Reguläre Plan- und Raumtheilung. E. von Fedorow

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Reguläre
Plan- und Raumtheilung.
Von
E.
von Fedorow.
(Mit 13 Tafeln.)
Abh.
d.
IL
Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss.
XX. Bd.
II.
Abth.
60
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Die
Theorie
der
Krystallstructiir
hat
A.
u.
folgende
Aufgabe
geometrische
rein
aufgestellt:
Den unbegrenzt gedachten Raum
congruent
in
symmetrisch gleiche
resp.
continuirliche Raumfiguren gesetzmässig zu theilen.
gesetzmässigen
Unter
Theilungen
sämmtlich dieselben Deckoperationen
einzigen Raumeinheit
angeben würden,
so
werden
giltig sind.
solche
hier
Wenn
yerstanden,
die Gesetze der
welche
wir also auf der Oberfläche einer
auf irgend welche Weise die Deckoperationen
werden dadurch
für
mit den anliegenden
Deckoperationen für die Einheiten des
ganzen Systems eindeutig bestimmt.
Da
aber die Lösung dieser
Aufgabe
in
ihrer
Allgemeinheit mit einer ansehnlichen
Anstrengung der geometrischen Einbildungskraft verbunden
der Auffassung des Untersuchungsganges,
Erleichterung
ist,
so erlaube ich mir,
zuerst
die
einfachere,
analoge Aufgabe der regulären Plantheilung in ihrer Allgemeinheit zu
zerfällt diese
Abhandlung
Es
behandeln.
ganz
Somit
in zwei Theile.
Reguläre Plantheilung.
Theil.
I.
1.
wegen der
aber
steht uns zuerst die
Aufgabe bevor, sämmtliche Typen der regulären Theilung
der unbegrenzten Ebene aufzusuchen.
In dieser Hinsicht sind nur zwei Arten solcher Theilung denkbar: entweder a) sämmtliche ebene Figuren sind parallel orientirt oder b) dies ist nicht der Fall.
Systeme,
I.
Ordnung
2.
einander
welche der ersten
Denken wir
durch
Translation
Für
ist.
und eine bestimmte Strecke.
verbunden,
wollen
wir die
Systeme
herausgenommen.
Sie sind unter-
welche zugleich die Decktranslation für
diese Translation erhalten wir eine
Die Deckung kann
beliebige Male wiederholt werden,
Nehmen
entsprechen,
beliebige hierzu gehörende Figuren
einfache
sämmtliche andere Figuren
zur Deckung.
Voraussetzung
bezeichnen, und zuerst nur solche der Untersuchung unterziehen.
in dieser
bestimmte Richtung
Richtung und
um
diese Strecke
und jedes Mal kommt das ganze System mit sich
selbst
Jede einzelne Einheit bestimmt somit eine congruente Reihe der Figuren.
wir beliebig einen Punkt in einer Einheit und die analogen Punkte in sämmtlichen
anderen Figuren,
so
bildet
ausgedrückt quadratische
die
Form
Gesammtheit
II.
dieser
Punkte ein ebenes Netz (analytisch
Grades).
60*
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468
Nehmen
3.
Einheiten
so erhalten
Betracht,
in
Einheiten
nächststehende
I.
wir aber nur zwei anliegende (also eine Grenzlinie gemeinsam besitzende)
Ordnung
wir eine Reihe besonderer Art,
anliegende
Ordnung
I.
wollen
solche
welcher jede zwei
in
Reihen
als
Colonnen
bezeichnen.
Hiermit kann das ganze System
Colonnen
Wir
sind.
Ordnung
I.
das System der anliegenden parallelen
als
aufgefasst werden.
kann als eine gemeinsame Figur von wenigstens zwei verschiedenen
Ordnung aber verschiedener Richtung aufgefasst werden.
Jede Einheit
4.
Colonnen
I.
Nun
ist
es klar, dass
irgend welche zwei durch die gegebene Einheit hindurchgehende
Colonnen eindeutig das ganze System bestimmen.
1.
die
In der
Der Deutlichkeit wegen nehmen wir zwei solche Colonnen in Betracht.
als Ausgangspunkt der Betrachtung dienende Einheit durch
Colonne bezeichnen wir die
Zahl
0,
Richtung durch
die anliegende in bestimmter
in entgegengesetzter
Richtung die anliegende durch
Die betreffenden Zahlen für die Einheiten der
2.
und wieder in einer bestimmten Richtung durch
durch
2 u.
1,
Es
ist
s.
f.
,
1,
durch 2
die weitere
die
nächstfolgende
u.
s. f.,
durch 2
u.
und
s. f.
Colonne wollen wir an zweiter Stelle placiren,
1,
2 u.
s. f.
und
Richtung
in entgegengesetzter
bezeichnen.
dann einleuchtend,
Einheit
beliebige
1
des
Systems
Zahlen bezeichnen können.
dass
nach dem Princip der Coordinatenaxen wir
genau
und
eindeutig
durch
Somit bedeuten zwei solche Zahlen
zwei
z.
B.
jetzt jede
nebeneinander
mn
eine
gestellte
ganz bestimmte
Einheit des Systems.
Denken wir durch einen Punkt der
5.
für
zwei anliegende Einheiten gemeinsamen
Grenzlinie in der Richtung der betreffenden Colonne eine Gerade gezogen, so schneidet diese
Gerade sämmtliche analoge Grenzlinien dieser Colonne in analogen Punkten;
Reihe
ist
nichts Anderes als die der Colonne zugeordnete Deckstrecke
Also die Planeinheiten
I.
Punkte
diese
und der gemeinsame Abstand der Punkte
bilden somit eine congruente Punktreihe,
Ordnung
dieser
X.
sind von einander durch analoge, gleiche
und parallele Grenzlinien getrennt, deren Abstand gleich
l ist
(wo
X
die
der
Colonne zugeordnete Deckstrecke bezeichnet).
Die Anzahl der Grenzlinien einer Einheit kann also nur gerade
Solche ebene Figuren wollen wir
1)
als
Parallelogone
sein.
bezeichnen.^)
Die Definition des Parallelogons wurde in der Arbeit „Elemente der Gestaltenlehre" (russisch)
§ 56 gegeben.
Da
hier ganz besonders diese
und zwei andere Grundwerke berücksichtigt werden, so
Form citiren. Dieses Werk wurde im Jahre 1881 fertig
wollen wir dieselben im Weiteren in verkürzter
und im Manuscripte Herrn Tschebyschew vorgelegt (vgl. Einleitung zu demselben, Anmerkung S. V).
Dieser berühmte Mathematiker hat aber die Verraittelung der Erleichterung der Publication dieses umfassenden Werkes (in gedruckter Form 277 Seiten und 18 grosse Tafeln) abgelehnt und sogar die Meinung
geäussert, ohne dasselbe in die Hände zu nehmen, sondern ausschliesslich von principiellem Stand]3unkte,
Werke gegenwärtig die Mathematiker nicht interessiren können. Die daraus entstandene
Verlegenheit hat das Erscheinen des Werkes im Drucke sehr verzögert und wurde erst 1883 durch den
dass solche
bedeutenden Krystallographen Gadolin beseitigt, nachdem derselbe in einer Reihe von Vorträgen des
Verfassers mit der Theorie der Krystallstructur desselben bekannt geworden war. Da aber diese Theorie
durch einen Theil der Sätze dieses Werkes ihre Stütze fand und dabei durch zahlreiche specielle Beob-
achtungen experimentell nachgewiesen wurde, so hat Derselbe der
k.
mineralogischen Gesellschaft zu
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469
Jetzt stellen wir uns die Frage, wie viele Paare Grenzlinien ein Parallelogon besitzen
6.
kann, oder, was dasselbe
gemeinsame Figur
für wie viel Colonnen es die
ist,
Der gegebenen Einheit
bildet.
sind jedenfalls die Figuren 10, 10, Ol, Ol anliegend
besondere Grenzlinien davon getrennt.
Einheiten 11 und 11 anliegend;
und durch
In der anliegenden Colonne sind der Einheit Ol die
von Ol
durch
zwei
analoge
gleiche und parallele Grenzlinien getrennt, und der Abstand zwischen den analogen
Punkten
dieser Grenzlinien
Es
und 11
ganz unmöglich,
ist
also
von
der
sind
Richtung der Colonne wieder
in der
ist
beiden Einheiten
diese
ausser Ol
dass
durch
Einheit
Grenzlinien
noch zugleich
getrennt
nur eine von beiden, entweder 11 oder 11
ausser Ol
l.
wären.
von
die
beiden Einheiten 11
Es kann
also
höchstens
durch Grenzlinien begrenzt
werden.
Es giebt
durch
lediglich
also
Wir
Parallelogone.
wollen
zwei und
dieselben
durch drei Paar Grenzlinien umschriebene
Diparallelogone und
resp.
Triparallelogone
bezeichnen.
Dass
die
Nun
wiesen.^)
auch
Grenzlinien
ist
es klar,
dass
Gerade
können
sein
die Parallelogone,
,
wurde schon
längst
früher
be-
welche durch Grenzlinien anderer Art
und nicht durch Gerade begrenzt sind, als Varietäten der geradlinigen Parallelogone aufgefasst werden können, indem die parallelen Grenzgeraden durch irgend welche andere,
mehr oder weniger
St.
beliebige Linien ersetzt werden.
Petersburg vorgeschlagen,
für
die Publication
der k. Mineralogischen Gesellschaft Bd.
XX
S. 334).
Diese Varietäten sind in unbegrenzter
Werkes Sorge zu tragen (vgl. Verhandlungen
Im Folgenden vs'ird das Werk einfach E. G. L. citirt.
dieses
Das zweite in mancher Hinsicht auch der jetzigen Arbeit zu Grunde liegende Werk sind die
„Analytisch-krystallographischen Studien", welche als vier besonders zur Publication gelangten Studien
im Jahre 1885
Das
1888
erschienen.
—
worden
Im Folgenden werden
sie
kurz A. K.
ist,
citirt.
ist,
was
ist die
das neue überzählige Coordinatensystem ausführlich entwickelt wurde.
dass die
S.
Grunde liegende Werk, in welchem schon das meiste davon enthalten
Symmetrielehre, welche ebenfalls in vier verschiedenen Theilen während
1891 zur Publication gelangte. Der erste ist „Grundformeln der analytischen Geometrie", wo
hier dargelegt
d. Z.
— 1887
dritte hier zu
Anwendung
In weiteren Arbeiten wurde gezeigt,
desselben fast in allen Fällen die Lösung der Aufgaben der elementaren analytischen
Geometrie erleichtert und vereinfacht, indem bei dem neuen Coordinatensystem der Unterschied der Lösung
und schiefwinkeligen Coordinaten ganz verschwindet, und alle Grundaufgaben durch die
in orthogonalen
Formeln aufgelöst werden, welche denjenigen für orthogonales Coordinatensystem gehörenden ganz analog
imd von demselben Grade der Einfachheit sind. Der zweite Theil ist unter dem Titel ,,Die Symmetrie
der endlichen Figuren", der dritte „Die Symmetrie der unendlichen regelmässigen Systeme der Figuren"
und der vierte ,,Die Symmetrie auf der Ebene" erschienen. In Weiterem werden diese Theile einfach
S. L. I, resp. II, III oder IV citirt.
Die einfachen geradlinigen Parallelogone wurden in E. G. L. § 57 ausgeführt. Dabei wurde gezeigt,
Formen noch eine concave Form des einfachen Triparallelogons vorhanden ist.
dass ausser zwei convexen
Wenn
in
die
der Anzahl
Parallelogone
m
»«t^''
einer tmd derselben Art, sondern von verschiedenen
ebenen Figuren regelmässig ausgefüllt ist, so werden solche Figuren
Ordnung genannt. Die erschöpfende Darstellung convexer Parallelogone II. Ordnung
Ebene nicht durch Formen
vorhandenen,
X bildlich reproducirt. Diese Darstellung hat die
Bedeutung, dass die Schnittfiguren der Paralleloedersysteme durch besondere § 81 und 82 näher bestimmte
Ebenen convexe Parallelogone IL Ordnung sind.
Andere ebene Schnittfiguren sind Parallelogone
höherer Ordnung.
wurde daselbst in § 60 ausgeführt und in der Tafel
')
Die vollständige Darstellung dieser Systeme
ist in
E. G. L. § 57 ausgeführt.
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470
Anzahl zu denken, aber natürlich kommt ihnen keine besondere Bedeutung zu, und wir
die Gesammtheit aller Parallelogone einer Art in einem Typus vereinigen, und die
können
geradlinigen
die
als
einfachsten
für
die
betrachten,
typischen
welche
als
die
primären
bezeichnet Avurden, da sämmtliche anderen, die secundären, von ihnen durch eine unendliche Anzahl. verschiedener Operationen abgeleitet gedacht werden können. *)
7.
Nun
ist
aber die Möglichkeit dieser Operationen durch die aufgestellte Bedingung
der Continuität wesentlich beschränkt. Es ist also unmöglich, die geraden Grenzlinien durch
solche andere zu ersetzen, welche einander schneiden würden.
Eine weitere Beschränkung dieser Operationen bringt die Symmetrie mit.
Es war schon längst bewiesen worden, dass das Vorhandensein einer zur Ebene senkrechten zweizähligen Symmetrieaxe allein genügt,
um
die
krummlinigen Grenzlinien unmögHch
zu machen.*)
Die Symmetrie einer Planeinheit kann aber viel höher sein. Um die möglichen
Syrametrieelemente aufzusuchen, müssen wir die mögliche Vertheilung der Colonne resp. der
8.
Grenzlinien in Betracht ziehen.
Dass zur Ebene senkrechte Symmetrieebenen möglich sind,
bedarf keines speciellen
Beweises.
Unter den zur Ebene senkrechten Syrametriaxen ist für das Diparallelogon die höchst
mögliche vierzählige und für das Triparallelogon die sechszählige Symmetriaxe denkbar.
Diesen Symmetrieaxen entspricht unter den geradlinigen, also primären Parallelogonen
das reguläre Viereck (Quadrat) resp. das reguläre Sechseck.
Die höchst möglichen Symmetriearten der Parallelogone,
folghch auch
der Systeme
I. Ordnung überhaupt, sind diejenigen, welche durch eine vierzählige Symmetrieaxe und vier
verticale Symmetrieebenen (ditetragonal-pyramidale Symmetrieart) resp. durch eine sechs-
zählige Symmetrieaxe
und sechs
verticale
Symmetrieebenen bedingt werden (dihexagonal-
pyramidale Symmetrieart).
/ S>\
/ ^^^^ [y^w \
\
3/1 \8
Fig.
Die
1)
erste entspricht
V^ ^Nv//
/
\/' .yy
Fig. 2.
1.
dem Quadrat
(Fig. 1), die zweite
dem regulären Sechseck
Die Definition und nähere Untersuchung der secundären Parallelogonsysteme
§ 58 enthalten.
Hierselbst
wurde auch
(Fig. 2).
ist in
E. G. L.
gezeigt, dass durch die zur Darstellung der secundären Parallelo-
gone dienende Construction sich nicht nur die krummlinigen und sonst complicirten Formen erhalten
auch die Verwandlung der Diparallelogone in Triparallelogone und umgekehrt zu Stande
lassen, sondern
kommen
kann.
Diese specielle Construction
ist
in der Fig. 89 veranschaulicht.
wurde dadurch erbracht, dass in die Definition des primären
Parallelogons das Vorhandensein' dieses Symmetrieelementes eingeführt wurde (Definition 6), und dann
der Beweis geliefert wurde, dass solche einfache Figuren nur convexe sein können (Zusatz S. 173).
2)
Dieser Beweis in E. G. L. §
.57
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471
Es ergiebt
von
sich weiter
selbst,
dass
auch sämmtliche andere,
Bezug auf
in
diese
beiden untergeordnete, Symmetriearten (man pflegt zuweilen dieselben als Untergruppen zu
bezeichnen) ebenfalls für die betreffenden Parellelogone zulässig sind.
Die Aufgabe der Aufsuchung sämmtlicher hierzu gehörender Symmetriearten gehört
und ist schon längst erschöpfend gelöst.^)
9.
der reinen Symmetrielehre an
Hier können wir uns also mit den Resultaten begnügen.
Wollen wir sämmtliche durch
finden
wir
für
jeden Typus
der
bestimmtes
auf jede
andere
Nummern
auf die Nr.
ein
1,
Symmetx'ieebenen
die
Parallelogone
Symmetrieelement
getrennten Theile
jede
dass
bestimmte
Beziehen
ausdrückt.
abzählen,
Nummer
wir
so
Bezug
in
diese
alle
so finden wir:
für das Quadrat: 2, 4, 6
bestimmter Lage aus,
und 8 drücken
3 und 7
welche der vierzähligen
verticale
gehören
und sind untrennbar verbunden,
axe,
,
zur
Symmetrieebenen von entsprechender
verticalen vierzähligen
Symmetrieaxe
5 gehört zur verticalen zweizähligen Symmetrie-
untergeordnet
ist,
aber
auch
selbständige
als
Axe
auftreten kann;
für das reguläre Sechseck: 2, 4, 6, 8, 10
und 12 drücken ebenfalls 6 verticale Sym3 und 11 beziehen sich speciell auf
metrieebenen von ganz bestimmter Lage aus,
die sechszählige, 5
und 9 auf
die dreizählige
sind unter sich untrennbar, aber die letzte
Symmetrieaxe; beide
letzte
kann auch selbständig
Zahlenpaare
auftreten, ebenso
wie die zweizählige Symmetrieaxe, welche hier durch 7 ausgedrückt wird.
Berücksichtigen wir die vorangehenden Resultate, so erhalten wir folgende Tabelle der
Symmetriearten der ebenen Systeme.
Nr.
grösse
1
2
2
1
5
1
7
3
2
1
2
1
2
4
4
12
5 6
5
4
13
5 7
-
6
8
12
3 4 5 6 7 8
-
8
6
9
6
10
12
1)
1
12
n'i'c;
7 8
-
—
= C;
z = n''c
z =
Z = w^C;
= &s;
=
= ös;
= &s;
= 0s;
=
2
1
3
Symmetrie
für Diparallelogone
1
7
Gleichungen der
Charakteristische Zahlencomplexe
für Triparallelogone
Symmetrie-
-
2/0
2/0
?>«;
=ä
V = n''d
V
V :=
V
2/1
2/1
3
15
—
—
—
9
2/0
2/1
3
d
= v} d
= h+\
= ^s+n^
= fcs+i
1
2 5 6 9 10
2/0
2/1
1
3 5 7 9 11
2/0
2/1
=
= 6s+i
2/1
= hs+n^
12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2/0
fes;
ös-F»'^
6
Die vollständige Auffindung der Symmetriearten auf der Ebene überhaupt und speciell diejenige
der regulären Plantheilungen wurde S. L. IV
I.
Theil ausgeführt.
Dabei wurde gezeigt, dass eine unendliche Reihe geometrischer Symmetriesysteme vorhanden ist,
und in jedem System vier verschiedene Symmetriearten enthalten sind.
Zuerst wurde der analytische Ausdruck durch Symmetriegleichungen in dem neu eingeführten
geradlinigen Coordinatenaxensystem gegeben und dann auf Grund der Transformationsformel dieselben
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472
Hier sind
die
durchaus nicht
alle
Symmetrieart bedeutet
dritte
Dieselbe
ebene.
sämmtlicher Symmetriearten angegeben, da
algebraischen Gleichungen
für
Zahlencoraplexe
kann aber
gegebene Symmetrieart eindeutig
eine
Die
sind.
B. das Vorhandensein einer einzigen verticalen Symmetrie-
z.
verschiedener Weise orientirt und in verschiedenen
in
Fällen
durch verschiedene Zahlencomplexe ausgedrückt werden. Die Symmetriegleichungen sind
aber von mehr abstracter Natur, indem die Coordinatenaxen verschiedenartig vorgestellt
vferden können.
Auch von der Lehre der Radien-Vectoren
Gleichungen im polaren Coordinatensystem ausgedrückt.
wurde Anwendung gemacht.
Auf
diese
Weise Hess
sich folgende Tabelle der
Symmetriearten auf der Ebene herstellen:
22)-gonales Symmetriesystem.
Geradliniges
Polares
Coordinatensystem
Coordinatensystem
Symetriear t
2p
I
= ^s
yQ
= n^bs
yo
= bs
yi
= bs+n''
i/i
=n
yi
= bs +
p
oder
2p
11
^p
2?
2/0
'
=r
y
= n''g-\-S'
yo
= nibs
2/0
= ^s
=r
e'
[W'g
H« ^
(
2p_
P
yi=nibs +
Vi
= ÖS +
i/i
= ts 4-
p
•
V='\^a'+b'-i
i
+
s.'^)
s
= ni^a + bi
ji
(
=r-e>{g-j-s-
i
V
«''
Q
—r
y
= n''g-\-s- —
p
IV
p _^^^^^^^^^
F= ~^a'-\-rO'b'-i — nl^^a -\-n'f-b-i
2p
p
III
Q
p
bs+n''
P
oder
Analytischer Ausdruck
durch Vectoren
,
271
V=l^a-[-ni'b'i
=
V= ^a+bi = r
•
r-e''
e'
(n''g-\-s
L+
s
•
y
—
1
j
Für die Systeme, in welchen p eine gerade Zahl ist, bleiben nur die beiden ersten Symmetriealso das digonale
ist das geradlinige Coordinatenarten übrig. Für das System für welches p
1
system schon ungenügend, und für dasselbe gelten folgende specielle und einfachere Symmetrie-
=
,
,
,
gleichungen:
Digonales System.
Sym-
Geradliniges
Polares
metrieart
Coordinatensystem
Coordinatensystem
I
z
II
z
III'
IV
= n''c
= n''c
z = n''c
z = c
V
= n^d
= n''d
V = d
V = d
V
=
Analytischer Ausdruck
durch Vectoren
V=
= ni(a
j-
y
—ni'g
Q=r
y
= gJ^s-Jl
7=-^^-fPT= nHa + bi)
g=zr
y
^n'fg-]-
V= a-\-n'^bi
Q=r
y
= g + s-2jt
p
-j- s-jt
s -271
~^a'
-j- n'' b' i
-\- n'^
b
i)
V=a-{-b-i
Natürlich weisen die Gleichungen der letzten Zeile auf das vollständige Fehlen der Symmetrie hin.
In derselben Arbeit wurden ebenfalls die allgemeinsten Ausdrücke für die jeder Symmetrieart
angehörenden Curven angegeben, und die einfachsten Reihen ausführlicher besprochen. Die einfachste
unendliche Reihe der symmetrischen Curven wurde mit besonderem Namen „Die Actinoiden" belegt.
Auch wurde hierselbst auf die Rolle der von Cauchy als „symmetrische" bezeichneten Functionen in
der Symmetrielehre hingewiesen.
Natürlich lassen sich dieselben Principien auch zur Behandlung der symmetrischen Raumgebilde
ganz analog anwenden.
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473
Die Bedeutung der Parameter dieser Gleichungen ebenso wie die richtige Vereinigung
Gruppen wird aus dem Folgenden
dieser zehn Syuimetriearten in
ersichtlich.
Für jede Symmetrieart und eine gegebene Richtung von allgemeiner Lage
10.
h.
(d.
eine Gerade, welche weder in der Symmetrieebene liegt noch zu ihr senkrecht steht) erhalten
wir eine Anzahl gleichwerthiger Richtungen, welche der Symmetriegrösse gleich
ist.
Für
particulären Richtungen ist die Anzahl gleicher Richtungen eine geringere und es
kann sogar der Fall vorkommen, dass diese Anzahl sich zu einer Einheit reducirt. Solche
Richtungen wollen wir als singulare bezeichnen.^)
die
Die angegebenen Symmetriearten können in dieser Hinsicht in folgende Gruppen getheilt
werden, welche wir
Arten der Syngonie bezeichnen wollen.
als die
Sämmtliche Richtungen sind singulare.
I.
Symmetriearten.
Diese Syngonie bezeichnen wir als die
Dazu gehören
monokline.
beiden ersten
die
IL Es giebt nur zwei untereinander senkrechte singulare Richtungen,
und zwar diejenigen, welche mit der Trace der Symmetrieebenen auf der Ebene oder mit
dem Perpendikel zusammenfallen.
Diese Syngonie
rhombische
die
soll
Hierzu gehören
die dritte
und
die vierte Symmetrieart.
heissen.
HL Es giebt keine singulären Richtungen. Die gleichen oder speciell
culären Richtungen, wenn vorhanden, sind in der Anzahl 2 da. Hierzu gehören
und
die partidie fünfte
die sechste Symmetrieart.
Diese Syngonie werde als die tetragonale bezeichnet.
IV. Ebenfalls keine singulären Richtungen, aber die Anzahl der gleichen oder speciell
der particulären Richtungen,
gehören
die
Diese Syngonie werde
Für
die
solche überhaupt vorhanden sind,
als
die
hexagonale
ist
gleich 3.
Hierzu
bezeichnet.
Coordinatenaxe der Symmetriegleichungen
(für die ersten vier
(für die
wenn
Symmetriearten sieben, acht, neun und zehn.
entweder die singulären
werden
Symmetriearten) oder die particulären gleichen Richtungen, oder endlich
Symmetriearten fünf, sieben und neun) beliebige gleiche Richtungen genommen.
singulären Richtungen bezeichnen wir durch verschiedene Buchstaben z und
aber durch dieselben Buchstaben
wo
^/s,
s die
Ordnungszahl
Bedeutungen für
art,
sechs Bedeutungen für die 9. und 10. Symmetrieart.
die 5.
und
6.
ist,
und zwar
Symmetrieart, drei Bedeutungen für die
vier
Die Coordinatengrösse eines Punktes wird
stets
7.
die
«,
besitzt diese
und
8.
Die
gleichen
Zahl
Symmetrie-
durch die durch diesen Punkt gezogenen
Perpendikel auf die Coordiuatenaxen bestimmt.
Das Coordinatensystem
Syngoniearten
eine
als
lässt
sich
auf diese Weise
überzählige characterisiren.
grössen specielle Relationen vorhanden sein.
2/s
in
sin
(2/9 2/,)
=
2/0
für
Somit müssen unter den Coordinaten-
Dieselben sind nämlich*)
sin {%j,\j^
+ y^ sin {y^y^.
1)
Diese Begriffe wurden in der Zeitschrift für Krystallogi-aphie Bd.
2)
Diese, ebenso
Abh.
d.
IL
XXXI,
S.
21
ff.
eingeführt.
wie sämmtliche andere Grundformeln der analytischen Geometrie auf der Ebene
neuem Coordinatensystem ausgedrückt,
Wie oben
und hexagonale
tetragonale
sind in
dem
IL Kapitel S. L. IV. enthalten.
erwähnt, lassen sich die Aufgaben der elementaren analytischen Geometrie durch das
Gl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
61
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474
In allen in der angegebenen Tabelle enthaltenen Gleichungen bedeutet
Einheit
oder
— 1),
(
die
Parameter h und
Der Parameter
1.
sind
l
zweizählig und
bedeuten
mehvzählig und periodisch.
s ist aber
jenige der durch denselben auszudrückenden Symmetrieaxe,
Deutlichkeit -wegen
11.
ist
Mal durch
die Periode jedes
Die Darstellung der Systeme
I.
die negative
Seine Zähligkeit
ist
die-
Der
wie eben erwähnt wurde.
eine obenstehende Zahl angezeigt.
Ordnung wird dadurch
Systemen zukommenden Symmetriearten
kommen, dass man für einen und denselben
diesen
n
der zwei Zahlen
eine
in Betracht
erschöpft,
Parallelogontypus
dass
man
alle
Dabei kann aber vor-
zieht.
und
und dieselbe
eine
Symmetrieart verschiedene Systeme erhält, indem die Symmetrieelemente in Bezug auf die
Colonnen, resp. Grenzlinien verschieden orientirt sind.
Unter den vier Symmetrieebenen, welche
verschiedenen
z.
B. in
auch eine verschiedene Bedeutung
zu,
dem Quadrate
aber
nicht
auftreten,
alle
vier
kommt den
sind
in
Bezug
auf ihre Lage in dem System verschieden.
Die Lösung der Fragen dieser Art gehört einer besonderen Abzweigung der Symder Lehre über scheinbare Symmetrie (l'aspect nach C. Jordan) oder Symmetrie
metrielehre
—
der Lage an.
Die beiden Lehren, die Symmetrielehre und die Lehre über die scheinbare Symmetrie,
stehen untereinander im Besonderen
die
metrische Geometrie und
die
demselben Verhältniss, in welchem im Allgemeinen
in
Geometrie der Lage untereinander stehen.
Die Grundzüge
der Lehre von der scheinbaren Symmetrie wurden schon früher ziemlich ausführlich behandelt.^)
Das Resultat dieser Lehre ist, dass die Arten der scheinbaren Symmetrie zu denjenigen der
wirklichen Symmetrie in so naher Beziehung stehen, dass sie analog von derselben Anzahl
sind
und durch dieselben Bezeichnungen angemerkt werden können,
z.
B.
von der Sym-
Einführen des neuen Coordinatensystems einfacher auflösen. Als Beispiel kann die Auffindung einer
merkwürdigen (übrigens schon längst bekannten, aber speciell für rechtwinkliche Coordinaten hervor-
gehobenen) Eigenschaft des Kreises dienen, welche von selbst bei der Darstellung der Kreisgleichung in
neuen Coordinaten
•
yl
ersichtlich wird.
— 2yo
und Petrographie,
Diese Frage
^)
ist
+ =
?/^
r2 gi^ 2„
Anwendung gefunden
Zeitschrift für Krystallographie
ist
eder" (1893) besprochen.
selben
cos a
Diese Eigenschaft hat bei den Ausführungen der Constructionen in stereographischen
Projectionen im Gebiete der Krystallographie
logie
l/i
in
der
XXI,
(vgl.
Universalmethode in der Minera-
S. 620).
Abhandlung „Grundzüge der Morphologie und Systematik der Poly-
Die Aufgabe der Abhandlung selbst
eine historische Einleitung
Morphologie der Polyeder" besprochen.
ist aus deren Titel direct ersichtlich.
Derbeigegeben und speciell die Abhandlung von Eberhardt ,,Zur
In dieser Arbeit wird die Methode gegeben, -sämmtliche Polyeder-
arten einer Ordnung aus denen der vorigen
erschöpfend abzuleiten.
Während H. Eberhardt
Ableitung mit der IV. Ordnung („Heptaeder" von ihm bezeichnet) abgeschlossen hat,
die vollständige Ableitung nicht nur der 7-Flächner, sondern auch der 8-Plächner
ist
diese
in dieser Arbeit
und 9-Plächner gegeben.
Jede Polyederart wird durch ein besonderes systematisches Symbol bezeichnet, in welchem diese einen
anschaulichen Ausdruck findet. Dabei wurde hervorgehoben, dass selbst für die 7-Plächner H. Eberhardt
einen Fehler begangen und zwar einen Typus weniger dargestellt hat. (Bei ihm sind .5 Typen und in
der Wirklichkeit deren 6 vorhanden.)
Ausser den allgemeinen Polyedern
wurden
(d.
h.
Polyeder mit lauter dreiflächigen Ecken; solche Polyeder
in E. G. L. als trigonoedrische resp. theoretische bezeichnet)
wurde
in derselben Arbeit
auch die
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475
können wir sagen, dass dieselbe ditetragonal (Nr, 6
metrie des Quadrates
sei,
der
Tabelle)^)
ebenso wie von der scheinbaren Symmetrie eines beliebigen Parallelogramms.
In Anbetracht des von der Lehre der scheinbaren Symmetrie begründeten Standpunktes
müssen wir
sind,
also die beiden
gleichwerthige
als
Symmetrieebenen, deren Tracen den Seiten des Quadrates parallel
wenn auch
betrachten,
Symmetrieaxe vorhanden wäre.
Dasselbe
gilt
der
in
Wirklichkeit
keine
vierzählige
auch für beide diagonale Symmetrieebenen.
Die ersten und die letzten Symmetrieebenen sind aber,
auf demselben Princip der schein-
baren Symmetrie fussend, keineswegs untereinander gleichwerthig.
Bei der Erschöpfung der möglichen Fälle müssen wir also nothwendig diesen Stand-
punkt berücksichtigen und erhalten dann
als
allein
mögliche,
und dabei sämmtlich unter-
einander verschiedene, folgende Systeme:
12.
1 II
1)
Die Zahl
fehlt.
und 2)
1
1 III bezeichnet
die
soll
zwei Systeme, in welchen Symmetrie vollständig
Lagerung der Symmetrieelemente
welche aber gerade in diesem Fall gar nicht
vorhanden sind;
in
der
II
und
Ebene ausdrücken,
bezeichnen
III
das
Di- resp. Triparallelogon.
2 II und 4) 2 III bedeuten zwei Systeme, in welchen nur zweizählige, in die Centra
3)
der Einheiten
fallende
Symmetrieaxen vorhanden
sind
(s.
Tafel
I
für
und
diese
andere
Systeme).
5) 311,
wenn Symmetrieebenen
allein
parallel sind (allgemeiner ausgedrückt der
4
6)
ist;
zum
in
II,
7)
4 III und 8) 4
III',
vorhanden
sind,
welche
einem
Richtung einer der beiden Colonnen
wenn
ebenfalls
eine
Symmetrieebene
Paar Seiten
parallel sind).
allein
vorhanden
den beiden ersten Fällen besitzt dieselbe die diagonale Lage, im dritten steht
sie
einen Seitenpaar senkrecht.
9) 5 II,
wenn zwei Symmetrieebenen vorhanden
sind,
welche beide zur Seite senk-
recht stehen.
10) 611, 11) 6
III.
Dieselben senkrechten Symmetrieebenen vorhanden.
parallelogon besitzen beide die diagonale Lage; in
dem
In
dem Di-
Triparallelogon steht nur eine der-
selben diagonal, die andere aber senkrecht zu einem Seitenpaar.
Methode gegeben
,
die particulären erschöpfend darzustellen.
ederarten ihre höchste Allgemeinheit.
Das Resultat
Allgemeine
I.
Ordnung
(Vierflächner)
ist in
Dadurch erwirbt
die Ableitung der Poly-
folgender Tabelle enthalten:
Particuläre Polyederarten
1
—
1
Zusammen
1
IL
„
1
IIL
„
2
6
8
IV.
„
6
40
46
V.
„
17
VI.
„
75
2
In derselben Arbeit ist ausserdem die vollständige Ableitung der Paarflächner V., VII. und IX. Ordnungen ausgeführt und dabei der Dualismus berücksichtigt. Dadurch wird die Anzahl der erschöpfend
dargestellten Typen verdoppelt. Alles das blieb der Arbeit von H. Eberhardt fremd.
*) Die Bezeichnung der Symmetrieart wird von der allgemeinen Figur entnommen.
Unter allgemeiner Figur wird eine solche verstanden, welche dadurch entsteht, dass man eine Grenzgerade allgemeiner Lage nimmt und auf Grund aller vorhandenen Symmetrieelemente daraus alle anderen Grenzgeraden ermittelt. Für den betrachteten Fall ist diese Figur ein Ditetragon.
61*
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476
12) 7
Es giebt nur
II.
Zu derselben kommen noch
13) 8 IL
Centrum fallende vierzählige Syrametrieaxe.
eine einzige in das
Symmetrieebenen hinzu.
vier
Es giebt nur eine einzige in das
14) 9 III.
15) 10 III und 16)
Centrum fallende dreizählige Symmetrieaxe.
Zu derselben kommen noch Symmetrieebenen hinzu. Im
im zweiten stehen dieselben diagonal.
11 III.
ersten Fall stehen dieselben senkrecht zu Seitenpaaren;
Centrum fallende Symmetrieaxe.
17) 12 III.
Es giebt eine einzige sechszählige,
18) 13 III.
Zu derselben kommen noch Symmetrieebenen hinzu.
13.
Nehmen
metrieelemente
Gesammtheit
in das
wir innerhalb einer Einheit beliebig einen Punkt, so bedingen die
wie
der Einheit ebenso
analoger
welche
Punkte,
Translationsdeckbewegungen
die
als
regelmässiges
ein
eine
Sym-
unbegrenzte
Punktsystem
be-
zeichnet wird.
Die erschöpfende Darstellung
ausgeführt,^)
und
am
dieses
Schlüsse
solcher
ersten
Theiles
ebener Punktsysteme war schon längst früher
anschaulich auf graphischem
in der Tafel I
ist
tabellarisch
durch
Wege
analytische
reproducirt, sowie
Gleichungen zusammen-
gefasst.
Jedes dieser Systeme
Jetzt
die
kommen
ist
durch die Art und Lage der Symmetrieelemente charakterisirt.
wir zur Lösung derselben Frage auf ganz anderem Wege, indem durch
Symmetrie einer einzelnen Planeinheit und durch
dieselben Systeme reproducirt werden,
auch
Zu dem Zwecke,
1.
die
Decktranslationsbewegungen wieder
nicht von vornherein
für sämnitliche Fälle die
ersichtlich
ist,
ob
kommen.
Lagerung der Symmetrieelemente erschöpfend
müssen wir folgende, längst bewiesene Sätze berücksichtigen:*)
Existirt eine j)-zählige
Satz.
auch eine resultirende zu
und eine Deckschiebung
Symmetrieaxe
parallele ^-zählige
Abstand hat von der Axe
letztere
es
Darstellung derselben Systeme
jetzt wir zur erschöpfenden
darzustellen,
obgleich
Axe
von solcher Lage,
der primitiven Lage und in
in
dass
der anderen
nach der erfolgten Schiebung erhält; dabei bilden die durch
die
?,
so existirt
sie
gleichen
Lage 1, welche
Axe 0' und die
TZ
die
Axen
und
1
—
gehenden Ebenen einen inneren Winkel 2
1)
Diese Aufgabe wurde in dem IL Theile des S. L. IV behandelt.
Da dieser Theil der Zeit
nach der Arbeit S. L. III folgte, wo die regelmässigen Punktsysteme im Räume vollständig ausgefühvt
und durch algebraische Gleichungen ausgedrückt wurden, so Hess sich diese Aufgabe ausserordentlich einfach dadurch auflösen, dass in diesen Gleichungen die erste Coordina.tengrösse gleich Null gesetzt wurde.
Da aber diese Frage schon früher durch zwei Autoren behandelt wurde, so wurden die Resultate
vergleichungsweise in folgender Tabelle dargestellt.
Diese Autoren sind C. Jordan (,,Memoires sur
les groupes de mouvements" in Brioschi e Cremona Annali di matematica.
Ser. II T. II und
L. Sohncke („Die regelmässigen ebenen Punktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung."
Borchardt,
Joum. für die reine und ang. Mathematik Bd. 77.)
Ebene Punktsysteme
G.
L.
Jordan (1869)
Sohncke
^)
lytische
ersetzt
1
2
3
4
5
6
7
2
27
28
32
87
53
XI
— —
86
X
VI
IV VII
(1879) nicht angezeigt
Die betreffenden Sätze
Methode angewandt.
(in
der Anzahl
8),
sind in
wurde dieselbe durch
(Cursus der Krystallographie 1897, §§ 2 und 3).
Später
9
8
115 60
III
—
12
13
14
15
16
17
129
46
107
30
90
88
123
IX
II
I
VIII
—
10
S. L. III
11
enthalten.
die einfachere
XIII XII
V
Hier wurde die ana-
Methode der Construction
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477
Zusatz.
resultirende
um
Speciell
Äxe
0'
für
die
und
eine Hälfte der Decktranslationsstrecke, also
Existirt eine
2. Satz.
haben wir den
zweizählige Symmetrieaxe
in der Mitte zwischen
1
—
,
also
steht,
hat.
nächsten Symmetrieebenen
ihr
ist.
Symmetrieebene und eine zu ihr senkrechte Deckschiebung
Deckschiebung nicht
Ist die
dass die
Fall,
der Translationsrichtung
von derselben entfernt
so existirt auch eine resultirende parallele Symmetrieebene,
—
in
eine
die
die senkrechte, so existirt in der Mitte zwischen
Gleitebene;
resultirende
zugehörendön Deckschiebung sind
die
Richtung und
zweien
die Grösse
Richtung der Trace dieser Ebene und
die
A,
von derselben den Abstand
resp.
der
die
Hälfte der Deckschiebung der Translation in dieser Richtung.
Auf Grund
dieser
beiden Sätze
Anzahl 17
der
früher
sind, als diejenigen,
geordneten
welche den Systemen
Nun
ist
die
jetzt
aufgefundenen Systemen ent-
angezeigt.
13
I.
Man
derselben
Ordnung zu Grunde
I.
abgeleitet, dass wir die ihnen
ersetzt
Einheiten und
Nummer
Punktsysteme
Wir haben sämmtliche Systeme
14.
13 ni dadurch
je
dargestellten
den
säramtliche
sind
sprechende Punktsysteme bestimmt und durch die
sieht, dass aus der
reproducirt
worden
liegen.
Ordnung aus zwei Grundsystemen
zukommenden Symmetriearten durch
8
H
und
die unter-
hatten.
Dabei verschwinden einige Symmetrieelemente; die Form der
Lage der Reihen und Colonnen wird aber dadurch nicht berührt.
zu berücksichtigen, dass es schon längst bewiesen worden, dass die Systeme,
nach ihrer Syngonie, durch homogene Deformationen transformirt werden können, ohne
innewohnende Eigenschaft der regulären Plantheilungen zu verlieren.'')
die denselben
^)
Dieser Frage über die homogenen Deformationen und der Aufstellung der Sätze über die
homogenen Transformationen des Parallelogonsystems wurde in den Arbeiten des Verfassers viele
Beachtung geschenkt. Zuerst in E. G. L. wurden denselben die §§ Gl, 62 und 63 gewidmet, und die Sache
auf einfachste Weise in constructionellem Wege behandelt. Die allgemeinsten hier bewiesenen Sätze
sind die folgenden: Ein Parallelogon, welches einer beliebigen Gesammtheit von Dilatationen und Verschiebungen unterworfen worden ist, bleibt als ein solches bestehen (§ 62). Jedes gegebene Parallelogramm kann durch Dilatationen und Verschiebungen in jedes andere verwandelt werden (Satz 15). Bei
dieser Gelegenheit Hess sich ein neuer Flächensatz aufstellen:
ist gleich
dem Producte
Die Flächengrösse eines Parallelogramms
der Länge des von zwei parallelen Seiten des Parallelogramms abgeschnittenen
Theiles einer beliebigen Geraden durch die Projectionsgrösse einer zu einem anderen Paar gehörenden
Seite auf die zu der Geraden senkrechte Richtung.
und III ausführlich auf analytischem Wege behandelt,
Der Grund der analytischen Behandlung entfliesst aus
dem der Arbeit vorgestellten Zwecke
das einfachste System der krystallographischen Berechnungen
auszuarbeiten. Obgleich dem vorgestellten Zwecke gemäss die Aufgabe scheinbar die des dreimensionalen
Raumes war, reducirt sich aber in der That dieselbe auf eine zweidimensionale und zwar in Folge davon,
dass die der Berechnung unterliegenden Raumgebilde eigentlich Ebenen- resp. Geradenbüschel darstellen, so dass dieselben mittelst Linearprojection sich eindeutig als zweidimensionale Gebilde bestimmen
lassen.
In Folge dessen wurde gerade die Aufgabe der allgemeinsten Projectivität auf der Ebene mit
Später wurde dieselbe Frage in A. K.
und zwar
als eine
S. I
Frage der Projectivitätslehre.
—
ganz besonderer Ausführlichkeit behandelt.
Der Zweck war in vollkommenster Weise dadurch erreicht, dass man sich zwei Krystallflächencomplexe vorgestellt hatte, einen allgemeiner Art, und den anderen der kubischen Syngonie gehörig,
für welchen die einfachsten Berechnungsformeln giltig sind.
Der eine Complex wurde durch Linear-
und der andere durch gnomonische Projection (also die Linearprojection des polaren Geradenbüschels)
dargestellt, und dann die allgemeinsten (linearen) Gleichungen der eindeutigen Projectivität zwischen
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478
nämlich der Beweis dafür erbracht worden, dass solche Systeme zweierlei Art
Deformationen unterzogen werden können: a) Dilatationen und b) Verschiebungen.
Es
von
ist
Die Deformationen beider Art führen uns aber zu Systemen, deren einzelne Figuren in
Bezug auf die Figuren der Grundsysteme wie unter einander überhaupt in derjenigen
Beziehung stehen, welche von Möbius als Affinität bezeichnet wurde.
Die Möglichkeit solcher Deformationen
ist,
wie erwähnt, durch die Syngonieart bedingt
und zwar kann durch folgende Sätze ausgedrückt werden:
In jeder singulären Richtung kann positive oder negative Dilatation hervor1. Satz.
gebracht werden.
Werden
z.
B.
einem Quadrat
in
die
Diagonalen desselben die singulären Richtungen
im Falle der rhombischen Syngonie), so kann dasselbe in einen beliebigen Rhombus verwandelt werden, ohne die Grundeigenschaft, reguläre Plantheilung zu sein, zu verlieren.
(also
Sind die Richtungen seiner Seiten singulare, so verwandelt es sich daher in ein beliebiges
Rechteck.
2. Satz.
Sind
alle
Richtungen singulär
(also
der Fall der monoklinen Syngonie),
so
kann jede derselben als eine Axe der Verschiebung angenommen werden.
Dadurch kann z. B. ein Quadrat in ein Parallelogramm verwandelt werden mit
Auf Grund
beliebigen inneren Winkeln ebenso wie mit beliebiger Relation seiner Seiten.
dieses Satzes verliert es dabei keineswegs die ihm zukommende Grundeigenschaft, eine
reguläre Plantheilung zu bilden.
3.
I.
Satz.
Giebt
es
singulare
keine
Richtungen,
sind
so
Deformationen
unmöglich.
Durch diese Sätze erwirbt die oben ausgeführte Ableitung der regulären Plantheilungeu
Ordnung die erwünschte Allgemeinheit.
15. Jetzt
Frage,
Ist
dies
gehen wir einen Schritt weiter und unterziehen
ob Systeme möglich
der Fall,
so
stellt
sind,
welchen die Einheiten
in
sich
die
weitere
unserer Untersuchung
die
verschiedenartig orientirt sind?
Aufgabe bevor, solche Systeme erschöpfend
darzustellen.
Für solche Systeme,
falls
sie
überhaupt vorhanden
sind,
Ebene senkrechte
(verticale)
kann
die
Deckoperation
als
Drehung um eine zur
a,
und 2. eine einfache
Ax« und um einen bestimmten Winkel
aus den zwei folgenden zusammengesetzt aufgefasst werden:
1.
eine
Translation.
Dazu kann noch
eine Spiegelung in einer verticalen
Symmetrieebene kommen.
und einem Punktsystem auf der Ebene aufgestellt. Daraus Hessen sich auf
Weise die Formeln zur Berechnung der Krystalle für alle Fälle aufstellen; dadurch wurde
das System der krystallographischen Berechnung entwickelt, welches durch die Einfachheit der für die
Ausführung der Berechnung nöthigen Operationen alle bisher vorgeschlagenen Systeme weit hinter sich
Hess.
Dieses System der Berechnungen wurde mit bestem Erfolge sogar bei elementaren Vorträgen
der Krystallographie im Berginstitut in St. Petersburg angewendet und in- dem elementaren „Cursus
diesen als einem Geradendie einfachste
der Krystallographie" (Cap. XI) eingeführt.
Als Nebenresultat dieser ausführlichen Behandlung
die Projectivitätscurve (eines Punktsystems
oder iniaginäre) oder eine Hyperbel
Schröter's) aufstellen lassen.
und
die beiden
In
ist,
dem
correlativen Systeme
polare Lage bringen.
und
sei
erwähnt, dass in den Fällen,
in welchen
eines Geradensystems auf der Ebene) eine Ellipse (reelle
sich die beiden correlativen
Systeme
in polarer
Lage (im Sinne
Falle der Parabel scheitert aber die Eichtigkeit dieses Satzes,
(mit
Ausnahme
eines ganz speciellen Falles) lassen sich nicht in
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479
Betrachten wir zuerst den Fall ohne hinzukommende Spiegelung.
Dem
einer
bekannten elementaren Satze der Kinematik zufolge kann eine Combination von
Drehung und
einer
(senkrechten)
Translation
als
eine
einzige
werden, wobei die resultirende Drehaxe eine bestimmte Lage erhält.
System
als
mit seiner
d.
h.
die
um
diese
Axe gedreht gedacht werden, und kommt
Lage.
primitiven
Drehung um
aber
Ist
die
Coincidenz
erfolgt,
Drehung
aufgefasst
Somit kann das ganze
Deckung
dabei wieder zur
so
kann dieselbe Drehung
Axe und um denselben Winkel a unbestimmte Male wieder-
dieselbe
holt werden mit demselben Resultate.
Daraus
zu schliessen, dass der Drehungswinkel durch den Ausdruck
ist
werden kann, wo
In
—
bestimmt
eine ganze Zahl ist;
der Definition gemäss ist also diese Drehaxe nichts
Dadurch kommen wir zum Schlüsse, dass die allgemeinste
congruente Deckoperation eines ebenen Systems eine Drehung um eine Sym'p
anderes als die Symmetrieaxe.
metrieaxe ist.
Der elementare Drehungswinkel a kann nicht unendlich klein sein, da wir sonst für
eine endliche Deckbewegung die resultirende Drehaxe unendlich weit entfernt gefunden
hätten, und dann wäre diese Deckbewegung einfach als Decktranslation zu deuten.
Es
sind
aber zwei wesentlich verschiedene Fälle zu unterscheiden:
Symmetrieaxe in das Innere einer Einheit, oder b)
die resultirende
sie
entweder
fällt in
a) fällt
Punkt
einen
der Peripherie derselben Einheit.
Im
ersten Falle
ist
die Einheit selbst eine symmetrische,
wir als eine explicite bezeichnen.
Symmetrie des Verbandes
Wenn
dem zweiten
Falle
ist
und
die
Symmetrieaxe werden
dieselbe als ein
Element der
(einfacher Verbandssymmetrie) aufzufassen.
noch die Spiegelung hinzukommt, so ist nur der
Das aus einer j?-zähligen Symmetrieaxe und einer durch
hindurchgehenden Symmetrieebene resultirende Symmetrieelement ist die Symmetrie-
16,
zu diesen Operationen
folgende Satz zu berücksichtigen
dieselbe
In
:
')
-
ebene, welche mit der gesehenen einen inneren
Winkel
;r—
=—
bildet.
können wir schliessen, dass, wenn eine Spiegelung als DeckLage der resultirenden Symmetrieebene in Betracht zu ziehen
und auf den Satz 2 § 13 Rücksicht zu nehmen ist.
Auch jetzt kann die Symmetrieebene explicit auftreten, und dann ist die Einheit
selbst symmetrisch
oder dieselbe wird als solche oder als Gleitebene zum Element der
Auf Grund
dieses Satzes
operation auftritt,
allein
die
,
Verbandssymmetrie.
17.
Da
die
Anzahl der möglichen Orientirungen der Einheiten eine endliche
ist,
so
müssen unter denselben auch gleichorientirte vorkommen.
Nehmen
wir eine solche,
z.
B. die nächstliegende in Betracht,
so finden wir,
dass
dadurch schon eine unendliche congruente Reihe bestimmt wird mit bestimmter Richtung
Da
den hier in Betracht kommenden Systemen die Einheiten nicht gleich orientirt sind,
im strengen Sinne des Wortes. Als solche können nur deren zusammenhängende Gruppen betrachtet werden, in welchen jede Einheit von besonderer Orientirung ver1)
sind
in
dieselben keine Parallelogone
treten
ist.
Solche durch Verbands-Symmetrieelemente die Parallelogone bestimmenden Figuren pflegt
man Planigone
zu bezeichnen.
einfachen Parallelogon der Systeme
Ein hierzu gehörendes Planigon entspricht dieser Form nach dem
I. Ordnung.
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480
und Strecke, und dann folgt von
ein Netz bildet; also können wir
anwenden und
Wenn
Gesammtheit gleich
die
Systeme
I.
Ordnung
orientirter Einheiten
gefassten Schlüsse darauf
dass solche Systeme nur mit denselben zehn Syrametriearten verträg-
finden,
(primäres oder
Parallelogon
können wir wenigstens eine Anzahl derselben zu einem solchen
so
ist,
grup-
sich
Die Frage besteht eigentlich darin, ob in dem Innern der Einheit ein Punkt
piren lassen.
vorhanden
gegebene Einheit nicht von vornherein ein
-die
secundäres)
dessen analoge Punkte in ihrer Gesammtheit ein ebenes Netz bilden.
ist,
Hauptpunkte
Punkte werden
Punkt vorhanden,
solcher
ein
wollen
so
wir
denselben
Centrum
das
für
eines
welches explicit mit allen Arten der Symmetrieelemente
Dann werden
überhaupt in dem System auftreten.
die
ist,
Solche
genannt.
primären' Parallelogons annehmen,
versehen
dass
die für die
welche sich ihrerseits in vier Syngoniearten gruppiren.
lich sind,
Ist
selbst,
Deckbewegungen
alle
der gegebenen Einheit mit den anliegenden zu einfachen Decktranslationen, und das System
zu solchem
selbst
I.
Ordnung.
Bei dieser Transformation
der Einheit
wird
in
der Deck-
operation nichts geändert; die transformirte Einheit bleibt mit der gegebenen gleichflächig
und
also die
ist
gegebene ein secundäres Parallelogon.
Giebt es keinen solchen Punkt in
Weise
dem Inneren
an der Peripherie derselben
solcher
ein
der Einheit,
vorhanden
sein.
muss noth wendiger
so
Dies
lässt
sich
einfach
dadurch beweisen, dass die Fusspunkte sämmtlicher Symmetrieaxen nothwendig ein ebenes
Netz
bilden.
Es
I.
ist
nur der Fall zu besprechen, in welchem keine Symmetrieaxen vorhanden
also
Dann
sind.
fehlen
Ordnung) oder
Aber auch
die
Symmetrieelemente überhaupt (das System
Symmetrie-
es treten ausschliesslich parallele
Fall
dieser
punkte vorhanden
sind,
ist
resp.
augenscheinlich kein Ausnahmefall,
und zwar
ist
ist
noth wendiger Weise
Gleitebenen auf.
da
ein jeder Punkt, welcher in der
auch
jetzt
Symmetrie-
Hauptresp. in
der Gleitebene oder in der Mittellinie zwischen zwei nächsten Tracen solcher Ebenen
ein
Hauptpunkt.
Das Resultat
18.
aller
dieser
Betrachtungen
anderen berücksichtigt, und für jede derselben
der Parallelogone
zuerkennt,
sind,
und
dass
ist,
Ordnung auswählt, aber denselben
I.
und zwar
alle
diejenigen Symmetriearten,
die frei bleibenden
man
zu
einer
Symmetrieelemente
eine
geringere explicite Symmetrie
welche der gegebenen untergeordnet
Elemente der Verbandssymmetrie
als
Die Symmetriegrösse wird dann aus zwei Factoren zusammengesetzt:
grösse der expliciten
erschöpfenden
wenn man alle Symmetriearten eine nach der
zum Ausgangspunkt die dazu gehörenden Typen
Darstellung aller typischen Systeme kommt,
die
liegt,
auffasst.
der Symmetrie-
und derjenigen der Verbandssymmetrie, und deren Product
stellt
also
Symmetriegrösse des ganzen Systems dar.
