grundstein für Dedekinds algebraischen Idealbegriff*).
Leopold KRONECKER (1823-1891), Schüler Kummers schon während der
Gymnasialzeit, wird die Arbeiten seines Lehrers fortsetzen. Ferner verallgemeinert
Richard DEDEKIND (1831-1916) Kummers Ergebnisse über die Eindeutigkeit der
Primfaktorenzerlegung in Kreisteilungskörpern auf alle Zahlenkörper. So entsteht die
Dedekindsche Idealtheorie, erstmals erschienen als Supplement zur zweiten Auflage
der Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet im Jahr 1871 (L. DIRICHLET [1]
oder R. DEDEKIND [1] und [3]).
§ 2. Richard Dedekind und Heinrich Weber
Der Einfluß von Gauß erreichte über Dirichlet und Kummer hinaus auch Richard
DEDEKIND. Er war sein letzter Schüler, der unter anderem seine "Methode der
kleinsten Quadrate" bis ins hohe Alter weiter lehrte, seine Forschungen fortsetzte und
aktiv an der Bearbeitung und Veröffentlichung seiner zahlentheoretischen Werke aus
dem Nachlaß mitwirkte 9 ).
Ab 1855 traf Dedekind in Göttingen mit Dirichlet zusammen, wodurch sein Interesse für die Zahlentheorie noch weiter erweckt wurde. Die kommentierte und erweiterte Dedekindsche Herausgabe der "Vorlesungen über Zahlentheorie" von Dirichlet
legte das Fundament, auf das sich die ganze spätere algebraische Zahlentheorie
stützen konnte.
Über ihre gemeinsame Privatdozentenzeit in Göttingen hinaus verband R. Dedekind und B. Riemann (1826-1866) eine enge Freundschaft. So wurde er auch nach
Riemanns Tod mit der Bearbeitung seines Nachlasses beauftragt, und gerade dieser
Umstand brachte R. Dedekind und H. Weber zusammen.
Heinrich WEBER (1842-1913) hatte sein Studium in Heidelberg unter anderen
bei G.ß. Kirchhoff und R. Bunsen begonnen und es in Leipzig bei A.F. Moebius
fortgesetzt. Dieser enge Kontakt mit der Physik führte ihn seit seinem ersten Aufenthalt in Königsberg (1863-1865) dazu, sich intensiv mit Riemanns Beiträgen zur
mathematischen Physik zu beschäftigen. Der starke Einfluß der Riemannschen Ge-
*) Warum sich Kummer mit der Kreisteilungsarithmetik beschäftigte, wird ausführlich von
H. EDWARDS und O. NEUMANN untersucht.
8) Vgl. E.E. KUMMER [2] oder O. NEU MANN [1]. Drei Jahre früher (1844) hatte Kummer
seine Betrübnis und gleichzeitig seine Hoffnung gegenüber diesem Problem zum Ausdruck
gebracht:
"Maxime dolendum videtur, quod haec numerorum realim virtus, ut in factores primos dissolvi possint qui pro eodem numero semper iidem sint, non eadem est numerorum complexorum, quae si esset tota haec doctrina, quae magnis adhuc difficultatibus laborat facile
absolvi et ad finem perduci posset. " (E. E. KUMMER [1], S. 202)
9) Vgl. R.DEDEKlND [2], Bd.2, S.293-306 und E.LANDAU [1], S.64 f.
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230
Walter Strobl
danken machte sich bei H. Weber auch in seinen rein mathematischen Arbeiten bemerkbar 1o), so daß er bald als einer der tiefsten Kenner der Werke Riemanns galt.
Aus diesem Grund übernahm er 1874 (mit Dedekinds Hilfe und auf dessen Bitte) die
Herausgabe der Gesammelten Mathematischen Werke Riemanns.
Weber beschäftigte sich auch mit der Zahlentheorie und ihren Beziehungen zu den
algebraischen und Abel'schen Funktionen, sowie mit Untersuchungen über die elliptischen Funktionen. Sein großes Lehrbuch der Algebra in drei Bänden kann als eine
Zusammenfassung seiner arithmetisch-algebraischen Forschungen aufgefaßt werden.
§ 3. Zur Entstehungsgeschichte der Dedekind-Weber'schen Theorie
der algebraischen Funktionen
Des öfteren wurde in der Mathematik eine bestimmte Theorie zur gleichen Zeit
mit unterschiedlichen Methoden - durch verschiedene Wissenschaftler entdeckt
oder entwickelt. So war es z. B. mit N. I. Lobatschewsky und J. v. Bolyai, N. H. Abel
und E. Galois oder A.M. Leg~ndre und C.F. Gauß (vgl. S. 227). In der Theorie der
algebraischen Funktionen geschah ähnliches, denn im 92. Band (1882) des "Journals
für die reine und angewandte Mathematik" sind zwei ausführliche Abhandlungen zu
diesem Thema erschienen: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen
Grössen von Leopold KRONECKER (Festschrift zu Kummers Doktor-Jubiläum)
und Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen von Richard DEDEKIND und Heinrich WEBER.
Diese gleichzeitige Veröffentlichung erfolgte aber nicht durch Zufall. Dedekind
und Webers Theorie entstand vorwiegend aus ihrem regen Briefwechsel (und einigen
mündlichen Besprechungen) von Januar 1879 bis Sommer 1880 11). Hieraus verfaßte
H. Weber die Abhandlung, die er am 22. Oktober 1880 Kronecker zuschickte 12). Sie
wurde aber zurückgehalten, bis Kroneckers "Festschrift" fertiggestellt und gedruckt
war l3 ). Diese unerwartete Verzögerung leitete später einen Prioritätsstreit ein, zu
dem sich Kronecker fast nicht äußert und dem Dedekind ausweicht 14 ).
'0) Insbesondere in Webers "Theorie der Abel'schen Funktionen,,; die Riemannsche Schöpfung
auf diesem Gebiet hatte er erstmals bei RICHELOT (1808-1875) in Königsberg gehört.
(Vgl. W. LOREY [1], S. 96 f.)
") Dies entnimmt man aus zwei Briefen von R. Dedekind an G. Cantor vom 9.1.1882 und
17.2.1882 (P. DUGAC [1], S. 247 bzw. S. 253).
12) Vgl. P. DUGAC [1], S. 253, sowie R. DEDEKIND und H. WEBER [1], S.184.
Der damalige Herausgeber des sogenannten "Crelle's Journal", Carl Wilhelm Borchardt,
starb im Juni 1880, und bald darauf übernahm Kronecker (zunächst mit Weierstraß) die
Redaktion des Journals.
13) Siehe hierzu P. DUGAC [1], S. 247, 249, 252-254 und S. 277 f., aus dem Briefwechsel
Cantor-Dedekind bzw. Dedekind-Frobenius.
14) Vgl. L. KRONECKER [1], S. 303 f.; P. DUGAC [1], S. 253 f. und S. 280-283, sowie Dedekinds Vorworte zur 3. bzw. 4. Auflage der "Vorlesungen über Zahlentheorie" von Dirichlet.
Für eine genauere Erläuterung des Inhaltes und der Hauptergebnisse von Kroneckers Beitrag
verweisen wir auf W. STROBL [1], S. 25-30.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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" 1900
1950
Chronologische Darstellung der Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen im 19./ahrhundert:
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
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232
Walter Strobl
Was den Briefwechsel zwischen R. Dedekind und H. Weber aus dem Zeitraum
1879 bis 1881 betrifft, scheint fast nur noch Webers Anteil erhalten geblieben zu sein.
Clark Kimberling fand ihn - zusammen mit weiteren Schriftstücken aus Dedekinds
Nachlaß - zufällig 1968 in den Vereinigten Staaten wieder, wohin sie durch Emmy
Noethers Übersiedlung in den dreißiger Jahren gekommen waren. Jetzt sind diese
Briefe in der Universitätsbibliothek in Evansville (Indiana, U.S.A.) aufbewahrt. Aus
den Briefen von Dedekind sind uns zur Zeit lediglich zwei im dritten Band seiner
Werke abgedruckten Fragmente und ein Teil eines kurzen Entwurfes aus seinem
Nachlaß bekannt. Wir hoffen in einer späteren Arbeit ausführlich auf diesen Briefwechsel zurückzukommen und wollen hier und im Folgenden nur einige Ausschnitte
zitieren.
So äußerte sich H. Weber am Anfang ihrer Zusammenarbeit noch sehr zurückhaltend über mögliche Ergebnisse:
( ...)
Königsberg, den 5. März 1879
"Ob die ganze Sache zu etwas Neuem führen wird, müssen wir abwarten. Was wir bis
jetzt haben ist im Grunde nicht neu. Immerhin ist es eine sehr elegante und hübsche
Ausdrucksweise für bekannte Sätze und genügt insofern einem ästhetischen Bedürfnis.
Was ich zunächst davon hoffe ist übrigens eine strenge oder wenigstens allgemeinere
Begründung der Riemannschen Theorie."
( ...)
Aus damaliger Sicht war wohl der eigentliche Wert dieser Abhandlung kaum einzuschätzen. Die in ihr eingeführten algebraischen Begriffe entfalteten sich zu grundlegenden Gedanken der heutigen algebraischen Geometrie und bilden eine der
Quellen des strukturellen Denkens der sogenannten modernen Mathematik.
Den krönenden Abschluß dieser gemeinsamen Forschungen über die Theorie der
algebraischen Funktionen bilden wohl folgende Worte aus einem Schreiben von
Dedekind an Weber am 30.10.1880: 15)
"Ich benutze die Gelegenheit, um Dir nochmals meinen innigsten Dank für die ganze,
beinahe zweijährige Arbeit zu sagen, von der Du so unendlich viel Mühe gehabt hast,
und an der Theil zu nehmen mir die größte Freude und eine bedeutende Bereicherung
an Wissen gebracht hat; es ist ein ganz besonderes schönes Gefühl, sich so bei der Erforschung der Wahrheit zu begegnen, was Pascal in seinem ersten Brief an Fermat
so trefflich ausdrückt: Car je voudrais desormais vous ouvrir mon coeur, s'i! se pouvait,
tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je vois bien que la verite est la meme a Toulouse
et a Paris. Oft habe ich an diese Stelle denken müssen bei den Fortschritten unserer
Arbeit, ... "
§ 4. Der Körper der algebraischen Funktionen nach Dedekind-Weber,
Kronecker und Riemann
1. Die algebraische Zahlentheorie geht von dem Begriff des Zahlenkörpers als
einer endlichen Erweiterung des Körpers CO der rationalen Zahlen aus. DEDEKIND
und WEBER betrachten in ihrer Theorie eine endliche algebraische Erweiterung IK
eines Körpers rationaler Funktionen (d. h. Quotientenkörper eines Polynomringes,
den wir mit k(z) bezeichnen) mit Koeffizienten in einem algebraisch abgeschlossenen
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233
Körper k der Charakteristik 0 in der Unbestimmten Z16); K ist der Körper der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen 17 ).
Auf diese Weise sind die algebraischen Kurven im affinen Raum eingebettet, während in der dainaligen Zeit vorwiegend der projektive Standpunkt untersucht
wurde 18).
Ein Element 8 aus K erfüllt eine irreduzible algebraische Gleichung
(1)
F(z,T) = fo(z) r+f,(z) r-' + '" + fn_,(z) T+fn(z)
mit Polynomen aus k[z] als Koeffizienten, die ohne gemeinsamen Teiler angenommen
werden können 19).
Ist n der Grad der Körpererweiterung IK über k(z), so läßt sich jede algebraische
Funktion TJ aus IK in der Form
TJ = ao + a, 8 + ... + an_, 8n-'
(2)
schreiben, wobei die Koeffizienten ao, a" ... ,an-l rationale Funktionen von z sind; und
umgekehrt gehört jede Funktion TJ, die man in dieser Form darstellen kann, zum
Körper IK. In diesem Fall sagen wir kurz, daß n der Grad von K ist.
Somit ist IK = k(z,8), wobei z und 8 der Beziehung F(z,8) = 0 genügen. Der Transzendenzgrad des Körpers IK in Bezug auf k ist 1, und z ist eine (separable) Transzendenzbasis von IK über k.
2. Diese Beschreibung des Körpers der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen ist äquivalent zur Definition von IK über den Quotienten des Polynomringes
k[z,T] in den Unbestimmten z und T mit Koeffizienten in k modulo des irreduziblen
Polynoms F(z,T).
Die Idee k[z,T]/F(z,T) zu betrachten entstand aus dem Versuch von L. KRONECKER, die algebraischen Begriffe rational bzw. arithmetisch zu behandeln. Er
fÜhrte diese Definition 1887 ein, und A. Kneser ([1]) und H. Weber ([2]) vervollständigten und wandten sie auf die Körper- und Galoistheorie an 20 ).
