Satz 7.

Satz 7.
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar,
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar,
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB|
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis:
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe.
”
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“.
”
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen:
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen,
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1.
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist,
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
(x1 − x2 )2
u
| {z }
t
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
(x1 − x2 )2
+
(y1 − y2 )2
u
| {z }
| {z }
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
Satz 7. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q enthalten ist.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar, und umgekehrt.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 6 und Ihre Hausaufgabe. Wir
”
beweisen in =⇒“. Wir werden
die Konstruktionsschritte (a)–(e) in
”
Standard-Koordinaten yx auf (R2 , +, •, h , i) nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
iter. quadr.
u
(x1 − x2 )2
+
(y1 − y2 )2
∈ Erweiterung .
u
| {z }
| {z }
von Q
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
Es genügt nachzuprüfen, dass:
Es genügt nachzuprüfen, dass:
(i) Schnittpunkt der Geraden
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R}
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R}
− y1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um x0 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,
1
2
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K, in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K, in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen.
(i): Gerade ∩ Gerade
(i): Gerade ∩ Gerade
x Falls die Gerade G1 := {
1
y1
+t
x
2 − x1
y2 − y1
, wobei t ∈ R}
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R},
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind,
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
Da die Gerade nichtparallel sind,
ist
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet,
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
det
x
=
2 − x1
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
x4 − x3
x2 − x1
x
3 − x1
y3 − y1
(i): Gerade ∩ Gerade
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
x
−(x4 − x3 ) −1
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
det
x
=
2 − x1
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
x4 − x3
x2 − x1
x
Wir sehen, dass die Koordinaten des Schnittpunkts in K liegen.
3 − x1
y3 − y1
(ii): Kreis ∩ Gerade
(ii): Kreis ∩ Gerade
Betrachte den Kreis um
x 0
y0
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K,
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegt r in einer quadratischen
Erweiterung von K
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R}
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
,
− y1
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t,
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K oder K(r ) sind.
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c.
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die Schnittpunkte der Geraden G1
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die
Schnittpunkte
x − x der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte
x1
2
1 .
+
t
±
y1
y2 − y1
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die
Schnittpunkte
x − x der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte
x1
2
1 . Deren Koordinaten liegen in einem iterierten
+
t
±
y1
y2 − y1
quadratischen Erweiterung von K.
(ii): Kreis ∩ Gerade
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K, liegtpr in einer quadratischen
2
Erweiterung von K (in K oder in K( (x4 − x3 )2 + (y
4 − y3 ) )).
x1
x2 − x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { y1 + t y2 − y1 , wobei t ∈ R} mit dem
x1
Kreis ist der Punkt der Form xy11 + t xy22 −
, der auf dem Kreis liegt, i.e.
− y1
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K
qoder K(r ) sind.
b 2
b
− c. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2a ±
2a
iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Die
Schnittpunkte
x − x der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte
x1
2
1 . Deren Koordinaten liegen in einem iterierten
+
t
±
y1
y2 − y1
quadratischen Erweiterung von K.
(iii): Kreis ∩ Kreis
(iii): Kreis ∩ Kreis
Den Kreis um
x 0
y0
(iii): Kreis ∩ Kreis
Den Kreis um
x 0
y0
(bzw. um
x ′ 0
y0′
)
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
zwischen xy11 und xy22
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist,
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ )
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken,
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen.
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen,
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich.
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Daraus
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K.
(iii): Kreis ∩ Kreis
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r ∈ K
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ ∈ K zwischen yx1′ und yx2′ )
1
2
ist, ist die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Daraus
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K.
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) beweisen
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) beweisen
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) beweisen
und die Quadratur des Kreises
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) beweisen
und die Quadratur des Kreises (nur besprechen),
2. Unmöglichkeit von konstruieren von 7−Eck und 9−Eck
beweisen.
Nichtkonstruierbarkeit.
Wir werden
1. Ummoglichkeit von 3 klassischen Konstruktionsproblemen
besprechen:
◮
◮
◮
die Dreiteilung des Winkels beweisen,
die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) beweisen
und die Quadratur des Kreises (nur besprechen),
2. Unmöglichkeit von konstruieren von 7−Eck und 9−Eck
beweisen.
