0. Übungsblatt zu Physik II - Delta

0. Übungsblatt zu Physik II
SS 2015
Abgabe im Physik Foyer
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Ausgabe: Do, 02.04.15
Freiwillige Abgabe bis Fr, 10.04.15, 10 Uhr
0 Punkte
Aufgabe 1: Wasserstoff
ve
me
Fc
mp
Abbildung 1: Elektron m e auf einer stabilen Kreisbahn um ein Proton m p unter Einfluss der Coulombkraft F c .
Ein Elektron bewegt sich im Abstand r = 0,52 · 10−10 m auf einer Kreisbahn um ein Proton.
a) Berechnen Sie die auf das Elektron wirkende Coulombkraft und dessen potentielle Energie (in J und
eV).
b) Welche kinetische Energie muss das Elektron klassisch betrachtet besitzen, damit es auf der Kreisbahn
bleibt?
c) Berechnen Sie die Ionisierungsenergie, die benötigt wird, um das Elektron aus dem Wasserstoffatom
zu entfernen.
d) Vergleichen Sie die Coulombkraft mit der Gravitationskraft, die auf das Elektron ausgeübt wird.
Hinweis: Gravitationskonstante G = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−1 , Protonenmasse m p = 1,67 · 10−27 kg, Elektronenmasse m e = 9,109 · 10−31 kg.
Aufgabe 2: Coulombkraft
0 Punkte
In der x-y-Ebene befinden sich vier Punktladungen an den Positionen r 1 = (1, 1, 0)> cm und r 3 = (−1, −1, 0)> cm
mit den Ladungen Q 1 = Q 3 = 1 nC sowie an den Position r 2 = (−1, 1, 0)> cm und r 4 = (1, −1, 0)> cm mit den
Ladungen Q 2 = Q 4 = −1 nC
a) Welche Kraft üben die anderen drei Ladungen auf Q 4 aus (Betrag und Richtung)?
Q2
−1 nC
Q1
+1 nC
r2
r1
Q5
+1 nC
r3
Q3
+1 nC
r4
Q4
−1 nC
Abbildung 2: Räumliche Anordnung der Punktladungen Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 und Q 5 .
b) An den Koordinatenursprung wird nun eine Ladung Q 5 = 1 nC gebracht. Welche Kraft wirkt auf Q 5 ?
c) Zeigen Sie, dass sich Q 5 in einem instabilen Gleichgewicht befindet. Untersuchen Sie dazu, welche
Kraft wirkt, wenn Q 5 geringfügig vom Koordinatenursprung wegbewegt wird.
d) Stabilisiert sich die Gleichgewichtslage, wenn Q 5 in +z-Richtung bewegt wird?
Aufgabe 3: δ-Distribution
0 Punkte
Eine Funktionenfolge δn (x) nennt man Dirac-Folge genau dann, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt
sind
(
0 für x 6= 0
i.) lim δn (x) =
n→∞
∞ für x = 0
ii.) lim
+∞
R
n→∞−∞
δn (x) dx = 1
iii.) δn (x) = δn (−x)
Mit eine solche Folge ist die δ-Distribution δ(ϕ) definiert durch
Z+∞
ϕ(x)δn (x) dx = ϕ(0),
δ(ϕ) := lim
n→∞
−∞
wobei ϕ(x) eine passende Testfunktion ist (hier: ϕ ∈ C ∞ ).
q
2
Gegeben sei nun die Funktionenfolge δn (x) = nπ e −nx .
a) Zeigen Sie, dass δn (x) eine Dirac-Folge ist.
b) Plotten Sie die Folge für n ∈ {1, 5, 20, 50}.
c) Zeigen Sie, dass man aus jeder Funktion g (x), für die das Integral
n
N
g (nx) eine Darstellung der δ-Distribution für n → ∞ erhält.
+∞
R
−∞
g (x) dx = N existiert, durch h n (x) =