Proseminararbeit Kann eine Zahl ungefähr rational sein?

Proseminararbeit
Kann eine Zahl ungefähr rational
sein?
Mathematisches Seminar für LAK
SS 2013
Sara Grabmeier - 0810043
Elisabeth Hofer - 0812028
Sara Grabmeier, Elisabeth Hofer
Mathematisches Seminar für LAK
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1
3
Ein Trick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Gitter
5
3 Näherungen
9
3.1
Was ist eine gute Näherung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Quadratische Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4 Kettenbrüche
12
4.1
Vorteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2
Nachteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5 Der euklidische Algorithmus
5.1
19
Die geometrische Darstellung des euklidischen Algorithmus . . . . .
21
6 Näherungsbrüche
24
7 Beweis des Satzes von Hurwitz und Borel
27
8 Was steckt hinter dem Trick?
28
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1 Einleitung
Auf die Frage, ob man, auf Grund der Kenntnis endlich vieler Dezimalstellen (zum
Beispiel: bei einem einfachen Taschenrechner durch neun Nachkommastellen) einer
Zahl, feststellen kann, ob sie rational oder irrational ist, wird der Großteil der
Befragten mit „Nein“ antworten. Dies ist vom mathematischen Standpunkt aus auch
eine nachvollziehbare Meinung, da man ja keine weiteren Informationen über die
nachfolgenden Dezimalstellen besitzt.
Ein kleines Beispiel:
Ô
25 Ô
25
Man nehme 2 und
. 2 ist bekanntlich irrational und
ist offensichtlich eine
17
17
rationale Zahl, da sie der Bruch zweier ganzer Zahlen ist.
Gibt man die beiden Ausdrücke in einen gewöhnlichen Taschenrechner ein, so erhält
man in beiden Fällen eine scheinbar chaotische, systemlose Dezimaldarstellung:
Ô
2 = 1, 414213562
25
= 1, 470588235
17
Betrachtet man diese beiden Ergebnisse, so ist die verbreitete Meinung der Befragten
verständlich und wird zugleich eigentlich auch bestätigt. Obwohl sich die beiden
Dezimaldarstellungen sehr ähnlich sind, gibt es einen gravierenden Unterschied:
25
Der Fehler zwischen 1, 470588235 und
ist ungefähr 3 · 10≠10 , während sich die
17
Ô
99
beste Näherung an 2 durch einen Bruch mit zweistelligem Nenner ( ) um ungefähr
70
≠5
7 · 10 unterscheidet. Will man nur einen maximalen Fehler von 3 · 10≠10 erreichen,
47321
so ist der „einfachste“ Bruch, der dies erfüllt,
und ist somit deutlich komplexer
33461
25
als
. Interessant ist nun, dass dieser Unterschied bereits mithilfe eines einfachen
17
Taschenrechners erkennbar ist.
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1.1 Ein Trick
Man benötigt einen relativ einfachen Taschenrechner, mit welchem man die Grundrechnungsarten durchführen kann und welcher nach Möglichkeit den Kehrwert einer
Zahl berechnen kann.
Zusätzlich werden zwei neunstellige Dezimalzahlen zwischen 0,5 und 1 gewählt, wobei
eine dieser Zahlen durch einen Bruch, dessen Nenner kleiner als 1000 ist, darstellbar
sein muss. Die andere Zahl soll beliebig sein.
Die Behauptung lautet, dass man innerhalb einer Minute eine Aussage darüber
treffen kann, welche der beiden Zahlen die rationale Zahl ist. Eine Minute später ist
es sogar möglich, sowohl Zähler als auch Nenner des Bruchs anzugeben!
Der Hintergrund dieses „Zahlenzaubers“ wird in den folgenden Kapiteln erarbeitet
und schlussendlich wird die Auflösung des Tricks präsentiert. Zusammenfassend
könnte man eine dieser Zahlen als „ungefähr rational“ bezeichnen, während die zweite
Zahl diese Eigenschaft nicht erfüllt.
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2 Gitter
Was ist ein Gitter?
≠æ
≠≠æ
Seien v = OA und w = OB zwei nicht kollineare Vektoren, wobei O ein Punkt in
der Ebene ist, nämlich der sogenannte „Ursprung“. Nicht kollinear bedeutet, dass
die Punkte A, B und O nicht auf einer Geraden liegen. Die Menge aller Punkte
pv + qw ergibt das durch v und w generierte Gitter
in der Ebene (p, q œ Z).
Abbildung 1: Das durch v und w generierte Gitter
Eigenschaften von Gittern:
Proposition 2.1. Sei KLMN ein Parallelogramm, dessen Eckpunkte K,L und M zu
gehören. Dann gehört auch N zu
.
≠≠æ
≠æ
≠≠æ
Beweis. Sei OK = av + bw, OL = cv + dw, OM = ev + f w.
Abbildung 2: Skizze zum Beweis
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Dann ist:
≠≠æ ≠≠æ ≠≠æ ≠≠æ ≠≠æ ≠≠æ ≠≠æ ≠æ
ON = OK + KN = OK + LM = OK +(OM ≠ OL) = av+bw+(ev+f w≠cv≠dw) =
av ≠ cv + ev + bw ≠ dw + f w = (a ≠ c + e)v + (b ≠ d + f )w
∆N œ
Mit s wird ab nun der Flächeninhalt des „elementaren“ Parallelogramms OACB
≠≠æ ≠æ ≠≠æ
bezeichnet (mit OC = OA + OB).
