Prof. Dr. L. Schwachhöfer WS 2013/14 6. ¨Ubungsblatt zur

Prof. Dr. L. Schwachhöfer
WS 2013/14
6. Übungsblatt zur Algebraischen Topologie
Abgabe: Montag, 25.11.13, bis 16 Uhr in dem Ablagefach
bei Raum 931, 9. OG
Aufgabe 1:
Seien π1 : X̃1 → X1 und π2 : X̃2 → X2 Überlagerungen. Zeigen Sie, dass die
Abbildung π1 × π2 : X̃1 × X̃2 → X1 × X2 eine Überlagerung ist.
Aufgabe 2:
Eine Gruppe G heißt Torsionsgruppe, wenn jedes Element endliche Ordnung hat,
d.h. wenn für jedes g ∈ G ein n ∈ N existiert mit g n = e.
Sei X ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer
Raum, dessen Fundamentalgruppe π1 (X, x0 ) mit x0 ∈ X eine Torsionsgruppe ist.
Zeigen Sie: Jede stetige Abbildung f : X → S 1 ist homotop zu einer konstanten
Abbildung.
Aufgabe 3:
Es sei π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) eine Überlagerung und X, X̃ lokal wegzusammenhängend.
Sei ϕ : X̃ → X̃ stetig mit π ◦ ϕ = π.
a) Zeigen Sie: ϕ ist surjektiv. (Hinweis: Zeigen Sie, dass sowohl Bild (ϕ) als auch
sein Komplement offen ist.)
b) Zeigen Sie: ϕ ist genau dann eine Decktransformation, wenn ϕ injektiv ist.
Aufgabe 4:
Sei X die Kleinsche Flasche. Bestimmen Sie eine nichtreguläre 3-fache Überlagerung
π : X → X.