15) R. DEDEKIND [2], Bd. 3, S. 448.
16) Bei Dedekind und Weber ist eigentlich k = C; diese Verallgemeinerung läßt sich aber ohne
irgend eine Änderung in ihrer Theorie durchführen.
17) Dedekind selbst führt erstmals die Bezeichnung "Körper" schon zehn Jahre früher ein und
begründet dabei diese Namensgebung wie folgt:
"Dieser Name soll, ähnlich wie in den Naturwissenschaften, in der Geometrie, und im Leben
der menschlichen Gesellschaft, auch hier ein System bezeichnen, das eine gewisse Vollständigkeit, Vollkommenheit, Abgeschlossenheit besitzt, wodurch es als ein organisches Ganzes,
als eine natürliche Einheit erscheint." (R. DEDEKIND [3], S. 20).
18) Vgl. E. SCHOLZ [1], S. 231-236.
19) Im folgenden sei e ein primitives Element.
20) L. KRONECKER, "Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik" [2]. Die Tragweite,
die Kronecker dieser Definition zuschreibt, kann man aus einem seiner Briefe an F. Casorati
(vom 21.4.1886) entnehmen:
"Je suis persuade, qu'on ne peut plus traiter la theorie des fonctions sans recourir a la theorie
des nombres; c'est la Oll I'on trouve les fondements de toutes, les mathematiques COmme l'a
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234
3. Zu einer beliebigen nicht konstanten algebraischen Funktion Tj aus K = k(z,8)
erhält man folgendes Diagramm von zwischen kund K liegenden Körpererweiterungen:
/
k
/
~
k(Z)~
~-----n
e,~~
/k(Z,Tj)--f~k(Z,8)= K
/e,
~k(Tj)~n,
~
Die Erweiterung k(z) c K ist durch die Gleichung F(z,8) = 0 n-ten Grades in 8 erklärt. Die Funktion Tj erfüllt eine algebraische Gleichung G(z,Tj) = 0 e-ten Grades in Tj
mit Koeffizienten im Polynomring k[zJ21); falls e = n, gilt auch k(z,Tj) = k(z,8). Sei
ferner
F(Tj; z,8) = R(z,8) - Tj;
dann beschreibt der größte gemeinsame Teiler D(Tj;z,8) von F(z,8) und F(Tj;z,8) mit
Koeffizienten in k[z,Tj] die Körpererweiterung k(l]) c K, d. h. f ist auch der Grad von
Din8.
Unter diesen Bedingungen existiert das primitive Element E der Körpererweiterung vom Grad n, von K über k(Tj). Zusammenfassend gibt es zu jeder nicht konstanten algebraischen Funktion Tj eine weitere Funktion E aus K, so daß k(l],E) = k(z,8); in
der Ausdrucksweise von Dedekind und Weber ([1], S. 234) formuliert; man kann z
und 8 als rationale Funktionen von l] und E ausdrücken (und umgekehrt). Daher kann
jede Funktion von K als unabhängige Variable betrachtet werden und die restlichen
als von ihr abhängig. Oder auch: die nur von IK abhängigen Ergebnisse sind invariant
bezüglich der Wahl der Unbestimmten z.
Folglich stimmt Dedekind-Webers Definition von K auch mit RIEMANNs Begriff "einer Klasse von algebraischen Funktionen, die sich durch rationale Substitution
ineinander überführen lassen: F(z,8) = 0 und F,(z,,8,) = 0 gehören zu derselben
deja reconnu 'summus Gauss'. J'ai aussi trouve, que toute l'algebre sera changee en y introduisant les notions arithmetiques, et vous trouvez dans un memoire, qui paraitra bientöt, qu'il
existe 'un theoreme fondamental de l'arithmetique general' a l'aide duquel on peut se passer
de la notion de 'quantite algebrique' sans perdre rien de la simplicite des methodes. Et je sais
qu'il existe des theoremes tout analogues dans l'analyse!" (E. NEUENSCHWANDER [1],
S.51).
21) Man erhält G(z,1']) durch Elimination von 8 aus dem Gleichungssystem
F(z,8) = 0
{R(z,8) -1'] = 0
R(z,8) ist dabei die Gleichung in z und 8, die nach (2) 1'] erklärt.
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235
Klasse, falls für z und 9 rationale Funktionen von z, und 9, aufzufinden sind, so daß
F(z,9) = 0 übergeht in F,(z,,9,) = 0, und daß gleichzeitig z, und 9, rationale Funktionen von z und 9 sind"22).
§ 5. Der Dedekindsche Ring der ganzen algebraischen Funktionen
Die Gleichung (1) kann man auch in die folgende Form bringen:
(3)
F(z,T) = T n + f,(z) r-' + ... + fn_,(z) T + fn(z)
mit (nicht unbedingt ganzen) rationalen Funktionen von z als Koeffizienten.
Hier lassen sich - wie schon im Fall der rationalen Funktionen - diejenigen albraischen Funktionen auszeichnen, die einen endlichen Wert annehmen für endliche
Werte der Variablen z. Sie heißen ganze algebraische Funktionen von z und sind dadurch charakterisiert, daß die Koeffizienten der Gleichung (3), der sie genügen, ganze
rationale Funktionen von z sind (d.h. Polynome in z). Den Ring der ganzen algebraischen Funktionen von K bezeichnen wir mit 10.
Nach Dedekind und Weber ist ein Ideal ~ von 10 (~* 10) prim, falls es in keinem
anderen eigentlichen Ideal von 10 enthalten ist 23 ). Für sie fallen also die heutigen
Begriffe des Primideals und des Maximalideals zusammen. Diese Identifizierung ist
aber gerade eine charakteristische Eigenschaft der sogenannten Dedekind-Ringe,
dessen axiomatische Beschreibung erstmals Emmy NOETHER ([2]) durchgeführt
hat.
§ 6. Normen, Spuren und Diskriminierung in IK
Die Analogie zur Zahlentheorie zeigt sich auch in der Möglichkeit, in der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen die Begriffe von Norm, Spur und
Diskriminante einzuführen.
Sei {!t" !-t2, ... , !-tn} eine Basis der Körpererweiterung K über k(z) und weine beliebige algebraische Funktion. Wir erklären die Norm und die Spur von wals die
Norm und die Spur der linearen Transformation
m",:K_K
!-t _m",Üt)=w·fl
Mit anderen Worten: die Norm N(w) von w ist die Determinante der Matrix A=(aij)
der Koordinaten der Funktionen m", (fll), ... ,m", (fln) bezüglich der Basis fl" fl2, ... ,/ln.
Die Spur S( w) von w ist die Summe der Elemente der Diagonale dieser Matrix.
Als Diskriminante ß (!-t" ... , fln) eines Systems von n algebraischen Funktionen
!-t',··.,fln (die jetzt keine Basis von K über k(z) zu sein brauchen) bezeichnen wir die
Determinante
22) Mit dieser Definition von B. RIEMANN [2], S. 133, beginnt das Studium der birationalen
Transformationen und·ihrer Invarianten (vgl. z.B. E.SCHOLZ [1], Anhang 2).
23) R.DEDEKIND und H.WEBER [1], S. 209.
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236
S(!Ln . 1l1) ... S(!Ln'!Ln)
Dabei sind die üblichen Eigenschaften von Nonn, Spur und Diskriminante erfüllt.
Zum Beispiel ist die Diskriminante d(1l1, ... ,!Ln) dann und nur dann nicht identisch
Null, wenn die Funktionen 1l1, ... ,!Ln eine Basis von IK bezüglich k(z) bilden.
§ 7. Die Zurücldührung einer Basis der Körpererweiterung IK
auf eine "Ganzheitsbasis" des Ringes D
Die Modulstruktur ist ein weiterer Begriff, der bereits in Dedekinds (und Kroneckers) Zahlentheorie erscheint, und der ebenfalls auf die Theorie der algebraischen
Funktionen übertragbar ist. Er taucht bei Dedekind und Weber in zwei unterschiedlichen Zusammenhängen auf. Erstens bei der Betrachtung des Ringes D als k[z]Modul (mit dem Beweis der Endlicherzeugbarkeit dieses Moduls) und zweitens bei
der Untersuchung der endlichen Untennoduln M = (1l1" .. , /ls) von K über dem Ring
10. Letztere ergeben die sogenannten "gebrochenen Ideale" von 10.
Um dies genauer zu beschreiben, machen wir von folgendem (schon von Dedekind
und Weber fonnulierten) HiHssatz Gebrauch:
Jede algebraische Funktion w läßt sich durch Multiplikation mit einer ganzen nicht
verschwindenden rationalen Funktion a in eine ganze algebraische Funktion überführen. 24 )
Wir können also eine rationale Funktion a von z finden, so daß
aM = (a 1l1' aIl2,"" a/ls)
ein Ideal I des Ringes D ist; somit läßt sich M durch den Quotienten I: a beschreiben.
Ferner ist für zwei Ideale A und C von 10 die Menge
B = {ßEID/ßA~C}
= C: A
ebenfalls ein Ideal von D.
Mit obigem HiHssatz liefert auch jede beliebige Basis 1l1, 1l2," . ,!Ln von K über k(z)
eine nur aus ganzen algebraischen Funktionen bestehende Basis T]1 = a1 1l1' T]2 =
a21l2,· .. ,lln = anlln dieser Erweiterung. Nun zeigten Dedekind und Weber, daß man
aus dieser "ganzen" Basis von IK ein endliches Erzeugendensystem von 10 als k[z]Modul erhalten kann 25 ), die sogenannten Ganzheitsbasen von [)26).
24) Erfüllt w die irreduzible Gleichung
aw' + a,w s - 1 + ... + a.-,w + a. = 0
mit ganzen rationalen Funktionen als Koeffiziepten, so ergibt sich, daß I.l = aw der Gleichung
s
s
s 2
I.l + a, Iot -' + a2 a Iot - + ... + a.-2 as - 3 1ot2 + a.-, as - 2 Iot + a. aSo' = 0
genügt. D. h. Iot ist in D, denn die Koeffizienten dieser Gleichung sind Polynome in z und inssondere ist der Koeffizient Von I.ls gleich 1.
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237
Wir beschreiben kurz diesen Existenzbeweis über das Beispiel des durch die
irreduzible Gleichung dritten Grades
(4)
aoS3+alS2+a2S+a3=O
erklärten Körpers. (Dabei sollen ao, a1. a2 und a3 Polynome in z sein; also ist S ganz,
falls ao konstant ist, und umgekehrt).
Vermöge der Tschirnhausen-Transformation YJ = ao S +
1 geht (4) über in
YJ3 + b 1 YJ + b o = 0
mit Polynomialkoeffizienten b 1 und b o. D.h. YJ ist eine ganze algebraische Funktion
und YJo = 1, YJl = YJ, YJ2 = YJ2 ist eine "ganze" Basis von K.
Falls YJo, YJl und YJ2 nicht den k[z]-Modul D erzeugen, muß es mindestens eine
ganze algebraische Funktion der Form
Xo YJo + Xl YJl + X2 YJ2
z-c
geben, wobei c konstant und Xo,X1.X2 nicht gleichzeitig durch z-c teilbare Polynome
aus k[z] sind. Diese Aussage bildet den Kern der Dedekind- Weber'schen Überlegungen. Sei co, Cl und C2 die kanonische Projektion von XO,Xl bzw. X2 in k[z]/(z-c);
dann ist
(0
= Co YJo + Cl YJl + C2 YJ2
z-c
ebenfalls ganz. Unter der Annahme Coi'O gilt
~«(O,YJ1,112)=
-1)2
(
z-c
Co
Cl
C2
0
0
1
0
0
1
~(11o,111,112)=
cg
= -(
)2 ~(110' 111. 112).27)
z-c
~«(O, 111 YJ2) und ~(YJo, YJ1. YJ2) sind - als Diskriminanten ganzer algebraischer Funktionen - wiederum ganz rational. Also ist (0 genau ganz, wenn das Quadrat ihres
Zählers z-c die Diskriminante von YJo, YJl, YJ2 teilt.
Ferner erzeugt ein System fJ.hfJ.2,fJ.3 ganzer algebraischer Funktionen den k[z]-
Modul D, falls ihre Diskriminante nicht verschwindet und nur einfache lineare Faktoren
besitzt 28 ).
Da der Grad von ~«(O,YJ1.YJ2) kleiner ist als der Grad von ~(YJO,YJ1.YJ2)' liefert der
Übergang von der Basis YJo, YJ1. YJ2 auf das System (0, YJ1. YJ2 - eventuell nach endlicher
Wiederholung des Verfahrens - schließlich eine Ganzheitsbasis von D.
25) R.DEDEKIND und H. WEBER [1], S.193 f. Für einen anderen Beweis siehe: B.L. van der
WAERDEN [2], Bd. 2, S.183 f.