Proposition 2.2. Sei KLMN ein Parallelogramm mit Eckpunkten in
.
(a) Dann ist der Flächeninhalt von KLMN gleich n · s, wobei n eine positive ganze
Zahl ist.
(b) Wenn außer den Punkten K, L, M, N kein Punkt von
im Inneren des
Parallelogramms KLMN oder auf seinem Rand liegt, dann ist der Flächeninhalt
von KLMN gleich s.
Beweis von (b). Sei l die Länge der längeren Diagonale von KLM N .
Man kachelt nun die Ebene mit Parallelogrammen, die parallel zu KLM N sind,
wobei für eine Kachel fi der Eckpunkt von fi Kfi sei, der bei der Parallelverschiebung
KLM N æ fi dem Eckpunkt K entspricht. Dann stellt fi ¡ Kfi eine eindeutige
(injektive) Beziehung zwischen den Kacheln und den Punkten des Gitters
Tatsächlich liegt nun kein Punkt von
Kachelseite. Deshalb ist jeder Punkt von
her.
im Inneren einer Kachel oder auf einer
ein Kfi für ein fi.
Sei nun DR die Kreisscheibe mit dem Radius R um O und sei N die Anzahl der
Punkte von
, die im Inneren von DR liegen. Diese Punkte von
, welche im
Inneren von DR liegen, bezeichnen wir mit K1 , K2 , K3 , ..., KN . Sei nun Ki = Kfii .
Die Vereinigung aller Kacheln fii (1 Æ i Æ N ) enthält DR≠l und ist in DR+l enthalten.
Wenn der Flächeninhalt von KLM N gleich S ist, dann gilt:
fi(R ≠ l)2 Æ N S Æ fi(R + l)2 .
Dasselbe gilt für das Parallelogramm OACB, dessen Flächeninhalt s ist und das
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ebenfalls außer seinen Eckpunkten keine weiteren Punkte von
enthält. Möglicher-
weise ist das l (die Länge der längeren Diagonale von OACB) nicht dasselbe wie
oben, allerdings kann man das größere der beiden l verwenden. Deshalb gilt auch
hier:
fi(R ≠ l)2 Æ N s Æ fi(R + l)2 .
Formt man diese Ungleichungskette um, so erhält man:
1
1
1
Æ
Æ
2
fi(R + l)
Ns
fi(R ≠ l)2
Durch Multiplikation dieser Ungleichung mit der Ungleichung für das Parallelogramm
KLM N erhält man schlussendlich:
(R ≠ l)2
S
(R + l)2
Æ Æ
,
2
(R + l)
s
(R ≠ l)2
Wobei
(R ≠ l)2
für große R beliebig nah an 1 liegt und somit gilt, dass S = s ist.
(R + l)2
Beweis von (a). Ein Dreieck P QR mit den Eckpunkten in
, welches außer P, Q
und R keine weiteren Punkte in enthält (weder im Inneren noch am Rand), besitzt
s
den Flächeninhalt . Dieses Dreieck bildet eine Hälfte des Parallelogramms P QRS,
2
wobei wieder gilt, dass das Parallelogramm außer seinen Eckpunkten keine weiteren
Punkte aus
enthält. Darüber hinaus gilt nach Proposition 2.1, dass S œ
. Der
Flächeninhalt des Parallelogramms P QRS ist nun (nach Teil (b)) gleich s und der
s
Flächeninhalt des Dreiecks P QR ist dementsprechend .
2
Wenn das Parallelogramm KLM N im Inneren q Punkte von und auf den Seiten
p Punkte (außer K, L, M und N ) enthält, so ist p gerade, da gegenüberliegende
Seiten die gleiche Anzahl von Punkten in
enthalten. Man kann das Parallelogramm
dann in 2q + p + 2 Dreiecke mit Eckpunkten in
gilt, dass keine weiteren Punkte aus
zerlegen, wobei für diese Dreiecke
im Inneren oder auf dem Rand zu finden
sind (siehe dazu auch Abbildung 3). Der Flächeninhalt des Parallelogramms KLM N
beträgt somit
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s
p
p
p
(2q + p + 2) = (q + + 1)s = ns mit n = q + + 1 œ N (da p gerade, ist œ N)
2
2
2
2
Abbildung 3: Eine Zerlegung eines Parallelogramms in Dreiecke
Kurz zur Frage, warum die Anzahl der Dreiecke genau 2q + p + 2 ist:
Man berechnet die Summe der Winkel aller Dreiecke. Sie ist natürlich fi mal die
Anzahl der Dreiecke. Ein Punkt im Inneren des Parallelogramms trägt 2fi zu dieser
Summe bei, ein Punkt auf einer Seite trägt fi bei und die vier Eckpunkte zusammen
tragen noch einmal 2fi bei.
Enthält nun ein Parallelogramm q Punkte im Inneren und p Punkte (außer den
Eckpunkten) am Rand, so ist die Summe der Winkel aller Dreiecke = 2fiq + fip + 2fi.
Teilt man diese Summe nun durch fi, so erhält man die Anzahl der Dreiecke, nämlich
genau 2q + p + 2.
Die Anzahl der Dreiecke ist außerdem ganz unabhängig von der Art der Zerlegung!
