Leseprobe Kap. 01

Messung und Vektoren
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•
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•
Maßeinheiten
Umrechnen von Einheiten
Dimensionen physikalischer Größen
Exponentialschreibweise und signifikante Stellen
Vektoren und ihre Eigenschaften
1A
A: Aufgaben
Verständnisaufgaben
A1.1 • Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine
Grundgröße im SI-Einheitensystem? a) Masse, b) Länge, c) Energie, d) Zeit; e) alle genannten Größen sind solche Grundgrößen.
A1.2 • Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s2 im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit?
a) m2 /s3 , b) 1/s, c) s3 /m2 , d) s, e) m/s.
A1.3 • Wie viele signifikante Stellen hat die Dezimalzahl
0,000 513 0? a) eine, b) drei, c) vier, d) sieben, e) acht.
A1.4 • Richtig oder falsch? Zwei Größen müssen die gleiche
Dimension haben, um miteinander multipliziert werden zu können.
A1.5 • Ein Vektor hat eine negative x-Komponente und eine
positive y-Komponente. Dann liegt sein entgegen dem Uhrzeigersinn gegen die positive x-Achse gemessener Winkel a) zwischen
0◦ und 90◦ , b) zwischen 90◦ und 180◦ , c) über 180◦ .
zen Sie die Anzahl der Wassermoleküle eines Menschen mit einer
Masse von 60 kg.
A1.8 •• a) Schätzen Sie, wie viele Liter Benzin die Kraftfahrzeuge in den USA jeden Tag verbrauchen, sowie den Geldwert
dieser Benzinmenge. b) Aus einem Barrel (knapp 159 l) Rohöl
können ca. 73 l Benzin gewonnen werden. Wie viele Barrel Rohöl müssen die USA demnach zur Benzingewinnung jährlich einsetzen? Wie vielen Barrel Rohöl pro Tag entspricht das?
A1.9 •• Das sogenannte „Megabyte“ (MB) ist eine Maßeinheit für die Kapazität bzw. das Fassungsvermögen von Computerspeichern, CD-ROMs oder Musik- bzw. Sprach-CDs. Beispielsweise kann eine Musik-CD mit ihrer Speicherkapazität von
700 MB etwa 70 min Musik in HiFi-Qualität speichern. a) Wie
viele MB werden für einen 5 min langen Musiktitel benötigt?
b) Schätzen Sie, wie viele Romane auf einer CD-ROM gespeichert werden können, wenn pro Druckseite Text durchschnittlich
5 KB an Speicherplatz benötigt werden.
Maßeinheiten
A1.6 • Lassen sich drei Vektoren mit dem gleichen Betrag so
addieren, dass der Nullvektor erhalten wird? Wenn ja, fertigen Sie
eine Skizze an. b) Wenn nein, erläutern Sie, weshalb nicht.
A1.10 • Drücken Sie die folgenden Werte mithilfe geeigneter Vorsätze aus. Beispiel: 10 000 m = 10 km. a) 1 000 000 W,
b) 0,002 g, c) 3 · 10−6 m, d) 30 000 s.
Schätzungs- und Näherungsaufgaben
A1.11 •• In den folgenden Gleichungen wird die Strecke x in
Metern, die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde angegeben. Welche SI-Einheiten haben jeweils
die Konstanten C1 und C2 ? a) x = C1 + C2 t, b) x = 12 C1 t 2 ,
c) v 2 = 2 C1 x, d) x = C1 cos C2 t, e) v 2 = 2 C1 v − (C2 x)2 .
A1.7 • Die Annahme, dass der menschliche Körper im Wesentlichen aus Wasser besteht, ermöglicht einige gute Schätzungen. Ein Wassermolekül hat die Masse 29,9 · 10−27 kg. Schät-
2
1
Messung und Vektoren
Umrechnen von Einheiten
A1.12 • Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei normalen Bedingungen 343 m/s. Sie wird in der Luft- und Raumfahrt
nach Ernst Mach als „Mach 1“ bezeichnet (man sagt auch: „Die
Mach-Zahl beträgt 1“). Wie hoch ist in km/h die Geschwindigkeit eines Überschallflugzeugs, das mit Mach 2, also mit doppelter Schallgeschwindigkeit, fliegt?
