2. Gleichungen, Ungleichungen und Beträge

2. Gleichungen, Ungleichungen
und Beträge
Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen
Lösungen der Gleichung
x +2
= 1.
2
x °4
Nach Multiplikation beider Seiten mit x 2 ° 4 ergibt sich die quadratische
Gleichung
x + 2 = x 2 ° 4 () x 2 ° 4 ° x ° 2 = x 2 ° x ° 6 = 0.
Die p–q–Formel liefert
1
x1/2 = ±
2
s
1
1
+6 = ±
4
2
s
1 + 24 1 5
= ±
4
2 2
und damit die beiden Lösungen x1 = 3 und x2 = °2.
Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler?
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Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!
Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichung xx2+°24 = 1
ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.
Das wird auch deutlich, wenn man x 2 ° 4 = (x ° 2)(x + 2) schreibt.
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Richtige Lösung
Wegen x 2 ° 4 = (x ° 2)(x + 2) ist der Nenner für x = °2 bzw. x = 2 nicht
definiert, da sonst durch Null dividiert würde.
Für x 6= °2 und x 6= 2 gilt
x +2
x +2
1
=
=
= 1 () 1 = x ° 2 () x = 3.
x 2 ° 4 (x + 2)(x ° 2) x ° 2
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.
Da für x 6= ±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren
Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.
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Lösen von Gleichungen
!
Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f (x) = 0
aufgefasst werden. Vorgehensweise:
• Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f .
• Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so,
dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.
Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.
Äquivalente Umformungen sind:
• Addition, Subtraktion,
• Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null,
• Division durch eine Zahl ungleich Null,
• Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern
alles definiert ist.
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Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
x °2
x
2x
+
= 1+ 2
x +1 x °1
x °1
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Betrag und Betragsgleichungen
|x | =
(
x, x ∏ 0,
°x, x < 0.
Der Betrag |x | gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf der
Zahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ.
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Beträge von Funktionen
|f (x)| =
(
f (x), f (x) ∏ 0,
°f (x), f (x) < 0.
Beispiel: f (x) = x ° 1
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Betragsgleichungen
Beim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichung
vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.
Die Gleichung
|x | = a,
a 2 R, a > 0,
hat z. B. die Lösungen x1 = °a und x2 = a.
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Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
|2x ° 1| = 2.
Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x ° 1 ∏ 0
und 2x ° 1 < 0.
Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.
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Wo steckt der Fehler?
Sei a = b.
a=b
(1)
a2 ° b 2 = ab ° b 2
(3)
a2 = ab
(a + b)(a ° b) = b(a ° b)
a+b = b
a=0
(2)
(4)
(5)
(6)
Folglich ist a = b = 0 .
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Äquivalentes Umformen von Ungleichungen
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert
oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen
Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das
Relationszeichen nicht.
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen
Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das
Relationszeichen um.
Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung °4x + 3 < x ° 2.
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Quadratische Ungleichungen
ax 2 + bx + c > 0,
a, b, c 2 R, a 6= 0,
andere Fälle analog.
Überführen in Normalform mittels Division durch a (Vorzeichen von a
beachten!)
x 2 + px + q > 0
1. y = x 2 + px + q ist eine nach
oben geöffnete Parabel.
2. Es gibt zwei, eine oder keine
Nullstelle.
3. Die Nullstellen trennen
Bereiche mit unterschiedlichen Vorzeichen.
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Betragsungleichungen
Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedes
vorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.
Bestimmen Sie alle x 2 R, für die gilt: 2x < |x ° 1|.
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Potenzen
Die einfachsten Potenzfunktionen ergeben sich für natürliche Exponenten:
f (x) = x n ,
Abbildung 3: Ungerade
Exponenten
n 2 N.
Abbildung 4: Gerade
Exponenten
Die Funktionen für die Exponenten n1 sind die Umkehrfunktionen zu x n .
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Funktionen und ihre Umkehrbarkeit
Definition
Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A ! B ist eine Vorschrift,
durch die jedem x 2 A genau ein y = f (x) 2 B zugeordnet wird.
A heißt Definitionsbereich von f , B heißt Zielmenge von f , und
f (A) = {f (x) : x 2 A} µ B heißt Wertebereich oder Bild von f .
Zu einer gegebenen Menge A0 µ A heißt
f (A0 ) = {f (x) : x 2 A0 } µ B
das Bild von A0 unter f . Zu einer gegebenen Menge B 0 µ B heißt
f °1 (B 0 ) = {x 2 A : f (x) 2 B 0 }
das Urbild von B 0 unter f .
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Definition
Eine Funktion f : A ! B heißt
• injektiv (eineindeutig), wenn für alle x1 ,x2 2 A mit x1 6= x2 stets
f (x1 ) 6= f (x2 ) gilt,
• surjektiv, wenn es zu jedem y 2 B ein x 2 A gibt mit y = f (x),
• bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
Ist f bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion
f °1 : B ! A,
f °1 (y ) = x :, y = f (x).
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Umkehrfunktion
Der Graph der Umkehrfunktion f °1 ergibt sich aus dem Graphen der
Funktion f durch Spiegeln an der Geraden y = x.
y = f (x) () f °1 (y ) = f °1 (f (x)) = x
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Wurzelfunktionen
p
p
3
Die gezeigten Wurzelfunktionen x 7! x und x 7! x sind die
Umkehrfunktionen von f (x) = x 2 und f (x) = x 3 mit den nichtnegativen
Zahlen als Definitionsbereich.
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Definition (Wurzel)
Die n-te Wurzel, n 2 N, aus einer reellen Zahl a ∏ 0, ist diejenige
p
nichtnegative reelle Zahl b, für die b n = a gilt. Man schreibt b = n a.
Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f (x) =
nichtnegative x ∏ 0 definiert.
p
n
x ist nur für
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Wurzel und Quadrat
Für beliebige reellen Zahlen x gilt
Somit hat die Gleichung x 2 = a
p
p
x2 =
q
(°x)2 =
x 2 = |x |.
• im Fall a < 0 keine reelle Lösung,
p
|x |2 und somit
p
p
• im Fall a ∏ 0 zwei reelle Lösungen, nämlich x = a und x = ° a.
p
Achtung: Die Lösung x = ° a im zweiten Fall wird häufig vergessen!
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Wo steckt der Fehler?
Man bestimme alle Lösungen von
p
p
8x 2 ° 4 ° 2x = 0.
8x 2 ° 4 ° 2x = 0
p
(7)
8x 2 ° 4 = 2x
(8)
8x 2 ° 4 = 4x 2
(9)
4x 2 = 4
x2 = 1
Folglich sind 1 und °1 Lösungen der Gleichung
(10)
(11)
p
8x 2 ° 4 ° 2x = 0.
Art des Fehlers: (A) beide Lösungen sind falsch, (B) x = °1 ist keine
Lösung,
(C) x = 1 ist keine Lösung, (D) es gibt keine Lösungen.
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