Beispiel 1. Nachrechnen der „Formel“
Anzahl der Dreiecke = 2q + p + 2
bei Abbildung 3:
Es befinden sich 8 Punkte im Inneren und 6 Punkte (Eckpunkte ausgenommen) am
Rand ∆ Anzahl der Dreiecke = 2 · 8 + 6 + 2 = 16 + 6 + 2 = 24.
Zählt man die Dreiecke in Abbildung 3, so kommt man ebenfalls auf 24 Dreiecke.
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3 Näherungen
3.1 Was ist eine gute Näherung?
p
, der als nicht
q
reduzierbar angenommen werden kann, eine gute Näherung für – ist, ist es notwendig,
p -den Fehler, also -– ≠ -, zu betrachten. Dieser Fehler soll möglichst klein sein und
q
p
auch die Zahlen p und q sollten nicht zu groß sein, damit der Bruch handhabbar ist.
q
Es ist also sinnvoll zu fordern, dass der Nenner q nicht zu groß ist (p hängt von – ab
Um für eine irrationale Zahl – feststellen zu können, ob ein Bruch
und hat somit nichts mit der Genauigkeit der Näherung zu tun). Es sollen nun also
p -zwei Zahlen minimiert werden, der Fehler -– ≠ - und der Nenner q. Das Problem
q
dabei ist allerdings, dass sich die beiden Forderungen widersprechen: Will man
den Fehler minimieren, so muss der Nenner vergrößert werden und umgekehrt. Um
beiden Ansprüchen zu genügen, kann nun ein sogenannter „Güteindikator“ verwendet
werden, der beide Forderungen zusammenfasst. Dieser Güteindikator besagt, dass
p
peine Näherung von – als gut bezeichnet wird, wenn das Produkt --– ≠ -- · q klein
q
q
1
1
ist, zum Beispiel kleiner als
oder
. Dieser „Güteindikator“ scheint sinnvoll
100
1000
zu sein, allerdings ist der nun folgende Satz wiederum ernüchternd.
Satz 3.1. Für jedes – und jedes Á > 0 existieren unendlich viele Brüche
p
mit
q
p -q -– ≠ - < Á.
q
Dieser Satz besagt also, dass alle Zahlen beliebig gute Näherungen haben und somit
nicht anhand der Güte ihrer rationalen Näherung unterschieden werden können.
Beweis. Betrachtet man das von den Vektoren v = (≠1, 0) und w = (–, 1) aufgespannte Gitter, dann gilt
3 3
pv + qw = (q– ≠ p, q) = q – ≠
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4
4
p
,q .
q
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Der Beweis soll zeigen, dass es unendlich viele Paare (p, q) gibt, für die dieser Punkt
innerhalb des Streifens ≠Á < x < Á liegt. Dieser Bereich ist in Abbildung 4 schraffiert
dargestellt. Anders ausgedrückt: Im Inneren des schraffierten Streifens befinden sich
für jedes Á > 0 unendlich viele Gitterpunkte.
Abbildung 4: Beweis von Satz 3.1
1
Ist Á nicht besonders klein (z.B. Á = ), so ist das offensichtlich, da für jede positive
2
ganze Zahl q auf der Horizontalen y = q viele Gitterpunkte liegen, die einen Abstand
1
von 1 aufweisen. Exakt ein Punkt davon liegt innerhalb des breiten Streifens |x| < ,
2
was bedeutet, dass dieser breite Streifen unendlich viele Punkte mit positiven yKoordinaten enthält.
1
Wählt man eine positive ganze Zahl n, sodass
< Á und zerschneidet den breiten
2n
1
Streifen in 2n schmale Streifen der Breite
, dann muss zumindest einer dieser
2n
schmalen Streifen unendlich viele Punkte mit positiven y-Koordinaten enthalten.
Als Annahme wird der schraffierte Streifen aus Abbildung 4 rechts betrachtet. Seien A0 , A1 , A2 , . . . jene Punkte des schraffierten Streifens, welche mit wachsender
y-Koordinate nummeriert sind. Für alle i > 0 wird der zu A0 O kollineare Vektor mit
dem Ausgangspunkt Ai und dem Endpunkt Bi betrachtet. Da die Punkte O, A0 , Ai
und Bi ein Paralellogramm bilden und mit Ausnahme von Bi zum Gitter gehören, ist
auch Bi im Gitter enthalten. Des Weiteren kann aus dem Parallelogramm geschlossen
werden, dass die x-Koordinate von Bi der Differenz zwischen den x-Koordinaten
von Ai und A0 entspricht. Daraus folgt, dass der Betrag der x-Koordinaten von Bi
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1
< Á ist. Alle Punkte Bi befinden sich also im schraffierten Streifen aus
2n
der Abbildung 4 links.
kleiner als
3.2 Quadratische Näherungen
Laut Satz 3.1 gibt es für jede Zahl beliebig gute Näherungen, was zur Folge hat, dass
Zahlen mit guten Näherungen von solchen, die keine guten Näherungen besitzen, nicht
unterschieden werden können. Eine Möglichkeit, diese Abschätzungen zu optimieren,
ist die Verwendung eines anderen Güteindikators, der den Nenner q stärker gewichtet.
p
pEine Näherung von – durch ist also gut, wenn das Produkt q 2 --– ≠ -- klein ist.
q
q
Der Satz von Hurwitz und Borel, der an späterer Stelle bewiesen wird (Seite 27),
rechtfertigt die Änderung des Güteindikators.