A1.13 •• Im Folgenden ist jeweils x in Metern, t in Sekunden, v in Metern pro Sekunde und a in Metern pro Sekunde zum
Quadrat gegeben. Gesucht sind die SI-Einheiten der Ausdrücke
√
a) v 2 /x, b) x/a, c) 12 a t 2 .
Dimensionen physikalischer Größen
A1.14 • Das Zeitgesetz für den radioaktiven Zerfall lautet
n(t) = n 0 e−λ t , wobei n 0 die Anzahl der radioaktiven Kerne
zur Zeit t = 0 und n(t) die Anzahl der davon zum Zeitpunkt
t verbliebenen Kerne sowie λ die sogenannte Zerfallskonstante
ist. Welche Dimension hat λ?
•• Die SI-Einheit kg· m/s2 der Kraft wird Newton
(N) genannt. Gesucht sind die Dimension und die SI-Einheit
der Konstanten Γ im Newton’schen Gravitationsgesetz F =
Γ m 1 m 2 /r 2 .
A1.15
A1.16 •• Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner
Geschwindigkeit und seiner Masse. Zeigen Sie, dass der Impuls
die Dimension Kraft mal Zeit hat.
A1.17 •• Wenn ein Gegenstand in der Luft fällt, dann übt diese eine Widerstandskraft FW aus, die proportional zum Produkt
aus der Querschnittsfläche des Gegenstands und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ist. Somit gilt FW = C A v 2 , wobei C eine
Konstante ist. Bestimmen Sie deren Dimension.
Exponentialschreibweise und signifikante
Stellen
A1.18 • Drücken Sie folgende Werte in der jeweils zusätzlich angegebenen Einheit in der Exponentialschreibweise aus:
a) 1 345 100 m =
km, b) 12 340,0 kW =
MW, c) 54,32 ps
=
s, d) 3,0 m =
mm.
Vektoren und ihre Eigenschaften
A1.20 • Bestimmen Sie jeweils die x- und die y-Komponente der folgenden drei Vektoren in der x-y-Ebene: a) eines 10 m
langen Verschiebungsvektors, der mit der +y-Achse im Uhrzeigersinn einen Winkel von 30◦ bildet, b) eines Geschwindigkeitsvektors von 25 m/s, der mit der −x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn einen Winkel von 40◦ bildet, c) eines Kraftvektors von
40 N, der mit der −y-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn einen
Winkel von 120◦ bildet.
A1.21 •• Gegeben sind die folgenden Kraftvektoren: A mit
dem Betrag 25 N unter dem Winkel 30◦ im Uhrzeigersinn gegenüber der +x-Achse und B mit dem Betrag 42 N unter dem Winkel
50◦ im Uhrzeigersinn gegenüber der +y-Achse. a) Fertigen Sie
eine Skizze an und schätzen Sie daran den Betrag und den Winkel
eines Vektors C ab, der so gewählt wird, dass 2 A + C − B ein
Vektor mit dem Betrag 35 N ist, der in die +x-Richtung weist.
b) Wiederholen Sie die Aufgabe a, jedoch mithilfe des Komponentenverfahrens, und vergleichen Sie beide Ergebnisse.
Allgemeine Aufgaben
•• Ein Eisenatomkern hat den Radius 5,4 · 10−15 m
und die Masse 9,3 · 10−26 kg. a) Wie groß ist (in kg/m3 ) das Verhältnis der Masse zum Volumen? b) Angenommen, die Erde hätte
das gleiche Masse-Volumen-Verhältnis. Wie groß wäre dann ihr
Radius? (Die Masse der Erde beträgt 5,98 · 1024 kg.)
A1.22
A1.23 •• Falls die durchschnittliche Dichte des Universums
mindestens 6 · 10−27 kg/m3 beträgt, wird seine Expansion eines Tages aufhören und in eine Kontraktion umschlagen. a) Wie
viele Elektronen pro Kubikmeter wären notwendig, um die kritische Dichte zu erzeugen? b) Wie viele Protonen pro Kubikmeter
würden die kritische Dichte erzeugen? (m e = 9,11 · 10−31 kg,
m P = 1,67 · 10−27 kg.)