26) Die Diskriminante einer Ganzheitsbasis nennen wir die Diskriminante von [) (oder von IK
bzgl. z) und schreiben ~(D) (bzw. ~z(IK».
27) Falls <:0=0 und Cl '*0 wäre, würden wir analog ~(l)O,W,l)2) betrachten.
28) Diese beiden Sätze sind unabhängig von der Anzahl der Basisfunktionen.
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Die Bestimmung dieser Ganzheitsbasis läßt sich meistens durch folgende Überlegung vereinfachen: Seien Y1 und Y2 die Polynome in z höchsten Grades, die T]1 bzw.
T]2 teilen; somit gilt für ~o=T]o= 1, ~1 =* und ~2=~' daß
1
Y1 Y2
~(~O'~1'~2) =""""22 ~(T]O,T]1,T]2);
und ~(~o, ~1, ~2) enthält im allgemeinen weniger mehrfache Linearfaktoren. Hierzu
wollen wir noch bemerken, daß man die Polynome Y1 und Y2 als die Lösung höchsten
Grades in z des Kongruenzensystems
S(T] ) == 0 (mod. Y1),
S(T]2) == 0 (mod.
S(T]3) == 0 (mod.
bzw.
1
yn.
yn.
berechnen kann.
Oder allgemein:
HILFSSATZ.
Sei T] eine ganze algebraische Funktion, so daß die Funktionen 1, T], ... , T]n-1 eine
Basis der Körpererweiterung IK bzgl. k(z) bilden, und T] der Gleichung
(5)
G(z,T) = r + g1(Z) r- 1 + ... + gn-1(Z) T + gn(z)
genügt, wobei g1' ... ,gn zu k[z] gehören. Dann ist die ganze rationale Funktion y höchsten Grades in z, die T] teilt, die Lösung höchsten Grades in z des Kongruenzensystems
S(T] ) == 0 (mod. y ),
(6)
{
~~:?~. ~.(~~~ . ~2~,.
S(T]n) == 0 (mod. yn).
BEWEIS.
Wir betrachten die algebraische Funktion ~ = ~; sie erfüllt die Gleichung
"n
r
+ ~y "n-1
+ ... + yn-1
gn-1 "r + yn
gn -r
0.
Die Funktion ~ ist ganz, genau dann, wenn die Koeffizienten dieser Gleichung Polynome in z sind; oder gleichbedeutend, wenn y dem Kongruenzensystem
g1 == 0 (mod. y ),
(7)
{
~~ .~ .~ ~~~~: :?.'
gn == 0 (mod. yn),
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
239
genügt. Schreiben wir Si = S(T]i) mit i = 1,2, ... , n, so gilt g1 = -S1 und (wie leicht nachzurechnen ist) 2 g2 = -(S1 g1 +S2). Vermöge der Gleichung (5) erhält man rekursiv,
daß
i gi = -(S1 gi-1 + s2gi-2 + ... + S5-1 g1 +Si)
ist, wobei go = 1 und gj = 0 für alle j < 0 zu setzen ist.
Somit bestimmen sowohl das System (6) wie auch das System (7) notwendige und
hinreichende Bedingungen dafür, daß die algebraische Funktion T] durch y teilbar ist,
wie zu beweisen war.
Den Dedekind-Weber'schen Ergebnissen ist ferner noch hinzuzufügen, daß man
immer eine der Funktionen einer Ganzheitsbasis von D gleich 1 setzen kann 29).
§ 8. Die Idealnorm
1. Die Untersuchung der "Teilbarkeit der Ideale" aus D wird von Dedekind und
Weber mit Hilfe des Begriffs der Norm eines Ideals durchgeführt. In der Definition
dieser Norm zeigt sich erstmals ein Unterschied von der Zahlentheorie. Der Grund
dafür ist, daß in der Zahlentheorie die Koeffizienten der Gleichungen, die die ganzen
algebraischen Zahlen erfüllen, Konstanten sind, während in der arithmetischen
Theorie der algebraischen Funktionen die Koeffizienten der Gleichungen, denen die
ganzen algebraischen Funktionen genügen, rationale Funktionen in z sind.
So genügt es im Fall der Theorie der algebraischen Funktionen nicht, ein System
von Repräsentanten oder Resten modulo des Ideals zu betrachten - wie in der Zahlentheorie -, um die Norm dieses Ideals zu erklären. Durch die Einführung der
transzendenten Größe z ist der direkte Weg nicht mehr möglich. Dedekind und
Weber überwinden diese Schwierigkeit, indem sie die Norm allgemein über endliche
Untermoduln von IK über k definieren 30).
Seien A und B zwei Ideale von D. Die Funktionen !l1 !l2, ... ,!lm von B bilden eine
Basis eines vollständigen Restsystems von B in Bezug auf A, wenn jede Funktion f3 aus
B einer einzigen Kongruenz der Form
f3 == C1!l1 + C2!l2 + ... + cmf.tm (mod. A)
mit konstanten Koeffizienten genügt.
Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Basen eines vollständigen Restsystems sind analog zu charakterisieren, wie im Fall der Basen von IK bezüglich k(z).
Da zB = {zf3/ßEB}cB ist, können wir unter diesen Bedingungen m·m Konstanten Cij bestimmen, die das System
29) Für den Beweis dieses vereinfachten Satzes siehe W. STROBL [1], S. 59-62, oder auch
L. BAUR [1], S.153.
30) Diese endlichen k-Untermoduln von IK nennen sie Schaaren.
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Walter Strobl
240
Z!il
=0
Cll!il
+ C12!i2 + ... + Clmftm (mod. A),
~ :~.: ~2.l:~.~ ~~2.~.~ ~.c~~~.~~~~.. ~~~ .
•• : ••
{
Z!im
=
Cml !il
+ Cm2 ft2 + ... + Cmm ftm (mod. A),
erfüllen. Somit gilt
Cll-Z C12
... Clrn
C2l
C22-Z . .. c2m
....................
-
0 (mod.A),
Cml
Cm2
... Cmm-Z
und wir definieren die Norm von A in Bezug auf B als die (von der Wahl der Basis
unabhängige) ganze rationale Funktion m-ten Grades in Z
Cll-Z C12
~l
~2-Z
Cml
... Clm
... C2m
... Cmm-Z
Für B~A (in Worten: "B teilbar durch A") ist m=O und wir setzen NB(A) = 1. Gäbe
es keine Basis eines vollständigen Restsystems, aus endlich vielen Funktionen bestehend, so ist NB(A)=0 zu nehmen.
Sind ferner M = An Bund D = A + B, genannt das kleinste gemeinsame Vielfache
bzw. der größte gemeinsame Teiler von A und B, so gilt (wie leicht nachzuweisen ist)
NB(A)
= NB(M) = ND(A),
und für drei Ideale ABC von [)
NdA) = NdB) . NB(A).
Die Norm N(A) eines Ideals A von D ist dann allgemein No(A). Der Grad dieser
Norm heißt auch Grad des Ideals.
Es folgt sofort, daß der Ring D das einzige Ideal mit Norm 1 ist. Ebenfalls gilt
N(A· B) = N(A)· N(B)
für zwei Ideale A und B von D.
Die Bezeichnung "Norm eines Ideals" liegt nicht nur wegen der Verallgemeinerung des Normbegriffs einer algebraischen Funktion nahe, sondern auch wegen folgender Beziehung zur "Norm einer Matrix":
Sei !il, ft2, ... ,!An eine Ganzheitsbasis von [) und A ein beliebiges eigentliches Ideal
von [). Dann gibt es eine Basis Ul U2, .•• ,Un von A, so daß
{::::.::::::~'.: ~'~~~,
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
mit Koeffizienten
ist 31 ).
aij
241
aus k[z] und
N(A) = a11' a22····· ann
2. Die entscheidende Eigenschaft der Dedekind-Ringe, daß ihre Ideale durch zwei
Ringelemente erzeugt werden können (wodurch sie als unmittelbare Verallgemeinerung der Hauptidealringe beschrieben werden), drücken Dedekind und Weber in
folgendem Satz aus:
Jedes I deal von [) ist der größte gemeinsame Teiler zweier Hauptideale. (DEDEKIND und WEBER [1], S. 213).
Um das konstruktiv zu beweisen, machen sie von dem Hilfssatz Gebrauch, daß für
ein Ideal I von [) zu jedem Polynom f(z) aus k[z] eine Funktion fA. in I existiert, so daß
die Norm N1«fA.» des Hauptideals (fA.) bzgl. I keinen gemeinsamen Teiler mit f(z) hat.
In Bezug auf diesen Hilfssatz bemerken sie, daß die Möglichkeit, ihn schon jetzt in
ihrer Theorie zu beweisen, einen grundlegenden Unterschied zur Zahlentheorie vorweist und somit erhebliche Vereinfachungen herbeiführt.
Den Grund zu dieser Möglichkeit liefert wiederum, daß IK eine algebraische Körpererweiterung von k(z) ist, während ein (klassischer) Zahlenkörper eine algebraische
Erweiterung von Q ist. Und immer wo dieser Unterschied zum Ausdruck kommt,
wird die Analogie zwischen der Zahlentheorie und der arithmetischen Theorie der
algebraischen Funktionen aufgehoben.
3. Die Norm der Primideale in [). In der Zahlentheorie kann die Norm eines Primideals ganzer algebraischer Zahlen eine positive ganzzahlige ("4= 1) Potenz einer
"Primzahl" sein. Aber es ist nicht möglich, ein zahlentheoretisches Ergebnis zu finden, das folgender Charakterisierung der Primideale in [), als derjenigen Ideale mit
linearer Norm, entspricht.
SATZ.
Ein Ideal in [) ist genau dann prim, wenn es vom ersten Grad ist (DEDEKIND und
WEBER [1], S. 216 f.).
Hieraus folgt, daß für jedes PrimideallJ in [) (lJ"4=[) mit Norm N(lJ)=z-c1 eine
Basis der Art
ß1 =
{
Z- C1,
~~ =~~~~~'.
ßn - fA.n-cn,
gefunden werden kann, wobei C"C2"" ,CD Konstanten und fA.1 = 1 (vgl.S. 239), fA.2,···, fA.n
eine Basis von IK bezüglich k(z) sind 32).
31) Für den Beweis siehe W. STROBL [1], S. 66-70. Dedekind und Weber ([1], S. 203-206)
zeigen diesen Satz sogar für gebrochene Ideale aus 10.
32) Siehe W. STROBL [1], S.76 oder L.BAUR [1], S.153.
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242
Walter Strobl
Somit erhalten die Basen der Prim- bzw. Maximalideale in ID eine ähnliche vereinfachte "lineare" Form, wie die Basen der Maximalideale in Polynomringen von n;;; 1
Unbestimmten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.
§ 9. Das Verzweigungsideal und die Punkte der Riemannschen Fläche
R. Dedekinds guter Freund (und Lehrer) Bernhard RIEMANN (1826-1866)
hatte in seinen Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer Veränderlichen komplexen Größe (1851) "mehrblättrige Flächen" als Definitionsbereich analytischer Funktionen eingeführt und sie selbst in der Theorie der Abelschen Functionen
(1857) für die Behandlung der Integrale von algebraischen Funktionen weiterentwickelt (B.RIEMANN [1], Art. 5 und [2]).
Die Punkte der Riemannschen Fläche - und überhaupt Riemanns Ideen - abstrakt algebraisch zu begründen, ohne von der Stetigkeit und der Reihenentwicklung
der algebraischen Funktionen Gebrauch zu machen, war eines der Hauptziele der
Arbeit von Dedekind und Weber.
Die Schwierigkeiten, die sie wiederholt in Zusammenhang mit der Definition der
Punkte der Riemannschen Fläche vorfanden, waren - wie aus ihrem Briefwechsel
hervorgeht - nicht leicht zu überwinden. So findet man z. B. in einem Schreiben an
R. Dedekind einen Vorschlag von H. Weber, ihrer arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen eine Form zu geben, die der endgültigen Darstellung sehr nahe
kommt:
Königsberg 18. Dez. 1879
( ...)
"Die hauptsächlichste Schwierigkeit erblicke ich nur noch in der Definition des ,Punktes
der R. Fläche' und ich habe in der letzten Zeit mancherlei darauf bezügliche Versuche
gemacht, die mich zu der Überzeugung geführt haben, daß es das Beste sein dürfte, zu
Deiner ursprünglichen Begründung der Idealtheorie zurückzukehren, wo dann möglichst lange von den Punkten gar nicht die Rede ist, sondern nur von Primidealen. Von
da aus würde es dann wohl nicht schwer sein, den Begriff ,Punkt' in ganz befriedigender
Weise einzuführen. Dann würde die Idealtheorie in ihr volles Recht eintreten und der
von mir eingeschlagene Weg stellt sich dar als eine Peti tio Principii."