Satz 3.2. (A. Hurwitz, E. Borel)
(a) Zu jedem – existieren unendlich viele Brüche
p
mit
q
p -1
q -– ≠ - < Ô .
q
2-
5
(b) Es existiert eine irrationale Zahl –, sodass es für alle ⁄ >
p
Brüche gibt mit
q
p -- 1
2q -– ≠ - < .
q
⁄
Ô
5 nur endlich viele
Trotz des (noch) fehlenden Beweises wird nun Teil (b) dieses Satzes betrachtet.
Es stellt sich die Frage, welche irrationale Zahl für eine rationale Näherung am
ungünstigsten ist. Überraschend ist die Tatsache, dass genau jene Zahl bereits seit
sehr langer Zeit von Künstlern, Bildhauern und Architekten verwendet wird:
Ô
1+ 5
- der Goldene Schnitt.
2
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4 Kettenbrüche
Definition 4.1. Ein endlicher Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form
1
a0 +
1
a1 +
1
a2 +
..
1
.+
an≠1 +
1
an
,
wobei a0 eine ganze Zahl ist, a1 , ..., an positive ganze Zahlen sind und n Ø 0 gilt.
Proposition 4.1. Jede rationale Zahl ist als ein endlicher Kettenbruch darstellbar.
Diese Darstellung ist eindeutig, abgesehen von einer Mehrdeutigkeit: Ist n > 0 und
an = 1, so können wir an eliminieren und an≠1 durch an≠1 + 1 ersetzen.
Existenzbeweis. Für jeden irreduziblen Bruch
dass eine Kettenbruchdarstellung existiert.
p
wird per Induktion über q bewiesen,
q
Für ganze Zahlen (q = 1) ist die Existenz offensichtlich.
Es wird angenommen, dass eine Kettenbruchdarstellung für alle Brüche mit Nennern
p
pÕ
kleiner als q existiert. Sei nun r = , a0 = [r]. Dann gilt r = a0 +
mit 0 < pÕ < q
q
q
1
q
und r = a0 + Õ , wobei rÕ = Õ ist. Wegen pÕ < q und aufgrund der Annahme existiert
r
p
eine Kettenbruchdarstellung
1
rÕ = a1 +
1
a2 +
..
.+
1
an≠1 +
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1
an
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und wegen rÕ > 1 gilt a1 = [rÕ ] Ø 1. Deshalb ist
r = a0 +
1
1
= a0 +
rÕ
1
a1 +
1
a2 +
..
1
.+
an≠1 +
1
an
Eindeutigkeitsbeweis. Wenn
1
r = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
..
.+
1
an≠1 +
1
an
und an > 1 (oder n = 0) ist, dann gilt
a0 = [b0 ], a1 = [b1 ], ..., an = [bn ](= bn )
mit
b0 = r, b1 =
1
1
1
, b2 =
, ..., bn =
,
b0 ≠ a0
b1 ≠ a1
bn≠1 ≠ an≠1
was zeigt, dass die Konstanten a0 , a1 , a2 , ... eindeutig durch r bestimmt sind.
Es ist interessant, dass die letzte Zeile des Beweises zugleich einen Algorithmus liefert,
um bei gegebenem r die Konstanten a0 , a1 , a2 , ... berechnen zu können. Außerdem
kann man diesen Algorithmus anstatt auf r auch auf eine irrationale Zahl – anwenden.
Der Algorithmus liefert dabei eine unendliche Folge von Zahlen a0 , a1 , a2 , ..., ai > 0
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für i > 0. Man schreibt
1
– = a0 +
a1 +
1
.
a2 + . .
Die Zahlen a0 , a1 , a2 , ... nennt man die unvollständigen Quotienten von –. Die Zahl
1
rn = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
..
1
.+
an≠1 +
1
an
heißt n-ter Näherungsbruch von –. Offenbar gilt
r0 < r2 < r4 < ... < – < ... < r5 < r3 < r1 .
Durch einfaches Nachrechnen erhält man r0 , r1 , r2 , ...:
r0 =
r2 = a0 +
1
a1 +
1
a0
1
a0 a1 + 1
, r1 = a0 +
=
,
1
a1
a1
= a0 +
1
a1 a2 + 1
a2
= a0 +
a2
a0 a1 a2 + a0 + a2
=
, ...
a1 a2 + 1
a1 a2 + 1
a2
Allgemein ist also rn =
pn
mit
qn
p0 = a0 ,
p1 = a0 a1 + 1,
p2 = a0 a1 a2 + a0 + a2 ,
...,
q0 = 1,
q1 = a1 ,
q2 = a1 a2 + 1,
....
Für Kettenbrüche gibt es eine praktische Kurzschreibweise:
Für einen unendlichen Kettenbruch mit den unvollständigen Quotienten a0 , a1 , a2 , ...
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schreibt man [a0 ; a1 , a2 , ...] und für einen endlichen Kettenbruch mit den unvollständigen Quotienten a0 , a1 , a2 , ..., an schreibt man [a0 ; a1 , a2 , ..., an ].
Beispiel 2. Wie schauen nun die Kettenbruchdarstellungen der Zahlen 1,56 und
0,123 aus?