Vorbereitungsätze
Vorbereitungsätze
Frage
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel,
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis Liegt y in einem Körper, der durch
k-malige quadratische Erweiterung aus Q entsteht,
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis Liegt y in einem Körper, der durch
k-malige quadratische Erweiterung aus Q entsteht, so sagen wir, y
sei auf dem Niveau k.
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis Liegt y in einem Körper, der durch
k-malige quadratische Erweiterung aus Q entsteht, so sagen wir, y
sei auf dem Niveau k.
Bsp.
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis Liegt y in einem Körper, der durch
k-malige quadratische Erweiterung aus Q entsteht, so sagen wir, y
sei auf dem Niveau k.
Bsp. 1/2 ist auf dem Niveau 0,
Vorbereitungsätze
Frage Wie beweist man, dass eine Zahl nicht in einem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt?
Def. 6 Eine kubische Gleichung x 3 + lx 2 + mx + n = 0 heißt
irreduzibel, wenn die Koeffizienten l, m, n rational sind, aber keine
Lösung der Gleichung rational ist.
Satz 8 Ist die Zahl x Lösung einer irreduziblen kubischen Gleichung
x 3 + lx 2 + mx + n = 0,
(1)
so liegt x nicht in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Def. vor dem Beweis Liegt y in einem Körper, der durch
k-malige quadratische Erweiterung aus Q entsteht, so sagen wir, y
sei auf dem Niveau k.
√
Bsp. 1/2 ist auf dem Niveau 0, 1 + 3 ist auf dem Niveau 1.
Widerspuchsbeweis.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1),
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf dem kleinstem Niveau k ist.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q,
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir setzen dies in (1)
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b
s)3 + l(a + b
s)2 + m(a + b
s) + n
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
A auf dem Niveau k − 1
} |
{z
}
B auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
A auf dem Niveau k − 1
Ist A 6= 0 6= B,
} |
{z
}
B auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss),
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1,
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
widerspricht.
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
widerspricht. Dann ist A = B = 0,
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l,
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Folgerung
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Folgerung Um zu beweisen, dass eine Zahl nichtkonstruirbar ist,
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Folgerung Um zu beweisen, dass eine Zahl nichtkonstruirbar ist, können
wir zeigen, dass die Zahl eine Nullstelle einer irreduziblen kubischen
Gleichung ist.
Widerspuchsbeweis. Angenommen, eine Lösung der Gleichung (1) läge
in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Sei x1 die Lösung
von (1), die auf√dem kleinstem Niveau k ist. Da x1 6∈ Q, ist k ≥ 1.Es gilt
also x1 = a + b s mit geeigneten Zahlen a, b, s auf dem Niveau k − 1.
Wir √setzen dies√ in (1) ein√und erhalten
(a + b s)3 + l(a + b s)2 + m(a + b s) + n =
√
3
2
2
2
2
3
(a + 3ab s + a l + b sl + ma + n) + (3a b + b s + 2abl + bm) s = 0.
|
{z
} |
{z
}
√ B auf dem Niveau k − 1
√
Ist A 6= 0 6= B, so ist s auf dem Niveau k − 1 (weil s = −A/B ist,
und nach deswegen nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1 liegen muss), also
ist x1 nach Satz 6 auf dem Niveau k − 1, was Voraussetzungen
√
widerspricht. Dann ist A = B = 0, und deswegen x2 := a − b s auch
eine Nullstelle der Gleichung (1), denn es ist
A auf dem Niveau k − 1
x23 + lx22 + mx2 + n
√
= (a3 + 3ab 2 s + a2 l + b 2 sl + ma + n) − (3a2 b + b 3 s + 2abl + bm) s = 0.
Nach Satzgruppe von Viëta ist die Summe der drei Nullstellen von (1)
gleich −l, also ist −l − 2a ebenfalls eine Nullstelle. Sie ist auf dem
Niveau k − 1. Das ist ein Widerspruch.
Folgerung Um zu beweisen, dass eine Zahl nichtkonstruirbar ist, können
wir zeigen, dass die Zahl eine Nullstelle einer irreduziblen kubischen
Gleichung ist.
