10.¨Ubungsblatt zur Mathematischen Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. J. Beran
WS 2008/09
10. Übungsblatt zur Mathematischen Statistik
Abgabe: Donnerstag, 17.01.2008 bis 16:00 Uhr (Briefkasten Nummer 19 oder Büro F406)
Aufgabe 1 (4 Punkte)
(a) Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert und bekand
nter Varianz σ 2 . Aufgrund von Vorwissen sei bekannt, dass entweder X = N (µ1 , σ) oder
d
X = N (µ2 , σ) für bekannte µ1 und µ2 . Die dazugehörgen Dichten seinen gegeben durch
fµ1 ,σ (x) und fµ2 ,σ (x). Aufgrund einer Beobachtung von X soll nun entschieden werden,
ob EX = µ1 oder EX = µ2 . Man trifft dabei folgende Entscheidungsregel:
Erwartungswert von X ist µ1 falls fµ1 ,σ (x) > fµ2 ,σ (x),
d(x) :=
Erwartungswert von X ist µ2 sonst.
Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eine Bayesschätzung des Erwartungswertes von X
handelt. Die dazugehörige Verlustfunktion ist
0 falls Entscheidung richtig,
L(d(x), µ) :=
1 falls Entscheidung nicht richtig.
Als a-priori Verteilung betrachte man die Bernoulli Verteilung mit Parameter p = 0, 5.
(b) Bestimmen Sie die Bayesregel zu einer a-priori Verteilung mit p = 0, 8.
Aufgabe 2 (3 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn iid Zufallsvariablen mit der Dichte (x) = 1θ exp(−x/θ)1[0,∞] .
Die a-priori Verteilung von θ−1 sei eine Gammaverteilung. Berechnen Sie die a posteriori
Verteilung von θ−1 .
Aufgabe 3 (3 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn iid Zufallsvariablen einer Gleichverteilung auf dem
Intervall (0, θ). Die a-priori Verteilung sei eine log-Normalverteilung mit der Dichte
1
(log(x) − µ)2
f (x) = √
exp −
1(0,∞) (x).
2σ 2
2πσ 2 x
Berechnen Sie die a posteriori Dichte von log(θ).
Aufgabe 4 (4 Punkte) Die Zufallsvariable X sei bedingt auf λ gemäß Poi(λ) verteilt, d.h.
λx
x = 0, 1, . . .
x!
wobei λ die a priori-Verteilung G(α, β) besitzt. G(α, β) bezeichne die Gammaverteilung mit
β α α−1
λ
exp(−βλ), λ > 0. Dabei nehmen wir an, dass α ∈ N und β > 0 gelte
Dichte fα,β (λ) = Γ(α)
und α, β bekannt seien.
P (X = x|λ) = e−λ
(a) Zeigen Sie, dass die unbedingte Verteilung von X eine negative Binomialverteilung ist.
(b) Zeigen Sie, dass die a posteriori-Verteilung von λ wieder eine Gammaverteilung ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Bayes-Schätzer für λ bzgl. der quadratischen Verlustfunktion basierend
auf einer Beobachtung von X gegeben ist durch
λ̂B =
β α
1
X+
.
1+β
1+ββ