Mithilfe eines Taschenrechners und des vorgestellten Algorithmus am Ende des
Beweises der Proposition 4.1 (siehe Seite 13) lassen sich die Kettenbruchdarstellungen
leicht ermitteln:
1
1, 56 = 1 +
1
1+
1
1+
1
3+
1+
1
2
1, 56 = [1; 1, 1, 3, 1, 2]
1
0, 123 = 0 +
1
8+
1
7+
1+
1
2+
1
5
0, 123 = [0; 8, 7, 1, 2, 5]
Beispiel 3. Wie schaut die Kettenbruchdarstellung der irrationalen Zahl
wie lauten die ersten sechs Näherungsbrüche und gilt:
r0 < r2 < r4 < ... < – < ... < r5 < r3 < r1 ?
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Ô
3 aus,
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Ô
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1
3=1+
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+
1+
Ô
1
.
2 + ..
3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...]
Die ersten sechs Näherungsbrüche r0 , ..., r5 lauten:
r0 = [1] = 1
r1 = [1; 1] = 1 +
1
1
r2 = [1; 1, 2] = 1 +
=2
1
1+
r3 = [1; 1, 2, 1] = 1, 75
1
=1+
2
1
2
5
= 1 + = = 1, 6·
3
3
3
2
r4 = [1; 1, 2, 1, 2] = 1, 72
r5 = [1; 1, 2, 1, 2, 1] = 1, 73·
Die zugehörigen Ungleichungen sind:
r0 < r2 < r4 <
Ô
3 < r5 < r3 < r1
1 < 1, 6· < 1, 72 < 1, 73205080 < 1, 73· < 1, 75 < 2
Proposition 4.2. Seien a0 , a1 , ..., p0 , p1 , ..., q0 , q1 , ... wie oben. Dann gilt
(a) pn = an pn≠1 + pn≠2 (n Ø 2);
(b) qn = an qn≠1 + qn≠2 (n Ø 2);
(c) pn≠1 qn ≠ pn qn≠1 = (≠1)n (n Ø 1).
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Beweis von (a) und (b). Diese Aussagen werden in einer allgemeineren Form bewiesen, nämlich wenn a0 , a1 , a2 , ... beliebige reelle Zahlen (also nicht zwingend ganze
Zahlen) sind. Im Fall n = 2 haben wir die erforderlichen Relationen bereits (siehe
oben). Sei n > 2 und nehmen wir an, dass
pn≠1 = an≠1 pn≠2 + pn≠3
qn≠1 = an≠1 qn≠2 + qn≠3
für beliebige a0 , ..., an≠1 gilt. Man wendet diese Formeln auf aÕ0 = a0 , ..., aÕn≠2 =
1
an≠2 , aÕn≠1 = an≠1 +
an. Offensichtlich ist pÕi = pi , qiÕ = qi für i Æ n ≠ 2 und
an
pn Õ
qn
pÕn≠1 =
,q
=
. Folglich gilt
qn n≠1 an
pn = an pÕn≠1 = an (aÕn≠1 pn≠2 + pn≠3 )
= an [(an≠1 +
1
)pn≠2 + pn≠3 ]
an
= an (an≠1 pn≠2 + pn≠3 ) + pn≠2
= an pn≠1 + pn≠2 ,
und auch analog für qn = an qn≠1 + qn≠2 .
Beweis von (c). Induktion über n. Für n = 1 gilt
p0 q1 ≠ p1 q0 = a0 a1 ≠ (a0 a1 + 1) · 1 = ≠1.
Wenn n Ø 2 ist und die Gleichung für n ≠ 1 statt für n gilt, dann ist
pn≠1 qn ≠ pn qn≠1 = pn≠1 (an qn≠1 + qn≠2 ) ≠ (an pn≠1 + pn≠2 )qn≠1
= pn≠1 qn≠2 ≠ pn≠2 qn≠1
= ≠(pn≠2 qn≠1 ≠ pn≠1 qn≠2 )
= ≠(≠1)n≠1 = (≠1)n .
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Korollar 4.1. lim rn = –
næŒ
pn
pn≠1
pn qn≠1 ≠ qn pn≠1
(≠1)n≠1
≠
=
=
. Weil –
qn
qn≠1
qn qn≠1
qn qn≠1
1
zwischen rn≠1 und rn liegt, gilt | rn ≠ – |<
. Der letzte Ausdruck geht gegen
qn qn≠1
null, wenn n gegen unendlich geht.
Beweis. Es gilt rn ≠ rn≠1 =
4.1 Vorteile
Dezimalbrüche für rationale Zahlen sind entweder endlich oder periodisch unendlich.
Ô
Die Dezimalbrüche von irrationalen Zahlen (zum Beispiel e, fi oder 2) sind chaotisch.
Kettenbrüche für rationale Zahlen hingegen sind immer endlich und auch die Kettenbrüche von irrationalen Zahlen können durchaus sehr „schön“ und absolut nicht
chaotisch sein!
Beispiel 4.
Ô
3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...]
Ô
5 = [2; 4, 4, 4, ...]
4.2 Nachteile
Für Kettenbrüche gibt es im Gegensatz zu Dezimalbrüchen fast keine Algorithmen
für die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Ähnliches.
Abgesehen von den recht offensichtlichen Formeln
[a0 ; a1 , a2 , ...] + n = [a0 + n; a1 , a2 , ...]