Die Symmetriegrösse der Verbandssymmetrie
der Einheiten
des Systems gleich.
dann der Anzahl der Orientirungen
ist
Im besonderen
Falle der asymmetrischen Einheiten
ist
somit diese Anzahl die Symmetriegrösse des ganzen Systems.
19.
Jedes System
der
Planeinheiten
kann
seiner
Definition
gemäss durch das Pa-
rallelogon und dessen Orientirungen in den anliegenden Einheiten eindeutig und streng bestimmt
werden.
heiten
Ist das
durch
Parallelogon asymmetrisch,
eine
so
kann
die Orientirung der anliegenden Ein-
einzige Operation bestimmt werden,
und zwar entweder
a)
durch ein-
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481
fache Translation oder b) durch ein Element der Verbandssymmetrie.
kann durch
eine einzige charakteristische Zahl
Grenzlinie,
in
Bezug auf welche
Die
letzte
Operation
angegeben werden, und zwar auf derjenigen
anliegende Kaumeinheit die angezeigte Orientirung
die
Die Angabe der einfachen Translation kann einfach durch die Abwesenheit einer
besitzt.
solchen charakteristischen Zahl angezeigt werden.
Sind
dieselbe,
und
symmetrisch
die Einheiten
ihre
ist
explicite
Symmetriegrösse
auch sämmtliche andere Einheiten des Systems,
wie
Avelche zugleich s verschiedene Orientirungen besitzen.
Zahlen für jede Grenzlinie in der Anzahl
s
als solche
s,
kann
so
angesehen werden,
Somit sind auch die charakteristischen
vorhanden.
Für
die Translation bleibt natürlich
Abwesenheit dieser Zahlen bestehen.
die
Die Systeme wollen wir in solche von verschiedenen Ordnungen gruppiren, je nach
der Anzahl der verschiedenen Orientirungen der Einheiten,
der Verbandssymmetrie,
Systems durch die Division
der Symmetriegrösse des
ganzen Systems durch diejenige der
Symmetrie erhalten.
expliciten
der erschöpfenden Darstellung der Systeme IL und höherer
20. Bei
wir
also nach der Symmetriegrösse
Anzahl der Orientirungen und zugleich die Ordnung des
h. die
d.
Ordnungsreihe
der
und dabei zuerst
folgen
die
Diparallelogon-
Ordnung wollen
und dann
Tri-
die
parallelogonsysteme aufsuchen.
Jedes Mal beginnen
der Systeme
Einheiten
orientirten
Reihe
der
wir
mit
den Formen
h.
d.
des
für jeden
verschiedene
der
Ableitungsformen
möglichen Vertheilungen der gleich
Fall
wird erschöpft,
Diese Darstellung
Systems.
Entfernung
absoluten
der vollständigen Darstellung
der
Einheiten
als
die
wenn man
nächstliegenden
in
der
gleich
orientirten ansieht.
Jede solche
Annahme
Richtung und Strecke.
giebt uns sofort eine bestimmte Reihe mit der ihr zugeordneten
Ist diese
Richtung keine singulare, so erhalten wir sofort wenigstens
zwei gleiche Reihen in verschiedenen Richtungen, und das Netz der gleich orientirten
Raum-
einheiten, also auch die Ableitungsforra, ist bestimmt.
diese
Ist
Richtung singuIär,
so
führt
diese
Annahme nur zur Bestimmung einer
Annahme beizufügen. Die Anzahl
einzigen Reihe, und dann steht noch bevor, eine andere
Annahmen,
der zulässigen
folglich
auch die Anzahl der zulässigen Ableitungsformen, wird
in diesem Falle grösser.
Daraus
ist
zu schliessen:
a)
dass
die
Aufsuchung der Ableitungsforraen eine
Frage der Syngonie und nicht der Symmetrie ist, und b) dass die Ableitungsformen der höheren Syngoniearten für jeden Parallelogontypus und jede
gegebene Ordnungszahl des Systems unter denjenigen der niederen Syngoniearten stehen.
Also die Ableitungsformen der rhombischen Syngonie sind in denen der monoklinen,
und
die
Ableitungsformen der tetragonalen und hexagonalen Syngonie in denen der rhom-
bischen Syngonie enthalten.
21. Ist eine Ableitungsform ermittelt worden, so
in
der
Orientirung
verschiedener
Einheiten
bedingt.
werden dadurch bestimmte Relationen
Dabei sind aber auch individuelle
Eigenschaften der aufzutretenden Symmetrieelemente in Betracht zu ziehen.
schaften lassen sich auf
Abh.
d.
IL
Cl. d. k.
Ak.
d.
Grund der Sätze
Wiss. XX. Bd.
II.
Diese Eigen-
§ 13 entwickeln.
Abth.
62
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482
Auf dem
Satze 1
Demselben Satze zu Folge
Axen
des
wir in Bezug auf die secliszählige Symmetrieaxe
können
fussend,
dass dieselbe keineswegs als ein Element der Verbandssymmetrie auftreten kann.
scliliessen,
ist
Sechsecks,
regulären
und
die
keineswegs
aber
dies
der Fall, indem die erste in den
Eckpunkt
den
in
dritte
drei-
für vier-,
und zweizählige
des Quadrates, die zweite in den
Mittelpunkt jeder Grenzlinie
Eckpunkt
überhaupt
fallen kann.
Das Vorhandensein jeder
dieser
Axen
Elemente der Verbandssymmetrie giebt uns
als
die Orientirung zweier anliegenden (für vier- und dreizählige Axen) oder nur einer einzigen
und keineswegs
anliegenden Einheit (für zweizählige Axe) an,
die Orientirung derjenigen,
welche durch parallele und entgegengesetzte Grenzlinien von der gegebenen Einheit abgetrennt
sind.
Sä'mmtliche durch eine einzige
Axe angegebenen Orientirungen
sind dabei verschieden.
wir
speciell
als
peripherische
und zweizähHge Symmetrieaxen,
Verbandssymmetrie auftreten, sind peripherische.
welche
als
Elemente der
Elemente
Solche
der
Verbandssymmetrie
wollen
bezeichnen.
Dann
lautet der Schluss dieser Betrachtungen:
drei-
Vier-,
Sind für eine Symraetrieebene charakteristische Zahlen angegeben, so haben die-
22.
selben verschiedene Bedeutung, je nach
der relativen
Lage
des entsprechenden Symraetrie-
elementes.
Beziehen sich diese Zahlen auf Grenzgeraden, welche zu den Tracen der betreffenden
Symmetrieebene parallel sind, so drücken
pherisches Symmetrieelement
da die peripherisch
Fall sein,
explicite
aus.
die
sie
Symmetrieebene
kann aber nur
Dies
liegende Symmetrieebene
selbst
als
ein
peri-
Diparallelogonsysteme
der
der Triparallelogone zugleich
die
für
ist.
Beziehen sich diese Zahlen auf Grenzgeraden, welche zu den Tracen der betreffenden
Symmetrieebene senkrecht stehen, so drücken
der Verbandssymraetrie aus.
Beziehen
endlich
sich
stehender Grenzgeraden,
so
Dazu gehört
diese
drücken
Element der Verbandssymmetrie
können
23. Jetzt
wir die
sie die
eine
Zahlen
sie
die
auf
Gleitebene
als ein
centrales Element
Colonne IL Ordnung.
die
Tracen
Gleitebene
der
als
ein
Symmetrieebenen
schief
schief schneidendes
aus.
Aufgabe der Aufsuchung der Systeme höherer Ordnung
behandeln.
Ist
die
gegebene Einheit
Colonne
mit
einer
anliegenden
durch
Translation
verbunden,
so
Ordnung,- und das ganze System stellt dann eine Reihe
paralleler anliegender Colonnen I. Ordnung dar, deren Einheiten aber verschiedene Orientirung
besitzen.
Die Richtungen solcher Colonnen können aber nur singulare sein.
Solche
Colonnensysterae sind also nur bei nionokliner und rhombischer Syngonie möglich.
Dabei können die gleich orientirten Einheiten einer Colonne mit der gegebenen durch
entsteht dadurch eine
I.
peripherische oder durch schneidende Elemente der Verbandssymmetrie verbunden sein.
dabei ein
centrales
IL Ordnung
sein.
Element der Verbandssymmetrie vorhanden,
Dasselbe
ist
der Fall überhaupt,
wenn
abgetrennten Einheiten einer Colonne gleich orientirt sind.
die
so
Ist
kann das System nur
durch die gegebene Einheit
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483
Wir
wollen
Systeme
die
Beigabe
durch
Art
dieser
Buchstaben
des
besonders
c
anmerken.
24. Zwei Colonuen
I.
I.
Ordnung aber verschiedener Richtung bedingen
das ganze System
Ordnung.
Es
den Fall zu besprechen, in welchem keine anliegende Einheit mit
bleibt uns also
der gegebenen durch Translation verbunden
Nun
ist.
unterscheiden wir folgende wichtigste Unterfälle:
Die entgegengesetzten parallelen Grenzlinien sind immer durch dieselben charak-
a)
Zahlen
teristischen
In den Systemen dieses Typus sind sämmtliche Colonnen solche
besetzt.
IL Ordnung.
Symmetrieelemente
peripherische
Als
auftreten;
für
werden
die letzteren
können zwei- und vierzählige Symmetrieaxen
alle vier
und das System eindeutig
Grenzlinien besetzt
bestimmt.
Die
Symmetrieaxe kann aber
dreizählige
peripherische
als
nicht
da für
auftreten,
Systeme das Vorhandensein einer solchen Axe schon genügend zur Bestimmung des
diese
Systems wäre, welches dabei
Ordnung
III.
während solche Systeme nur
sein müsste,
oder
II.
mehrfacher Ordnung sein können.
Als centrale können hier Gleitebenen auftreten.
Tritt aber eine Gleitebene schneidend
dazu, so lässt sich dadurch ein einziges System bestimmen.
Die Wichtigkeit der Abgliederung der Systeme dieser Art
selben eine einfachere
zwei Zahlen aufstellt
besteht
darin,
dass
den-
zukommt, indem man nur
und von den den entgegengesetzten Grenzlinien angehörenden Zahlen
Bestimmung durch
charakteristische Zahlen
absieht.
Systeme
Diese
dessen,
dass
bestimmt
drücklich
Form
wir
phanerotopische
als
bezeichnen,
in
Anbetracht
durch die charakteristischen Zahlen sämmtliche Colonnen
werden,
und dabei keine centralen Symmetrieelemente
in
aus-
versteckter
auftreten.
25. In
die
wollen
dieselben
für
dem
Unterfalle b) sind die beiden charakteristischen Zahlen einer Colonne für
gegebene abgetrennte Einheiten nicht sämmtlich dieselben.
durch
Nehmen
wir eine
Colonne heraus, so finden wir, dass die gegebene Einheit mit den anliegenden und nur mit
diesen ausdrücklich durch ein gewisses
die
folgenden Einheiten
und
ist
erst
das
als
kryptotopische
gehören auch
die
ist;
für
versteckter Form enthalten
entsprechende Element in
auf Grund der speci eilen Sätze zu ermitteln.
Systeme dieser Art
Hiei'zu
ist
Element der Verbandssymmetrie verbunden
In Folge dessen wollen wir die
bezeichnen.
Colonnensysteme von höherer
als
IL Ordnung; ferner
die
Systeme mit peripherischen dreizähligen Symmetrieaxen.
In
diesen
Systemen
und zwar dann,
treten,
die zweizählige
können
Symmetrieaxe und
Speciell für solche
auch
centrale
Gleitebenen
wenn unter zwei entgegengesetzten
Systeme
die andere die
ist
in
versteckter
ist
Symmetrieebene ausdrückt.
Colonne die gegebene Einheit mit der nicht anliegenden durch
Gleitebene singulärer Richtung kryptotopisch verbunden, so
ihr senkrechte Colonne höchstens IL Ordnung; ist eine solche
centrale
die
zu
auf-
der folgende Satz giltig:
Ist in einer
eine
Form
charakteristischen Zahlen eine
62*
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484
Colonne überhaupt nicht vorhanden,
Reihen I. Ordnung.
sind
so
der gegebenen Colonne
zu
die
serTlcrechten
Es
die
sei
der
in
angegebene centrale krypto-
punktirt
Fig. 3
ahc vorhanden;
topische Gleitebene
da dieselbe singulär vorausgesetzt
wird, so sind, ebensolche centrale Gleitebenen in sämmtlichen
Systems vorhanden.
des
Lage
die
in
Unterwerfen
sei
d
eine
Nach
kommen, wobei
gegebenen
der
e
wir
Einheit
die
die
e
der Gleitung
e
1
J
wird
c
Einheit
anliegende
der c
Einboiten
Einheit a an-
Ebene ah
der erfolgten Gleitung an der
liegende Einheit.
d
Es
k
— —L
ist.
'
f
a.
1
der entgegengesetzten
in
—f—
c
^^g 3
Richtung, indem wir dabei für die Gleitebene die Centrale in Bezug auf
selbst' annehmen, so kommt dieselbe in die Lage /", wird also zugleich zur anliegenden
Bezug auf a, gehört derselben Colonne daf wie d an, ist aber mit d gleich orientirt.
Folglich ist die Colonne daf IL Ordnung.
Falls aber die Einheiten d und /' nicht einer und derselben zu ah c senkrechten
sie
in
Colonne angehören, so bedingen
zu
Zugehörigkeit
Die
sie
ahc
doch die zu
L Ordnung.
senkrechte Reihe
Systemen
kryptotopischen
wird
durch
Beigabe
die
zweier
charakteristischer Zahlen erwiesen.
dem eben besprochenen
In
2(5.
Falle
Colonne
ahc zugehörenden Zahlen
ahc
IL Ordnung gewesen.
Sie
mit
die
Reihen bd und
einer
Annahme
identisch sein, da, auf diese
Reihen L Ordnung erhalten hätten, etwa
ahc können
der kryptotopischen Colonne
zu d oder f zugehörenden charakteristischen Zahlen keineswegs
der
der
fassend, wir zwei
und dann wäre
hf,
können aber mit der der Einheit
die
beiden
die
Colonne
entsprechenden Zahl
c
identisch sein.
kann die Einheit selbst kein Symmetrieelement explicit
Auswahl der Elemente der Verbandssymmetrie für d und f ist in hohem
In diesem besonderen Falle
Auch
enthalten.
die
Grade beschränkt.
27.
Wenn
die
PJinheit
die
explicite
Symmetrie enthält, so sind zwei verschiedene
Fälle zu unterscheiden.
der
Entweder a)
wenn
Fall,
ist
Symmetrie der Verbandssymmetrie untergeordnet.
diese
Einheit
die
zweizählige
Symmetrieaxen
besitzt,
und
Dies
ist
unter
dabei
z.
B.
den
Elementen der Verbandssymmetrie vierzählige Symmetrieaxen vorkommen.
Ist
dies
analogen,
der Fall,
wird
so
die
Ordnung
asymmetrisch
Einheiten
deren
um
.sind,
so
Male im Vergleiche mit den
viele
niedriger,
als
Zahl
die
der
expliciten
Symmetriegrösse beträgt.
Oder b) sind
Elemente der expliciten Symmetrie von denjenigen der Verbands-
die
symmetrie unabhängig.
lassen
sich
also
aus
diesem
Ordnung
Falle
bleibt
die
asymmetrischen
durch
einfache
In
den
dieselbe.
Einschaltung
Solche
der
Systeme
betreffenden
Symmetrieelemente ableiten.
Es
ist
aber stets
bei
dieser Einschaltung
zu berücksichtigen,
Elemente der Verbandssymmetrie solche Einschaltung
28. Jetzt verfolgen
wir
ob
die
Lagerung der
zulässt.
den Gang der Darstellung
der
in
der Tabelle I zusammen-
gestellten Systeme.
Diese Tabelle
ist
in
acht Colonnen getheilt; in der
in der 2. die Symmetrieart durch
Nummern
1.
Colonne
ist
die Ableitungsform,
ausgedrückt, in der 3. die Symmetriegrösse des
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485
Systems, in
dei"
6.
Zahlen der expliciten Symmetrie, in der
die charakteristischen
Grunde liegende Typus des Systems
Symmetriearten, in der
7. die
Ordnung,
I.
der
in
die
4.
5.
charakteristischen Zahlen, und endlich in der 8. Avird die Be-
zeichnung des gefundenen Systems durch ein besonderes Symbol angegeben, dessen
das entsprechende Punktsystem
Wenn
drückt.
I.
für
Ordnung untergeordnet
und der
gegebene
die
der zu
Nummerirung nach den
sind, so
11.
I.
Theil
Theil die explicite Symmetrie der Einheit aus-
Syrametrieart
Typen
verschiedene
der
Parallelogone
wird der Bezeichnung des bezüglichen Parallelogons durch
Bezeichnung des entsprechenden Typus zugefügt. Die Bezeichnungen für Golonnensysteme und kryptotopische Systeme sind schon oben erwähnt.
Die Bedeutung der Buchstaben der I. Colonne wird für die entsprechenden ParalleloZahl noch
die untere
gone durch
Zahlen der
und 5
Figuren 4
die
7.
die
erläutert.
Dann
findet
man
sogleich
auf Grund
der
Colonne die Lage der Elemente der Verbandssyinmetrie.
b'
b
Fig. 4.
29. Die allein möglichen Ableitungsformen für die Systeme der Diparallelocrone
IL Ordnung und monokliner Syngonie sind diejenigen, welche durch die Annahmen bedino-t
worden
sind,
derselben
a\
I.
dass
entweder
Ordnung
a) eine
Für
ist.
der Colonnen
die erste
Annahme
derselben
L Ordnung
ist,
oder b) keine
erhalten wir die charakteristischen Zahlen
oder la, wobei die Zahl 1 die einfache Translation ausdrückt.
Für
die zweite erhalten
wir die entsprechenden Zahlen aa.
Dieselben Ableitungsformen bleiben auch für die rhombische Syngonie
Syngonie bleibt
Form aa
giltitr.
Für
die tetragonale
30.
Die Diparallelogonsysteme IV. Ordnung sind nur für die rhombische und tetra-
allein die
giltig.
gonale Syngonie zulässig.
Als allein zulässige Ableitungsformen für rhombische Symmetrie, je nachdem,
Colonnen
von singulärer Richtung; wenn nicht, erhalten wir die folgenden.
die
Richtungen
der Colonnen sind singulare.
I. Die
1)
Als
angenommen
2)
die
(Fig. 6).
Als die
angenommen
nächsten
gleich
Man
orientirten Einheiten
Man
Fig.
die Einheiten
2
und 2
4
und
erhält das phanerotopische System ah.
nächsten gleich orientirten
(Fig. 7).
werden
sind
Einheiten
werden
die Einheiten
erhält das kryptotopische Colonnensystem
6.
Fig.
7.
—
a
;
wo
~
a'
1
zwei einer
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Zahlen
und
angehörende
Colonne
anliegenden
zwei
zu
Einheiten
bezügliche
charakteristische
sind.
3)
Als die
angenommen
nächsten
gleich
Man
(Fig. 8).
werden
Einheiten
orientirten
Einheiten
die
erhält das kryptotopische System -7;
04 und 12
h.
Qj
Weitere Annahmen sind ausgeschlossen.
IL
Die Richtungen der Colonnen sind nicht singulare.
In diesem Falle sind die diagonalen Richtungen singulare.
Aus den eben
ermittelten Ableitungsformen erscheint
kann
In der Wirklichkeit
zulässige.
dieselbe aber durch
zwar
die
1.
d.
II
h.
als
die
kein System vertreten werden, da
dazu gehörende Symmetrieelemente fehlen, weil das dazu gehörende Symmetrieelement allein
Symmetrieaxe
die zweizählige
ist
und kein anderes.
Die beiden anderen angeführten Ableitungsformen sind unmöglich.
Fig.
Die einzige
gehörende
dazu
orientirten Einheiten
Fig.
Ableitungsform
4 und 13 (Fig.
Mau
9).
die tetragonale
31.
Die Diparallelogone VIII. Ordnung sind
für die 6. Symmetrieart möglich.
Da
jetzt keine singulärea
forra geben,
orientirte
32,
allein
folgende:
die
a
die Ableitungsform
ist.
Richtungen da
Man
gleich
a
a
a
a
b zulässig.
nur für tetragonale Syngonie und zwar
Dabei sind die Einheiten nothwendig asymmetrische.
sind, so
kann
es
nur eine einzige Ableitungs-
und zwar diejenige, welche der Annahme entspricht,
Einheit 2 2
nächsten
die
erhält das kryptotopische System
Für
Syngonie bleibt
ist
0.
erhält
das
Der Ableitungsgang der Systeme
II.
dass die nächste gleich
kryptotopische System
Ordnung
ist
—7;
so einfach
^7.
und
verständlich, dass
schwerlich nähere Hinweise dazu erforderlich sind.
Für
monokline
Systeme
steht
ein
einziges
Element
der
Verbandssymmetrie
zur
Verfügung.
Dasselbe gilt für die
Für
I.
die
vierte
3.
Symmetrieart.
Synimetrieart
sind
zwei
verschiedene
Ordnung zu berücksichtigen.
expliciten
Für
Für
Symmetrie
in
Für jeden Typus sind weiter
Betracht zu ziehen, und zwar 2. und
die 5. Symraetrieart steht allein die 2.
die G.
Symmetrieart sind die
arten zu berücksichtiiien.
4.
Symmetrieart
und
die 5.
als
als
Typen
zu
Grunde liegende
die
verschiedenen Arten der
3.
untergeordnet zur Verfügung.
die untergeordneten
Symmetrie-
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487
Was
Systeme IV. Ordnung
die
sind
so
betrifft,
die
der
4.
und
5.
Symmetrieart
zugehörendeu Einheiten asyrametriscli, und bei der Berücksichtigung der möglichen Combinationen der Elemente der Verbandssymmetrie in erster Linie die leitenden Gesichtspunkte
der Lehre von der scheinbaren Symmetrie (§ 11) zu berücksichtigen, damit ein und dasselbe
System nicht für verschiedene anzunehmen
Derselbe
ist.
Zweck kann aber dadurch erreicht werden, dass man sich direct von der
durch dasselbe Symbol auszudrückenden Systeme wie 16 (1 II5) und
Verschiedenheit der
16
(1 II5)'
genaue Rechenschaft
giebt.
ganz augenscheinlich, indem für das
Gleitebene,
das zweite
für
Für
diese
Systeme
erste eine zweizählige
zwei centrale Gleitebenen
als
ist
z.
B.
die
Verschiedenheit
Symmetrieaxe und eine centrale
Elemente der Verbandssymmetrie
auftreten.
Was
endlich die Systeme VIII.
Ordnung
betrifft,
so
ist
das Vorhandensein der untrenn-
baren charakteristischen Zahlen 3 7 ganz augenscheinlich, und umgekehrt sind
teristischen Zahlen 4
Zahlen
als
unzulässig
und 8 ausgeschlossen
,
nothwendige Folge gehabt haben würde,
Somit
ist.
liisst
sich
die
charak-
da deren Anwesenheit die Gleichheit einiger
was auf Grund der Ableitungsform
ein einziges hierzu gehörendes
System ableiten.
Für Triparallelogonsysteme IL Ordnung liegt nun eine einzige Ableitungsform
Diese Systeme
zu Grunde, da jetzt die Formen a;l und a\a nicht mehr verschieden sind.
sind
Solche
Systeme
aber
für
hexagonale
Syngonie
unmöglich
sind die Colonnensysteme.
Was aber die Systeme der monoklinen und rhombischen Syngonie betrifft, so
(§ 23).
33.
stehen dieselben den Systemen der Diparallelogone, und speciell die der rhombischen Syngonie
jenen der Typen
4 II und 6 II so nahe, dass
Wiederholung desselben aufzufassen wäre.
Ganz besondere Verhältnisse
für
welche
allein
die
Systeme
gehörende Ableitung
die hierzu
treffen wir aber für die
III.
Ordnung möglich
fast als reine
Systeme der hexagonalen Syngonie,
sind
mit alleiniger Ableitungsform
?.;«(Fig.lO).
Fig. II
Fig. 10.
Die allein noch zulässige Ableitungsform
ah
(Fig. 11),
welcher die phanerotopischen
Systeme IV. Ordnung entsprechen würden, wird aber in den wirklichen Systemen
weder
und zwar aus demselben Grunde,
Systeme a h der Diparallelogone, in welchen die singalären Richtungen die diagonalen
30), d. h. dass die dazu nöthigen Symmetrieelemente nicht zur Disposition stehen.
für rhombische
wie die
sind (§
Dadurch
noch für hexagonale Syngonie vertreten
ist
die aufgestellte
Aufgabe
dieses
I.
,
Theiles in erschöpfender Weise gelöst.
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488
Es
zu Tage
sei
dass jetzt auch diejenigen regelmässigen Punktsysteme
erlaubt hervorzuheben,
getreten sind
(14,
16 und 17),
15,
welche
in
regulären Theiluugen
I.
Ordnung
vorkommen.
nicht
I.
Reguläre Plantheilungeu
Ableitungs-
Synimetrie-
form
art
Symmetrie-
Nr.
I.
II,
Typus
Ordnung
Diparallelogonsysteme
I.
Explieite
Verbands-
Symbol
Symmetrie
Symmetrie
des Systems
II.
Ordnung.
Monokline Syngonie.
al
211
aa
2
IL
und höherer Ordnung.
2(111)«
2(111)
11
Rhombische Syngonie.
rtl
1
2
3
BIT
311
411
1
aa
aa
rtl
1
5 11
aa
2
3
511
511
511
511
611
GII
15
15
12
12
a\
\h
4
aa
aa
aa
5
6
7
III.
aa
aa
aa
aa
=2
=2
=4
= 26
a = 26
a = 56
= 56
= 56
= 48
a = 58
3
rt
«
1
1
U-Jo
rt
rt
15(21151'^
rt
15
rt
IIa)
llo)
6 (2 II5)
15 (3 IIr,K
5 (3 IläK
6 (3 n,)
16(2Il6)
15(4Il6)
rt
12
14
(1
4(1
14(1
Tetragonale Syngonie.
5
7 11
15
6
6
6
Sil
Sil
1357
1256
1458
8 11
a=37
a
a
= 2468
= 3478
rt .-=
2367
7 (2 II)
17(711)
17(511)
8 (6
II)
Diparallelogonsysteme IV. Ordnung.
IL
Rhombische Syngonie.
ab
5
ah
511
511
ah
ab
= 2; & = 5
= 6; ö = 5
a=2;h = &
a = 6; & = 2
a
11
a
5 11
rt
5 11
a
a
rt'
a
'
2
rt
5
rt
J_4
611
a'
rt'
III.
ah
ah
ah
«
- = -;
511
a
_2
a'^Z
15(1 IIö)
16(1
5(1 Ih)
16(1
15(1
115)25
6(1
115)25
16(1
116)45
.
,
b
=6
5
Tetragonale Syngonie.
1
1
2
711
811
811
1
18
14
= 3: & = 7
= 23; 6 = 67
a = 36; 6 = 27
a
rt
7(111)
8(411)
17(411)
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489
Ableitungs-
form
Symmetrie- Symmetrie-
VT
grosse
art
I.
Typus
Ordnung
Explicite
Verbands-
Symbol
Symmetrie
Symmetrie
des Systems
Diparallelogonsysteme VIII. Ordnung.
a
h
811
a'
'
h'
Triparallelogonsysteme
I.
II.
Ordnung.
Monokline Syngonie.
2 III
IL
=7
a
a
a
a
a
=2
=8
= 28
= 78
= 27
1
4 III
1
2
4
III
1
rtl
1
al
al
2
6 III
6 III
6 III
17
12
18
3
Triparallelogonsysteme
III.
(1
IHK
14
(1 III)<^
14(1111^
16(2III)<^
15 (4 Iliy
15(4111)«
Ordnung.
Hexagonale Syngonie.
a
a
a
2
Rhombische Syngonie.
al
al
IV.
a
9 III
1
a
ö'
a'
rt
lim
1-12
^
5
9
9"
_45
a'~~89
(1 111)59
11 (4 111)48
Triparallelogonsysteme IV. Ordnung.
a
6
7i' ^
II.
I.
Abh.
d.
IL
2
16(1111)1-
Symmorphe Systeme.
Monokline Syngonie.
Symmetrieart
Nr.
Wie
_
Die Gleichungen der regelmässigen Punktsysteme in der Ebene. i)
A.
')
III
1
1
z
= c + Xo;
v
2
2
z
=
v=n'^d-\-Xi
n''
c -j- Xq
die Symmetriearten selbst (S. 471 Anm.), so
Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd.
II.
Abtb.
;
= d + Xi
können auch die regelmässigen ebenen Punkt63
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490
Rhombische Syngonie.
IL
Nr.
Symmetrieart
3
3
z
5
4
2
6
4
=
ifi
c-\- Iq;
= c + Aq
^ = «''0 + /"^;
n'«
;
V
— d-\- 1^
v
= n^ d
„
= «!(i + /-^
-\- li
Tetragonale Syngonie.
III.
7
5
yo
=^+
8
6
2/o
= &s +
'''o;
yi
'''o;
2/1
= ''s+i +
= ^s+«'^ +
''•0
-lo
man
Systeme ausser geradelinigen Coordinaten noch in Vectoren analytisch ausgedrückt werden, wie
dies aus folgender
Zusammenstellung ersieht
(S.
L.
IV
S. 42).
Die Gleichungen der regelmässigen ebenen Punktsysteme
in Linearcoordinaten
A.
Symmetrieart
+
1
1
z
=.c
3
3
Ä
==-)i''c
4
3
z
5
4
6
4
v
;.o
n''
c
£r=n''c
= d + li
F=rt + «''&-i
„
= + /-|
v
+ Iq
V
= n' +
+ /'^
v
= nid + f^^
/lo
2/o
=
ö,'
+
2/i
^^o
IV.
+
9
7
2/0
=
10
8
yo
= K + Ao
11
9
2/0
=
12
9
2/0
= K + Ao
13
10
2/0
= K + Ao
''s
'':
''•0
+^
3»
rf
fZ
= a + n^'h-i-^f^^ + f-^^-i
F = w' « +
+ io +
F= n' a + w'»- ö •« + /• ^ +/ ^
«''
.^^i
+ Ao + A,-*
fe
•
i
-^i
•
'•
•
i
Tetragonale Syngonie.
III.
5
V=a + b-i-\-Xo + B{K + K-^)
d^).^
v
+
=«4c + /-^
=
=
Rhombische Syngonie.
IL
7
Symmorphe Systeme.
Monokline Syngonie.
I.
.j
^'^-
Vectoren
in
= '>I+i+^
F=^T+&i + ^o +
»^-o
Hexagonale Syngonie.
2/1
= ^+1+^0
F=f'« + ö* + Ao+-B(l + -|/3.i):^
2/i
= ^'s+«"+^-o
F = ^M^ftöTl+;.o + JB(l+^.i)|
2/i
= 6l+„'. + ^^3°
F= f a + w''&.i + ;.o+-B(l +1/3-») ^
= ^+1 + ^0
An
F=^a+6i + Ao + i?{l + "(/3-i)|
= ^1+«*+^
F=Ti^^+^*T^ + Ao + 5(l+l/3-i)^|
2/1
2/1
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491
Hexagonale Syngonie.
IV.
Symmetrieart
Nr.
9
7
yo
10
8
2/0
11
8
12
9
13
10
= ^s + ^0
= ^s +
^-0
= ^+
2/o
2/1
= h^+n'' +
yi
= K+n'' + f^
2/r
'''o;
2/1
"s+l
+K
+
= ^8+«'=
^'0
Asymmorphe Systeme.
B.
Rhombische Syngonie.
IL
14
Z
=
z
= n''c-\-l An
~;
n'' C -\-
Xq;
2
'
4
15
''•0
V
= nl d +
?.i
Ji
16
Tetragouale Syngonie.
III.
17
Zusammenstellung der regelmässigen ebenen Punktsysteme und der ihnen
III.
zugeordneten regulären Plantheilungen.
12
10
3
1
1
I
II
I
II
I
2
—
—
1
2
I
!
(1
!!)<'
(1 II)
I
—
—
I
—
III
III
i
1
1
I
HD"
J.
14
z
=
15
z
= M* c + ^
w''
5
4
3
7
Rhombische Syngonie.
= w'
V
Z
2
(Z
4"
A,
F= m' a +
^
16
Ja
II.
2/o=&*
2
c -|- Aq
'
17
2
I
3
Asymmorphe Systeme.
B.
Symmetrie-
13
1
I
(1
I
zusammen
10-
12
Monokline Syngonie.
I.
—
11
+ (f+fc)|^
«ft
&
.
«•
+ ^
Z
.
i -|- Aj
^2^2
Tetragonale Syngonie.
2/i
= ö*+„fc + 4"
F=lif«+«*.&.i+(/-+^-)^°
+ f|"
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10
1I5K
3
3
II
(1
3
II
14
5
6
3
—
(1 1I5)
4
II
(3 IIb)-
4
II
(2
Ih)
15
4
(2
ly«
16
4
(1111)^(1111)'''
—
—
(4111')^ (4 III)''
—
—
III III'
(IIIg)
—
—
—
(1 IIa)
(3 II5)
(3
ign^ IIb)
(1
IU5
(1
n,)
III
(1 ii,)^5
(lIl5)(lIl6)'(in6)4B
(2Il6)
—
.(2 III)^^
—
5
6
6
7
II
i
11
—
(lll)
(211)
(611)
(711) (5 11)
(411)
(4 II)
(1 11)23
11
8
—
8
12
9
13 10
8
zus.
—
—
—
—
—
16
10
III
—
—
-
—
—
—
—
—
4
1
3
3
5
5
2
7
4
2
6
21
9
30
1
—
(1111)27
—
—
—
—
3
3
4
10
III
III
—
1
1
III
1
—
—
—
III
—
10
6
(1
—
—
—
—
—
2
1
ni),s
—
(4111)48
—
—
Colonne
1:
—
—
—
10
2
2
3
S
4
—
—
—
—
—
1
1
7
7
35
19
54
—
Gesammtsumme
Hier bedeuten:
2
Hexagonale Syngonie.
IV.
7
4
3
zusammen
9
10
2
2
2
Tetragonale Syngc nie.
III.
7
13
2
—
—
—
—
zusammen
8
12
Rhombische Syngonie.
ir.
4
11
Nr. des regelmässigen Punktsystems;
Col. 2:
1
1
2
2
1
1
Nr. der Symmetrieart;
Ordnung; Col. 5: IV. Ordnung; Col. 6: VIII. OrdCol. 10:
nung; Col. 7: Triparallelogonsysteme I.Ordnung; Col. 8: IL Ordnung; Col. 9: III. Ordnung
IV. Ordnung; Col. 11: Anzahl der Diparallelogonsysteme; Col. 12: Anzahl der Triparallelogonsysteme;
Col. 13: Gesammtsumme der Diparallelogon- und Triparallelogonsysteme.
Diparallelogonsysteme I.Ordnung;
Col. 3:
Col. 4:
II.
;
IL Theil.
Die uns
jetzt
bevorstehende
Reguläre Raumtheilung.
Aufgabe
ist
durch
so
viele
Analogien
mit der
eben
abgeschlossenen verbunden und durch deren Auflösung in solchem Grade erleichtert, dass die
gehörende Untersuchung
hierzu
Natürlich
compliciren
erhaltenen Auflösungen in
1.
Auch
hier
sind
fast als eine
ansehnlich
sich
die
hohem Umfang
in
erster
Linie
Wiederholung des
Theilaufgaben
I.
Theiles anzusehen vpäre.
und wird
die
Anzahl
der
zu
grösser.
zwei Hauptarten der regulären Raumtheilung zu
unterscheiden: entweder a) sind sämmtliche Raumfiguren parallel orientirt, oder b)
ist
dies
nicht der Fall.
Die Systeme, welche erster Voraussetzung entsprechen, werden auch jetzt
I.
Ordnung
suchung
2.
bezeichnet,
dieser
als
Systeme
und wir wollen unsere Untersuchung mit der erschöpfenden Auf-
Systeme beginnen.
Denken wir zwei
beliebige Systemfiguren
herausgenommen.
Sie sind untereinander
durch einfache Translation verbunden, welche zugleich die Decktranslation für sämnithche
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493
andere Raumeinheiten
Für
ist.
Translation
diese
erhalten
bestimmte Richtung
wir eine
Die Deckung kann in dieser Richtung und
und eine bestimmte Strecke.
um
diese Strecke
und jedes Mal kommt das ganze System mit
beliebige Male wiederholt werden,
sich selbst
herausgenommene Raumeinheit zusammen mit der
gegebenen bestimmt eine congruente Reihe der Raumfiguren. Nehmen wir aus dem
Deckung.
zur
Jede
System noch eine
andere
einzelne
beliebig
welche dieser Reihe nicht angehört, so erhalten wir eine
dritte Einheit,
congruente
Reihe
anderer Richtung und mit anderer Deckstrecke.
in
Reihen zusammen genommen bestimmen aber ein ebenes Netz.
eine
dritte
Einheit
eine
dritte
congruente Reihe
welche
Betracht,
dem eben erwähnten Netze
parallelen
gleichen und parallelen Netze bildet ein
Form
III.
3.
Netze nicht angehört,
diesem
neuer Richtung und mit der
in
ihr
so
speciell
wir
erhalten
zukommenden
Jede Einheit dieser letzten Reihe kann zum Ausgangspunkt für die Construction
Strecke.
eines
in
Die beiden
Ziehen wir noch irgend
Netzes
Raumgitter
dienen,
und
die Gesamratheit
dieser
(analytisch ausgedrückt: quadratische
Grades).
Nehmen
wir aber zwei anliegende (also eine Grenzfläche gemeinsam besitzende) Ein-
heiten in Betracht, so erhalten wir eine Reihe besonderer Art, in welcher jede der zwei nächst-
stehenden Einheiten die anliegenden sind.
nung
bezeichnen.
Falls
haben, so wollen wir solche
als
Ordnung
wollen solche Reihen
Colonnenroihen
Somit kann das ganze System
I.
Wir
aber die Glieder einer Reihe
als
als
Colonnen
I.
Ord-
nur einen einzigen Punkt gemein
bezeichnen.
System anliegender gleicher und paralleler Colonnen
aufgefasst werden.
Zwei Colonnen, welche eine Einheit gemeinsam haben (man würde
können: welche
dieser Einheit
in
sich schneiden),
es
auch ausdrücken
bestimmen ein besonderes ebenes Netz,
und zwar ein solches, in welchem sämmtliche Einheiten mit den nächstliegenden Grenzflächen gemeinsam haben.
Wollen wir ein solches Netz als eine Schicht I. Ordnung
bezeichnen.
Das ganze System kann
als eine
Gesammtheit solcher paralleler gleicher und anliegender
Schichten aufgefasst werden.
Jeder Schicht
ist
eine
dieser Schicht zugeordnete
Wenn
Schichtebene zugeordnet, welche durch
zwei den Colonnen
Richtungen bestimmt wird.
zwei parallele Colonnenreihen eine Grenzfläche gemein haben, so sind sämmtliche
Glieder dieser Reihen in Bezug auf die andere anliegend, und dann bildet sich ein besonderes
Netz, welches aus lauter parallelen Colonnen besteht,
den beiden nächsten gemeinschaftliche Grenzlinien.
und jede dieser Colonnen
besitzt
mit
Solche Netze wollen wir als Schicht-
netze bezeichnen.
Besondere Anmerkung.
Unter Schichtebene dürfen wir keineswegs eine individuelle
Dieser Begrifi" ist demjenigen der
paralleler Ebenen.
Ebene verstehen, sondern den Complex
Richtungen in Bezug auf die Geraden analog.
Leider giebt die Geometrie keinen dafür passenden Ausdruck, wohl aber die theoretische
Mechanik
die
in
ihrer
Behandlung der Kräftepaare.
Ein solches Paar,
welches eigentlich auf
Schichtebene Bezug hat, kann durch eine dazu senkrechte Gerade bestimmter Richtung
(und dabei von bestimmter Länge) dargestellt werden.
Worte Schichtebene
Ebenso können wir
eine zur bestimmten Richtung senkrechte
jetzt unter
Ebene verstehen.
dem
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Jeder Colonne
4.
I.
Ordnung
der Raumeinheit zugeordnet.
eine Grenzfläche
ist
aber jede Einheit durch Translation in der dieser Colonne entsprechenden Richtung
ihr
zukommende Strecke mit den anliegenden zur Deckung kommt,
wendiger Weise
in ihrer
Begrenzung zwei solche gleiche und
so
um
Da
die
muss dieselbe noth-
parallel gestellte Grenzflächen
und dabei liegen je zwei zugeordnete Punkte dieser Grenzflächen auf den der
erwähnten Richtung parallelen Geraden und besitzen einen und denselben Abstand; dieser
besitzen,
Abstand
ist
der erwähnten Strecke gleich.
I. Ordnung durch lauter
zugeordnete
gleiche
und
parallele
Grenzflächenpaare
begrenzt werden.
einander
Daraus können wir schliessen, dass die Raumeinheiten
Also
die
ist
Anzahl der Grenzflächen einer Raumeinheit eine gerade.
In Folge dessen
wollen wir solche Raumeinheiten als Paralleloeder bezeichnen.
5.
Wie
die Grenzflächenpaare jeder
Schnittlinien zweier solcher Flächen,
die
gegebenen Colonne zugeordnet sind
Kanten, den Schichtebenen
,
so
zugeordnet,
sind die
welche
durch entsprechende Richtungen bestimmt werden.
Diese Zuordnung führt uns zu dem weiteren Schluss, dass sämmtliche einer Schichtebene zugeordnete Kanten einer Raumeinheit gleicher und paralleler GrenzAuch die Punkte dieser Kanten sind einander zugeordnet, indem jedem
linien sind.
gegebenen Punkt einer Kante
Kanten einer Einheit
und
die
6.
Die Gesammtheit der
Nun können
diese
Punkt
in
sämmtlichen zugeordneten parallelen
Diese Zuordnung wird durch die Richtungen der Colonnen
ihnen entsprechenden Strecken
flächen wollen wir als eine
durch
je ein zugeordneter
entspricht.
zum Ausdruck
in gleichen
gebracht.
und parallelen Kanten sich schneidenden Grenz-
primäre Zone
bezeichnen.
wir sagen, dass, wenn zwei Grenzflächen sich in einer Kante schneiden,
Flächen
eine
bestimmte
primäi-e
Zone
der
Schichtebene
zugeordnet
ist,
welche ihrerseits durch die den gegebenen Grenzflächen zugeordneten Colonnenrichtungen
bestimmt wird.
Jede primäre Zone wird durch die Schichtebene in zugeordneten Punkten geschnitten.
Das ganze System wird aber durch diese Ebene
I.
in
einem Parallelogonsystem
Ordnung geschnitten.
Die den primären Zonen zugeordneten Schichtebenen wollen wir
Hauptebenen
des
Systems nennen.
Nun können
wir sagen, dass die
Paralleloedersysteme durch die Hauptebenen
(wenn dieselben durch Punkte der ihnen zugeordneten Kanten hindurchgehen) in Parallelo-
gonsystemen geschnitten werden.
Die primären Zonen der Paralleloeder sind parallelogonale.
also
entweder a) diparallelogonal oder b) triparallelogonal
7.
Falls aber zwei Grenzflächenpaare
vorhanden
sind,
Sie
können
sein.^)
welche untereinander keine Schnitt-
kanten bilden, so sind dieselben doch zweien Colonnenrichtungen zugeordnet; die Gesamrat-
^)
Die Zonenlehre
behandelt,
wo
als ein
Abschnitt der Geometrie der Lage wurde ziemlich ausführlich in E. G. L.
Dabei wurden aber aus12).
derselben ein besonderes Capitel gewidmet wurde (Cap.
durch Grenzebenen bestimmte Polyeder berücksichtigt. Den Hauptgegenstand der Untersuchung bilden daselbst 'die durch lauter primäre Zonen begrenzten Zonoeder.
schliesslich
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heit solcher Grenzflächen,
welche wir
secundäre Zone bezeichnen
als eine
wollen,
also
ist
einer Schichtebene zugeordnet.
Nun
leicht der
ist
Beweis zu erbringen, dass nicht sämmtliche Zonen sechsflächig sein
können, dass also nothwendig auch vierfläehige vorhanden sind.
Denken wir durch einen Punkt,
allen
als
Centrum einer Sphäre
als
in
Berührungspunkte der Grenzebenen eines typischen Polyeders angenommen.^)
Für dasselbe
gilt die
Relation
{f-\)f=\.2-p,+2.?>p,-\wo
Gerade
aufgefasst.
Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Sphäre seien
Colonnenrichtungen gezogen.
/'
die
Anzahl der (ebenen) Flächenpaare und
...
pm
+ {n-\)n'p,,
die
A)
Anzahl der 2«K-flächigen primären
oder secnndären Zonen bezeichnet.
Jetzt
denken wir uns
man
construirt, dass
oder was
dasselbe
als
die
diesem Polyederpolar zugeordnetes Zonoeder in der Weise
Flächen senkrechten Geraden
die Flächenpole
ist,
Sphäre nimmt, und dann
Sphäre
ein
die zu seinen
alle
der
ersten
als
als die
Pole
der
Zonenaxen annimmt,
Grosskreise
auf der
Schnittpunkte sämmtlicher so gezogener Grosskreise auf der
Flächenpole eines neuen Polyeders nimmt.
Dieses Zonoeder,
d.
h.
ein
von lauter primären Zonen umgürtetes Polyeder,
dem Paarflächner durch folgende Relationen verbunden:
des Zonoeders
die
a) die
der Anzahl der Flächenpaare des Paarflächners gleich,
ist
der Flächen der ersten
ist
ist
mit
Anzahl der primären Zonen
b)
die Zähligkeit
der Zähligkeit der primären und secundären zugeordneten Zonen
der letzteren gleich.
Für
jedes Zonoeder gilt aber die Relation
(2;-l)29
wo p
die
Anzahl der primären Zonen, und fm
Wären
in
dem
letzteren sämmtliche
')
= 1.2./, + 2.
ersteren sämmtliche
Flächen 6-flächig
3-/-3
die
+
...
+ (n- !)«/„
Anzahl der 2 m-zähligen Flächen bedeutet.
Zonen 6-flächige gewesen,
sein,
B)
was aber unmöglich
so
würden
in
dem
ist.'^)
Der Begriff des typischen Polyeders wurde ebenfalls in E. G. L. eingeführt und
spielt daselbst,
wie in allen folgenden hierzu gehörenden Arbeiten des Verfassers, die Rolle eines Grundbegriffs, auf
welchem die Theorie der Polyeder überhaupt und besonders deren Classification ihre Basis findet. Dasselbe wird als ein besonderes typisches Glied einer unendlichen Gesammtheit der Polyeder aiifgefasst,
welche das gemein haben, dass die ihnen zugehörenden Grenzebenen sämmtlich parallel sind (resp. parallel
aufgestellt werden können) und dabei natürlich die Anzahl dieser Grenzebenen dieselbe ist.
Diese
Gesammtheit wird als eine Polyeder speci es aufgefasst, also ein Grundglied der Classification, welche
und in anderen Arbeiten weiter entwickelt wurde. Ein dem typischen Polyeder polar zugeordnetes
wurde als subtypisches bezeichnet. Die betreffenden Relationen wurden ziemlich ausführlich in E.G. L.
§ 20 22 besprochen (übrigens findet man eine analoge Besprechung in manchen der neueren Geometrie
angehörenden Werken). In erster Linie war stets ein Polyeder aufgestellt, in dessen Eckpunkten immer
Solche Polyeder wurden als theoretische bezeichnet, und alle
je drei Grenzebenen zusammentreffen.
anderen, die particulären, als solche aufgefasst, von denen einige Kanten unendlich klein geworden
sind.
{Dieselbe Auffassung finden wir viel später bei H. Eberhardt.)
daselbst
—
2)
Dieser Satz findet sich noch in
Legendre, Clements de Geometrie
Später wurde er zu wiederholten Malen reproducirt
Angaben anzutreffen
sind).
(u.
(z.B. 15 ed., 1862, p. 307).
A. auch in E. G. L. § 24,
wo auch
geschichtliche
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8.
Nehmen
primäre
wir
Flächenpaar
ein
In
Zone.
secundäre
oder
Anzahl
/'
—
1
m—1
jede 6-flächige Zone 2 Mal..., jede 2 wa-flächige Zone
Summiren wir
dass
Glied
ein
(m
Mal
ein
eine
Mal,
Also
enthalten.
Bezug auf sämmtliche Flächen und berücksichtigen,
m Male wiederholt wird, so erhalten wir
diese Relation in
Summe
dieser
in
bestimmt
Zone
4-flächige
jede
ist
Paar
andere
Jedes
Betracht.
in
der
— 1)^,»
endgültig
(/Der Form nach
wurde aber
bis
jetzt
/=
1)
ist
1.2. p,
+ 2.3.p, +
...
+ (n-l)npn.
mit der Relation A) identisch.
diese Relation
Beschränkung, dass dieselben continuirliche Paarflächner
Die Relation A)
Ebenen begrenzte Körper)
ausschliesslich für die Polyeder (als durch
Raumfiguren mit der einzigen
Jetzt gilt aber dieselbe Relation C) für beliebige
bewiesen.
C)
mit welchen wir
sind,
jetzt zu
es
thun haben.
9.
Jetzt
sind
Zonen
aber die
Zonen nothwendig vorhanden
dieser
Bedingung entspricht
Auf Grund
sind,
h.
d.
auch
aber
4-flächige
deren Colonnen zu zwei sich in einer Einheit schneiden.
Richtung einer Colonne nicht mehr
Annahmen
zwei anliegende Einheiten hat, sind nur folgende
1)
Da
6-flächig (§ 6).
können wir eine Schichtebene auswählen, welche
eine Einheit in der
dass
dessen,
höchstens
so
als
zulässig:
Die gegebene Einheit hat mit den Einheiten der in Betracht gezogenen anliegenden
Dann
Schichteinheiten nur eine einzige zur anliegenden.
durch drei Flächenpaare
sie
ist
C
begrenzt, welche drei 4-flächige Zonen bilden (in der Relation
/"== 3, p^
ist
=
3,
p^^O).
Solche Raumeinheiten werden Triparalleloeder genannt.
2) Eine Colonne der anliegenden Schicht
Schicht nur mit einer einzigen anliegend.
anliegend.
In diesem Falle
ist
Bezug auf
in
ist
Jede Einheit derselben
nur eine einzige Zone 6-flächig.
Colonnen der ersten
die
ist
Also
aber zweien Einheiten
/
=
4, l^2^^^i
Ps"^^^-
Solche Raumeinheiten werden Tetraparalleloeder genannt.
3)
Schicht
dabei
Es
ist
nur noch eine einzige Annahme übrig; jede Colonne der anliegenden
Bezug auf zwei anliegende Colonnen der gegebenen Schicht anliegend und
bleibt
in
besitzt
jede
Einheit jeder
Colonne zwei anliegende Einheiten
in
den anliegenden
Colonnen.
Hier sind aber zwei Fälle zu unterscheiden
auf ein Paar ihr
Dies
paralleler
hängt davon ab,
Colonnen
ob
Einheiten zu anliegenden,
Schichten
in der
:
in
gegebene Schicht
eine
oder
anliegend,
dies
dem
ersten Falle haben wir /'^= 6,
Solche Raumeinheiten werden
In
dem zweiten
Falle
=
3,
p^
eine
je
7,
ist
ist.
=
4.
p.^
=
3,
p^
=
6.
Heptaparalleloeder genannt.
nur in Bezug
zwei Paare der Fall.
Einheit
Hexaparalleloeder genannt.
haben wir /'=
Solche Raumeinheiten werden
^Jg
für
Richtung vorhanden sind,
einer
Richtung der Colonne,
Einheit zweiter Schicht besitzen, oder dies nicht der Fall
In
ist
deren
erster
einzelne
und eine
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Es
schon längst bewiesen worden, dass unter den hierzu gehörenden Raumfiguren
ist
auch solche mit Ebenen begrenzte vorkommen, welche,
die einfachsten, wir als
als
Diese Polyeder sind in den Figuren 12
auffassen können^).
— 15
Typen
abgebildet.
1^
,,•...,
p.|::::-
a
b
!
--_^
'
--'
'
"
Auch
jetzt sind
diese Paralleloedertypen als die
primären
aufzufassen, da alle andern,
von diesen dadurch secundär gebildet gedacht werden können, dass man
als Varietäten,
die Grrenzebenen durch beliebig andere
die
Fig. 15.
Fig. 14.
Fig. 13.
Fig. 12.
Flächen
mit der Beschränkung,
ersetzt,
dabei
dass
neu construirten gleichen und parallelen Flächen nicht einander schneiden dürfen,
sonst keine continuirliche
da
Eaumfiguren entstünden.
die Symmetrie mit sich.
Es genügt das VorhandenAxe der zusammengesetzten Symmetrie (Inversionscentrum), um die
krummen Flächen zu beseitigen*). Die Symmetrie kann aber viel höher sein.
Weitere Beschränkung führt
9.
sein einer
2-zähligen
Möglichkeit der
Die Möglichkeit der Symmetrieebenen
augenscheinlich.
ist
Die Möglichkeit gewisser Symmetrieaxen hängt aber von der Vertheilung der Colonnen,
respective von der Zähligkeit der
zwei Gruppen zu sondern.
Der
Zonen
ab.
In dieser Beziehung sind die Paralleloeder in
Gruppe gehören das Tri-, Hexa- und Heptaparalleloeder
an, welche das Vorkommen der 4-zähligen und nicht mehrzähligen Symmetrieaxe zulassen.
Die höchste allen
drei
Symmetriegrösse 48.
welche
als
höchste die
Symmetrieart
ist
ersten
zukommende Symmetrieart ist die (hexakis-) oktaedrische mit der
Der zweiten Gruppe gehört allein das Tetraparalleloeder an, für
6-zählige Symmetrieaxe zulässig ist.
Die höchste ihm zukommende
die dihexagonal-bipyraraidale
Es versteht sich von
selbst,
andere Symmetriearten zukommen,
10.
Die
Aufgabe
der
mit der Symmetriegrösse 24.
bezüglichen
Paralleloedern
auch sämmtliche
welche in Bezug auf diese höchste untergeordnet
sind.
Aufsuchung sämmtlicher hierzu gehörender Symmetriearten
gehört der reinen Symmetrielehre an
dies die
den
dass
und
ist
Es sind
schon längst erschöpfend aufgelöst.
32 Symmetriearten der Krystallographie^), welche
jetzt
auch
in elementaren
Lehr-
büchern dieser Wissenschaft dargestellt werden.
1)
Diese Ableitung wurde
vom
Verfasser noch in
dem Ende
der siebziger Jahre ausgeführt.
Gerade
darauf fussend wurde die specielle Theorie der Krystallstructur des Verfassers entwickelt und auf
dem
Wege
und
ist
in
der directen Erfahrung geprüft.
einer Reihe
Diese Entwicklung fand
von Vorträgen in der
k.
mineralogischen
im Beginn der achtziger Jahre
Gesellschaft
statt
zu St. Petersburg dargelegt
(Verhandlungen der k. mineralog. Gesellschaft zu St. Petersburg, Bd. 17 S. 381, Bd. 18 S. 281 und 282).
^)
Der Beweis dieses Satzes war zuerst nicht explicit angegeben, sondern er steckt in den
Sätzen § 76 E. G. L.