Satz 9
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich:
”
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“
”
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel,
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ).
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein,
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r ,
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch. Also ist s = 1
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch. Also ist s = 1 und daher x ganzzahlige Lösung,
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch. Also ist s = 1 und daher x ganzzahlige Lösung, im
Widerspruch zur Voraussetzung.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch. Also ist s = 1 und daher x ganzzahlige Lösung, im
Widerspruch zur Voraussetzung.
Satz 9 Sei x 3 + lx 2 + mx + n = 0 eine kubische Gleichung sodass
l, m, n ∈ Z. Dann gilt:
Diese Gleichung ist g.d. irreduzibel,wenn sie keine ganzzahlige
Lösung hat.
Beweis. =⇒“ ist offensichtlich: ist die Gleichung irreduzibel, so
”
sind nach Def. 6 die Lösungen irrational.
Widerspuchbeweis in ⇐=“ Angenommen, die Gleichung ist
”
nicht irreduzibel, obwohl keine Lösungen ganzahlig ist. Dann gibt
es eine rationale Lösung x = r /s, wobei r , s ∈ Z. OBdA ist
ggT (r , s) = 1. Einsetzen in die Gleichung ergibt
r 3 = −s(lr 2 + smr + ns 2 ). Ist |s| > 1, so hat s einen Primfaktor p.
Dieser muss auch Primfaktor von r 3 sein, und damit von r , ein
Widerspruch. Also ist s = 1 und daher x ganzzahlige Lösung, im
Widerspruch zur Voraussetzung.
Dreiteilung des Winkels
Dreiteilung des Winkels
Problem:
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort:
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar,
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar.
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ =
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8 ist die Zahl cos(π/9) nicht konstruierbar.
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8 ist die Zahl cos(π/9) nicht konstruierbar. Die Unlösbarkeit der
Winkeldreiteilung ist damit gezeigt.
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8 ist die Zahl cos(π/9) nicht konstruierbar. Die Unlösbarkeit der
Winkeldreiteilung ist damit gezeigt.Zugleich ist mit diesem Beweis
gezeigt,
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8 ist die Zahl cos(π/9) nicht konstruierbar. Die Unlösbarkeit der
Winkeldreiteilung ist damit gezeigt.Zugleich ist mit diesem Beweis
gezeigt, daß das reguläre 9-Eck nicht konstruierbar ist.
Dreiteilung des Winkels
Problem: Kann man einen beliebige gegebene Winkel mit Zirkel
und Lineal dreiteilen?
Antwort: Nein.
Wäre die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal lösbar,so wäre
insbesondere der Winkel π/9 konstruierbar, damit wäre cos(π/9)
konstruierbar. Wegen der Identität
cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ =
(2cos 2 θ − 1)cosθ − 2 sin2 θ cos θ= 4 cos3 θ − 3 cos θ
und wegen cos π3 = 1/2 genügt die Zahl c = 2 cos π9 der Gleichung
c 3 − 3c − 1 = 0.
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen(denn jede
Lösung x erfüllt x(x 2 − 3) = 1,aber x = ±1 ist keine Lösung).Nach
Satz 9 ist dann die Gleichung irreduzibel,und deswegen nach Satz
8 ist die Zahl cos(π/9) nicht konstruierbar. Die Unlösbarkeit der
Winkeldreiteilung ist damit gezeigt.Zugleich ist mit diesem Beweis
gezeigt, daß das reguläre 9-Eck nicht konstruierbar ist.
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar,
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge 1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren.
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge √
1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren. Nach Satz 6 liegt dann 3 2 in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge √
1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren. Nach Satz 6√liegt dann 3 2 in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Da 3 2 eine Lösung der
kubischen Gleichung
x3 − 2 = 0
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge √
1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren. Nach Satz 6√liegt dann 3 2 in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Da 3 2 eine Lösung der
kubischen Gleichung
x3 − 2 = 0
und diese nach Satz 9 irreduzibel ist,
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge √
1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren. Nach Satz 6√liegt dann 3 2 in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Da 3 2 eine Lösung der
kubischen Gleichung
x3 − 2 = 0
und diese nach Satz 9 irreduzibel ist,ist das ein Widerspruch zu Satz 8.
Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem)
(Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines
vorgegebenen Würfels)
Der Sage nach wurde die Stadt Delos einmal von einer Seuche
heimgesucht. Die Bewohner befragten ein Orakel und erhielten den Rat,
einen ihrer Altäre zu verdoppeln. Plato interpretierte den Orakelspruch so,
dass der würfelförmige Altar durch einen Würfel mit doppeltem Volumen
ersetzt werden sollte. Er erklärte, Gott wolle die Griechen beschämen,
weil sie das Studium der Mathematik vernachlässigt hätten. Daher ist die
Verdopplung des Würfels auch als Delisches Problem“ bekannt.
”
Wäre es lösbar, so √
könnte man aus einer Strecke der Länge √
1 eine
Strecke der Länge 3 2 konstruieren. Nach Satz 6√liegt dann 3 2 in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Da 3 2 eine Lösung der
kubischen Gleichung
x3 − 2 = 0
und diese nach Satz 9 irreduzibel ist,ist das ein Widerspruch zu Satz 8.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Mit diesem Nachweis wurde das Problem der Quadratur des
Kreises endgültig erledigt.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Mit diesem Nachweis wurde das Problem der Quadratur des
Kreises endgültig erledigt. Wir werden diese Aussage nicht
beweisen.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Mit diesem Nachweis wurde das Problem der Quadratur des
Kreises endgültig erledigt. Wir werden diese Aussage nicht
beweisen. Sie dürfen sie trotsdem selbstverständlich u.a. in den
Hausaufgaben benutzen.
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Mit diesem Nachweis wurde das Problem der Quadratur des
Kreises endgültig erledigt. Wir werden diese Aussage nicht
beweisen. Sie dürfen sie trotsdem selbstverständlich u.a. in den
Hausaufgaben benutzen.
Beweis der Tranzendenz von π/Quadratur des Kreises (von Rudolf
Fritsch)
Quadratur des Kreises (ohne Beweis)
Aufgabe:Mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein
Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren.
Satz (Lindemann 1882) Das ist unmöglich
Beweisidee: Wir müssen zeigen,daß die Zahl π in keiner iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Dies folgt daraus,
◮
daß π transzendent ist (=nullstelle von keinem Polynom mit
rationellen Koeffizienten),
◮
jede konstruierbare Zahl algebraisch (=nicht tranzendent) ist.
Mit diesem Nachweis wurde das Problem der Quadratur des
Kreises endgültig erledigt. Wir werden diese Aussage nicht
beweisen. Sie dürfen sie trotsdem selbstverständlich u.a. in den
Hausaufgaben benutzen.
Beweis der Tranzendenz von π/Quadratur des Kreises (von Rudolf
Fritsch) http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/tranzendens-von-pi.pdf
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp.
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck,
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar,
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis.
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“
”
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Dann können wir der Winkel 2π
konstruieren.
n
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Dann können wir der Winkel 2π
konstruieren.
Dann können wir
n
einen Kreis in n gleichen Sektoren teilen,
Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist ebenfalls konstruierbar – Beweis kommt.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Dann können wir der Winkel 2π
konstruieren.
Dann können wir
n
einen Kreis in n gleichen Sektoren teilen, und so die Ecken eines
reguläres n−Eck konstruieren.
Beweis ⇒“
”
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
2π
n
konstruieren,
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Beobachtung
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
Beobachtung z := e
2π
n i
∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
z n −1
z−1
=
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
z n −1
z−1
=
e
2π
n
e
n
i
−1
2π i
n −1
=
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
Summe ist z−1 =
= 2π i
=
2π i
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
Bsp.
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
Bsp.
e
n
−1
e
n
−1
Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich,
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
e
n
−1
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 .
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 .
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist.
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist,
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
Geometrische Konstruktionen und komplexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist eine Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. Reguläres 5-Eck ist konstruierbar
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
und deswegen nach Satz 10 ist reguläres 5−Eck konstruierbar.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen,
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung ,
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt.
