Page 1 Mathetreff der Bezirksregierung Düsseldorf Knobelaufgaben

Mathetreff der Bezirksregierung Düsseldorf
Knobelaufgaben der Stufen 9, 10, Mai/ Juli 2004
[email protected], 13.06.2004
Aufgabe 1
Ein Bauer hinterlässt seinen 2 Söhnen eine Schafherde. Die Brüder lassen die Herde verkaufen,
wobei jedes Schaf soviel Euro einbringen soll, wie die Herde Schafe hat. Sie erhalten einen Erlös
mit lauter 10-Euro Scheinen und einen Rest Kleingeld.
Nachdem die Brüder die Scheine gleichmäßig geteilt hatten, blieben ein Schein und das Kleingeld
übrig. Der ältere Bruder machte dem Jüngeren nun folgenden Vorschlag: Ich behalte den 10-Euro
Schein, du erhälst das Kleingeld und ein von mir gestern gekauftes Taschenmesser. Dann haben
wir beide gleich viel bekommen. Wie teuer war das Taschenmesser?
Lösung
Die Anzahl der Schafe sei n∈ℕ . Da jedes Schaf so viel Euro erbringen soll, wie die Herde
Schafe hat, beträgt der Erlös n2 . Andererseits beträgt der Erlös gemäß Aufgabe n2=m⋅10y
mit m , y∈ℕ y∈ℕ wegen n2 ∈ℕ und y0 gemäß Aufgabe . Nun ist m ungerade, weil nach dem
Verteilen der 10-Euro Scheine einer übrig bleibt, also m=2k1,k∈ℕ . Damit haben wir
n2=2k1⋅10y
(*)
Der Preis des Taschenmessers sei T. Nach der vorgenommenen Aufteilung hat der erste Bruder
k⋅1010−T , der andere k⋅10yT . Dann gilt k⋅1010−T=k⋅10yT , also
10=y2 T ⇒ y=10−2 T10. Also ist y eine Ziffer 1, 2, ..., 9.
Da y Endziffer einer natürlichen Quadratzahl ist, folgt y≠2 , 3, 7, 8 . Mögliche Werte für y und der
jeweils zugehörige Preis des Taschenmessers sind
y
T=(10-y)/2
1
4
5
6
9
4,5
3
2,5
2
0,5
Angenommen, mit einem x∈ℕ gilt jeweils:
n=10 x0⇒ n2=100 x 2 ⇒ y=0 Widerspruch zu y∈ℕ
n=10 x1⇒ n2=100 x 220 x1=10
x 22 x⋅101

Widerspruch zu (*)
n=10 x2⇒ n =100 x 40 x4=10
x 24 x⋅104

Widerspruch zu (*)
n=10 x3⇒ n2=100 x 260 x9=10
x 26 x⋅109

Widerspruch zu (*)
gerade
2
2
gerade
gerade
n=10 x4⇒ n2=100 x 280 x16=10
x 28 x1⋅106

⇒
n=10 x5⇒ n =100 x 100 x25=10
x 210 x2⋅105

Widerspruch zu (*)
y=6
ungerade
2
2
gerade
n=10 x6⇒ n2=100 x 2120 x36=10
x 212 x3⋅106

⇒
y=6
ungerade
n=10 x7⇒ n2=100 x 2140 x49=10
x 214 x4⋅109

Widerspruch zu (*)
gerade
n=10 x8⇒ n =100 x 160 x64=10
x 16 x6⋅104

Widerspruch zu (*)
n=10 x9⇒ n2=100 x 2180 x81=10
x 218 x8⋅101

Widerspruch zu (*)
2
2
2
gerade
gerade
Unter den gegebenen Voraussetzungen ist die einzige Möglichkeit y = 6; n lässt sich allerdings
nicht bestimmen. Jedenfalls muss gemäß unserer Tabelle T = 2€ gelten.
Aufgabe 2
In einer Reihe von Zahlen ist jede Zahl, abgesehen von den ersten beiden gleich der Summe der
beiden Zahlen davor. Wenn die erste Zahl Eins heißt, und die zehnte Zahl 111, wie groß ist dann
die zweite Zahl? Bestimme die Zahl genau, Näherungswerte sind nicht zulässig.
Schaffe dir eine eigene ähnlich geartete Reihe von 10 Zahlen.
Bestimme die Summe deiner Zahlen, wenn die beiden ersten ganzzahlig sind.
Multipliziere die 7.Zahl mit 11 und vergleiche die Ergebnisse.
Beweise, dass deine Vermutung immer zutrifft.
Lösung
a) Mit q∈ℝ lautet die Zahlenreihe:
1, q, 1+q, 1+2q, 2+3q, 3+5q, 5+8q, 8+13q, 13+21q, 111
Daraus folgt 111 = 813 q1321 q = 2134 q ⇒ 34 q = 90 ⇒ q=
45
17
b) Wir wählen die Zahlenreihe:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123
Die Summe beträgt 319.
Die siebte Zahl ist 29, und wir haben 11⋅29=319 . Die Vermutung lautet:
In einer Reihe von Zahlen a1 , a2 , ... , a10 ∈ ℝ ,
für die ak = ak−2ak−1
k=3, 4, ... , 10 gilt, ist
10
∑ ak = 11⋅a7
k=1
Beweis:
Wir haben
a1=a1
a2=a2
a3=a2a1
a 4=a2a3=2 a2a1
a5=a3a 4=3 a22 a1
a6=a 4a5=5 a23 a1
a7=a5a6=8 a25 a1
a8=a6a7=13 a28 a1
a9=a7a8=21 a213 a1
a10=a8a9=34 a221 a1
∑
= 88⋅a2  55⋅a1 = 11⋅8 a2  5 a1  = 11⋅a7
q.e.d.
Aufgabe 3
Der achte Teil einer Herde Affen, ins Quadrat erhoben, hüpfte in einem Haine umher und erfreute
sich an dem Spiele, die 12 übrigen sah man auf einem Hügel miteinander schwatzen.
Wie stark war die Herde?
( Nach Atscharja Bhaskara, indischer Mathematiker ( 1114-1185))
Lösung
Sei x die Anzahl der Affen. Dann ist gemäß der Aufgabenstellung
x 2
x =   12 ⇔ x 2 − 64 x768 = 0
8
Mit der p-q-Formel folgt
x 1 = 32  −768  1024 = 32  256 = 32  16 = 48
x 2 = 32 − −768  1024 = 32−  256 = 32 − 16 = 16
Die Anzahl der Affen ist nicht eindeutig zu bestimmen, da sowohl x 1 als auch x 2 die Aufgabe
lösen. Ohne weitere Angaben ist die Aufgabe unlösbar.