^) Die vollständige Aufstellung der Symmetrieelemente wurde in
Abb.
d. II. Gl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
S. L.
II
in der Einleitung
64
und
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498
Hier können wir uns mit der Darstellung der Resultate begnügen.
Der Syrametriegrösse 48 entsprechend wird die Sphäre in 48 sphärische Dreiecke
Wollen wir dieselbe sämmtlich enumeriren, so wird jede solche Zahl
getheilt (Fig. 16).
als eine charakteristische ein bestimmtes Symmetrieelement darstellen.
Der Einfachheit wegen wollen wir zuerst von der Anwesenheit der 3-zähligen Symmetrieaxen absehen.
Dann erhalten
wir
als
Symnietriegrösse
welche der ditetragonal-
16,
bipyramidalen Symmetrieart entspricht.
bezüglichen Zahlen
1
— 8 behalten
Die zur oberen Hälfte
Ausdrücke der Symmetrie-
als
elemente dieselbe Bedeutung, welche diese Zahlen für die ebenen
Figuren besassen;
drücken,
metrieaxen
Fig. 16.
zu trennen, da
wird jetzt horizontale Symmetrieebene aus-
1'
und
2', 4', 6'
drücken horizontale 2-zählige Sym-
8'
3'
Lage,
verschiedener
und
7'
drücken
4-zählige
zusammengesetzte Symmetrie aus und sind von einander nicht
einem und demselben Symmetrieelement angehören.
sie
Endlich
5'
drückt
das Inversionscentrum aus.
Dabei wurde aber die zusammengesetzte SymLücke ausgefüllt werden.
Denken wir uns eine endliche Figur, die Symmetriegrösse 4p und dabei die p-zählige Symmetrieaxe besitzend, wo |J eine sehr grosse ganze Zahl ist. Die Anzahl der gleichwerthigen Richtungen können
zwar auf Grund der Sätze der Kinematik ausgeführt*).
metrie nicht umständlich genug besprochen, und jetzt
12
wir dann durch eine Zahlenreihe
soll diese
3... (2p— 1) 2p
1'2'3'...
darstellen.
,
(2p-lY{2py
Jede besondere Zahl dieser Reihe drückt ein besonderes Symmetrieelement aus.
uns jetzt genaue Rechenschaft über die Bedeutung dieser sämmtlichen Zahlen geben.
—
Nun
wollen wir
Die Reihen 2 4 6
(2p— 2)' (2/^)' erhalten sehr einfache Deutung.
(2p
2) (2p) und 2' 4' 6'
Jede Zahl, einzeln genommen, drückt eine bestimmte verticale Symmetrieebene resp. eine horizontale
Die Zahl 3 drückt aber eine p-zählige Symmetrieaxe aus und ist desshalb
2-zählige Symmetrieaxe aus.
.
.
.
.
Ueberhaupt drücken die ungeraden Zahlen 357... Sym-
mit der Reihe 5 7... untrennbar verbunden.
metrieaxen aus, deren Zähligkeit leicht zu ermitteln
der Reihe
59
1
(13)
.
.
.
auf und dx-ückt,
analog erhalten wir für die Zahl
theilbar
ist,
die
-
7. eine
.
.
wenn p
Reihe
1
ist:
B. die Zahl 5 tritt als ein untrennbares Glied
z.
eine gerade Zahl
7 (1 3) (1 9)
.
.,
.
eine --zählige Symmetrieaxe aus;
ist,
und
drückt,
sie
wenn
die Zahl
p durch
3
-zählige Symmetrieaxe aus.
o
erhalten wir eine andere Deutung.
Für die ungeraden Zahlen der Reihe 1', 3', 5', 7'.
Der Reihe nach bedingen die Zahlen 3', 5', 7'... folgende Zahlenreihen: a) 13' 5 7'... b) 15' 9
.
c)
1 7'
(13)
(1
9')... u.
Nehmen
Reihe
ist,
a) die
wir,
nur dann der
dass dieser Reihe die Reihe
ist,
Fall,
wenn p durch
Resultat erhalten wir für die Reihe
Wenn
eine gerade Zahl,
Axe der zusammengesetzten Symmetrie, welche zugleich
4 theilbar
ist,
Axe der zusammengesetzten Symmetrie aus und zugleich
diese
p
den Principien der Symmetrielehre folgend, für
p-zählige
(13'}...
s. f.
was daraus zu ersehen
ist dies
.
aber für die Reihe b)
Reihen die Form 11'
5
5'
7
7'.
.
c),
wenn p durch
p durch
.
4,
15 9... untergeordnet
und dann drückt
für die Reihe c)
oder sogar die
Form
ist.
1 1'
3
3'
ist u.
5'.
.
.
die
b)
--zählige
Ein ganz analoges
s. f.
p durch
5
Für die Reihe
p
diese Reihe
die - -zählige Symmetrieaxe.
6 theilbar
so drückt die
p
--zählige Symmetrieaxe
6 nicht theilbar
an.
ist,
so
nehmen
Hier sind also solche Zahlen
Noch früher und zwar auf ganz elementarem Wege wurde die vollständige Auffindung sämmtSymmetriearten des dreidimensionalen Raumes in E. G. L. ausgeführt. Diese Auffindung stützte
sich auf das vorläufige Auffinden sämmtlicher typischer Isoeder, wozu besondere Formeln gegeben
"
wm-den (§ 25).
*)
lich er
.
,
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499
Jetzt führen wir eine 3-zählige Symmetrieaxe von bestimmter
um
Dreiecke, welche in Folge der Drehung
Äxe
diese
ersichtlichem) Sinne aus einem durch die Zahl a
wir der Reihe nach a^ und a^ bezeichnen {a^
Der Symmetriegrosse 24
sphärische Dreiecke getheilt
Dreiecke wollen
das
Hexagon
wir dazu,
in
dass
1
— 12
Figur
wollen
bezeichnetem Dreiecke entstehen,
a).
Die der oberen
Hälfte
wie dies
enuraeriren,
Zahlen
charakteristischen
dieselben
Die
ausdrücken.
Dreiecke
die
Sphäre
der
Sphäre
in
24
angehörenden
für
horizontale Symmetrieebene,
4',
2',
6',
dieselben
der
Hälfte wollen wir mit Apostroph unterscheiden.
1' die
und diejenigen
ein,
(direct aus der
Ebene der Fall war, und dann kommen
der
Symmetrieelemente
Lage
bestimmtem
des Tetraparalleloeders entsprechend wird
(Fig. 17).
wir einfach
=
in
unteren
""^^
Jetzt bedeutet
10'
8',
1
12'
und
und 11' beziehen sich auf die 6-zählige
Axe
5^
l
horizontale 2-zählige Symmetrieaxen von verschiedener Lage, 3'
Art der zusammen-
I.
gesetzten Symmetrie und sind von einander untrennbar, 5' und
gehören der 6-zähligen Axe IL Art der zusammengesetzten
Symmetrie an und sind ebenfalls nicht von einander zu trennen;
9'
Fig. 17.
endlich drückt 7' das Inversionscentrum aus.
Auf Grund
11.
der eben entwickelten Betrachtungen erhalten wir folgende Tabelle der
Symmetriearten der Kaumsysteme^)
Charakteristisclie Zahlencomplexe für
Symmetrie-
Nr.
grösse
Gleichungen der Symmetrie
Hexa- und
Tri-,
Tetraparalleloeder
Heptaparalleloeder
f
l5
1
1
1
y
=b
2
15'
17'
y
=
2
15
17
y
2
1 1'
11'
y
^b
^ yj-b
4
11' 5
y
=
5'
1
1'7
7'
=c
= n^ c
2 = W" C
^ = c
z = rC c
z
n'"^
h
z
'n/-h
=d
= n" d
v = n^d
v = d
V =
d
v
V
w*"
untrennbar, drücken also eine zusammengesetzte Symmetrie höherer Art aus, unter welchen auch
welche, einzeln
tritt,
Für
jetzt
genommen,
genügt
es
die horizontale
uns vollständig, den speciellen Fall
In diesem Falle erhalten wir
und zwar
also
1'
auf-
Symmetrieebene ausdrückt.
jp
=6
zu besprechen.
zwei und nur zwei Arten der zusammengesetzten Symmetrie
diejenigen, welche durch die Reihen a)
1 3'
5
7'
9
(1 1)'
und
b)
1 1'
5 5' 9 9'
angegeben werden.
auch die Zahl 3' allein genommen) drückt die 6-zählige Axe I. Art der
zusammengesetzten Symmetrie aus. Das der Reihe b) entsprechende Symmetrieelement (also die Zahl 5'
allein genommen) drückt die analoge Axe IL Art aus.
Hierzu gehört auch die Reihe 17', aber dieselbe drückt einfach das Inversionscentrum (resp. die
Die erste Reihe
(also
Axe der zusammengesetzten Symmetrie) aus.
Axen der zusammengesetzten Symmetrie
2-zählige
4-zählige
Reihe
1
^)
3'
5
7'
Der Anschaulichkeit wegen wird hier
der regulären Raumtheilung beigegeben (Taf.
der
giebt es nur eine einzige Art, welche durch die
bestimmt wird.
Krystallographie
beigegeben,
da
die
die
II).
graphische Darstellung sämmtlicher Symmetriearten
Solche Tafeln werden jetzt elementaren Lehrbüchern
bezüglichen
Symmetriearten mit den ki-ystallographischen
identisch sind.
G4*
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500
Sym-
Nr
Charakteristische Zahlencomplexe für
metriegröi3se
Tetraparalleloeder
Heptaparalleloeder
1 2'
4
12' 7
6'
5
1 1'
8
2'
2
5
6 6'
6'
9
4
1357
10
8
12345678
11
4
13' 5
11' 3
3' 5 5'
7
7'
13
1 2'
3
4'
6'
7
8'
14
12'
3'
6
7'
45
1 1'
16
16
3
II1I2
17
6
18
6
1 Ij I2 5
20
12
21
6
22
12
23
6
24
12
25
12
8
13' 5
5i 62
1 2'
1 2'
7' 9- 11'
5 6' 9 10'
13579-11
—
—
—
—
1 1' 3 3'
12
29
24
(1
30
24
(12'
3'
31
24
(1 2'
3
82
48
1 1'
5
5'
9
9'
5'
7
7'
9
9'-
5
11-11'
11'2 2'5 5'6 6'9
9'-10-10'
23456789-10-11-12
\1'2'3'4'5'6'7'8'9'-10'-11'-12'
Ilil22'2i'22'55i526'6i'62'=(12'56')3
1'2 2'5 5'6
4 5
4'
5
6'
2/1
?/o
yi -= Kj^u'p
=K
In
den
2'
3 3' 4
letz.ten
2/1
= ^v
=K
yo = K
yo = K
= &v
yo = n"bl
=K
= «" ^„
=K
=^
^«+B^
"^+«''
2/1^
2/0
2/1
2/0
2/1
2/0
2/1
2/0
2/1
= «"0,^1
=
= »i"^,+„''
= ö,Vi
= ^+„''
2/1
=
2/1
yo^K
yo = K
2/1
=K
yo = K
% = W «0+1
2/0
'
gq
",-+1
2/1^
2/0
n''
n
8)3
2/1
?''.+„''
^.+1
=
= ?'I+„Ä
?','!+„'<
2/1^
^+»'»
Ü+2
Ü+2
«0
«1
=n
„''+"
8
d+n
8')3
0+2«''
«o-l-»»''
,/+-
7 8')3
4' 5 5' 6 6' 7 7'
2/1^
2/0
^
(11' 2
= ^1+1
= ^v+l
2/1
n"+^-a.
6')3
6' 7'
= ^v+l
2/0
Vo
^n" b
=n
ti^ c
yo
n''
cCq
„Hv d
c
= n^ c
=
=^
=K
yo = K
= b
y = n"-^''b
y= b
y = b
y = n"" b
y =
y =
y = n''+''b
_
~ ,*+/;
^
=n
z
n>'-b
12'3 4'5 6'7&'9-10'-11-12'
/l
28
z
h
y
123456789-10-11-12
24
—
y
3'4 5 6'7' 8 9-10'-ll'-12
—
27
y
y
12569-10
Sj 82
Ilil24'4,'42'5'5i'52'8 8i8a
12
z
= n^'+x i
y = h
y = b
y = n^ h
b
y =
b
y =
y = n^ b
y = '„/+>' b
y = b
y = b
8'
159
llil2 4'4,'4i'
19
26
I2
7'
7
= n" b
n''
11'22'33'44'55'66'77'88'
1]^
2'
ij
n^-
15
1
2
7'
12
5
8'
1278
1256
4
<
Gleichungen der Symmetrie
Hexa- und
Tri-,
«0+«'' ^2
— «<«+A-f
^
'
'0+2)1'»
d+h-i-r
'0+2)i''
fünf Zeilen haben wir der Kürze
wegen
(a
.
.
.
c\ anstatt a a^a2.
.
.
.cCiC^ gesetzt.
Für jede gegebene Symmetrieart und eine gegebene Richtung von allgemeiner
eine Gerade oder eine Ebene, welche weder parallel noch senkrecht zu irgend
einem Symmetrieelemente steht, sei es eine Axe oder Ebene) erhalten wir eine Anzahl
12.
Lage
(d. h.
gleicher
Richtungen,
welche
der Symmetriegrösse
gleich
sind.
Für
die
particulären
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501
Richtungen
aber die Anzahl der gleichen Richtungen
ist
und
geringere,
eine
sogar der Fall vorkommen, dass diese Anzahl sich zu einer Einheit reducirt.
tungen (Gebilde) wollen wir
als
es
kann
Solche Rich-
singulare bezeichnen.
Die angegebenen Symmetriearten lassen sich
Beziehung in folgende Gruppen
in dieser
sondern, welche wir als die Arten der Syngonie auffassen wollen.
Sämmtliche Richtungen sind singulare. Dazu gehören
Diese Syngonie wird als die trikline bezeichnet.
I.
beiden ersten
die
Symmetriearten.
IL Es giebt nur eine einzige Ebene, in welcher alle Richtungen singulare
sind, und ausserdem ist die zu dieser
Die Ebene selbst
gehören
ist
Symmetriearten
die
3,
4 und
Diese Syngonieart wird als die
Hierzu
5.
monokline
bezeichnet.
Es giebt nur drei unter einander senkrechte singulare Richtungen.
in.
Auch
Ebene senkrechte Richtung eine singulare.
singulär, ebenso wie sämmtliche zu derselben senkrechten Ebenen.
die zu denselben senkrechten
Ebenen
Hierzu gehören die Symmetrie-
sind singulare.
arten 6, 7 und 8.
Diese Syngonieart wird als die
IV.
ist
rhombische
bezeichnet.
und V. Es giebt nur eine einzige singulare Richtung (Hauptaxe); ebenso
Ebene
eine einzige zu dieser Richtung senkrechte
singulär.
In diesem Falle unterscheiden wir diejenige Syngonie, in welcher die Anzahl
Ebene vorkommenden gleichen Richtungen
der singulären
überhaupt vorhanden sind) gleich 2 oder 3
Die
erste
wird
Syngonieart
Der
bezeichnet.
als
ersten gehören die 9.
die
—
(der
particulären
falls
,
der in
solche
ist.
tetragonale,
15.,
die
letzte
der letzteren die 16.
als
— 27.
die
hexagonale
Symmetrieart an^).
Es sind keine singulären Richtungen vorhanden.
Endlich VI.
In diesem Falle giebt es drei besondere, unter einander senkrechte Richtungen, welche
als
den Flächen eines Würfels senkrechten Geraden (kubische Axen), und noch vier
die zu
andere
Richtungen,
besondere
können;
den
welche
als
die
Diagonalen des Würfels angesehen werden
nothwendiger Weise
sind
letzteren
vorkommende 3-zählige Symmetrieaxen
parallel.
Syngonieart
Diese
Symmetriearten 28
Für
der
die
der
in
Symmetrieart,
(dies für die
und zwei
falls
als
die
kubische
bezeichnet.
Tabelle
zusammengestellten
Zu
derselben
gehören die
Symraetriegleichungen werden, je nach
entweder drei singulare Richtungen
Syngoniearten
resp. drei
Richtungen,
wird
— 32.
II
I,
gleiche
in
und
als
Coordinatenaxen angenommen
oder eine einzige vorhandene singulare Richtung y,
der singulären Ebene liegende Geraden (die particulären
III),
solche vorhanden sind).
Es muss aber hervorgehoben werden, dass für
—
Unter den Symmetriearten der kexagonalen Syngonie lassen sich diejenigen Nr. 16 20 von denen
dadurch unterscheiden, dass in den ersten stets möglich ist, eine zur Hauptaxe schiefe
Eichtung so auszuwählen, dass die gleichwerthigen Richtungen eine dreigliederige Gruppe, in den letzten
1)
Nr. 21
— 27
eine sechsgliederige
Dieser Unterschied kann dadurch ausdrücklich hervortreten, dass man
trigonale, die letzten sieben in eine hexagonale HyposyngonieDiese beiden Gruppen sind in der Taf. II besonders dargestellt.
Gruppe
bilden.
die ersten Symmetriearten in eine
gruppe
vereinigt.
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502
die
Symmetriearten 9
-5-,
und endlich für
— 20
derselbe Winkel -^ = w-
— 15 der elementare Axen winke!
die
Symmetriearten 21
axen werden der Reihe nach mit
— 27
y^^ y^
«/q,
.
.
ist
.
71
^
ist,
für 16
Endlich werden für die kubische Syngonie
Bemerkungen
D'^ Coordinaten-
oben
Coordinatenaxen drei
als
x^, Xj,
besonders
x^ angenommen.
10,
§
I.
Coordinatenaxen
der
so
betrifft,
sind
auch hier die
Theil geltend.
dass
I. Ordnung wird auch jetzt dadurch erschöpft,
zukommenden Symmetriearten berücksichtigt. Dabei kann aber
einen und denselben Paralleloedertypus eine und dieselbe Symmetrie-
Die Darstellung der Systeme
13.'
alle
Winkel
endlich die Bezeichnung der Periode, die Bedeutung der eingeführten Symmetrie-
parameter und die Ueberzähligkeit
man
derselbe
bezeichnet.
erwähnte besondere senkrechte Richtungen (kubische Axen)
Was
ist
diesen Systemen
vorkommen,
dass
art verschiedener
Bezug auf
für
indem
erhält,
die
Colonnenrichtungen resp. Schichtebenen sich in
Symmetrieelemente verschieden orientirt erweisen.
die
Auch
Symmetrie
man
Systeme
giebt
jetzt
für
Lösung derartiger Fragen
die
die leitenden Aufschlüsse.
(Vergl.
Anwendungen auf
dieser Art in ihren
§11, L
die
Lehre von der scheinbaren
Da
Theil.)
aber die Betrachtungen
Raum
die Einzelheiten ziemlich viel
das zu Grunde liegende Princip aber ausserordentlich einfach
wieder uns mit der Darlegung der Resultate zu begnügen,
um
gefordert hätten,
so erlauben wir uns hier
ist,
so
mehr,
als die
Resultate
schon längst constatirt worden waren ^).
Diese Systeme sind ganz anschaulich auf Taf. III dargestellt.
14.
dieselben in kurzen
I)
im,
Worten
IIV,
2)
Jetzt
wollen wir
charakterisiren.
IVI und
3)
4)
1
VII sind
die Systeme,
in
welchen Symmetrie-
elemente vollständig fehlen.
5)
IjiIII,
6) IjrlV,
9) 2 III
und
10) 2
l^iVI und
7)
das Inversionssystem anwesend
IV
8)
ItiVII sind
die Systeme,
in
welchen
allein
ist.
sind zwei Systeme, in welchen allein 2-zählige Symmetrieaxen
einer einzigen (parallelen) Richtung vorhanden sind.
II) 3 III,
die Systeme,
vorhanden
in
12) 3 IV,
13)'
14) 3 VI,
3 IV',
15) 3 VI',
16) 3 VII und 17) 3
VIP
sind
welchen ausser 2-zähligen Symmetrieaxen noch ebensolche Schraubenaxen
Symmetrieelemente parallel
sind, obgleich alle diese
18) 1;^III
und
19) l;fIV
sind
zwei
Systeme,
IV',
23)
in
sind.
welchen
allein
lauter
parallele
Symm'etrieebenen vorhanden sind.
20) 1;^'III,
26) 1%'VII' sind
21)
l;t'IV,
die Systeme,
22)
in
I;^'
l^'VI,
24)
l^'VP,
25)
1^' VII
und
welchen ausser Symmetrieebenen noch ihnen parallele
Gleitebenen vorhanden sind.
')
Die Gesammtheit der Paralleloedersysteme
deutet und in
S. L. III Taf.
Taf. II unterscheidet
I. Ordnung war zuerst in E. G. L. § 84, S. 238 angeIV schon ganz anschaulich und vollständig abgebildet. Die jetzige Abbildung
sich von der vorigen dadurch,
dass
die Paralleloeder
in
nicht deformirter
Form
Dadurch wird auf die Kelationen unter Systemen verschiedener Symmetrie anschaulicher und einfacher hingewiesen und besonders wird dadurch die Lage der Symmetrieelemente durch
entsprechende charakteristische Zahlen in Anschaulichkeit gewonnen.
aufgezeichnet sind.
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503
27) 2;(^III und
axen und die
28)
2;^
IV
sind zwei Systeme,
in
nur 2-zälilige Symmetrie-
welchen
zu ihnen senkrecliten Symnietrieebenen vorhanden
3^
29) 3x111, 30) 3;tlV, 31) 3;^ IV', 32)
sind.
3xVII und
VI, 33) S^Yl', 34)
35) 8;^Vir
sind die Systeme, in welchen ausser 2-zähligen Symmetrieaxen noch die denselben parallelen
Schraubenaxen und ausser Symmetrieebenen noch
handen
parallelen Gleitebenen vor-
die denselben
sind.
36) 4
in
ein System,
ist
welchem
in
allein 2-zählige
Symmetrieaxen vorhanden
sind,
welche genieinsame Schnittpunkte besitzen.
37) 5
38) 5
III,
IV
sind zwei Systeme,
in
welchen ausser dem eben charakterisirten
System der Axen noch 2-zählige sich schneidende Schraubenaxen anwesend sind,
durch
deren Schnittpunkte diese beiden senkrechten 2-zähligen Symmetrieaxen hindurchgehen.
dem Axensystem 4
39) 6 Vi, 40) 6 VII sind zwei Systeme, in welchen ausser
axen vorhanden
III
noch
System der gemeinsame Schnittpunkte besitzenden 2-zähligen Schrauben-
ein durchdringendes
ist.
41) 7 VI, 42) 7 VII sind zwei Systeme, in welchen in je einer Ebene eine 2-zählige
Symmetrieaxe und eine Schraubenaxe
43) 2 9? III
ein System,
ist
in
abwechselnder Reihe stehen.
welchem
in
parallele aber zu einander senkrecht stehende
Symnietrieebenen vorhanden sind (welche sich natürlich zu je zwei in je einer 2-zähligen
Keine Schraubenaxen und keine Gleitebenen.
Symmetrieaxe schneiden).
44)
299' III,
45)
299'
IV
sind zwei Systeme, in welchen ausserdem zwei Systeme senk-
rechter Gleitebenen vorhanden sind, aber keine Schraubenaxen.
46) 399
48) 899 IV' sind drei Systeme,
47) 399 IV,
III,
Symmetrie- und Schraubenaxen einer einzigen Richtung sich
Durch
die
Schraubenaxen
49) 3 99' VI,
singulären Ebene
gehen
allein
die
sind
drei
entweder lediglich Symmetrieaxen
Hier schneiden sich je zwei Gleitebenen
in
die
2-zähligen
Ebenen abwechseln.
Gleitebenen hindurch.
51) 399' VII
50) 399' VI',
welchen
in
in singulären
Systeme,
in
oder lediglich
welchen
in
je
einer
Schraubenaxen liegen.
einer Schraubenaxe.
52) 399" VI, 53) 399" VII, 54) 899" VII' sind drei Systeme, in welchen in singulären
Ebenen Symmetrie- und Schraubenaxen mit einander abwechseln.
Hier schneiden sich Gleit-
ebenen in Symmetrieaxen.
welchem nur Symmetrieebenen dreier verschiedener Lagen
in 2-zähligen Symmetrieaxen schneiden
es
sind aber weder Gleitebenen noch Schraubenaxen vorhanden.
55) 4:X III
ist
ein System, in
vorhanden sind und natürlich sämnitlich sich
56)
5;j;III,
;
57) 5;)jIV sind die Systeme, deren Symmetrieelemente sich aus System 5
ableiten lassen durch
Hinzufügen der durch
die Schnittpunkte der
Symmetrieaxen hindurch-
gehenden Symnietrieebenen.
58) 6;(;VI,
59)
G^VII
sind
die Systeme,
System 6 ableiten lassen wie 5x aus
60) 7xVI,
System
61)
7;^
VII
7 ableiten lassen wie
62) 8 III
ist
sind
5x
ein System,
in
deren Symmetrieeleraente sich
ebenso von
5.
die Systeme,
aus 5 und
6x
deren Symmetrieelemente sich ebenso von
'^^^
^•
welchem nur 4-zählige und
Symmetrieaxen einer einzigen (singulären) Richtung vorhanden
die resultirenden 2-zähligen
sind.
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504
64) 9 VII sind zwei Systeme, in welchen neben 4-zähligen Symmetrieaxen
63) 9 VI,
und resultirenden 4-zähligen Schraubenaxen mit der Deckschiebung -^ 2-zählige Schraubenaxen
vorhanden
sind.
65) 8<pIII
System, in welchem die Symmetrieelemente sich
ein
ist
Systems 8 durch Hinzufügung der verticalen Symmetrieebenen ableiten
67) 99? VII
66) 97? VI,
zwei Systeme, deren Symmetrieelemente sich
sind
System 9 ebenso ableiten lassen wie 893
68) 2 TT III
Symmetrie und
der
aus
dem
III aus 8.
welchem
lediglich 4-zählige
Axen vorhanden
70) 37rVII sind
69) 3 TT VI,
Axen
ein System, in
ist
die resultirenden
denen des
aus
lassen.
zwei Systeme,
zusammengesetzten Symmetrie eine
besitzen, als es für die als die primitiven
Axen der zusammengesetzten
sind.
welchen die resultirenden 4-zähligen
in
andere Lage
der
Axen zu betrachtenden
Ebene
der Fall
dieser
Symmetrie
ausserdem sind
ist;
die resultirenden 2-zähligen Schraubenaxen vorhanden.
71)
8%
III
dessen Symmetrieelemente
ein System,
ist
sich
von denen des Systems 8
durch Vorhandensein horizontaler Symmetrieebenen unterscheiden,
73) 9;^ VII sind
72) 9;^ VI,
zwei Systeme,
deren Symmetrieelemente
zu
sich
denen
des Systems 9 ganz analog verbalten Avie 9>x zu 8.
74) 10 III ist ein System, dessen Symmetrieelemente sich aus 8 ableiten lassen durch
Hinzufügung
horizontalen,
einer
4-zählige
die
Symmetrieaxe
schneidenden
2-zähligen
Symmetrieaxe.
76) 11 VII sind zwei Systeme, deren Symmetrieelemente aus
75) 11 VI,
dem System
9
wie 10 aus 8 sich ableiten lassen.
77) 45 III ist ein System, dessen Symmetrieelemente sich aus 4 ableiten lassen durch
Hinzufügung einer diagonalen Symmetrieebene, welche durch Symmetrieaxen verläuft.
78) 5 5 III
wie
4(5
ist
Symmetrieelemente sich aus 5 ebenso ableiten lassen
ein System, dessen
aus 4.
79)
65 VI, 80) 65 VII sind zwei Systeme, deren Syrametrieelemente
45 aus 4 und 55 aus 5.
sich aus 6 ebenso
ableiten lassen wie
82) 7 5 VII sind zwei Systeme, deren Symmetrieelemente sich aus 7 ebenso
81) 7 5 VI,
45
ableiten lassen wie
83)
lO^IH
ist
aus 4 u.
lassen wie 8;^ aus 8 u.
84) 11;j;VI,
85)
s.
IV
ist
w.
dessen Symmetrieelemente sich
aus
10
ebenso
ableiten
w.
ll^VII
ebenso ableiten lassen wie
86) 12
s.
ein System,
8;^
ein System,
zwei Systeme,
sind
aus 8
u.
s.
deren Symmetrieelemente sich
aus 11
w.
dessen Symmetrieelemente
lauter
3-zähiige Symmetrieaxen
einer einzigen Richtung sind.
87) 13
III,
88) 13 VI,
89) 13 VII sind drei Systeme, unter deren Symmetrieelementen
ausser 3-zähligen Symmetrieaxen noch rechte und linke Schraubenaxen von derselben einzigen
(singulären) Richtung vorhanden sind.
90) 12(pIV
ist
ein
System, dessen Symmetrieelemente sich aus
durch Hinzufügung einer durch zwei nächste Symmetrieaxen
Symmetrieebene.
12
ableiten
lassen
hindurchgehenden verticalen
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505
91) 1295'
IV
aber die beigefügte Symmetrie-
ein ganz analog abgeleitetes System,
ist
ebene geht nicht durch zwei nächste Symmetrieaxen hindurch.
92) 1893 III, 93) 1393 VI, 94) 139? VII sind drei Systeme, deren Symmetrieelemente aus
13 ganz analog abgeleitet worden sind wie 12 9? aus 12.
95) 12jrIV
96) 14
lassen durch
IV
ist
ein System, welches sich
zu 12 ganz analog verhält wie
zu 8
8;(;
u.
s.
f.
ist ein System,
dessen Symmetrieelemente sich aus denen von 12 ableiten
Hinzufügung einer durch zwei nächste Symmetrieaxen nicht hindurchgehenden
horizontalen 2-zähligen Symmetrieaxe.
97) 15
IV
ist
ein
dadurch unterscheiden
dem vorigen ganz analog
abgeleitetes System,
welches sich aber
dass die beigefügte 2-zählige Symmetrieaxe durch zwei nächste
lässt,
3-zählige Symmetrieaxen hindurchgeht.
98) 16
III,
100) 16 VII
99) 16 VI,
sind
drei
welche sich
Systeme,
aus
ganz
13
analog ableiten lassen wie das vorige System aus 12.
lässt sich aus 14 IV ganz analog ableiten wie 12ji aus 12.
IV lässt sich analog aus 15 IV ableiten.
IV ist ein System mit 6-zähligen und resultirenden 3- und 2-zähligen Symmetrie-
101) 1471 IV
102)
1571
103) 17
axen einer einzigen (singulären) Richtung.
104) 1799 IV
105) 12a
lässt sich
IV
ist
gesetzten Symmetrie
dem
aus
vorigen
ganz analog ableiten wie 895 IV aus 8 IV.
Axen
ein System, dessen Symraetrieelemente 6-zählige
und
die resultirenden 3-zähligen
zusammen-
der
Symmetrieaxen und Inversionscentren
sind.
106) 13a III, 107) 13a VI, 108) 13a VII sind drei Systeme, deren Symmetrieelemente
6-zählige Axen der zusammengesetzten Symmetrie sind mit drei verschiedenen Lagen der
Ebenen dieser Symmetrie; ausserdem sind die resultirenden rechten und linken 3-zähligen
Schraubenaxen vorhanden, und die Inversionscentra von verschiedenen Lagen.
109) 17;ijIV
110) 18
IV
aus 17
lässt sich
IV ganz analog wie
aus 17
lässt sich
127i:
IV durch Hinzufügung
aus 12 ableiten.
einer durch
die 6-zähiige
Sym-
metrieaxe hindurchgehenden 2-zähligen horizontalen Symmetrieaxe ableiten.
111) 14a IV
lässt sich aus
14 IV durch Hinzufügung der durch
Symmetrieaxen hindurchgehenden verticalen Symmetrieebenen
die nächsten 3-zähligen
ableiten.
112) 15 a IV lässt sich aus 15 IV durch Hinzufügung der durch die nächsten 3-zähligen
Symmetrieaxen nicht hindurchgehenden verticalen Syrametrieebenen ableiten.
16
113) 16a
III,
16 VI
und
III,
114) 16a VI,
16 VII
16a VII
115)
ableiten
lassen
sind drei Systeme,
durch Hinzufügung
welche sich
der
durch
die
resp.
aus
3-zählige
Symmetrieaxe hindurchgehenden Symmetrieebenen.
116) 18;^
IV
lässt sich
Endlich lassen sich
alle
aus 18
IV ganz analog
ableiten wie 17;^
IV
aus 17
IV
u.
s. f.
anderen der kubischen Syngonie angehörenden Systeme aus den
vorigen durch Hinzufügung der oktaedrischen 3-zähligen Symmetrieaxen ableiten und zwar:
117) 19
m
aus 4 III,
118) 20 VII aus 6 VII,
aus4;t, 121) 20;^ VII aus 6;^ VII, 122) 21
aus 6(5 VII,
128) 24
VI
125) 215 VI
aus
75 VI,
;f
VI aus
126) 22
7
HI
;{
120)
19/0
aus 45, 124)
205 VH
119) 21 VI aus 7 VI,
VI, 123) 19 ^
aus
10 HI,
HI
127) 23 VII
aus
aus 11 VI, 129) 22x111 aus 10;tIII, 130) 23;tVII aus 11;^ VII und 131)
aus ll;i;VI.
Abb.
d. II. Gl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
65
11 VII,
24/^1
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506
15.
müssen
um
für alle Systeme
die Sätze §
Ergänzung
13
(I.
die
Symmetrieelemente überhaupt vollständig darzustellen,
Theil) mit folgenden
Ergänzungen berücksichtigt werden:
Satzes § 13. Hat die gegebene Deckschiebung l in Bezug auf
die gegebene Symmetrieaxe eine schiefe Richtung, dessen Componente in der Richtung der
Axe gleich V- ist, so ist die resultirende ^-zählige Axe eine Schraubenaxe mit der DeckSchiebung
Z';
des
1.
V muss dabei noth wendigerweise
gleich
n
—
X
sein,
wo
X
die
Deckschiebung
und n eine ganze Zahl bedeutet. Ist die gegebene Axe
eine Schraubenaxe mit der Deckschiebung Z, so ist die resultirende Axe eine Schraubenaxe
des Systems in der Richtung der Axe,
mit der Deckschiebung
L
-\-
V.
Ist
dabei
L
-\-
X'
^^nX^
Axe keine Schrauben-
so ist diese
axe mehr, sondern eine Symmetrieaxe^).
Dabei muss in Rücksicht genommen werden, dass eine 4-zählige Symmetrieaxe zugleich
2-zählige,
und eine 6-zählige Symmetrieaxe zugleich 2- und 3-zählige Symmetrieaxe ist. DasDaraus geht hervor, dass die aus solchen Axen und
selbe gilt analog für Schraubenaxen.
entstehenden resultirenden Axen verschiedenartig sind und zuLage erhalten.
Speciell für die Axen der zusammengesetzten Symmetrie erhalten wir, dass auch die
resultirenden Symmetrieelemente eben solche Axen sind.
Ist dabei die Translation senkrecht zur Axe, so behält die Ebene der zusammengesetzten Symmetrie ihre Lage; ist aber
die Translationsrichtung in Bezug auf die Axe scbief und besitzt in ihi'er Richtung die
der gegebenen Translation
gleich verschiedene
Componente
Ebene der zusammengesetzten Symmetrie eine neue
V
Componente
verschoben.
V. so erhält die resultirende
Lage, und zwar wird
sie
nur
um
die
—
Li
Sind zwei beliebige Symmetrieelemente in
beliebiger relativer
Lage gegeben,
so ent-
welches wir dadurch stets ermitteln können,
steht ein resultirendes Symmetrieelement,
wir zuerst die Symmetrieelemente sich in einem Punkt schneidend denken,
dass
das resultirende
Element bestimmen, und dann noch die nicht in Betracht gezogene Translation berücksichtigen, welche auf Grund des eben angegebenen Satzes uns zu einem ganz bestimmten
Symmetrieelement von ganz bestimmter Lage führt. Die Schraubenaxen und die Gleitebenen sind dabei stets in ihre Componenten zerlegt zu denken, d. h. als Symmetrieaxen
resp.
Symmetrieebenen und Translationsrichtungen mit ganz bestimmten Componenten.
Es wäre sehr viel Raum dazu nöthig, um diesen allgemeinen Satz für sämmtliche
vorkommende
Fälle besonders anzuwenden.
Vergleichen
wir die
mässigen Punktsysteme
bei
der Darstellung
mit denjenigen 230 Systemen,
erschöpfend abgeleitet wurden,
so finden wir,
Ordnung gefundenen
regel-
welche früher auf anderem
Wege
der Systeme
dass die jetzt gefundenen Systeme sich
zwar
nur durch 73 vertreten
Diese
unter denselben
befinden,
aber von denselben
Systeme wurden
bei ihrer
Ableitung unter dem
hier
Namen symmorphe
Die Vertheilung der Symmetrieelemente sämmtlicher
ganz anschaulich in den Tafeln IV und
dieser
Systeme sind in der Tabelle
V
V am
I.
sind.
abgesondert.
regelmässiger Punktsysteme
graphisch dargestellt.
ist
Die Symmetriegleichungen
Schlüsse dieses Theiles zusammengestellt^).
Die betreffende Reilie von Sätzen ist in S. L. III S. 20—29 enthalten. Vgl. Anm. 9.
Die anschaulichen graphischen Darstellungen der Lagerung der Symmetrieelemente der regelmässigen Punktsysteme sind zuerst in S. L. III Taf. II und III und später in der Einleitung zur
1)
2)
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507
16.
24;^
Sämmtliche Systeme I.Ordnung sind aus vier Grundsysfcemen 22ylll, 23;/ VII,
18;;; IV dadurch abgeleitet, dass die denselben zukommenden Symmetrieelemente
VI und
durch andere
ersetzt
sind,
welche
ihnen
die
untergeordneten
Symmetriearten
Theorie der Krystallstructur (Groth's Zeitschrift für Krystallographie Bd. 24, Taf.
V
ausbilden.
und VI) erschienen.
nach sind jetzt die Taf. IV und V als blosse Eeproduction zu betrachten, aber dieselben
sind in Bezug auf die doppelten Systeme (d. h. diejenigen mit Elementen der geraden Symmetrie) vielfach
vervollständigt durch die Angabe der Inversionscentra, der Axen der zusammengesetzten Symmetrie.
Umgekehrt sind die Systeme der kubischen Syngonie in der Darstellung vereinfacht, indem viele der
Symmetrieelemente, welche früher angezeigt wurden, jetzt beseitigt worden sind. Es sind nur solche
zur Darstellung ausgewählt, welche diese Darstellung möglichst anschaulich machen. Dadurch werden
auch die Analogien dieser Systeme mit denen der rhombischen und tetragonalen Syngonie bei weitem
Dem Wesen
klarer hervortreten.
Jedem regelmässigen Punktsystem gehört
Die einfachen
in diesen Tafeln eine getrennte Zelle an.
Systeme, welche also ausschliesslich die Elemente der Decksymmetrie enthalten, werden durch einfache
Enumeration gekennzeichnet (zum Unterschiede der asymmorphen Systeme wird die betreffende Nummer
in Parenthesen eingeschlossen).
und durch
Alle Systeme, welche von einem einfachen hergeleitet
selben Elemente der Decksymmetrie gekennzeichnet sind, wurden nebeneinander so eingezeichnet,
die ihren Zellen angehörenden Conturen
Kette bilden.
die-
dass
ihnen sämmtlich gemeinsam sind und eine ununterbrochene
Bei solcher Anordnung werden besondere Zeichnungen der für alle diese Systeme gemein-
schaftlichen Elemente der Decksymmetrie überflüssig, weil
die letzteren
schon aus der Zeichnung des
zugehörigen einfachen Systems ersichtlich sind, in allen anderen wird ihre Anwesenheit von vornherein
vorausgesetzt.
Die Bedeutung der Bezeichnungen bleibt dieselbe, wie damals, und zwar:
<»
verticale zweizählige Symmetrieaxe.
"-•^
verticale zweizählige Schraubenaxe.
J^
verticale dreizählige Symmetrieaxe.
jm^
rechte verticale dreizählige Schraubenaxe.
^^
linke verticale dreizählige Schraubenaxe.
^
verticale vierzählige Symmetrieaxe.
•--)
verticale vierzählige rechte Schraubenaxe.
cw^
verticale vierzählige linke Schraubenaxe.
C^-) nichtpolare verticale vierzählige Schraubenaxe.
^
verticale sechszählige Symmetrieaxe.
Schraubenaxe mit Längsschiebung -.
^|tf>
verticale rechte sechszählige
cwj
verticale linke
*-m
verticale rechte sechszählige
"^
verticale linke
^#n
verticale sechszählige (nicht polare)
;
sechszählige Schraubenaxe mit Längsschiebung -.
^^
O
Schraubenaxe mit Längsschiebung -.
;.
sechszählige Schi-aubenaxe mit Längsschiebung -.
Schraubenaxe mit Längsschiebung -.
Inversionscentrum (zweizählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie).
/N
verticale vierzählige
O
verticale sechszählige
Axe
I.
"jfi^
verticale sechszählige
Axe
II.
Axe der zusammengesetzten Symmetrie.
Art der zusammengesetzten Symmetrie.
Art der zusammengesetzten Symmetrie.
65*
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508
Dabei verschwinden einige Symmetrieelemente; die Form der Raumeinheiten, die Lage der
Colon nen und Schichten bleibt dabei aber unberührt.
Nun
dass
werden
ist
auch hier
in
Systeme, je nach
die
ohne
können,
die
Rücksicht zu nehmen,
dass es schon längst
bewiesen worden,
homogene Deformationen transformirt
denselben innewohnenden Eigenschaften der regulären Raumihrer
Syngonie,
durch
theilungen zu verlieren^).
Es
ist
nämlich der Beweis dafür erbracht worden, dass solche Systeme zweierlei Art
von Deformationen unterzogen werden
Das
können:
und
Dilatationen
a)
Verschiebungen.
b)
sind gerade die Relationen, in welchen die krystallographischen Figuren unter einander
und welche desshalb als die der krystallographischen Projectivität bezeichnet
werden und deren nähere Untersuchung zu dem Schlüsse geführt hat, dass dieselben identisch
sind mit der Affinität von Möbius.
stehen,
Die Deformationen dieser Art stehen mit der Syngonie im nächsten Verhältniss und
sind durch folgende Sätze bestimmt:
1.
Satz.
In jeder singulären Richtung kann positive oder negative Dilatation hervor-
gebracht werden.
Mau
die orthogonale
unterscheidet dabei
und
die
schiefe Dilatation,
Dilatationsebene zur DiJatationsrichtung senkrecht
tationen sind natürlich nur dann zulässig, wenn beide,
feste
ist
die
nachdem
je
oder nicht.
Richtung
Schiefe
und
die
die
Dila-
Ebene,
singulär sind.
Die verticalen Symmetrieebenen werden direct durcli ununterbrochene gerade Linien ersichtlich,
ebenso wie die horizontalen zweizähligen Symuietrieaxen.
Die horizontalen zweizähligen Schraubenaxen und die verticalen Gleitebenen werden durch punktirte
Linien angezeigt.
Für die letzteren wird die Richtung der Gleitschiebung dadurch angegeben, dass diejenigen mit
ist die Richtung der Gleitschiebung horizontal, so ist dies aus den beigegebenen Pfeilen ersichtlich; sind diese Richtungen schief,
so wird dies durch Querstriche angegeben und zwar bezeichnet ein einziger Querstrich die Componente
verticaler Gleitschiebung einfach durch punktirte Linien angezeigt werden;
Xq
A-i
sonst
2'
Wenn
XI
werden zwei Querstriche beigegeben.
eine horizontale
Axe
resp.
Symmetrie- oder Gleitebene (Inversionscentrum
u.
A.) nicht
mit
die Entfernung, von oben nach unten gerechnet, durch eine
der Zeichnungsebene zusammenfällt, so wird
*
Ziffer
und
angegeben, und zwar für sämmtliche Syngoniearten ausser der hexagonalen wird
für die letzte -
angenommen.
Anstatt -
^
als
Einheit -,
^
stellt
man
einfach
einen Punkt auf.
Für horizontale
2
fe
Symmetrie- resp. Gleitebenen, deren Vorhandensein aus der Anwesenheit der dem Zellenrande angefügten
Linien ersichtlich wird,
ist
die Entfernungsziffer in
Klammer
eingeschlossen.
Für die Systeme der kubischen Syngonie sind manche schief stehenden Symmetrieelemente durch
Buchstaben angezeigt, deren Bedeutung direct aus dem beigegebenen Diagramm ersichtlich ist. Schiefe
Symmetrie- resp. Gleitebenen sind überhaupt nicht angezeigt worden; die Lagen der dreizähligen
Symmetrieaxen, umgekehrt, werden vollständig angezeigt.
Dieselben Bezeichnungen gelten auch für die L Tafel. Da aber hier nur verticale Symmetrieaxen und verticale Symmetrieebenen resp. Gleitebenen mit horizontaler Gleitschiebung vorhanden sind,
so ist nur ein Theil dieser Bezeichnungen zu berücksichtigen. Die Pfeile für horizontale Gleitschiebung
sind unterdrückt worden.
1)
S.
Die betreffenden Sätze sind in denselben Arbeiten aufgestellt, von welchen in der
477 die Rede
ist.
Anmerkung
1
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509
Besondere Anmerkung.
lichkeit
Ebenen
Aehn-
darstellt.
Als Verschiebungsebenen und Verschiebungsrichtungen können die singulären
Satz.
2.
Hier wird von der allseitigen Dilatation abgesehen, welche
besonderer Fall der Affinität auftritt und eigentlich den Fall der
ebenfalls als ein
resp.
Richtungen nur dann auftreten,
wenn
in
der
zur Verschiebuugsebene senk-
rechten und der Verschiebungsrichtung parallelen Ebene sämnitliche Richtungen singulär sind.
Ausser trikliner Syngonie
als
Verschiebungsebene eine
ist
dieser Fall für
monokline Syngonie
wenn man
zulässig,
besonderen singulären Richtung parallele Ebene und
der
als
Verschiebungsrichtung die zu derselben Richtung senkrechte nimmt.
I.
Durch diese Sätze erwirbt die ausgeführte Ableitung der regulären Raumtheilungen
Ordnung die erwünschte Allgemeinheit.
17.
Jetzt stellen wir die Frage auf, ob Systeme möglich sind, in welchen die
Raum-
einheiten yerschiedenartig orientirt sind?
Auch
können wir
jetzt
in allgemeinster
Weise
die
Deckoperation irgend
zweier Ein-
Drehung
Axe um den Winkel a und 2. eine einfache Translation.
Dazu kann noch eine Spiegelung kommen.
Ohne die Betrachtungen des § 15 I. Theil zu wiederholen, können wir jetzt direct
den Schluss angeben, dass die erste Theiloperation eine der Symmetrieaxe entsprechende Drehung ist. Dieselbe mit Translation combinirt, giebt eine Schraubenaxe
heiten des Systems so auffassen, dass dieselbe aus 2 Theiloperationen besteht:
um
1.
eine
eine bestimmte
als ein
Symmetrieelement ^).
Auch
jetzt sind
Symmetrieelemente von verschiedener Bedeutung unterschieden, und
zu allererst diejenigen, welche in den Raumeinheiten explicit sind, von denjenigen, welche
als
Verbandsymmetrie
Elemente der
auftreten.
Als explicite Symmetrieelemente können Symmetrieaxen, Symmetrieebenen und Elemente
der zusammengesetzten Symmetrie auftreten, keineswegs aber Schraubenaxen und Gleitebeneu.
Aber dieselben Symmetrieelemente, welche explicit vorkommen, können auch als
Elemente der Verbandsymmetrie auftreten. Solche Symmetrieelemente werden als peripherische bezeichnet.
18.
so
Da
die
Anzahl der möglichen Orientirungen der Raumeinheiten eine endliche
ist,
müssen unter denselben auch gleichorientirte vorkommen.
Nehmen
dadurch
wir eine solche
schon
bestimmt wird;
eine
unendlich
z.
B.
die nächstliegende
congruente
Reihe mit
in Betracht,
so
finden
wir,
dass
bestimmter Richtung und Strecke
dass die Gesammtheit gleichorientirter Raumkönnen wir auch für solche Systeme die für Systeme
Schlüsse anwenden; also finden wir, dass diese Systeme nur mit den
dann ergibt von sich
selbst,
einheiten ein Raumgitter bildet; somit
I.
Ordnung
gefassteia
oben angegebenen 32 Symmetriearten verträglich
sind,
welche sich ihrerseits zu 6 Syugonie-
arten gruppiren.
1) Leider sind bis jetzt in der Symmetrielehre solche Schraubenaxen von den allgemeinen Schraubenaxen nicht durch ein besonderes Fachwort unterschieden. Dies ist nur desswegen zulässig, weil in der
Symmetrielehre, ebenso wie in der Lehre von der regulären Raumtheilung nur solche besondere Schrauben-
axen zu berücksichtigen sind.
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510
19.
Wählen wir
Punkt
befindlichen
in einer
aus,
Raumeinheit einen
grösse s eben diese Anzahl der
aber im Innern
beliebigen,
so erhalten wir zuerst bei der
Annahme
im Innern enthaltenen Punkte.
derselben
der expliciten Symmetrie-
Sämmtliche Deckbewegungen
des Systems, welche ausschliesslich durch Symmetrieelemente vertreten sind (§ 17), bedingen
eine unendliche Anzahl solcher Punktgruppen, welche,
zusammengenommen,
ein regelmässiges
Punktsystem bilden.
Wären Punkte
Punkte
analoge
vorhanden, deren
Gesammtheit
ihrer
in
Raum-
ein
(Hauptpunkte), so hätten wir schliessen können, dass diese Punkte
Paralleloeders
genommen werden könnten, und dann wäre eine Raumdes
Centra
oder
in
einer bestimmten Gruppe, als ein (der Form nach) primäres
genommen
einzeln
gitter gebildet hätten
für die
einheit,
oder sec'undäres Paralleloeder aufzufassen.
gelungen
nicht
Fall
so
ist,
ist
ob
als
es aus lauter
aber dies zu beweisen für den allgemeinsten
auch die Möglichkeit der Annahme nicht ausgeschlossen,
dass dies auch nicht der Fall sein kann.
werden,
Wie
Aber
selbst
dann kann das System
so aufgefasst
Einheiten bestünde, welche sämmtlich parallel orientirt sind, wobei
aber jede einzelne Raumeinheit nicht mit einem einfachen Paralleloeder identisch
Anzabl derselben
eine vereinigte
20.
darstellt d. h. ein
zusammengesetztes
Die aufgestellte Frage kann dadurch gelöst werden,
dass
man
ist,
sondern
Paralleloeder
ist.
eine erschöpfende
Darstellung der Systeme ausführt, deren Einheiten einfache Paralleloeder sind, und auf diese
Weise eine Anzahl regelmässiger Punktsysteme reproducirt, und dann das gefundene Resultat
Wege ausgeführten erschöpfenden Darstellung der regelmässigen Punkt-
mit der auf anderem
systeme vergleicht.
auch
die regulären
Würden
zugleich der Beweis geliefert,
dargestellt
worden
damit wird aber
sind;
dass sämmtliche regelmässigen Punktsysteme
auch
als
parti-
Sonst sind die Systeme vorhanden, ohne in
Hauptpunktsysteme enthalten.
culärer Fall die
sich
die beiden Resultate zusammenfallen, so sollte es heissen, dass
Raumtheilungen erschöpfend
Hauptpunkte zu enthalten.
Besondere Anmerkung.
Der Bestimmtheit wegen sind folgende Betrachtungen zu
berücksichtigen.
Da
jedem
in
jetzt
in
Betracht
kommenden System
Nur
mehr.
treten
ist,
Gruppe derselben,
eine
kann
in
als
die
als solches betrachtet
integrirenden Theile
Wenn
eines Paralleloeders
Die einzelnen
anzusehen,
Stereoeder,
so sind die elementaren
man
und
als
dabei dieselben explicite Symmetrie besitzen, so können
noch kleinere Figui-en getheilt werden.
in
werden.
durch Symmetrieelemente unter einander verbundenen Raumfiguren pflegt
Stereoeder zu bezeichnen.
sie
welcher je ein Paralleloeder jeder Orientirung ver-
strengem Sinne des Wortes
Raumeinheiten sind nur
solche,
in
(der Form nach) einfachen
genommen keine Paralleloeder
die
Paralleloeder verschieden orientirt sind, so sind dieselben streng
Nennen wir
Raumeinheiten
die
letzteren
des Systems die
die
einfachen
zusammengesetzten
Stereoeder.
Für
die
die
Form nach
Für
handen
die
die
sind,
Paralleloeder.
Hauptpunkte
Form nach auch
Stereoeder der
enthaltenden
Systeme
die Paralleloeder,
und
sind
also
die
zusammengesetzten
die eigentlichen Paralleloeder sind der
zusammengesetzten Paralleloeder.
die
sind
Hauptpunkte nicht enthaltenden Systeme,
sogar die eigentlichen Stereoeder der
wenn
Form nach
solche
die
überhaupt vor-
zusammengesetzten
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511
Das Resultat
21.
aller
dieser Betrachtungen
man
dass
ist,
zu
einer
erschöpfenden
wenn man alle Symmetriederselben zum Ausgangspunkt
Darstellung aller typischen Systeme mit Hauptpunkten kommt,
eine
arten,
nach der anderen, berücksichtigt und für jede
gehörenden Typen des Paralleloeders
die dazu
geringere explicite Symmetrie
derjenigen der
als
I.
Ordnung untergeordnet
Elemente der Verbandsymmetrie
Auch
jetzt
I. Ordnung herauswählt, aber denselben eine
und zwar alle diejenigen Symmetriearten, welche
zuerkennt,
und
sind,
ist
Die Symmetriegrösse der Verbandsymmetrie
der Einheiten
diese
des Systems
Anzahl zugleich
die
ist
Im besonderen
gleich.
der Symmetriegrösse des Systems.
zugleich der Anzahl der Orientirungeu
Falle
asymmetrischen Einheiten
der
ist
Symmetriegrösse des Systems.
Jedes solche System kann also durch das Paralleloeder und dessen Orientirungen
22.
in
bleibenden Symmetrieelemente
frei
wird die Symmetriegrösse in zwei Factoren zerlegt: die der expliciten und
Verbandsymmetrie, deren Product gleich
die der
die
auffasst.
den anliegenden Raumeinheiten eindeutig und streng bestimmt werden.
Ist das Paralleloeder
asymmetrisch, so kann die Orientirung der anliegenden Einheiten durch eine einzige Operation
bestimmt werden, und zwar entweder a) durch einfache Translation oder b) durch ein
Element der Verbandssymmetrie. Die letzte Operation wird durch eine einzige charakteristische Zahl angegeben, und zwar eine Zahl, welche der bezüglichen Grenzfläche angehört.
Die Angabe der einfachen Translation kann einfach durch die Abwesenheit
einer solchen
charakteristischen Zahl geschehen.
Die Systeme wollen wir in solche von
der Anzahl der verschiedenen Orientirungen
Ordnungen gruppiren,
verscliiedenen
der Einheiten,
nach
je
nach der Symmetriegrösse
also
der Verbandsymmetrie.
Die Darstellung der Systeme wollen wir in der Reihenfolge der Ordnungen aus-
23.
Ordnung der Paralleloeder, und zwar zuerst die Triparalleloeder,
Hexa- und Heptaparalleloeder und zuletzt die Tetraparalleloeder berücksichtigen.
