Institut für Numerische Mathematik ¨Ubungen Parallele Algorithmen

Institut für Numerische Mathematik
Übungen Parallele Algorithmen in der Numerik
3. November 2004
4. Übung: Finite Elemente, hp-Methoden, orthogonale Polynome
1. Man zeige die folgenden Beziehungen zwischen den Legendre und integrierten Legendrepolynomen (vgl. Vorlesung):
Z
1
Li (x)Lj (x) dx = ci δij ,
(1)
−1
L̂i (x) = γi (Li (x) − Li−2 (x)),
L̂i (±1) = 0, ∀i ≥ 2.
∀i ≥ 2,
(2)
(3)
Zusatz: Man bestimme die Zahlen ci in (1).
Zusatz: Man zeige
(i + 1)Li+1 (x) = (2i + 1)xLi (x) − iLi−1 (x).
(4)
2. Seien
Z
p
1
L̂i (x)L̂j (x) dx
M=
−1
Z
und
K=
i,j=0
p
1
L̂0i (x)L̂0j (x)
−1
.
dx
i,j=0
Man berechne M und K.
Hinweis: Aufgabe 1 verwenden.
3. Ansatzfunktionen höherer Ordnung auf dem Dreieck:
Sei ∆ das Referenzdreieck mit den Ecken v1 = (0, 0), v2 = (1, 0), und v3 = (0, 1) und Pp der
Raum der Polynome vom Grade p.
(a) Man bestimme die Dimension n von Pp und gebe die kanonische Basis an.
(b) Ist diese Basis als FE-Ansatzraum geeignet?
(c) Man bestimme nun eine Basis Ψ = [ψ1 , . . . , ψn ] von
erfüllt:
Pp, die folgende Bedingungen
• Sei vj , j = 1, 2, 3 eine Ecke von ∆. Dann gilt ψi (vj ) = δij , i = 1, . . . , n.
• Seien ej , j = 1, 2, 3 die Kanten von ∆. Dann gibt es genau p − 1 Funktionen aus
ψ4 , . . . , ψn , die nicht auf ej verschwinden.
4. Wie lassen sich die in Aufgabe 3 beschriebenen Funktionen lokal, d.h. auf dem Element, und
global, d.h. auf dem FE-Netz, am besten in Vertex-based Functions, Edge-based Functions und
interior bubbles unterteilen?
5. In Abbildung 1 ist ein FE-Netz für lineare Elemente in der lokalen und globalen Nummerierung
der nodalen Ansatzfunktionen gegeben. Man bestimme die Matrizen H0 , H1 und H2 .
14
12
1
15
3
20
13
5
18
2
16
10
6
19
8
6
7
11
9
7
1
4
9
Proz.1
21
4
3
5
2
2
6
9
3
5
8
4
7
1
17
proz 2
2
3
7
8
9
4
5
1
9
Proz. 0
6
Abbildung 1: FE-Netz in der lokalen (links) und globalen (rechts) Nummerierung.
2