( ... )
Ihre Anstrengungen, diese Schwierigkeiten zu überwinden, ergab die damals völlig
neue und inzwischen grundlegend gewordene Definition der Stellen und der Bewertungen des Körpers K Dabei stützen sie sich auf die Möglichkeit, jede ganze algebraische Funktion mit einer Konstanten modulo eines Primideals zu identifizieren, die
wiederum aus der Beschreibung der Primideale als Ideale ersten Grades folgt.
Dedekind und Weber erklären die Punkte der Riemannschen Fläche über die
Primideale ganzer algebraischen Funktionen. Dabei sind die Verzweigungspunkte
durch besondere Primideale gegeben, und zwar durch die (Prim-)Faktoren des sogenannten Verzweigungsideals.
Das Verzweigungsideal ~ hat die Eigenschaft, daß seine Norm N(~) gleich der
Diskriminante dz(lK) von K bezüglich z ist. D.h. die Linearfaktoren der Diskrimi-
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
243
nanten müssen mit den Normen der Primideale, in die das Verzweigungsideal faktorisiert, übereinstimmen.
Die Dedekind-Weber'sche Konstruktion des Verzweigungsideals erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst ist eine Beziehung zwischen der Diskriminanten einer Basis
1,8, ... ,8n - l von IK über k(z) und der Ableitung F'(8) der irreduziblen Gleichung (3),
die 8 definiert, herzustellen. So gilt
~(1,8, ... ,8n-l)
= ± N(F'(8)).
Sei nun z-c ein Linearfaktor der Diskriminanten von Kund
(z-c) =
.\J~l . .\J~2 ..... .\J~s,
mit nl + n2 + ... + ns = n und 1 ~ s ~ n, die "Primfaktorenzerlegung" des durch z-c
erzeugten Ideals in D; so existiert eine ganze algebraische Funktion t-t, die das Kongruenzensystem
t-t
{
= Cl (mod . .\Jl),
:.:.
~2. ~~~~: ~~).'.
t-t = Cs (mod . .\Js),
erfüllt, wobei Cl, C2, ... ,Cs untereinander verschiedene Konstanten sind, und außerdem
ist 1, t-t, ... , t-tn - l eine Basis von K bezüglich k(z).
Die Rolle der Konstanten Cl, C2, ... , Cs wird durch folgende Eigenschaft der Funktion t-t beschrieben: Für eine beliebige Konstante a gilt die Kongruenz
t-t
=a (mod . .\Ji)'
dann und nur dann, wenn a=Ci ist (i=1,2, ... ,s). Und t-t-a kann nie in.\J~ enthalten
sein.
Ist f(z,T) die irreduzible Gleichung n-ten Grades in T mit Koeffizienten in kfz], der
t-t genügt, so ist ferner ni-1 die höchste Potenz von.\Jh der f~(z,t-t) angehört.
Hieraus folgt, daß ~z(K) nur solche Linearfaktoren z-c enthalten kann, die durch
eine Potenz e> 1 eines Primideals teilbar sind. Das Verzweigungsideal läßt sich nun
als das Produkt der Primideale .\J in D, deren Norm N(.\J) in .\Je (mit e> 1) enthalten ist,
bestimmen. Es gibt nur eine endliche Anzahl solcher Ideale, denn (z_c)n-l ist die
höchste Potenz von z-c, die die Diskriminante ~z( K) teilt.
Mit der Grundlage der (aus der Dedekindschen Zahlentheorie entwickelten)
Idealtheorie für die algebraischen Funktionen konnten Dedekind und Weber die
Ideen Riemanns algebraisch erklären. Hierzu beschreiben sie erstmals die Punkte der
Riemannschen Fläche als Äquivalenzklassen von Stellen des Körpers K, wobei der
Begriff der Riemannschen Fläche unabhängig von der Wahl der Variablen z ist. Im
Gegensatz dazu ist die Bestimmung von z entscheidend für die Begriffe: der Dedekindsche Ring D der ganzen algebraischen Funktionen und seiner Ideale, Norm,
Spur, Diskriminante, Ganzheitsbasen.
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244
Walter Strobl
Wie diese Idee des Punktes der Riemannschen Fläche zustande kam, läßt sich aus
einem Entwurf eines Briefes von R. Dedekind an H. Weber (aus der Zeit 18791880) entnehmen (vgl. S. 232): 33)
"Ich denke mir, die ganze Theorie müßte von Anfang an noch mehr mit dem Streben
nach invarianten Begriffen aufgebaut werden, und dabei komme ich immer mehr wieder
auf Riemann zurück. Vor Allem müßte, wenn die algebraische Gleichung zwischen s
und z gegeben ist (aus der sich der Körper Q [= IK) entwickelt), jeder Punct deutlich
charakterisiert und der Inbegriff raller dieser Puncte genau beschrieben werden, in der
Weise, daß wirklich alle Functionen in Q als einwerthige Ortsfunctionen in rerscheinen.
Dann scheint es zweckmäßig, Systeme von m Puncten (rn-ecke) wie Producte von m
Puncten zu bezeichnen und wieder miteinander zu multiplizieren; jedes Punctsystem ist
Product von Punctpotenzen. Eine Function z, die in n Puncten a (dem Zähler von z)
verschwindet und in n Puncten b (dem Nenner von z) unendlich wird, ist = const.
n heißt die Punctzahl von z; zwei solcher Punctsystemea,,&.(ebenso ac,.frc) können
äquivalent heißen; 11 = ist eine ganze Function von z =!:., wenn b' keine anderen
Puncte enthält wie.tr. Ein Ideal a in z ist der Inbegriff aller functionen 11, deren Nenner
Ii keine anderen Puncte enthalten wie,6.[sic], und deren Zählera' durch das Product der
Grundpuncte von a theilbar sind; ein Ideal a ist daher (unabhängig von z) völlig bestimmt, sobald die voneinander verschiedenen Nennerpuncte (oder ihr durch kein
Punctquadrat theilbares Product P) und das volle System seiner Grund- oder NuUpuncte gegeben ist; es kann daher Ideal in Pstatt Ideal in z genannt werden."
y;
Y
In der Fortsetzung ihrer Abhandlung verlassen nun Dedekind und Weber endgültig
das zahlentheoretische Gebiet und konzentrieren sich voll auf algebraisch-geometrische Überlegungen, deren Hauptergebnis der Satz von Riemann - Roch ist.
Dabei formulieren sie diesen Satz erstmals als eine Beziehung zwischen Dimension
und Grad von Divisoren.
Literatur
AUBRY, A.: "Sur les travaux arithmetiques de Lagrange, de Legendre et de Gauss", L'ens.
math. 11 (1909), serie I, S. 430-450.
BACHMANN, Paul: Zahlentheorie, 5 Bde., Teubner Leipzig, neue Auflage 1968.
BAUR, Ludwig: "Zur Theorie der Dedekind'schen Ideale", Math. Ann. 32 (1888), S.151-156.
[2]: "Zur Theorie der Functionen eines cubischen Körpers", Math. Ann. 43 (1893), S. 505-520.
[3]: "Zur Theorie der algebraischen Functionen",J. f. Math. 116 (1896), S.167-170.
BIERMANN, Kurt-R.: "Gotthold Eisenstein", J. f. Math. 214/215 (1964), S.19-30.
[2]: "Richard Dedekind im Urteil der Berliner Akademie", Forsch. u. Fort. 40 (1966), S. 301302.
[3J: "Richard Dedekind", Dictionary oi scientiiic biography, Scribner, New York, Bd. 4, S. 1-5,
1971.
BOREWICZ, Senon 1. und SAFAREVIC, Igor R.: Zahlentheorie, Birkhäuser Verlag, Basel
und Stuttgart 1966.
33) Dieses im Nachlaß ungenau datierte Schriftstück Dedekinds wurde uns freundlicherweise von
Dr. Klaus Haenel (Handschriftenabteilung der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen, Cod. Ms. Dedekind XIII, 2) zu 89) im Einverständnis mit Frau Ilse
Dedekind zur Verfügung gestellt.
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Dedekindsche Zahlentheorie und Theorie der algebraischen Funktionen
245
BOURBAKI, Nicolas: Elemente der Geschichte der Mathematik, Vandenhoeck & Ruprecht,
Göttingen 1971.
BRILL, Alexander v. und NOETHER, Max: "Die Entwicklung der Theorie der algebraischen
Funktionen in älterer und neuerer Zeit", Jb. dt. Math.-Ver. 3 (1892-1893), S.107-566.
CANTOR, Moritz (Hg.): Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Teubner Stuttgart 1965,
4 Bde.
COURANT, Richard: "Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre", Die
Naturwissenschaften 14 (1926), S. 813-818 und S.1265-1277.
DEDEKIND, Richard: "Sur la theorie des nombres entiers algebriques", Bult. sei. math. et astr.
11 (1877), serie I, S. 278-288, Bd.l (1877), serie II, S. 17-41, 69-92, 144-164 und 207248.
[2]: Gesammelte mathematische Werke, R. Fricke, E. Noether und Ö. Ore (Hgr.), 2 Bde.,
Chelsea 1969.
[3]: Ober die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, Vieweg Braunschweig 1964.
DEDEKIND, Richard und WEBER, Heinrich: "Theorie der algebraischen Functionen einer
Veränderlichen", f. f. Math. 92 (1882), S.181-290.
DEDEKIND, Richard: "Adresse der Deutschen Mathematiker-Vereinigung zum goldenen
Doktorjubiläum des Herrn Geheimen Hofrat Prof. Dr.", Jb. dt. Math.-Ver. 11 (1902),
S.206-207.
[2]: "Die Akademien zu Paris und Berlin über ... ", Braunschw. Mag. 22 (1916), S. 82-84.
DIEUDONNE, Jean: Cours de geometrie algebrique, 2 Bde., Presses Universitaires de France
1974.
DIRICHLET, Lejeune: Vorlesungen über Zahlentheorie, R. Dedekind (Hg.), 1. Aufl. 1863,
2.AufI.1871, 3. Aufl. 1879-1880, 4. Aufl. 1894, Chelsea 1968.
DUGAC, Pierre: Richard Dedekind et les fondements des mathematiques, Librairie Philosophique
J. Vrin, Paris 1976.
EDWARDS, Harold M.: "The genesis of idealtheory", Arch. hist. ex. sei. 23 (1980), S. 321-378.
EICHLER, Martin: Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart 1963.
FROBENIUS, Georg: "Adresse an Herrn Richard Dedekind zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 18. März 1902", Sb. Pr. Ak. Wiss. Berlin 1902, S. 329-33l.
[2]: "Adresse an Herrn Heinrich Weber zum fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 19. Februar
1913", Sb. Pr. Ak. Wiss. Berlin 1913, S. 248-249.
GAUSS, Carl F.: Untersuchungen über höhere Arithmetik, H. Maser (Hg.), Chelsea, New York
1965.
GRÖBNER, Wolfgang: Algebraische Geometrie !' Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.
HASSE, Helmut: Zahlentheorie, Akademie-Verlag, Berlin 1949.
HENSEL, Kurt und LANDSBERG, Georg: Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen und ihre Anwendung auf algebraische Kurven und abelsche Integrale, Chelsea, New York
1965.
HILBERT, David: "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jb. dt. Math.-Ver. 4 (1894/
1895), S.175-546+xviii.
KLEIN, Felix: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Springer,
Berlin, Heidelberg, New York 1979.
[2]: "Riemann und seine Bedeutung für die Entwicklung der modernen Mathematik", Jb. dt.
Math.- Ver. 4 (1894/1895), S.71-87.
KNESER, Adolf: "Arithmetische Begründung einiger algebraischer Fundamentalsätze", f. f.
Math.l02 (1888), S. 20-55.
[2]: "Leopold Kronecker, Jb. dt. Math.-Ver. 33 (1925), S. 210-228.
KRONECKER, Leopold: "Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen",
f. f. Math. 92 (1882), S.I-122.
[2]: "Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik", f. f. Math. 100 (1887), S. 490-510.
http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00051944
Digitale Bibliothek Braunschweig
246
Walter Strobl
KRULL, Wolfgang: Idealtheorie, 2.Aufl. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1968.
KUMMER, Ernst Eduard: "Die numeris complexis qui radicibus unitatis et numeris integri
realibus constant", J. math. pur. et appl.12 (1847), S.185-212, 1. Veröff.1844.
[2]: "Zur Theorie der komplexen Zahlen", J. f. Math. 35 (1847), S. 319-326.
[3]: "Gedächtnisrede auf Gustav Peter Lejeune Dirichlet", Abh. Kö. Ak. Wiss. Berlin 1860,
S.I-36.
LAMPE, Emil: "Nachruf auf Ernst Eduard Kummer", !b. dt. Math.-Ver. 3 (1894), S.13-28.
LANDAU, Edmund: "RichardDedekind", Nachr. Kö. Ges. Wiss. Göttingen, Gesch. Miu. 1917,
S.50-70.
