4 Grundaufgaben der Kombinatorik Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik können am Beispiel der Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen erklärt werden, n, k ∈ N. 1. Wiederholungen zugelassen, Reihenfolge wird berücksichtigt ⇒ Variationen mit Wiederholungen von n Elementen zur k-ten Klasse: Ihre Anzahl Ṽnk x n x n x ... n ... ist gleich Ṽnk = nk k-Plätze x n (Möglichkeiten) Bsp.1 Wieviele verschiedene fünfstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1,2,3,4 bilden? n = 4, k = 5, Ṽnk = Ṽ45 = 45 = 1024 2. Wiederholungen nicht zugelassen, Reihenfolge wird berücksichtigt ⇒ Variationen ohne Wiederholungen von n Elementen zur k-ten Klasse: Ihre Anzahl Vnk = n(n − 1) · ... · (n − k + 1) = x n Spezialfall k = n : k-Plätze x x ... (n-1) (n-2) ... n! (n − k)! x (n-(k-1)) Vnk = n · (n − 1) · ... · (n − n + 1) = n! - Permutationen von n-Elementen Bsp.2 Am 100-m-Endlauf der Olympischen Spiele nehmen 8 Sportler teil. Wieviele verschiedene Medaillenverteilungen gibt es? (Mehrfach Vergabe einer Medaille sei ausgeschlossen!) n = 8, k = 3, Vnk = V83 = 8 · 7 · 6 = 336 3. Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt ⇒ Kombinationen ohne Wiederholung von n-Elementen zur k-ten Klasse: Ihre Anzahl Cnk n(n − 1) · ... · (n − k − 1) n! = = = (n − k)! · k! k! n k Bsp.3 Wieviele verschiedene Ziehungsergebnisse sind bei ’”6 aus 45’”möglich? (Ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl!) 6 n = 46, k = 6 C49 = 49 = 13983816 6 4. Wiederholung zugelassen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt ⇒ Kombinationen mit Wiederholung von n-Elementen zur k-ten Klasse: n+k−1 n+k−1 (n + k − 1)! k Ihre Anzahl C̃n = = = k k!(n − 1)! n−1 Bsp.4 Jemand möchte 10 Briefmarken kaufen, wobei 3 verschiedene Sorten (in genügenden Umfang) vorhanden sind. Wieviel verschiedene Kaufzusammenstellungen gibt es? 3+10−1 10 n = 3, k = 10 C̃3 = = 66 10