Jedesmal ist dem üntersuchungsgang die Auffindung der Ableitungsformen voraus-
führen, aber zugleich in der
dann
die
zuschicken.
Reihe
der
orientirten
Diese Auffindung wird auch
Entfernung
absoluten
Einheiten
verschiedene
wenn man
ausgeführt,
als
die
in
nächstliegenden
der
gleich
annimmt.
Jede solche
Annahme
Richtung und Strecke.
gleiche
erschöpfend
hier
giebt uns sofort eine bestimmte Reihe mit der ihr zugeordneten
Ist diese
Richtung keine singulare, so erhalten wir wenigstens zwei
Reihen, und hiermit ein
Netz gleich
ebenes
Anzahl gleicher Richtungen grösser
als
zwei,
so
Raumeinheiten.
orientirter
wir wenigstens drei
erhalten
Ist
die
bestimmte
Reihen und somit wird uns ein gewisses Raumgitter bestimmt.
Für zwei gleiche Richtungen
gitter zu
bestimmen.
Sind die
ist
aber eine andere
angenommenen Richtungen
nahmen noch ein
Annahme
nöthig,
viel weiteres Gebiet,
singulare,
indem
die
so
Anzahl
stellt
bis
sich
auf drei
1)
das
Raum-
den
ist
zulässigen
An-
steigt.
Jedenfalls sind auch hier die beiden folgenden Sätze giltig: a) die
Ableitungsformen
um
Die Anzahl der zulässigen Ableitungsformen wird dadurch vergrössert.
Aufsuchung der
eine Syngonie- und nicht eine Symmetriefrage^), und b) die
Speciell für hexagonale Syngonie sind auch
Hyposyngoniegruppen zu berücksichtigen.
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512
Ableitungsformen der höheren Syngonieärten für jeden Paralleloedertypus und
jede gegebene Ordnungszahl des Systems stehen unter denjenigen der niederen
Syngoniearten.
Die Ableitungsformen der monoklinen Syngonie stehen unter denen der triklinen, der
rhombischen "Syngonie unter denen der monoklinen, der tetragonalen und hexagonalen unter
denen der rhombischen, und der kubischen Syngonie unter denen der tetragonalen und
hexagonalen Syngonie.
24.
in
der
eine Ableitungsform ermittelt worden, so werden dadurch bestimmte Relationen
Ist
Eigenschaften
auf Grund
sich
lassen
schaften
§ 13
Sätze
der
Dabei
bedingt.
Symmetrieelemente
auftretenden
der
Einheiten
verschiedener
Orientirung
I.
sind
aber
auch individuelle
Betracht zu ziehen.
in
Theil
Eigen-
Diese
und deren Ergänzungen § 15
IL Theil entwickeln.
Ausserdem
zu berücksichtigen, dass alle Systeme überhaupt
ist
Ordnung,
als solche I.
genommen
liegt stets die Möglichkeit vor, diese Sättigung zu vollbringen, d. h. den Einheiten die Symmetrieelemente des Systems explicit beizufügen, und dann kommt das System I. Ordnung
zu Stande; in Folge dessen pflegt man solche Systeme auch als symmorphe zu bezeichnen.
Auf Grund dessen können wir aber schliessen, dass in jedem hierzu gehörenden, also ungeaber durch Symmetrieelemente ungesättigte aufgefasst werden können.
sämmtliche
System
sättigten
Arten
annehmen können, welche ihnen
6-zählige Schraubenaxe kann nur
Tetraparalleloeder,
da dieselbe
den Systemen
Lage
centrale
I.
nur
kommt
dieselbe
Ordnung zukommt.
besitzen,
und dabei
6-zählige Symmetrieaxe
als eine
mit der Translation), und solcher
in
Symmetrieelemente
der
in
Theoretisch
eine bestimmte
Lage
relative
Also
z.
B. eine
ausschliesslich
beim
aufzufassen sei (verbunden
Lage zu; 6-zählige Schi'aubenaxen
den symmorphen Systemen fehlen vollständig.
Auch
4-
peripherische
und
3 -zählige
aber
auftreten,
Im Hexa- und
Symmetrieaxen
die
erste
Heptaparalleloeder
kann
nur
die
—
X
Schraubenaxe (mit der Deckschiebung
,
Tri-,
erste
um
Form können auch als
im Tetraparalleloeder.
Axe ausschliesslich in der Form einer
ausser
im
so
Da
dasselbe gilt für die 3-zählige
aber die Aufzählung
den Paralleloedern aller Art
der
viel
die
mehr mit
letzte
der Deckschiebung
—
X
)
vor-
4:
Li
kommen;
expliciter
Axe
u.
s. f.
möglichen Lagen der einzelnen Symmetrieelemente
Raum
in
gefordert hätte, so soll jetzt nur darauf aufmerksam
gemacht werden, in jedem besonderen Falle diesen Standpunkt nicht zu vernachlässigen, da
die
Lagen sämmtlicher Symmetrieelemente
in
den symmorphen Systemen leicht zu berück-
sichtigen ist^).
wenn wenigstens zwei Symmetrieelemente sich in einem Punkte,
Symmetriecentrum, schneiden. Das ist für sämmtliche Symmetrieärten ausser 1, 3, 4,
der Fall.
Die Symmetriecentra erweisen sich als peri9, 10, 16, 17, 21 und 22
pherische, wenn keine in ihnen sich schneidenden expliciten Symmetrieeleraente in das
Innere einer Raumeinheit eindringen (und gehen dann nothwendig durch das Centrum des
Der besondere Fall
primären Paralleloeders)
;
ist,
ist
aber dies für ein Element der Fall, so sind die Symmetriecentra
halbperipherische.
^)
(Groth's
Diese Frage wurde in
dem
I.
Theile der Theorie der Ki-ystallstructur ausführlich, besprochen
Zeitschrift für Krystallographie, Bd. 25, S. 150
ff.).
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513
Unter den Elementen der Verbandsymmetrie sind ausser den peripherischen noch
25.
die
centralen und
Die
die
schneidenden zu
Elemente
centralen
der
unterscheiden.
Verbandsymmetrie sind
wenn
durch das Centrum nicht hindurchgehen,
sie
Zahlen
teristischen
als
aber
welche
diejenigen,
Dazu
Centrum des primären Paralleloeders hindurchgehen.
und die Gleitebenen.
Dieselben Symmetrieelemente können aber auch
durch
das
Schraubenaxen
gehören die
schneidende auftreten und zwar
ihnen entsprechenden charak-
die
auf den Grenzflächen auftreten.
als solche
Die Anwesenheit solcher Symmetrieelemente
ist
mit besonderen Relationen der
Raum-
einheiten verbunden.
Ein centrales, durch zwei auf entgegengesetzt liegenden Flächen durch charakteristische
Zahlen
Element
bestimmtes
IL Ordnung.
charakteristischen
liegenden
aber auch
ordneten
Verbandsymmetrie
der
Colonnen
Diese
Zahlen
bedingt
eindeutig
immer phan erotopische,
sind
dieselben
den Colonnen kryptotopisch auftreten, indem die
in
charakteristischen
Zahlen
zwei
verschiedene
sind,
I.
schneidenden
wenn
Ordnung,
anliegende,
Arten
centrales
ein
von
ist,
Zahlen nicht angezeigt wird.
die
Die
Colonne
diesen Colonnen zuge-
verschiedene
also
Symmetrieelementen ausdrücken, aber das resultirende Symmetrieelemeut
und durch
eine
entgegengesetzt
die
Symmetrieelemente können
Dieselben
sind.
da
so
die
Symmetrieelemente
bezüglichen
bedingen
Grenzflächen
und
direct
nicht
eindeutig
anliegende
bestimmen solche Symmetrieelemente eine Colonne
I.
sind;
eine
sind
Reihe
dieselben
Ordnung, welche aber
der gegebenen Rauraeinheit nicht angehört.
Die Möglichkeit des Vorkommens solcher Symmetrieeleraente
Diese Möglichkeit
berücksichtigen.
und durch
dann
gleich,
so
noch
die
nur
bleibt
sind
in
also
durch die
erster Linie
zu
durch die Gleichheit zweier charakteristischer Zahlen
ist
Lage der bezüglichen Grenzflächen bedingt.
relative
ristischen Zahlen
wird
und solche Symmetrieelemente sind
gegebene Ableitungsform bedingt,
Sind keine zwei charakte-
betrachteten Symraetrieelemente ausgeschlossen,
alle
Möglichkeit
des
Auftretens
der
peripherischen
Elemente
und
zu
berücksichtigen.
26.
Jetzt
wenden wir uns zur Behandlung der Aufgabe der vollständigen Aufsuchung
der Systeme höherer Ordnung.
Ein
mit den
System
solches
allen
wird
und streng bestimmt, wenn ein Paralleloeder
zukommenden charakteristischen Zahlen auftritt. Nun
eindeutig
seinen Grenzflächen
sind aber nicht diese säramtlichen Zahlen von einander unabhängig,
und zu
allererst entsteht
Zahlen zur Bestimmung des Systems nothwendig und hinreichend sind.
Denken wir uns das System in lauter parallele und anliegende ebene Netze getheilt.
Es wird sofort ersichtlich, dass die Bestimmung der Orientirung der der gegebenen Einheit
die Frage, welche
anliegenden und dabei den beiden anliegenden ebenen Netzen zugehörenden Einheiten hinreichend
ist.
In Folge
der
dreidimensionalen
Eigenschaft
des
Raumes
ist
aber
Bestimmung
die
wenigstens dreier Colonnen nothwendig.
Daraus
in
solche
folgt, dass die aufgestellte
ebene
Netze
theilen
Aufgabe dann aufgelöst wird, wenn wir das System
würden,
deren
drei
und
drei
Einheiten
der
anliegend sind.
Abh.
d.
IL
Gl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
66
gegebenen
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514
Diesen beiden aufgestellten Bedingungen entsprechen die in den Figuren 12
Buchstaben ahc angezeigten Flächen;
durch die
liegenden
Es
b'
a',
und
c'
dabei
werden auch
die
— 15
497)
(S.
entgegengesetzt
mit verstanden werden.
bleibt also übriec,
" sämmtliche
Systeme dadurch zu charakterisiren, dass
man —,:;-,—
a'
b'
c'
Es muss sogleich hervorgehoben werden, dass speciell für das Hexaparalleloeder
besonderer Fall vorkommt, in welchem die Angabe der Verbandsymmetrieelemente für
ein
bestimmten Symmetriezahlen gleich macht.
h
und
c
in
Fall,
zum eindeutigen Bestimmen
Angabe zweier Elemente, z. B.
nicht genügend
welchem
die
ist
dass
ist,
speciellen
a,
nämlich der
überhaupt nicht genügt
c,
dessen
ist,
Lage
eine
c
Bezug
in
=
ist; folglich a
5, und das System bleibt unbestimmt.
können wir ausnahmsweise eine andere Grenzfläche, z. B. d,
auf die Grenzfläche a peripherisch
Für diesen
und
Verbandsymmetrieelement 5
gegenseitiges
ihr
b
ist
aber dabei die Orientirung der Einheiten h und
(Systeme IV. und VIII. Ordnung),
solche
Das
des Systems.
Fall
auswählen.
Es sind Systeme möglich, welche für sämmtliche Colonnen phauerotopisch
27.
Solche Systeme wollen wir
in
als
phanerotopische
sind.
bezeichnen, im Gegensatz zu denjenigen,
welchen auch kryptotopiscbe Colonnen vorkommen, und welche wir desswegen
krypto-
als
topische Systeme bezeichnen.
Nun
reichend
ist
ist,
es einleuchtend,
nur die Zahlen
die kryptotopischen
Systeme
dass für die
ist
und
h
a,
c
Bestimmung der phauerotopischen Systeme hin-
bestimmten Syrametriezahlen gleich zu setzen; für
aber noth wendig, die Zahlenpaare
—
—,1
sämmtlich oder
f-,-,
theilweise zu berücksichtigen.
drei das
28.
Ist ein
hiermit eine Colonne
I.
d.
h. die auf die Translation
Colonnensysteme nennen und
ihr
betrachtet werden.
ist
ist
als
aus
Solche Systeme wollen wir
Symbol durch den Buchstaben
c
anmerken.
solcher Flächen
vorhanden,
so
entstehen
Natürlich
zwei
Ordnung, aber verschiedener Richtung, und dieselben bestimmen eine Schicht
Dann
1
Deckoperation hinweisen, so
als
Systeme nur dann möglich, wenn die Colonne die singulare Richtung hat.
Sind wenigstens zwei Paar
I.
welche von den
Ordnung bestimmt und dann kann das ganze System
lauter solchen parallelen Colonnen bestehend
sind solche
gemacht,
ersichtlich
die phauerotopischen sind.
Paar Grenzflächen vorhanden, deren charakteristische Zahl gleich
(welche nicht aufgestellt wird)
ist
Dadurch wird zugleich
System bestimmenden Colonnen
I.
Colonnen
Ordnung.
Ordnung bestehend aufzufassen.
und ihrem Symbol den Buchnur dann möglich, wenn die Schichtebene singulär ist.
das System als aus lauter parallelen Schichten
I.
Solche Systeme wollen wir als Schichtsysteme bezeichnen
staben s beigeben.
Dieselben sind
Endlich kann der Fall vorkommen, bei welchem drei Paar solcher Flächen vorhanden
und trotzdem das System noch nicht dasjenige I. Ordnung ist. Dieser Fall ist aber
Systeme der Heptaparalleloeder möglich, und zwar nur dann, wenn die
bezüglichen Flächen diejenigen sind, durch welche die gegebene Raumeinheit den Raum-
sind,
ausschliesslich für
einheiten einer Schicht anliegend
ist,
dem primären Heptaparalleloeder
sind
welche selbst aber nicht die nächst anliegende
diese
Flächen die Vierecke.
In
ist.
diesem Falle
In
stellt
das System zwei in einander gestellte Raumgitter dar, deren Raumeinheiten aber verschieden
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515
Solche Systeme sind also nothwendig Systeme
orientirfc sind.
Es
29.
selbstverständlich,
ist
dass
Wir
Ordnung.
II.
wollen die-
Symbol den Buchstaben g beigeben.
selben als Gittersysteme bezeichnen und ihrem
Aufsuchung der phanerotopischen Systeme
die
viel
einfacher vor sich geht, als die der kryptotopischen.
Für
die letzteren sind folgende Sätze zu berücksichtigen.
Satz.
1.
Schraubenaxe singulärer Richtung oder eine singulare
Tritt eine 2-zählige
Gleitebene mit singulärer Gleitrichtung central als ein Element der Verbandsymmetrie auf,
Ordnung und
so sind die senkrechten Colonnen höchstens II.
wendiger Weise
Reihen noth-
die senkrechten
Ordnung.
I.
man sich
dem gegebenen
Dann erhält
central liegenden Symmetrieelement entsprechenden Deckoperation unterwirft.
man eine andere Einheit JB. Unterwirft man die letztere der analogen Operation, aber in
Bezug auf das in derselben central auftretende Symmetrieelement und dabei in entgegenDer Satz
lässt sich
ganz analog dem Satze § 25,
eine der gegebenen anliegenden Raumeinheit
gesetzter Richtung, so
kommt mau
A
Der Satz
gilt natürlich
da,
wo
Da
ist,
resp.
wenn
Symmetrieelemente
diese
Derselbe Satz
axen
A
eine Gleitebene
gleich orientirt
Die Coloune
liegt.
ist
Ordnung.
ist
ist,
ist,
ebenso wie da,
es also ein centrales
so
ist
eine
Element der
Schraubenaxe
derselbe Satz
dann
auch
explicit auftreten.
ebenfalls für die 4-zähligen
und 6-zähligen Symmetrie- und Schrauben-
da dieselben auch zugleich 2-zählige sind.
giltig,
Satz.
2.
ist
I.
Reihe
2-zähhge Symmetrieaxe zugleich
aber eine
und eine Symmetrieebene zugleich
giltig,
dieselbe der
das Symmetrieelement kryptotopisch
dasselbe phanerotopisch auftritt (in letzterem Falle
Verbandsymmetrie).
und
zu einer neuen Einheit C, welche mit
und mit derselben in einer und derselben Colonne
also höchstens IL Ordnung, und die Reihe nothwendig
ist
wo
Theil beweisen, indem
I.
vorstellt
Tritt eine 4-zählige polare (d. h. rechte oder linke)
Axe
central
auf,
und
enthalten dabei alle Raumeinheiten Schraubenaxen von einem und demselben Windungssinn,
so sind die zu ihnen senkrechten Schichten höchstens
wendig
Der Beweis
Da
A
-
die
ebenen Netze noth-
dieses Satzes ist
dem
des vorigen ganz analog.
aber die 4-zählige Symmetrieaxe zugleich Schraubenaxe mit der Deckschiebung
und
ist,
IL Ordnung und
Ordnung.
I.
die letzte zugleich als eine polare
so gilt der Satz
Natürlich
Axe mit
X
der Deckschiebung - anzusehen
ist,
auch für diese Axen.
ist
aber bei dieser Auffassung für 4-zählige Symmetrieaxe die Decktranslation
X
in ihrer
kürzer
Richtung 4 Mal und für 4-zählige Schraubenaxe mit der Deckschiebung - 2 Mal
Richtung der polaren Schraubenaxe anzunehmen.
Windungssiun der der gegebenen Raumeinheit anliegenden Raumeinheit A der
entgegengesetzte, so erhalten wir nach dem Ausführen der elementaren Deckoperation
als
die Decktranslationsgrösse in der
Ist der
direct
um
die centrale
Schraubenaxe eine Einheit 5, welche mit
den der gegebenen entgegengesetzten
aus
5
durch die Deckoperation
die in
B
Es
A
denselben Windungssinn, also
folgt daraus,
central
dass die Einheit 0,
auftretende
kommt, nicht dieselbe Orientirung wie A
Drehung um die 2-zählige Axe erhalten lässt.
Richtung zu Stande
derselben durch
um
besitzt.
Axe
in
besitzt,
welche
entgegengesetzter
sondern sich
66*
aus
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516
Colonnen sind noch folgende Sätze
Speciell für die kryptotopischen
30.
Tritt eine, einer kryptotopischen Colon ne parallele, 2-zählige
giltig.
Schraubenaxe singulärer
Richtung oder eine singulare Gleitebene mit singulärer Gleitrichtung central und kryptoauf, so kann keine der gegebenen anliegende Einheit dieselbe Orientirung mit
topisch
den
angehörenden
der Colonne
anliegenden
Einheiten
besitzen;
Fall der monoklinen Syngonie mit kryptotopischer Gleitebene
in
ausgenommen wird der
Bezug auf
die Einheiten,
welche mit der gegebenen diese Ebene gemeinsam haben.
wir auf Grund der entgegengesetzten
Für sämmtliche übrigen Fälle ist diese Reihe
keine singulare; also entsteht in allen diesen Fällen ein ebenes Netz I. Ordnung, und diesem
Netze würden auch die beiden der Colonne angehörenden und der gegebenen Einheit anliegenden Einheiten zukommen; die Colonne würde somit keineswegs kryptotopisch sein.
Für die der gegebenen anliegenden und dabei, zusammen mit der gegebenen, der zur
In dem letzten Ausnahmefalle allein
Annahme eine singulare Reihe I. Ordnung.
erhalten
kryptotopischen Colonne senkrechten Colonne angehörenden Raumeinheiten
ist
ganz
zulässig,
ihnen die gleiche Orientirung mit derjenigen Einheit zuzusprechen, welche der kryptotopischen
Colonne
aber
angehört,
würde durch
gegebenen
der
Drehung um
die
die
Einheit
nicht
anliegend
Diese
ist.
Axe oder Spiegelung
2-zählige
Orientirung
Symmetrieebene
in der
bestimmt werden.
Ganz Analoges
Axe
(d. h. eine
die kryptotopischen Colonnen, in
gilt für
welchen eine 4-zählige polare
rechte oder eine linke) central und kryptotopisch auftritt.
Die der gegebenen
Einheit anliegenden, und den in Bezug auf die kryptotopische Colonne senkrechten Colonnen
angehörenden Raumeinheiten können nicht mit den der kryptotopischen Colonne angehörenden
Einheiten
gleiche Orientirung
Drehung um
31.
eine 2-zählige
Wenn
besitzen,
Axe
Raumeinheiten
die
diejenigen ausgenommen,
durch
deren Orientirung
aus der gegebenen hervorgeht.
symmetrisch sind, so
explicit
kommen
folgende Fälle
in Betracht.
Entweder
Symmetrie der Verbandsymmetrie untergeordnet.
die explicite
ist
der Fall, so wird die
Ist dies
in
a)
Ordnung im Vergleich mit der Ordnung der Systeme,
welchen die Verbandsymmetrie dieselbe
viele
Male geringer,
als
aber die Einheiten asymmetrisch sind,
ist,
Einheiten in der Symmetriegrösse enthalten sind.
Dadurch
um
ist
so
das
Auffinden solcher Systeme vereinfacht.
Oder
die
b)
Elemente
symmetrie unabhängig.
Ordnung der Systeme
In
der
expliciten
diesem
dieselbe.
Falle
Solche Systeme
asymnietrischen durch einfache Einschaltung
Bei dieser Einschaltung
ist
Symmetrie sind von
bleibt
der
denjenigen
der Verband-
auch bei derselben Verbandsymraetrie
lassen
sich
auch
betreffenden
aber stets zu berücksichtigen,
aus
die
den entsprechenden
Symmetrieelemente ableiten.
ob die Lage der Elemente
der Verbandsymmetrie diese Operation zulässt.
32.
Speciell für die
Systeme der hexagonalen Syngonie
symmetrie in den zur Hauptaxe senkrechten Schichten
und zwar
ein
ist
dies lediglich für Tetraparalleloedersysteme der Fall.
2-zähliges
wären
tritt
als
Element der VerbandSymmetrieaxe auf
allein die 3-zählige
Würde
es
möglich
sein,
als ein Element der Verbandsymmetrie einzuführen, so
Ordnung gewesen, was aber unmöglich ist (§ 33, I. Theil), da der
Wird der
gemäss nur Schichten III. und IV. Ordnung möglich sind.
Symmetrieelement
die Schichten II.
Ableitungsform
3-zähligen peripherischen Symmetrieaxe die singulare Symmetrieebene hinzugefügt, so wird
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517
und
dadurch dieselbe explicit eingeführt,
Systems bleibt dieselbe.
I.
Art nicht
Da
Ableitungsform,
die
Folglich kann die 6-zählige
Äxe
folglich
die
Ordnung
des
der zusammengesetzten Symmetrie
Element der Verbandsymmetrie der Schichten auftreten.
als
aber das Inversionscentrum der 3-zähligen Symmetrieaxe nicht hinzugefügt werden
kann, so kann auch die 6-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie
Art nicht
I.
als
eben solches Symmetrieelement auftreten.
Da
auch
Symmetrieaxe ebenfalls
6-zählige
die
der Schichten nicht auftreten kann, so
Element der Verbandsymmetrie
als
liche Systeme der Symmetriearten 18, 20, 21, 22, 24,
in welchen 6-zählige
Systeme,
(d. h.
der Systeme
II.
Diese Aufsuchung beginnt mit den Triparalleloedersystemen
und Heptaparalleloeder und
1.
;
und höherer Ordnung.
ihnen
folgen die
Hexa-
Dabei folgt diese Untersuchung
zuletzt die Tetraparalleloeder.
Ordnung der Reihe der Symmetriearten, und
jede Symmetrieart der Reihe der entsprechenden Typen I. Ordnung.
der Reibenfolge der Ordnungen,
für jede
V
Die Resultate sind in der Tabelle
In der
3.
Columne wird
1.
die Symmetriegrösse,
welche
zusammengestellt,
Ableitungsform angegeben, in der
die
in der 4. sind die
besonders augezeigt, in der
Art
sind.
Jetzt verfolgen wir den Ableitungsgang
33.
25 und 27
Deckaxen oder 6-zählige Axen der zusammengesetzten Symmetrie
Schichtsysteme
auftreten)
sämmt-
aus alledem der Schluss zu ziehen, dass
ist
Nummern
der Systeme
der Typus des Systems
5. ist
2.
I.
8
Columnen
für
enthält.
die Symmetrieart, in der
für jede
Ordnung angegeben,
Symmetrieart
die
Columnen
6 und 7 enthalten die charakteristischen Symmetriezahlen, die erstere für die explicite und die
für
letztere
Verbandsymmetrie;
die
endlich
die
Columne enthält das Symbol des ge-
8.
fundenen Systems.
Es
34.
ganz offenbar,
ist
für
dass
resp. eine resp. keine
Systeme der triklinen Syngonie nur drei Ab-
die
leitungsformen zulässig sind, und zwar all,
laa und aaa,
d.
h. solche,
in
welchen zwei
von den Grenzflächenpaaren mit Decktranslation verbunden
ist.
Diesen
Ableitungsformen entspricht ein Schicht-, ein Colonnensystem und ein individuelles System.
Für
Syngonie sind lediglich drei diesen Formen entsprechende Systeme möglich.
die trikline
Für
35.
die
monokline Syngonie sind dieselben Formen
je zwei Varietäten der ersten
während
zulässig
für die
ist,
Für
die 2.,
3.
also
die 5.
und
4.
Typen 3
l;t'III
und
3;^ III
zulässig,
nur je eine Variation von jeder Form
nur je drei Systeme.
Symmetrieart sind aber noch die untergeordneten Symmetriearten und zwar
In
berücksichtigt.
3X5 + 3X3 = 24
Für
und der zweiten Form
III,
Auf Grund der Principien
Typen 2111, l/^III und 2;(;III
also zusammen je fünf Systeme,
giltig.
der Lehre von der scheinbaren Symmetrie sind aber für die
Folge
dessen
erhalten
wir für
diese
Symmetrieart
Systeme.
und andere Symmetriearten der rhombischen Syngonie gelten dieselben
Ableitungsformen, aber für manche Typen wird vom Standpunkte der scheinbaren
Symmetrie die Anzahl der Varitäten grösser angenommen werden müssen. Für den Typus
36.
die 6.
299 III mit expliciter Symmetrie
12
sind jetzt
lal von IIa und aal von ala zu
unter-
Dadurch wird die Anzahl der Varietäten bis auf 7 vergrössert. Von demselben
Standpunkte aus kann ein und dasselbe explicite Symmetrieelement auf verschiedene Weise
scheiden.
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518
Für den Typus 5
hinzugefügt werden.
nach von 5 zu unterscheiden, wenn auch
Für den Typus 3 9?
sind.
Hier
kommt
sind
III
die
Symmetrieaxen
die
Axen
4'
und
wieder die Symmetrieebenen
III sind
ein besonderer Fall vor,
und
4'
8'
Lage
der
8' unter einander gleichwerthig
1'
und 4 ungleichwerthig.
indem einer und derselben Symmetrieart, einem
und demselben Grundtypus 4 III zwei verschiedene Systeme angehören, welchen eigentlich
und dasselbe Symbol 5 (2 IIIJ*^ zukommt, da auch die beiden zu Grunde liegenden Punktsysteme sich als identische erweisen und zwar als das Punktsystem 5 (Taf. IV). Die Systeme
ein
müssen aber verschieden
zwar laa und aal
Lage der
expliciten
sein,
da ihnen verschiedene Varietäten der Ableitungsformen und
Die Verschiedenheit dieser Varietäten
entsprechen.
Symmetrieaxe 6
aber
ist
aus
der
kommt dadurch zum
Die Verschiedenheit
ersichtlich.
Ausdruck, dass in dem ersten die besondere Symmetrieaxe des Systems (welche sich mit den
anderen nicht schneidet)
peripherische
kommen
zu lassen,
Für
37.
vorkommt, während
explicit
Um
(der Grenzfläche & zugeordnet).
ist
ist
dem Symbol
dem zweiten
in
des zweiten Systems ein Apostroph beigegeben.
Systeme der tetragonalen Syngonie behalten dieselben
die
Axe eine
zum Ausdruck
dieselbe
diese Verschiedenheit
drei
Ableitungsformen
welche aber in Folge der Anwesenheit der 4-zähligen Deckaxen
ihre Giltigkeit,
nur in
vorkommen, und zwar all, laa und aaa.
Für die vollständige Darstellung der Systeme bleiben nur die Grundtypen und untergeordnete Symmetriearten zu berücksichtigen. Vom Standpunkte der Lehre über scheinbare
Symmetrie sind aber solche explicite Symmetriearten wie 12 5 6 und 14 5 8 u. dgl. von
drei typischen Varietäten
einander zu untersclieiden.
Für
38.
die
Systeme der hexagonalen Syngonie
Hier werden auch nicht
ist
eine einzige Ableitungsform
Symmetriearten vertreten
alle
und zwar
aaa
weil
a)
giltig.
nicht
für
sämmtliche Symmetriearten die Grundtypen überhaupt vorhanden sind, sondern lediglich für
Symmetriearten der trigonalen Hyposyngonie, b)
speciell für die 16.
hierzu gehörenden Systeme
weil
Dadurch
39.
Auch
desswegen,
Aus diesem Gi'unde muss
2-zähligen vorkommen.
treten.
einfach
für die Systeme der kubischen Syngonie
anzeigen, wie darauf
.40.
Systeme
sind.
Da
Symmetrieaxe
explicit auf-
im
III.
aber
ist
allein die
explicit auftreten.
Ableitungsform
aaa
In Folge dessen lassen
der Verbandsymmetrie (ebenso wie die expliciten) kürzer
sich die charakteristischen Zahlen
handen
die 3-zählige
Symmetrieart fehlen die
Symmetrieelementen keine
lassen sich die untergeordneten Symmetriearten bestimmen.
auch hier muss die 3-zählige Symmetrieaxe
giltig;
den
unter
§ 11 hingewiesen wurde.
Ordnung
sind
wenn
nur dann möglich,
für Triparalleloeder
3-zählige
3-zählige Symmetrieaxen
Deckaxen vor-
keinenfalls
als
Ele-
mente der Verbandsymmetrie auftreten können, so bleiben lediglich die- polaren 3-zähligen
Schraubenaxen zulässig. In einem und demselben System können dann niemals polare
Axen von entgegengesetztem Sinne
den
Symmetrieelemente
3-zählige
auftreten,
da Kraft der Sätze § 15 die resultirensein würden, welche aber hier aus-
Symmetrieaxen
geschlossen sind.
Die
Zahlen
einzige
sind.
Annahme,
hier
zulässige
°
Ableitungsform
°
ist
—— —
,
,
wo a und
a'
verschiedene
a' a' a'
Die Zähler dieser Ausdrücke sind nothwendiger Weise die gleichen, gemäss der
dass 3-zählige
Deckaxen vorkommen.
Solche
Systeme
können
also
aus
lauter
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519
Ordnung bestehen, welche zu den Deckaxen senkrecht
parallelen ebenen Netzen
I.
Daraus
Systeme für die kubische Syngonie unzulässig
folgt, dass solche
Es
bleibt
also
Syngonie
hexagonale
die
allein
zu
sind.
sind.
berücksichtigen,
und
zwar die
Symnietriearten der trigonalen Hyposyngonie.
Die 16. Symmetrieart
ist
offenbar zulässig, indem hier als Verbandsymmetrieelemente
Axen
rechte resp. linke 3-zählige
auftreten.
des Ergänzungssatzes § 15 ermittelt werden,
Die Lage dieser Äxen kann leicht auf Grund
indem man
sich zuerst eine explicite 3-zählige
Axe
zukommenden
die Axen
von entgegengesetztem Windungssinn werden auf diese Weise verschiedene Lagen gefunden.
Für die rechten Axen findet man den Schnittpunkt einer Axe mit den Flächen a und c
(Fig. 18), indem man auf der rechten Mittelkante der Fläche a den Mittelpunkt e durch Gerade
mit den Scheitelpunkten A verbindet, und dann bestimmen die Schnittpunkte d und d' dieser
Geraden A e mit den horizontalen Diagonalen der Flächen die Lage einer rechten 3-zähligen
Schraubenaxe. Für die linken Axen wird eine analoge Construction gelten mit dem einzigen
Unterschied, dass man dazu den Punkt e auf der linken Mittelkante auswählt (Fig. 19).
Symmetrieaxe denkt, und dann dem Satze gemäss
die resultirende
Drehung mit
der Translation
elementaren,
rechten
linken
oder
Unter anderen Symmetriearten sind nur diejenigen
der ihr
aufsucht.
zulässig,
deren
Für
Systeme aus den
eben beschriebenen zwei Systemen sich durch Hinzufügung der expliciten Symmeti'ieelemente
ableiten lassen (§ 31).
Windungssinn
Da
auftreten,
aber in diesen Systemen lediglich die polaren
so
ist
die
Hinzufügung
der
Elemente
der
Axen mit einem
geraden
Symmetrie
(Symmetrieebenen, Gleitebenen, zusammengesetzte Symmetrie) ausgeschlossen.
Es
19.
bleibt
allein
die
Symmetrieart entspricht.
Hinzufügung der 2-zähligen Symmetrieaxen möglich, was der
Die Anwendung der Betrachtungen des § 31 kann den directen
Beweis für die Möglichkeit der betrefi'enden zwei Systeme beibringen.
Annahmen
41.
eine Zahl
Sämmtliche anderen
sind unzulässig.
Die Systeme IV. Ordnung sind nur dann möglich, wenn
die
4»
inclusive der Einheit,
ausgedrückt werden kann,
Die niedrigste hierzu gehörende Syngonie
wo n
ist
eine ganze Zahl,
die monokline,
Symmetriegrösse durch
und zwar
ist.
die 5. Symmetrieart.
Dazu gehören folgende Ableitungsformen
Für phanero topische Systeme erhalten wir
ah\ u. dgl.), wo a und h verschiedene Zahlen sind, ahh (resp. aah u. dgl.) und
endlich ahc, wo ahc drei Zahlen bedeuten, welche zwar verschieden, aber nicht unabhängig
sind, da sonst dieselben sich sämmtlich auf 2-zählige Symmetrieelemente beziehen würden und
wir ein System VIII. Ordnung erhalten hätten; für die Systeme IV. Ordnung muss ein z. B. a
:
\ah
(resp.
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520
entsprechendes Symmetrieelement in Bezug auf die durch h und
ausgedrückten Symmetrie-
c
elemente das resultirende Symmetrieelement sein.
Für kryptotopische bysteme erhalten wir
—
;
—
a\b.
;
a'
a'
—
wo
i,
stets
zwischen 3 Zahlen a,
a'
—
—:
1; 1,
;
a"
a'
i
-;
fj
1,
;
a'
und i
— — — —
;
:
—
1,
b-.
a'
a'
eben
die
•
,
a'
a'
b\ o,
•
a'
angedeutete
Relation
a'
besteht.
Hierzu gehören nur zwei Grundtypen 2 % III und 3 % III.
den Standpunkt der scheinbaren Symmetrie berücksichtigt, so unterscheidet
Wenn man
man
den ersten Typus \ab von al>\.
für
•'
a'
und von a^-A, —.hb von a-,-a\
a'
b'
Ableitungsformen
°
die
b'
—hl von l^c
ahb von aat, —,11 von \^,\,
——
a'
o'
und
1
a' a'
— —b
b'
sind aber für den-
a' a'
selben unmöglich (1. Satz, § 29).
Für den zweiten Typus
aber
sind
Ableitungsformen lab, abc,
die
^
-, & 1,
un-
r, ^
möglich, da die Richtungen zweier Colonnen nicht die singulären sind, und speciell die zwei
Verbandsyrametrieelemente
schneidende
als
Symmetrieelementen zwei der-
dass unter drei zu Gebote stehenden
letzten in Folge davon,
selben
und
auftreten
desshalb
Gleichheit
die
zweier charakteristischer Zahlen bewirken.
Alles
wollen
berücksichtigt,
dies
wir
Ableitungsform
jede
für
die
entsprechenden
charakteristischen Zahlen einführen.
was
Das,
den vorigen Systemen ganz ausnahmsweise auftrat, und zwar die Er-
in
mit
scheinung der Systeme
Symbolen,
gleichen
ist
jetzt
als
gewöhnlicher Fall zu
ein
Jedes Mal wird aber die Verschiedenheit der Systeme durch Verschiedenheit der
bezeichnen.
Varietäten der Ableitungsformen bewiesen.
Für
42.
Systeme der rhombischen Syngonie sind dieselben Ableitungsformen
die
so dass bei der
Aufsuchung nur
und das Princip der scheinbaren Symmetrie nicht ausser Acht zu lassen
sichtigen
Speciell
für
die
Symmetrieart
8.
Symmetriearten einzuführen.
ist
giltig,
Elemente der Verbandsymmetrie zu berück-
die bezüglichen
noch
die
explicite
sind.
Symmetrie untergeordneter
Mit der Einführung des Inversionscentrums fallen von
selbst
kryptotopische Ableitungsformen weg.
43. Bei der
Aufsuchung der Systeme der tetragonalen Syngonie
formen dieselben, aber
Zahlen 3 und
=
3,
wenn a
muss
so
=
3',
kommt
ein besonderer
ebenso wie 3' und
7,
a'
so
7'
zwar
sind
Umstand hinzu, indem
die Ableitungs-
die charakteristischen
immer unter einander verbunden
auftreten, da schon
Wenn
Lage des 4-zähligen Symmetrieelementes eindeutig bestimmt.
eine dieser Zahlen die
a
es
=
7,
müssen
wenn
die
=
3,
so
muss
Zahlen
3'
und
für
die
ft
c=7
7'
sein;
wenn
& =
3',
so
und
vereinigt auftreten,
5
ist
c
=
tritt
7',
dann
explicit auf.
Nimmt man
teristische
ausdrückt,
in
Rücksicht,
dass
und nur
drei
andere Gruppen
zu Gebote
nur dann zwei solche Gruppen, welche weder
wenn
diese Zahlen vereinigt in einer
dann der
Systeme IV. Ordnung sämmtliche charak-
Symmetriezahlen sich in 4 Gruppen sondern, von denen eine die explicite Symmetrie
Fall,
wenn
3, 7
noch
Gruppe enthalten
5 explicit auftritt.
stehen,
3',
sind.
7'
so
findet
man
leicht,
dass
enthalten, entstehen können,
Das
ist
ja aber wieder
nur
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521
Von
(oder
abgesehen, sind
diesem Fall
29 zu Hilfe zu nehmen, b) oder
die Sätze §
Schicht IV. Ordnung bestimmt,
eine
Annahmen
nur zwei
zulässig:
dann haben wir ein System mit lauter polaren Axen
7),
=
&
und nur
Verbaudsymmetrie dadurch beschränkt, dass
3, c
die
=7
die
ist
(auch i
=
Lage und
3',
=3
entweder a
a)
in centraler
=
c
es sind
dann
7');
ist
Auswahl der anderen Elemente der
ihnen entsprechenden Deckoperationen die
Deckung bringen müssen.
peripherischen 4-zähligeu Symmetrieaxen zur
Treten die beiden Zahlen vereinigt auf, so erhalten wir für die Systeme die analogen
Einschränkungen.
Treten endlich diese Zahlen gar nicht auf, so
pherischen 4-zähligen Schraubenaxe mit der Deckschiebung -
das der Fall der peri-
ist
und wir erhalten wieder
,
die
analogen Beschränkungen in der Auswahl der übrigen Symmetrieelemente.
Für
die hierzu
gehörenden Systeme
Annahme
die
ist
der der singulären Ebene parallelen
kryptotopischen Colonnen ausgeschlossen, da wir derselben gemäss Schichten von mindestens
VIII.
Ordnung erhalten
44.
Für
was für
hätten,
Symmetrieart der Fall
allein für die 20.
Die einzige zulässige Ableitungsform
ist
—— —
Ch
Uebrigens kann sich
1 (1 IIl3)'4,5,
Da
45.
Ol
Demgemäss
.
lässt sich
System
ein einziges
dem monoklinen System
dasselbe System aus
(5.
Symmetrieart)
3-zähligen Symmetrieaxe ableiten lassen.
auch in den Systemen der kubischen Syngonie die 3-zählige Symmetrieaxe nothso sind dieselben aus denjenigen abzuleiten,
auftritt,
hier zulässige Ableitungsform a a^ a^ (resp.
dieser durch Verschwindenlassen
10
8, 9,
der
8.,
ah
c)
der 3-zähligen
28. Symmetrieart die Systeme 8, 9
Systeme
was
enthalten,
(X
durch Einführung der expliciten
wendiger Weise explicit
die
ist.
unentbehrlich die 3-zählige Symmetrie-
(unter den Systemen der trigonalen Hyposyngonie).
ist
m nden.
;f
ist
Die Symmetriegrösse würde dann wenigstens 12
axe explicit anzunehmen.
3
Systeme unzulässig
diese
Systeme der hexagonalen Syngonie
die
für
und 10 der
die 30.
denen die einzige
angehört und deren Symmetrieart sich aus
Symmetrieaxe ergiebt.
Also sind für die
Symmetrieart, für die 29. Symmetrieart
6.
Symmetrieart die Systeme 11 und 12
der
14.,
und für die 32. Symmetrieart
die Systeme 9 und 10 der 15. Symmetrieart zu berücksichtigen, und zwar der Prüfung
zu unterziehen, ob die Einführung der 3-zähligen Symmetrieaxe explicit zulässig ist.
für
31. Symmetrieart
die
Nun
ist
die
Systeme 15 und 16 der 13.
leicht zu constatiren,
dass
dies wirklich für die
Es
46.
die 3-zählige
der
Form
schlossen.
zulässig.
offenbar,
ist
dass
Deckaxe nicht
polarer
Schraubenaxen
sondern
als
auftritt.
Folglich sind solche Systeme
Da
III4),
der
Fall
Systeme VI. Ordnung nur dann möglich
die
explicit,
Systeme 6 (1
ll;tl(3zIII)
6^(1^1114), 2,{x^){\7illl^\ 6^(1;^' III)', 11(3111),
diese Weise erhalten wir die aufgestellten Systeme.
für
ein
Dabei
ist
aber
die
Auf
ist.
wenn
sind,
Element der Verbandsymmetrie,
gerade Symmetrie
einzige Symmetrieart
eine
5 (1 IIIJ,
und zwar
aber für die hexagonale Syngonie überhaupt nur die Ableitungsform
also in
ausgedie
———
et
zulässig
ist,
so
können
die
elemente vorkommen, sondern
Schraubenaxen
nicht
in
nur in versteckter Form.
der
der
schneidenden
als
peripherische,
schneidende auf.
Abh.
d.
IL
dieser Betrachtungen findet
Gl. d. k.
Ak.
d.
Wiss.
XX. Bd.
II.
Abth.
man
Oj
0/
Symmetrie-
Als Symmetrieelemente des Ver-
bandes treten jetzt die 2 -zähligen Deckaxen, und zwar theils
Auf Grund
19.
die aufgestellten
Systeme.
67
theils
als
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522
Systeme VIII. Ordnung muss die Symmetriegrösse wenigstens 8 betragen,
Die niedrigste hierzu gehörende Syngonie ist die
oder eine vielfache Zahl davon sein.
rhombische und zwar die 8. Symmetrieart.
47.
Für
die
Die einzige Ableitungsform der phanerotopischen Systeme ist ahc, wo ahc charakZahlen sind, welche sämmtlich unabhängige Symmetrieelemente ausdrücken, d. h.
teristische
Zahlen ausgedrücktes Syraraetrieelement kann ein resultirendes der
kein von einem dieser
beiden anderen
Von
sein.
beiden hierzu gehörenden Grrundtypen 4;(III und 5;t;III kann dies
nur für den ersteren der Fall sein, da für den zweiten solche drei Symmetrieelemente fehlen,
welche zugleich verschieden sind und von welchen keines zugleich ein schneidendes
ist
ist;
dies
nämlich für die besondere Schicht der Fall, deren Colonnen nicht singulär sind; für diese
Schichten
und
1'
als
Elemente der Verbandsymmetrie können nur
das
als
centrale
Elementen würde aber
symraetrie
die
Annahme
Diesem
ausschliessen.
unabhängigen
eines jeden
und 5
die peripherischen,
als
Die Annahme
Bedingung genügen.
dieser
5'
Typus würden somit
dritten
lediglich
zweier
vOn
diesen
Elementes der Verband-
Systeme
kryptotopische
entsprechen.
Für eine singulare kryptotopische Colonne,
z.
B. die Colonne
—
,
sind die Symmetrie-
(X
demente
2 und
5,
2'
die
Combinationen
centrale
als
6,
mente treten central nur
5'
5'
— — —
,
,
y
\)
Verbandsymmetrieelemente,
in versteckter
Li
,
V
—
Form
auf,
d.
ausgeschlossen
h. kryptotopisch)
es
;
zulässig; in allen tritt central kryptotopisch ein
Ele-
(diese
sind
also
nur
Symmetrie-
Li
und dann sind Kraft des
element (Schraubenaxe resp. Gleitebene) auf,
Satzes,
1.
§ 29,
die
übrigen Colonnen phanerotopische.
Wenn
aber eine nicht singulare Colonne kryptotopisch
werthigen Colonnen kryptotopisch, und dies
aber hier nothwendiger Weise die schneidenden Elemente
so sind die beiden gleich5;^ III
der Fall.
Da
der Verbandsymmetrie auftreten,
gehörenden nothwendiger Weise die centralen,
so sind die zu entgegengesetzten Grenzflächen
d. h.
ist,
den Typus
speciell für
ist
5' oder 5.
Für die Systeme
unabhängig
ist,
oder
übrigens unmöglich
Für
die
unabhängig
1.
Art erhalten wir
a
~&
ist)
Systeme
c,
wo
c
von
und sogar mit
2.
als
a, a'
Ableitungsformen
und
b
die
wo
^
nicht unabhängig zu
b gleich sein kann, aber
Art erhalten wir
— &1,
h von
sein
a und
a'
braucht (was
keineswegs mit a oder a' (§ 30).
Ableitungsform «r,,-,,
wo a von
b
und
b'
ist.
Bei der Anwendung der angegebenen Principien entsteht uns nämlich bei der Aufsuchung der Systeme abc eine specielle Schwierigkeit in Anbetracht der von dem Standpunkte der scheinbaren Symmetrie aufgestellten Forderungen, da säramtliche drei Colonnen
in dieser Hinsicht gleichwerthig sind.
einer speciellen
Verbandsymmetrie
die
Symmetrieebenen
zwei peripherischen Symmetrieebenen
ebene
Diese Schwierigkeiten werden durch die
Anordnung der Aufsuchung
(4, 5, 6, 7, 8, 9),
ebenen (10, 11, 12, 13).
(1)
(2, 3),
endlich die Systeme
Nun werden auch
beseitigt.
sämmtlich
Zuerst
au,
nimmt man
als
Anwendung
Elemente der
dann folgen Systeme
mit nur
weiter diejenigen mit einer einzigen Symmetrie-
mit Inversionscentrum,
die Gleitebenen
aber ohne Symmetrie-
eingeführt,
und zwar
zuerst
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523
und zwei Gleitebenen
eine Syrametrieebene
Symmetrieebene und eine Gleit-
(14), weiter eine
ebene (15, 16, 17) und endlich das Inversionscentrum mit einer Gleitebene (18, 19, 20, 21,
22, 23).
Somit
Ableitung sämmtlicher Systeme erschöpft, in welchen Symmetrieebenen
ist die
Nun
und Inversionscentrum vorkommen.
bleiben die Systeme mit Deckaxen und Gleitebenen
Demgemäss werden
allein aufzusuchen.
das System mit
zuerst
drei Gleitebenen (24),
die
Systeme mit zwei Gleitebenen (25, 26, 27) und die mit einer einzigen Gleitebene (28, 29,
30, 31, 32, 33) aufgesucht. Auf diese Weise können wir uns vergewissern, dass dabei weder
noch zwei der Systeme identisch
seien.
Systemen der tetragonalen Syngonie
giebt
System übersehen
ein
48. Unter den
ist,
aber hier kann a weder
mit der Ableitungsforra a&c,
wäre
würde
dies der Fall, so
Sind die Systeme kryptotopisch,
gelten als
die ersteren
diejenigen mit
sind
so
—hh
die Ableitungsformen
Für
bestimmen.
3', 7'
resp.
da schon
c ist,
in sich
und
zwei
allein
erste
— hc,
letzteren gelten
Für
wo
natürlich h nicht unab-
Glieder
Form
dieser
die
Ableitungsformen
System vollständig
das
wo
ctj-,^,,
b,
c die
Zahlen 3,7
enthalten.
die polaren 4-zäliligen
Ableitungsformen
sein
kryptotopischen Colonne
a'
ist nur möglich, wenn
Für solche Systeme gelten
Hier treten aber zuerst die Colonnen VIII. Ordnung auf.
die
enthalten;
Ordnung zu Stande kommen.
der
h c
die
sich
mit kryptotopischen Schichten zu unterscheiden.
denjenigen
a'
hängig von
phanerotopische
in
Einführung eines einzigen Elementes der Verbandsymmetrie
die
das ganze System eindeutig bestimmen, und dann das S3'stem IV.
singulärer Richtung von
auch
es
3', 7'
noch
3, 7
—11
können, also nur
Dies
Schraubenaxen kryptotopisch auftreten.
~hh, wo
und
2', 4',
6',
8'
keine
a, a'
Die
bezeichnen.
Elemente
erste
geraden
Symmetrie
von diesen Formen gehört den
Systemen mit Schraubenaxe eines und desselben Windungssinnes,
mit Axen von verschiedenem Windungssinne an.
der
üeberhaupt
ist
die
zweite den Systemen
dies
nur für die 13. Sym-
metrieart der Fall.
Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich aus den vorigen ableiten durch einfaches
Einführen der Elemente der expliciten Symmetrie.
wo
Fall,
der
sein,
5 explicit auftritt,
Verbandsymmetrie untergeordnet
Diese
ist.
die
singulären Schichten
dieser
(t
Es bleiben
halten.
aber für die Systeme nicht der
können
Systeme
also die
Formen
^hh
centrale
h
die centralen
auf Grund des
1.
zukommende
phanerotopische
1.
nicht
Satze § 29 zu Folge
Systeme keine kryptotopische Colonnen
oder —,hc allein zulässig.
ent-
Hier sind für a und a'
a'
Elemente der Verbandsymmetrie ausgeschlossen,
wären
dem
ci
a'
ihr
ist
da wir sonst die Systeme IV. Ordnung erhalten hätten;
können aber
Für
Das
da wir für dieselben eine explicite Symmetrie besitzen, welche
also
peripherische
allein
zulässig.
Symmetrieelemente singulärer Richtung ausgeschlossen, und zwar
aber für die Gleitebene
Satzes, § 29,
Gleitrichtung
Schraubenaxen sind nur dann
keine
zulässig,
singulare
wenn
sie
ist.
1'
ist
Auch
dies
nicht
nicht
der Fall,
singulare
da
die
horizontale
für die Glieder der kryptotopischen Colonne
keine neue Verbandsymmetrieelemente mit sich einführen^).
') Was die Systeme (15) (1 IIY)].,
(17) (1 III)^ u. a. betriiFt, in welchen mehr als zweizählige polare
Schraubenaxen kryptotopisch auftreten, so erleiden für dieselben die Sätze § 23 in ihrer Anwendung eine
Modification.
Die Sache ist aber so einfach, dass es vielleicht ganz genügend ist, darauf hinzuweisen.
67*
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524
49.
Was
Systeme der kubischen Syngohie
die
so sind die der 28.
betrifft,
von vornherein ausgeschlossen, die der 29. aus den Systemen der
der 14.,
der 31. aus denen der 13. und die der
die
denen der
32. aus
Symmetrieart
8., die der 30. aus
15.
denen
Symmetrieart
auszuwählen, und zwar unter denjenigen, welche die Einführung der 3-zähligen Symmetrieaxe
zulassen,
welche noth wendiger Weise explicit
Daraus folgt zuerst, dass kryptoAus den Systemen der 8. Symmetrie-
auftritt.
topische Systeme von vornherein auszuschliessen sind.
Systeme 1 und 24 zu berücksichtigen, da sich sämmtliche übrigen Systeme
Aus den Systemen
durch verschiedenartige Elemente der Verbandsymmetrie auszeichnen.
der 14. Symmetrieart sind allein 1. und 2., aus den Systemen der 13. Symmetrieart 1.
art bleiben die
und
2.
endlich
zu berücksichtigen;
lassen
sich
Systeme der 32. Symmetrieart aus den
die
vorigen durch Hinzufügung der Symmetrieelemente
5',
8 und 4' ableiten.
Die Möglichkeit des Auftretens der Systeme XVI. Ordnung ist von vornherein auf
und 32. Symmetrieart beschränkt. Die Systeme der letzteren, wenn dieselben überhaupt vorhanden sind, würden sich von den ersteren ableiten lassen.
50.
die 15.
Der Definition
Systeme zu Folge
dieser
unmöglich unter ihnen phanerotopische
es
ist
Ordnung wären. Hier haben wir also wieder diejenigen
mit der kryptotopischen singulären Colonne und die mit der phanerotopischen Colonne zu
zu treffen, da solche höchstens VIII.
unterscheiden.
Gang
Den
ersteren liegen die Ableitungsformen
der Ableitung
besteht
daxün,
für
a und
a'
die
O
—
hc
O u
und --
,
aufzufinden
und dann eine
werden von
selbst gefunden,
da dieselben von den ersteren abhängig
Die
aufzustellen;
sind diejenigen besonderen Systeme,
vier letzten
zu Grunde.
sämmtliche andere Zahlen
sind.
welchen in der Richtung der
in
VHI. Ord-
singulären Colonne polare 4-zählige Schraubenaxen kryptotopisch auftreten, also
nung
sind.
Aus der auf
diese
Weise dargestellten Liste der Systeme XVI. Ordnung
ersehen, dass die 3-zählige Symmetrieaxe sich nicht
zu folgern,
dass
die
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
II.
einschalten
ist
leicht zu
Daraus
lässt.
ist
existieren.
und höherer Ordnung.
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Verbandsymmetrie-
Symmetrie
Triparalleloedersysteme
I.
aaa
explicit
Systeme dieser Ordnung für die kubische Syngonie nicht
Triparalleloedersysteme
IV.
all
Der
charakteristischen Zahlen
zulässigen
zulässige
Zahl für h
C
7- --
II.
Ordnung.
Trikline Syngonie.
2
2
2
2
Ijrlll
l^rlll
a
2
2
2
3
l^III
a
1
des Systems
rt
= 5'
= 5'
=
b'
l;r(lIII)s
ljr(lIII)<^
Ijr(lIII)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
525
Sym-
Sym-
metrie-
metrie-
art
gi'össe
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
3
3
3
3
3
3
3
2
1
2
2
3
3
4
2
2
4
4
2
2
2
2
4
4
4
2
2
3111
1
l/lll
2
3
4
2
8
5
5
5
5
5
5
5
4
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
8
9
10
11
1
12
13
14
15
16
17
18
19
1
4
2
3
4
4
4
5
6
7
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
iz'"ni
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
4
4
4
n
6
7
8
4
4
a
5
2
4
2/1II
7
7
4
4
1
1
Zx
III
1
5
15
15
14
14
21
14
22
23
24
18
18
18
4
4
5
4
4
6
7
4
8
4
9
4
10
4
11
4
1
4
2
2
2
(1
3
(1
(1 Illa)'
III2K
3 (1 III2)
3 (1 III,)^-
\l\Y
(1) 1 III3)»
3(11113)
l'
UKIIIW«
l'
\x\^\\\l',Y
l'
iz'diiisK
!'
i/'diiy
1'
1' 5'
1' 5'
1' 5'
rt
l;t'
1(1
1113)"
\x\{\\\\iY
1/1
(IUI,)
\{i\){\^\\\Y
lt\{\ii\\\Y
2/1 (1^1112)=
3/ (1^1112)«
3/ (1^1112)
2/ (2 iiy^
2/ 1(2 \\\Y
2/ 1 (2 Ills)«^
3/(2Ill2)<^
3/
(2 III2)
K/iKi/iiys
2/(1/1112)«
2/(1/1112)«
3/(1/ 1112)«=
3/ (U 1112)
3/1(1 TT IIIs)«
1(/2)(1^III3)«
3/1(1^111)
3/ 1(31113)^
2/l(3IIl3)«
3/
4' 5'
1(31113)
3/(l/'IIl3)«
4' 5'
K/Dd/'IIIä)«
4' 5'
3z(i;^'in3)
Rhombische Syngonie.