LOREY, Wilhelm: Das Studium der Mathematik an den deutschen Universitäten seit Anfang des
19.!ahrhunderts, Teubner, Leipzig und Berlin 1916.
MINKOWSKI, Hermann: "Peter Gustav Lejeune Dirichlet und seine Bedeutung für die heutige
Mathematik", !b. dt. Math.-Ver.14 (1905), S.149-163.
NEUENSCHWANDER, E.: "Der Nachlaß von Casorati (1835-1890) in Pavia", Arch. hist. ex.
sci.19 (1978), S.I-89.
NEUMANN, Olaf: "Bemerkungen aus heutiger Sicht über Gauß' Beiträge zu Zahlentheorie,
Algebra und Funktionentheorie", NTM 16 (1979), S. 22-39; fortgesetzt in: "Zur Genesis
der algebraischen Zahlentheorie", NTM 17 (1980), 1, S. 32-48 und NTM 18 (1980) 2,
S.38-58.
NOETHER, Emmy: "Die arithmetische Theorie der algebraische,n Funktionen einer Veränderlichen, in ihrer Beziehung zu den übrigen Theorien und zu der Zahlentheorie", !b. dt. Math.Ver. 28 (1919), S.182-203.
[2]: "Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern",
Math. Ann. 96 (1927), S. 26-61.
PURKERT, Walter: "Zur Genesis des abstrakten Körperbegriffs", NTM 8 (1973),1, S. 23-27
und NTM 10 (1973), 2, S. 8-20.
RIEMANN, Bernhard: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen komplexen Größe, Inauguraldissertation, Göuingen 1851.
[2]: "Theorie der Abelschen Functionen", J. f. Math. 54 (1857), S.115-155.
SAMUEL, Pierre: Teoria algebraica de numeros, Omega, Barcelona 1972.
SCHOLZ, Erhard: Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincare, Birkhäuser
Verlag, Boston, Basel, Stuttgart 1980.
SCHOENEBERG, Bruno: "Heinrich Weber", Dictionary of scientific biography, Scribner, New
York, Bd. 14, S. 202-203,1976.
STROBL, Walter: Desarrollo historico y sistemdtico de La teoria aritmetica de las funciones algebrdicas de Dedekind y Weber, Tesis de Licenciatura, Madrid 1980.
STRUIK, Dirk, J.: Abriß der Geschichte der Mathematik, 4. Aufl., Vieweg, Braunschweig 1965.
STULOFF, Nikolaus: "Richard Dedekind", NDB 3 (1957), S. 552 f.
VOSS, A.: "Heinrich Weber", !b. dt. Math,-Ver. 23 (1914), S. 431-444.
WAERDEN, B.L. van der: "Die Algebra seit Galois", !b. dt. Math.-Ver. 68 (1966), S.155-165.
[2]: Algebra, Springer, Berlin, New York, Heidelberg, Bd.l, 8. Auf1.1971 , Bd.2, 5. Auf1.1967.
WEBER, Heinrich: "Leopold Kronecker", !b. dt. Math.-Ver. 2 (1892), S. 5-32.
[2]: "Untersuchungen über die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie",
Math. Ann. 43 (1893), S. 521-549.
[3]: Lehrbuch der Algebra, 3 Bde., I.Aufl.I898, 3.Aufl. Chelsea, New York.
WEYL, Hermann: Algebraische Zahlentheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim 1966.
ZINCKE, Hans (gen. SOMMER): "Erinnerungen an Richard Dedekind", Braunschw. Mag. 22
(1916), S.73-81.
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247
Some results connected to Dedekind's Zeta functions
By Robert W. van der Waall, Amsterdam
On behaU of the 150th anniversary of R. Dedekind's birthday on 6 Oetober 1831
we present three results in which Dedekind zeta funetions and Artin L-funetions are
involved. In a) we recall the main contents of our paper [4]. In b) the construction of
a holomorphic Artin L-function L(s,X,K/k) is given for which X is a non-monomial
irreducible charaeter of a certain group G. In c) we regard the group GL(2,3) and we
construct some relations among Artin L-functions derived from it.
The notation and conventions are those of A. Fröhlich's book "Algebraic Number
Fields", Acad. Press, London, 1977, of B. Huppert's book "Endliche Gruppen, I",
Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1967, and of I.M. Isaacs' book "Character
theory of finite groups", Acad. Press, London, 1976. References to these sources are
written [F], [H], [I] respectively. Representation theory of groups is done over the
complex number field.
a) (1977, [F], pages 649-662; see also [4] in which the explicit proofs are given)
Let L be an algebraic number field (= extension field of finite degree of the rational
field (0). Let
tL(s) = L (NafS,
a
defined in the domain Re(s) > 1, the summation being extended over all integral
ideals of L. The funetion tL(S), s complex variable, is called the zeta funetion of Dedekind. The zeta funetion tL(S) converges absolutely and uniformly in the domain
Re(s)iS: 1 +Ö, any Ö>O. It was E. Hecke, who found the funetional equation for tL(S)
and he proved that tL(S) has an analytic continuation over the whole complex plane,
with the sole exception at the point s= 1, where there is a simple pole. Notice that
tQ(s) is just the ordinary Riemann zeta function.
In [1], E. Artin poses the following conjeeture.
CONJECTURE. Let M be a finite extension of L. Then tM(S)/tL(S) is holomorphic
in the whole complex plane.
In my 1977-survey paper in [F] I gave some cases for which the conjecture becomes a theorem. The main result was the following
THEOREM. Let Q;;;lM;;;lL be fields with [Q : L]<oo. Suppose that Q/L is a galois
extension with Gal(Q/L) a solvable group. Then tM(S)/tL(S) is a holomorphic
funetion.
The proof is based on the following proposition proved in [4].
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Robert W. van der Waall
248
PROPOSITION.
galois extension
H = Gal(X/Y) is
abelian subgroup
LetX;;;)Y~L
be fields with [X: L]<oo and assurne that X/L is a
with galois group G = Gal(X/L). Furthermore assurne that
a maximal subgroup of G and that G = HA, with A some normal
of G with Hn A = {1}. Let '\jJ be the principal character of H. Then
t
L
'\jJG =e+
ej,
i=1
where e is the principal character of G and where the ej are non-principal monomial
irreducible characters of G; here t~ 1 and ej "" em if j "" m. Therefore, by Artin's
formalism,
~y(S)/~L(S)
t
=
TI
L(s,ej,X/L)
i=1
is a holomorphic function.
b) Let r be a prime number with r= 3 (mod 4). Let Ebe an extra special r-group of
order r 3 and of exponent r, that is,
E = <s,t,z 1sr = t r = zr = [s,z] = [t,z] = 1, z = [s,t] >.
The quaternion group Q of order 8 acts on E as folIows. Let
Q = <p,q 1p4 = 1, p2 = q2, q-1 pq = p-1 >.
It is weil known that every element of any finite field is a sum of two squares in that
field. Thus we can choose
a,ßEZ with a 2 +ß2 = -1 (mod r). Set sP = S"t I1 , t P = sllt- a , sq = t, tq = 5- 1.
Let G be the relative holomorph of E with Q. The concept is dear. It follows that
zP = z, whence Z(E) = Z(G). Let XE Irr E be an irreducible character of E with
X(1) = r. Let X(z) = rw,w some rth-root of unity with w =F 1. By theorem V.16.14 of
[H], XE Irr E is the unique irreducible character of E for which (XZ(E),A) ~ 1, with
A(Z) = w, AElrr Z(E). Define f!EIrr <s,z> by f!(s) = 1, f!(z) =A(Z) =w. Hence f! is
a 1-dimensional character with Ker f! = < s >. The group H = < S,Z,p2 > has order 2r 2
and H admits precisely two distinct 1-dimensional characters 1;1 and 1;2 with 1;11<5,z> =
1;21<"L> = f!. By theorem V.16.14 of [H] again, we have f!E = X. The character X can
be extended to a character XEIrr G, by theorem V.17.12 of [H]. Hence we have
XG =
5
L '\jJj(1)(XQSl\lJj),
i=1
where '\jJ1, '\jJ2, '\jJ3' '\jJ4 are the 1-dimensional characters of Q, regarded as characters of
G/E, inflated to G; '\jJs E Irr G is the 2-dimensional character of G/E, regarded as
character of G. The five distinct characters XQSl '\jJ" ... , X®'\jJs are precisely all irreducible characters of G lying over X. Next remark, that (X QSl'\jJj)E < p2 > gives rise to one
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Some results connected to Dedekind's Zeta functions
249
irreducible character Yj E Irr E < p2 > for any i = 1,2,3,4 with YjE = X. Hence XE< p' > =
Yj + (Yj 0b), where Yj 0b Elrr E<p2>, Yj ~ 1]0b, b(f) = 1 for all fEE, b(f) = -1 for
all fEE< p2 > - E. Let cp Elrr 0 have Yj 0b in its restrietion to E < p2 >. Hence X is
contained in CPE' Therefore CPEt~0'\)!ili=I,2,3,4,5} and we see that cp=X0'\)!s.
It follows that
4
«X0 1Vs)E<p'>'Yj) = (X0'\)!s,YjG) = (X01Vs,
L:
(X01V;) = O.
i=1
Thus (XQ9'\)!s)!<p'> = 2(r10b). By Frobenius' reciprocity for groups we have now
(110b)G=2(X 0 '\jJs)+ ... , but also (Yj0b)<i(I)=4«Yj0b)(1»= 2«X 0 1Vs)(I)).
Hence (f]0b)(;=2(X01Vs). Now f-t E<p'>=X E<P'>=Yj+(1]0b)=(f-t H )E<p'>=
~,E<p'> + ~/< 1">. As Yj E Irr E < p2 > and Yj 0b E Irr E < p2 > we can choose ~2E< p'>
= Yj 0b. Hence ~2G = (f] Q9b)(; = 2(X0'\jJs).
Let 0 be the galois group of the galois extension M/L. Let Q be the invariant field
for H. Then L(S'~2,M/Q) = L(S'~2G,M/L) = L(s,2(X0'\jJs),M/L) = (L(s,XQ9'\jJs,M/L»2
is a holomorphic function as L(S'~2,M/Q) is a Hecke-Dirichlet L-function because of
~2(1) = 1. A result of R. Brauer yields that L(s,XQ9'\jJs,M/L) is a meromorphic
function, see Theorem V.19.3 of [H]. Hence L(s,X 0'\jJs,M/L) itself is now holomorphic. We have (XQ91Vs)(I) = 2r. We shall show that 0 does not contain subgroups
of index 2r, that is, X0'\jJs is not a monomial character. Indeed, let U c 0 be a subgroup of 0 with index 2r. Since E is anormal subgroup of 0, we have EUlE ==
U/(E n U). If 0 = UE, then 2r = [0 : U) = [UE : U] = [E : (E n U)] divides lEI = r3 ,
a contradiction. Therefore 0 ~ UE, i.e. [UE : U] = [E : (E n U)] divides lEI = r3 .
Since E is the Sylow r-subgroup of 0, UE ~ U. Thus [0 : UE] = 2. Now UE is equal
to E<p>, E<q> or E<pq> and this exhaust aIl possibilities. However, <p>,
< q> and < pq > operate irreducibly by conjugation on E/Z(E), as p2 = q2 = (pq)2
inverts any element of E/Z(E) and as r=:= 3 (mod 4). Therefore such a group U does
not exist.
Finally we note that the case r = 3 was found by J. O. Thompson (letter to J. P.
Serre, dated July 27,1974).
c) We refer to [3]. Let 0 = OL(2,3). The group 0 is solvable and 101 = 48. According to I. Schur (1907) 0 has the foIlowing character table.
representant of
conjugacy class
number of eI.
in conj. class
'\jJ,
'\jJ2
'\jJ3
'\jJ4
'\jJs
'\jJ6
'\jJ7
'\jJB
1
1
2
2
2
3
3
4
1
-2
-2
2
3
3 -4
( 0110)
(-10)
0-1
1
(0-1 )
10
6
1
1
0
0
(-?O
8
1
1
1
1 -1
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2 -1 -1
0
0
0 -1
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Robert W. van der Waall
250
representant of
conjugacy dass
number of el.
in conj. dass
8
1
1
-1
o
12
1 -1
6
1 -1
6
1 -1 -iy'2'
-1 -1
o
iy'2' -iy'2'
iy'2'
0
0
1
1-1
o
0
0 -1
1
o
0 -1
1
o
4
Let b=<-?D. Hence l<b>I=6. Let aElrr <b> with a(I)=a(b 2) =a(b ) = 1,
a(b) = a(b 3 ) = a(b5 ) = -1. Notice that b 3 = (o~?). It follows that a G = 2'1\'8' Let
e = e 2"i/6. Define y(bt ) = e' for 1 ~t~ 6 and write y(b') = y(b- t ); whence y,y Elrr <b>.
