Blatt 07.1: Zentralkraft

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber,
Katharina Stadler, Lukas Weidinger
http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/T1_theor_mechanik/
Blatt 07.1: Zentralkraft
Ausgabe: Freitag, 20.05.16; Abgabe: Freitag, 27.05.16, 13:00
(b)[2](E/M/A) bedeutet: Aufgabe (b) zählt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll
Beispielaufgabe 1: Gekoppelte Massenpunkte – auf Tisch rotierend bzw. hängend [10]
Punkte: (a)[2](M); (b)[2](M); (c)[2](M); (d)[2](E); (e)[2](M).
Betrachten Sie eine Tischplatte mit einem Loch, durch das ein Seil der Länge l geführt wird, an
dessen Enden sich die Massen m1 und m2 befinden. Die Punktmasse m1 bewegt sich reibunglos
auf dem Tisch und wird durch Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z = 0) beschrieben, während die Masse
m2 senkrecht nach unten hängt.
(a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion mit den verallgemeinerten Koordinaten ρ und φ auf. Finden
Sie die Bewegungsgleichungen.
(b) Benutzen Sie die Erhaltungsgrößen des Systems, um die Bewegungsgleichungen zu vereinfachen. Skizzieren Sie das effektive Potential Veff .
(c) Bei geeigneten Anfangsbedingungen bewegt sich m1 auf einer Kreisbahn. Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für diesen Fall.
(d) Warum kann für gegebene Anfangswerte ρ0 = ρ(0) 6= 0 und ω0 = φ̇(0) 6= 0 bei t = 0 die
rotierende Masse nicht durch das Loch fallen?
(e) Was ist, für gegebene Anfangswerte ρ(0) = ρ0 und ρ̇(0) = 0, die minimale Anfangs(winkel)geschwindigkeit
φ̇(0) = φ0 , für die das hängende Teilchen bis an den Tisch herangezogen wird?
Beispielaufgabe 2: Virial-Satz für Potenzgesetz-Potenzial [5]
Punkte: [5](M).
Wir betrachten einen Massenpunkt in einem Potenzial der Form V (r) = αrk . Zeigen Sie, dass bei
beschränkten Bahnen für die zeitlichen Mittelwerte der kinetischen Energie T und der potenziellen
Energie V der Virialsatz gilt: 2T̄ = k V̄ .
P
Hinweis: Betrachten Sie die Zeitableitung der Größe A = 3i=1 mxi ẋi und führen Sie die Zeitmittelung ´von Ȧ durch. Das formale Rezept zur Zeitmittelung einer Observable X(t) ist X̄ =
τ
limτ →∞ τ1 0 dt X(t).
Beispielaufgabe 3: Testfragen [5]
Punkte: [5](M).
1.
Welche Symmetrien gelten für ein Zweikörperproblem mit Zentralkraft?
2.
Welche Erhaltungsgrößen folgen daraus?
1
3.
Was kann man aus dem effektiven Potential über die Bewegung des Systems lernen?
[Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 20]
Hausaufgabe 1: 2-Körperproblem mit Federkraft [10]
Punkte: (a)[2](E); (b)[1](E); (c)[1](E); (d)[1](E); (e)[2](M); (e)[3](A).
Zwei Teilchen umkreisen einander mit einer linear vom Abstand abhängigen Kraft, F12 = −F21 =
+k(r2 − r1 ).
(a) Wie lautet die Lagrange-Funktion, ausgedrückt durch die Gesamtmasse M , reduzierten Masse
µ, Schwerpunktskoordinaten R und Relativkoordinaten r, letztere angegeben mittels Zylinderkoordinaten r(ρ, φ, z)? Wie lauten die Lagrange-Gleichungen und Erhaltungsgrößen für die
Relativkoordinaten?
(b) Zeigen Sie, dass der Relativabstand ρ eine Gleichung der Form µρ̈ = −∂Veff (ρ) erfüllt. Wie
lautet das effektive Potential Veff für gegebenen Drehimpuls L?
(c) Erläutern Sie mittels einer qualitativen Skizze von Veff die möglichen Lösungen ρ(t) für eine
gegebene Energie E.