(für n œ Z),
[a0 ; a1 , a2 , ...]≠1 = [0; a0 , a1 , a2 , ...]
(für a0 > 0),
gibt es so gut wie keine Formeln dieser Art.
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5 Der euklidische Algorithmus
Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei positiven ganzen Zahlen M und N zu
finden (mit N > M ) kann man den euklidischen Algorithmus verwenden. Durch die
wiederholten Divisionen mit Rest erhält man eine Reihe von Gleichungen:
N = a0 M + b0 ,
M = a1 b0 + b1 ,
b0 = a2 b1 + b2 ,
........................
bn≠2 = an bn≠1 .
Hierbei sind ai (i = 0, ...n)und bj (j = 0, ...n ≠ 1) positive ganze Zahlen und es gelten
die Ungleichungen
0 < bn≠1 < bn≠2 < ... < b1 < b0 < M.
Der größte gemeinsame Teiler von M und N ist dann die Zahl bn≠1 .
Der euklidische Algorithmus hat eine starke Verbindung zu den Kettenbrüchen:
Proposition 5.1.
(a) Die Zahlen a0 , a1 , ..., an (von oben) sind die unvollständigen
N
Quotienten von
, das heißt es gilt
M
N
= [a0 ; a1 , ..., an ].
M
(b) Seien
pi
N
(i = 0, 1, 2, ..., n) die Näherungsbrüche von
. Dann gilt
qi
M
bi = (≠1)i (N qi ≠ M pi ).
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Beweis von (a).
1
N
b0
= a0 +
= a0 +
M
M
M
b0
= a0 +
1
a1 +
b1
a1 +
b0
1
= a0 +
a1 +
1
= a0 +
b0
b1
1
= a0 +
1
a2 +
1
b2
b1
a1 +
1
a2 +
1
b1
b2
= ... = [a0 ; a1 , ..., an ].
Beweis von (b). Für i = 0, 1 ist die Behauptung offensichtlich:
i=0:
b0 = N ≠ M a0 = N q0 ≠ M p0 ;
i = 1:
b1 = M ≠ a1 b0 = M ≠ a1 (N ≠ M a0 ) = M ≠ N a1 + M a0 a1 = M (a0 a1 + 1) ≠ N a1
= ≠(N q1 ≠ M p1 ).
Durch Induktion erhält man dann:
bi = bi≠2 ≠ ai bi≠1 = (≠1)i [N qi≠2 ≠ M pi≠2 + ai (N qi≠1 ≠ M pi≠1 )]
= (≠1)i [N (ai qi≠1 + qi≠2 ) ≠ M (ai pi≠1 + pi≠2 )]
= (≠1)i (N qi ≠ M pi ).
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Die Aussage von Proposition 5.1 lässt sich auch verallgemeinern. Die ganzen Zahlen
N und M werden dabei durch die reellen Zahlen — und “ (beide > 0) ersetzt. Der
Beweis ist wie der vorhergehende.
—
= [a0 ; a1 , a2 , ...].
“
pi
—
(b) Ist
der i-te Näherungsbruch von , so gilt bi = (≠1)i (“qi ≠ —pi ).
qi
“
Proposition 5.2.
(a)
5.1 Die geometrische Darstellung des euklidischen Algorithmus
Verwendet werden ein Punkt O in der Ebene und eine Gerade ¸ durch diesen Punkt
und zusätzlich die beiden Punkte A≠2 und A≠1 mit den Abständen — und “ von
¸. Sowohl A≠2 als auch A≠1 sollen über der Horizontalen durch O liegen: A≠2 auf
≠≠≠æ
der rechten Seite von ¸ und A≠1 auf der linken. Legt man den Vektor OA≠1 so
oft hintereinander an den Punkt A≠2 , dass ¸ damit gerade noch nicht geschnitten
≠≠æ
wird und sei A0 der Endpunkt dieses letzten Vektors, so folgt, dass der Vektor A0 D
(D wie in Abbildung 5) die Gerade ¸ schneidet. Analog funktioniert der Prozess mit
≠≠æ
dem Vektor OA0 und dem Punkt A≠1 , sodass A1 das Ende des letzten Vektors ist.
Führt man diesen Kreislauf fort, so erhält man in Folge die Punkte A2 , A3 , A4 usw.
Als Ergebnis entstehen zwei Polygonzüge A≠2 A0 A2 A4 . . . bzw. A≠1 A1 A3 . . . , die von
≠≠≠≠æ
≠≠≠æ ≠≠≠≠æ
≠≠æ
beiden Seiten gegen ¸ konvergieren und es gilt A≠2 A0 = a0 OA≠1 , A≠1 A1 = a1 OA0 ,
≠≠≠æ
≠≠æ
A0 A2 = a2 OA1 , usw. In der Formelspalte rechts in Abbildung 5 ist ersichtlich wie
diese Konstruktion mit dem euklidischen Algorithmus zusammenhängt. Insbesondere
—
gilt = [a0 ; a1 , a2 , . . . ]. Liegt ein Punkt An auf der Geraden ¸, so ist das Verhältnis
“
—
rational und gleich [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ].