4 III
2
3
4
4
(1) (1 Illa)»
\i{\l\hY
5'
20
1
des Systems
l'
5'
1
III.
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
=5
=5
a = 5
a=5
a = 5
a = 4
a = 4
a =4
a =
a =
a=
a=
«=
a =8
a =8
a =8
a=l'5
=
a= 1'5
a = l'5
a = l'5
a = l'5'
a =
a =
a =
a = l'5'
« = 5
« = 55'
« = 55'
a = 5
« = 55'
a = 4'8
a = 4'8
a = 4'8
= 5'8
a = 5'8
a = 5'8
« =
a =
«=
«
2 III
4
5
6
7
2
Verbandsymmetrie
Monokline Syngonie.
IL
2
2
2
Symbol
Explicite
5 III
15
15
15
15
15
15
15
15
14'
14'
14'
29^111
15
15
=
=
=
« =
«=
a =
« =
a =
a = 58'
a = 58'
a = 58'
« = 26
« = 26
«
«
2' 6'
4
(2 1114)5
2' 6'
5
7
(2 II IJ'^
2' 6'
2' 6'
2' 6'
4' 8'
4' 8'
4' 8'
(2 III4)
(3) (2 III4)«
5
5
(2 Illi)'^'
(2
Iiys
(2) (2 III)<;
6
(2 IIIö)
(4) (3 IIIb)«
(3) (3
\\\Y
(5) (3 III,)
29^1(21114)8
2 9p 2(21114)«
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
526
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sjm-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
laa
aal
7
4
3
7
7
4
4
4
4
4
4
aaa
rtll
7
7
7
Irtl
llrt
laa
aal
ala
aaa
all
1 aa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
lal
laa
aal
aaa
all
laa
aaa
all
lal
laa
aal
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
feil
laa
aaa
.
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
15
15
15
2<plU
)»
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1
1
„
,,
„
„
,,
jj
2<p'lU
„
„
„
„
,,
J»
n
1 1'
>)
11'
14
14
)»
,,
4;^ III
1
1 4
1'5
1'5
1'5
1'5
1'5
8
8
2
3
j,
1
8
8
8
8
8
4
j,
1
jj
1
jj
1 2'
jj
1 2'
8
jj
8
9
jj
8
8
10
jj
8
12
13
14
15
16
17
18
19
8
8
8
8
5
6
7
11
8
8
8
8
20
8
21
8
8
8
8
8
8
8
22
23
24
25
26
27
28
2
14'
14'
14'
11'
39>III
1
5
5'
5'
5'
5'
5'
6'
5 6'
1 2' 5 6'
,,
1256
1256
1256
1256
,^
12
,,
5 6
))
1'5 5'
1 1'5 5'
5'
1 1'5
14' 5'
1 4' 5' 8
1 4' 5' 8
,,
1 4' 5 8'
1 4' 5 8'
)j
1 4'
bxlll
»J
n
))
jj
j,
jj
j,
"
1
5
8'
1458
1458
1458
1 1'
4
= 26
= 26
= 26
= 56
= 56
= 56
« = 56
« = 56
« = 56
« = 56
« = 48
« = 48
« = 48
« = 45
« = 45
« = 45
« = 1'4
a = l'4
« = 1'4
« = 44'
« = 44'
« = 44'
«=1'4'
« = 1'4'
a= 1'4'
« = 2
6
« = 2
6
«=2
6
« = 2
6
=2 6
«= 1'2 5'6
« = 1'25'6
« =
2
6
«= ]'2'5'6'
= l'2'5'6'
«=
«= 1'2'5'6'
« = 1'2'5'6'
a = 4
8
a = 4
8
a = 4
8
a= 1'4 5
a= 1'4 5
« = 1'4 5
= 1'4 5'8
a = 1'4 5'8
« = 1'45'8
a =
=
=
« = 5
8 8'
« =5
8 8'
« = 5
8
a
a
a
a
a
a
12
12
12
12
12
12
15
15
15
18
18
18
„
des Systems
Verbandsymmetrie
4'
11' 44'
1 1'4 4'
rt
29>'(2IIl4)':
39^1(21114)«
3 9>"{2IIl4)
l(<pl)(lxlll4>'
29^2(1x1114)«
2<p(lxlll4)«
2<p'(lxllh)'=
3<pl{\xllh)c
39^(1/1114)«
39'" (1/1114)
2 9p'l(2lll6)s
29> 5(21115)"
3 9)' 2 (21115)
1(9'5)(1/'III6)«
2 9'2(1x'IIIb)'^
3^'l(l/'Iig
3 9>2(3IIIb1s
2 9^3 (3111b)';
3 9'' 1 (3 IIIb)
39'2(1/Ill5)«
1(9'1)(1/IIIb)«
3 9''1(1/IIIb)
3<p{lx'llh)'
1(9'2)(1/'IIIb)c
39''(l/'niB)
l (2/ III4)'
3(/l)(2/IIl4)«
2'
6'
2'
6'
2'
6'
5/(2/1114)'^
2'
6'
5/2(2/IIl4)=
2'
6'
7;t(2/lll4)
4/
4/ 1 (4 1114)»
5/ 2(41114)';
5'
1'
7/(411X4)
4/(29'IIl4>3(/l)(29.IIl4)»
5/2(29>IIl4)<;
rt
1' 2' 5' 6'
5/(29'IIl4>
7/(29^1114)
4'
8'
5/1(2/IIIb)»
4'
8'
2(/l)(2/IIl6)^
4'
8'
6/l(2/Iig
8'
4(/])(3/IIIb)»
3{/2)(3/IIl5)"
5(/1)(3/IIIb)
5/l(5IIl6)s
8'
8'
rt
1' 4' 5' 8'
rt
1' 4' 5' 8'
rt
1' 4' 5' 8'
5'
5'
5'
8'
4/2(5IIIb)«
6/1(5IIIb)
.
5/
(3
9;'
im»
2(/3)(39''IIl6)"
6/(39^-1115)
4(/l)(39'ni5)'
3(/])(39pIIIb)«
5(/1)(39'IIIb)
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527
Sym-
Sym-
metrie-
metriegrösse
art
Charakteristisclie Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
4
4
4
8
8
8
8
6
7
8
9
8
8
8
8
15
15
15
15
15
15
8
8
8
8
1
1
3
1
5
6
9
1
8
8
2
3
8
8
4
8
4
8
8
9
8
8
11
8
8
16
16
16
16
16
16
45
III
5
6
5 6'
1 2' 5 6'
1 2' 5 6'
1 2'
1458
1458
1458
7'
1 3' 5
1 3' 5 7'
13' 5 7'
5 3 III
5 8'
5 8'
1 4' 5 8'
1 4'
1 4'
12
13
14
15
16
17
18
4
6'
1357
1357
1357
7
1
7'
5 8'
1 4' 5 8'
6
2
3
13'
13'
13' 5
12' 5
1 4'
5
10
5'
2' 5 6'
1 2' 5 6'
1 4' 5 8'
3
8
8
8
8
5'
1
7
8
9
2
8
8
8
lOlII
5
6
8
8
5'
5 7'
5 7'
8
1
1'5
1'5
1'5
1357
1357
1357
4
8
8
8
1
1256
1256
1256
13' 5
7'
1 3' 5 7'
13' 5 7'
10/
III
8(p2{2<p III)«
2(pl{2(pni)
«
6(9>2)(2 9''IIl)s
(6) (2
8 (2
6 (9^1) (2 9^111)5
= 2367
= 2367
= 2367
« =
« = 3'7'
« = 3'7'
« = 3 3'7
« = 33'7
« = 3
7
«
«
89>(2
11'22'55'66'
11'22'55'66'
11'22'55'66'
11'44'55'88'
11'44'55'88'
11'44'55'88'
2n
8z
7'
a=l'3'5'7'
«=1'35'7
1(8
9z
(8 111)
111)«
(8) (4 111)5
4'
(7) (4 111)«
11(4111)
rt
2'
(8) (5
2'
10 (5 111)«
11(5111)
10 (8 111)5
6'
2' 4'
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= 3'47'8
a = 3'47'8
a = 3'47'8
a = 2'3'6'7'
« =
« = 2'3'6'7'
a = 2'46'8
« =
8
4
« =
4
8
« = 23' 6
« = 23' 6
= 23'67'
= 3'4'7'8'
« = 3'4'7'8'
a = 3'4'7'8'
« = 2
6
« = 2
6
n = 2
6
a = 33'4 4'77'8
o = 33'4 4'77'8
« = 33' 4
7
8
« = 2 2'3 3'6 6'77'
=
«
2
3
6
7
HD"
(7) (8 111)«
2' 4' 6' 8'
11(8111)
4.8
fl
(4 111)5
1
50 2(4111)«
7^1
(4111)
4(5(39^' 111)5
2' 3' 6' 7'
5 .5 (3 9'' 111)''
7 <5 (3 9^' 111)
46 l(2jr 111)5
2'
6'
552(2^1 111)«
2'
6'
76l(2jrIII)
5.51(5 111)5
7'
7'
4.3(5111)«
65(5
fl
rt
4'
8'
4'
8'
4'
8'
2'
rt
8;^
6{xl)i27zUl)^
8 z 1(2 JT 111)«
9z (2^ III)
«= 1'3 5'7
«= 1'3 5'7
a = 3 4' 7 8'
= 3 7 8'
= 3 4' 7 8'
« =
3 6' 7
a = 2'36'7
« =
3
7
6' 8'
« =
« = 2' 4' 6' 8'
a
(2/111)^
9;^ (2;. 111)
8x (8 111)^
1'3'5'7'
1'3'5'7'
(j
(2 IIl)s
27t{2m)<=
3^(2111)
6(zl)(2/Ill)s
7'
a=
« =
9>'I11)«
9(p{2(p'm)
7'
3'
my
III)^
9 (2 III)
89^1(8111)5
8^2(8111)''
99^1(8111)
3' 7'
15
8x111
1
8
8
8
15
IB
III
2
7
8
2
TT
= 37
= 37
= 37
« = 2468
« = 2468
« = 2468
« = 3478
« = 3478
« = 3478
a
a
a
1357
1357
1357
1256
1256
1256
1458
1458
1458
2
3
8
8
8
8
8 will
2
3
4
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
1
5
4
4
4
13
13
13
13
13
13
3
8
11
11
11
13
2
8
8
15
15
15
8 III
1
des Systems
Verbandsymmetrie
Tetragouale Syngonie.
IV.
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Symbol
Explicite
= 2 2' 3
•
55
2 (51)
2 (51) (2 .Till)«
6 5 (2 .Till)
8'
8(zi)(4zni)5
8'
7 (zD
7'
8'
11
3'
6'
7'
6
6'
7
(2 9^111)«
65(29-^111)
5 51(2.-rlll)s
4'
3'
111)
(2 9> 111)5
7'
(4
z
Zl (4z
111)«
111)
8(zl)(5zlll)^
10z(5zlll)''
iiz(5zni)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
528
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
all
laa
aaa
15.
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
7
8
9
10
15
15
15
15
15
15
15
•
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
I.
20
20
20
6
6
6
12
12
12
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
29
30
31
32
32
32
24
24
24
48
48
48
17
18
19
Explicite
10;tIII
jj
j,
11
12
jj
,,
13
14
15
16
17
18
19
,j
,j
jj
,j
,j
20
j,
21
1
1
"
16111
1
16 a III
16 a III
16 a III
19/
1
19.5 111
2
3
22
III
III
22/111
22/ 111
22/ 111
V.
16
3
1
8'
4'
6'
8'
lOzKS;^!!!)'
7(xl)(8xIlIK
4'
6'
8'
ll;(l(8;tlll)
8'
4' 5'
10/l{10III)s
10;t;2(10IIIK
1(10
ll;i;
III)
8(/2)(4.5IlI)s
10/2(4(5111)«
rt=l'234'5'678'
11/1(45111)
a=l'2'345'6'78
a=l'2'345'6'78
8 (/]) (5(5111)8
a=
1'2'345'6'78
a
a
a
a
a
a
1^8 81 82
iiii24;4,;42;
1
Ij
1 ll lib'bi'b'i
=8
^5
=
=
=
=
10/2(5(51II)<^
11/1(55111)
IS?' 1(18111)
(13 III)
81 82
13a
5i 02
4'
4i' 42'
4' 4,' 42' 5'
5i' 52'
5'
5i' 62' 8 8i 82
4'
4i' 42' 8 81 82
(1 2'
(1 2'
5
6')3
5
6')3
(12' 5 6%
(11'22'55'66')3
(12'3'456'7'8)3
(12'34'56'78')3
III.
=
=
a =
a =
a=
a =
a
(1'
2 5' 6)3
rt
(3'
4
16(13111)
16a (1399 111)
16a 1(16 III)
16a 1 (13a 111)
21/1(19111)
7'
8)3
(3 4' 7 8')3
3'
4'
4
7 7'
(3
(1'
(1'
2151
(9)
8
2 3 4' 5' 6 7
2
3'
4
5'
6
8%
8%
7' 8)3
(19111)
(19 III)
24/1(19/111)
24/(195111)
24/1(22111)
Ordnung.
Hexagonale Syngonie.
h
13 III
(10) (IUI),-
ll
16
3
2
13 III
Li
1
a' a' a'
aaa
UxiScpUl)
2'
a' a' a'
aaa
(89^111)8
;i:
10^(89^111)'=
2'
1'
II1I2
II1I2
Triparalleloödersysteme
aaa
1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'
10
Kubische Syngonie.
VI.
1
1
8'
1' 2' 3' 4' 5' 6'
rt
Ulis
139)111
13 a 111
1
=
T
= l'2'3'4'5'6'7'8'
=
= 22'4 4'6 6'8
a = 2
4
8
6
a = 2
4
6
8
rt= 1'23'45'67'8
a = l'23'45'67'8
a= 1'23'45'67'8
a = 1'234'5'678'
a =
2 3
6 7
a
a
a
Hexagonale Syngonie.
1
2
3
12345678
12345678
12345678
11'33'55'77'
11'33'55'77'
11'33'55'77'
12'34'56'78'
12'34'56'78'
12'34'56'78'
12'3'456'7'8
12'3'456'7'8
12'3'456'7'8
123'4'567'8'
123'4'567'8'
123'4'567'8'
,j
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
V.
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Symbol
Typus
Ordnung
(iDdllDz
12
19
6
1
16
III
laV
14'
(12) (3 III)r
a' a' a'
li4i'
aaa
19
6
2
16
III
liV
14'
(13) (3 III);
a' a' a'
l2 4o'
Triparalleloödersysteme IV. Ordnung.
IL Monokline Syngonie.
lab
lab
lab
abl
abl
abl
5
5
5
5
6
5
4
4
4
4
4
4
1
2
3
4
5
6
2/
III
=
=
a = b
a^=b'
a =
a = 5
a
b'
a
b'
b'
=5
=
=
b=:5
b =
h =
b
b
b
l'
l'
l'
b'
2/1(1
111,)''
2/
2/
2/
UhK'
1 (1 III2)'''
1 (1 III2)«"
1 (1
1(/2)(1III2)«
l(/2)(llll2)«'
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
529
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
Nr.
4
4
7
8
2;tm
4
9
5
4
10
5
5
4
11
„
„
„
4
4
4
12
13
4
4
15
form
art
abl
abl
abl
abb
abb
abb
abb
abb
abb
aab
5
5
5
aab
aab
aab
aab
aab
abc
abc
5
abc
5
5
5
5
I.
14
16
17
„
„
1
1
1
4
4
4
21
J,
1
,,
1
^J
1
5
4
„
1
5
41
5
4'
5
4'
1
5
5
5
5
f'
1
20
5
—:bb
a
1
4
4
25
5
4
26
4
27
28
4
4
29
30
4
4
31
"
"
"
-.
1
1
1
1
1
1
1
1
"
1
„
1
„
1'
b'
5'
5
4
32
b
b
a=-rt
5
abb
abb
abb
abb
abb
abb
4
33
5
5
5
4
4
4
4
4
4
34
35
36
37
38
39
^11
5
4
>
5
4
5
5
5
"
,,
3x111
r.
5'
1
„
1
„
1
„
1
„
1
40
"
1
41
"
1
5
4
42
„
5
4
43
,,
1
IU2)"
2;^(lliy
SzKlllIä)
l'
5'
3;(1(1III2)'
l'
3;(1(1III2)"'
3;^(1III2)
3 z (Ulla)'
3 ;^ 1(111«^''
1
5'
a'
1'
5'
3;cUiin2)"
szKini,)»'
3z(llll2)"
b'
V
5
V
5
,,b
2^1(111145-
2x1(111124
5'
ö
6
5
b'
5
5' ö
5' &
4' &
&
szdin^s.
5'
= -5
a-l'b'
4'
SzdllWrs'
2;f 1(11112)55'
b
=
=
=
=
a = 8
a= 8
szdilWJv
_
v-b
:=
4'
=8
=
=8
5'
b=b'
b=4'
5'
^=^&=8
a
4
b
4r
lUDdliy
l(;Kl)(lIII2)^5,
b
rt
liy
1 ix 2) (1
= T7 6 = 5
— = 7; ö = 5
a
«
a
2;c 1 (1
1 (x 2) (1 Uli)'
1
1
IIIaK
l'
.
1
1
1) (1
5'
l'
«
a
a
(;t
b'
5'
5'
1
2;t(lIll2K
1(;^2)(1III2)
b'
a __
1 (X 2) (1 III2K'
l'
5'
a
a
fc
fe
b b
b
5'
5'
5
5
1'
&
&
5'
5
22
23
24
=5
a=l'
a=l'
4
4
4
18
19
=
=
6 = 5
a= b = b
b =
a=
a = 5 b =
a= 5 b =
a= b =
a=l' b = b
b = 5
a =
=
a =
=
a= 5
=5 b=
a=l' b =
a=l' b = 5
b = 5 c =1'
a=
a=5 ö = 5'c =
a=l' ö = c=5
a
,,
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
a
a
Explicite
„
„
„
„
„
5
"61
Symbol
Typus
Ordnung
b'
ö'~8
3x
(11112)55'
3;t(ini2);5,
I(;c2)(illl3)
1(Z2)(1III3)'
2x1(11113)
2x1(11113)'
1(X2)(1I113)"
1 (X 2) (l III3)'"
SxKinwW
2 X
Kx
1 (1 1113)4.5'
2) (11113)^,-8
b b'
^Wb
1
b_b_
5
4
44
»
5
4
45
,.
'b'b'
3x1(11113)5-8
b
5'
&'
4'
1
b b
%-b'
a a a
5
4
46
1
a' a' a'
Abh.
d.
IL
Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss.
1
XX. Bd. IL Abth.
'^
= «6^ = 4^
a
5'
«'
4'
1 (X 2) (1 1113)4%-
1(X2)
(11113)4,5,
3xi(iin3);'5'
68
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
530
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
"ll
a
"öl
6
6
6
6
.
6
6
6
6
6
6
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4.
1
7
4
III
4
(1
5
8
9
10
6
4
2'
a
6
4
12
13
4
abb
6
ab
6
4
4
14
16
16
6
a
4
17
a
6
4
18
b
6
4
(4) (1 III4)
5
(1 III4)
Q'
(4)(1III4)'
Q'
6
(1 III4)
2'
6
(1 III4)'
(5) (1 III4)
6
4
20
7
7
7
7
4
4
4
1
7
7
7
7
7
7
7
7
4
4
4
4
4
4
4
4
4
7
4
7
4
4
4
4
4
4
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
4
2
3
4
B
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
4
4
23
4
24
b
7
b
7
4
=5
_2'
BdlllJk'
=5
=
=5
& =
&
4' 6
4'
4'
8'
7
(3) (1 III,)
(2) (1 III5)
4'
(4) (1
25
Ill^.g,
_4'
~ 8' &=5
(5) (1 III,)4,8,
4'
b'
5
b
4'
(2) (1 III,)4,5
=
a= 6 ö = 2
a=6 b=b
a^b b = 6
a=2 b =6
=5 b=2
a = 5 b = 6
a = 2 b = b
a=2 b = 6
a=6 b = b
a=6 b= 2
a = 5 b = 2
a = 2 b = b
a = 2 b = 6
a = b b = 2
a=5 b =e
a= 2 b = b
a= 2 b = Q
a = 6 b = b
a= 6 & = 2
a = 5 b=2
a = 5
=6
a = 2 b=b
a = 2 6 = 6
&'~5
2 will
(1 IIl4),,6.
(14)(1III5)
19
b b
lab
lab
lab
lab
alb
alb
alb
alb
alb
alb
abb
abb
abb
aab
aab
aab
aab
aab
aab
abc
abc
abc
abc
2'
^~8^
b_b_
"b'b-
III4K
(3) (1 IIl4f2'6'
2'
=5
a =
a =
a
a'
^b'b'
(1
(2) (1 1114)'^'
&
5 III
a
^,bb
4
IILiK
III4K
2'
6'
a'~Q'
a
4
a
(3) (1
_2'
a'~ 6'
11
6
b
6'
(2) (1
6'
a
6
ab
2'
= 2'
=
b = &
b =
b =
=5
b =
b =
c = 2'
c = 6'
ö =
ö = 5 c =
&
fe
2' .6
2'
6
7
b
a
=h
=b
=
=
a = 5
a =
a =
a = 6
a=b
a =
a
a
a
2
3
7
—,bb
des Systems
Rhombische Syngonie.
a
"
Verbandsymmetrie
Symmetrie
III.
lab
lab
lab
lab
abb
abb
abb
abc
abc
abc
Symbol
Explicite
&
5
fc'
2
a
8'
(4) (1
IUJi-s
2q5 5(lIIIiK
2 9'5(1III4K
2 95 2 (1 llh¥
2<p(lIIU«
1(9.3)(1III4K
l(<p2)(lIIl4K
2 ?; 1(1 1114)^
1
c=6
c
=2
=5
((?>
1) {1
III4K
2 <p 3(11114)«
1(<P3)(1III4)«
1(?'5){1III4)
2 9p'l(lIIl4)
1(9P5)(1III4)
3<p3(lIIl4)
3 99 2 (1 III4)
3 ?> 1(11114)
3 <? (1 III4)
3 <p 1(11114)
3 9^ 3 (1 III4)'
3<p'(lIIl4)
39^'2(1III4)
c=6
39']
c
3
9^'
(1
iiy
2(11114)
2<p2(lIIl4)|5
b
_5
c
=6
a?'' (11114)25
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
531
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
26
form
art
metriegrösse
4'
7
4
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
m
297
1
des Systems
Verbandsymmetrie
«
=6
a
=5
Ö=r4
a=4
a=4
b=h
ö=8
b=
=2
3^1(11114)^5
b
7
4
27
7
7
7
4
4
28
29
30
7
4
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1(9'4)(111I5)'
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a = 1'5
a = 2'6
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a = 2'6
a=l'5'
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1'5'
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b = 26'
b = 2'6
b = 1'5
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b = 2
b = 2'6
b = l'5
b = 26
b = 2'6'
b = 2'6'
b = 2 6
b = 2'6'
b = 1'5'
b = 2'6'
b = 1'5'
b =: 2 6
b = 2 6
b = 2'6'
b = 1'5'
b = 2'6'
b = 1'5'
b = 2 6
b = 26
b = 2'6'
b = l'5'
b = 2'6'
b = 1'5'
b = 2 6
b = 2 6
b = 1'5'
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b
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6'
3(;f3)(l.rIIl4K
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4(zl)(l.Tliy
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6'
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c
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2) (21114)'^
3 (z 1) (2 III4)«
3 (x'i) {-211^)0'
3(x3)(2Ill4)«
3(x3)(2Ill4)«'
4/2(21114)'^
4/ 1 (2III4K
5;f(2IIl4)
5zU2IIl4)
5
5
;f
;f
3(21114)
3(21114)'
5/3(2
1114)"
5/2(21114)
4 (/ 1) (2 III4)
4(/2)(2IIl4)
4(/2)(21Il4)'
4(/2)(2
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c =
c
5/3(2
5/1(2
11l4)"
1114)"'
1114)'
2'6'
5(/l)(2
2'6'
5
11l4)
(/ 2) (2 III4)
68*
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
532
Ableitungs-
Syrametrie-
form
art
abc
8'
8
a
8
a
Charakteristische Zahlen
Syrnmetriegrösse
Nr.
8
34
8
8
I.
35
36
8
8
37
lab
lab
lab
lab
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alb
alb
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8
8
8
8
38
39
40
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8
42
43
44
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alb
alb
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abb
abb
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abc
abc
abc
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8
41
45
46
47
48
49
50
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8
53
54
55
56
57
58
59
60
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61
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51
52
Axlll
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abb
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abb
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abb
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8
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abb
abb
abb
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14'
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3(;f2)(l;.lll4)«
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c
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a = 5'8
a = 5'8
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8'
5;^
2(1x1114)2
7;^
(U
5
1114)25
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3(z4){l;.lll5)
2(z5)(l;.lll,)
2 (z4) (2 111b)
2tel)(211U
4;t 3(21115)
4;f2(2ny
2 (z 6) (2111b)
2(;.6)(21Il5)'
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a = 4 8' 6 = 1'5
= 4 8' 6 = 4'8
a = 1'5' 6 = 4'8'
a=l'5' 6 = 48
a = 4'8' 6 = 1'5'
a = 4'8' 6 = 48
a = 4 8 6= 1'5'
a
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6 = 55'
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6 = 55'
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6 = 22'
6 = 55'
6 = 66'
6 = 22'
6 = 66'
6 = 55'
6 = 66'
6 = 55'
6 = 22'
6 = 2
6 = 66'
6 = 5
6 = 66'
6
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a
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8
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a= 5
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a = 2
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a= 6
a= 5
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a=2
a= 5
a=5
a=2
a = 22'
a= 6
a=6
o = 5
a=5
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11'
11'
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b
a'
a
a
1 1'
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)»
1'5'
«'
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a
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des Systems
Verbandsymmetrie
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- = 2'6'
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15
J)
b
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Symbol
Explicite
Symmetrie
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a
8
8
Typus
Ordnung
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6 = 1'4
6 = 5'8
6 = 1'4
6 = 58'
6
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3
2
3
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(z 2) (3 111b)
(z 4) (3 III5)
3 (z 4) (3 111b)'
2 (/ 5) (3111b)
3(z4)(311l5)"
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
533
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metrie-
form
art
gi-össe
8
8
Charakteristische Zahlen
Typus
Ordnung
Nr.
I.
82
5/
III
b b
a
14'
8
8
83
14'
8
8
8
84
1'
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abb
abb
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8
8
b b
"
1
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87
1 1'
88
abb
abb
abb
abb
abb
abb
8
8
8
8
8
8
89
90
91
92
93
94
^11
a
8
8
95
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8
8
8
8
8
JJ
"
"
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8
8
97
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b b
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a = 44'
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=45
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18
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7
„
2
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1115)^5
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3te2)(l;^'IIlB)
2(/4)(1x'IIIb)
1'8'
14U1){1;^'IIIb)
2(;t3)(l/IIlB)
3tel){lz'IIl5)
14(;fl)(l/'IIl6)
4U1)(1/III,)^,.
SixDUz'UhU.
2{z2){\x'nh)U4Ul)(l;^'IIl5)4
1
1
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15
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9
(1 III)
7
(15) (1
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a
1
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1'8'
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„
1
1115)
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1
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b =
b = 4'5'
b =
b = 4'5'
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6
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ö
2
4
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18
2) (3 1115)5 5-
4'
—
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0=45
«'
1'8'
18
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14
2
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««'.'-55'
^
18
18
18
18
18
18
4
12
12
12
12
12
12
12
3{;^2)(l;fIII,)
4'
5 5'
4
11
11
4
& = 4
& = 5
ö = 88'
_44'
&
9
9
9
'^^^^
Tetragonale Syngonie.
IV.
9
S(xi)(Sllh)U'
8'
b
8
^66
a
^
b'
8
^b^i?
5'8
5
a
b^b_
'b'b'
b
b'
ö'
85
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
b_b
^b'b'
Symbol
Explicite
_3
a'~
1
«
7
^=3
-. = %
a
7
a = 37
a = 37
a = 26
= 26
a = 48
a = 48
ö = 23
5=67
a = 45
a = 45
ö =
a = 5
a= 1'5
a = 3 7
a= 37
a =
a=l'5'
a=
a =
(,
3'
1'6'
3'7'
3'7'
III)f.
(16) (Uli);'
,
,
'=^
(17)
=^
= 26
& = 48
& = 37
& = 48
ö = 37
& = 26
c = 67
c = 23
& = 23
& = 67
c = T
& =
& = 3
b =
6 =
& = 3 7
& =
& = 3 7
b =
(17) (1 IIl)^
^
&
3'
7'
1'5'
3'7'
3'7'
1'5'
(IUI),
6 (9.3) (3 III)
6(9>4)(3III)
8 9^3(3111)
6 (<p 4) (3 III)'
89- 1(3 III)
6 (cp 2) (3 III)
QvHx'my
= 67
= 23
=r
c = 3'7
c
8<?'2(U'III)<
9 9^(1/' III)
c
9<pl(U'III)
c
2^(1111)«
3^(1111)
9;t(l^ni)
6 (z 2) (2 III)
6 (;f 2) (2 III)'
8x(2III)
6 (/l) (2 III)
8;^ 1(2 III)
6
(;t
2) (2 III)"
4-
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
534
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
form
art
metriegrösse
12
8
a
12
Nr.
I.
8x111
c
c
ahh
abb
abb
12
12
13
abb
abb
13
13
13
13
13
-,11
13
ab
b
8
8
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1 1'
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13
a
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« 7
I,
7,
1
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abc
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--11
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«
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abb
abb
abb
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b-
a
«
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a
7
Ibc
1
bc
abc
abc
abb
abb
abb
abb
abb
abb
13
10
1
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3
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5
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"
8
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9
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10
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15
13
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13
8
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"
"
1
«
2'6'
a'
4'8
a
7 8'
a'
a
12'
a'
17
14'
20
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14
14
14
14
14
8
1
4ÖIII
8
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8
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15
15
15
15
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15
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14'
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jj
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J?
6'
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8'
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(19)(2II1);
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c
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2'7
=3
b = 3
b = 2'7
c
(7) (3 III)=
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6'
^
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o'7
Q fi,
"^
Z
-^
18
18
18
18
15
15
15
15
15
15
3
11(3111)'
(19) (3 III)^
6'
~ 2'7
(20) (3 IIDJ
(21)(:tiIII),
= It'--'
=
b =
=
b = 48
=
b =
= 48
a=
a = 48 & =
a=48 & =
3'7'
o
~
a'
'=2^ = 48
c = 6'7'
b =
b =
c = 2'3'
a=45 b =
a = 4 5 6 = 6'7'
b = 26
a=
b =
a =
a=2 6 b = 3'7'
a = 26 b = 4'8'
b = B'T
a=
a = 4'8' b = 2 6
(21) (3111)^
I
a
a
a
3'7'
2'6'
5
3'7'
2'6'
<5
3 (2 III)
5^2(2111)
3'7'
5
3'7'
5 52(2111)'
5(51(2111)
5.51(2111)'
2'6'
2'6'
03(2
111)'
4<51(2111)'2,3-
2'6'
.
10 (3 111)*=
11(3111)
i-ri'--'
a'
8
3
rt
14'
8
14
14
14
14
(8) (2 III)^2'4'
4'
=3
= 2'7
=5
a= 5
2'7
a
~3
a'
a'
13
)J
(2 III)
(8) (2 III)
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19
5 5 III
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~ 7 8'
b
14'
8
12
13
14
15
16
17
18
(1Ö)(2III)"
~ 3 4'
6
))
13
14
14
14
(7) (2 III)
(21)(2III)i
8
)J
(18) (2 III)'
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13
10
dz III)
(18) (2 III)
12'
15
16
11
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•
(21) (2 III),
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(2 111)1,3,
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13
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5
14
M
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"
ix 1) (2 III)'i,3,
9x
15
7'
JJ
18
6
1'5'
=3 c=7
fe=3 3'c = 7
=
a= 37
a = 3 7 & = 4'8'
a = 2'6' ö = 3 7
a = 2'6' & = 4'8'
a=
& = 3 7
a = 4'8' h = 2'6'
2'6'
a
~ 4'8'
15
13
13
13
13
8
3'7'
"
b
15
15
15
15
15
15
14'
14'
14'
14'
13
a
11'
des Systems
Verbandsymmetrie
a
15
..
9
a
\h
ah
Symbol
Explicite
Symmetrie
8
8
Typus
Ordnung
552(2111)2,3,
2'6'
2'3'
4ö(lx'IIl)'=
6'7'
2'3'
3'7'
3'7'
4'8'
4'8'
= ß'y'
c = 2'3'
c
2 (5 1) (1 z' 111)'^
65(1/'III)
65 dz'
111)'
2 (51)
(2 III)
2 (52)
(2 III)
2
(5 2) (2 111)'
2
(5 2) (2 III)"
451(2
111)
45(2111)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
535
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
•Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
form
art
Ibc
Ihc
ab c
14
14
14
8
8
19
5(5111
20
„
8
21
ab
14
15
15
15
15
15
8
16
16
16
16
16
16
16
16
16
22
c
abb
abb
abb
abb
abb
abb
Ibc
Ibc
ab
c
15
15
15
15
Symbol
Explicite
Symmetrie
1
„
,,
5'
„
„
„
1 4' 5'
8
„
1 4' 5'
1 4' 5'
8
,,
„
4
,,
6
7
8
9
"
c
8'
11' 5
1 1' 5
11' 5
1 1'5
1 1'5
3
7'
3'
8'
5'
1 1'
=2 c=6
= 67' = 23'
« = 5
ö = 2 3'c = 6
a = 5
& = 6 7'c = 2
a = 33'7
ö = 22'6
a = 33'7
& = 44'8
a = 22'6
& = 33'7
a= 2
6
ö = 4
8
a=4
8
ö = 3
7
a = 44'8
= 22' 6
=
& = 2 3
6 7
= 236'7'
& = 2'3'67
a=
b = 236'T
4 5
=
6 7
a=l'458' = 2'3'67
c = 2 36'7'
a = l'25'6 ö = 34'78'
a=l'25'6 & = 3'47'8
« = 3
7
& =
2
6
a = 3
b =3' 4:7'
7
= 4 8 & = 1'2 5'6
a = 3'47'8 ö = 34'78'
a = l'45'8 b = 2'3&7
«=1'45'8 ö = 23'67'
a = 2'36'7 5 =
4
a = 2'36'7 & = 23'67'
a = 2 3'67' & = 1'4 5'8
= 2'36'7
a = 2 3'6
a = l'2'5'6'& = 3478
a=l'
=
a = 3 478
b=l'2'b'6'
=
o = 3 4 7 8
a =
h =
3'4'7'8'&
= 3478
a =
a
~
"'«
J = s".W> =
& = 2 3 6 7
a =
b =
a=\'4:'
= 1'4'5'8'
a = 2 3 67
b = 2'3%'T
a = 2367
a = 2'b' 6'Tb =
= 2'3'6'7'& = 2 367
1'4'5'8'
a
"
&
&
5
10;t III
2
5
14'
14'
14'
14'
5'
5'
5'
5'
8
c
15
16
10
"
1 4' 5'
abb
abb
abb
abb
abb
abb
15
15
11
„
„
„
„
1 2'
1 2'
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
15
16
ab
b
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
12
13
14
1
8
5 6'
5 6'
2' 5 6'
1 2'
5 6'
jj
5 6'
5 6'
1 4' 5 8'
1 4' 5 8'
20
„
„
14' 5
14' 5
21
,,
15
„
16
17
18
19
„
22
23
24
25
26
27
28
jj
„
„
1 2'
1 2'
1 4'
1 4'
8'
8'
5 8'
5
8'
„
„
1256
1256
1256
1 256
1256
1256
>'
1256
jj
jj
7(5(3
3'
7Ö1
7'
6'
7'
8'
111)'^
111)
(3 III)
7'
2'
6'
4'
8'
18(;.3)(2;.III)
4'
8'
3'
7'
10;^ 1(2;^ III)
6'
8
6'
8'
6' 7'
c
2' 3'
c
8'
1'
4'
8'
4'
8'
5'
1'
7'
3'
(z 2) (2;^ 111)
10/2(3/III)<;
7(;f2)(3/IIl)«
1^1(3^111)
2' 3'
?-
(1
55(3111)«
501(3
7'
18 ix 1) {2 X 111)
18 (z3) (2;. 111)
7(/l)(2;/III)
c
ab
des Systems
Verbandsymmetrie
5'
1'
7'
Z^
8'
3' 4' 7'
2' 5' 6'
?>
3' 4' 7' 8'
1' 2' 5' 6'
3' 4' 7' 8'
11/(3/111)
7 (/3) (4 III)
18 (/3) (4 III)
8 (/ 3) (4 III)
8 (/ 4) (4 III)
18 (/2) (4 111)
7 (/ 4) (4 III)
10/1(5111)
8
(/ 2) (5 111)
8
8
(/ 3) (5 III)
(/ 4) (5 III)
8 (/ 4) (5 111)'
10 ;f 3(5111)
7(^1)
(2.^ 111)
18(/1)(2(?>1II)
18(/2)(2<pIII)
18 (/2) (29, III)'
8 (/3) (2(^111)
10/2(29^111)
1' 2' 5' 6'
--AI
a
>
29
a'
15
16
30
„
abb
abb
abb
abb
abb
abb
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
31
))
?"
15
16
37
«
— 7bb7
a
Ibc
1
bc
abc
ab
c
15
15
15
16
15
16
16
16
16
16
32
33
34
35
36
38
39
40
41
42
J?
jj
„
"
„
1256
1458
1458
1458
1458
1458
1458
1458
jj
"
"
1' 4' 5' 8'
1458
?^
1' 4' 5' 8'
rt
1 1' 4 4'
11' 4
1
1'4
4'
4'
2' 3' 6' 7'
2'
3 6
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
43
44
45
46
46
48
,,
jj
j,
„
^j
))
1357
1357
1357
1357
1357
1357
(2 <p 111)1,3-
io/(2(p'm)
8(/l)(2<?>'III)
18 (/4) (2?.'
18 {z2] (2g-
111)
111)
18(z4)(2(?>'III)'
10/(29^-111)'
8 (/l)
(2
(p'
111)^2-
ll/l(29>'lll)i,2-
7'
= 33'6 c = 22'7
=2 7
=3 6
a = 5 5'8
& = 33'6
c = 2
7
a=-55'88' & = 22'77'
=3 6
a=l'3'5'7'ö = 246 8
1'3'5'7'&
= 2'4'6'8'
a =
= 2 468 b = l'3'b'T
=
« = 2468
a=
A'G'8'b = 1'3'5'7'
=
ö = 2 4 6 8
6'
ö
&
2'
7'
3'
c
8'
c
abb
abb
abb
abb
abb
abb
11/1
«_i;*;5;8;;,_2367
a'
4'
2' 3' 6' 7'
5' 8'
a'
11' 4
3' 4' 7' 8'
8(/2)(2<pIII)t,3-
2'
7'
3'
6'
7'
lixDiSfUDo
6'
10/(3
6'
11/1(39^111)
rt
Z)
2'
rt
2' 4' 6' 8'
2' 4' 6' 8'
9^111)«
11/(3^111)
7 (/l) (8 III)
7
7
7
(/ 3) (8 III)
(/ 4) (8 III)
(/ 4) (8 111)'
10/8(8111)
10/2(8111)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
536
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
-,11
15'
16
49
a
a
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
1357
lOxIII
a
1'3'5'7'
a'
2' 4' 6' 8'
16
50
1
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
51
13' 5
7'
52
1 3'
7'
15
15
5
13' 5
1 3' 5
53
54
55
56
20
7'
1'
5'
1'
5'
2'
a
% «2
28
28
12
1
12
6'
Ulla
III
19
2
a __
5'
a'
4'
29
24
1
III
„
=
llll2 =
llll2
(l)3
«2
29
24
tti
a^
30
19;i; III
2
24
1
a a^ a^
31
32
24
1
48
1
6'
1'
5'
18
18
(xD (2^
III)
U 3) (2 .Till)
10;f3(2^III)
8(;^4)(2jrIII)
7(;.4)(2jrIII)
18 (/2) (2^
III)
1
2'
(I2
(l)3
ljl2 5 5i 52
=
(15')3
1 Ij 12-5
"
195
22
22
14a 1(13
111)4-5-
42'
4i'
=
5i 02
(15')3
III
(18)3
III
;t;
III
(1 4')3
(1 4' 6' 8)3
61'
(22) (13 III)
62'
2i'
62'
6'
22'
20 (13
III)
61'
1'
2,'
62'
li'
22'
6'
2'
61'
22'
6'
2'
61'
20/(13jrIII)
22(;);l)(137rIII)
62'
2i'
62' 72'
6' 7'
2i' 3i'
22' 32'
2' 3'
a «1 «2
2'
6'
22'
1'
a
6'
= 5i
«1 =
52
= 5
a = 2i b
«1 =
5i
«2 =
02
a =
5 6i
22
% = 2 5i 62
«2 =
52 6
2i
a =1/2
5i 62
«1 = h' 2i
02 6
«2= 22 5 61
a =
4 5
%=
4i 5,
02 =
42 52
a =
32 5
7i
a, =
3 5i
72 8/
7
«2 =
3i 52
n = '222i'323i'4 5 6i62'7i72'8'
22'3 32'4i5i626'727'8,'
ai=
%= I2'2i2'3i3'42526 6i'7
a
I2'
aa^
2'
5i' öä'
2'
a a^ 02
8'
4'
Kubische Syngonie.
VI.
aj a^
=2 6
= 4 8
= l'35'7
= 4 8
& =
7
3
& = 24'68'
&
ö
ö
&
8'
4'
a' a' a'
a
llzl(8IIl)i-2'
2' 4' 6' 8'
= 3 7
= 3 7
= 24'68'
a = 2
6
a =
4
8
a = 2'46'8
a
a
o
Hexagonale Syngonie.
165
12
7'
1 3' 5 7'
1 3' 5 7'
V.
a a a
10;^l(8m)i-2'
«_^;^!^'/',&-2468
357
15
a'
abb
abb
abb
abb
abb
abb
des Systems
Verbandsymmetrie
61' 7i'
8'
62'
2i'
22'
6'
2'
61'
20 5 (13?)
23 (16
III)
III)
82'
1
23/(165111)
li'2
7i'82'
Triparalleloedersysteme VI. Ordnung.
a^_4^
a a a
19
16
III
1
(26)
a' a' a'
a'
a a a
19
fL
1
a' a' a'
—
a'
(IUI),
4i'
*!_
42'
(27) (1 III),
Triparalleloödersysteme VIII. Ordnung.
III.
abc
abe
ab
8
8
8
8
1
2
c
8
8
3
abe
8
4-
c
8
8
8
c
8
8
5
6
ab
ab
.
Rhombische Syngonie.
4/
III
a=
1'
a
5'
=
a=
a=l'
a=
2'
1'
a=l'
=2
=2
b = 2
b =
b =
& =
b
b
5'
5'
6'
=6
=6
c = 6
c =
c =
c =
c
4/(1
c
2(/3)(lIIl4)
3(/l)(lIIl4)
14(/1)(1III4
2(/2)(lIIl4)
2(/4)(lIIl4)
2'
6'
2'
III4)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
537
Charakteristisclie Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
form
art
metriegrösse
ahc
ah
c
abc
ahc
ah c
ah c
ahc
ahc
ahc
ah
ah
c
c
abc
abc
abc
ahc
ahc
abc
ahc
ahc
ahc
abc
abc
abc
abc
abc
ahc
abc
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
„
„
„
1
1
=5
a=l' b =
a=
& =
a=
& = 5
a=5' & = 5
a =
& =
=6
rt=l'
a=:l'& = 6
a=l' b = Q
o= V b = G
a=5'& = 6
a = 5'& = 6
a =
h =
= 5'& = 6
b =
« =
„
1
a=b' h=l'
„
1
8
7
4x111
1
8
8
8
„
1
9
„
1
8
10
„
1
8
8
11
,,
1
,,
1
12
13
8
8
8
14
15
16
8
8
17
18
19
8
8
8
20
8
8
21
22
8
8
8
8
23
24
25
26
27
28
29
30
8
8
8
8
8
8
8
„
1
„
1
,,
1
„
1
„
1
1
,,
1
„
1
»)
1
,,
1
,,
1
„
1
„
1
„
1
31
„
1
32
33
„
1
„
1
a
-bl
a
-b
a
«
1
8
34
8
1
"
8
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35
1
>.
8
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"
1
—,be
a
8
8
37
"
1
5'
6'
5'
5'
2'
ft
5'
(i
rt
5'
l'
a=6 b=
l'
=6
h = Q
h = Q
b =
h =
b = 5
h = b
=
a=5 & =
"
b = 2
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a
6
«
-, = r;
= ^6
a
6
a
= ^76 = 2
a
=
ft=5
a =
a= 5
a =
a=
a=&
a=
a
2'
h
2'
/;
2(;^4)(lin4)'
c
6'
4^1(11114)
c
2'
c
2'
2(z6)(llll4)
2(z5)(lIIl4)
3U4)(lIII.i)
c
6'
c
3{x2)(llIU
4^3(1111,)
2U1)(1I1I4)
c
5'
14(;;l)(llll4)'
e
2'
MUDdllU"
c
c
l'
c
6'
c
c
2'
c
6'
2(zi){ini4)'
2(/5)(llll4)'
4;^ 2(11114)
3(/3)(lIll4)
3(z4)(lIIl4)'
14(z2)(lIIl4)
2{z6){llll4)'
c
14(;.2){1III4)'
c
3(;f3)(llll4)"
14U2)(lin4)"
1'
2(z5)(lin4)"
1'
2(;ffi)(llll4)"
e=l'
e=l'
c=l'
3{z3)(lIIl4)'
3(z4){lll]4)"
4^2(11114)'
6'
c
l'
2{xb){\Uh)"'
6'
c=l'
2(;.5)(1III4F
2'
2'
2'
2'
2'
Q'
6'
c
c
=
3(;(2)(1III4W
3
^^
8
38
—,hc
8
8
39
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-bc
,
a
1
'-,bl
8
8
8
8
40
8
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1
,,
1
..
41
42
8
1
1
,,
a
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a
«
—
hc
a
« ,
-he
a
a
—,bc
a
,
,
Abb.
5;^1(1III4W
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5/3(lIIl4)2,g<
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8
8
43
8
8
44
1
"
c
=2
=2
4
te 2)
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a
6
0=6
5
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a
2'
a
«
6
a
1
rt
5'
I
45
1
"
&
ö
5'
- = 77
&
-,
= 77
46
8
1
47
8
1
"
2(;^3)(lIIl4)^5,
2
(;^
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd.
II.
Abth.
2) (11114)^5,
=5
4
(;.!) (11114)1,5,
=5
4
(;f
=2
a
=^ =2
a
=^ ö=6
a
=2
4
(;^1) (11114)1
-;
«'
=
r-;
„
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5'
- = -7
1'
,
^^
?^
«,
=6
=2
2) (11114)1,5.
,5.
ezdiiWi-s-
ezKiiiUi-y
1
d. II. Gl. d. k.
(l IIl4)2<6'
=2
& = 6
1
5'
1
8
5 iz 2)
1114)2-6'
,
a'
"
=2
= „2
& = 6
5'
8
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(1
1
5'
- = 77
a
8
,
-=^
a
«
„
2'
^=^
a
a
,
-,bc
3) (11114)^,6-
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a
8
a
(;f
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a
«
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=
=
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c = 2
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=2
=2
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c
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,
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a
b
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2'
a
0-
a=l'
2'
-.bc
a
"
des Systems
Verbandsymmetrie
69
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
538
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
8
8
48
a
-.hl
a
-.ic
a
8
8
8
8
I.
49
50
8
8
51
«
a
8
8
52
7
—,bc
a
a
,
—,hc
8
8
Symbol
Explicite
53
4/111
"
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«
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a
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"
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,
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8
54
JJ
-,bc
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8
55
"
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8
8
56
"
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57
"
8
8
58
"
-,=:-7
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"
a
a
«
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hc
7
a
«
a
«
a
7
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-.bl
a
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8
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60
61
a
J»
it
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62
)»
8
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63
..
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64
»)
8
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65
..
8
8
66
)»
—.bc
a
8
8
7
—,bc
«
a
8
8
68
"
~7ÖC
8
8
69
j»
-.10
a
« 7
—.hc
a
«
—
bc
7.
a
« 7
— bc
a
a
67
b
a
2
=2
a
1'
.
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2'
«
1'
a
2
a
1'
-=^
^ = 2^
« 7
hc
a
—
8
8
71
>J
'±hü
8
8
72
8
73
4
ix 1) (1 1114)2-5.
3
ix 4) (I 1114)2-5.
6
;f
5
(z 2) (11114)2.5,
=5
c = 2
c
5xm
i>
4
(;.
1114)2-5'
2) (11114)2.5.
^
=6
2(;c2)(im4)5.2-
^
=^
4;.1(1III4)J.2.
^
^=i; h=h c=2
4
2
=2
=2
«=i; b = 6
a
a
1(1
3(z2)(llll4)J.2,
~~
7
3 ix
a
3(11114)2-5-
5;t3(llll4);-5.
^=^c=6
a
2
'^.
=5
=2
=6
= i; b = 5 = 6
^
a
2
^=i; b = 6 =
2
«
= -. b=5.c = 6
«=i; & = 6 = 6
a
2
b
2
=2
1) (1 1114)1.2.
(x 2) (1 1114)1,2.
5^2(11114)1.2.
4
(;t
5
;f
2
2) (1 1114)1.0.
(11114)1.2.
5 (;fl) (11114)1.2.
6
;f
1(1
1114)1.2.
a'
1'
J»
8
=6
5-
70
a
- = 5'
r7
rt
8
a
=5
2
2) (1 1114)2.5'
52
K
7,
&
«
«=i;
if
=2
2 {11114)^,5,
=5
c
'-,
8
a
^,
c
b=e c=2
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a
2
«
^12 ^^2 = 5
a
«
-=&=5 c=2
a
2
5'
8
a
„
f*
59
2{z2){lUh)U'
;t
«
a
(11114)^,5,
4
a
-,
3(^3)
„
2
=5
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Ji
=5
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5'
8
a
h
2
-==:T7
a
2
a
"
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
-,1c
o
Typus
Ordnung
—=^
8'
7,
5
,.
=4
a'
^ = r 0=4
5/1(11114)1.2.
4
ix 1) (1 1114)1.2-
3
(x 4) (1 1115)4-8-
14 (/l)
(11115)1-5,
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539
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
8
8
74
a
"^
1
7
8
8
8
8
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
«
5'
a
4
a'
4'
---
76
4'
a'
8
77
8
8
78
^
3(;^4)(lIiy,-5-
5;^ III
75
8
des Systems
Verbandsymmetrie
= ^4
a
2(;;5)(1IIW,,5b
=5
3
ix 2) (1 IIl6)i-4,
^
=8
2
(;f
2
(x 4) (1 1115)4,5
2
(;t
2) (1 1115)1.4,
b b
"Vb'
5
b b
= 8 ^b = ^
4:'
8
8
79
8
8
80
8
8
81
8
8
82
l
«
r.
5) (11115)4,5
b b
V
14
b
b b
"Vb-
=8
a-r
«
b b
"VF
b b
,
8
8
F=I
6'
b b
8
8
84
8
8
85
8
8
86
«
1115)45'
14(^2) (11115)4
=-
5,
14(;^1)(1III5);,5,
4'
b
5'
b
4
83
(xDd
2
=8 ^=^
(;t
14
6) (11115)4,5,
(;.
2) (11115)44,
b b
''b'V
b b
b' b
b b
''b'V
8
8
87
8
8
88
8
8
89
.
^
b b
"FF
^ j,
7O
a
10
10
8
1
c
8
2
c
10
8
3
c
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b
5'
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«=
«=
«
8'
IV.
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ab
^
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b b
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a
=4
=8
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a
8
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10
8
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a
a
8
6
_3
8
7
b c
ab c
ab c
ab c
ab c
a
=8
10
8
8
12
8
1
12
12
12
8
8
8
2
a
3
a=\'
4
5'
b c
3
(;K
4) (11115)55'
8z
m
6
=6
=7
=7
c = 6
c = 2
6
=2
c
6
=6
c
=3
=3
6 = 2
c
6
c
8 9; 3 (Uli)
8 9p 1(1 III)
17 (9^1) (Uli),.
17
{<p
=6
17
(9. 1) (1
=2
17(9'2)(IIII);
2) (1 III),
III);
7
b c
10
(z 5) (11115)55,
3 (/ 3) (11115)45
b
3
a'
'F7
2
2 (;tl) (11115)45
7:7
7
10
10
(z 5) (11115)44,
Tetragonale Syngonie.
bc
bc
= 5= ^5
-7 = 5
6^
2
a=l'
=
a=
5'
6
3
c
6'
2
c'
6
3
c
6'
^2
=3
=3
6 =
6 =
6
6
3'
3'
C
_7
~6
_7
~6
=7
c = 7
c =
c =
c
7'
7'
8
9>
2 (1111)^3
9
<p 1 (1 111)2
3
8 z (Uli)
8zl(lIII)
6(zl)(lIII)'
6(z2)(lIII)'
69^
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
540
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
%bc
art
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
12-
8
5
8xm
12
8
6
"
a
12
8
7
"
^,bc
12
8
8
"
12
8
9
"
a
—,bc
a
a
—
bc
,
12
8
ab
ab
ab
ab
12
3
,
c
c
c
c
8
8
13
13
13
13
8
8
13
"
1
8
5
7
-jbb
13
13
8
8
6
7
a
a
,
—,b b
a
«
7
—
b b
a
« 7 7
—
bb
a
,
7
«
—
bb
1.
10
III
2
3
T,
—,bb
— bc
7
)>
17tel)(lIII);
c
=r
17(zl)(lIII);
c
=7
9Z
(1111)1,5.
