Serie 13 - Mathematisches Institut

Reelle Analysis
Mathematik - Bachelor, HS 2016
Dr. C. Nobili; MSc S. Ligabue; Dr. R. Lucá; MSc C. Schulze;
Universität Basel
Serie 13
(Abgabe: 19.12.2016)
Aufgabe 13.1
Seien α, β positive reelle Zahlen und sei
(
f (x) =
1
xα
1
xβ
falls 0 < x < 1
falls x ≥ 1
Für welche α und β gehört die Funktion zu Lp (R+ ), p ≥ 1?
Aufgabe 13.2
Seien N ≥ 2, α > 0 und
f (x1 , · · · , xN ) =
1
.
(1 + |x|)α
Für welche p ≥ 1 gehört die Funktion f zu Lp (RN )? Beweisen Sie mittels des Satzes
von Fubini, dass f ∈
/ Lp (RM ) wenn M > N und 1 ≤ p < ∞.
Aufgabe 13.3
1. Untersuchen Sie die Konvergenz in Lp (R2 ) (1 ≤ p ≤ ∞) der Funktionenfolge
2
2
e−n(x +y )
fn (x, y) =
.
1 + x2 + y 2
2. Untersuchen Sie die Konvergenz in Lp ((0, 1)) (1 ≤ p ≤ ∞) der Funktionenfolge
1
1
fn (x) = q
−q
.
1
n+1
+x
−x
n
n
Aufgabe 13.4
Seien p, q ≥ 1, so dass p1 + 1q = 1. Sei g ∈ Lq (R) und F : Lp (R) → R die Abbildung
R
F (f ) = R f (x)g(x) dx. Beweisen Sie, dass F stetig ist. (d.h. falls fn in Lp gegen f
konvergiert, dann konvergiert F (fn ) gegen F (f ) in R. )
Aufgabe 13.5
Sei p ≥ 1 und E ⊂ Rn mit |E| < ∞. Eine Funktion f : E → R ist in Lp,∞ (schwach
Lp ), falls eine Konstante C ≥ 0 existiert, so dass
C
|{x ∈ E : |f (x)| ≥ t}| ≤ p ,
∀t > 0 .
t
Zeigen Sie, dass Lp (E) ⊂ Lp,∞ (E) sowie dass die Inklusion strickt ist.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
https://math.unibas.ch/en/institut/personen/profil/profil/person/nobili/
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