(d) Zeigen Sie auf zwei Weisen (Integration der Gleichung aus ((b)), sowie Nutzung von Energieerhaltung), dass der Relativabstand folgende Gleichung erfüllt:
s
p
L2
k
− ρ2
(1)
ρ̇(t) = ± 2/µ E −
2
2µρ
2
(e) Integrieren Sie Gl. (1) mittels der Substitution x = ρ2 und Separation der Variablen und
zeigen Sie, dass
!
p
E
−
kx(t)
1
µ/k arcsin p
,
t − t∗ = ∓
2
E 2 − kL2 /µ
wobei t∗ eine Kombination der Integrationskonstanten ist. Wann ist welches Vorzeichen zu
benutzen? Finden Sie die Periode τρ der radialen Bewegung, für die ρ(t + τρ ) = ρ(t) gilt.
dρ
= φ̇ρ̇ . Finden Sie die Periode
(f) Finden Sie die Bahn, ρ(φ), durch Integration der Gleichung dφ
τφ der Winkelbewegung, für die φ(t + τφ ) = φ(t) gilt. Skizzieren Sie qualitativ die Bahn ρ(φ)
des Teilchens in der Bewegungsebene. Ist sie geschlossen?
Hausaufgabe 2: Homogen geladener Draht [10]
Punkte: (a)[2](E); (b)[2](E); (c)[2](E); (d)[2](E); (e)[2](M); (f)(Bonus)[2](A).
Wir betrachten einen homogen geladenen, unendlich langen Draht in ez -Richtung, mit konstanter,
negativer Linienladungsdichte σ(z) = σ < 0 [d.h. seine Ladung Qab in einem Abschnitt a bis b ist
´b
Qab = a dz σ(z) = (b − a)σ]. Im Folgenden benutzen wir Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z).
(a) Die Coulomb-Kraft zwischen zwei Ladungen q1 und q2 lautet F12 =
2
r1 −r2
|r1 −r2 |3
· q1 q2 .
Die Kraft F(ρ, φ, z), die der Draht auf eine positive Probeladung q mit Masse m am
Ort r(ρ, φ, z) ausübt, ist die Vektorsumme
der von allen infinitesimalen Ladungselementen
σdz entlang des gesamten Drahtes ausgeübten
Kräfte. Aufgrund von Zylindersymmetrie zeigt
sie in radiale Richtung, F = F (ρ)eρ , und ihre Größe F (ρ) hängt nur vom Abstand ρ zum
Draht ab. Berechnen Sie diese mittels
ˆ
∞
dz
F (ρ) =
−∞
qσ cos[α(z)]
,
z 2 + ρ2
mit
ρ
cos[α(z)] = p
.
ρ2 + z 2
(b) Zeigen Sie, dass das zugehörige Potential folgende Form hat:
ρ
U (ρ) = a ln
, mit a = −2qσ, wobei ρ0 ein beliebiger Radius 6= 0 ist :
ρ0
(c) Wie lauten die Lagrange-Funktion und Bewegungsgleichungen für die Probeladung?
(d) Zeigen Sie, dass φ eine zyklische Variable ist und bestimmen Sie die dazugehörige Erhaltungsgröße (Drehimpuls L). Nutzen Sie diese Erhaltungsgröße um ein effektives Potential Veff (ρ)
zu bestimmen.
(e) Bei welchem Radius, ρm , ist das effektive Potential Veff (ρ) minimal? Betrachten Sie vortan
Bahnen mit Radius nahe dem Minimum, d.h. ρ = ρm + δ, mit δ ρm . Zeigen Sie, durch
Entwicklung der radiale Bewegungsgleichung bis zur ersten Ordnung in δ, dass der Radius
harmonische Oszillationen um das Minimum vollführt. Wie lautet deren Frequenz ω?
(f) (Bonus) Wir betrachten nun ein Teilchen, dessen Geschwindigkeit in z-Richtung 0 ist, sodass
es sich in einer Ebene senkrecht zum Draht bewegt. Entwickeln Sie φ̇ = L/(mρ2 ) ebenfalls
bis zur linearen Ordnung in δ um ρm . Zeigen Sie, dass sich in dieser Näherung unabhängig
von der Wahl des Drehimpulses L niemals eine geschlossene Bahnkurve ergibt.
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 20]
3