6(;.1)(1III);,5,
1'
_S
~
3'
c
_1
"~
7'
c'
c_7
_,&_3
~
~7'
fc'~
\'
8'
4'
4'
3'
=3
b — i
ö =
=
8;^ 1(1 111)^3'
9/(1111)3 3'
c'
=7
=l
c =
c =
6
2'
6'
(IUI)
c
(7)
c
10(1111)
(IUI)
6'
(8)
2'
(18) (1111)
8
8
=
4'
(23)
3
"
-=
&
=
2'
;^
(24)(1III)^
"
-;
a'
8
9
"
13
8
10
"
a'
7
= 37
13
8
11
13
8
12
13
8
13
)J
c
abe
ab c
ab c
=^
=
(I
iid;
(24) (1111)2-6'
8'
(;3) (l 111)2-6-
8
8
8
= ^8
^
a
14
15
16
^
"
a'
rt
13
8
17
13
8
18
13
8
19
14
14
14
14
8
8
8
8
1
(20) (1111)4-8-
(19) (1 111)4-8-
"
JJ
=«
~
_3
?;'
"~
&
;/
=
c
c
2'
c'
3
c
2^
=7
_7
^ 6'
11
(1 111)4-8'
(7) (1 111)^-3
7
7 = 6^
11(1111)2-3
(19) (1 111)5-4-
4'
(21) (1111)2-44'
a'
_2'
~
2'
a'
8
2
3
4
a
a
rt
(20) (1 111)^-8-
8'
a
=4
a= 8
=8
III
=3
_2'
— =-;
45
ö
b
_2'
a'
a
a
(24)
"
a
— bb
^'
^,
8'
a'
„,
13
a
'
=4
t)
13
-.11
,
;;
^ = 6^
-, = ^
a
c
a
(IUI);
&
a'
13
13
%bb
(Uli),
-=ö
b c
a
(23)
3
a'
"
a
ah
7'
17(zl)(im)j
s'
=
=
a =
a =
«
13
a
b
=
1
a
a
4
c
= 17 b =
= % b=3
%
a
^,
a'
12
8
,'
,,
,
11
8
=
i7(zi)(iniv
,
— bb
7
b
b'
a
a
"
= \3
%
a
,,
,
b
-,bb
a
«
7
a'
12
a
«
«=5; ^_3, ^_^,
10
a'
4
des Systems
Verbandsymmetrie
«
-bc
a
Symbol
Explicite
Symmetrie
a
— bc
Typus
Ordnung
=8
=5
=
6 =
6 =
6 =
_
&
6
3'
3'
2'
6'
(21) (1 111)2-8-
=
c =
=
=
c
7'
7'
c
6'
c
2'
2(Ö2)(1 III4)
401(11114)
401(11114)'
2(6 2)(llll4)'
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
541
Sym-
Sym-
metrieart
metriegrösse
14
8
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
5
=
-.= -
4ÖIII
des Systems
Verbandsymmetrie
3'
=
c
7'
_r
14
8
6
14
8
7
14
14
14
14
8
8
8
8
10
8
11
14
8
12
a
=Q
= —.
Ti
14
15
15
15
15
8
8
16
16
16
16
=
=
h=3'
13
- V
14
1
2
3
4
10/111
15'
:4'8
1 5'
:4 8'
:4'8
4'8
15'
15'
16
5
15
15
15
16
16
6
7
15
15
16
8
15
c'
3;
c^
2
3 7'
c'
4Öl{lIll5)
7'
5(5 3(11116)
6
5 5(1 lllj)
2
552(11115)
751(11115)4,8-
r
6"
2 (5 1)( 11115)^23.
65(11115)23,
'
6
C:
3'7
C:
3'7
10;t:3(ljrlll)
2'6
c
2 6'
C:
2 6'
2'6
8(;^4)(1^11I)
18 (z 3) (1.Till)
3
h-b--
7'
7(x4)(l^lll)
_
26
18
(zD
48
18
(z 3) (3 111)1,3,
37
7
26
18
37
10x3(3111)3,4,
(3 111)1,3,
3'7'
a'
1'5'
a
3'7'
~ 2'6'
_ 3'7'
~ 2'6'
a _ 3'7'
^ = 4'8'
«'
a
15
3;
2
701(11114)2.3'
7'
:7'
c^
h.
h-
1'5'
a'
a
2(llll4'2-3'
3'7'
a
15
^6'
5 5 111
b
14
-7
9
7r.
55
r
=
=
5(<51)(1I1U2,6'
(;f
4) (3 111)2,3.
iz 2) (3 111)2,3
a'
15
16
9
15
^
a'
b
a _3'7'
15
16
10
15
a
15
16
11
15
15
16
12
1
5
16
13
15
a
a'
15
16
14
15
«
16
15
15
15
16
16
15
15
16
17
15
15
15
15
15
16
16
16
16
15
16
15
16
21
18'
18'
18'
18'
22
18'
18
19
20
4'8'
_
~ 4'8'
_
2'b'
2'6'
a
l'ö'
1 t>
a'~2^
a _ 1'5'
= 4'8'
^
a'
^
a
VW
a'
4'8'
= l'8
a = 45'
n= 1'8
=4
rt
rt
1'5'
18'
a
= 2'6'
21(^1)
(3 111)3,4,
26
8
(x 3) (3 111)2.4,
48
8
(x 4) (3 111)2,4.
37
7
(x 3) (3 III)i,2,
5'
j
48
18
ö
= 37
&
= 26
2'3
:2'3
2
= 1'8
3'
8
c
6'7
c-
6'7
c
3' c'
2'3
2
ix 3) (3 111)1,3,
10;^ 1(3 111)1,4,
2 3' C:
2'3 c
2
23
c
ix 4) (3 111)3,4,
1'5'
a'
w/
15
h:
_2'6'
'~~
a'
15
_
= -~.
8
.
3'7'
a'~4^
a
48
4'&'
a'
c
3' e'
6
6
7'
7'
(;f2) (3 111)1,4,
10
;t 1(4111)
lü;i;3(4lll)
8(zl)(41Il)
18 ix 4) (4 111)
6'7
6
7'
10/2(4111)^2'
6'7
6
7'
11/1(4111)2
2-
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
542
Ab-
Sym-
leituugs-
metrieart
form
ab
ab
ab
ab
ab
ab
c
15
15
c
15
c
15
15
15
15
15
c
c
c
abc
abc
^b'c'
15
Syrametrie-
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
gi-össe
16
16
16
16
16
16
16
16
16
Symbol
Explicite
Symmetrie
24
25
26
27
28
29
30
10;i:III
,,
,,
,j
1 1'
,,
1 1'
>i
1 1'
1 1'
)>
31
32
))
1 1'
))
1 1'
b c
15
16
33
abc
abc
ahc
abc
abc
abc
abc
abc
15
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
34
35
36
37
38
39
—,bc
15
—&c
15
14'
14'
14'
14'
b c
a
a
,
a
4V
15
40
jj
41
jj
18
18
18
18
14
14
14
14
16
42
j)
14
16
43
>»
18
16
j,
jj
j,
j,
,,
jj
44
= l'4
= 5'8
a = 1'4
a = 5'8
a = 4
=8
a = 4
a = 44'
4'
16
45
18
))
a
a
«1 «2
tti
«2
29
24
24
1
a
rtj
«1
02
a^i
30
31
24
24
1
19z in
II1I2
c
7 7'
3
3'c
b'~
2
2' c'
~6
8^4)
(4 III)
7(z3)(l/III)
10z
1
(Ulli)
8Ui)(i/ni)
18
(z 3)
(1/
III)
6'
-33'c _77'
^_o8'^
""-^^
iizi(izin),3
b'-22'c'-66'
= 67
= 67
c = 6'7'
c =
c = 27
c = 27
c =
c =
c = 27
c = 67
= 23
= 23
=
= 2'3'
= 36
& = 36
b = 3'6'
b = 3'6'
= 36
a == 1'8'
a=r4'5' &
1'8' b
a
4'5' b
a
1'4' 6
a
c
fc
=
=
=
a=
a =
a = 5'8'
5'8'
1'4'
«=f8',
a
14
«,
a'
c
2'3'
6'7'
2'7'
2'7'
fe
= 4'5'
= 23
;j;
Z,
b
-,_, h
""-^^
23
lox(u'iii)
dz' III)
7 (z 2)
8(z2){lz'III)
8 (z 3) dz' III)
7(zi)(iz'ni)
10z 2 dz' III)
i8(zi)dz'in)
18 (z 2) dz' III)
iizi(iz'ni)i.5,
iiz(iz'ni)i-4'
67
c
~ 2'3' ~ 6'7'
7 (z 2)
e'
23
dz' 111)^3,
6 7
c
- 2'3' c - er
a=
a=
l'22 6i
02=
II1I2
19(5111
22
2'
7te4)(4IIl)
18 U3) (4 III)
11z dz' 111)3
3'
Kubische Syngonie.
2
1
7'
b
m
II1I2
«1=1'
a=l2'2i6
22 61
= 4
«1 =
4i
a^ =
42
«1 = 3 72
a = 32 7i
= 3i 7 82
4 7i
a = 82
«1 = 3
4i 72
«2 =
42 7
a =
22 32 61 7i
2 3 62 7,
«1 =
«2 =
2i 3i 6 7
a=
4 6,72'
22
4, 627'
Ol =li' 2
«2 =
42 6
2i
a
72'
3i'
19 z (13
III)
25 (zD (13
111)
2 62
82'
3'
II1I2
li'2 62
l2'2i6
02=1,'
a
7'
2'
b'
29
7'
7{;;3)(411I)
lixDHxmls
b' c'
VI.
c
3'
4'
b'
b c
c
3'
8'
c'
15
&
a
rt
= 2'7
= 2'7
c = 2
c = 27'
c = 7
c = 7
c = G6'
=2
= 36'
= 36'
ö = 3'6
ö = 3'6
& = 3
& = 3
& = 2
& = 66'
n
18
„
des Systems
Verbandsymmetrie
7'
19(51(13111)
7i'
8'
81'
22(13111)
(I2
a «1 «2
32
24
1
2 2z III
(15')3
72' 8'
3i'
32'
7' 81'
3'
7i' 82'
3i
a a^ a^
a
ai 02
32
32
24
24
2
3
(18)3
(U')3
8'
1'
1'
li'
81'
I2'
82'
3i'
82'
I2'
3'
7i'
22z
l
(13a
22 z (13
III)
9> III)
9 (zl) (16
III)
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
543
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
Charakteristische Zahlen
Nj.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
Triparallelo6dersysteme XVI. Ordnung
1,
15
a
-bc
15
a
16
10;^ III
15
a
15
a
15
a
16
a'^4'
15
a
,
15
a b
16
_
16
6
=7
c
=3
10/1(1111)1,4,
b
=2
c
=6
8
16
5'
6
=6
6
=7
=2
=7
c = 3
4'
a'~4'
16
6
=2
c
16
c
16
6=3
_5'
a
a
5'
a
5'
a
5'
6=6
6
e
7
"2'
6'
=
6
3
c
6'
2
c'
6
3
c
b' c
6'
2'
c'
b c
6
3
c
b c
15
''b'7
16
a
10
b c
15
16
16
16
a=l'
11
=8
a =
a=8
a
12
b c
b c
15
16
13
16
14
b c'
b c
15
16
a=l'
15
~"
2
C
3'
c
6'
2
&
6
3'
2'
3'
a
16
=
8'
a
— bc
15
16
17
— be
15
16
18
-ifec
a
15
16
19
— bc
15
a
a
a'
51.
a _4'
a'"~2'
20
erscheint,
dass ausser für die
dieselben
trikline
Auffindung der Ableitungsformen, so
Am
schärfsten
ist
~6'
7
(;t
3) (1111)2,3
7
(;,;
4) (1111)2,3
6'
18
(;k1) (1111)2 3,
18
ix 2) (1 111)2 3'
18
(;t
6
~6
_T
& ~
_T
6'
3) (1111)2,3-
c
& ~6'
8
ix 4) (1 111)2-3-
c
=2
21(;fl)(llll),
6
=2
c
=6
21
(z 2)
6
=6
21
ix 1) (1 III);
6
=2
21
(x 2) (1 lll)i
=2
c = 6
c
dass
so
viele
(Uli),
Analogien,
Diese Analogien rühren
stets
dieser
Fällen diesen Systemen dieselben Punktsysteme zu Grunde liegen.
fallende Analogie auch in den Symbolen.
3
=6
Syngonie diese Raumfiguren
Da aber
kommt es,
ix 1) (1 111)4,5
6
zusammen zu behandeln.
welche nicht singulären Colonnen zugeordnet sind.
bei der
2'
10x2(1111)2
(z 4) (1111)4,5,
_7'
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme haben unter einander
dass es sacbgemäss
daher,
16
~
21
_7
~6
_7
3 1111)4,5,
c
ö'~2'
_2'
a _2'
a'~ i'
a _i'
8
_7'
"6'
_7'
6
16
=2
c
6'
15
ix 4) (1 111)4.5
3'
b c
c'
18
6
6
4) (1111)4,5,
(;^
=6
c'
6'
(1111)1-4
;f
6'~2'
b' c'
V
c'
in)r4-
10
_7
~
l'
b c
b c
15
8'
te 1) (1
18^3)
c
3'
3) (1 111)1,4.
(;t
c
a'~4'
a' b' c'
ist
7
a'~4'
c
15
=7
1'
a'
15
c
_1'
a
—.bc
=3
16
a
~bc
&
4'
a!
a
— bc
a
_1'
a
«
—
&c
Grenzflächen besitzen,
Umstand der wichtigste
in
den überaus meisten
Daraus entsteht
die auf-
diese Analogie für die tetragonale
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544
und
die liexagonale Syngonieart ausgeprägt (für die letztere zeigen
die Triparalleloedersysteme auffallende Analogie).
kubische Syngonie zu Tage, da
schied für die
Umgekehrt
z.
tritt
Systeme
B.
II.
mit diesen Systemen auch
am
schärfsten der Unter-
Ordnung nur unter den
Hepta- und nicht unter den Hexaparalleloedersystemen bestehen.
Was
(resp.
II.
lal, Ha), laa
Syngonie haben wir die
paralleloeder und
Ordnung betrifft, so ist offenbar, dass allein die Ableitungs(resp. ala, aal) und aaa denkbar sind. Für die trikline
Gleichwerthigkeit der Ableitungsformen all und aaa für die Hexa-
Systeme
speciell die
formen all
all und laa
laa
systeme,
aber
für Hexaparalleloeder
Schichten
die
I.
indem
für die Heptaparalleloeder,
sich auf triparallelogonale primäre Schichtensysteme,
aaa
auf diparallelogonale
die ersten wie die letzten
für Heptaparalleloeder auf Gitter-
Schichtensysteme beziehen.
Ordnung der Schichtensysteme nur den singulären Flächen
Da
ent-
sprechen können, welche für die kubische Syngonie unmöglich sind, so ergiebt sich daraus
von
dass für dieselbe die Hexaparalleloedersysteme unmöglich sind.
selbst,
Sonst
ist
der Ableitungsgang der Systeme
II.
Ordnung
aufklärender Bemerkungen bedarf^).
so einfach, dass er schwerlich
/
ersehen wir als einen recht allge') Bei dem Vergleich ganz verschiedener Paralleloedersysteme
meinen Fall, dass denselben ein und dasselbe regelmässige Punktsystem zu Grunde liegt, was übrigens
aus den Symbolen direct einleuchtend ist. Da aber sämmtliche regelmässige Punktsysteme sich unter
einander durch das Gesetz der Vertheilung der Symmetrieelemente scharf unterscheiden, und auch umgekehrt diejenigen, welche dieselben Symmetrieelemente in derselben räumlichen Vertheilung enthalten,
als ein einziges aufgefasst werden, so zeigt dieser Umstand, dass die Verschiedenheit solcher Systeme
nicht in dem Gesetz dieser Vertheilung ihren Grund findet.
Von Anfang an wurde in dieser Arbeit hervorgehoben, dass jetzt nicht nur allein die Symmetrieelemente und deren Vertheilung im Räume, sondern auch die Vertheilung der Colonnen und Schichten
und deren Verhältniss zu den Symmetrieelementen in Betracht zu ziehen sind. Es wurde von Anfang an
festgestellt, dass diese letzte Vertheilung in den Systemen der Paralleloeder verschiedener Art verschieden
Dabei bleibt es überhaupt gleichgiltig, ob wir mit primären oder beliebig secundären Paralleloedern
ist.
operiren, da diejenigen Constructionen, welche hierzu
Colonnen und Schichten im
Aber
führen, die
es ist
Form
am
Räume
dienen,
keinen Einfluss auf die Vertheilung der
besitzen.
Platze, darauf hinzuweisen,
dass es besondere Constructionen giebt,
welche dazu
der als primär aüfgefassten Paralleloeder zu ändern, oder sogar die Paralleloeder einer
Art in eine andere zu überführen.
Fig. 21.
Fig. 20.
Um
Art an einem Beispiel zu veranschaulichen, vergleiche man die in der
Man sieht, dass sie zu denjenigen gehört, welche ein primäres
Paralleloeder in ein secundäres- verwandeln; wenn aber auch diese Construction keinen Einfluss auf
die Vertheilung der Schichten und Colonnen besitzt, so wird durch dieselbe doch die Form des ParalleleFig. 20
die Constructionen
dargestellte
I.
Construction.
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545
Die Systeme
52.
nur auf
die
Was
III.
Ordnung
sind den Triparalleloedern so nahe analog,
Ausführungen des § 40 Bezug zu nehmen
nun die Lage der polaren Schraubenaxen
dass jetzt
ist.
so
betrifft,
ist
leicht
zu
beweisen,
dass ihre Schnittpunkte mit den Grenzebenen durch folgende Construction bestimmt werden.
Für das Hexaparalleloeder (Fig. 22) ziehe man die längere Rhombendiagonale ab, hc
und ca und von Punkt Ä aus die Geraden Äe und Äe', wo e und e' die Mittelpunkte der
entsprechenden Kanten sind. Die Schnittpunkte r bestimmen die rechten, und die Schnittpunkte
die linken
l
Axen.
Fig. 22.
Fig. 23.
Für das Heptaparalleloeder
verbinde die Eckpunkte
mit den Mittelpunkten
die
Lage der rechten,
-4,
e, e',
/",
man die Diagonalen aa% hh' und gc\ und man
und C" der zur Axe senkrechten Grenzebene resp.
(Fig. 23) ziehe
A\
B, JB\
C
f, g und
die Schnittpunkte
g'
l
der
eders wesentlich verändert; es entsteht diejenige Form,
Die Schnittpunkte r bestimmen
Kanten.
die der linken
Axen.
welche vom. Verfasser
verlängertes Hexaparalleloeder bezeichnet wurde.
Noch tiefgreifender ist die in der Fig. 21 veranschaulichte
den
seit
70®''
Jahren
Construction, welche, obgleich sie ebenfalls
zu denjenigen gehört, welche die primären Paralleloeder in die secundären verwandeln, aber jetzt,
Wesen
nach, das Paralleloeder einer Art,
als
und zwar das Tetraparalleloeder,
dem
in ein Paralleloeder anderer
Art, in das Triparalleloeder, verwandelt, oder auch umgekehrt, das Triparalleloeder in das Tetrapai-alleloeder.
Als Eesultat dieser Construction erhält
sieht aber, dass
man
man
eine ganz andere Vertheilung der Colonnen
und Schichten. Man
dieses Eesultat nicht stufenweise, sondern nur auf einmal, abrupt, erzielt; es giebt
keine Uebergänge zwischen beiden exti-emen Fällen, und somit kann kein Zweifel entstehen, von welchem
Punkt an man anstatt des Tetraparalleloedersystems ein Triparalleloedersystem, oder umgekehrt, erhält.
Derartige Construetionen lassen sich auch für andere Paralleloederarten aufstellen. Auf diese Verhältnisse wurde vom Verfasser seit der Aufstellung der Theorie der regulären Plan- und Raumtheilung
hingewiesen
Zum
(E. G. L. § 58).
Schlüsse sei noch erwähnt, dass unter den hier aufgestellten Systemen auch so nahestehende
vorkommen, dass
es
aufzufassen wären.
vielleicht
in
Hierzu gehören
Frage
z.
B.
gestellt
einerseits
werden
alle
kann,
ob
dieselben
nicht
als
identische
diejenigen Tri- und Tetraparalleloedersysteme,
die Einheiten asymmetrisch sind und zugleich Symmetrieebenen als die peripherischen
Elemente der Verbandsymmetrie auftreten, andererseits diejenigen, in welchen dieselben Symmetrieebenen explicit auftreten, wenn dabei das zu Grunde liegende regelmässige Punktsystem dasselbe bleibt.
Es giebt in dieser Hinsicht analoge Fälle, in welchen die 2-zählige Symmetrieaxe einerseits peripherisch,
in welchen
andererseits explicit auftritt.
Analoges
gilt
für Triparalleloedersysteme mit
asymmetrischen Einheiten
und peripherischen 4-zähligen Symmetrieaxen u. s. f. In allen derartigen Fällen sind die Systeme zwar
durch entsprechende Symbole von einander scharf zu unterscheiden (die Systeme erweisen sich nothwendiger Weise als zu verschiedenen Ordnungen zugehörig), aber denselben liegen nicht nur
identische regelmässige Punktsysteme zu Grunde, sondern auch die Vertheilung der Schichten und
Abh.
d.
n.
Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd.
II.
Abth.
70
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546
Da
53.
Auffindung der Systeme IV. Ordnung umständlicher
die
wollen wir die-
ist,
selbe etwas ausführlicher angeben.
Drei Zahlen abc der Ableitungsform können keineswegs säramtlich von einander un-
abhängig
da dies mindestens das System VIII. Ordnung bedeuten würde.
sein,
Betrachten wir zuerst die phanerotopischen Hexaparalleloedersysteme.
Keine von den Zahlen b und c kann gleich 1 sein. Wenn eine davon gleich 1 wäre,
so würden wir eine Colonne I. Ordnung und nicht singulärer Richtung haben; eine andere
Colonne
gleichwerthige
I.
Ordnung würde
Auch
Schicht
einer
I.
Ordnung
keine von den Zahlen c und b kann
nicht singulärer Richtung
da wir sonst eine Colonne
gleich a sein,
Entstehung
die
bedingen, und das System wäre kryptotopisch.
hätten,
und
gleich 1
sein
erhalten
System ein kryptotopisch es wäre.
folglich das
Für Heptaparalleloedersysteme haben
dass
wir,
Auch
kann, und zwar aus demselben Grunde.
keine
für sie
da diese Gleichheiten die Entstehung der Reihen
I.
bedingt hätten, und zwei gleichwerthige Colonnen
der
Zahlen
drei
kann a weder b noch
c
gleich sein,
Ordnung und nicht singulärer Richtung
Ordnung würden die Entstehung eines
I.
Schichtensystems bedingen.
Wenn
54.
charakteristische Zahlen
kann;
und
ist
""
b
sein
Ordnung -- vorhanden
eine Colonne höherer
.
.
bestimmt wird,
j-
wäi-e dies der Fall,
die Einheit a' angehört hätte,
so folgt,
wenn
dass,
b
=
andere durch
eine
nicht gleich
b
a,
b'
würden wir ein Netz I. Ordnung haben, welchem auch
und dann würde auch a gleich a' sein, was der Annahme
so
widerspricht.
Daraus
folgt,
dass
wenn
—
Ordnung
eine Colonne höherer
d
keine phanerotopische Colonne durch eine der Zahlen a oder
werden kann.
Wenn
bestimmen
a =^b,
die
so
ist
einzusehen,
leicht
Einheiten a und b
parallelen Reihe
I.
Ordnung an und
eine Reihe
dass
I.
auch
a'
Ordnung;
=
b'
a'
sein
und
a'
vorhanden
ist,
charakterisirt
muss.
In der That
gehören aber einer
b'
sind folglich unter einander gleich.
als analog angesehen werden. Dem Wesen nach besteht hier der Unterschied darin, dass,
einem Fall für eine einzige mit expliciter Symmetrie begabte Einheit gilt, in anderem Fall für
eine Gesammtheit von 2, von 4 Einheiten angenommen wird, welche dabei ebenso viel in ihrer expliciten
Symmetrie verlieren.
Ich halte aber denjenigen Standpunkt in rein geometrischer wie in praktischer Hinsicht (in Bezug
auf die 'Anwendungen auf die Theorie der Krystallstructur) als allein richtig, von welchem aus solche
Colonnen darf
was
in
Systeme
als
Vom
verschiedene behandelt werden.
rein geometrischen
Standpunkte können wir nämlich
als
Einheiten ebenso asymmetrische wie
durch verschiedene Symmetrieelemente ausgezeichnete Einheiten annehraen, und dieser Umstand allein
Dabei aber ergiebt sich auch der Unterist hinreichend, um den Unterschied der Systeme festzustellen.
schied in den gegenseitigen Verhältnissen der Symmetrieelemente
Vom
Standpunkte der Anwendungen
ist
natürlich die
und Colonnen
resp. Schichten.
Frage, was eigentlich für eine Einheit
der Krystallstructur anzunehmen wäre, nicht einstimmig und unwidersprechlich aufgelöst, und es bleibt
noch
viel
Raum,
diese Frage von verschiedensten Seiten zu behandeln
kalischen Folgerungen von verschiedenen
von Anfang an Dinge zu
identificiren,
Annahmen
zu erschöpfen.
und
in
erster
Linie die
physi-
Es wäre also nicht zweckmässig,
welche nach einem längeren Ueberlegen und Experimentiren al»
sehr verschiedene sich erweisen können.
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547
Für Systeme
IV. Ordnung
°
J
höherer
Annahme
die
ist
—
zweier verschiedener Colonnen
und
;
a'
Ordnung unmöglich, da
überhaupt nur
jetzt
verschiedene
drei
=b'
charakteristische
Zahlen zur Verfügung stehen.
Bei der Auswahl der charakteristischen Zahlen sind folgende Beschränkungen zu
55.
berücksichtigen.
Für das Hexaparalleloeder sind
expliciter
Form
symmetrie
bei
Annahme
da diese
geschlossen,
zur Folge
sein.
Auftreten
=
so ist &
3',
der
und dann würden
liätte,
=
Ist c
Annahmen a
die
das
a
7',
=
sie
=
=
«
3,
7,
=
56.
sichtigen,
=
=
3',
=
a
a
7',
=4
ausin
überhaupt kein Element der Verband-
5.
Für das Heptaparalleloeder ist nothwendig anzunehmen,
a
3, b
3 und bei
7, und umgekehrt (bei a
7, c
=
a
entsprechenden Symraetrieelemente
dass
=
b
=
=
=
a
bei c
7,
a
3,
=7
und
3).
Für Systeme der monoklinen Syngonie sind verschiedene Grundtypen zu berückund zwar 3;^ VI und 3x^1' für das Hexaparalleloeder, 3;|jVII und 3x^11' für
das Heptaparalleloeder.
Sx^l
Für den Typus
direct sämmtliche
die
Zahlen
b
Für
und
c
=b
c,
öl
5
—
(resp. c)
noch a
noch
—
3;«;
.
aber nicht
,
nicht
=
—5
permutirt
b (resp. c)
werden.
5'
erhalten
wir
der Zahlen,
wobei
hat darin
seinen
Dies
setzen kann.
man a nur
gleich
5
—
1' central ist;
setzen, da
.
gleich gesetzt werden.
I.
VI' und phanerotopische Systeme
ist
ebenfalls
weder
=
&
c
noch
zu setzen erlaubt, und nun bleiben die Zahlen b und c zu permutiren.
In den kryptotopisehen Systemen kann die Colonne a
auftreten, da weder
a
=4
=
noch a
8' zu setzen erlaubt
zulässig (daraus würde nothwendig 5'
Annahmen
und
5
1',
durch einfache Permutation
Systeme kann
5'
Für den Typus
a
=
b
die kryptotopisehen
h kann ausser
Verbandsymnietrieelement
gleichwerthige
als
man weder
Grund, dass
mit
phanerotopische Systeme
übrig,
und zwar
b
—
=—
explicit
h
b'
und
-
8'
b'
7-,
0'
überhaupt nicht kryptotopisch
4
ist.
erscheinen).
= -r4
Für
b ist das Setzen
—
nicht
o
Es bleiben also zwei zulässige
b'
•
Für den Typus 3;|;VII der Heptaparalleloeder haben wir mit dem Typus 3;fVI
so
auffallende Analogie, dass es nur der Wiederholung bedarf.
Sämmtliche phanerotopische
Colonnensysteme,
da
dieser
der Verbandsymmetrieelemente 3
gehören kann.
Nun
singulärer Richtung;
aber,
dass b
=
c'
existirt
sie
und
c
muss
=
6',
dass allein die Ableitungsform
Systeme auf
die einfache
in
IV. Ordnung
Heptaparalleloedersysteme
Raumfigur
7
Colonnen
zugeordnet sind,
und keine von ihnen zu mehr
dem Typus 3;^ VII' nur eine einzige
ist,
also
also
abb
als
die
einer
(verticale)
Anzahl
Colonne
Colonne
nothwendig die Colonne I. Ordnung sein; daraus folgt
Diese Bedingung führt aber dazu,
b ==b' =^ c^=- c'.
zulässig
ist,
und dass
die
vollständige Darstellung
und vollständige Permutation der Zahlen
Für kryptotopische Systeme
überhaupt
sind
während
ist
Symmetrieelement central wäre); auch
die
ist
Annahme
die
&
=4
Annahme
-;
Ol
4, 5'
und
8'
überhaupt unzulässig
= ^,o
der
hinauskommt.
(da
das
ausgeschlossen (dies würde
70*
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548
zur
expliciten
und
-=-.
Symmetrie
Es bleiben
führen).
also
Annahmen
die
=
^
5'
q-,
5'
und «
= ^,
4
allein zulässig.
5
Für
57.
rhombische Syngonie
die
ist
zuerst hervorzuheben, dass nicht bei allen
Grund-
typen entsprechende phanerotopische Systeme vorhanden sind, und zwar diejenigen nicht, welche
Grenzflächen besitzen, deren zugeordnete Colonnen von ganz allgemeiner Lage sind, d. h.
zu allen drei singulären Richtungen schief stehen.
zahl
4
gleichwerthig
Sehen wir von der
auf.
Solche Richtungen
8.
Elemente der Verbandsymmetrie schneidende
sämmtliche
genommen, bestimmt
eine Reihe resp. eine Colonne
ein Schichtnetz
eine
resp.
Schicht
können aber nicht phanerotopisch
I.
Die Systeme der
sein.
An-
der
in
Jedes
sind.
derselben,
einzeln
Ordnung; zwei derselben würden
Ordnung bestimmen.
I.
treten
Symmetrieart ab, so finden wir, dass
Solche
also
Systeme IV. Ordnung
Symmetrieart lassen sich aber
8.
von den vorigen durch Einführen der expliciten Symmetrie ableiten.
Dabei bleibt aber die
Ableitungsform unberührt erhalten.
Somit sind
die
Systeme nur für die Typen
phanerotopischeu
die
3 93" VII, 895" VII',
7
;{
VI und
7;^
VII
charakteristischen Zahlen
die
VI, 7 VII, 3 (p" VI,
gilt
dabei
allein
Für jede Symmetrieart sind
Ableitungsform abc, und für Heptaparalleloeder ahb.
dann nur
7
Für Hexaparalleloeder
zulässig.
permutiren mit Rücksicht auf die scheinbare
zu
Symmetrie.
Die kryptotopischen Systeme lassen sich
Schichtnetzen
Ordnung bestehen,
I.
welche aus lauter Schichten resp.
solche,
als
besonders einfach ableiten,
in
Anbetracht,
dass
die
Schiehtebenen nur die singulären sein können,
Für
58.
die
Systeme der tetragonalen Syngonie
Symmetrieelemente
zweckmässig,
die individuellen Eigenschaften dieser
peripherischen Symmetrieelemente stehen
in dieser
Verfügung sind oben
.
zu Stande.
zur Verfügung.
Das Auftreten eines centralen Elementes
Ordnung zur directen Folge. Ist aber diese Colonne
werden dadurch 4 Colonnen (in der Anzahl der gleich-
Ordnung bedingt
;
folglich
kommt
das
Speciell für 1' (a des Hexaparalleloeders) wird zuerst
topische Schicht bedingt; für dieselbe gilt aber jetzt der
richtung nicht
die
singulare
Deckaxen nothwendig, dass
vorhanden sind. Auf Grund
Richtung
Richtung nicht
die
auf,
so
singulare
Satz, § 29;
obgleich die Gleit-
tritt
das System phanerotopisch.
ist
ist,
ein
4-zähligen
so
wird
ein
Schicht-
Colonne der singulären Ebene parallel
so
sein.
muss
die
Solche
in diesem
einziges centrales
Tritt ein schneidendes
resp.
Element
Element
Wenn
aber die
Schichtnetzsystem
bedingt,
dadurch das Colonnensystem bedingt.
nur singulär sein können,
einfach darstellen.
der
Folgerung aufzustellen, dass auch
Kurz ausgedrückt,
ist.
welches nicht das phanerotopische sein kann, sondern nur das kryptotopische.
die Schichten
System
phanero-
die singulare
doch aus dem Vorhandensein
dieses Satzes ist die
ist
1.
phanerotopische
nur
zugleich beide unter einander senkrechte Gleitrichtungen
stets
der Verbandsymmetrie auf, so
in singulärer
folgt
so
ist,
Falle das System phanerotopisch
Die
Die wenigen Beschränkungen
II.
von nicht singulärer Richtung, so
II.
frei
es erscheint
Elemente tabellarisch darzustellen.
erwähnt.
(§ 55)
hat die Entstehung einer Colonne
werthigen Richtungen)
die Möglichkeit des Auftretens der
ist
Verbandes in ansehnlichem Grade beschränkt, und
als die des
Wie aber
jetzt
durch das gesagte Element bedingte
Systeme lassen sich
aber
besonders
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549
Nun
wir
lassen
Eigenschaften
diese
alle
der
Symmetrieelemente
zu-
tabellarisch
sammenstellen.
1'
2
3
Heptaparalleloeder <{b
s
c
8
Tabelle
dieser
—
8
8'
4'
7
3
5
7'
3'
5'
s
s
cscph — sxx
X xsscph
a
In
4
6'
ssxph — phxx — — — —
— — — —
—
"Jbsphcs — xx
Hexaparalleloeder
Schichtnetzsystem,
2'
6
aphs
— — —
—
— — —
— — — —
xssphc
— — — —
xssphc
x
X
bedeutet
bedeutet
c
s
s
s
•
s
s
s
ph
ein
phanerotopisches
peripherisches
s
Schicht-
c
c
Colonnen-,
c
,
c
c
—
—
—
•
—
—
—
—
—
und x
Symmetrieelement
ist
resp.
un-
ein
zulässiges.
Die Aufsuchung der Systeme bezieht sich eigentlich auf die
und 11. Symmetrieart,
der 10., 12., 13. und 14., welche explicit das Element 5 enthalten; die
übrigen lassen sich von den vorigen einfach durch Hinzufügung der expliciten 2-zähligen
Symmetrieelemente ableiten. Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich ebenfalls aus
und auf
9.
diejenige
den vorigen durch die Einschaltung der 2-zähligen Symmetriearten in expliciter Form darstellen;
man braucht
Es
sichtigen.
und
aber dabei nicht alle vier (und zwar 10., 12., 13. und 14) zu berück-
nur
sind
untergeordneten Symmetriegruppen auszubilden (5., 6., 7., 9.
und dann nur diejenigen zu berücksichtigen, welche dazu gedie
11. Symmetrieart),
Wie
eignet sind.
aber die einzuschaltenden Symmetriearten die Gruppen darstellen müssen,
welche nicht der Gruppe der Verbandsymmetrie untergeordnet sind, sondern davon unabhängig
können wir
sein muss, so
z.
art durch Einschaltung der
diese
Weise
die
5.,
speciell für die 9.
6.,
7.,
B. sämmtliche Systeme aus den Systemen der 12. Symmetrie-
Symmetrieelemente
aber nicht die
müssen wir
die
9.
Systeme der
2',
2, 4, 6, 8,
4',
6', 8'
darstellen,
und 11. Symraetrieart
14.,
und
speciell für die 11. die
und auf
einschalten;
explicit
13. (oder 10.)
Symmetrieart berücksichtigen.
59.
Für
die
Systeme der hexagonalen Syngonie haben wir nur
die für Triparalleloeder
geltenden Betrachtungen zu wiederholen.
60.
Die
Systeme
28. Symmetrieart,
schaltung der
und
der
diese
expliciten
kubischen
Syngonie
lassen
3 -zähligen
säramtlich
sich
von denjenigen Systemen der
6.
Symmetrieaxe ableiten,
von
denen
Symmetrieart durch
welche
solche
die
der
Ein-
Einschaltung
zulassen.
Für Hexaparalleloedersysteme sind
paralleloeder
diejenigen
also
nur die Systeme
phanerotopischen Systeme der
6.
1,
2 und
3,
und für Hepta-
Symmetrieart zu berücksichtigen,
welche dem Typus 6 VII zu Grunde liegen, solche sind aber nicht vorhanden.
Daraus
ist
zu schliessen, dass überhaupt Heptaparalleloedersysteme IV. Ordnung der kubischen Syngonie
nicht möglich sind.
Von den
Grunde liegenden Hexaparalleloedersystemen lassen nur 1. und 3. die
genannte Symmetrieaxe einschalten.
Es sind also nur zwei Hexaparalleloedersysteme
IV. Ordnung der 28. Symmetrieart möglich. Die Systeme der 29. Symmetrieart lassen sich
von denselben durch Hinzufügung des Inversionscentrums ableiten; die beiden sind möglich.
Die Systeme der 30. Symmetrieart würden durch Einschaltung der Symmetrieebene 8, und
die
drei zu
Systeme der 31. Symmetrieart durch die Einschaltung der 2-zähligen Symmetrieaxe
4'
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550
Stande kommen; solche Einschaltung ist aber nur für System
Endlich lässt sich ein einziges System der 32. Symmetrieart durch
Symmetriearten
Für
61.
Systeme VI. Ordnung
die
die
zulässig.
Einschaltung der
und 8 zusammengenommen ableiten.
5'
4',
(13 VI)
19
zu
haben wir nur
die
für Triparalleloedersysteme
geltenden Betrachtungen zu wiederholen.
Bei der Auffindung der Systeme VIII. Ordnung und rhombischer Syngonie sind
62.
die
Typen
7;^
VI, 6;[;VI, 6;kV1I und 7 % VII zu berücksichtigen.
Schicken
Vorbemerkung den Satz voran, dass jetzt die Schicht- resp.
In der That würden solche Systeme als aus lauter
I. Ordnung aufzufassen sein, und dann wäre
resp.
Schichtnetzen
Schichten
wir
als
erst
Schichtnetzsysteme ausgeschlossen sind.
parallel gestellte
das die Einheiten jeder ersten und dritten Schicht verbindende Symmetrieelement ein vier-
was für
zäbliges,
die
Systeme der rhombischen Syngonie ausgeschlossen
Somit
ist.
ist
aber
zugleich jedes Verbandsymmetrieelement ausgeschlossen, welches eine Colonne resp. Colonnenreihe
Ordnung
I.
Richtung bedingt.
in nicht singulärer
Darauf fussend,
ist
es leicht, die hierzu
Für den Typus
7 7
VI
Verfügung:
1',
pherisch, 5
ist
h
und
I.
Ordnung.
c
2, 2', 5, 5',
6' für
für a,
central;
ft
Von
6'.
und
übrigen
alle
überhaupt nur folgende Verbandsymmetrieelemente zur
stehen
6 und
gehörenden Systeme erschöpfend darzustellen.
diesen
2' für c
sind
ist
schneidenden
die
für sämmtliche Grenzflächen peri-
5'
peripherisch;
1',
und
2 und 6
bedingen
sind
resp.
für
a,
Colonnenreihen
die
Für phanerotopische Systeme sind die letzteren überhaupt ausgeschlossen, da ein solches
Element eine Schicht IL Ordnung bedingen würde, und das phanerotopische System, welches
aus lauter solchen parallelen Schichten IL Ordnung bestehe, wäre das System IV. und nicht
Für phanerotopische Systeme bleiben somit nur die peripherischen und
VIII. Ordnung.
centralen
Elemente zur Verfügung stehen.
beliebig auswählen, z.B. &
=
c
2,
= 6;
In Folge
dann
ist
dessen
aber a
=b
d auszuwählen; nehmen wir
bleibt (§ 26) eine andere Fläche
können wir zwei derselben
nothwendige Folge, und
es
und
6'
in
nothwendiger Weise in diesem Fall peripherisch
aufti-eten,
d=h'
Annahme d=^\'
unzulässig
ist,
und
es bleibt eine einzige
ein einziges hierzu gehöriges
Schichten IL Ordnung vorhanden
Schichten
so finden wir, dass die
Annahme
und somit kommt
übrig,
System zu Stande.
Alle übrigen Systeme sind die kryptotopischen.
parallelen
dass 2'
Betracht,
bestehend
sind,
zu
so
Da
in denselben
sind die Systeme
betrachten.
Diese
selbst
Schichten
nothwendiger Weise
aus
als
bilden
lauter
aber
solchen
dabei
eine
Der Bestimmtheit wegen können wir für diese Schichten die horizontalen annehmen; somit werden die Combinationen der Symmetrieelemente durch zweckmässige Vertauschung bestimmt.
kiyptotopische Reihe.
Für den Typus
6;^ VI,
wo
die
Symmetrieelemente
1', 4, 4', 5, 5', 8, 8'
stehen, finden wir, dass nur 5' für sämmtliche Grenzflächen peripherisch
flächen h und c sind sämmtliche übrigen Elemente die schneidenden.
irgend eine Auswahl,
unmöglich
ist,
in
also die
7% VI
zur Verfügung
für die Grenz-
Daraus kommt, dass
welcher zwei schneidende Symmetrieelemente ausgeschlossen sind,
Systeme
selbst
unmöglich
sind.
Die Heptaparalleloedersysteme und zwar des Typus
die Analogie mit
ist;
stützend.
7 % VII erhalten wir direct, sich auf
Die Systeme des Typus 6;fVII sind ebenfalls unmöglich.
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551
Für
63.
Systeme der tetragonalen Syngonie sind die Schichtsysfceme
die
das
polare
die
ist
welche
eine
zur
4-zählige
Schraubenaxe.
singulären Richtung
gänzlich ausgeschlossen.
Diejenigen,
Diejenigen schneidenden
schief
ist:
Symmetrieelemente,
Ordnung bedingen, sind
der singulären Ebene parallele Colonne
stehende Colonne
welche eine
da
zulässig,
4-zähliges Syrametrieelement, welches versteckt auftreten kann, wirklich vorhanden
ein
I.
Ordnung bedingen, führen zur Ausbildung der Schichtsysteme, und diejenigen in der
singulären Richtung zur Ausbildung der Colonnensysteme
die letzteren können aber nicht
phanerotopisch auftreten, da sonst die Systeme höchstens IV. Ordnung zu Stande kämen.
Das Auftreten eines centralen Verbandsymraetrieelementes bedingt nothwendig die Ausbildung
I.
;
des phanerotopischen Systems.
wenn sämmtliche krypto-
Die Schichtsysteme VIII. Ordnung sind nur dann möglich,
auftretende
topisch
Dabei
polare
Schraubenaxen von einem und demselben Windungssinn
sind.
aber das Vorhandensein jeglicher Elemente der geraden Symmetrie ausgeschlossen.
ist
Folglich sind solche Systeme allein für die 13. Symmetrieart zulässig.
Bei der Aufsuchung müssen wir wieder von der Tabelle, § 58, Gebrauch machen.
die
Systeme VIII. Ordnung sind aber auch die Annahmen a
(es
würde daraus
Für
von
ö
=
=7
a
3,
3'
und a
Wie
gleich sein können.
a, i, c
=
ebenso ausgeschlossen sind,
so
keine zwei
folglich
aber für Hexaparalleloeder die
rauss entweder b oder c
einer
Aus den hierzu gehörenden Zahlencomplexen 2 3 4 5 6 7 8
Zahlen 4 und 8 ausgeschlossen. Andere Annahmen sind unzulässig.
gleich sein.
die
Für
7' ausgeschlossen
folgen).
die 10. Symmetrieart sind die Schichtsysteme ausgeschlossen;
Zahlen
drei
Symmetrie
explicite
=
Annahmen
Zahlen
dieser
sind für
und
b
c
Die Heptaparalleloedersysteme lassen sich direct auf Grund der mit der ersteren bestehenden Analogie ermitteln.
Für
nahme
&
12. Syrametrieart
die
=
7',
c
=
3'
Schraubenaxen eindeutig bestimmt
übrig, dass
d
^
h' resp. 5
=
da dai'aus a
Dabei
sind.
und dann
ist,
das einzige phanerotopische System aus der
lässt sich
direct auffinden,
ist
d=
5,
und
1'.
An-
Lagen der 4-zähligen
die
Es bleiben
allein die
Annahmen
treten zwei kryptotopische Systeme zu Tage.
Die Heptaparalleloedersysteme ergeben sich direct auf Grund ihrer Analogie.
Ebenfalls lässt sich für die 13. Symmetrieart das einzige vorhandene phanerotopische
Hexaparalleloedersystem
dadurch
eindeutig
bestimmen,
gesetztem Windungssinn.
Andere Systeme lassen
den beiden Zahlen h und
c
wird
dass
man
z.
B. &
Als pbanerotopisches enthält es nothwendiger Weise die polaren
setzt.
z.
B. h und die andere
kommen
die
eindeutig
die
&
sich
dadurch bestimmen, dass
Bedeutungen 3 oder
zugeschrieben.
festzustellenden
Im
7
zuschreibt,
ersten Falle h'
Zahlen
^7
für
und
peripherische
und
c
=
2'
Axen von entgegen-
man entweder
oder eine dieser Zahlen
c',
im zweiten
h'
und c
Symmetrieelemente
2'
oder 6' zu.
Wird aber
eine der letzteren Zahlen als der
Ausdruck einer schneidenden Schrauben-
axe angenommen, so entstehen nothwendig die Schichtsysteme mit kryptotopischen polaren
Axen.
Je nach dem Windungssinne unterscheidet
Für Heptaparalleloeder werden
aufgefunden.
die
man
zwei verschiedene Systeme-
Systeme auf Grund der Analogie direct erschöpfend
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552
Für
da
sich,
die
es
noth wendig
und
für b
ist,
Auffindung der Systeme besonders einfach vor
geht die
14. Symmetrieart
c
Zahlen
die
3'
und
7'
zu
und für
setzen,
die
übrigen schiefen Flächen sind die peripherischen und nur diejenigen schneidenden Symmetrie-
axen zu setzen erlaubt, welche die Reihen
I.
Ordnung bedingen.
Die Systeme der 15. Symmetrieart lassen sich aus den vorigen durch Einschaltung
eines 2-zähligen Symmetrieelementes in expliciter Form ausbilden. Es sind also die Systeme
Diese Operation ist
der Prüfung zu unterziehen, ob sie eine solche Einschaltung zulassen.
Axe
allein für die explicit auftretende
Symmetrieart ausbildet.
Auf Grund
Für
dieselbe
also eine specielle Operation
sind also höchstens
1.
Ordnung
sind; die dieser
Ebene parallelen Schichten
Ein hierzu gehörendes System wäre
IL Ordnung.
zufassen, welches aus lauter parallelen Schichten höchstens
I.
anzuwenden.
des 1. Satzes, § 29, schliessen wir, dass in diesem Fall die der singulären
parallelen Reihen noth wendig
Ebene
5 nicht zulässig, da dieselbe stets eine untergeordnete
ist
II.
also als solches auf-
Ordnung
Schichten
bestehe.
Ordnung kann es jetzt nicht geben, da ein 8-zähliges Symmetrieelement, welches in diesem
Falle kryptotopisch auftreten müsste, nicht vorhanden
ist.
Es
sind also allein die Schichten
Ordnung zulässig, welche eine Aneinanderfolge von 4 verschiedenen Gliedern darstellen,
und keine Einheit einer dieser Schicht kann dieselbe Orientirung mit keiner Einheit jeder
II.
Somit sind
der 3 anderen Schichten zulassen.
ausgeschlossen (2 4 6 8), welche
dieser
als
Verbandsymmetrieelemente
Bedingung nicht genügen
;
diejenigen
alle
auch 3 und 7 sind aus-
geschlossen, da sie den kryptotopisch auftretenden polaren Schraubenaxen angehören müssen
(wobei natürlich die Axen beiderlei Windungssiunes hätten vorkommen müssen).
Gruppen
schiefer Flächen bleiben allein folgende
Da
aber von zwei Gruppen
Ausbildung der Colonnen
so
I.
gehöriges System vorhanden
64.
1'5', b) 2'
6',
c)
Für 4 Paar
4' 8', d) 3' 7'.
b) und c) eine den Symmetrieelementen angehört, welche die
Ordnung und folglich auch die Schichten I. Ordnung bedingen,
auch von denselben nur eine
ist
zulässig: a)
zulässig.
Daraus
folgt,
dass
überhaupt kein
hierzu
ist.
Die Systeme kubischer Syngonie lassen sich einfach aus den früheren durch die
Einschaltung der 3-zähligen Symmetrieaxe explicit ableiten.
Für Hexaparalleloeder der 29. Symmetrieart
art
um
das einzige System 1 der 8. Symmetrie-
die Möglichkeit dieser Einschaltung zu prüfen (wie aber dies zulässig erscheint, er-
halten wir wirklich ein hierzu gehöriges System).
erhält
ist
man
31. Symmetrieart
erhält
man
Für Hexaparalleloeder der 80. Symmetrieart
1 der 14. Symmetrieart, und für die
dem System
auf eben diese Weise aus
das neue System aus System 1
der 13. Symmetrieart.
aber in allen diesen Fällen je ein einziges System zur Verfügung steht, so sind
Annahmen
ausgeschlossen,
alle
und keine Systeme mehr möglich.
Endlich erhalten wir noch zwei neue Systeme der 32. Symmetrieart durch
schaltung des Inversionscentrums resp. der
Auch
jetzt sind alle
Die
System
übrigen
analoge Prüfung
1 der 8.
Annahmen
für
übrigens daraus augenscheinlich
Für
Symmetrieebene 8 in
die
Ein-
eben erhaltenen Systeme.
ausgeschlossen.
Heptaparalleloedersystem
das
die,
führt
uns
dazu,
dass
dem
Symmetrieart die 3-zählige Symmetrieaxe nicht eingeschaltet werden kann, was
schaltende Symmetrieaxe) Zahlen
gehören.
Wie
übrigen
die
Systeme der
ist,
Bezug auf die einzuund 4 zwei der geraden und eine der Decksymmetrie
und 14. Symmetriearten führt uns die Prüfung zum
dass aus drei gleichwerthigen (in
8, 8'
13.
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553
und wir erhalten zwei neue Systeme der 30. und 31. Symmetrieart und
positiven Resultate,
Annahmen.
dabei je eine mit Ausschluss der übrigen
Einschaltung des Inversionscentrums
ein
und nur
ein
Aus
diesen
der
32. Symmetrieart
beiden
sich
lässt
durch
zugehörendes
System erhalten.
Was
65.
die
Systeme XVI. Ordnung
betrifft,
Annahmen
so sind folgende
zu prüfen:
entweder besteht ein solches der 15. Symmetrieart angehörendes System aus lauter parallelen
a)
Schichten
Ordnung, oder
I.
Ordnung, oder endlich
b) sind solche Schichten II.
c) sind
diese
Schichten IV. oder höherer Ordnung.
Die
Annahme
a) ist
von vornherein ausgeschlossen, da für dieselbe das Vorhandensein
eines 8-zähligen Symmetrieeleraentes
nothwendig
ist,
welches kryptotopisch auftreten würde.
Solche Symmetrieelemente sind aber nicht vorhanden.
Die
Annahme
b) schliesst
aus
der
Reihe der Verbandsymmetrieelemente diejenigen,
welche durch die Zahlen 3 und 7 ausgedrückt werden, und auch
Schicht mit der dritten verbindet, also die Zahlen 2, 4,
6, 8,
durch eine Schicht getrennten Schichten von einander nicht unabhängig, sondern
beiden
derart verbunden, dass aus denselben die resultirenden 4-zähligen polaren
Hier liegen offenbar zwei und nur zwei Möglichkeiten vor:
Schicht 3' und 7' und der anderen 5' und
der anderen 4' und 6'; beide
Die
Annahme
je vier den
ist
oder die Zahlen einer Schicht 2' und 6' und
Ordnung erfordert, dass für jede der zwei Schichten
Bedingungen genügende Elemente der Verbandsymmetrie vorhanden
welche die Entstehung
Annahmen
weitere
1',
ausgeschlossen
von Schichten
sind,
so
2',
Sym-
Sym-
metrie-
metriegrösse
II,
Nr.
I.
Typus
Ordnung
aa
aa
rt
1 1
a
aa
2
2
2
2
2
2
2
2
II.
dass
überhaupt
sind.
Symbol
des Systems
Ordnung.*)
Trikline Syngonie.
1
2
1
zwei
Ordnung bedingen.
Verbandsymmetrie
Symmetrie
I.
1
8' stets
und höherer Ordnung.
Explicite
Hexa- und Heptaparalleloßder
a
II.
und
Charakteristische Zahlen
Ab-
art
6'
erhalten wir als Resultat,
Hexa- und Ueptaparalleloedei*
leitungs-
form
4',
höchstens
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme XVI. Ordnung nicht möglich
V.
Axen herauskommen.
entweder die Zahlen einer
führen aber zu Systemen VIII. Ordnung.
aber nicht der Fall, da von den vier Elementen
schneidende sind,
Da
Annahmen
es sind
der Schichten IV.
gestellten
Dies
sind.
welche eine
alle diejenigen,
aus; dabei sind die Zahlen der
i^Vii
2
=
=
=
a^
a
5'
a
«
5'
ijr(i
5'
ljr{lVII)s
5'
IJlilYll)!/
viy
*) Der Anschaulichkeit wegen sind sämmtliche Hexa- und Heptaparalleloedersysteme bildlich in
den Tafeln VI— XIII dargestellt. Aus diesen Tabellen ist sehr leicht die Tri- und Tetraparalleloedersysteme mit der ihnen entsjorechenden Lagerung der Symmetrieelemente in Vorstellung zu halten. Dies
ist
aber für Hexa- und Heptaparalleloedersysteme etwas schwieriger.
Abh.
d.
IL
Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
71
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554
Ab-
Sym-
leitungs-
metrie-
Syrnmetrie-
form
art
gi-össe
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
l
aa
a
3
2
1
3
2
2
3
aa
3
aaa
3
3
3
3
\
al
l
aaa
rtl 1
aaa
l
aa
aa
3
3
aaa
4
4
4
4
al
1
4
aaa
4
al
4
1
al a
l
a a
1
aaa
l
l
aa
aa
al a
4
4
5
laa
5
5
5
5
al
a
5
laa
aaa
laa
aaa
laa
aaa
5
5
5
laa
al
a
5
5
aaa
5
5
5
a
5
al
1
1
1
aaa
aaa
5
5
5
a
5
al
1
1
1
aaa
laa
al
1
aaa
laa
al
1
aaa
laa
5
5
5
5
5
5
5
5
2
2
2
2
2
3 VI'
3 VII
1
2
3
4
2
2
5
2
2
2
2
3
3
6
6
6
Vir
l/'VI
3
(1 Vl')s
5
5
3
(1
4'
3(1 vir)s
3 (1 vir).'i'
4
2
5
Vll)s
(i)(i viiy/
4'
(Ddvir)^
1'
l;tl(l VI)s
1'
l/'l(lVI)s
1/1(1
4
2
2
2
2
VI')'
U'KIVI')'
1
2
3
ix'Yii
l;c'l(lVII)s
vir
IzUlYU)'/
1/1(1 vir)s
1
z'
=8
1 z' 1 (1
vir)»
IzKlVII')'
1
3;fVI
2
)>
15'
15'
:
-
15
15
1'5
1'5
1'5'
l(/2)(l.-rVI)s
{l7iYl)s
3;t;l
4
3
4
4
4
4
„
5
„
1 1'
5 5'
KzDdz'VI)'
3;fVI'
11'
15'
15'
5 5'
4'8
:4'8
5'8
:5'8
3 z dz' VI)'
l(z2)(l7rVI')s
6
4
7
4
8
4
9
4
4
4
4
4
10
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
,,
„
„
11
12
3z
1
4
4
VII
2
3
„
„
„
4
5
6
7
•
3;^
Vir
8
9
10
,,
,,
11
,,
12
13
14
15
,,
,,
^,
7
1
VI
2
3
4
4
1
6 VII
4
aaa
6
6
6
2
3
7
al
1
6
aaa
6
4
5
:
14'
14'
6
18
18
:4'5'
15'
15'
:1'5
:4'5'
1'5
15
15
1'5'
1 1'
5 5'
5 5'
1'5'
15'
15'
15'
14'
14'
14'
4'8
:4'8
:4'8
:5'8
5'8
5'8
18
18
18
VI
15
1
5
1
5
14'
.