A1.24 •• Eine astronomische Einheit (1 AE) ist definiert als
der mittlere Abstand 1,496 · 1011 m der Mittelpunkte von Erde
und Sonne. Ein Parsec (1 pc) ist der Radius eines Kreises, dessen Kreisbogen bei einem Zentriwinkel von einer Bogensekun1 ◦
de (= 3600
) genau 1 AE lang ist (siehe Abbildung). Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.
a) Wie viele Parsec bilden eine astronomische Einheit? b) Wie
viele Meter entsprechen einem Parsec? c) Wie viele Meter umfasst ein Lichtjahr? d) Wie viele astronomische Einheiten ergeben
ein Lichtjahr? e) Wie viele Lichtjahre bilden ein Parsec?
A1.19 • Ein 7,00 Einheiten langer Vektor und ein 5,50 Einheiten langer Vektor werden addiert. Der Summenvektor hat eine
Länge von 10,0 Einheiten. a) Zeigen Sie wenigstens eine Möglichkeit, die Vektoren grafisch zu addieren. b) Bestimmen Sie anhand der Skizze zu Teilaufgabe a den Winkel zwischen den beiden
Ausgangsvektoren.
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
1
A1.25 •• In der folgenden Tabelle sind die Umlaufzeiten T
und die Radien r der Umlaufbahnen von vier Satelliten aufgeführt, die einen schweren Asteroiden mit hoher Dichte umkreisen.
Umlaufzeit T , a
Radius r , Gm
0,44
0,088
1,61
0,208
3,88
0,374
7,89
0,600
a) Die Daten lassen sich durch die Formel T = C r n beschreiben. Ermitteln Sie die Werte der Konstanten C und n. b) Es wird
ein fünfter Satellit mit einer Umlaufzeit von 6,20 a entdeckt. Bestimmen Sie mithilfe der in Teilaufgabe a ermittelten Formel den
Radius der Umlaufbahn dieses Satelliten.
A1.26 ••• Die Schwingungsdauer T eines mathematischen
Pendels hängt von seiner Länge l und von der Erdbeschleunigung
g (Dimension l/t 2 ) ab. a) Ermitteln Sie eine einfache Kombination von l und g, die die Dimension der Zeit hat. b) Überprüfen Sie
durch Messen der Schwingungsdauern (der Dauern für ein vollständiges Hin- und Herschwingen) eines Pendels bei zwei ver-
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
Aufgaben 3
schiedenen Pendellängen l die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von l. c) Die richtige Formel für T , l und g enthält eine
Konstante, die ein Vielfaches von π ist und sich nicht aus der Dimensionsbetrachtung in Teilaufgabe a ergibt. Sie kann aber experimentell wie in Teilaufgabe b ermittelt werden, wenn g bekannt
ist. Ermitteln Sie mit g = 9,81 m/s2 und mithilfe Ihrer experimentellen Ergebnisse von Teilaufgabe b eine möglichst genaue
Beziehung zwischen T , l und g.
A1.27 ••• Sie erblicken ein Flugzeug, das in einer Höhe von
5,0 km über dem Erdboden fliegt und sich momentan 1,5 km
nördlich und 2,5 km östlich von Ihrem Standort befindet. a) Wie
weit ist das Flugzeug von Ihnen entfernt? b) Welchen Winkel bildet Ihre Blickrichtung (in der horizontalen Ebene) mit der Nordrichtung? c) Drücken Sie den Ortsvektor des Flugzeugs (von Ihrem Standort aus) durch die Einheitsvektoren aus, wobei x̂ nach
Osten, ŷ nach Norden und ẑ vertikal nach oben zeigt. d) Unter
welchem Höhenwinkel (gegenüber der horizontal angenommenen Erdoberfläche) sehen Sie das Flugzeug?
Messung und Vektoren
1L
L: Lösungen
L1.1
Die Masse, die Länge und die Zeit sind physikalische
Grundgrößen im SI-Einheitensystem, die Energie dagegen nicht.
Also ist Aussage c richtig.
L1.2
Dividieren von m/s durch
m/s2
und Kürzen ergibt
m · s2
m/s
=
= s.
m·s
m/s2
Also ist Aussage d richtig.
