Übungsblatt 6

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2006
Übungsblatt 6
Themen: Stetige Zufallsgrössen, Normalverteilung, Exponentialverteilung
Abgabetermin: Mittwoch, 24. Mai, bzw. Freitag, 26. Mai, bei der Übungsleiterin oder beim
Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Stetige Zufallsgrössen
Aufgabe 76 (◦). Wir betrachten die Funktion f : R → R, definiert durch


für x < 0,
0
f (x) := x
für 0 ≤ x < 1

 −3
x
für x ≥ 1.
a) Weisen Sie nach, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgrösse X ist und
zeichnen Sie den Graphen.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P[0.5 ≤ X ≤ 1.5]. Stellen Sie diese Wahrscheinlichkeit im Graphen dar.
c) Wie ist der Median von X zu definieren? Wie gross ist er?
Aufgabe 77. (4 Punkte) a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion


für x < 0,
0
2
f (x) := 2x − x für 0 ≤ x ≤ 1,

 −4
x
für x > 1.
b) Zeigen Sie, dass f die Dichtefunktion einer Zufallsgrösse X ist.
c) Berechnen Sie P[−2 < X ≤ 2].
d) Wie gross müssen Sie a wählen, dass P[X ≤ a] = 3/4 gilt?
Aufgabe 78. (4 Punkte) a) Bestimmen Sie die Konstante c > 0 so, dass die Funktion
f : R → R,
(
0
für x < 0,
f (x) :=
−2
c(x + 2)
für x ≥ 0
die Dichtefunktion einer Zufallsgrösse Y ist und zeichnen Sie den Graphen.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion von Y an und zeichnen Sie ihren Graphen.
c) Berechnen Sie den Median von Y .
Aufgabe 79 (4 Punkte). Eine Funktion f mit dem untenstehenden trapezförmigen
Graphen soll die Dichtefunktion einer Zufallsgrösse Z sein.
•
h
.....................................
......
...
......
...
......
...
......
...
.
.
......
..
.
......
.
..
......
.
.
......
..
.
......
.
..
......
.
.
....
.................
−2 −1
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0
1
2
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a) Bestimmen Sie die Höhe h.
b) Berechnen Sie P[−1.5 ≤ Z ≤ 0.5].
Aufgabe 80 (4 Punkte). a) Bestimmen Sie die Konstante a so, dass die Funktion f :
R → R,


