¨Ubung Quantenmechanik 2,¨Ubung 1

Übung Quantenmechanik 2, Übung 1
Sven Buder
09. April 2013
Wiederholung
mathematische ‘Räume“
Vektorraum V mit
Metrik
Norm
Skalarprodukt (Innenprodukt)
zusätzliche Struktur
metrischer Raum
normierter Raum
Prähilbertraum
plus Vollständigkeit
vollständiger metrischer Raum
Banachraum
Hilbertraum
Spezieller nach unten hin und nach rechts hin.
Definitionen
• Vektorraum [V,+,K], wobei K = R oder K = C
• metrischer Raum [M,d]
• Norm, z.B. d(x, y) = kx − yk
• vollständiger Raum (Stichwort ‘Cauchy-Folge“)
• Skalarprodukt (reell, komplex)
Metrik
M. beliebige Menge
d : M x M → R heißt Metrik auf M, wenn für beliebige Elemente x,y,z ∈ M die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
1. d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung)
Norm
ist eine Abbildung in die nichtnegativen Zahlen
k·k:V→R
x 7→ kxk
1. kxk = 0 → x = 0
2. kα · xk = |α|kxk
3. kx + yk ≤ kxk + kyk
1
Skalarprodukt
für K = R
(·, ·) : V x V → R
1. (v, v) ≥ 0 und (v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0
2. (u, v) = (v, u)
3. (α1 u1 + α2 u2 , v) = α1 (u1 , v) + α2 (u2 , v)
Im euklidischen Raum: [R3 , +, R]
für K = C
(·, ·) : V x V → C
1. (v, v) ≥ 0 und (v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0
2. (u, v) = (v, u)∗ wobei gilt z = a + bı und z = z ∗ = a − bı
3. (u, α1 v1 + α2 v2 ) = α1 (u, v1 ) + α2 (u, v2 )
Folgerung
Beachte: Konstanten im ersten Skalarfaktor werden hier definitionsgemäß beim Ausklammern komplex konjugiert, Konstanten im zweiten hingegen nicht!
2)
3)
3)
(α1 u1 + α2 u2 , v) = (v, α1 u1 + α2 u2 )∗ = [α1 (v, u1 ) + α2 (v, u2 )]∗ = α1∗ (v, u1 )∗ + α2∗ (v, u2 )∗ = α1∗ (u1 , v) + α2∗ (u2 , v)
Insbesondere:
(α1 u1 + α2 u2 , v) 6= α1 (u1 , v) + α2 (u2 , v)
In der Quantenmechanik
Hilbertraum H
• komplexer Hilbertraum: |ϕi, |ψi ∈ H, [H, +, C]
Skalarprodukt hϕ| ψi
1. hϕ| c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ| ψ1 i + c2 hϕ| ψi
2. hϕ| ψi = hψ| ϕi
∗
3. hϕ| ϕi > 0 für |ϕi =
6 |0v i
• (hϕ| ψi: Skalarprodukt des geordneten Paares (|ψi , |ϕi)
• hϕ| c1 ψ + c2 ψi bedeutet das Skalarprodukt des Paares (c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i , ϕ)
Norm
k |ψi k =
p
hψ| ψi
1. k |ψi k > 0 für |ψi =
6 |0v i
2. k |ψi + |ϕi k ≤ k |ψi k + k |ϕi k
3. kc |ψi k = |c|k |ψi k
2
(∗)
(1)
Schwarzsche Ungleichung
| hϕ| ψi | ≤ k |ϕi k · k |ψi k
Sonstiges
Def.
• |ψi, |ϕi sind orthogonal ⇐⇒ hψ| ϕi = 0
• Vollständigkeit von H in der durch das Skalarprodukt definierten Norm (siehe Gl. Gleichung 1):
k |ψm i − |ψn i k < ε für m, n > N ⇒ ∃ |ψi ∈ H mit |ψm i −→ |ψi
n→∞
• Separabilität: ∃ abzählbare unendliche Teilmenge
{|ψi i}∞
i=1
⊂ H, die dicht in H ist
Satz
In jedem Hilbertraum H gibt es ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS):
{|ψi i}∞
i=1
hψi | ψj i = δij
|ψi =
hψj | ψi =
∞
X
i=1
∞
X
i=1
ci |ψi i mit ci = hψi | ψi
ci hψj | ψi i
| {z }
δij =δji
= cj
|ψi =
=
∞
X
hψi | ψi |ψi i
i=1
∞
X
|ψi i hψi | |ψi
i=1
|
{z
}
î Einheitsiperator
Dualer Raum
[”Bra-Vektoren”hψ| in H0 , ”Ket-Vektoren”|ψi in H]
Ket-Vektoren: |αi =
P∞
ai |ψi i
 
 
a1
b1
a2 
b2 
 
 

 
Darstellungen von |αi: |αi = 
 ·  und |βi =  · , also Spaltenvektoren
·
·
·
·
P∞ ∗
Skalarprodukt von |αi und |βi: hβ| αi = i=1 bi ai
i=1
Interpretation von hβ| als Bra-Vektor dargestellt als Zeilenvektor: hβ| = (b∗1 , b∗2 , . . . )
|βi =
P∞
i=1 bi
|ψi i ←→ hβ| =
P∞
∗
i=1 bi
hψi | mit hβ| ψj i = b∗i
∞
0
{|ψi i}∞
i=1 Basis in H ⇐⇒ {hψi |}i=1 Basis in H
3
| · hψj |
Operatoren in Hilberträumen
 : H −→ H
genauer
D(Â)
| {z }
Def.-Bereich
−→
W (Â)
| {z }
Werte-Bereich
|ψi 7−→ Â |ψi
| {z }
|ψ 0 i∈H
(Â + Ê) |ψi = Â |ψi + Ê |ψi, aber: Definitionsbereich beachten (siehe Skizze)!
Â0 = î
Â1 = Â
Â2 = ÂÂ
...
4