L1.7
Der Schätzwert für die Anzahl der Wassermoleküle ergibt sich ganz einfach aus dem Quotienten der Masse m des Menschen und der Masse eines Wassermoleküls:
n=
m
m Molek.
=
60 kg
= 2,0 · 1027 Molek.
kg/Molek.
29,9 · 10−27
Die USA haben ca. 3 · 108 Einwohner. Wir nehmen an,
dass eine durchschnittliche Familie mit vier Personen zwei PKWs
hat, sodass es in den USA etwa 1,5 · 108 PKWs gibt. Wir verdoppeln die Zahl, um LKWs, Taxis, Busse usw. zu berücksichtigen,
sodass wir von 3 · 108 Fahrzeugen ausgehen. Weiter nehmen wir
an, dass jedes Fahrzeug durchschnittlich 35 Liter Benzin pro Woche, also 5 Liter pro Tag, verbraucht.
L1.8
L1.3
Wir zählen die Stellen von links nach rechts, wobei Nullen links von der ersten von null verschiedenen Ziffer (d. h. „führende Nullen“) nicht berücksichtigt werden. Die ersten vier Nullen, davon drei nach dem Komma, sind also nicht signifikant,
während die Null am Schluss signifikant ist. Die Zahl hat daher
vier signifikante Stellen (5130), sodass Aussage c richtig ist.
L1.4
Falsch, denn beispielsweise der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der Multiplikation von Geschwindigkeit (Länge pro
Zeit) und verstrichener Zeit.
L1.5
Ein Vektor mit negativer x- und positiver y-Komponente liegt im zweiten Quadranten. Also hat sein Winkel gegen die
positive x-Achse einen Wert zwischen 90◦ und 180◦ , entgegen
dem Uhrzeigersinn gemessen. Damit ist Aussage b richtig.
L1.6
Damit die Addition dreier gleicher Vektoren vom gleichen Betrag den Nullvektor ergibt, müssen sie ein Dreieck bilden; dieses ist gleichseitig, weil die Beträge der Vektoren gleich
sind. Für die Vektoren A, B und C in der Abbildung gilt also
| A| = |B| = |C|, aber auch A + B + C = 0.
a) Der gesamte tägliche Benzinverbrauch ergibt sich daraus zu
B = (3 · 108 Fahrzeuge) (5 l/Tag) = 15 · 108 l/Tag .
Bei einem Preis von P = 0,80 $ pro Liter belaufen sich die täglichen Kosten K auf
K = B P = (15 · 108 l/Tag) (0,80 $/l)
= 12 · 108 $/Tag ≈ 1,2 Mrd. $/Tag .
b) Die Anzahl n B der jährlich verbrauchten Barrel Rohöl ist der
Quotient aus dem oben berechneten Benzinverbrauch, umgerechnet auf das Jahr, und der Anzahl n der Liter Benzin, die aus einem
Barrel Rohöl hergestellt werden können. Wir rechnen weiterhin
mit leicht gerundeten Werten, weil wir ja nur Schätzungen vornehmen. Wir erhalten schließlich
B
(15 · 108 l/Tag) (365 Tage/Jahr)
=
n
73 l/Barrel
≈ 8 · 109 Barrel/Jahr .
nB =
Wir rechnen die Barrel pro Jahr in Barrel pro Tag um:
C
B
A
nB =
8 · 109 Barrel/Jahr
≈ 2 · 107 Barrel/Tag .
365 Tage/Jahr
L1.9
a) Die Anzahl der MB, die die CD insgesamt fasst, verhält sich zu ihrer Gesamtspieldauer wie die Anzahl n MB,Titel der
1
MB eines Titels zu dessen Dauer:
700 MB
n MB,Titel
=
.
70 min
5 min
Damit ergibt sich
n MB,Titel
700 MB
=
(5 min) = 50 MB .
70 min
b) Die Anzahl n R der Romane, die die CD-ROM aufnehmen kann,
ist der Quotient aus ihrer Speicherkapazität 700 MB und der für
einen Roman (R) benötigten Speicherkapazität kR (die die Einheit
MB/R oder KB/R hat):
nR =
700 MB
.
kR
Wie gegeben, beträgt der Speicherbedarf für eine Romanseite
5 KB. Wir nehmen dazu an, dass ein Roman durchschnittlich 200
Seiten hat. Damit beträgt der Speicherbedarf pro Roman
kR = 200 (5 KB/R) = 1000 KB/R .
