Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 20. 01. 2006
Aufgabe 26. Eigenfunktionen des Vernichtungsoperators (12 Punkte)
Betrachten Sie das Anfangswertproblem
i~
∂ψ
= Ĥψ
∂t
,
Ĥ =
p̂2
+ 1 mω 2 x2
2m 2
,
eines eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillators mit der Anfangsamplitude ψ(x, 0) = φ0 (x−x0 ) ≡ p
ψ0 (x), wobei φ0 die Grundzustandswellenfunktion darstellt: φ0 (y) =
2
2
ℓ−1/2 π −1/4 e−y /2ℓ , ℓ = ~/mω. Als Hilfsvariablen definieren wir ξ ≡ xℓ und ξ0 ≡ xℓ0 .
(a)
Zeigen Sie, dass ψ0 (x) = [e−ix0 p̂/~φ0 ](x) gilt.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe der Baker-Hausdorff-Formel in Aufgabe 11 (a), Teil (iii):
1 2
†
√
ψ0 = e− 4 ξ0 eξ0 a / 2 φ0 ,
d
wobei der Erzeugungsoperator durch a† = √12 ξ − dξ
gegeben ist.
(c)
(1)
Zeigen Sie, dass (1) gleichbedeutend ist mit:
− 14 ξ02
ψ0 = e
√ n
∞
X
ξ0 / 2
√
φn
n!
n=0
,
wobei φn wie üblich den normierten n-ten angeregten Eigenzustand des harmonischen Oszillators darstellt.
d
(d) Zeigen Sie, dass ψ0 eine Eigenfunktion des Vernichtungsoperators a ≡ √12 ξ + dξ
zum
√
die Erwartungswerte der
Eigenwert ξ0 / 2 ist. Berechnen Sie mit Hilfe dieses Ergebnisses
q
†
2
2
Operatoren n̂ ≡ a a, n̂ und Ĥ sowie die Unschärfe ∆n ≡ hn̂ i − hn̂i2 im Zustand ψ0 .
(e)
Bestimmen Sie die zeitabhängige Wellenfunktion ψ(x, t). Zeigen Sie insbesondere, dass
|ψ(x, t)| = φ0 (x − x0 cos(ωt)) gilt, und beschreiben Sie die Zeitentwicklung des Wellenpakets in Worten.
(f)
Bestimmen Sie die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte von Ĥ, x, x2 , p̂, p̂2 sowie diejenige der Unschärfen ∆x und ∆p und des Produkts ∆x∆p.
(g)
In welchem Grenzfall reduziert sich der hier betrachtete quantenmechanische Oszillator mit
Anfangswellenfunktion ψ0 (x) auf den klassischen harmonischen Oszillator mit Masse m,
Frequenz ω und maximaler Auslenkung x0 ?
Aufgabe 27. Der Zeitentwicklungsoperator (8 Punkte)
Der Zeitentwicklungsoperator des quantenmechanischen harmonischen Oszillators ist laut Vorlesung gegeben durch:
i
1
[cos(ωt)(ξ 2 +η2 )−2ξη]
e 2 sin(ωt)
,
Ut (x|y) = p
ℓ 2πi sin(ωt)
(2)
wobei ξ = xℓ , η =
(a)
y
ℓ
und ℓ =
q
~
mω
gilt.
Leiten Sie aus (2) in einem geeigneten Grenzfall den in Aufgabe 4 (a) berechneten Zeitentwicklungsoperator für ein freies Teilchen her.
(b) Zeigen Sie, dass der Zeitentwicklungsoperator Ut′ (x|y) zum Hamiltonian
Ĥ′ (x, p̂) =
p̂2
+ V (x0 + x) − V (x0 )
2m
für ein beliebiges Potential V durch
Ut′ (x|y) = eiV (x0 )t/~ Ut (x0 + x|x0 + y)
(3)
gegeben ist, wenn Ut (x|y) der Zeitentwicklungsoperator zu Ĥ = p̂2 /2m + V (x) ist.
(c)
Leiten Sie aus (2) und (3) in einem geeigneten Grenzfall und durch eine geschickte Wahl
für x0 den Zeitentwicklungsoperator für ein Teilchen unter der Einwirkung einer konstanten
p̂2
− F x. Wie könnte man ein solches lineares Potential in einem
Kraft F ab: Ĥ′ (p̂, x) = 2m
quantenmechanischen System beispielsweise realisieren? Überprüfen Sie, dass Ihr Ergebnis für den Zeitentwicklungsoperator im Falle des linearen Potentials in einem geeigneten
Grenzfall mit dem Resultat für das freie Teilchen übereinstimmt.