“
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Abbildung 5: Geometrische Darstellung des euklidischen Algorithmus
Es kann beobachtet werden, dass alle Punkte, die in Abbildung 5 markiert sind
≠≠≠æ
≠≠≠æ
(Ai , B, C, D), zu dem von den Vektoren OA≠2 und OA≠1 aufgespannten Gitter
gehören. Betrachtet wird nun die Folge von Parallelogrammen
OA≠1 BA≠2 ,
A≠1 OBC,
A≠1 OCA0 ,
A≠1 OA0 D,
DOA0 A1 ,
A1 OA0 A2 , ...
Da A≠1 , O, A≠2 zum Gitter gehörige Punkte sind, kann aus Proposition 2.1 geschlossen werden, dass B, C, A0 , D, A1 , A2 , ... ebenfalls Punkte des Gitters sind.
Darüber hinaus gilt Folgendes:
Proposition 5.3. Kein Punkt des Gitters
liegt zwischen den beiden Polygonzügen
A≠2 A0 A2 A4 ... und A1 A1 A3 ... (und über A≠2 und A≠1 ).
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Beweis. Das Gebiet zwischen diesen Polygonzügen wird durch die Parallelogramme
OA≠2 BA≠1 , OBCA≠1 , OCA0 A≠1 , OA0 DA≠1 , OA0 A1 D, OA0 A2 A1 , OA2 EA1 , usw.
überdeckt (der Punkt E liegt weit oberhalb des Abbildungsrandes). Diese Parallelogramme haben jeweils den gleichen Flächeninhalt, da zwei aufeinanderfolgende
Parallelogramme eine gemeinsame Basis und die gleiche Höhe haben. Das heißt, alle
Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt wie das Parallelogramm OA≠2 BA≠1 ,
und laut Teil (b) der Proposition 2.2 enthält keines dieser Parallelogramme einen
Punkt von
.
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6 Näherungsbrüche
Sei – eine relle Zahl. Das bereits verwendete Gitter
wird von den Vektoren (≠1, 0)
und (–, 1) aufgespannt. Der Punkt
3 3
p(≠1, 0) + q(–, 1) = (q– ≠ p, q) = q – ≠
4
p
,q
q
4
p
für –
q
war gleich dem Abstand dieses Punktes von der y-Achse. Der „neue“ Güteindikator
pq 2 --– ≠ -- entspricht dem Betrag des Produkts aus den Koordinaten dieses Punktes.
q
p
Anstatt der Frage, für wie viele Näherungen von – dieser Güteindikator kleiner
q
als Á ist, kann man auch die Frage, wie viele Punkte des Gitters über der x-Achse
gehört für alle p und q zum Gitter. Der „alte“ Güteindikator der Näherung
(q > 0) im Inneren des „hyperpolischen Kreuzes“ |xy| < Á liegen, stellen.
Abbildung 6: Gitterpunkte innerhalb des „hyperbolischen Kreuzes“
Proposition 6.1. Für n Ø 0 gilt An = (qn – ≠ pn , qn ) (An aus Kapitel 5). pn und qn
sind Zähler und Nenner des irreduziblen Bruchs, der gleich dem n-ten Näherungsbruch
der Zahl – ist.
Beweis. Induktion über n.
Für n = 0, 1 wird direkt überprüft:
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Wegen p0 = a0 , q0 = 1, p1 = a0 a1 + 1, q1 = a0 gilt
A0 = A≠2 + a0 A≠1 = (–, 1) + a0 (≠1, 0)
= (– ≠ a0 , 1) = (q0 – ≠ p0 , q0 ),
A1 = A≠1 + a1 A0 = (≠1, 0) + a1 (– ≠ a0 , 1)
= (a1 – ≠ (a0 a1 + 1), a1 ) = (q1 – ≠ p1 , q1 ).
Wenn n Ø 2 und die Formeln für An≠1 und An≠2 richtig sind, dann gilt außerdem
An = An≠2 + an An≠1 = (qn≠2 – ≠ pn≠2 , qn≠2 ) + an (qn≠1 – ≠ pn≠1 , qn≠1 )
= ((an qn≠1 + qn≠2 )– ≠ an pn≠1 ≠ pn≠2 , an qn≠1 + qn≠2 ) = (qn – ≠ pn , qn ).
Proposition 6.1 zeigt, dass die besten rationalen Näherungen reeller Zahlen durch
Näherungsbrüche erreicht werden. Insbesondere gilt Folgendes:
pn
die
qnp
pmit q 2 --– ≠ -- < Á
< Á, so ist die Menge der Brüche
q
q
Proposition 6.2. Sei Á > 0. Gilt nur für endlich viele Näherungsbrüche
pn -Ungleichung qn - ≠ qn
endlich.
2 -–
Beweis. Aus der Annahme folgt, dass für ein n alle Punkte An+1 , An+2 , An+3 ,
An+4 außerhalb des hyperbolischen Kreuzes |xy| < Á liegen. Das heißt, das gesamte hyperbolische Kreuz liegt zwischen den Polygonzügen An+1 An+3 An+5 . . . und
An+2 An+4 An+6 . . . (es wird hier die Konvexität einer Hyperbel verwendet: wenn die
Punkte Ak und Ak+2 in einem Teil des Gebiets |xy| < Á liegen, so gilt das auch für
das gesamte Segment Ak Ak+2 ). Allerdings gibt es aber laut Proposition 5.3 keine
Gitterpunkte zwischen den beiden Polygonzügen (und über An ). Daraus folgt, dass
das hyperbolische Kreuz |xy| < Á keine Gitterpunkte über An enthält, woraus sich
die Proposition ergibt.