Wir müssen im Folgenden beachten, dass der Vorsatz M beim
Speicherplatz nicht für den Faktor 106 , sondern für den Faktor
10242 (und entsprechend der Vorsatz K nicht für den Faktor 103 ,
sondern für den Faktor 1024) steht. Damit ergibt sich für die Anzahl der zu speichernden Romane
700 MB
700 MB
700 (1024 KB)
=
=
kR
1000 KB/R
1000 KB/R
2
= 71, 7 ≈ 7 · 10 R .
nR =
a) 1 000 000 W = 106 W = 1 MW, b) 0,002 g =
2
g = 2 mg, c) 3 · 10−6 m = 3 μm, d) 30 000 s =
3
30 · 10 s = 30 ks.
Lösungen 5
b) Entsprechend erhalten wir
√
x
m
=
s2 = s .
:
a
m· s−2
c) Die Konstante 12 ist dimensionslos und muss daher nicht berücksichtigt werden; somit ergibt sich
1
2
a t2 :
m 2
· s = m.
s2
L1.14
Da der Exponent dimensionslos sein muss, hat λ die
Dimension t −1 .
L1.15
Wir lösen das Newton’sche Gravitationsgesetz nach der
Gravitationskonstanten Γ auf und setzen die bekannten Dimensionen der einzelnen Größen ein. Das ergibt für die Dimensionen
ml 2
l
2
[F] [r 2 ]
l3
[Γ ] =
.
= t 2 =
[m 1 ] [m 2 ]
m
m t2
Einsetzen der SI-Einheiten zeigt, dass die Gravitationskonstante
Γ die Einheit m3 · kg−1 · s−2 hat.
L1.16
Die Masse hat die Dimension m und die Geschwindigkeit die Dimension l t −1 . Damit ergibt sich für den Impuls die
Dimension [m v] = m l t −1 . Ferner hat die Kraft mit der Einheit
kg· m/s2 die Dimension m l t −2 . Daher ergibt sich für das Produkt
aus Kraft und Zeit die Dimension [F t] = (m l t −2 ) t = m l t −1 ,
die also mit der des Impulses übereinstimmt.
L1.10
· 10−3
L1.11
Die SI-Einheit des Terms auf der rechten Seite der angegebenen Gleichungen ist jeweils gleich der Einheit der Größe
auf der linken Seite. a) Da x in Metern angegeben wird, müssen
C1 und C2 t ebenfalls die Einheit Meter (m) haben, sodass C1 in m
und C2 in m/s anzugeben ist. Auf dem gleichen Weg finden wir:
b) C1 ist in m/s2 anzugeben. c) Da v 2 die Einheit m2 /s2 hat, muss
C1 die Einheit m/s2 haben. d) C1 hat die Einheit m und C2 die
Einheit s−1 . e) C1 ist in m/s und C2 in s−1 anzugeben.
L1.12
Wir rechnen die Geschwindigkeit des Flugzeugs in
v = 2 (343 m· s−1 ) = 686 m · s−1
m 1 km s
= 686
= 2,47 · 103 km · h−1 .
3600
s
h
103 m
v2
:
x
C=
FW
.
A v2
Nun setzen wir die Dimensionen der Kraft, der Fläche und der
Geschwindigkeit ein:
[C] =
L1.18
[FW ]
m l t −2
m
= 2 −1 2 = 3 .
2
[A] [v]
l (l t )
l
a) 1 345 100 m = 1,3451 · 106 m = 1,3451 · 103 km .
b) 12 340,0 kW = 1,2340 · 104 kW = 1,2340 · 101 MW .
c) 54,32 ps = 54,32 · 10−12 s = 5,432 · 10−11 s .
km/h um:
L1.13
L1.17
Wir lösen die gegebene Gleichung für die Widerstandskraft nach der Konstanten C auf:
a) Einsetzen und Kürzen ergibt für die Einheiten
m
(m· s−1 )2
m2
= 2.