(2)
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
eine Lösung von (2).
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar,
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus,
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung. Die Lösungen von (2) sind neben 2 cos 2π
7
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung. Die Lösungen von (2) sind neben 2 cos 2π
7 noch die
6π
und
2
cos
(die
man
genauso
findet).
Zahlen 2 cos 4π
7
7
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung. Die Lösungen von (2) sind neben 2 cos 2π
7 noch die
6π
und
2
cos
(die
man
genauso
findet).Keine
davon ist
Zahlen 2 cos 4π
7
7
ganzzahlig.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung. Die Lösungen von (2) sind neben 2 cos 2π
7 noch die
6π
und
2
cos
(die
man
genauso
findet).Keine
davon ist
Zahlen 2 cos 4π
7
7
ganzzahlig. Das ist ein Widerspruch.
Reguläres 7-Eck ist nicht konstruierbar
Nach Satz 10 müssen wir zeigen, dass cos(2π/7) in keinem iterierten
quadratischen Erweiterung von Q liegt. Nach Beobachtung , ist
2π
e 7 i = cos(2π/7) + i sin(2π/7) eine Lösung der Gleichung
z 6 + z 5 + ... + 1 = 0
(1).
Für die Zahl y := z + z1 gilt daher
y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0,
(2)
wie sich sofort durch Einsetzen in (1) und Umformung ergibt. Dann ist
y1 := z1 +
2π
1
= e i2π/7 + e −i2π/7 = 2 cos
z1
7
eine Lösung von (2). Wäre nun das reguläre 7-Eck konstruierbar, so wäre
die Zahl cos 2π
7 konstruierbar. Nach Satz 6 liegt y1 dann in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q.Nach Satz 8 folgt daraus, daß
die Gleichung (2) nicht irreduzibel ist,sie hat also nach Satz 9 eine
ganzzahlige Lösung. Die Lösungen von (2) sind neben 2 cos 2π
7 noch die
6π
und
2
cos
(die
man
genauso
findet).Keine
davon ist
Zahlen 2 cos 4π
7
7
ganzzahlig. Das ist ein Widerspruch.
Literatur zur geometrischen Konstruktionen
◮
Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems.
Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of
America, Washington, D.C., 1978.
Literatur zur geometrischen Konstruktionen
◮
Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems.
Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of
America, Washington, D.C., 1978.
◮
F. Klein. Vorträge über den ausgewählten Fragen der
Elementargeometrie, http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein.pdf und
http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein2.pdf
Literatur zur geometrischen Konstruktionen
◮
Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems.
Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of
America, Washington, D.C., 1978.
◮
F. Klein. Vorträge über den ausgewählten Fragen der
Elementargeometrie, http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein.pdf und
http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein2.pdf
◮
http://www-m10.mathematik.tu-muenchen.de/pub/Lehre/ThemenListe/Vortrag.pdf
Literatur zur geometrischen Konstruktionen
◮
Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems.
Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of
America, Washington, D.C., 1978.
◮
F. Klein. Vorträge über den ausgewählten Fragen der
Elementargeometrie, http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein.pdf und
http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein2.pdf
◮
http://www-m10.mathematik.tu-muenchen.de/pub/Lehre/ThemenListe/Vortrag.pdf
◮
http://did.mat.uni-bayreuth.de/studium/seminar/antike/suess/unmoeglich.html
Literatur zur geometrischen Konstruktionen
◮
Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems.
Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of
America, Washington, D.C., 1978.
◮
F. Klein. Vorträge über den ausgewählten Fragen der
Elementargeometrie, http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein.pdf und
http://www.minet.uni-jena.de/ matveev/Lehre/LA07/klein2.pdf
◮
http://www-m10.mathematik.tu-muenchen.de/pub/Lehre/ThemenListe/Vortrag.pdf
◮
http://did.mat.uni-bayreuth.de/studium/seminar/antike/suess/unmoeglich.html
◮
Bieberbach, Ludwig Theorie der geometrischen Konstruktionen.
Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten
Wissenschaften. Mathematische Reihe, Band 13. Verlag Birkhäuser,
Basel, 1952.