für x < 0,
0
f (x) := 3x für 0 ≤ x ≤ a,


0
für x > a
die Dichtefunktion einer Zufallsgrösse X ist und zeichnen Sie den Graphen.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F von X und ihren Graphen an.
c) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit P[(X − 1)2 > 0.25].
Aufgabe 81 (3 Punkte). Die Zufallsgrösse U sei auf dem Intervall [10, 20] uniformverteilt. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P[U ≤ 16],
√ b) P[U < 16],
2
c) P[100 ≤ U ≤ 144], d) P[−U ≥ −18.5], e) P[10 ≤ U + 4 ≤ 20], f) P[ U < −4].
Die Normalverteilung
Aufgabe 82 (◦). Die zufällige Abweichung der Länge eines Werkstücks vom Sollmass ist
normalverteilt mit µ = 0 mm und σ = 1 mm. Stücke mit einer Abweichung, die zwischen
−0.5 und +0.5 mm liegt, sind gut, solche mit einer Abweichung zwischen +0.5 und +1.5
mm werden nachbearbeitet, der Rest ist Ausschuss.
a) Was bedeutet die Angabe µ = 0 mm konkret? Geben Sie eine kurze Antwort.
b) Welches sind die Wahrscheinlichkeiten der drei Sorten («gut», «wird nachbearbeitet»,
«Ausschuss»)?
c) Zeichnen Sie den Graphen der Dichtefunktion der zugehörigen Normalverteilung.
Wichtig sind: Symmetrie und Wendepunkte. Tragen Sie auch die entsprechenden Punkte
auf der y-Achse ein.
d) Stellen Sie in der Figur von c) die unter b) bestimmten Wahrscheinlichkeiten geometrisch dar. Verwenden Sie verschiedene Farben.
e) Verkauft werden die guten und die nachbearbeiteten Teile, nicht aber der Ausschuss.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein verkauftes Werkstück nachbearbeitet worden?
Aufgabe 83 (4 Punkte). Skizzieren Sie im selben Koordinatensystem und mit verschiedenen Farben die Graphen, inkl. Extrema und Wendepunkte, der Dichtefunktion der
folgenden Normalverteilungen: a) N(1, 0.4), b) N(1, 0.8), c) N(−1, 0.8).
d) Überlegen Sie sich anhand der Skizzen, was der Median einer N(µ, σ 2 )-verteilten Zufallsgrösse ist. Sie brauchen den Median nicht zu formal zu berechnen, sondern nur eine
anschauliche Begündung zu geben!
Aufgabe 84 (3 Punkte). Sei X eine N(0, σ 2 )-verteilte Zufallsgrösse. Geben Sie die Verteilung von −X an, d. h. bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von −X und geben Sie,
wenn vorhanden, eine Dichtefunktion von −X an.
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Aufgabe 85 (3 Punkte). Wie gross sind für eine N(0, 1)-verteilte Zufallsgrösse X die
folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P[|X| ≤ 1], b) P[|X| ≤ 2], c) P[|X| ≤ 3] d), P[X >
−0.5], e) P[−0.2 ≤ X ≤ 0.3], f) P[−0.2 < X < 0.3].
Aufgabe 86 (4 Punkte). Seien X : Ω → R und Y : Ω → R zwei unabhängige N(0, 1)verteilte Zufallsgrössen. Sei weiter Z := X.
a) Berechnen Sie P[X ≤ 1, Y ≤ 2].
b) Wie gross ist P[X ≤ 1, Z ≤ 2]?
c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P[X > 1, Y ≤ 2] an.
d) Wie gross ist P[|X| ≤ 1, Y = 3]?
Die Exponentialverteilung
Aufgabe 87 (4 Punkte). Die Exponentialverteilung mit Rate λ > 0 ist durch die Dichtefunktion f : R → R,
(
0
für t < 0,
f (t) :=
−λt
λe
für t ≥ 0
gegeben.
a) Skizzieren Sie den Graphen von f und weisen Sie nach, dass es sich bei f tatsächlich
um eine Dichtefunktion handelt.
b) Sei Z eine Zufallsgrösse mit Dichtefunktion f . Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von Z.
c) Was ist der Median von Z?
d) Uran U-238 hat eine Halbwertszeit von 4.468 · 109 Jahren. Die (exponentialverteilte)
Zufallsgrösse W misst die Wartezeit eines einzelnen Uran-Atoms bis zu seinem Zerfall.
Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsdichte von W aus? (vgl. dazu den folgenden Hinweis)
Hinweis. Die Exponentialverteilung wird oft verwendet, wenn die Zufallsgrösse eine «Wartezeit» oder «Lebensdauer» misst, also die Zeit t bis zum Eintreffen eines bestimmten
Ereignisses. Das klassische Beispiel dafür ist der Atomzerfall, wo die Dauer bis ein bestimmtes radioaktives Isotop zerfällt gemessen wird .
In einem radioaktiven Gegenstand gibt es viele aktive Isotope. Der Median den wir in d)
berechnen, entspricht dem Zeitpunkt t̃, wo ein einzelnes dieser Isotope mit Wahrscheinlichkewit 50% zerfallen ist. Im Durchnitt wird also zu diesem Zeitpunkt t̃ etwa die Hälfte
aller Isotope im radioaktiven Gegenstand zerfallen und somit die Strahlung auf die Hälfte abgesunken sein. In diesem Zusammenhang ist der Median einer exponentialverteilten
Zufallsgrösse besser bekannt unter dem Begriff «Halbwertszeit».
Aufgabe 88 (4 Punkte). Sei X eine Exp(λ)-verteilte Zufallsgrösse.
a) Berechnen Sie P[X > t] für t > 0.
b) Es sei s > 0 eine fest gewählte Zahl. Nun sei F das Ereignis {X > t} und E das
Ereignis {X > t + s}. Zeigen Sie, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit
P[E|F ] = P[X > t + s|X > t]
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nicht von t abhängt.
c) Interpretieren Sie das Resultat von c) für den Fall, wo X die «Wartezeit» bis zum
nächsten grossen Meteoriteneinschlag auf der Erde, etwa in Jahrtausenden, bezeichnet.
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