=
m
m· s2
s
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d) 3,0 m = 3,0 m ·
103 mm
= 3,0 · 103 mm .
1m
L1.19
Den 7,00 Einheiten langen Vektor nennen wir A und
den 5,50 Einheiten langen Vektor B. Der Summenvektor soll C
sein. Da die Summe aus A und B 10,0 Einheiten lang sein soll,
können die Vektoren nicht auf ein und derselben Geraden liegen,
also nicht kollinear sein.
6
1
Messung und Vektoren
a) Die Abbildung zeigt die Orientierungen der Vektoren.
y
vx
x
40°
C
v
B
vy
α θ
A
Die Komponenten dieses Vektors sind
b) Nach dem Kosinussatz ist
vx = (25 m· s−1 ) cos 220◦ = −19 m· s−1 ,
v y = (25 m· s−1 ) sin 220◦ = −16 m· s−1 .
C 2 = A2 + B 2 − 2 | A| |B| cos α .
c) Schließlich bildet der in der dritten Abbildung dargestellte
Kraftvektor F mit der +x-Achse einen Winkel von 30◦ .
Das lösen wir nach α auf:
A2 + B 2 − C 2
2 | A| |B|
(7,00)2 + (5,50)2 − (10,0)2
= 105,6◦ .
= acos
2 · 7,00 · 5,50
α = acos
y
F
Der Winkel θ zwischen den Vektoren A und B ist also
x
120°
θ = 180◦ − α = 180◦ − 105,6◦ = 74◦ .
L1.20
Die Komponenten der Vektoren sind ihre Projektionen
auf die x- bzw. auf die y-Achse. Dabei ergibt sich jede Komponente aus der Länge des Vektors und dessen Winkel gegen die xbzw. die y-Achse.
a) Die erste Abbildung zeigt, dass der Winkel des Verschiebungsvektors A gegen die x-Achse 60◦ beträgt.
Die Komponenten dieses Vektors sind
Fx = (40 N) cos 30◦ = 35 N ,
Fy = (40 N) sin 30◦ = 20 N .
L1.21
a) Die Bedingung 2 A + C − B = 35 x̂ stellen wir in
der Abbildung möglichst maßstabsgerecht dar.
y
Ay
y
30°
B
A
50°
Ax
x
35 x̂
2A
C
Die Komponenten dieses Vektors sind
b) Der in der zweiten Abbildung dargestellte Geschwindigkeitsvektor, den wir v nennen, bildet mit der +x-Achse einen Winkel
von 220◦ .
50°
−B
A x = (10 m) cos 60◦ = 5,0 m ,
A y = (10 m) sin 60◦ = 8,7 m .
x
30°
θ
Wir messen darin ab, dass der Vektor C näherungsweise den Betrag 57 N hat und dass der Winkel θ näherungsweise 68◦ beträgt.
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
1
Lösungen 7
b) Wir formulieren die Bedingung 2 A + C − B = 35 x̂ für die
jeweiligen Komponenten:
b) Wir berechnen zunächst das Verhältnis der Elektronenmasse
zur Protonenmasse:
2 A x + Cx − Bx = 35 ,
me
9,11 · 10−31 kg
=
= 5,455 · 10−4 .
mP
1,67 · 10−27 kg
2 A y + Cy − By = 0 .
C y = −2 A y + B y .
Nun stellen wir die der Gleichung 1 entsprechende Beziehung für
die Protonen auf:
nP
ρ
.
(2)
=
V
mP
Wir können sie berechnen, indem wir die Komponenten von A
und von B einsetzen:
Dividieren von Gleichung 2 durch Gleichung 1 ergibt bei gleicher
Dichte
Cx = 35 N − 2 [(25 N) cos 330◦ ] + (42 N) cos 40◦ = 23,9 N ,
nP / V
me
,
=
ne/ V
mP
Also gilt für die Komponenten von C
Cx = 35 − 2 A x + Bx ,
C y = −2 [(25 N) sin 330◦ ] + (42 N) sin 40◦ = 52 N .
Der Betrag des Vektors ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:
|C| = C x2 + C y2 = (23,9 N)2 + (52,0 N)2 = 57 N .
