Einführung in die Physik I Wärme 2 – Kinetische Gastheorie

Einführung in die Physik I
Wärme 2 – Kinetische Gastheorie
O. von der Lühe und U. Landgraf
Kinetische Gastheorie - Gasdruck
•
•
•
•
Der Druck in einem mit einem Gas
gefüllten Behälter entsteht durch
Impulsübertragung der Teilchen mit
der Gefäßwand
Die Geschwindigkeiten der Teilchen
sind in alle Richtungen gleich verteilt
Annahme: es bewegen sich 1/6 der
Teilchen auf die Wand zu mit einer
Geschwindigkeit v
In einem Zeitraum dt erreichen
z=
•
v·dt
Fläche A
Masse der Teilchen: m
Impulsübertrag pro Stoß: p =
2mv
Zahl der Teilchen: N
Volumen: V
Teilchendichte: n = N/V
1 n ⋅ v ⋅ dt n
= v
6 dt
6
Teilchen pro Flächeneinheit die Wand
Der Gesamtimpulsübertrag pro
Zeiteinheit (= Druck) ist, gemittelt über
alle Geschwindigkeitsquadrate
Wärme 2
n
p = 2⋅m⋅v⋅ z = 2⋅m⋅v⋅ ⋅v
6
p=
1
2
nmv 2 = ⋅ n ⋅ Ekin
3
3
2
1
Kinetische Gastheorie - Zustandsgleichung
• Der Vergleich mit der mittleren
kinetischen Energie pro
Teilchen (Wärme 1 F.3) ergibt
• Die Zustandsgleichung stellt
einen Zusammenhang
zwischen Druck, Volumen und
Temperatur her
p=
2
⋅ n ⋅ Ekin = n ⋅ k ⋅ T
3
n=
N
V
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
– Gilt für ein ideales Gas
• Sind zwei Größen gegeben, so
ergibt sich die dritte aus der ZG
• Für Nmol Mol eines Gases lautet
die Zustandsgleichung
p ⋅ V = N mol ⋅ N A ⋅ k ⋅ T
= N mol ⋅ R ⋅ T
R = N A ⋅ k = 8.31 [J K -1 mol-1 ]
• Gaskonstante R
Wärme 2
3
Wärmekapazität von Gasen
• Bei einem Gas kann man bei einer
Temperaturerhöhung das Volumen
oder den Druck konstant halten
• Die Wärmekapazitäten unterscheiden sich, da bei konstantem
Druck durch die Volumenänderung
Arbeit geleistet wird
• Das Verhältnis der
Wärmekapazitäten cp und cV heißt
Adiabatenexponent γ
Wärme 2
cV =
ΔE
f
= N mol ⋅ ⋅ R
ΔT V = konst.
2
cp =
ΔE
ΔV
= cV + p
ΔT p = konst.
ΔT
ΔV = V
ΔT
T
pΔV = pV
ΔT
ΔT
= N mol RT
= N mol RΔT
T
T
⎞
⎛f
cp = cV + N mol R = ⎜ + 1⎟ N mol R
⎝2 ⎠
γ =
cp
cV
=
f +2
f
4
2
Kinetische Gastheorie – 1. Hauptsatz
• Formulierung des Erhaltungs-satzes
für Energie für die Wärmelehre:
„Führt man einem System die
Energiemengen ΔQ in Form von
Wärme und ΔW in Form von äußerer
Arbeit zu, so erhöht sich seine innere
Energie um den Betrag ΔU“
ΔU = ΔQ + ΔW
• Innere Energie:
– Bewegungsenergie der Moleküle
– Schmelz-, Verdampfungs-,
Lösungsenergie
– Arbeit gegen chemische und
elektromagnetische Kräfte
Wärme 2
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1. Hauptsatz für ideale Gase
• Die von außen an einem
idealen Gas geleistete Arbeit ist
Druckarbeit
ΔW = − pΔV
• 1. Hauptsatz für Gase
ΔQ = Δ U + p ⋅ Δ V
• Bei einem idealen Gas
(Gesamtmasse M) ist die
Änderung der inneren Energie
ΔU = cV ⋅ M ⋅ ΔT
• 1. Hauptsatz für ideale Gase
ΔQ = cV ⋅ M ⋅ ΔT + p ⋅ ΔV
