Ubungen zu Algebra und Diskrete Mathematik I

Universität Duisburg-Essen
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Günter Törner
Dipl.-Math. Verena Gondek
SS 2009
Übungen zu Algebra und Diskrete Mathematik I
Blatt 3
Aufgabe 9 (6 Punkte)
Es sei M eine beliebige (evtl. also auch unendliche) Menge. Zeigen Sie:
(i) | M | 6= | Pot(M ) |
(ii) | M | < | Pot(M ) |
Mit Pot(M ) sei dabei die Potenzmenge von M bezeichnet.
Aufgabe 10 (6 Punkte)
Beweisen Sie: Für n, k > 0 gilt folgende Rekursionsformel für die Stirling-Zahlen 2. Art:
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k).
Aufgabe 11 (6 Punkte)
(i) Der Dekan der mathematischen Fakultät hat entschieden, dass jeder Student genau 5 der angebotenen 9
Vorlesungen besuchen muss. Die Dozenten teilen ihm daraufhin die Teilnehmerzahlen 49, 35, 34, 34, 30, 27,
25, 24, 16 mit. Welche Schlussfolgerung kann der Dekan ziehen?
(ii) An der Vorlesung Algebra und Diskrete Mathematik nehmen 30 Studenten und eine unbekannte Anzahl
von Studentinnen teil. Jeder der Studenten kennt genau 6 Studentinnen und jede Studentin kennt genau 9
Studenten. Wieviele Studententinnen besuchen die Vorlesung?
Aufgabe 12 (6 Punkte)
Laut Vorlesung gibt es für zwei ganze Zahlen a, n ∈ Z, n 6= 0 eine eindeutige Darstellung a = q · n + r. Den Rest
der Division r bezeichnet man auch mit r = a mod n (sprich: a modulo n).
Beweisen Sie folgende Aussage: Das System
x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
mit n1 , n2 teilerfremd, besitzt eine eindeutige Lösung mod (n1 · n2 ).
Hinweis: Es gilt: a = 0 mod n ⇔ n | a.
Abgabe: Bis Montag, den 11.Mai 2009, 10:30 im Postkasten LE 4.Etage.