Aus den geometrischen Gegebenheiten folgt für den Winkel θ ,
also für die Richtung des Vektors gegen die +x-Achse:
Cy
52,0 N
θ = atan
= atan
= 65◦ .
Cx
23,9 N
Die grafisch ermittelten Ergebnisse stimmen mit den analytisch
berechneten gut überein.
L1.22
a) Das Verhältnis der Masse zum Volumen ist die Dichte: ρ = m/ V . Wenn das Atom als kugelförmig angenommen
wird, ist sein Volumen V = 43 π r 3 . Damit ergibt sich
ρ=
m
4
3
πr3
=
3m
4 πr3
(1)
3 9,3 · 10−26 kg
17
−3
=
3 = 1,410 · 10 kg· m
4 π 5,4 · 10−15 m
= 1,4 · 10
17
−3
kg· m
.
nP
m e ne
=
.
V
mP V
also
Einsetzen der zuvor ermittelten Zahlenwerte der beiden Brüche
ergibt für die erforderliche Anzahldichte der Protonen
nP
= (5,455 · 10−4 ) (6,586 · 103 m−3 ) ≈ 4 m−3 .
V
L1.24
a) Der Winkel ist der Quotient aus der Bogenlänge und
dem Radius, sodass gilt:
θ=
s
r
und somit
s =rθ.
(1)
Gesucht ist die Bogenlänge s in Parsec (Parallaxensekunden, pc),
die 1 AE entspricht (das Zeichen bezeichnet Winkelminuten und
das Zeichen Winkelsekunden):
◦ 1
2π rad
1
= 4,85 · 10−6 pc .
s = (1 pc) (1 )
60
60
360◦
b) Hierfür lösen wir Gleichung 1 nach r auf und setzen die gegebene Bogenlänge und den zugehörigen Winkel (1 Winkelsekunde)
ein:
r=
s
=
θ
1,496 · 1011 m
= 3,086 · 1016 m
◦ 1
2π rad
1
(1 )
60
60
360◦
b) Wir lösen Gleichung 1 nach r auf und erhalten für den hypothetischen Radius
3 (5,98 · 1024 kg)
3 3m
r=
= 3
= 2,2 · 102 m .
4πρ
4 π (1,410 · 1017 kg· m−3 )
c) Die Strecke d ist das Produkt aus der Lichtgeschwindigkeit c
und der Zeitspanne t:
Die Erde hätte also einen Radius von nur 220 m!
d = c t = (3,00 · 108 m· s−1 ) (1 a) (3,156 · 107 s · a−1 )
= 3,09 · 1016 m .
= 9,468 · 1015 m = 9,47 · 1015 m .
L1.23
a) Mit der Anzahl n e der Elektronen gilt gemäß der
Definition der Dichte
m
ne m e
ne
ρ
ρ=
.
(1)
=
und daher
=
V
V
V
me
Einsetzen der Zahlenwerte liefert für die erforderliche Anzahldichte der Elektronen
10−27
kg· m−3
ne
6·
=
= 6,586 · 103 m−3 ≈ 7 · 103 m−3 .
V
9,11 · 10−31 kg
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
d) Mit der Definition der astronomischen Einheit AE und dem
Ergebnis von Teilaufgabe c erhalten wir für die Einheit Lichtjahr
(1 c) a = (9,468 · 1015 m)
1 AE
= 6,33 · 104 AE .
1,496 ·1011 m
e) Mit den Lösungen der Teilaufgaben b und c ergibt sich
1 pc = (3,086 · 1016 m)
(1 c) a
= (3,26 c) a .
9,468 · 1015 m
8
1
Messung und Vektoren
L1.25
a) Um die Konstante C zu ermitteln, tragen wir die Logarithmen der Umlaufzeiten T gegen die Logarithmen der Radien r auf. Hierfür bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung
T = C r n den Logarithmus zur Basis 10:
log T = log (C r n ) = log C + log r n = n log r + log C .
Dies ist eine Geradengleichung der Form y = m x + b. Die Steigung m dieser Geraden entspricht dem Exponenten n, und ihr
Schnittpunkt b mit der y-Achse entspricht log C. Die Gerade in
der Abbildung wurde mit der Excel-Funktion „Trendlinie hinzufügen“ erstellt, die mittels Regressionsanalyse die Ausgleichsgerade berechnet.
