Universität Heidelberg, Prof. P. Schmelcher

WS 2008/09
7. Übungsblatt zur Vorlesung Theoretische Physik III (Quantenmechanik)
Universität Heidelberg, Prof. P. Schmelcher
Abgabe am Freitag, 5.12.2008, in den Übungsgruppen
Aufgabe 21. Drehimpuls
Berechne die Matrixdarstellung der Drehimpulsoperatoren Lx , Ly sowie von L+ und L− in der
Basis der Drehimpulseigenzustände Ylm (θ, φ) für l = 1.
2 Punkte
Aufgabe 22. Coulomb-Potential, quantenmechanisches Virialtheorem
Die gebundenen Zustände des Coulomb-Potentials (ohne Berücksichtigung von Spin und relativistischen Korrekturen) lauten
ψnlm (r, θ, φ)
= ψnl (r)Ylm (θ, φ)
s
l
r
2
(n − l − 1)! −3/2 2r
2r
e− na L2l+1
ψnl (r) =
a
n−l−1 ( na )
2
3
n
(n + l)!)
na
mit a =
4π0 ~2
mZe2 .
Berechne den Erwartungswert von
1
r
für diese Zustände und verifiziere
2hT i = 2(En − hV i) = −hV i.
T ist der Operator der kinetischen Energie und V der Operator der potentiellen Energie.
Hilfe: Benutze die Orthogonalität der Laguerrepolynome:
Z ∞
p!
dρ ρk e−ρ Lkp (ρ)Lkp0 (ρ) = δpp0
[Γ(p + k + 1)]3 0
3 Punkte
Aufgabe 23. 3-dimensionaler isotroper harmonischer Oszillator
Betrachte ein Teilchen im dreidimensionalen Oszillatorpotential V (r) = 12 mω 2 r2 mit r = |r|. Der
Hamiltonoperator des System ist gegeben durch
H=
X
Hi
mit
i=x,y,z
Hi =
1
p2 + m2 ω 2 x2i .
2m i
Ist Ui der Zustandsraum zu Hi , so ist der Zustandsraum des Gesamtsystems durch das Tensorprodukt U = Ux ⊗ Uy ⊗ Uz gegeben. Analog zum eindimensionalen Fall, definiert man die
Leiteroperatoren ai , a†i :
√
1
i
ai = √
mω xi + √
pi
mω
2~
√
1
i
a†i = √
mω xi − √
pi .
mω
2~
Diese erfüllen die Vertauschungsrelationen
[ai , aj ]
= [a†i , a†j ] = 0
[ai , a†j ]
= δij .
(bitte wenden)
Die zugehörigen Teilchenzahloperatoren sind durch ni = a†i ai gegeben. Sind |ni i die Eigenvektoren
des Hamiltonoperators Hi , so bilden |nx ny nz i = |nx i|ny i|nz i in U ein vollständiges Orthonormalsystem. Ist |000i der Eigenvektor des Grundzustandes, so ist
ax |000i = ay |000i = az |000i = 0
|nx ny nz i =
1
(nx !ny !nz !)− 2 (a†x )nx (a†y )ny (a†z )nz |000i .
Bei einem Zentralpotential bilden H, L2 und Lz ebenfalls einen vollständigen Satz kommutierender
Observablen. Die gemeinsamen Eigenvektoren sind durch die Quantenzahlen n, l und m gekennzeichnet mit den zugehörigen Eigenwerten En , ~2 l(l + 1) und ~m. Die Zustände |nlmi ergeben sich
aus den |nx ny nz i durch eine unitäre Transformation.
(a) Drücke die Operatoren Lx , Ly und Lz durch die Operatoren ai und a†i (i = x, y, z) aus.
(b) Betrachte die Zustände mit der Energie E1 = ~ω(1+ 23 ). Die zugehörigen Eigenvektoren von H
in der |nx ny nz i Basis sind dann |100i, |010i, |001i. Diese bilden eine Basis des Unterraumes der
Eigenvektoren von H zum Eigenwert E1 . Gib die Matrix an, die dem Operator Lz bezüglich
dieser Basis zugeordnet ist und bestimme die zugehörigen Eigenwerte und Eigenvektoren (als
Linearkombination der Zustände |100i, |010i, |001i).
(c) Zeige, dass die in (b) konstruierten Eigenvektoren von Lz auch Eigenvektoren von L2 zum
Eigenwert 2~2 , d.h. l = 1, sind. Drücke dazu L2 durch ai und a†i aus und wende L2 dann
direkt auf die Eigenvektoren an.
(d) Gib die Ortsraumdarstellung hr|100i, hr|010i, hr|001i der Zustände an und zeige, dass die in (b)
als Eigenvektoren von Lz konstruierten Linearkombinationen dieser Funktionen tatsächlich
1
2 2
ψnlm (r) = const. × re− 2 α
p
ergeben (mit l = 1, m = 0, ±1 und α = mω
~ ).
r
Ylm (θ, φ)
5 Punkte