We have
yG = '1\'3 +'1\'4 +'1\'8 =yG.
Therefore 2('1\'3 + '1\'4) = yG + yG _aG.
Next, let M/S be a galois extension with G == Gal(M/S). Then it follows that
2_ L(s,y+y,M/U),
(L(s, '1\'3 + '1\'4' M/S» - L(s,a,M/U)
where U is the invariant field of the group < b >, considered as subgroup of Gal(M/S).
The L-functions L(s,a,M/U) and L(s,y+y,M/U) are holomorphic, following Hecke.
So not only for Re(s) ~ 1, but also for any SEC (L(S,'I\'3+'I\'4,M/S»2 is defined by the
last formula. We know by a result of R. Brauer that L(S,'I\'3+'I\'4,M/S) is meromorphic, and it follows also that L(S,'I\'8,M/S) is holomorphic, as '1\'8 is monomial. We
drop the symbols M,S,U for the moment.
Now observe that a(b 3) = y(b 3) = y(b 3) = -1. Hence the functional equation for
Artin L-functions as given in [2], page 306, gives the following formulae.
L(I-s, y) = W(y) (N~ (y, M/U»S-~ A(s,y) L(s,y)
L(l-s,a) = W(a) (N~ (a,M/U»S-~ A(s,a) L(s,a)
x)
xx)
Just as a(b 3) = y(b 3), it follows that A(s,a) = A(s,y). The reader is referred to the
explicit formulae for A(s,y) (and for A(s,a» in [2]. We have a = a. and L(s,y) = L(s,?)
by yG = yG. Keep in mind that both L(s,a) and L(s,y) are zero-point-free in Re(s) ~ 1.
It follows that
L(s,a)A(s,a)W(a) (N~ (a,M/U»S-1 L(I-s,y) =
=W(y) (N~ (y,M/U»S- t AGs,y) L(s,y) L(I-s,a).
As A(s,a) = product of cos-, sin-, and f-functions, we see that
L(s,a)W(a) (N~ (a,M/U»,-t L(I-s,y) =
= W(y) (N~(y,M/U»S-t L(s,?) L(I-s,a)
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x
xx)
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Some results connected to Dedekind's Zeta functions
251
*
for those s for which A(s,a) O. However, if A(so,a)=O, then L(I-s o,a)=O as L(s,a)
is analytic for all SEG::, following formula xx). The same holds for formula x). Hence
formula Ix) holds for all SEC Notice that L(s,y) = L(s,y) = L(S,'Ij!3 +'Ij!4) L(s,'Ij!s) for
all SEC. Further L(s,a) = (L(S,'Ij!S»2 for any SEC. Hence we find that
L(s,'Ij!s) L(I-s,'Ij!s) {L(s,'Ij!s)W(a) (N~ (a,MIU)),·t L(l-S,'Ij!3+'Ij!4)
- W(y) (N~ (y,M/U»)'""t L(S,'Ij!3+'Ij!4) L(l-s,'Ij!s)} = O.
Write in short L(s,'Ij!s) L(1-s,'Ij!s) A(s)=O. Now, if L(s,,'Ij!s)=Ofor t~Re(s,)< 1, then
also L(I-s,,'Ij!s)=O by the functional equation. Hence A(s,)=O. For IRe(si)I~1 we
can only have L(1-sj,'Ij!s)=O for si=I,2,3, .... For those points Si it follows that
L(l-sj,a) =0. Look at A). Then L(I-sj,Y)=0 and by Ix) again, the order of the zero
Si in L(1-sj,Y) is equal to the order of the zero Si in L(1-sj,a). Therefore
(L(I-s. >11 +>11 »2 = (L(1-Si,y»2 = 0
"'t'3 't'4
L(l-sj,a)
.
The final result ist that A(s)=O for all SEG::, as now L(I-sj,'Ij!3 + 'lj!4) =0.
Next we look at the several Artin root numbers involved here. By the corollary on
page 18 of [F] we have
W(y) = W('Ij!3 + 'lj!4 + 'lj!s) = W('Ij!3) W('Ij!4) W('Ij!s) and
W(a) = W(2'1j!s) = (W('Ij!S»2.
The Artin root numbers are complex roots of unity and it holds that W('Ij!4) is the
complex conjugate to W('Ij!3) as 'lj!4='ijiJ. Hence W('Ij!3)W('Ij!4) = 1 and so W(y) =
= W('Ij!s). The character 'lj!s is afforded by areal representation of GL(2,3). Thus we
can apply a theorem of A. Fröhlich and J. Querut, see [F] page 124, that says that in
such a situation W('Ij!s) = 1. Hence W(y) = W('Ij!s) = 1 = (W('Ij!S»2= W(a).
Therefore we have proved that
L(s,'Ij!s) L(l-S,'Ij!3+'Ij!4) (Na: (a,M/U»S-t =
1
= L(I-s,'Ij!s) L(S,'Ij!3+'Ij!4) (N~ (y,M/U»S-",!.
References
[1] E. Artin: Über die Zetafunktionen gewisser algebraischer Zahlkörper. Math. Ann. 89
(1923), 147-156.
[2] E. Artin: Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. Hamb. Abh. 8
(1930),292-306.
[3] R. W. van der Waall: Remarks on the Artin L-functions of the groups GL2 (F 3 ) and SL2 (1F 3 )·
Indagationes Math. 35 (1973), 41-46.
[4] R. W. van der Waall: On a conjecture of Dedekind on zeta-functions. Indagationes Math. 37
(1975), 83-86.
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253
Lokale und globale Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven
Von Horst G. Zimmer, Saarbrücken
Höhenfunktionen spielen in der Theorie der elliptischen Kurven über lokalen und
globalen Körpern eine wichtige Rolle. Das zeigt sich am deutlichsten im globalen
Falle, der daher zunächst betrachtet werden soll.
Sei also K ein globaler Körper der Charakteristik =F 2, 3 und E eine über K definierte elliptische Kurve in Weierstraß-Normalform
y2
= X 3 + aX + b (a, b E K)
mit Diskriminante
und absoluter Invariante
3
3
J. = 12 4a
Ll·
Die Höhenfunktionen sind auf der additiven abelschen Gruppe E(K) der über K
rationalen Punkte der Kurve E definiert und stellen ein wichtiges Hilfsmittel z. B.
beim Beweis des fundamentalen Satzes von Morden-Weil [LI], [L2] dar. Um diesen
Satz formulieren zu können, benötigen wir im Falle, daß K ein algebraischer Funktionenkörper von endlichem Transzendenzgrad über einem Körper kais Konstantenkörper ist, den Begriff der Chow-Spur von E bzgl. K/k. Diese ist für eine beliebige
abelsche Varietät E über K definiert und besteht aus einer abelschen Varietät B über
k und einem Homomorphismus a: B ~ E über K mit einer gewissen universellen
Abbildungseigenschaft (s. [Ll], [ND. Durch (B,a) wird in E(K) die Untergruppe
aB(k) festgelegt, das Bild der rationalen Punkt gruppe B(k) von B über k unter a. 1 )
Satz von MordeU-Weil. Für einen
{
algebraischen Zahlkörper K
}
algebraischen Funktionenkörper K mit Konstantenkörper k
ist die Gruppe {E(K)
} endlich erzeugt.
E(K)/aB(k)
1) Für elliptische Kurven E über K mit über k transzendenter Invariante j, so daß E also
nicht bereits über k definiert ist, gilt B=O und somit aB(k)=O (s. [Ll]).
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254
Horst G. Zimmer
Wir bezeichnen diese Gruppe mit E(K), setzen also
-{E(K)
im Zahlkörperfalle
}
E(K) : = E(K)/oB(k) im Funktionenkörperfalle .
Dann liefert der Mordell-Weilsche Satz eine Zerlegung von E(K) als direkte Summe
E(K) = E(K)torEEl E(K)fr
der Torsionsgruppe E(K)tOT von E(K), also der (endlichen) Gruppe der Punkte endlicher Ordnung von E(K), und einer freien Untergruppe E(K)fT endlichen Ranges r
von E(K). Durch diese Zerlegung werden zwei grundsätzliche Fragen nahegelegt.
1. Wie entscheidet man für einen gegebenen Punkt P E E(K), ob er Torsionspunkt
ist, d. h. ob P E E(K)tOT gilt?
2. Wie entscheidet man für endlich viele gegebene Punkte P" ... ,Ps E E(K), ob
sie linear-unabhängig über Z sind, d.h. ob sie eine freie Untergruppe von E(K) vom
Rang s erzeugen?
Auf die erste Frage-gibt es eine Teilantwort durch den Satz von Nagell-LutzCassels ([Z3], Theorem 3.1 im Zahlkörper- und Theorem 4.1 mit oB(k) = 0 im Funktionenkörperfalle), der eine notwendige Bedingung für die Koordinaten von Torsionspunkten liefert. Die zweite Frage kann zumindest im Zahlkörperfalle durch Verallgemeinerung einer Methode von Grunewald und Zimmert [GZ], S.105, von Q auf
einen beliebigen algebraischen Zahlkörper K hinreichend beantwortet werden. Dazu
definiert man durch geeignete Lokalisierung einen Homomorphismus der von
P 1, ... , Ps erzeugten Untergruppe von E(K):
s
cp: (P"""p s ) ~.E9 7L/27L
1= 1
und erhält als hinreichende Bedingung für die lineare Unabhängigkeit von P 1, ... , Ps
über lL die Surjektivität von ep-, vorausgesetzt, daß die Untergruppe (p 1, ... ,ps) von
E(K) keine 2-Teilungspunkte, also Torsionspunkte der Ordnung 2, enthält.
Die Bedeutung der Höhenfunktionen läßt sich nun etwa anhand der Tatsache
demonstrieren, daß mit ihrer Hilfe die beiden obigen Fragen durch die Angabe notwendiger und hinreichender Bedingungen vollständig beantwortet werden können.
Wie wir noch ausführen werden, gibt es nämlich auf der Gruppe E(K) eine quadratische Form h, die sogenannte Neron-Tate Höhe, die die verlangten Bedingungen
liefert. Diese ist eine Abbildung
mit der Eigenschaft
(QF)
h(P + Q) + h(P-Q)
= 2h(P) + 2h(Q)
für P, Q E E(K).
Aus (QF) folgt insbesondere die Eigenschaft
(QF m ) h(mP)
= m2h(P)
für
PE E(K), m E N.
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Lokale und globale Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven
255
Diese Höhenfunktion h stellt auf E(K) eine positiv-semidefinite quadratische Form
dar und liefert durch die Festsetzung
ß(P,O) : =
~{h(P+O) - h(P) - h(O)} für P, Q E E(K)
auf E(K) eine symmetrische Bilinearform.
Die Antwort auf Frage 1 wird nun durch folgende Proposition ([N], Proposition
15, S. 304) gegeben.
Proposition 1. Ein Punkt P E E(K) ist genau dann Torsionspunkt, wenn auf ihm die
Neron-Tate Höhe h verschwindet:
P E E(K)tor<=> h(P)
= O.
Somit lassen sich die quadratische Form h und die Bilinearform ß auf die Faktorgruppe E(K)/E(K)tor fortsetzen, und h stellt auf dieser Faktorgruppe eine positivdefinite quadratische Form und ß eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform
dar.
Ist
E(K)fr= (P" ... ,P r),
bilden die Punkte P""',Pr E E(K) also eine freie Basis von E(K), so nennt man den
Betrag der nicht-verschwindenden Determinante
R:= Idet(ß(Pl.,P"))l.,,,=I, ... ,rl
den Regulator der elliptischen Kurve E über K. Natürlich ist R unabhängig von der
Auswahl der zugrundegelegten Basis,
Die Antwort auf Frage 2 (und gleichzeitig eine Rechtfertigung der Definition des
Regulators) wird gegeben durch die folgende
Proposition 2. Endlich viele Punkte P" ... ,PsEE(K) sind genau dann linear-unabhängig über z', wenn ihre Determinante nicht verschwindet:
det(ß(Pl.,P,,)h.,,= I,. . .,s =1= O.
Der Beweis kann durch Fortsetzung von hund ß zu einer positiv-definiten quadratischen Form bzw. einer nicht-ausgearteten symmetrischen Bilinearform auf dem
reellen Vektorraum 1R®.z E(K) geführt werden (s, [B], Chap, 9).
Für diese Anwendungen der Neron-Tate Höhe h auf der Gruppe E(K) ist es erforderlich, h berechnen zu können, Dazu sollen die anschließenden Ausführungen
einige Gesichtspunkte beisteuern. 2)
2) Eine andere Betrachtung der Berechenbarkeit von h findet sich in der Arbeit des Vortragenden: "Generalization of Manin's conditional algorithm", die in den Proc.1976 ACM
Sympos. on Symbolic and Algebraic Computation, Yorktown Heights, New York, 1976,
285-299, erschienen ist.