Weil C dimensionslos ist, gilt für die Dimensionen auf der rechten Seite [l]a [g]b = [t] und daher wegen [g] = [l]/[t 2 ] für die
gesamte Gleichung
b
l
t = la 2
bzw.
t 1 = l a+b t −2b .
t
Um beide Seiten leichter vergleichen zu können, fügen wir auf
der linken Seite den Faktor l 0 hinzu, der ja gleich 1 ist:
l 0 t 1 = l a+b t −2b .
Nun können wir die Exponenten von l und die Exponenten von t
auf beiden Seiten jeweils gleichsetzen. Das ergibt
a + b = 0 sowie −2 b = 1 .
1,0
Also ist a =
0,8
log T
0,6
T = C l 1/2
0,4
0,2
(2)
b) Wenn Sie beispielsweise zwei Pendel mit den Längen
1,0 m bzw. 0,50 m verwenden, erhalten Sie näherungsweise die
Schwingungsdauern T1 m = 2,0 s und T0,5 m = 1,4 s.
0,0
-0,2
-0,4
-1,1
-1,0
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
log r
Die Gleichung für die Ausgleichsgerade lautet
log T = 1,5036 log r + 1,2311 .
Ihre Koeffizienten sind also
n = 1,50,
und b = − 12 . Damit wird Gleichung 1 zu
l
g −1/2 = C
.
g
1
2
C = 101,2311 a· Gm−3/2 = 17,0 a· Gm−3/2 ,
L1.27
Wir bezeichnen in der Abbildung die Flughöhe des
Flugzeugs mit h und seine horizontale Entfernung von Ihnen
mit l.
und die gesuchte Funktion lautet
T = (17,0 a· Gm−3/2 ) r 1,50 .
c) Wir lösen Gleichung 2 nach der gesuchten Konstanten C auf
und setzen die Werte l = 1,0 m und T ≈ 2,0 s ein:
g
9,81 m· s−2
C=T
≈ (2,0 s)
= 6,26 ≈ 2 π .
l
1,0 m
l
.
Einsetzen in Gleichung 2 ergibt T ≈ 2 π
g
(1)
Flugzeug
Dabei ist zu beachten, dass n dimensionslos ist, während sich für
die Konstante C die Einheit a· Gm−3/2 ergab, weil die Umlaufzeiten in a (der Einheit Jahr) und die Radien in Gm (der Einheit
Gigameter) gegeben waren.
N
h
d
1,5
km
b) Wir lösen Gleichung 1 nach dem Radius der Umlaufbahn des
fünften Satelliten auf und setzen die Zahlenwerte ein:
2/3 2/3
T
6,20 a
r=
=
17,0 a· Gm−3/2
17,0 a· Gm−3/2
φ
l
θ
= 0,510 Gm = 510 · 103 km .
2,5 km
O
Ihr Standort
L1.26
a) Zunächst drücken wir die Schwingungsdauer T als
Produkt der Pendellänge l und der Erdbeschleunigung g mit noch
unbekannten Exponenten a und b sowie mit einer dimensionslosen Konstanten C aus:
T = C l a gb .
(1)
a) Wir wenden zweimal den Satz des Pythagoras an und erhalten
für den Abstand des Flugzeugs von Ihnen
d = l 2 + h2 =
(2,5 km)2 + (1,5 km)2 + (5,0 km)2
= 5,8 km .
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
1
b) Ihr Blickwinkel östlich der Nordrichtung ergibt sich aus dem
Tangens der Vektorkomponenten:
θ = atan
2,5 km
= 59◦ .
1,5 km
c) Der Ortsvektor des Flugzeugs relativ zu Ihnen ist
d = (2,5 km) x̂ + (1,5 km) ŷ + (5,0 km) ẑ .
Tipler/Mosca: Physik, 6. Auflage
Lösungen 9
d) Ihren Blickwinkel relativ zur Horizontalen berechnen wir aus
der Höhe h und dem horizontalen Abstand l:
φ = atan
h
5,0 km
= 60◦ .
= atan l
(2,5 km)2 + (1,5 km)2