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pn
der (irreduzible) n-te Näherungsbruch der reellen Zahl – =
qn
[a0 ; a1 , a2 , . . . ]. Dann gilt
pn 1
qn 2 --– ≠ -- =
qn
⁄n
Satz 6.1. Sei
mit
1
⁄n = an+1 +
an+2 +
1
an+3 +
1
+
1
..
1
an +
.
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1
an≠1 +
..
.+
1
a1
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7 Beweis des Satzes von Hurwitz und Borel
Beweis. Sei – = [a0 ; a1 , a2 , ...] eine irrationale Zahl. Zu zeigen ist nun, dass für
pn
unendlich viele Näherungsbrüche
qn
⁄n =
Ô
1
> 5
qn (qn – ≠ pn )
gilt und dass dies nicht immer zutrifft, wenn
Ô
5 durch eine größere Zahl ersetzt wird.
Fall 1: Es seien unendlich viele an größer oder gleich 3. Für diese n gilt dann
⁄n≠1 > an Ø 3 >
Ô
5.
Fall 2: Seien nur endlich viele an größer als 2, aber unendlich viele von ihnen
gleich 2. Dann gilt für unendlich viele n, dass an+1 = 2, an Æ 2, an+2 Æ 2 und
⁄n = an+1 +
1
an+2 +
+
1
..
.
1
an +
1
..
Ø2+
1 1
8 Ô
+ = > 5.
3 3
3
.
Fall 3: Für hinreichend große m ist am = 1. Dann gilt für n > m
⁄n = [1; 1, 1, 1, ...] +
1
.
[1; 1, 1, 1, ..., a1 ]
Ô
5+1
Hierbei ist der erste Summand der Goldene Schnitt
und der zweite
2
AÔ
B≠1
Ô
5+1
5≠1
Summand geht gegen
=
, wenn n gegen unendlich geht
2
2
Ô
5≠1
und ist für alle anderen n größer als
.
2
Ô
Ô
Ô
5+1
5≠1
Deshalb ist ⁄n >
+
= 5 für unendlich viele n. Da aber für
2
2
Ô
Ô
alle Á > 0 lim ⁄n = 5 ist, gilt die Ungleichung ⁄n > 5 + Á nur für endlich
næŒ
viele n.
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8 Was steckt hinter dem Trick?
Das Ziel, das bereits in Kapitel 1 angedeutet wurde, ist, für die beiden in
Kapitel 1 angegebenen neunstelligen Dezimalbrüche entscheiden zu können, welcher von beiden aus der Division von zwei dreistelligen Zahlen entstanden ist und
welcher eine willkürliche Ziffernfolge darstellt. Ist – eine neunstellige Näherung eines
p
Bruchs mit einem dreistelligen Nenner q, dann gilt
q
1
1
-– ≠ p - < 1 =
<
.
9
2
q
10
1000 · (1000 )
1000q 2
Nach Satz 6.1 zufolge ist einer der unvollständigen Quotienten an+1 von – größer als
1000 und der zugehörige Nenner qn kleiner als 1000. Es steht nun die Frage im Raum,
wie groß n sein kann. Wegen qn = an qn≠1 + qn≠2 wachsen die Zahlen qn mindestens
gleich schnell wie die Fibonacci-Zahlen Fn . Die Zahl n sollte höchstens 15 sein, da
F15 = 987. Nun kann der Anfangsteil eines Kettenbruchs für ein gegebenes – leicht
bestimmt werden:
[–] = a0 ;
(– ≠ a0 )≠1 = –1 ; [–1 ] = a1 ;
(–1 ≠ a1 )≠1 = –2 ; [–2 ] = a2 ;
(–2 ≠ a2 )≠1 = –3 ; [–3 ] = a3 ;
.........
Mithilfe dieses Algorithmus können relativ schnell ein paar unvollständige Quotienten
zweier Zahlen bestimmt werden:
0, 635149023 = [0; 1, 1, 1, 2, 1, 6, 13, 1204, 1, . . . ],
0, 728101457 = [0; 1, 2, 1, 2, 9, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 59, 7, 1, 39, . . . ].
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Nun ist ersichtlich, dass die obere Zahl im Gegensatz zur unteren eine sehr gute
rationale Näherung besitzt, nämlich [0; 1, 1, 1, 2, 1, 6, 13].
Im nächsten Schritt werden mit Hilfe der Relationen aus Proposition 4.2 die zugehörigen Näherungsbrüche bestimmt.
p0 = a0 = 0
q0 = 1
p1 = a0 a1 + 1 = 1
q1 = a1 = 1
p2 = 1 · p1 + p0 = 1
q2 = 1 · q1 + q0 = 2
p4 = 2 · p3 + p2 = 5
q4 = 2 · q3 + q2 = 8
p3 = 1 · p2 + p1 = 2
q3 = 1 · q2 + q1 = 3
p5 = 1 · p 4 + p3 = 7
q5 = 1 · q4 + q3 = 11
p6 = 6 · p5 + p4 = 47
q6 = 6 · q5 + q4 = 74
p7 = 13 · p6 + p5 = 618
q7 = 13 · q6 + q5 = 973
Endresultat: Die erste Zahl ist rational. Sie ist
29 / 29
618
.
973