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256
Horst G. Zimmer
Zur Definition der Neron-Tate Höhe fi auf der rationalen Punktgruppe E(K) der
elliptischen Kurve E über dem globalen Körper K der Charakteristik =10 2, 3 durchlaufe v ein volles System nicht-äquivalenter additiver Bewertungen von K, das der
Summenformel
I),v(c)=0
(O=locEK)
v
mit gewissen Multiplizitäten 0 =1= A, E IR genügt. Dabei normieren wir die Bewertungen v so, daß im Zahlkörperfalle A, = n, als die lokalen Grade der zugehörigen vollständigen Hüllen und im Funktionenkörperfalle A, = f, als die Grade der PrimsteIlen
zu v von K/k gewählt werden können [Z 1]. Die Dreiecksungleichung für v schreiben
wir in der Form [Zl]
v(c+c')
~
Min {v(c),v(c')}+u,
(c,c' E K)
mit
=
u,
{O
für nicht-archimedisches v} .
v(2) für archimedisches v
Durch die Weierstraß-Normalform der elliptischen Kurve E über K wird für jedes
v eine reelle Zahl ~, gemäß
~,:=
Min
(~v(a),tv(b)}
festgelegt.
Wir definieren nun für einen rationalen Punkt P = (x,y) E E(K) die lokale Weil
Höhe bzgl. v durch die Festsetzung (s. [Zl], [Z 2])
._{-1
d,(P) . -
Min
1
- "2 ~,
{~"v(x)},
,
falls P =10
o}
falls P = 0
und damit die globale Weil Höhe durch Summation über die lokalen gemäß (s. [Zl],
[Z2])
(S)
d(P) : =
Lv A,diP).
Mittels der globalen Weil Höhe wird nun die globale Neron-Tate Höhe auf der
Gruppe E(K) durch den Limes
(L)
h(P) : = lim d(2"P)
n -> xc 2 211
festgelegt; Dieser Limes existiert, und die durch ihn auf E(K) definierte Höhenfunktion h hat in der Tat die Eigenschaften (QF) und (QF m ) einer quadratischen Form
(s. [Zl]), die im Funktionenkörperfalle auf aB(k) verschwindet (s. [ND.
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Lokale und globale Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven
257
Zur Berechnung von h ist die Formel (L) jedoch ungeeignet. Es erhebt sich daher
zunächst die Frage, ob man nicht in kanonischer Weise durch eine (L) entsprechende
Limesbeziehung auch aus der lokalen Weil Höhe d v eine lokale Neron-Tate Höhe h,
bzgl. v auf E(K) konstruieren kann. Von einer solchen lokalen Höhenfunktion hv
wäre dann zu fordern, daß sie einer quadratischen Form möglichst nahekäme, also zu
(QF) und (QF m ) analoge Eigenschaften hätte, und daß sich aus ihr die globale NeronTate Höhe 6 auf E(K) durch Summation über alle Bewertungen v in Analogie zu (S)
ergäbe. Zusätzlich sollten die lokalen Höhenfunktionen hv auf E(K) berechenbar sein,
so daß dann auch die globale Höhenfunktion h auf E(K) berechenbar wäre.
Die Antwort auf die gestellte Frage ist affirmativ. Bereits Tate (s. [L2]) hatte
gezeigt, daß es für eine elliptische Kurve E über einem Körper K mit einer Bewertung v eine im wesentlichen eindeutige Funktion hv auf E(K)\{O} gibt mit den zu (QF)
und (QF m ) analogen Eigenschaften:
(QfY)
hvCP+Q)+hvCP-Q) = 2hvCp)+ 2hvCQ)+v(xp-xo) --61v(~)
für P = (xp,yp), Q = (xo,yo) E E(K) mit P, Q,P ± Q
'l= 0
und
,
hvCmP)
(QF~)
2'
1
2
m 2 -1
= m hvCP) + 2v('\jJm(x P » -12 v(M
für P = (xp,yp) E E(K) und mEIN mit mP 'l= 0,
wobei '\jJm die bekannten, bei der Vervielfachung von Punkten auftretenden klassischen Funktionen gemäß (s. [Z3])
»)
mp=(<pm(X P ) , Qm(x p
'\jJ2(xp) '\jJ3(xp)
m
m
sind. Tate hatte für 11, in Abhängigkeit vom Grundkörper K, der dazu als vollständig
bzgl. v vorauszusetzen ist, und vom Reduktionsverhalten von E über K modulo v
explizite Ausdrücke hergeleitet (s. [L2], [Z2]).
Wir konnten nun nachweisen, daß die lokale Neron-Tate Höhe h v auf E(K) durch
eine zu (L) analoge Limesbeziehung aus der lokalen Weil Höhe d v hergeleitet werden
kann, aus der die Tateschen expliziten Ausdrücke direkt folgen. Es gilt nämlich der
(s. [Z2])
Satz 1. Für eine elliptische Kurve E über einem Körper K der Charakteristik =1= 2, 3
mit einer additiven Bewertung v existiert der Limes
(L')
für alle Punkte P = (xP,Y p) E E(!<) mit 2"P = (X 2"p'Y2"P) =1= 0, und die durch (L') auf
E(K) definierte Höhenfunktion h v hat die Eigenschaften (QfY) und (QF~).
Aufgrund der Eigenschaften (QFV ) und (QF~) ist nun gemäß der Summenformel
für die Bewertungen v eines globalen Körpers K sofort klar, daß sich die globale
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Neron-Tate Höhe h auf E(K) aus den lokalen Neron-Tate Höhen hv durch Summation über alle Bewertungen v von K in Analogie zu (S) ergibt (s. [Z2]):
Korollar. Für eine elliptische Kurve E über einem globalen Körper K der Charakteristik =t= 2, 3 ist die globale Neron-Tate Höhe h auf E(K) gemäß
L Avhv(P)
für P E E(K) mit 2np =t= 0 für alle n E N
v
durch Summation über die lokalen Neron-Tate Höhen hv gegeben, wobei für P E E(K)
mit 2np = 0 für ein n E N stets h(P) = 0 gesetzt wird.
Was bedeutet dies nun im Hinblick auf die Frage nach der Berechenbarkeit der
globalen Neron-Tate Höhe h auf E(K) im globalen Falle mittels der lokalen NeronTate Höhen hv? Wir haben bisher nur die der Berechnung nicht zugängliche globale
Limesbeziehung (L) durch für Berechnungen ebenfalls ungeeignete lokale Limesbeziehungen (V) mit anschließender Summation (S) ersetzt! Es ist daher interessant,
daß man eine jedenfalls für approximative Berechnungen gut geeignete endliche
Formel als Ersatz für die Limesbeziehung (V) angeben kann. Diese ergibt sich aus
einer Formel von Tate (s. [M]) durch Modifikation:
(S)
h(P) =
Satz 2. Für eine elliptische Kurve E über einem Körper K der Charakteristik =t= 2, 3
mit einer additiven Bewertung v besteht zwischen der lokalen Weil Höhe d v und der
lokalen Neron-Tate Höhe hv auf E(K) für beliebiges n E N die Beziehung
A
~ dv(2 V P) - 4d v (2
_
hiP) - diP) + L.
v=l
hi2
+
n
-
2
1p) - v(2Y2 - p)
v 1
2v
p) - d v(2 np) - 11 v(~)
1
2
22n
+ 12 v(~)
für alle Punkte P = (xp,yp)
Beweis. Nach
V
E
E(K) mit 2np
= (X2np'Y2np) =t= o.
(QF~)
hi2P)
besteht für m = 2 die Relation
2
= 2 hv(P) +v(2yp) - iv(~),
und diese läßt sich auf die Form
hv(P) = dv(P) + d v(2P) - 4d;~P) - v(2yp)
1
hi2P) - dv(2P) - 12 v(~)
1
+
22
+ 12 v(~)
A
bringen. Aus (S1) folgt nun die behauptete Beziehung (Sn) durch vollständige Induktion nach n.
Die Schnelligkeit der Konvergenz von (Sn) ergibt sich aus der in [Z2], (1.12),
S. 224, festgestellten Abschätzung
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Lokale und globale Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven
(A)
~ {6!lv - v(~)} + ~ U v+ ~ v(2) ~ hv(P) -
diP) - 11 v(~)
2
259
~ - ~ u v,
die für alle P E E(K), P 4= 0, gilt, also insbesondere für alle 2°P E E(K) mit 2°P =1= o.
Satz 2 kann in gewissem Sinne als die Zusammenfassung der Theoreme A, B, C aus
[Z2], in denen die erwähnten expliziten Ausdrücke von Tate für hv aufgeführt sind,
angesehen werden. Jedenfalls ordnet sich Theorem A aus [Z 2] dem hiesigen Satz 2
unter und führt zu einer wesentlichen Vereinfachung der Formel (So):
KoroUar. Für eine elliptische Kurve E mit potentiell guter Reduktion modulo v über
einem Körper K der Charakteristik 4= 2, 3 mit einer nicht-archimedischen additiven
Bewertung v derart, daß der Restklassenkörper von K modulo v ebenfalls eine Charakteristik 4= 2, 3 besitzt, besteht zwischen der lokalen Weil Höhe d v und der lokalen
Neron-Tate Höhe hv auf E(K) die Beziehung
,
hv(P)
= dv(P) +
1
12 v(~).
Beweis. Die Behauptung stimmt - wie gesagt - mit der Aussage von Theorem A aus
[Z2] überein. Sie läßt sich hier jedoch leicht aus Satz 2 folgern. Die Voraussetzung,
daß E potentiell gute Reduktion modulo v haben soll, läuft nämlich auf die Bedingung
v(j) ~ 0 hinaus, und diese ist gleichbedeutend mit der Relation v(~) = 6!lv, wobei die
Charakteristikvoraussetzungen ausgenutzt werden. Aufgrund dieser Voraussetzungen
ist auch v(2) = 0 und wegen der Nicht-Archimedizität von v zudem U v = o. Dann
liefert aber die oben angegebene Abschätzung (A) die Relation
hi2°P) - di2°P) - {2 v(~) = O.
Nach (2.1.2), (2.1.3) aus [Z2] gilt zudem allgemein die zu (A) analoge Abschätzung
(B)
~{6!lv-v(~)} + 5u v+v(2) ~ dv (2 P) - 4d v (2 v- ip) -V(2Y2V-ip) ~ - 2u v,
V
in der wiederum die Schranken verschwinden, so daß für alle v
E
IN auch
d v(2 V P) - 4d v(2 V - i p) - v(2Y2v-ip) = 0
ist. In der Formel (So) aus Satz 2 sind somit auf der rechten Seite die beiden mittleren
Glieder gleich 0, und es ergibt sich für hiP) der im Korollar behauptete Ausdruck.
Die Theorem A aus [Z2] verallgemeinernde Formel (So) gilt in allen drei in [Z2]
betrachteten Fällen A, Bund C und bringt in diesem Sinne die Theoreme A, Bund C
aus [Z2] unter ein Dach.
Abschließend sei noch bemerkt, daß eine zur in (So) auftretenden Summe ähnliche
Bildung bereits in den globalen Formeln aus [Zl], S. 41 oben, vorkommt.
Literatur
[B)
N. Bourbaki, Formes Sesquilineaires et Formes Quadratiques. Algebre, Livre II; Hermann, Paris 1959.
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260
Horst G. Zimmer
[GZ] F.J. Grunewald und R. Zimmert, Über einige rationale elliptische Kurven mit freiem
RangE;; 8. J. reine angew. Math. 296 (1977), 100-107.
[LI] S. Lang, Diophantine Geometry. Interscience Pub!., New York, London 1962.
[L2] S. Lang, Elliptic Curves: Diophantine Analysis. Grund!. d. math. Wiss., Bd. 231, Springer-Verlag, BerIin, Heidelberg, New York 1978.
[M]
D. Masser, Convergence of Tate's formula. Unveröffentlichtes Manuskript, Paris 1980.
[N]
A. Neron, Quasi-fonctions et hauteurs SUT les varietes abeliennes. Ann. Math. 82 (1965),
249-331.
[Zl] H.G. Zimmer, On the Difference of the Weil Height and the Neron-Tate Height. Math.
Z.147 (1976), 35-51.
[Z2] H. G. Zimmer, Quasifunctions on elliptic curves over local fields. J. reine angew. Math.
307/308 (1979), 221-246.
[Z3] H. G. Zimmer, Torsion Points on Elliptic Curves over aGlobai Field. Manuscripta math.
29 (1979), 119-145.
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261
Inhaber der Carl-Friedrich-Gauß-Medaille
1949 Walter Reppe f, Dr. phil., Dr. phil. nato h. c., Dr.-Ing. E. h., Hon.-Professor
der Universität Mainz und Technischen Hochschule Dannstadt.
