{(x, y, z) ∈ R 3 |x2 +y2 +z2 = 1} definieren

Analysis und Geometrie von Mannigfaltigkeiten
Serie 4
10. Auf der 2-Sphäre S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} definieren wir
folgende Äquivalenzrelation: P ∼ Q, falls P und Q dieselben x und
y-Koordinaten haben. Zeigen Sie, dass der Quotientenraum mit der
Quotiententopologie homöomorph zur Kreisscheibe K := {(u, v) | u2 +
v 2 ≤ 1} ist.
11.
a) Was sind die 1-Punkt-Kompaktifizierungen der Räume Rn , Cn
und speziell von R?
b) Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf dem topologischen Raum X
und sei X/ ∼ mit der Quotiententopologie versehen. Zeigen Sie:
Ist X kompakt, so auch X/ ∼.
12. Zeigen Sie für einen topologischen Raum X:
X ist hausdorffsch ⇐⇒ ∆(X) ⊂ X × X abgeschlossen ist.
Dabei ist ∆(X) := {(x, x) ∈ X × X} die Diagonale im Produktraum.
13. Bestimmen Sie eine Basis der Topologie T für die folgenden topologischen Räume (X, T ):
a) X eine beliebige Menge versehen mit der diskreten Topologie.
b) X = R mit der Standardtopologie.
c) X = R mit der Topologie T , die aus ∅ und der Vereinigung von
Intervallen der Form ] − ∞, a], a ∈ R besteht.
In welchen Fällen existiert eine abzählbare Basis?