1'5'
2z 1(3
VI')-'
szHSYiy
3z 1 (ijrvr)s
2z 1(3 VI')»
3z (3 VI')«
KzDdz'VI')»
1
3z dz' VI')'
3z (1-tVII)'
1
1(z2)(1.tVII)o'
3 z 1(3 VII)'
2z 1(3 VII).*
3z dz' VII)«
KzDdz'Vll).?
3zl(lJrVir)s
3z 1 {iJiYiiy
l{x'2)(\jzYliy
3z 1(4 vir)'
3z 1 (4vir).5'
2z 1(4 vir)'
4'5'
3z(iz'vir)'
4'5'
3z dz' vir)»
KzDdz'VIl')'
4'5'
Rhombische Syngonie.
4
4
4
4
:
1 1'
4
1
(DdVI')'
4'
ix'Vr
6
al
4'
4'
.,
1
des Systems
(l)(lVI)s
3 (1 VI)-'
5
5
,,
III.
laa
aal
laa
laa
aaa
VI
3
4
2
4
4
Verbandsymmetrie
Monokline Syngonie.
IL
al
Symbol
Explieite
VII
15
15
1 5
14'
14'
=
= 2'6'
a = 4'8'
«= 5
a = 2'6'
n = 4'8'
ö = 4'8'
= 58'
= 58'
a
2'6'
a
8'
rt
5
VI)'
VI)'
(3 VI)'
(3
(4) (3
(2)
(2) (3 VI')'
(2) (3
(4) (3
5 (3
VII)»
VII)'
VII).'/
(4) (3 VII')'
(4) (3
Vir)»
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555
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
laa
6
7
7
7
4
4
6
aa
aal
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
,,
3
8
9
10
4
1
4
2
,,
4
3
3<p"VII
4
4
,,
4
7
4
4
4
4
5
6
7
8
9
10
7
7
4
4
12
,,
7
4
4
13
,,
14
4
4
15
16
8
8
8
8
8
8
1
1
laa
aal
al a
laa
laa
laa
laa
laa
aa
a
aaa
a
a
aa
1
1
al
1
aaa
laa
al
1
aaa
laa
al
1
aaa
laa
al
1
aaa
al
1
laa
aal
laa
laa
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
a
1
a
8
8
1
a a
8
4
laa
laa
laa
laa
aaa
8
8
aa a
8
8
aaa
8
8
al
1
aaa
8
8
8
8
1 1
8
8
8
8
8
aaa
8
al
1
8
8
8
aaa
laa
8
8
al
1
aaa
laa
a
1
aaa
al
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
= 58'
= 26
= 26
a = 56
« = 56
a = 56
a = 48
a = 45
a= 1'4
a = 4
a = 1'4'
« = 26
« = 56
« = 48
« = 48
« = 45
« = 45
« = 45
«= 1'4
rt= 1'4
«= 1'4
a = 4
n = 44'
« = 44'
« =
« =
« = 1'4'
« = 2
6
« = 2
6
« = 1'2 5'6
«= 1'2'5'6'
« =
« = 4
8
n =
4 5
a
a
„
15
15
12
4
,,
1
5
,,
6
S<p'Yl
7
,,
7
VII
3^" VI
„
„
1
4
3<p"Vll'
14'
„
1 4'
,,
4'
1 1'
11'
1 1'
14
14
„
„
1
,,
VI
7;?
4'
14'
„
„
„
4
1
1'5 5
1
1'55
1 2'
,,
5
6'
1256
1256
.,
5
,,
6
6;cVI
1
1'5
8
9
10
,j
,,
1458
1
,,
j^
1256
VII
5
,,
7
8
jj
9
jj
10
j,
8
11
,,
8
8
8
8
12
13
14
4
1
4
1
8
8
8
1
1 1'
11' 5
1 1'5
5'
1 4' 5'
8
8
8
5'
1 4' 5'
„
1 4' 5'
1 4' 5 8'
1 4' 5 8'
j,
1458
1458
11' 4
4'
,j
1'4
1'4
4'
1
,,
15
4'
,j
IxYIl
6
1'4
5 5'
1 2' 5 6'
6;^
2
3
8
1 4' 5 8'
1
„
4'
3<p3(3VI;s
l{'pb)(lx'Yl)'
3?'1{1/' VI)s
39>2(lx'VI)s
2
4
9>
(3
VI)s
l{<p2)(\x'Y[y
2<?j4{3V1')'
l(<p2){\x:Yl)x
l{<p2){\x'YUy
2 (q? 4) (3 VII)?
l((p2)(lz'VII)y
2 9;'1(3VII)7
3<?7
3(3VII)s
Sq^ldx'Yliy
l{<pb)(lx'Yliy
3<p2{\x'YU')'<
3<p3(SYlV)^
3
?>
3 (3 VII'K
2^'l(3Vir)«
3 9^1
(!;,;'
VII)s
3<?j2(l;t:'VII)s'
l(9.5)(l/'VII)s
39^2(1/'
1' 4'
39Pl(l^'VII').'i'
l(9>5)(l/'Vir)s
6'
5/l(3;cVI)'
2'
6'
4^2)
4'
-= 4 4' 8
n
4 4' 8 8'
1-4 5 8'
a
l'458'
1'4 5 8'
1'4 5'8
1'4 5'8
a
=
a=
=
«=
n=
1' 4' 5' 8'
1' 4' 5' 8'
5'
5'
(39." VI)'
2{x4:){3xYiy
8'
8
8
8
(;^])
2^4)
6'
5'
4
8'
«=
a=
« = 5 5'8 8'
« = 2 2' 6
n= 1'2 5'6
a= 1'2'5'6'
rt
(3;^ VI)-'
5z3(7VI)s
5x2(3y"VI)-'
8'
1'4 5'8
1'4'5'8'
=
a =
« =
=5
« = 5
« = 5
VII')''
2'
1'
rt
(3 VIFjs
2(p'l{3 VI)s
5
1' 4'
1' 2' 5' 6'
5'
1 4' 5'
7
2
3
1'
„
,,
4
4
1
15
12
15
15
18
18
18
3 v' VII
2
3
1
2
14'
3^'Yl'
11
(1
12
15
18
des Systems
Verbandsymmetrie
14'
1
IV.
9
9
10
10
10
Symbol
Explicite
(3/ VI)«
4;^ 3 (6 VI)'
2^3)
(3 9.' VI)'
2(;.3)(3<p'VI')'
2(;^4)(3/VII)i'
4/3(6VII).y
2(x3){3'p'Yll)!r
4:{x2){3xYnY
bxl {3x^11)"
4
(;^
2) (3;. VII')'
4(x2)(3zVII>
5;fl(3;fVir)'
5 / 3 (7 Vll)'
5 7 3 (7 VII).c
4(;fl)(3<p"VII)'
5/2{399"VII)«'
8'
i{xl){3^"Yliy
8'
4{xl){3q>"Yliy
5 2 (3 9p" VIF)'
8'
;t;
Tetragonale Syngonie.
9 VI
9 VII
99>
^,
,,
VI
15
15
1256
1458
1357
= 37
= 37
= 3478
« = 2367
« = 2468
«
«
«
(6) (3
VI)s
VII)'
6 {9' 3) (3 <p" VI)'
6{rpl){3(p'Yl)'
8 9^ 3 (9 VI)'
(6) (3
71*
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556
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leituugs-
metrie-
form
art
metriegrösse
aaa
aaa
aaa
10
10
10
11
8
1
8
2
8
8
3
1
3^ VI
11
12
12
8
1
3jrVII
8
1
2(pYI
8
8
8
8
8
2
3
8
1
laa
aaa
laa
laa
laa
aaa
aaa
aaa
laa
laa
laa
aaa
aaa
aaa
laa
laa
laa
laa
laa
laa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
laa
laa
laa
laa
laa
Ina
laa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
1
99p
a aa
aaa
aaa
1256
1458
1357
VII
15
15
1 1'
9;^
11' 5
13' 5
VII
2
3
8
8
8
8
1
5'
7'
1357
3
1 2'
ii'vi
5
6'
1 4' 5 8'
1357
2
5 6'
1 4' 5 8'
3
1357
1 2'
11 VII
IdYl
1
1 2'
6'
5
1458
8
8
2
8
8
4
5
1256
8
8
8
6
13' 5
7'
1 2'
6'
3
1
Qd\l
6
.5
VII
3
8
4
8
8
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
5
6
7'
1 4'
8'
5
1458
2
8
13' 5
5
7
.5
VII
13' 5
7'
1 4'
8'
5
1256
3' 5 7'
1
2
1 1'2 2'5 5'6 6'
1 1'4 4'5 5'8 8'
3
12345678
1
11/ VI
6{(p\){i(p'Yliy/
6(9^3)(3 93"VII).'?
8
9p 3 (9 VII)«/
2.-r(3VI)s
2.'r(3VII)Ä'
7'
3'
5'
1' 3' 5' 7'
8;j:1(9VI)«
7'
3'
1'
6(;i;2)(3.-rVI)s
6^1)
5'
a=
a= 3 4' 7 8'
=
=
=3
a=
a =
a =
a =
a =
=2
a=
=2
a =
a =
a =
a = 2
a =
a = 2
a= 3
«= 2
2'
a
a
a
3
8-/1 {9 VII)?
(18)(7VI)s
(8) (6 VI)s
6'
2' 4' 6' 8'
(7) (9
4' 7 8'
2' 3 6'
(18)(7VII).5'
2' 4' 6' 8'
(7) (9 VII).'/
3'
5.5
4
7'
2' 3' 6' 7'
2' 4 6'
fl
3'
4^1(6VI)s
7'
6
3' 4' 7' 8'
rt
3'
4'
6
4
7'
2{ö\)(3(p"Yl)^
8'
2((52)(3jrVI)s
4^
2'
2
4
6'
3'
6
2) (3 JT VII)*
3(7VII)£'
bdiSfp'YlTjff
7'
3' 4' 7' 8'
4'
6
8'
3'
4
4'
5d3(3jiYll)ff
7
7'
8
8'
ü' 3 3' 6 6' 7 7'
1' 2' 3' 4' 5' 6' 7'
a=
=2
8'
7
1
1 1'2
2'5 5'6 6'
5'8 8'
1 1'4 4'5
3
12345678
4
1
1'3 3'5 5'7 7'
5
6
7
1
2'3 4'5 6'7 8'
12'3'4 5 6'7'8
12 3'4'o6 7'8'
13(pYl
9^ VII
11112
11112
6
6
13
18
18
19
19
6
6
6
13aVI
Ulla
13 a VII
16 VI
11112
11112
11112
20
20
20
20
20
20
12
16 VII
16 a VI
2
3
1.
2
3
4
4'
2 3' 4
6
6'
8
5'
6
7'
5'
1' 2'
5' 6'
4'
3'
1'
4' 5'
2'
1
7 (/ 2) (9
VI)s
9>
7(;^3)(9/VI)s
10;/3(11 VI)s
18(^4)
VI)«
(7 5
8U3)(6.5VI)s
8(;^1)(6;.VII).(/
18(;^l){7xVII).?
7 ix 2) (9
<p
YUyj
6'
1'
5'
1'
8
8'
1'
18(;^1)7/VI)5
8(zI)(6zVI)«
4'
1' 2'
10/3(11
VII)'/
8 ix 3) (6 d Yiiyj
18(/4)(7ÖVII).'/
Hexagonale Syngonie.
17
6
a=l'
2'
((5
5<5
a= 2 3 4' 6 7
a=
7 8
3 4
a = 3 3' 4
7 7' 8 8'
a = 2 2' 3
6 6' 7 7'
2' 3'
6' 7'
a =
a = 2
4 4' 6
8 8'
a= 2 3' 4 6 7'
5' 6 7 8'
a =
2 3
a=
3 4 5' 6' 7 8
VII
(6 Yll)!/
2(<31){3<)9"VII)?
12'3'4 5 6'7'8
11;!;
1
2' 3' 6' 7'
5
1
3(7VI)s
5 3(3r/)'VI)s
5 53(3jrVl)s
6
2
VI)s
(8) (6 VII)'/
a
2 3'4'5 6 7'8'
(3z VII).?
6(;t;2)(3.TVII)y
1' 3' 5' 7'
1 1'3 3'5 5'7 7'
1 2'3 4'5 6'7 8'
4
17
12
12
12
12
12
= 3 478
= 2 367
a = 2 468
a=
a=
a = 3
7
0=1' 3
a =
a= 3 7
a= 3
a
a
3' 7'
5'
1357
2
8
8
5
des Systems
Verbandsymmetrie
3' 7'
1 3' 5 7'
V.
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Symbol
Explicite
(18)3
(15')3
(14')3
16 d VII
(18)3
(15')3
(14')3
= 8 81 83
= 8 8, 82
a=
a=
a=
a =
a
a
5'
5'
5i' 5252'
5i'
4' 4,' 42'
4'
4i' 4o'
a=(4'5')3
=
=
a=
a =
a =
a
(6' 8)3
(4' 8)3
(4' 5')3
(5' 8)3
(4' 8)3
1395 1(13 VI)"
13 9Jl(13VII).0'
13 a (13 VI)«
13a(13VII)?
16 (13 VI)«
16 (13 VII)»
16a(139>VI)«
16al (16 VI)«
16a 1 (13a VI)«
16a (13 9? VII)-/
16 a 1(16 VII)-'/
16 a 1(13 a VII)'/
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557
Sym-
Sym-
metrie-
metrie-
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
art
Typus
Ordnung
31
32
32
32
24
24
24
48
48
48
Kubische Syngonie.
1
20 X VII
20 d VII
23 VII
1
23/ VII
1
(1 2'
5
2
3
(12'34'5 6'78')3
Hexa- und Heptaparalleloeder
= (l'2 5'6)3
= 4
=
7
=
4
7
8
= 23
6 7
= (l'23'45'67'8)3
a
a
«
«
a
a
6')3
(1 2'
(1 2'
5 6')3
5 6')3
(Il'22'55'66')3
(12'3'4 56'7'8)3
1
'-,
3
1
16
3
2
13
7' 8)3
(3'
III,
(3 4'
(3 3'
8')3
(1'
4' 5'
«
VI
1
16
3
3
13 VII
1
2
6
16 VI
li
li
1'4'
ff
1
'
19
19
19
6
6
6
1'4'
2
16 VII
1
1'4'
(io)(ivii);:
(iDdvii)^
I2
I2
_
'~
_
42'
(12) (3 VI),!
li 4i'
li 4i'
«'
I2 42'
a
I2 42'
ff'
1, 4i'
«
li
(13) (3 VI)^
(12) (3 VII);:
1'4'
2
VII).?
(IDdVI),'
_ I2
«
a'
1
22/1(23
(10) (1 Yl)l
1
1
(20 Yliy/
9(/l)(20/VII)'y
9(/2)(20<5VII)»
I2
ff'
ff
19
8')3
(9)
12
ff'
1
8')3
^ = li
ff
16
7'
a'~li
a'
1
4'
19/1(20VII)7
19Ö1(20VIIV/
Ordnung.
(
16
des Systems
Verbandsymmetiie
Symmetrie
VI.
29
30
Symbol
Explicite
V
(13)(3V1I)^
124,'
Hexa- und Heptaparalleloeder IV. Ordnung.
II.
5
4
1
5
5
4
4
2
3
5
4
4
5
4
5
3z
Monokline Syngonie.
VI
ff
«
ff
=
=5
=
5'
l'
4
5'
rt=
6
7
4
8
5
5
5
4
4
4
9
10
11
5
4
12
5
4
13
3/ VI'
~
a = 5
6 =
6 =
6 = 4
5'
5
4
14
1(/2)(1VI)
2/ 1(1 VI)
1 (/ 2) (1
VI)'
3zl(lVI)5
5-
5
6'~5'
1{Z2)1VI)^5.
3zl(lVlI)^5.
6
1'
6^~5'
2/l(lVII)j.5.
=4
=
c =
2/i(ivr)^
e
c
8'
8'
i(/2)(ivr)'=
i(/2)(ivr)'^'
5
6
6^^8^
6'
1'
5'
5'
6
=
_5
a'
5
b
1'
1'
l(/2)(lVI)^5.
6
a
5
5'
6'^1'
a
4
5'
5
6
5
= 5 c=l'
= c=
c=5
6 =
6
6
~
l(/2)(lVI')^-8
6'
3/l(lVI')^,88'
6
5'
6'
8'
1(/2)(1VI')^,8
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558
Ableitungs-
Syrametrie-
form
art
Charakteristische Zahlen
Symmetriegrösse
Nr.
4
15
I.
Typus
Ordnung
3;^
b b
VI'
4
rt
abb
abb
abb
4
17
4
1
4
4
2
3
4
4
3/ VII
a a
a a a
4
5
b'
5'
b
4
V
5'
a
5'
&=1'
5'
ö
=
=
a = 5
«
~
-.bb
a
4
6
4
b'b
a a a'
«'
1'
«
5'
a'
5
b
5'
4
8
4
4
4
9
6'
5
5
10
4
11
12
13
14
4
15
4
4
a a
b_b^
4
rt
rt
rt
rt
rt
rt
=
^
=4
=4
=
=
5'
5'
8'
8'
ft
5'
rt'
8'
b
5'
16
5'
rt'
8'
«
4
o'
5'
a
4
i
a'
5'
i
rt
5'
rt'
8'
4
a
4
1
4
'-,bb
4
1 c
18
b
19
20
'6'
6
6
6
4
4
4
2
6
4
4
1
i
7
VI
^5
=5
a =
rt
rt
2'
3
6
6'
6
4
5
6
4
6
rt
rt
6'
5,
1(;^2)(1VII)'=
1'
l(;t2)(lVII)»'
a'
6
4
1(X2)(1VII)I.5,
3zi(ivn)i,5,
6—1'
6
4
3;tl(lVII')^5<
1 ix 2) (1 VII)5 5,
=4
6 =
6 =
6 =
6 =
6 = 4
\(x2)(\Yll'Y
6
8'
2;^I(1 Vir)<^
5'
l(';f2)(lVir)«'
8'
2x
5'
6 VI
7
8
1
(1 vir)<^'
1(X2)(1VII')«"
1U2)(IVII')'''"
SzKlVin^'-g,
SzKlVIDä.g.
=
c = 4
8'
=
=
6 = 5
6
6
l(;t2){lVir)^,8-
=
=
c =
6'
c
2'
2'
c
6'
^6'
6'
4(1 VI,)
(2)(1VI,)
(14)(1 Vi,)
=5
^
(4) (1 \h)l'(,'
6
5
6'
2'
6'~'6'
c
=
2'
6
4'
6'
8'
6
5
6
(1 Vl7)2-6-
6(1VI,)5
6.
(14)(lVl6)4-8
6'~8'
5,
2xl(lVIl')^5'
2'
1
^6'
1(1 VI'),
Rhombische Syngonie.
a'
a'a'
;t
2z 1(1 VII)«
=5
?y=
6
V
""b'b
a
3
8'
l(;.2)(lVII'f4
III.
'b'b'
=
17
a
ab c'
ab c
ab c
bb_
rt
ö''"8'
b
rt
-
3xl(lVI'f5-8'
3;.1(1VI1')^,8-
a a a
;1
=4
3;cl(lVII)-^5,
rt'~5'
szvir
a' a'
a'
c
7
rt
a
abb
abb
abb
abb
abb
abb
rt'
i(z2)(ivr)^5,
5'
8'
ft'~l'
5'
a
a' a' a'
b'
4
i)
5'
a'
a'
8'
b
rt
a' a'
a
=
16
b'b
a' a'
«
b'
b_b^
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
b b
a
Symbol
Explicite
(14)(lVl6)?8
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559
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrieart
metriegrösse
6
4
form
a
a' a'
a'
a a
abb
abb
abb
abb
6
6
6
6
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
4
4
2
4
7
a' a'
a a
~~
a'
6'
«
4'
=
« =
a = 5
=5
VII
3
8'
,,
4
6
4
6
"
6
4
7
'
,,
f,
,,
%bb
6
4
8
6
4
9
"
3?>" VI
4
1
7
7
7
4
2
rt'~
(2) (1
4'
4
4
3
4
8'
6
8'
,,
7
4
5
"
(1 VIl6),.g,
(4) (1
Vllelts-
(4) (1
VIIsf4.5
6
5
rt=5
«=5
a=6
a=6
_5
,,
VII,)«
(14)(1V1I7)<=
(2) (1 VII7)-
_4'
a
,,
&=6
ö=2
&=5
c=2
c=2
c=6
c=2
&=5
(1 VII„),^5
2 9>1(1 VII7)
2<p4(lVl7)
1(?>3)(1VI;)
1(?'4)(1V1:)
rt
c
i
a
a
4'
•'
7
a a
-;—
a
?^
_4'
rt
a
abc
abc
abc
abc
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6 VII
1
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
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5
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Explicite
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5
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3<p3(lVIl7)^8,
8.^3(1 V1I;)88,
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
560
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrieart
metriegrösse
abc
abc
abc
ahc
8.
ab
ab
8
8
8
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8
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8
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c
c
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abc
abc
abc
abc
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Explicite
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8
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& = 1'2
a = 5'6 & = 1'2
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b =
5 b
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58
V
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n = 88'
a = 8
a = 4
a = 4
«
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5 5
a
4'8
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b = 4
b = 4'5
6 = 5
6 = 1'8
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b = 4
b = 5
b = 8
b = 88'
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2(z5)(3VII,')^'
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5 z 3 {3 VII,')4
4'
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
561
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
art
metriegrösse
8
8
20
form
«
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abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
abb
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8
8
8
8
8
8
8
b
b
8
8
8
8
8
8
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
7 z VII
22
23
,,
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25
26
27
28
29
30
8
8
8
8
8
8
8
8
32
33
34
8
8
35
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14
14
14
14
14
"
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a
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3(z3)(3VII,K
3te3)(3VIl7'r
3(z3)(3VIl7'r'
3
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3{z4)(3VlVr'
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1'4'
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5'8'
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2(/2)(lz'Vn7'K
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39
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40
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"
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a
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^ 5 8'
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1'4'
a'
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rt
1'4'
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1
4
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4(z2)(lz'VII7')^5,
5 8
4(z2)(lz'VlV)^5,
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6xl(l/'VIV):,,
4'5
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ale by
Sy ngonie.
9 VI
1
a
b
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a
a'
9
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14
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a
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7
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1'4'
))
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7,
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1'4'
14'
37
a' a' a'
"
5
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"
a'
a a
«'
a'
a «'
a
4'
1'5'
a a a
a
4
1'5'
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45
a
1'5'
14'
14'
14'
14'
)J
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a = 48
b = 4'8'
a = 4 8
b=
a =
b = 4'8'
5'8
a =
ö = 5
a = 5'8
b = 1'4
a = 1'4
b = 5'8
a = 1'4
b = 58'
b = 5'8'
« = 58
a = 58
b=
a =
= 58
a=
b =
a = 5'8'
b =
a=
ö = 5 8
a
~ 4'8'
15
15
15
,j
24
8
8
8
8
8
18'
1 1'
21
des Systems
Verbandaymmetrie
2
1
3
1
=5
b
=7
c
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(6) (1
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7
(15) (1 VD^.
F~3
_3
7
a = 3
b
(16) (1 VI)i'
b'
9
4
1
9
4
2
9 VII
1
a
9
4
3
10
10
10
10
1
11
8
8
8
8
4
11
1
1
2
1
1
4
2
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11
4
1
11
4
2
9??
VI
2
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3jrVII
1
Ak.
d. V\^iss.
1
XX. Bd. IL Abth.
3
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a = 34
o = 38
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«= 5
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«
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d. II. Cl. d. k.
(6)(1VI1)
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(15) (1 VIl)^.
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18
14
12
16
1
b
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(16) (1 VII)^
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= 27
b = 78
ö = 47
ö =
6
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3
b
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= 23
c = 36
c
c
=
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6(<p2)(U'VII)«
6(<p3)(l/'VII)^
2^(1 VI)
s^dVDg,,.
2^(1
VII)«
3^(lVII)^v
72
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
562
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
abc
12
12
ah
c
8
8
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
1
9;j
VI
2
12
'b-h'
8
12
a
a
h
h
12
12
h h
8
4
8
1
8
2
9zVir
a' a'
12
a'
15'
1'5
37
c
1 1'
5 5'
7 7'
c
15
3
b h'
ah
8
a a
c
c
^
17(;k1)(3VI)i.3
b
3'7
6(;i;2)(l:^VIIK
1 1'
3 3'
&
7
4
8
1
8
2
18'
14'
18
8
3
18'
8
4
18'
VI
13
b
:5 8'
&
8
12'
5
13
8
12'
6
b'b'
7 8'
bb_
2'6'
13
b'b'
8
15
7
abb
abb
8
8
13
13
8
1
8
2
12'
16'
13
8
3
12'
13
8
4
12'
11 VII
a' a'
a
a' a'
a a
a
a' a'
inr
37
NVfi
(23) (3 VI)^,
(24) (3 VI)]
(18) (3 VI)t4.
=
o-
4'8'
(21) (3 VI)2,3
= 7 8'
= 4'7
3 4' &
^3 8' &
3 4'
(8) (3 VII)":
(18) (3 VII)«
(19) (3 VII),!
7 8'
7 8'
(20) (3 VII)?
3 4'
2'3
13
8
5
18'
13
8
6
18'
.
(23) (3
6'7
VII'),^;
6'7
(24) (3 VII')j
2'3
4'8'
13
a a
a a a'
8
15
7
(18) (3 VII)^,,4.
2'6'
4'8'
13
b
VI')
(18) (3 VI')
(20) (3
=
a'
a
a' a'
3 6'
4'8'
15
13
h
a'
=
(8) (3
(19) (3 VI')'^
2'6'
b"
a
c
= 2'3
4'
3^
a a
c
2'3
3
a'
6'7
2'7
2'3
b_b_
a' a'
17ai)(3VII)i.3
37
b'h'
a
6(z2)(3VIl)^3,
:4'5
7 8'
a' a'
6(zl)(l/VIl)'=
IV
6'7
a a
7'
3'7'
b_h^
a'
= 1'5'
6'7
13
a
87
IV
15
8
11
6te2)(3VI)^3,
BT
b'b'
(I
6(;k1){1/'VI)
:3'7'^
13
13
h_h_
a'
6(x2)(l^VI)
3'
15'
12
h h
^Vh-
a
7'
15
a' a' a'
b
=3
=3
3'7'
15
3
a a a
ah
ab
des Systems
Verbandsymmetrie
1'5'
b_h_
b
Symbol
Explicite
8
15
8
(21)(3VII)3
37
^
4,
3'8
b'
"b'b
abc
abc
14
8
1
14
14
8
2
3
8
75
VI
12'
=
14
18
:58
45
5
0'
=
b b'
14
""b'h
b_b_
8
14
4
^58
&
=4
5(Ö1)(3VI)3,4
7'
b
2'7'
3'6'
bh
6'7'
i2'3'
ry:
2(Ö1)(U'VI')
4 5(1 /'VI')
3'6'
6.5(1;.'VI')2.3.
2'7'
3'7'
'b'b'
abc
abc
bb^
14
8
5
14
14
8
8
6
5<51(3VI)^,,3,
15
6.5VI
7
14'
18'
r
=
i'&'
5 8' b.
4'5
b
2
7'
c
2
3'
c
= 3'6
= 67'
5 53 (3 VI')
5 5 1 (3 VI')
3'7'
14
^b'b'
a a a
14
a' a' a'
1
8
8
15
8
1
7
(3
VII
18'
'4'8'
6
^2
2(5
2)(3VI)'3.4,
7'
3'
5(5l)(3Vir)2ü
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
563
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
Typus
Ordnung
Symbol
form
art
metriegrösse
abb
abb
14
14
8
8
2
3
7 5 VII
'„
16
12
14
8
4
"
12
I.
Explicite
Symmetrie
a a a
a
a'
ci
ci
a'
a a
abb
abb
a
a'
8
5
14
14
8
8
6
7
„
16'
12'
14
8
8
"
15
15
16
1
11 /VI
1 2' 5'
15
16
2
"
1 2' 5'
15
16
3
"
1 4'
"
a a
ab
b
c
c
V
V^
b
VII
15
16
4
15
16
5
ab
c
Gddz'Yn)^,^,
'4'
" 3'7'
= 3'8 6 = 47'
a = 3'4 & = 7'8
5
a^~3T
6
6
8'
= 2'3'6 7
c = 2 3 6'7'
a = 1'4 5
ö = 2 3 6'7'
c = 2'3'6 7
6'7
«-^ä" h = 2'3
r46'8
rt=l'4
5 8'
15
16
6
"
15
16
7
J)
15
16
8
"
1458
15
16
9
11;(VI
h h
1 1'
4
4'
1 1'
4
4'
1357
13' 5
15
16
10
15
15
16
16
1
ll;t;VII
2
,j
15
16
3
b h
'-
a a a
a' a' a'
"
a a a
15
16
4
1
2
7'
5' 6'
1 2'
5 6'
1 2'
5
6'
--™ ^-HH
b
a' a'
a
a' a'
a'
a a
abb
abb
a
1458
..
15
15
15
15
16
16
16
16
5
6
1458
"
1256
?»
^ 1'2'5'6'
(3 VII)''
VII)«
18
8
VIDI
(5 2) (3
(z 2)
3.
(3;. VI)
(/ 3) (3
z VI)
21
(/ 1) (6 Vl)i,2,
2
11' 6
1 1'
7
8
15
16
9
jj
2'
6'
1357
..
15
16
10
18(;j4)(39.'VI)^2.
~~ 1'4'5'8'
= 55'88' & = 33'66'
c = 22'77'
= 22'77'
a = 55'88'
=3 6
f>
3'
b
l'S'b'T
b'
2'4'6'8'
b
1'3 5'7
&'-2'46'8-
a
= 3 47'8'
= 3 4'7'8
1'2 5'6
~ 3 4'7
1'4'5'8'
a'
2 3 6 7
a
1'4'5'8'
«'
1 3'
"
5
7'
18(zl)(3<?'Vr)
7(;.4)(9VI)^2.
«-24'68'
ö
ö
= 3'4'78
= 47
3'
8'
21(xl)(3^VI)^218
(z 2) (3
z VII)«
8(z3)(3zVlI)«
21(zl)(6VII)i-3
21(z2)(39>"VII)i,2
18(z2){3<p"VII)^2'
~" 2'3'6'7'
_ 1'2'5'6'
3'4'7'8'
a = 3 3'44'
a = 3 3'88'
8(;cl)(3<?''Vr)
6'
8'
a
a
a
a'
a'
a' a' a'
18{x2){S<p"Yl)U,
rt
a
a
21(x2)(3<p"VI)i,3
2'3'6'7'
18(z4)(39'VII)^3.
a'
a' a'
a a
a a a
1 (3
3'4'7'8'
h
«'
a' a' a'
a a
3
55
,
,
b'
b b
a'
&
8'
h'
'-b'h'
a
55
2
c
abb
abb
5 a 1 (3 VID'g,^,
26
a
1256
"
b h
b'V
ah c
4'8'
rt
1256
„
b b
1- —
a
isnx'yny
!,'
b'
'W^
a
2{8l]{lx'YUr
7'8'
rt'
6Ö
a' a'
ah
= 4'7'
=
3'8' b
~3
a'
15
14
=
=
3'4' b
7'8'
a
a' a' a'
des Systems
Verbandsymmetrie
a
a'
ö
&
= 77'8
= 44'7
8'
7'
8{xl){Bv'VW
18(zl)(39p'Vil)«
2'4'6'8'
~
7 ix 4) (9 VII)J.2'
l'S'b'T
2 4'6
8'
~ 1'3 5'7
21(/l)(3jrVlI),,2
V. Hexagonale Syngonie.
5'
20
12
16 a
VI
II1I2
4'
a'
a
20
12
16a VII
1 li I2
a'
_
5i'
4i'
62'
14al(13
VI)^,5<
42'
5'
5i' bj
4'
4i' 42*
14al(13VII)^,y
72"
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
564
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
Nr.
I.
«1 «2
28
12
Explicite
1
Kubische Syngonie.
II1I2
VI
21
= 2' 02 61' «1 =
«2 =
5i
a =
5
«1 =
= 02
a= l2'2i2'52 6
5 61 62'
«1 =
22
2 22' 5i 62
02 =
a
eil
28
12
2
II1I2
„
62'
2i'
2'
tti
a a^ 02
29
24
1
21z VI
(1 5')3
aj «2
a
«1 «2
29
30
24
24
2
1
(1
J?
21
.5
VI
5%
(18)3
=
%=
«2 =
a =
a
=
«2 =
a =
ai =
«2 =
«1
a ßj «2
31
24
1
24 VI
a ai a2
32
48
1
24;fVI
(1
i%
(1 4' 5' 8)3
5
62'
22' 5i
6'
(25) (13
VI)
19 (13 VI)
61'
25 (/l) (13 a VI)
6i'
1'
a
2i'
6'
22'
a üi
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
VI.
a
Symbol
Typus
Ordnung
2i'
li'
1' 22
2
li'
I2' 2i
6'
19;j;l(13aVI)
62'
2i' 5 61
22' 5i 62 6'
2' 02 6 61'
4 5 62' Ta'
32' 4i 5i 6' 7'
2' 3' 42 52 61'
7i'
8'
2i' 82 5 62' 7i
22' 3 5i 6' 72 81'
2,' 3,'
VI)
19
(5
(9)
(16 VI)
(13
9>
2.2'
2'
3i 02 61' 7 82'
n=l'222i'323i'4 5 6i62'7i72'8'
9
(;^
2) (16
a VI)
ai=li'2 22'3 32'4i5i626'727'8i'
«2=l2'2i2'3i3'42526 6i'7 7/82'
Hexa- und Heptaparalleloöder VI. Ordnung.
a
4'
a'
4/
a
4'
a' a' a'
a'
42'
a a a
a
4'
a' a' a'
a'
a a a
a
4i'
4'
a'
42'
a a a
a a'
a a a
19
6
1
16 VI
a!
19
19
19
6
6
6
(26) (1 VI)^,
2
1
(27)(lVI)i'
16V11
(26) (1
2
a' a' a'
VII),'.
(27) (1 VII)'
Hexa- und Heptaparalleloöder VIII. Ordnung.
III.
db
c
8
8
1
Rhombische Syngonie.
8
8
0=2
c=6
=5
ö^_2^
c^_6^
=5
b
=6
b__Q^
=6
6^_r c^_6^
d=l
7X^1
b c
a
2
b' c'
b c
1
8
8
b c
b c
8
8
b c
b c
4
a
a
8
5
a
b' c'
b c
8
8
6
b' c
b c
«1:7-7
b c'
ö*
"~
"~
8
8
7
ö'
""
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~
—
^
a = 2
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a
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6'
5'
"~
c'
1'
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~5' ?"~
b'
8
.
3
6'
5'
2'
7;^1(1VI7)
2
(;^
5) (1 VI,)^.^.
4;^2(lVI,)i,2,
c__V
"~
c'
"~
c'
2'
5'
3(;f3)(lVl7)i,2,
14(;.2)(lVl,)i,2-
c^_5/
2'
c'
"
1'
1'
1—
~
2'
c'
2(z5)(lVl7)i,5.
2(;^6)(lVI,)i,5,
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
565
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrieart
metriegrösse
8
8
1
8
8
2
form
ab
ab
a-
c
b
VV
ab
I.
Typus
Ordnung
a b b
ä'Vb'
a
b
b
a'
V
b'
8
6z VII
ä'b'V
3
8
8
=8
_1'
~
a'
« _
~
«
n
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a
8
5
a'
rt
8
8
6
a'
"
_
~
_
"
8
8
7
~"
a'
b'
IV.
10
8
1
10
8
2
10
8
1
10
8
2
12
8
1
12
8
2
12
8
3
12
8
1
12
8
2
1'
&
4'
b'
_
~
&
_8'
1'
b'
5'
b
"
&
5'
V~
_
~
ö
1^'
9a^VI
1
995VII
9;fVI
a
13
8
2
3
6
:7
a
3
7
a'
4
d-
:
:
9;fVII
rr
:7'
5'
7_
=5
VI
rr
1'
a
3'
//
a'
3'
l>'
d
8'
h
VI)
(1
17
6(<^4)(1VII)3^
c
=
3'
*!_?_
~5'
c=3'
6
iz 2) (1
VI)
6U2)(1VI)3
17
13
8
4
8'
13
8
5
8'
ix 1) (1 VI)i,,.
6
ix 2) (1
6
ix 2) (1 VII)3.3,
VII)
_7
~6'
_7
4'
c
c
c'
e
c'
=7
__3
~
2'
~3
_7
_3
c
b'
2'
(21)(1V1)
(18) (1 VI)2.3
_2'
_2'
c'~ 7
c _6'
3
V ~2'
b
17(;^l)(lVII)i.;,
1'
=3
6'
b
(19) (1 VI),
c
3
c'
(20) (1 Vl)^
(23) (1 VI),
_6'
7
c'
(24) (1 VI)^
6'
8
7
13
8
8
13
8
1
13
8
2
13
8
3
(23) (1 VI)^
—
~^
=3
(24)(lVI)i'
4'
11 VII
3<
c'
7^
7'
b'
13
3
VII)
(95 2) (1
r
4'
6
17 (9)2)
6(?.4)(1VI)2
c'
^7
5
3
=6
~2
c = 4
c
~3'
c'
r c__3^
7'
b
8
5) (1 VIIe)i,5,
c^_3
8
1'
b
13
(;/
2(;^6)(lVIl6)i,v
5'
a
b
8
2
1'
1
7
b-
13
14(2 2)(lVIl6)i,^,
4'
=4
d=
11
3(/3)(lViyi.4.
8'
d
3
8
4z2(lVIleV4-
5'
1'
_
2(;t;5)(lVne)i.g,
5'
8'
a
13
7;tl(lVI)6)
Tetrasfona le Syngonie.
a'
8
=4
8'
_\'
b'" 4'
4'
c
ö
a
12
8'
8'
_ 8'
a
b
=
?*
_4'
b'~ 5'
_4'
a
4
des Systems
Verbandsymmetrie
a'
8
a b b
8
Symbol
Explicite
Symmetrie
b
a' 6' b'
ab
a' V
Nr.
"4'
Ö:
V
_§_ ^
4'
b'
7
7^
^8'
c
=
i
(21) (1 VII)
(18)(1VII)^^,
7
(19) (1 VII),
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
566
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
Nr.
8
4
form
ab
b
art
13'
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
a
11 VII
a' b' b'
a'
ab
a
a'
V
ab
b
13
8
5
„
b
a'b'b'
a
«' a'
a'
a a
a
a' a'
a'
a a
abc
13
8
8
6
7
"
_6'
Ti
a'
8
8
.-
1
a'
14
8
1
7ä VI
1
(1
~
_7
b
b'~
8'
b'^
2
))
14
8
3
))
(24) (1 VII);
4'
(23) (1 VII)^,
4'
6'
~
=^
(24) (1 viirj
8'
hr=T
c
_7'
&
8
(23) (1 VII),
4'
_3
&
b c
14
(20) (1 VII);
8'
b'
_3
"~
a
_3
&
4'
_7
~ 8'
a
13
"
a'
rt
13
_7
a'
b'
des Systems
Verbandsymmetrie
=
3'
75 1(1
VI,)
_3'
c
5(3 2(lVl7)2-3.
b' c'
&
b c
''-^
b' c'
14
8
4
b
c
b'
c
abc
ab
65
VI
14
8
5
14
8
6
„
14
8
1
7 3 VII
14
8
2
M
8
3
b
a' b' b'
a b b
ä'b'V
ab
a b
a'V
»J
d
a
a'
b
14
8
4
„
14
8
5
6 5 VII
14
8
6
„
15
15
15
16
16
16
1
11z VI
15
16
4
)>
V
c'
abc
ab c
ab c
a
b
V
a'
V
b-
a b
T
b'~
= 4'8
= 45
a = 1'8
„
"
15
15
16
16
16
1
llzVII
2
,J
3
55
«
a
a
a
16
4
»J
a'
b'
15
16
5
»)
55
2(1VII7)^,4,
4
1 (1 VIl7)3,i-
.5
2 (3 2) 1 VIl,)3,i.
Vllg)
5
(8 1) (1
2
(ö 2) (1 Vlle)^.*
c
c
?)
3'
e
3'6
21(zl)(l^VI)
21 (z 2) dz' VI')
21
(z 1) (3 VI')
2'7
8(z4)(3VI')2
4
"^
3'
1(1 VII7)
S'
b=T c=4
&
8"
0^ =
= 2'6
& = 3'7
= 6'7' = 2'8'
= 2'3
b = 2
b
^.
16
15
.3
7'
rt
11z VI
vy
b __i'
""^^
15
15
a' b' b
b'" 8'
ö _7'
a=8
b c
b' c'
7
_T
b
A'
4'
a'~8'
b c
1) (1
2(5 2)(1VI6)2
8'
A'
n
1
5 (5
b'
=
_B'
~
3'
1
2(.5 2)(lVl7)2-7,
3'
7'
&
ä'~S^ b'~8'
b'
abc
abc
abc
c
4.5l(lVl7)2-3.
=
c =
=& 7=2
b = T
c =
8'
^^==4
a
b
c
d =t
a
14
a' b' b'
ab
T
3'
»)
b' c'
c
3'
c
^~2'
b
b c
db
7'
b'-ö:'
11'
b
"^
=3
= 38
= 4'7
3'4
"3
7'
-6
6 = 3'7
ö = 47
= 47'
fe
3
^2
c = 48'
c = 3'8'
c = 38'
2'
18(z3)(lz'VI)23
21(zl)(ljrVII)
21 (z 2) dz' VII)
21 (z 1) (3 VII)
7'8
&
4' b'
c
6' c'
6'
2,
3'
"~
7 8'
a
3
3' 6
7 7'
«'
4
4' b'
8
8'
8(z4)(3VII)3
3,
18(z3)(lz'VII)34
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567
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrieart
metriegrösse
form
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
24
29
21
1
Kubische Syngonie.
/VI
1 li
a, =
2^1 (13 VI)
= 62 22'5i6'
d =
4
«1 =
21 öl (13 VI)
5i
«2 =
= 62
d = 82 7i
(38) (13 VI)
«2 =
02
a= l'22 2i'5 6i62'
(38)
(13 a VI)
2
«1 =
62
02 =
02 6
a =^
4 5
(38(^1) (13 VI)
Ol =
4, 5i
426261'
«2 =
a = 32'4i7' Ol =
22
42 7/
(13 VII)
4
«2 =
a = 3 72
a, = 3i 7
(39) (13 VII)
"2 = 82 7i
= 3 4i 72
39 (/l) (13 a VII)
= 3i 42 7
ag = 82
4 7i
d=l'22 6i
h
2'
»2
d
30
öl a2
24
215 VI
1
des Systems
Verb andsy mm etrie
Symmetrie
VI.
d Oj «2
Symbol
Explicite
II1I2
61'
Jq'
3i'
2-1
6'
2' 62' 61'
d
24
31
a^ 02
24 VI
1
8'
1 li I2
2'
tti
2'
d
«1
48
32
ttj
1
24;);
VI
(1
5%
(z 2)
li'
I2' 2i
d
tti
48
32
«2
2
(18)3
6'
22' 5i
2'
61'
62' 7,'
2i' 3t'
22' 82'
24
30
flj flj
II1I3
203VII
1
7i'
3'
II1I2
24
1
23 VII
32
48
1
23;tVII
(<5
1)
72'
3i'
31
9.
6' 7'
2' 3'
a
61'
61'
8'
81'
8'
a
«1 02
Was
66.
(1
5%
82'
fli
3'
8i'
7,' 82'
3i'
72' 8'
Auffindung der Tetraparalleloedersysteme
die
7'
rt
betrifft,
so ist dieselbe für alle
Symmetriearten, ausser den hexagonalen, durch die nahe Analogie mit Triparalleloedersystemen
in äusserstem
Grade vereinfacht, so dass
trachten wäre.
diese
Auffindung
fast als eine
Wiederholung zu be-
Dieselben Symmetriearten werden aber jetzt durch andere charakteristische
Zahlen ausgedrückt, und zwar anstatt 5 muss man
2 und 8 und anstatt
2'
und
6'
2'
und
8'
jetzt 7, anstatt 5'
—
- 7',
anstatt 2 und 6
Aus dem Standpunkte der Lehre von
Symmetrieelemente 2' und 8', 2 und 8 absolut
setzen.
der scheinbaren Symmetrie sind aber jetzt die
von einander zu unterscheiden, und zwar desswegen, weil
8'
und 8 senkrecht zu Schichten
Aus diesem Grunde erscheinen die
meisten Triparalleloedersysteme der monoklinen Syngonie und diejenigen des Typus 5 III
der rhombischen in Doppelzahl.
Das ist nur dann nicht der Fall, wenn Symmetrieelemente vorhanden sind, durch welche das Zustandekommen beider in gleicher Form
sind,
welche durch 2' und 2
bedingt werden können.
(central resp. sehneidend) bedingt sind.
Es bleiben
Der
also speciell die
Systeme der hexagonalen Syngonie zu besprechen.
leitende Hauptsatz bei dieser Auffindung
parallelen Schichten entweder
man
erbringen, braucht
ausschliesslich 5
I.
oder
III.
Ordnung
ist
der,
dass
die
sein können.
Um
der singulären Ebene
den Beweis dafür zu
nur darauf hinzuweisen, dass den Grenzflächen der singulären Zone
und 9 zukommen und sämmtliche andere ausgeschlossen
sind.
Diese Zahlen
weisen auf die peripherisch auftretende 3-zählige Symmetrieaxe hin; die Zahlen 3,3', 7,7',
11, 11'
würden auf
die explicit auftretende 6-zählige
sammengesetzten Symmetrie
folgt);
die
Zahlen
1',
5'
I.
6,
6',
8,
8',
10,
Symmetrieaxe oder auf
(was direct aus dem
1.
Satze,
die
Axe
§ 13,
der zuI.
Theil
und 9' würden auf das explicite Auftreten der 6-zähligen Axe der
zusammengesetzten Symmetrie
4, 4',
Art hinweisen
10',
II.
Art hinweisen.
12 und 12'
betrifft,
Was
so
endlich die Symmetrieelemente 2,
kann keines von denselben
als
2',
peri-
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568
sondern nur entweder
pheriscbes Verbandsymmeti-ieeleraenfc auftreten,
schneidendes,
Form
der
in
nicht
also
Form von Symmetrieaxen
der
in
Schraubenaxen oder Gleitebenen.
2-zäbliger
als centrales
oder Symmetrieebenen,
Dieselben
bedingen
oder als
sondern
aber
die
Entstehung der Colonnen der Reihen I. oder IL Ordnung. Bei der Anwesenheit eines von
diesen Verbaixdsymmetrieelementen müssen also in der singulären Schicht und zwar in jeder
angehörenden Colonne oder Reihe die Glieder des aus gleich orientirten Ein-
derselben
heiten zusammengesetzten Netzes anwesend sein; somit kann jede Colonne und jede Reihe
dieser Schicht mit der anliegenden parallelen Colonne resp. Reihe durch einfache Translation
sein; das resultirende
verbunden
Symmetrieelement der 2-zähligen Schraubenaxe oder Gleit-
ebene mit dieser Translation würde aber den Sätzen § 13, I. Theil gemäss eine 2-zählige
Symmetrieaxe resp. Symmetrieebene gewesen sein. Dieselben werden aber, wie eben hingewiesen, als Elemente der Verbandsymmetrie ausgeschlossen.
Auf diesem
Satze fassend, schliessen wir, dass sämmtliche Systeme IL und IV.
nothwendig Schichtsysteme
Ordnung
welche aber sehr leicht nach der Ordnung der auftretenden
sind,
Symmetrieelemente erschöpfend aufzufinden
Von
sind.
denselben
zeichnen
sich
diejenigen
Ordnung durch phanerotopische singulare Colonnen aus, während in den Systemen
IV. Ordnung die Gleitebene resp. die nicht polare 6-zählige Schraubenaxe dieser Colonnen
In den Systemen III. Ordnung tritt die polare 3-zählige Schraubenkryptotopisch auftritt.
In den Systemen VI. Ordnung tritt dieselbe Axe kryptotopisch auf (was
axe central auf.
II.
auch im Falle der central auftretenden polaren 6-zähligen Schraubenaxe angenommen werden
In den Systemen XII.
kann).
kryptotopisch
Ordnung
tritt
Schichtsysteme von
auf.
geben, und selbst bei den Systemen XII.
nothwendig
die polare 6-zählige
noch höherer Ordnung kann
Ordnung
es
Schraubenaxe
natürlich
sind die Elemente der geraden
nicht
Symmetrie
ausgeschlossen, und es bleibt somit allein die 25. Symmetrieart zulässig.
In den Systemen, welche nicht Schichtsysteme sind,
Axe
6-zählige
(resp.
Es
der zusammengesetzten Symmetrie
II.
tritt
die
3-zählige Symmetrieaxe
Art) peripherisch auf.
erwähnen übrig, dass die 6-zählige Symmetrieaxe gar nicht peripherisch
während die 6-zählige Axe der zusammengesetzten Symmetrie I. Art lediglich
Bezug auf die Grenzfläche a (also halbperipherisch) auftritt.
bleibt zu
auftreten kann,
peripherisch in
Wegen
Buchstaben
der anschaulichen. Charakteristik
s.
v,
c
und
li
eingeführt,
von
Systeme werden
der
welchen
der zweite die verticalen Schichten, der dritte
die
der
die
erste
den
in
Symbolen
die
horizontalen Schichten,
verticalen Colonnen
und der
vierte
die
horizontalen Colonnen bezeichnet.
VI.
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
form
art
metriegrösse
Tetraparalleloeder II. und höherer Ordnung.
Charakteristisclie Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
Tetraparalleloeder
I.
a\
\
1
2
2
1
aa
2
2
2
2
2
3
aaa
II.
Verbandsyrametrie
des Systems
Ordnung.
Trikline Syngonie.
\jilY
=
=
a = T
1
fl
7'
1
a
l'
1
1^(1
IV)'
ICTTIIIV)"
ljr(llV)'i
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569
Sym-
Sym-
meti'ie-
metriegrösse
.
art
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
des Systems
Verbandsymmetrie
IL Monokline Syngonie.
2
1
2 IV
1
(1) (1
2
2
jj
1
2
,
1
3 (1 IVs)''
3 (1 IV3)«
(1) (1 IV3)"
2
2
2
2
3
3iv
4
5
6
„
„
1
1
3
(1 IV3)''
2
2
7
3 IV'
1
3
(1
8
jj
1
(1) (1 IVs')"
2
9
j,
1
2
2
1
l;fIV
3 (1 IV3')''
1 X (1 IV2)'
2
1
3
1
2
2
2
4
2
2
2
4
4
4
4
4
1
1
=
2
2
=
1'7
=
1'7
=
1'7
12
13
14
15
16
17
18
19
3/ IV'
4
20
j,
4
21
,,
4
4
22
23
24
25
26
27
4
4
4
6
6
4
4
6
4
4
1
„
„
,,
jj
j,
j,
^,
,,
jj
"'
IV
5
6
d.
r
1
r
i'7'
1'7'
=
1'7'
=
=
=
17'
17'
17'
12'
12'
=
=
=
=
=
2'
l/'KlIVs')''
=
7
7
7'
7'
7 7'
2'8
2'8
2'8
7'8
7'8
7'8
18
18
:2'7'
8
:2'7'
1
=
7'
1
1 7'
2'7'
:2
^2
:2
:2
2
:2
17'
18'
18'
18'
3/{l^IV2)"
2/(2IV2)«
3 /
iY,y
1 (2
Sx& IV2)"
lUDdzIV.,)^
azd/iv^)"
3/{l/IV2)''
2/1
(IjtIVs)«
1{z2)(1.tIV3)-
S/Kl.TiVa)''
3/l(3IV3)'
2/l(3IV3)''
3z 1(3 IV,)''
Szdz'IVg)^
KzDdz'IVä)"
s/dz'iVä)''
3/l(l^IV3)«
8'
l(z2)d^TlV3)''
3zld.TlV3)''
8'
7'
3/1
7'
2zl(3IV3'K
7'
3z 1 (3 IV,')''
szdz'iv,')«
:7'8'
2
7'8'
Wiss. XX. Bd. IL Abth.
17
1
7
17
12
12'
12'
lYiY
8'
12
12
1
1 (z 1) (1 Ji
:7'8'
(3IV3')s
KzDdz'lVs')"
3zdz'lV3')''
Rhombische
che by ng onie
4
4
Ak.
jj
1 1'
2
3
4
17
17
17
1 1'
1 1'
3z IV
5
17'
17'
17'
j,
j,
III.
d. II. Gl. d. k.
jj
11
4
Abh.
2
=
„
9
iz'KilVs)"
1/1(1 IVa')»
IzUlIV,')-
=
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
7
8
IzKllV,)»'
1
1
„
„
5
1
1
,,
4
l/KllVs)'
jj
IV
•
Iz'dlVs)''
=8
j,
2;.
IVs')^
I/KIIV,)"
1
„
2
3
10
1
1/IV
5
6
7
8
9
2
6
6
6
1
IVs)^
(1 IVj)''
= 2'8'
= 2'8'
a =
a = 78'
a = 78'
a = 78'
a
5
a
(2) (2
2'8'
6
(2
IV)s
IV)"
(2 IV)''
(4) (3
IV)»
(3) (3 IV)''
(5) (3
73
IV)"
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570
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
Nr.
form
art
I.