1950 Arvid Hedvall f, fil. dr., Dr. phil., h. C., Dr.-Ing. h. C., Dr. sc., Dr.-Ing. E. h.,
O. Professor em. für Silikatchemie der Technischen Hochschule Göteborg.
1951 Wilhelm Nusselt f, Dr.-Ing. E. h., O. Professor em. für Theor. Maschinenlehre
an der Technischen Hochschule München.
1952 Erwin W. Müller, Dr.-Ing. habil., Dr. rer. nato h. C., Dr. h. C., Evan-Pugh
Res. Prof., Pennsylvania State University, Physics Dept., University Park,
Pennsylvania, USA.
1953 Gustav Wolff, Dr.-Ing. E. h., Professor in Münster (Westf.).
1954 Max Strutt, Dr. techn., Dr.-Ing. E. h., O. Professor und Direktor des Instituts
für Höhere Elektrotechnik an der Eidgenössischen Technischen Hochschule
in Zürich.
1955 Fritz Arndt f, Dr. phil., Dr. rer. nato h. C., O. Professor em. für Organische
Chemie an der Universität Breslau, Honorarprofessor an der Universität
Hamburg.
1955 Pascual Jordan f, Dr. phil., O. Professor für Theoretische Physik an der Universität Hamburg.
1956 UlriCh Finsterwalder, Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h., München.
1957 Georg SaChs f, Dr.-Ing., zuletzt O. Professor für Metallurgie an der Syracuse
University, Syracuse, N. Y.
1958 Werner SChmeidlerf, Dr. phil., Dr.-Ing. E. h., O. Professor em. für Mathematik an der Technischen Universität Berlin.
1959 Hans Brockmann, Dr. sc. nato habil., O. Professor für Organische Chemie an
. der Universität Göttingen.
1960 Theodor von Karman f, Dr. phil., Dr.-Ing. E. h., Dr. rer. nato h. C., LL. D.,
Professor, California Institute of Technology Pasadena (Calif.).
1961 Kurt Paul Klöppel, Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h., O. Professor für Statik und Stahlbau an der Technischen Hochschule Darmstadt.
i962 Walter SChottky f, Dr. phil., Dr.-Ing. E. h., Dr. rer. nato h. C., O. Professor em.
für Theoretische Physik an der Universität Erlangen.
1963 Gott/ried Köthe, Dr. phil., O. Profbssor für Angewandte Mathematik an deI
Universität Heidelberg.
1964 earl Wagner f, Dr. phil., Dr. l'Ier. nato h. c., o. Professor und Direktor des
Max-Planck-Instituts für Physikalische Chemie in Göttingen.
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1965 Albert Betz f, Dipl.-Ing., Dr. phil., Dr.-Ing. E. h., Dr. Sc. tedm. H. C.,
o. Professor em. und vormals Direktor der Aerodynamischen Versuchsanstalt
und des Max-Planck-Instituts für Strömungsforschung in Göttingen.
1966 Wilhelm Becker, Dr. phil., o. Professor und Direktor der AstronomischMeteorologischen Anstalt der Universität Basel.
1967 Henry Görtler, Dr. phil.habil., LL. D. h. c. emer. Professor der Mathematik
und vormals Direktor des Instituts für Angewandte Mathematik der AlbertLudwig-Universität Freiburg i. Br., Vizepräsident und vormals Präsident
der Internationalen Union für Theoretische und Angewandte Mechanik
(IUTAM).
1968 Egon Orowan, Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h., o. Professor für Mechanical
Engineering am MassadlUsetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts.
1969 E. Arne Bierhammer, Tekn. D. Professor für Geodäsie an der Kung!. Tekniska Högskolan in Stockholm.
1970 Elie Carafoli, Dr. rer. nat., Professor für Aero-Gas-Dynamik, Lehrstuhlleiter
an dem Polyteclmischen Institut Bukarest, Direktor des Instituts de Mecanique des Fluides "Traian Vuia" in BukarestiRumänien.
1971 Walter Die1T}inger, Dr. rer. techn., apl. Professor für Geophysik an der Universität Göttingen, Direktor des Max-Planck-Instituts für Aeronomie in
LindauiHarz.
1972 Hubert Rüsch f, DrAng., Dr.-Ing. E. h.,em. Professor für Massivbau an der
Technischen Hochschule München und Direktor des Amtlichen Materialprüfungsamtes für das Bauwesen.
1973 Viktor Gutmann, Dr. techn., Ph. D., Sc. D., Dr. h.c., o. Prof., Vorstand des In-
stituts für Anorganische und Allgemeine Chemie der Techn. Universität Wien.
1974 Friedrich Tamms f, Dipl.-Ing. Prof. Dr. h. c., Beigeordneter der Stadt Düsseldorf (Stadtbaurat i. R.), Freischaffender Planer.
1975 Sir Michael James Lighthill, Lucasian Professor B. A., F. R. S., der Mathematik an der Universität Cambridge/England.
1977 Walter Maurice Elsasser, Dr. phil., o. Prof. für Geophysik, Department of Earth
and Planetary Sciences, The Johlls Hopkins University, Baltimore, Maryland
21218/USA.
1977 Helmut Moritz, Dr. techn., Dr. h.c., o. Professor, Institut für Erdmessung und
Physikalische Geodäsie an der Technischen Hochschule Graz, Steyrergasse 17,
A-8010 Graz.
1977 Laszl6 Fejes T6th, Dr., Professor und Direktor des Mathematischen Forschungs-
instituts der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, Reältanoda U. 13-15,
Budapest V/Ungarn.
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1978 Vlrieh Grigull, Dr.-Ing., o. Prof. für Thermodynamik an der Technischen Universität München, Arcisstraße 2, 8000 München
1979 Wolf Freiherr von Engelhardt, Dr. phi!., Prof. (ern.) für Mineralogie und Petrographie an der Universität Tübingen, Wilhelmstraße 56, 7400 Tübingen
1980 Hans Kuhn, Dr. phi!., Dr. rer. nato h. c., Professor, Mitglied des Kollegiums des
Max-Planck-Institutes für Biophysikalische Chemie (Leiter der Abteilung »Molekularer Systemaufbau"), Am Faßberg, 3400 Göttingen-Nikolausberg
1981 Martin Kneser, Dr. rer. nat., o. Prof. der Mathematik an der Universität Göttingen, Merkelstraße 39, 3400 Göttingen.
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265
Die Autoren dieses Bandes
AnelIis, Irving H.,
Prof. Dr., Department of Mathematics, University of
Minnesota, Duluth, MN 55812/USA
Cohn, Paul M.,
Prof. Dr., Bedford College, University of London, Regent's Park, London NWI 4NS/England
Draxl, Peter,
Dr., Großdornberger Straße 56, D-4800 Bielefeld 1
Erne, Marcei,
Prof. Dr., Institut für Mathematik, Universität Hannover,
Welfengarten 1, D-3000 Hannover
Gräter, Joachim,
Dr., Technische Universität Braunschweig, Institut C für
Mathematik, Pockelsstraße 14, D-3300 Braunschweig
Härtter, Erlch,
Prof. Dr., Am Mahnes 53, D-6500 Mainz-Mombach
Herrmann, Christian,
Fachbereich Mathematik, Technische
Schloßgartenstraße 7, D-6100 Darmstadt
Hofmeister, Gerd,
Prof. Dr., Hinter der Kirche 3, D-6500 Mainz 41
Koeser, Martin,
Prof. Dr., Merkelstraße 39, D-3400 Göttingen
Kous, Max-Albert,
Prof. Dr., ETH Zürich, Ch-8092 Zürich / Schweiz
Krause, Ulrich,
Prof. Dr., Universität Bremen, Fachbereich Mathematik,
Bibliothekstraße, D-2800 Bremen
Mehrtens, Herbert,
Dr., Institut für Wissenschaftstheorie, Wissenschafts- u.
Technikgeschichte, Technische Universität Berlin, ErnstReuter-Platz 7, D-I000 Berlin 10
Naoum, Adil G.,
Dr., Department of Mathematics, College of Science,
University of Baghdad, Adhamiyah, Baghdad/Iraq
Niederreiter, Harald,
Prof. Dr., Fachbereich Mathematik, Universität Frankfurt, Robert-Mayer-Straße 6-10, D-6000 Frankfurt am
Main 1
Opolka, Hans,
Mathematisches Institut, Einsteinstr. 64, D-4400 Münster
Pfister, Albrecht,
Prof. Dr., Fachbereich Mathematik d. Universität Mainz,
Saarstraße 21, D-6500 Mainz
Reich, Axel,
Dr., Mathematisches Institut der Universität, Bunsenstraße 3-5, D-3400 Göttingen
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Hochschule,
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Rieger, Georg J.,
Prof. Dr., Institut für Mathematik, Technische Universität Hannover, Welfengarten 1, D-3000 Hannover
Scharlau, Winfried,
Prof. Dr., Mathematisches Institut, Einsteinstraße 64,
D-4400 Münster
Seitz, Karoly,
Prof. Dr., Technical University of Budapest, Transport
Engineering Faculty, Department of Mathematics, Müeggetemrakpart 9, H-llll Budapest XI/Ungarn
Stark, Harold M.,
Prof. Dr., Department of Mathematics, C-012 U.C.S.D.,
La Jolla, California 92093 /USA
Strobl, Walter,
Dr.-R.-Breitscheid-Straße 2, D-6750 Kaiserslautern
van der Waall, Robert W., Prof. Dr., Mathematisches Institut, Universität von Am-
sterdam, Roetersstraat 15, 1018 WB Amsterdam/Niederlande
Zimmer, Horst G.,
Prof. Dr., Fachbereich 9 Mathematik, Universität des
Saarlandes, D-6600 Saarbrücken
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Kurzinformation
über die
Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft
Anschrift:
Fallersleber Torwall16 . 3300 Braunschweig, Tel. (0531) 391-4596
Präsident:
Prof. Dr. rer. techno K.H. Olsen (bis 31.12.1983)
Generalsekretär: Prof. Dr. rer. nat., Dr. techno h.c. U. Wannagat (bis 31.12.1982)
Klassenvorsitzende
Klasse für Naturwissenschaften und Mathematik: Prof. Dr. rer. nato E. Richter (bis 31.12.1984)
Klasse für
Ingenieurwissenschaften:
Prof. Dr.-Ing. M. Mitschke (bis 31.12.1983)
Klasse für
Bauwissenschaften :
Prof. Dr.-Ing. W. Höpcke (bis 31.12.1982)
Klasse für
Geisteswissenschaften:
Prof. Dr. phi!. M. Gosebruch (bis 31.12. 1985)
Die Braunschweigische Wissenschahliche Gesellschaft ist eine Körperschaft des
öffentlichen Rechts des Landes Niedersachsen. Sie wird durch Zuschüsse des Landes
Niedersachsen und der Stadt Braunschweig, sowie aus verschiedenen Fonds zur
Förderung von Forschung und Wissenschaft finanziert.
Die Gesellschaft besteht aus ordentlichen (Höchstzahl 110) und korrespondierenden
Mitgliedern, sie ergänzt sich durch freie Zuwahl ihrer ordentlichen Mitglieder. Die
Organe der Gesellschaft sind die Plenarversammlung der ordentlichen Mitglieder und
der Verwaltungs ausschuß, bestehend aus dem Präsidenten, dem Generalsekretär und
den Klassenvorsitzenden. Die Leitung der Gesellschaft obliegt dem Präsidenten, die
Führung ihrer Geschäfte dem Generalsekretär. Alle Ämter sind Wahl- und Ehrenämter.
Die Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft hat die Aufgabe, durch eigene
Tätigkeit und im Zusammenwirken mit anderen wissenschaftlichen Institutionen des
In- und Auslandes die Naturwissenschaften und die Technischen Wissenschaften, sowie
das Zusammenwirken von Technischen Wissenschaften und Geisteswissenschaften zu
fördern. Zur Erfüllung ihrer Aufgabe gliedert sie sich in die Klassen für Naturwissenschaften und Mathematik, für Ingenieurwissenschaften, für Bauwissenschaften und für
Geisteswissenschaften, die von Klassenvorsitzenden geleitet werden.
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Die Braunschweigische Wissenschaftliche Gesellschaft führt regelmäßig wissenschaftliche Klassen- und Plenarsitzungen mit Referaten und Diskussionen durch. Sie verleiht in der Regel alljährlich die Carl-Friedrich-Gauß-Medaille an wissenschaftlich
besonders verdiente Gelehrte des In- und Auslandes. Die Ergebnisse ihrer Tätigkeit
finden ihren Niederschlag in den von ihr veröffentlichten "Sitzungsberichten und Mitteilungen" (jährlich zwei Hefte) und in den "Abhandlungen" (jährlich ein Band).
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