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6
3
Zustandsänderungen
• Eine Zustandsänderung heißt
–
–
–
–
isotherm, wenn T konstant bleibt
isobar, wenn p konstant bleibt
isochor, wenn V konstant bleibt
adiabatisch, wenn es zu keinem
Wärmeaustausch kommt: ΔQ = 0
• Durch eine Folge von Zustandsänderungen kann Wärmeenergie
in mechanische Energie
umgewandelt werden
Adiabatische Zustandsänderung:
cV ⋅ M ⋅ dT = − p ⋅ dV
Hieraus erhält man durch
Ersetzen von cV und mit der
Zustandsgleichung für
ideale Gase
f dT
1 dT
dV
=
=−
2 T
1− γ T
V
und daraus die folgenden
Zusammenhänge
γ
1
V ~ T 1−γ , p ~ V −γ , p ~ T γ −1
Wärme 2
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Boltzmann - Verteilung
• Barometrische Höhenformel
beschreibt die Druckverteilung
eines Gases in einem
konstanten äußeren Kraftfeld
• Teilchenzahldichte n (Teilchen
pro Volumeneinheit) ist
proportional zum Druck: n ~ p
• Teilchenzahldichte hängt ab
von der potentiellen Energie
mgh des einzelnen Teilchens:
Wärme 2
siehe Deform. Körper 1 F. 9
⎛
⎛
ρ ⎞
M ⎞
⎟
p(h ) = p0 exp⎜⎜ − g 0 h ⎟⎟ = p0 exp⎜⎜ − gh
V0 ⋅ p0 ⎟⎠
p0 ⎠
⎝
⎝
Für ein Mol gilt
p0 ⋅ V0 = RT = N A kT
⎛ Mgh ⎞
⎛ mgh ⎞
⎟⎟ = n0 exp⎜ −
n(h) = n0 exp⎜⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
⎝ N A kT ⎠
⎛ Epot (h ) ⎞
⎟
= n0 exp⎜⎜ −
kT ⎟⎠
⎝
8
4
Boltzmann - Verteilung
n( E 2 )
⎛ E − E1 ⎞
= exp⎜ − 2
⎟
n(E1 )
kT ⎠
⎝
Boltzmann-Verteilung
0.8
Relative Teilchenzahl
• Verallgemeinert für beliebige
Energieunterschiede erhält man
die Boltzmann-Verteilung
• Die Boltzmann-Verteilung tritt
überall dort auf, wo ein Ensemble von Teilchen verschiedene
Energiezustände in einem
stationären Zustand einnehmen
kann (thermodynamisches
Gleichgewicht)
• Allgemeine Wahrscheinlichkeit
eines Systems, welches eine
Reihe von Zuständen i mit den
Energien Ei einnehmen kann
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Energieunterschied [kT]
⎛ E ⎞
pi = g i ⋅ exp⎜ − i ⎟
⎝ kT ⎠
– Statistisches Gewicht gi
Wärme 2
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Maxwell – Verteilung
• In einem idealen Gas hat jedes
Teilchen kinetische Energie.
Die Verteilung der Energie ist
eine Boltzmann-Verteilung
⎛ mv 2 ⎞
⎟⎟
p(v ) ~ g (v ) exp⎜⎜ −
⎝ 2kT ⎠
g (v ) = 4πv 2
• Höhere Geschwindigkeiten
haben ein höheres statistisches
Gewicht
• Die Maxwell-Verteilung gibt
die Verteilung der Geschwindigkeiten in einem idealen Gas
mit Temperatur T an
Wärme 2
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p(v ) =
⎛ mv 2 ⎞
2 ⎛ m ⎞2 2
⎟⎟
⋅ ⎜ ⎟ ⋅ v ⋅ exp⎜⎜ −
π ⎝ kT ⎠
⎝ 2kT ⎠
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5
Maxwell – Verteilung
Maxwell-Verteilung
0.004
p(v) [s / m]
0.003
0.002
0.001
0
0
500
1000
1500
2000
Geschwindigkeit [m / s]
100 K
300 K
1000 K
3000 K
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