Typus
Ordnung
Symmetrie
a
1
1
6
4
7
51V
1
a
1
l
4
4
8
9
„
aa
6
6
al 1
1 «1
7
7
4
1
2 9''1V
4
a a
1
7
4
2
3
a\
1
4
„
1
7
7
4
a
4
rt rt
1
7
4
4
4
4
4
4
5
6
7
„
„
1
a\ 1
1 al
,
7
7
aa\
7
a\ 1
1 «1
7
,,
„
„
8
,,
9
,,
10
3<plY
11
j,
aal
al 1
1 al
7
7
aal
7
4
12
13
14
15
16
17
18
al 1
1 al
7
4
19
4
20
jj
4
4
21
jj
1
7
7
7
lal
7
aal
7
7
7
4
4
4
4
4
8
1
a
1 1
1
al
aal
al
al
1
lal
aal
7
al 1
1 al
8
aal
8
8
a
1
1
8
1
4
4
4
4
4
4
8
a
1
8
a a
1
8
8
8
8
8
1
1
jj
j^
8
8
a
l
a
1
1
1
rt
l
rt
a
1
al
1
1
rt
1
aa
1
rt
•
8
8
8
8
8
8
8
8
11
8
8
12
13
14
15
16
17
18
19
8
8
21
8
8
8
IV
jj
8
al 1
1 al
jj
6
al 1
1 al
20
l(9>5)(lx'lV2)s
rt
2(p2(l;t'IV2)''
3 9;'l (1;;'IV2)Ä
3 9^ 2 (3 IVg')'
2 95 3 (3 IV,')"
3 <p' 1 (3 IV,')"
18'
18'
18'
11'
11'
11'
a=l'8
a=l'8
18
18
18
a=l'8'
rt= 1'8
= 88'
= 88'
a = 8
a
8'
12
2
2
1
„
1 2'
1
7'
8'
7' 8'
7' 8'
8'
12' 7
8'
1278
1278
1278
„
1 1'
i
"
rt
1'
rt
1'
3<P'{\X'1Y3Y'
3 ^ 2 (3 IVg)^
2 9:>3(3IV,)3 9p' 1 (3 IV3)''
= 22'
= 22'
a= 1'2'
=
a=l'2'
=2 8
a= 2
8
a= 2
8
a= 1'2 7
= 1'2 7
= 1'2 7
a= 1'2'7 8
a=
7 8
a = l'2'78
a=l'27'8
a = l'27'8
a = l'27'8
rt
„
„
„
„
„
„
,,
3cp{lx'lY,)^
i((p2){ix'\Y3y
rt
7
1 2'
3 9>'l(l;fIV3)''
1'8'
1'8'
11' 7 7'
11' 7 7'
1 1'7 7'
12' 7'
1 2' 7' 8
12' 7'
„
„
3q^2{\xlY^Y
Kqy-Ddziy,)"
rt
12
12
12
7 8'
9 2(1;^'IV2')''
dqy'lUz'lYi)''
rt
rt
5
8
9
10
2
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7
rt
a
4
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8
rt
1 1'
,j
5;.
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jj
jj
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l(9.5)(l/'IV2')s
1 1'
j^
IV')-
(5) (3
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.a
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12'
12'
(3) (3
rt
jj
,j
3<plY'
(4) (3 IV')'
rt
a=
a=
a=l'2
= 2
= 2
= 22'
,,
jj
8
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1
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8
8
8
8
,,
2
3
8
1
,,
27
lal
aal
a a
j,
22
23
24
25
26
a
a
a
a
17
17
17
12
12
12
18
18
18
des Systems
Verbandsymmetrie
= 2'7
= 2'7
= 2'7
= 28
= 28
= 28
= 78
= 78
= 78
= 27
= 27
a= 2 7
18'
18'
18'
„
7
7
7
7
7
a«
Symbol
Explicite
rt
1' 2'
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l{<pl)(lxlY,)y
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l{<p2){lx'lY,y
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2'
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2'
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2'
8'
6/
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8'
3
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5(zl)(3zIV)''
rt
rt
1' 2'
a=l'2'7'8'
rt= 1'2'7'8'
rt=l'2'7'8'
= 77'8
= 77'8
= 7 7'8
a = 2
7
a = 2
7
= 22'7 7'
1(2;^ IV)''
(;^
2) (3
z IV)''
i(x-i)(SxlYy
3{x2){SxlY'y
5(;.l)(3zIV')''
5 ;^ 1(5 IV)«
4;^ 2 (5 IV)"
6/l(51V)A
5/(3 9/IV)s
2(;^3)(3<p'IV)6y{S(p'lY)>'
2'
a
8'
4{xl){3q>lY')s
2
2'
a
8'
3{xi){3(plYr
1'2
11' 8
1 1'8
11' 8
2'
8'
5(;;1)(3^IV')"
4(/l)(39'lV)s
1
1
1'2
8'
8'
8'
rt
rt
2'
7'
2'
7'
3(xl)(3.^IV)''
5 (/ 1) (3 9> IV)''
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
571
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
metriegrösse
form
art
Charakteristische Zahlen
Nr.
I.
a
1
11
all
oll
all
al
a
1
1 1
all
al
1
all
al
al
al
al
al
1
1
1
1
1
all
all
al
al
1
1
all
all
all
all
all
all
al
1
all
all
al
1
all
17
17
18
19
19
20
20
20
20
20
20
21
22
22
22
23
24
24
24
25
25
25
26
26
26
26
26
26
27
27
6
1
6
6
6
2
6
2
12
12
12
12
12
12
6
12
12
12
6
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
1
24
24
Explicite
Hexagonale Syngonie.
12??
1
12a IV
1
IV
15 IV
14 a IV
14
2
3
15 a
IV
6
IV
17^ IV
17
1
1
1
27
24
26
59
1
1
12a{12IV)s
:
2' 6' 10'
14 (12 IV)s
:
4' 8' 12'
15(12IV)s
14a(12?'IV)s
4 589 12
13' 5 7' 9 11'
2' 8' 6' 7' 10' 11'
5 6' 9 10'
1 2 5 6 9 10
13' 5 7' 9 11'
1 4' 5 8' 9 12'
3'
2'
6'
2
1
27
24
3'
7'
6
1
27
24
1 1
""
27
24
159
17/ IV
1
2
3
1
'
:
18
IV
2
367
3
47
24
1357911
UjtIV
1
1
1
lÖJiIV
4
5
6
1
18/ IV
2
5
6'
-
9 10'
2 5 6 9 10
1' 5 5' 9 9'
5'
:
:
1' 2' 5' 6' 9'
2
2'
6
:
:
9'
1
a
16
3
2
16
3
3
a
h
V
a a
a'
a' a'
a
a a
a'
a' a'
a
12
3
4
1'
4'
8
2 3
10 10'
12
lÖJrl (15IV)s
9'
8'
12 12'
6 7 8'
4' 5'
15jr(12<?'IV)s
15.T(12;rIV)s
9'
10
8
9' 10'
9'
:1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'
33(/l)(14aIV)s
33(/2)(l5aIV)s
18/(17<pIV)s
10' 11' 12'
10 10'
6 6' 8 8' 10 10'
12 12'
:1' 2 3' 4 5' 6 7' 8 9' 10
11' 12
3 3' 4 4' 7 7' 8 8' 11 11'
12 12'
2 2' 3 3' 6 6' 7 7' 10 10'
:
2
2'
4
4'
:
:
18/l(17/IV)s
18/l(18IV)s
33(/2)(14;rIV)'
33(/1)(15jiIV)s
11 11'
III.
Ordnung.
IV
_9
u'
5
a
5
^~9
ö__5
4
5
8
14jr(12(?^'IV)s
14.-rl (12jrIV)s
11 12
a
3
6'
14jrl(14IV)'
10'
11 12'
a'
16
15 IV)s
18 (17 IV)s
1' 4' 5' 8' 9' 12'
a
16
(33) (14 IV)s
(33)
10
:1' 2' 3 4 5' 6' 7
:
12'
11'44'55'88'
7
6
123'4'567'8'
11'22'55'66'
6
9'
1'
2
8'
12'34'56'78'
5
17/(17IV)s
28(zl){127rlV)s
2' 4' 6' 8' 10' 12'
:1' 4 5'
5
11'33'55'77'
4
11'
3'
a
3
12jr(12IV)s
28(/l)(12aIV)s
7 9' 11
9 12'
14589 12
1 1' 5 5' 9 9'
12' 3' 4 5 6' 7'
8 9 10' 11' 12
1 4'
12345678
3
5'
7 7' 11 11'
3 4' 7 8' 11 12'
2' 3 6' 7 10' 11
3
5 8' 9 12'
Tetraparalleloedersysteme
16
28{<}>l){l2cplY)^
2S{(p2)(l2(p'lV)^
8 1112
1' 3' 5' 7' 9'
5 5' 9 9'
12' 5 6' 9 10'
1 2'
3
99' 12 12'
-11
17<?'l(17IV)s
10 12
10 11
1' 5' 9'
1'
357911
1 4'
!
2
3
1
7' 9 11'
1 1'
1
2
3
13' 5
9
27
15al(15IV)s
10 11'
I
9 10' 11
a
15a(12<pIV)s
15al (l2aIV)s
(28) (12 lV)s
2468
99' 11 11'
nl
14al(12aIV)s
14al(141V)s
10' 12
11' 12
3711
9 10 11 12
al
8
8
7'
2 4' 6 8' 10 12'
159
1357911
1458912
12^' IV
4
4
3' 4' 7' 8' 11' 12'
1 2 5 6 9 10
i
1
12(?>l(12IV)s
12 ?>' 1 (12 lV)s
12
10
3' 7' 11'
1
9 10 11'
all
^48
1 2'
5
2
3
159
159
159
159
IV
\2(p'lY
4
des Systems
Verbandsymmetrie
Symmetrie
V.
al
Symbol
Typus
Ordnung
_9
(10) (1 IV),.
(ii){iiv);
12
(1
INY
13(1 IV),
5
5
ä'~9
13
73'
(l IV)^
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
572
Abitungs-
form
Sym-
Sym-
metrieart
metriegrösse
17"
6
b'b
-,
1
I.
12?>IV
-11
a
Symbol
6
15
IV
18'
21
6
17
IV
17
21
6
17
IV
17
23
12jiIV
6
ö^^5
24
17/ IV
12
b'~
11' 7
18 IV
12
1 2'
25
18 IV
12
1 2'
b'~9 9'
b_^5 5'
8'
b__b^
b'b
26
15^ IV
12
1 1'
8
8'
l2.-r{lxlY)U
11 11'
28(zl){2xlY)U
3 3' 9 9'
3 4' 9 10'
6'
a
5
5
4'
6'
(34) (5 IV)^.
11 12'
11 12'
(35) (5 IV)f
9 10'
a'
3
b^
5 5' 12 12'
b'
4
4'
IV),'.
(30) (3 lYfi
5^
a
IV'K
(29) (3
_
7'
(4
9
a^'^S 9
7 8'
7
14
A '9
«^_3
a'
a
129>'(l;i;'IV)'^
12'
ct/~ 5 11
a
5 n.
b'
25
12
4 9
&^_5
11'
des Systems
Verbandsymmetrie
18
19
b_b^
b'b
Charakteristische Zahlen
Explicite
Symmetrie
bb:
b'b
Typus
Ordnung
b'
bj^
b'b
Nr.
9
Un{3cplY)l-^
9'
Tetraparalleloeder IV. Ordnung.
IL
abl
abl
abl
abl
abl
all
5
5
Ibc
übe
5
5
ah
ah
c
5
c
"ll
a
^&1
a
5
5
5
5
4
4
4
4
4
1
Monokline Syngonie.
2xIV
2
1
1
3
4
5
1
6
1
7
1
1
1
8
1
9
10
1
5
4
4
4
4
4
5
4
11
1
1
5
4
12
1
5
4
13
1
5
4
14
1
5
4
15
1
b
=
=7
=
7'
1'
=7
=
5 =
5 =
5 =
5 = 7
=7
5 =
6 =
6 =
5
5
22.
1
rt
23
1
abl
abl
4
4
5
17
18
19
ah
5
1
5
4
4
4
4
^11
5
4
abl
__T
1
5
5
b
T
b'~7
h
T
h'~7
b
T
&'~7
1
1
1
3/ IV
1
1
1
1(;^2)(1IV2)''
1(;.2)(1IV2)''-
1'
1(/2)(1IV2)/'
7'
l(;fl)(llV2)''
c
7'
1'
1'
2/(1
=7
=7
c = 7
c
c
IVo)''
2xl{l\Y^Y
3/1(11^2)
%X1{\\Y^'
SzdIVa)
1 (Z 1) (1
_7'
a'~ 1'
21
16
2zl(lIV2)Ä
1'
7'
7'
20
4
ab
a
a
«
a
~7
a=
a = 7'
a =
a =
a = 8
5
1
7'
a=l'
a=l'
&=7'
h
b
ab
=
=T
=7
=7
a
b
az- a
a
a
a
a
V
7'
2'
2'
=8
a
7'
ä'~
2'
5
=7
IV2)»
SzdlV^)"
2zl(lIV2)''
a
=
l'
3;cdIV2)''-
c
=
l'
2/l(lIVa)«'
=
5 =
5 = 8
5 =
6 = 8
6 =
6 =
«
!'
3 x
2'
1(;/2)(1IV3)Ä
7'
2zldIV3)''
(1
IV2)
l(z2)dIV3)'''
2;^1(1IV3)A'
7'
1
2'
l(^2)(lIV3)'''
(;.
2) (1 IV3)*'
3zUllV3)^V
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
573
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrösse
-.hl
5
4
24
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
a
3xlY
Verbandsymmetrie
2
p-
5
4
25
"
T
b'~8
4,
5
4
26
"
77
'P'
4'
4-
b
5
5
4
4
27
5
4
29
5
4
30
5
4
4
4
4
31
-.11
5
a
a
4'
4'
4'
4>
4'
5
5
5
5
"
=—
b'
8
b
T
b-
2'
h'
2'
ö'
2
28
abl
ahl
abl
abl
abl
abl
-.bl
3/l(lIv47,
\
a
des Systems
4
32
33
34
35
4
36
4
=
a =
a =
a = 2
a = 2
a
1
"
37
n'
4
38
"
5
4
39
..
5
5
4
4
40
"
41
j)
6
6
6
6
4
1
4
4
2
4
4
4
3
4
6
6
4
7
6
4
8
6
6
4
4
9
10
6
4
4
11
12
?^
8'
7'
?>
1(X2)(1IV3')"
l{x2){nYs'r
2;cl(llV37'
2/1(1
IVs')'''
1 (x 2) (1 IV3')''"
1(;.2)(1IV3'F'
7'
7'
= 578
3zl{lIV3')?-8,
=2
3zl(lIV3')^8-
7'
b
2
7'
6'
8'
1(Z2)(1IV3')2
6'
3zl(lIV3')^7'
8'
"
-''
8'
"
=7
=7
a =
a=
a=
a=
b
b
b
h
b
h
&'
-
-7'
1(Z2)(1IV3')^8'
1(Z2)(11V3')?;8-
Rhombische Syngonie.
5
IV
7'
1 {/ 2) (1 IV3')'f 8-
Y
a
a
2'
8'
2'
8'
=
=
=7
=7
=
=
2'
(14)(1IV)''
8'
(14) (1 IV)'''
(3) (1 IV)''
(3) (1 IV)'''
8'
(2) (1 IV)''
2'
(2) (1 IV)'''
2'
(4)(lIV)'2-8.
rt'~8'
2'
«
b
a'
8'
b
2'
V
7
&
8'
=V
(5) (1 IV)^.8,
(2) (1
8'
&'
7
&
2'
&'
7
IV)^.7
(2)(1IV)1'8,
b-~7
b
6
8'
&
a
6
3 Z 1 (1 IVä)^-;-
=
= 7'
ö = 2
=
6 = 8'
b
i/^2'
^
42
IIL
6
6
1
3/l(lIV3)?.8
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a'^8'
«
-
„
5
4
=2
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7'
Q'
h
5
rt
1
3z IV
a
5
i{z2){iiY,y:.s
a
=
a
=
y,'
(4)(1IV)J8,
K'
(4)(1IV)'^,;
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
574
Charakteristisclie Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
form
art
metriegrösse
abl
7-
4
1
ab
ah
4
2
3
1
4
5
6
1
7
7
abl
abl
7
7
4
4
4
ab
7
4
1
1
?7'
4'
4'
4^
ab
«6
7
4
Nr.
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
7
2q>'lY
1
a=7
a = 7
a=2
6=2
6 = 8
6=7
(^ 4) (1 lVi)h
1(<P4)(1IV2)'''
2 95 3(1IV2)''
1
rt
6
2
9>
1
« == 2
6
1
(v 3)
1
1
"
rt
7
4
8
"
1
7
4
9
))
1
7
4
10
„
1
7
4
11
S.^'IV
1
1
7
7
4
7
1
7
4
7
4
12
13
14
15
16
1
1
1
1
1
^11
7
4
17
"
1
^&1
7
4
18
"
1
2
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7
6
7
6'
""8
17
=8
6'
2
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7
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7
7
7
7
7
ab
1
abl
abl
abl
abl
-,11
rt
8'
rt
8'
rt
1'
4
.19
20
a __
rt
2'
rt
2'
7
4
27
"
1
r
a'~2'
7
4
28
"
1
'.
7
7
4
4
29
30
8
3
1
1
8
8
1
8
8
4
5
6
1
8
8
8
8
7
8
1
8
8
8
8
8
8
8
8
-,11
8
8
«
TT,
8
8
1
1
1
1
1
2
2
1
5/ IV
17'
17'
17'
17'
17'
4
9:-
3 (1 IV3)''
(1 IV3)''
1 (9p 1) (1 IV3)''
1'
l{<pi)(l IV3)"
8'
1
(<p
4) (1 IV3)"'
3
=
6 =
6 = 2
6 =
6 = 2
6=1'
6 =
«
2
6'
2'
8'
1V3)^
g.
1
(9 5)
2
.p
4
(1 IV3')''
2
9^
3
(1 IVä')''
1
(9p
1
(9, 1)
(1
2) (1 IV3')''
(1 IV3')"
1 {cp 4) (1 IVs')*
1(9'4)(1IV3')"'
3 9^2(1^3')! .2-
b^^
= 12
b
l(9.3)(lIV3r8
1
2'
rt
1 (1 IV3){-8'
1'
2'
rt
9.'
8 9''l(lIV3')i'.2'
1(9p3)(1IV3')22'
= ;^
«=1
2
1'7
=
6 = 2'8
a
= 17 6 = 2
= 2'8 6 = 1'7
=2
6 = 1'7
= 2'8 6 = 2
=2
6 = 2'8
= 17' 6 = 2'8'
=
6 = 28
= 2'8' 6 =
= 2'8' 6 = 28
= 28 6 =
a = 28
6 = 2'8'
77
1(9;5)(11V3')^'2,
6
17',
17
17
17
17
17
17
"
i?'
1 {cp 2) (1 IV3)''
1
„
9
10
11
12
13
1'
«
'.
3 (UV,);* 8
3 9'2(1IV3)^8,
1'
a
«P
3^3(1IV2)'^7
=
6 = 8
6=8'
6 = 8
6 =
6 =
6
= 88
=
=
« =
a=l'
=2
=2
6
7
8
1
1
^
11
1
1
«6
«6
6'~8'
4
4
2
«61
«61
«61
1
1
«=«
8
8
22
23
24
25
26
8
8
«6
«6
«6
«6
«6
S<plV'
3
ä^^8^
4
4
4
8
8
aöl
„
=^
1'
21
a
rt& 1
"
"
rt
4
a
4'
4'
4
1(9p3)(1IV,)A'
2 9.5(llVo)^8
b=7
=
=
=
rt=l'
=8
o=8
rt'
7
3 (1 IV2)'''
(1 IVo)A
2<p5(lIV2)^7
6
'F'
=7
=8
6 = 2
=8
=8
6
1
1
1
abl
abl
abl
abl
des Systems
Verbandsymmetrie
17
8'
rt
rt
rt
8'
8'
rt
rt
8'
fl
rt
1'7'
rt
«
1'7'
«'
2'8'
14U1)(1^IV)A'
3(;^4)(l.-rIV)''
3(/4)(1.t1VF
2U5)(1.tIV)"
2(;i:5)ljrIV)"'
2
(/ 4) (2 IV)''
2
{x 1) (2 IV)''
1'7'
47 3
47 2
1'7'
2
rt
rt
14(/l)(l;rIV)''
2
(2 IV)''
(2 IV)''
(x 5) (2 IV)''
(7 6) (2 IV)/"
57l{2IV)^2,
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575
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrieart
metriegrösse
Nr.
8
8
14
form
>
abl
abl
abl
abl
abl
abl
8
20
,,
8
21
..
8
8
22
„
8
8
8
23
„
8
24
?)
8
8
8
8
8
8
25
26
27
28
8
8
29
8
8
8
8
8
8
4'
4'
8
abl
1
1
abl
abl
abl
4>
4.
ahl
abl
abl
abl
abl
abl
5/ IV
8
8
8
8
8
Symbol
Explicite
Symmetrie
15
16
17
18
19
8
8
ab
ah
I.
Typus
Ordnung
,,
j,
,,
j,
j,
jj
j,
„
"
17
12'
12'
12'
12'
12'
12'
12'
18'
18'
18'
18'
18'
18'
18'
8
30
8
8
8
31
8
8
8
8
8
8
8
8
8
,,
1 1'
32
33
„
„
34
jj
35
36
18'
1
1'
11'
11'
j,
1
^,
1
1'
1'
8
37
„
8
38
:7
1 1'
8
8
39
jj
1 1'
8
8
40
jj
abl
abl
abl
abl
abl
abl
8
41
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
45
46
^11
a
8
8
47
^."
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
42
43
44
48
49
50
,j
"
18
j,
,^
,,
-
rt
18
jj
18
8
8
54
8
55
56
,,
„
"
12
12
12
12
12
12
4;f2(21V)';.2-
3(;f2)(3lV)"
2 (z 2) (3 IV)''
3(/4)(3IV)''
3(/4)(3IV)'''
14 (x 2) (3 IV)''
3(;t4)(3IV)''"
3(;f3)(3IV)'7,,
= 12
= 2'7
& = 27'
6 = 1'8
= 27'
& = 1'8
b = 2'7
777:7
«
4{x2)(3IV)5,,
1'
&
3 (x 2) (3 IV')''
2(;t2)(3IV')''
3 (x 4) (3 IV')"
3 (/ 4) (3 IV')'''
14 U 2) (3 IV')"
3 ix 4) {3 IV')""
2'
7'
b
2
b'
2'
2
7'
3
=7
a= 7
a = 2
a= 8
a = 2
a= 8
a
2
7'
7'
2'
8'
2'
8'
«='^
& = 2
= 8 8'
b = 7T
6 = 77'
h = 88'
ö = 2
2'
?^
2'
4(x2)(3lV')^2-
14(xl)(lxIV)"
14(xl)(lxIV)"'
3te2)(lxIV)"
3
U 2) dz
IV)"'
2(/2)(lxIV)"
2U2)(lxIV)"'
2'
b'
7 7'
b
8
~7
(x 3) (3 IV')', 2-
7'
ö=2'7
&'
8'
8'
2'
2(xl){lzIV)2
7
8'
7'
l-'4
—
2 (/l)
«
»-hn;
=
=
a
2'7'
a
2'7'
=
a = 27
«=27
a =
a =
l'B'
l'B'
a
2'7'
rt'
1'8'
&
&
b
2 7
=
=
h =
h = 2'7'
6 = 27
1'8'
2'7'
1'8'
dz
IV)? 8
3{x2)(lzIV)$-7
3(x2)(lzIV)^8
3 ix 2) (1 /' IV)"
2 ix 4) (1 x' IV)"
14^1) dz' IV)"
UD dz' IV)"'
14
2 (z
3) dz' IV)"
3(zl)dz'IV)"
4(zl)(lz'IV)i-2'
18
„
51
52
53
1 1'
18
18
18
18
18
18
j^
8'
fl.
1 1'
8
abl
abl
abl
abl
ahl
abl
h
b
8
= ''
=7
h = T8
&--=l'2
b = 7'8
&=1'2
& = 78'
'
a
^'
8
4^
4^
4'
4'
4'
4>
= 2'8'
= l'2
a = l'2
a = 7ö'
=7
a = 7'8
a = 7'8
7'8
b
"7
7'8
V
=78
^
b
= 8
a=l'8
= 7
a=
7
a= 2
a = 27'
«
&'
12'
des Systems
Verbandsymmetrie
rt'
1'8'
b
27
b'
2'7'
b
27
= 7'8'
a =
a = 78
a = 7 8
=
a=
fl
7'8'
rt
l'2'
1'2'
5(zl)(lz'IV)lV
2
(z 2)
dz'
IV)!; 2-
4Ul)(lz'lV)2'o-
= 78
= 1'2'
ö = 7'8'
b = 1'2'
& = 7'8'
ö = 7 8
6
h
3(x2)d/IV')"
2 (z 4) dz' IV')"
14 (zD dz' IV')"
uizDdz'iv')"'
2 (z 3) dz' IV')"
3{zl)dz'IV')''
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576
Ableituiigs-
Syrametrie-
form
Charakteristische Zahlen
SymNr.
art
metriegrösse
^11
a
s"
8
57
^,&1
8
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
12
SpflV
Verbandsymmetrie
1'2'
a
~ 7'8'
-' =
lt
7'8
Mxl){lx'lY%y.
a'
a
8
58
12
»J
^
a'
b
4>
8
8
59
'•
12
8
8
60
"
12
20
12
12
159
14aIV
1
15 a
2
12
1
^=
12
159
IV
159
IV
17;/
18
1
a'~3'7'll'
a^
a
159
IV
a
n'
26
26
27
12
12
24
159
14^ IV
1
159
15.-rIV
2
18/IV
1
^ "--
n _ 2'6' 10'
_
rt'
25
5(;^1){1/'IV');V
2(;.2)(lz'IV'r;7-
_
4(zl)(lz'IV')77-
1
n
_
^ 3'7'11'
2'6'10'
_
~
15 a 1 (12 IV)3,4,
1'5' 9'
4'8'12'
_
a'~
g
14 al (12IV)2,3-
4'8'12'
3'7'11'
a'
24
= 78
7 8
Hexagonale Syngonie.
V.
20
des Systems
(33) (12 IV)|,4-
2'6'10'
1'5'9'
4'8'12'
_
~~
a'
1'5' 9'
a
1'2'5'6' 9' 10'
2 5 6 9 10
28(zl)(12IV)^3.
3'4'7'8'11'12'
14jrl(12IV)i-2'
15jrl(12IV)i.4.
S3(x2){12<p'lY)U.
1'4'5'8' 9' 12'
27
24
2
1
4 5 8 9 12
2'3'6'7'10'11'
a'
33(/l)(12?-IV)^2'
Tetraparalleloedersysteme VI, Ordnung.
i
V
b
V
17
6
1
19
6
1
19
6
2
12
99
15
''iPb
i
19
6
3
19
6
4
6
5
19
21
21
a
6
6
1
IV
IV
23
6
129p' 1(1 IV)
a
=
14
8'
(1
IV)
(26) (1 IV)?
12;
4'
14
IV
2'
__2^
1
17
IV
a'
6'
«^_
11
rt'~ 3
£-
2
1-
=8
12'
—A
ä'~
b b'
b b
a
12jrIV
a=
IT
1'
(27) (1 IV);'
(12) (1 IV),^
(13) (1 IV);'
(31) (1 IV),'
(32) (1 IV)^
12jr(lIV)
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577
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leitungs-
metrie-
Nr.
form
art
metriegrosse
^11
a
25
12
1
25
o
25
g
25
g
b
V
"vT
26
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
12'
141V
12'
2
12
12
3
12
18'
15 IV
18'
4
12
1
15 a
18'
IV
Tetraparalleloädersys
eme
g
3
a'~
1112'
g
11 12'
a'
3 4'
3 10'
g
4'
(36) (3 IV)^
(37) (3 IV)^
(36) (3 IV'),!
g'
6'
g
6'
g' ""
11
11
(37) (3 IV'),'
3 10'
VQ
'^=^^
8
1
8
8
2
6'=910'
8
=2
3
=8
3(;^4)(1IV)S:8,
=2
U(xl){\m\,,,
=8
14(;;l)(lIV)j;,
2^
7'
=7
3(/4)(lIV)*.7.
8^
=7
3(;.4)(1IV)^V
=
7'
2(;t5)(lIV)^,7.
=
7'
2(;f5)(lIV)i',8,
5z IV
3
7'
V_
8
8
4
8
8
5
8
T
6
8
7'
2'
8
8
147rl(3IV')
VIII. Ordnung.
r
8
5 6'
^
2'
8
des Systems
Verbandsymmetrie
7
(x 4) (1 IV)^'.8,
T'
8
8
8
8
8
9
,§!
T
1/
2'
1/
Abh.
d.
8
8
10
8
8
11
8
8
12
8'
2'
X.
8
8
13
g
=
1'
8
8
14
g=
1'
8
8
15
g
8
8
16
8
8
17
a
8
18
g=
8
8
19
a
IL Gl. d. k. Ak.
d.
Wiss.
3(/2)(lIV);',2,
=7
3(;^2)(1IV)J<8,
=8
2(x2)(lIV)J,2-
2
2(;.2)(1IV)J,8,
b
2^
^7
8^
7^
^8'
7_
2'
1'
2^
^7'
1'
8_
'
XX. Bd.
II.
Abth.
2(z4)(lIV)^-,
2(z4)(lIV)?8-
7
=2
g = 8
8
=7
=2
T
T
2(z5)(lIV)';8'
2(z5)(lIV)^'-,
14(/1)(1IV)*,,
14(zl)(lIV)^8
14(;^2)(1IV)^8
74
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578
Charakteristische Zahlen
Ab-
Sym-
Sym-
leituiigs-
metrie-
Nr.
form
ai-t
metriegrösse
8-
8
20
4'
4'
4'
4'
4'
4:
8
8
8
8
8
8
8
8
I.
Typus
Ordnung
Symbol
Explicite
Symmetrie
5/ IV
21
22
des Systems
Verbandsymmetrie
o
b
r
,,
b
2'
w
ö
8'
r?
ö'
7'
b'
14(;^2)(1IV)^7,
14(;tl)(lIV)^^7-
=
«=2
«
j,
23
24
a
1
=8
=
rr = -;
8'
2te6)(lIV)l8,
= -;
2(x%]{ll\)l,y
rr
6'
8
8
25
o
^
4'-
8
8
26
o
^
4i
8
8
27
8
8
28
«
,;7
2'
8
2
14(;.l)(llV)^',g.
14(;f2)(lIV)^lg,
14(;^2)(1IV)^2-
=2
6^==8^
2(;k5)(1IV)^8'
b
«^1
,
4'
4>
4'
4'
4'
4'
4>
8
8
8
8
8
8
8
8
2(;^5)(1IV)^2,
29
7'
^
7
b
-3
ö
7
'^
7
«=8
30
31
«
32
=
8
8
8
8
8
8
8
25
25
12
12
7
^=^
r.,
n8'
33
rr
=7
;r;
ö
2
V
7
b'
7
ö
7
34
=2
a=
35
«
o'
8'
36
Tetraparalleloödersys
^11
b'
„
.
8
o
„
b
18 IV
eme
=8
^ = i2
0^
ö'
2(/5)(lIV)i%.
2
(x 5)
(117)^7,
3(;t3)(lIV)^%,
3(z3)(lIV)f,.
2U1)(1IV)^7
2(zl)(lIV)'^8
3U3)(1IV)^'8
3(;^3)(1IV)^',
XII. Ordnung.
a
_2'
ä'~4'
(36) (1 IV)^.
4'
a
ä''~2'
(37) (1 IV);'
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579
Die Gleichungen der regelmässigen Punktsysteme im Räume.
VII.
Symbol
Symbol
Symmorphe Systeme
des
Symbol
Hemisymmorpbe Systeme
des
+''-, +''o>
1-
-|-A, +>lo,
\7t.
Trikline Syngonie.
Hemipinakoidale Symmetrieart
+^1
2.
Pinakoidale Symmetrieart
+^1
=
&; z
+;.,
(?/
=
»^•'^6;
z
= w'
U- +^, -Vh, +^1
+F^, +f|, +A,
+^, +^,
1/1-
(1).
(i/
=
{y=^n>'-b-^ z
+^1
+^-, +^-o,
5.
+;.,
^*^^^-
3z1.
+i^^, +-F^^ +;^|
1(Z2).
6.
+F^,
7.
+i'^, +(ir4-ff)|,
+^1
+^^1°, +4'
+ 6^1
v
=
r?).
^
= ^"0; =
«;
+"i
4
»"(?).
+^*
+^''''
+^^, +4°.
^
+^-1
13~
Rhombische Syngonie.
keine
'
c\
3
[y
=.
n!'-'b\
z
^:=
n^ c\ v
= n^+''d).
(2).
+A,
(3).
+v'-, +Ao, +;.i
(4).
+vi +y|, +f|
(5).
+(i^'+^)^,
'
+F^^,
=
3
keine
+A, +Ao, +;cf
Sphenoedrische Symmetrieart
4.
v=n'd).
+h
^v'^, +Xo,
4
6.
1
2
b; g=:n''c-^
+x|
2;.!.
III.
n'^ d).
Monokline Syngonie.
keine
6
;
=
—
Rhomboprismatische Symmetrieart (^=:w^&;
+^, +^1
v
c-,
1
keine
Hemiprismatisch-axenlose (domatische) Symmetrieart
2z. +^-,
v ^^ d).
—
+^, +^1
5.
c-,
keine
Hemiprismatisch-axiale (sphenoidische) Symmetrieart
4.
3,.
=
keine
II.
2.
(?/
keine
2
3.
sammen
Systems
I.
1.
Asymmorphe Systeme
des
Systems
(14).
+/i|
+fe|°,
+^.^, +(ft
+f|, +f|
+ .)^^,+4
74*
9
© Biodiversity Heritage Library, http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at
580
Symiuorphe Systeme
des
-\-l,
3<P.
+i^^,
39p".
Rhombopyramidale Symmetrieart
+f'^, +i^|
+^^,
+f|,
+^^1
29'3.
^9\,^'p\,^-h
2<p4.
+9'2'
z^=n^c\
37,1.
+F^, +{F+<p)^^,+h
39,2.
+F^, +i^^,+.2
2'
^
v =^
l(,pl).
+'«2- +^0,
+h
1(^2).
H-^»^, +^-0,
+-?!
1(9'3).
+«^,+9'|, +^1
l(<p4).
+«^, +,p|,
+^|
2
+[2F-\-cp)^-,-\-[2F+2G
Rhombobipyramidale Symmetrieart
+^>i
^f\,^f\
Zu-
sammen
n'^'^i'd).
+9>)^^ +(2(?+9,)^
+^,
4;^!.
+Z^,
4^2.
+2, +z|,
4z3.
+/-',
5zi.
+4^^-4^+4
22
{y
=
n^+y.h; z
+^-0, +^^1
=
n''c;
v =^
n''+''d).
W^, +4"
2{/i).
+;.,
2(/2).
+2, +ft|,
2(/3).
+;, +(/i+/)|', +(7»+/)|
2(/4).
+/^, +7.|,
2{/5).
+;,^,+(/, + ;,)|, +7,|
2(/6).
+/^, +(/i+/)|°, +(/^+/)^^
3(/l).
+»2'
+(2F+/)-,+(2F+2G+/)|,
3(/2).
+„-,+A„, +;^^
+ (2(? + /)^'
3(/3).
+t;^\ +/^°,
3(/4).
+'«^,
4(/l).
+«^, +i^~^ +2^1
4(/2).
+«2' +4°' +'^+^'2
5/3. +;,^,
+z|
+4°' +4'
+(F+/)^«, +J^|
6z.
+^2, +F|, +i^2
6/1. +(i'^+/)^,
7/.
+i^2' +'^''+^^2'
7/1.
2
&;
"2
+<p^, +i^^, +i^^*
39'"!.
8.
"^
29''1.
+F^,
5z. +^.,
=
1
I
"
+A, +9.|, +9'!
W\. +F^,+{F-
+^',
(?/
29.5.
+ ^|
H.
+^2'
+J^^, +i^|, +2^^
+(2^+(?)|,
Asymmorphe Systeme
des
Systems
+Ao, +^1
2<p'.
3^'.
Hemisymmorphe Systeme
des
Systems
7.
Irp.
Symbol
Symbol
Symbol
Systems
+J^|, +i^|
+^'0,
+(/i
+ /)^
+73
+^1
^'1
+A
+/|, +/|
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581
Symbol
Symbol
Symmorphe Systeme
des
des
Symbol
Hemisymmorphe Systeme
Systems
Systems
Asymmorphe Systeme
tlea
Systems
+{F+v)^^, +(F+/)|,
5(z2).
+^1
+ r)|,
^v^^, +(/i
14(;f2).
+ («+z)^
20
13
IV.
8.
+;.,+Ao, +/o
9.
+F^, +2P|,+F^|
8<p.
teine
(6).
9^.
Ditetragonal-pyramidale Symmetrieart
+A, +Ao,
H-li
+F^,+i^|,+i^|
59
Tetragonale Syngonie.
+^,
+^
89^1.
+'?'^,
89P2.
+A, +?>^, +<p|
8,^3.
+<P2,
+?'^^", +'?'|°
9^1. +(F+9,)^, +i^|, +^^^2"
+
«
^,
+io,
i/
^=
+
_„^_, +;,^,
_^-A^
(16).
+v^^,+;.o,
+^
{y
b^^i).
;.o
(15).
(2F+«)^, +^2°' +^'|
(17).
10.
28
26
Tetragonal-pyramidale Symmetrieart (^y^b; /j^^b^;
9.
=
b-^
y^^b^]
y^
+t^^, +;.o, +;.o
6(<p2).
+(i;+.p)2,
6(.p3).
+(»+9')^,+?-J,+^|"
^''^^'-
n(<p2).
+^,
+^.0
+4' + ''l'+'^2
+{2F+v)'^,
+ F^-^,+(F+<p}'^
+{2F+2<p + v)'-,+F^,
+ (^'+9')^
= b^;
12
1
Tetragonal-sphenoedrische Symmetrieart
+^
271.
+;., +''0.
3..
+i.^,4-i<^|,+i.|o
keine
{y
6
= b^^uv).
6(?pl).
17(9^1).
11.
Zu-
sammen
^= n^'b;
y,^
y^
=
4
b^t+i).
keine
2
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582
Symbol
Symbol
Symbol
Symmorplie Systeme
des
Hemisymmorphe Systeme
<les
Tetragonal-bipyramidale Symmetrieart
12.
8/..
+A,
9,.
+fI, +f'1 +f'^
8;^!.
+;.o, +;.o
Asymmorphe Systeme
des
Systems
Sysiems
Systems
=
(y
+^+/f, +/t
n'/-b;
Tetragonal-trapezoedrische Symmetrieart
keine
10.
-\-x, +;.o,
11.
+f^-,+f'^^,-\-f\
+;.o
+^2,
6(z2).
+v^^,+x'^,
y^^h^;
+^^^, +Ao, +;.o
+{h + v)^-,
±«7.
+;.o, +/.0
56.
+;.,
+-F^°,+F^
65.
I
11/.
2
+;.o, +;.o
5 5 2.
+/, +(F+5)|, +2^1
533.
+d'-,
+^'0,
+(2l<^4-t,)^,
+^
+p|, +i^^
±v\,+l.'^,Wi
= n^b;
10
i/^=^b^] ?/j=&^^„(5).
+5^,
+5^
2(51).
+;.,
2(52).
+5^, +5|,
5(51).
+5^,
+;.o,
+5^
+5^°
+{F+8)^^,+F^
2
+F^-,+(F+ff)|,+G|o
15.
10^
+ö~,
+7»^|, +7i^"
J^F^-,^F^^,-^F^^
2'
'
75.
451.
(y
+ (F+;t)|°
^^zh^j^h).
(8).
(23) u. (24).
+A,
ij
+A, +ft|, +ft|
(21).
4.5.
+z|
(7).
(19) u. (20).
Tetragonal-skalenoedrische Symmetrieart
+^-0. +^-0
+(2F+^)^,+Jp|,
(yz=zn''b]
(18).
14.
i/i=^h+i)-
6^1).
17^1).
13.
i/q'^^^i'-,
Zu-
sammen
+^
7 51.
+(F+5)^,+(if'+(?)|,+(?|
12
Ditetragonai-bipyramidale Symmetrieart (^^»i"+x6;
+^-0,
+/0
+F^,+f|,+iAo
7/g=&j,;
?/j
=
&„^„'i).
+^0
7(/i).
+A, +Ä^|,
+/^
7(/2).
+2, +('«+/) 1°,
+;,^, +;,|, +;,^0
7(^3)
+^^^^,,^_+^^
+(F+;.)^^,+J'^|,+J'^
7(/4).
+/2,+(Ä+/)^:f, +(/»+/) I
8(/l).
+'^2. +^0, +^'0
10/1.
+^2'
10/2.
+;.,
10;,3.
UZ.I.
+^'0'
+/I»,
+;.^J
+('»+/) 1*
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583
Symbol
Symbol
Symmorphe Systeme
des
Systems
des
Symbol
Hemisymmorpbe Systeme
„
Asymmorphe Systeme
des
Systems
Systems
8(x2).
+{V + X)'^, +/0,
8(,4).
+v'-,
18(^1).
+/'0
+4°
+4«,
+ä|
-\-(c+h)^^, +7t^|,
18(/2).
+iv+h)^, +ih+x)~, Mh+Z)^^
18te3).
+(,+ft+;f)-J,
18 (;.
+(«+7»+;^)^,+ (h+x)"!, +{h+x)^^
4).
21 (xD.
+«~,
+7.|, +7»!
+-f|
(2^^+z)^",
21^2). +(2x-j-v)^^,+(F+x)'^,+F^^
14
16
V.
16.
+Ao
4-A, +;,o,
13.
+F^, +2^|, +2^1
Hexagonale Syngonie.
keine
12?>.
+A, +Ao,
12<p'.
+1,
13,,.
+i^^,+i^|,+F|
+^-0
+f|, +i^^
y^=:,l).„^i).
±^, +io,
(10) u. (11).
12-pl.
+^P^,+h,+^'0
Wl.
+9^^, +i^|»,
13<,1.
+F^+^^,+2r|o_+^,|o
2/^
=
3
&„;
2/i
+1, +^, +-^
18a.
^f\,^f\,-^f\
g
i/^
=
3
n"h„A.i).
keine
keine
2
3
3
19.
Trigonal-trapezoedrische Symmetrieart (^y^n^h^ i/g=b^-
U.
+!.,+F'f,+F'^
15.
+A,
16.
+F^, (F+G)^|,+g|
+;.o,
+^0
3
^i)+»J?')•
+J'|
Rhomboedrische Symmetrieart («/=w°&; p^=n"-b„;
12a.
^
keine
3
18.
+^
4
Ditrigonal-pyramidale Symmetrieart (ij^=b;
17.
20
68"
38
Trigonal-pyramidale Symmetrieart (y='b; y^=zh„]
12.
s.immen
keine
i/^^iv+iJ')-
(12) u. (13).
±v'-,
+f'^, +F^f
(26) u. (27).
±y-,
Ao,
/"-o
7
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584
Symbol
Symbol
Symliol
des
Symmorphe Systeme
des
Hemisymmorphe Systeme
Hexagonal-skalenoedrische Symmetrieart
20.
(^i/
14a.
+A, +ü^|»,
15a.
+;., +;.o, +/.0
15al.
+ « 3'
+a
16a.
+F^,+f|^+J^|
16al.
+F^-+a^,+i'^|«,+F|
+A,
+;.o,
+-^
3
+;.o,
-|,
'
=
+^
n'^+'' b
3
y^=n"-'b^-^ 2/j=w"Z>„^„a).
;
^^'""^
+^i°
+Ao
6
keine
i/^
=
G
I!
y^=:h^^i).
h^-^
(29)u.
(30).
±«^, +^,
(31)u.
(32).
±v^, +Xo,
b
+io,+h
+1,
+9^1-, +^0, +^'0
n,;.i.
(?/i=&; p^^^i^-^ y^
28(<?>i).
+«^|,+;.o,
28(9^2).
+(«
+ 9^)|,
12.TT.
+/'-, +'^0.
24.
+^-,
17/.
25.
+'0
keine
+^-0
-_
(y
=
n>'-b;
keine
(y
=
=
y^
+«-^.
28(;cl)-
Hexagonal-trapezoedrische Symmetrieart
+;., +;.o, +;.„
18.
6
6
^v-\-n'p)-
io
^
+Ao
S
1
6
= &«+i).
6
b„] ^j
+^, +^0
2
6
r,
^g==&„; ^|=?^„^„ä).
n''b;
(33).
4
&.t+i).
keine
Hexagonal-bipyramidale Symmetrieart
+^,
^Q^^^hj^; ^j
keine
+'^0
+;.o,
6
Trigonal-bipyramidale Symmetrieart (^y==n^b;
23.
+^>o
=
6
n<p.
+^
+«-^, +^0,
(28).
Dibexagonal-pyramidaie Symmetrieart
22.
„„™™„„
sammen
-^
S
Hexagonal-pyramidale Symmetrieart (y:^h;
21.
17.
Ual.
+2?'i
Asymmorpbe
Systeme
^
des
Systems
Systems
Systems
+«|, +/o,
+4
+^0
(34)u.
(35).
±^|,
(36)u.
(37).
±i'4- +^'0, +^'0
+Ao,
6
o
26.
Ditrigonal-bipyramidale Symmetrieart
+f'^, +F^f
Un.
+;.,
15jr.
+;., +2o,
27.
18/.
+/'.o
Uni.
+^|, +F^, +F^"
157rl.
+:^^, +io, +^0
(y
Dihexagonal-bipyramidale Symmetrieart
+^., +/o,
21
+^
+z|,
18/1.
^
[
+;^o,
TÖ
+^
= n^+''b;
y^
=
6
6
b„'i
i
!/
=^ b^^nk).
keine
4
.
(?/
=
«''+/
Z^;
v/qC=&„;
^/j
=
33(/l).
+1'-^, +I0, +^'0
33(/2).
+(«+/)
-^,
21
^!;4-n'•)•
+;.ü, +;>o
4
52~
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585
Symbol
Symbol
Symmorpbe Systeme
des
Symbol
Hemisymmorphe Systeme
des
Kubische Syngonie.
Tetartoedrische Symmetrieart
+2
19.
+;.,+;.,
20.
^fI+F^+F^
21.
+F^-,+(F+G)~,-\-g'^
(Xq
=
=
3
n^'
a^^
keine
x^
;
+^.. +^.
+^M
30.
(22).
19/1.
205.
+pA,+i4,+fA
21
+2''|+(F+(?)^,+(?^
ö.
31.
»
= n^+x a^;
+f|.
24.
+1^1, +(2^+G)^,
+i^-^,
a^:,
21.51.
+(ir+5)|+(F+(?)^.-H(?^
(a;„
keine
23.
{^x^^qi'^
+ä|, +^1 4-öA
+2
+;..+;.,
=
3
»^^^
+f|
=
«'''+'^
+{h + v)^, +7*|,
= w" «o+i
3
a'j
22(;^l).
19Ö1.
Gyroedrische Symmetrieart
22.
(Xg
+/|, +;^|, +;^^
Tetraedrische Symmetrieart
190.+!,+;.,+;.
ajg
;
«o+a)-
+iF+h)^
ä
19z.
3
n^ ao+i
+{F+h+v)^, +{F+h) ^.
{22).
Dodekaedrische Symmetrieart
29.
sammen
Systems
VI.
28.
Zu-
Asymmorpbe Systeme
des
Systems
Systems
3;^
=
*^''
;
x^
=
+h^
3
n'+'^
a^^j^^).
+(F+ft+.)|+(2<'+7i+;t)^,
«0+«"^
i
^2
^^
**'''''"''
*o+2k^)
•
+ 5~,
+(^''+'1)^+4' +(^+4+4
22(M).
«q
;
iCj
=
+(F+7i+.-)|
«"+'' ao+,j<^
(9).
(38).
;
ajg
=
/*''+'''+''
ao-|.2«'0
+^{> +^'f' +'^l
+(2i^-rf)^,+(2F+2G-d)|,
+(2(?-d)^
+ (?^
(89).
+(2F+2A-d)^,+(2J^-rf)j,
+ [2F+2v-d)~
(40).
+(2ü — d) j, +(2l-+2/j — d)^,
+ (2/i-d)4
(41).
+(2«+2;»— d)^, +(27t— d) j,
+ (2«-c?)^
Abb.
d. II. Cl. d. k.
Ak.
d.
Wiss. XX. Bd.
II.
Abth.
75
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586
Symbol
Symbol
Symbol
des
SyniiBor)ilio
Systeme
Hemisymmorphe Systeme
dos
Systems
3
32.
Oktaedrische Symmetrieart
22x.
+2. +;.,+;.
23/.
+i^|,+i^|,+F|
24/.
+J^^^, +(F+(?)^,
22/1.
24/1.
Asymmorphe Systeme
des
Systems
Systems
{xQ=^n''+^'^^- a^]
+/|, 4-/^,
a;j
-\-x\
= w''+''aö+>/;
J^G-
n<^+''+'> a^+in'^)-
9(zl).
+rz|, +rf|, +r?A
9(/2).
+(rf+/)|,
+(2^+;^)! +(/<'+(?) A,
+ G^"
x^=^
+{'^
38(/l).
Zu-
sammen
+W + /)|.
+ /)2
+(2J^-r^
2
+ /)^,
+ (2G-fZ + /)^
38(/2).
+(2F-(?-/)|,
+ (2i^+2(?-d+/)|,
+ (2G-d+/)|
39 (/l).
+(27'^+2ft-rf)|,
+ (2i^+2/-d)|,
+ (2I''+2«—
rf)-^
15
6
15
73
54
103
67.
Vergleiclien wir die jetzt insgesammt erhaltenen Resultate, welche
10
36_
230
alle,
Hauptpunkte
besitzenden, regelmässigen Punktsysteme umfassen müssen, mit den früher aufgestellten Punkt-
systemen (in der Anzahl 230),
mit Ausnahme der
so
finden wir,
dass jetzt
alle
diese
Systeme vertreten sind
und (41) bezeichneten Systeme, welche beide der gyroedrischen
Symmetrieart entsprechen (deren Symmetriegrösse also 24 ist). Der Beweis dafür, dass diese
Systeme wirklich keine Hauptpunkte besitzen, ist in dem vorhergehenden Ableitungsgange
enthalten.
Würden
als (40)
diese
Systeme Hauptpunkte enthalten,
reguläre Paralleloedersysteme,
so entsprächen ihnen somit etwaige
und hätten wir daraus das Vorhandensein anderer Systeme,
und zwar der tetragonalen Syngonie
(13. Symmetrieart) bewiesen,
welche von jenen durch
Abwesenheit der 3-zähligen Symmetrie- und Schraubenaxen und natürlich auch einer
Anzahl resultirender Symmetrieelemente unterschieden werden. Solche Paralleloedersysteme
die
würden höchstens VKI. Ordnung gewesen
elemente zugelassen haben.
Da
sein
und
die
Einführung der 3-zähligen Symmetrie-
aber unter den Systemen der 13. Symmetrieart solche Systeme
nicht vorhanden sind, so entsprechen auch den Systemen (40) und (41) keine Paralleloedersysteme.
Kraft der
in
§ 19 entwickelten Betrachtungen
regulären Raumtheilungen
als
aus
einer
Frage muss besonders besprochen werden.
müssen wir nun
die hierzu
Anzahl Paralleloeder bestehend
gehörenden
auffassen.
Diese
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587
Jene beiden Systeme können
im Grunde genommen
als
ein
besprochen werden,
einziger Fall
gleichartig sind, und eines davon durch Spiegelung aus
da
dieselben
dem anderen
sich ableiten lässt.
Aus den Gleichungen
dieser
Systeme
lässt sich
Ein solcher Schnittpunkt für das System (40)
a?o=
—
l
5,
a;j
der Beweis erbringen, dass in denselben
Symmetrieaxen mit den 2-zähligen Symmetrieaxen s zum Schnitt kommen.
die 3-zähligeu
=—
l
x^=-
-,
—
l
-
lässt sich
B. durch die Coordinatengrössen
z.
.
bestimmen.
Führen
wir
diese
Coordinatengrössen
in
die
betreffenden Gleichungen ein, so reducirt sich eine Gesaramtheit von 24 Punkten verschiedener
Lage
in eine
Gesammtheit von nur 4 Punkten.
entsprechenden
Diagramm
Symmetriecentra,
d. h.
hervor.
Diese
Dasselbe geht noch ersichtlicher
Punkte
sind
also
die
dem
Punkte, in welchen eine 3-zählige Symmetrieaxe sich mit drei dazu
senkrechten 2-zähligen Symmetrieaxen schneidet.
Nun
ist
bewiesen worden, dass unter allen
Paralleloederarten solche Symmetriecentra nur in Heptaparalleloedern
treten (d. h. von der
aus
trigonaltrapezoedrischen
halbperipherisch auf-
Gesammtheit der diesem Centrum angehörenden Symmetrieelemente nur
ein einziges explicit auftritt).
Zu demselben
Resultate
mit dem System (39).
kann
Das
kommen
letzte,
wir aber durch den Vergleich dieser beiden Systeme
wie dies direct aus dessen Gleichungen
zu
ersehen
ist,
Gesammtheit von zwei Systemen (40) resp. (41) angesehen werden. Diesem
System entspricht aber eine einzige Lösung, und zwar das Paralleloedersystem (39) (13 VII)
VIII. Ordnung.
Daraus kann direct gefolgert werden, dass den Systemen (40) und (41)
als eine
ebenfalls
Rauratheiluugen entsprechen, deren Einheiten
als
aus zwei
benachbarten Hepta-
paralleloedern bestehend zu betrachten sind.
Die ausführlichere Behandlung dieses Falles würde
viel
Platz
gefordert
haben,
ohne
durch besonderes Interesse desselben belohnt zu werden.
Jedenfalls
ist
durch
das
Vorhergehende
die
gestellte
regulären Plan- und Raumtheilungen vollständig aufgelöst.
die aufgestellten sind möglich.
Aufgabe der Aufsuchung der
Keine anderen Typen
als
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588
Inhalt.
Einleitung
I.
Theil.
.........
.....
Seite
467
Reguläre Plantheilung
Tabelle der Symmetriearten der ebenen Sy.steme
Tabelle der Plantheilungen
I.
467
471
.
Ordnung
475
Tabelle der Diparallelogonsysteme IL, IV., VIII. Ordnung
Tabelle der Triparallelogonsysteme IL,
III.,
IV.
488
Ordnung
489
Tabelle der Gleichungen der regelmässigen ebenen Punktsysteme
489
Zusammenstellung der regelmässigen ebenen Punktsysteme und der ihnen zugeordneten
IL Theil.
regulären Plantheilungen
491
Reguläre Raumtheilung
492
Tabelle der Symmetriearten der Raumsysteme
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
Tabelle der
499
Ordnung
Triparalleloedersysteme IL Ordnung
Triparalleloedersysteme III. Ordnung
Triparalleloedersysteme IV. Ordnung
Triparalleloedersysteme VI. Ordnung
Triparalleloedersysteme VIII. Ordnung
Triparalleloedersysteme XVI. Ordnung
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme IL Ordnung
Hexa- und Hepta23aralleloedersysteme III. Ordnung
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme IV. Ordnung
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme VI. Ordnung
Hexa- und Heptaparalleloedersysteme VIII. Ordnung
Tetraparalleloedersysteme IL Ordnung
Tetraparalleloedei-systeme III. Ordnung
Tetraparalleloedersysteme IV. Ordnung
Tetraparalleloedersysteme VI. Ordnung
Tetraparalleloedersysteme VIII. Ordnung
Tetraparalleloedersysteme XII. Ordnung
Gleichungen der regelmässigen Raumpunktsysteme
Tabelle der Raumtheilungen
502
I.
Bezeichnung für die Tafeln IV und V
Die Bedeutung der auf den Tafeln VI
Figuren 14, 15, 16 und 17
.
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528
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