Prof. Dr. B. Hanke Priv.-Doz. Dr. P. Quast Differentialgeometrie WS 10/11 Probeklausur 1. Februar 2011 Name: Aufgabe Punkte 1 2 3 4 Gesamtpunktzahl: Gesamturteil: • Schreiben Sie unbedingt auf jedes Blatt Ihren Namen und lösen Sie jede Aufgabe nur auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Sollte Ihnen der Platz nicht reichen, fügen Sie an der entsprechenden Stelle ein zusätzliches Blatt mit Ihrem Namen ein. • Arbeitszeit: 180 Minuten. • Hilfsmittel sind nicht erlaubt. • Alle Antworten sind sorgfältig zu begründen. Name: (10) Aufgabe 1 Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Kreuzen Sie Ihre Antwort an. Jede richtige Antwort ergibt einen Pluspunkt, jede falsche einen Minuspunkt. Enthaltungen werden nicht gewertet. Für die Bewertung dieser Aufgabe nehmen wir das Maximum Ihrer Gesamtpunktzahl und 0. Eine genaue Begründung Ihrer Antwort wird in dieser Frage nicht verlangt. Aussage wahr Die Mannigfaltigkeit S 2 ist parallelisierbar. Jede Frenetkurve mit konstanter Krümmung verläuft in einer Ebene. Jede glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist lokal diffeomorph zu Rn . Die zweite Fundamentalform (hij (u)) einer eingebetteten Fläche ist an jedem Punkt u positiv definit. Jede glatte Abbildung S n → R kann zu einer glatten Abbildung Rn+1 → R fortgesetzt werden. Jede reguläre Kurve (a, b) → R3 definiert eine Immersion (a, b) → R3 . Die Kegelfäche S ⊂ R3 hat überall verschwindende mittlere Krümmung. Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und p ∈ M , so ist Derp (M ) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. X 2011 − 30X 17 + X + 3 ∈ C[X] hat keine Nullstelle. Die Menge der Vektorfelder Γ(T S 3 ) ist ein endlichdimensionaler, reeller Vektorraum. 2 falsch Name: (2+2+2+2+2) Aufgabe 2 Wir betrachten die Zykloide c : [0, 2π] → R2 , t 7→ t − sin(t) 1 − cos(t)) . (a) Skizzieren Sie die Kurve c. (b) Berechnen Sie für s ∈ [0, 2π] die Länge L(c|[0,s] ). Hinweis: cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x). (c) Berechnen Sie eine orientierungserhaltende Parametertransformation φ : [0, 8] → [0, 2π], so dass die Kurve d := c ◦ φ : [0, 8] → R2 nach Bogenlänge parametrisiert ist. (d) Berechnen Sie die orientierte Krümmung κc (t) für t ∈ [0, 2π]. (e) Definieren Sie für eine geschlossene reguläre Raumkurve c : [a, b] → R3 die Totalkrümmung κ(c) ∈ R und formulieren Sie den Satz von Fenchel. 3 Name: (3+2+2+3) Aufgabe 3 Wir betrachten die glatte Funktion f : Rn+1 → R, (x1 , . . . , xn+1 ) 7→ x21 + . . . + x2n − x2n+1 und für c ∈ R die Teilmenge Mc := {x ∈ Rn+1 | f (x) = c} ⊂ Rn+1 . (a) Man zeige, dass für c 6= 0 die Teilmenge Mc ⊂ Rn+1 eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Welche Dimension hat Mc ? (b) Skizzieren Sie für den Fall n = 1 die Teilmenge M1 ⊂ R2 . (c) Begründen Sie, warum M0 für n ∈ N keine Untermannigfaltigkeit im Rn+1 ist. Betrachten Sie dazu zunächst den Fall n = 1. Hinweis: In dieser Teilaufgabe ist kein detaillierter Beweis erforderlich; es genügt eine anschauliche Begründung. (d) Wir betrachten die glatten Vektorfelder X(x1 , x2 , x3 ) Y (x1 , x2 , x3 ) ∂ ∂ + x2 ∂x2 ∂x3 ∂ ∂ := x3 + x1 ∂x1 ∂x3 := x3 auf R3 . Zeigen Sie, dass sich X und Y zu glatten Vektorfeldern auf M1 ⊂ R3 einschränken. Berechnen Sie den Kommutator [X, Y ] und überzeugen Sie sich, dass sich auch [X, Y ] zu einem glatten Vektorfeld auf M1 einschränkt. 4 Name: (3+3+2+2) Aufgabe 4 Es seien a, b > 0 positive reelle Zahlen. Wir betrachten das Rotationsellipsoid S ⊂ R3 , das durch die Parametrisierung a sin(θ) cos(φ) F : (0, π) × (0, 2π) → R3 , (θ, φ) 7→ a sin(θ) sin(φ) b cos(θ) gegeben ist. (a) Berechnen Sie die erste Fundamentalform (gij (θ, φ)) und ein Einheitsnormalenfeld von S. (b) Berechnen Sie die zweite Fundamentalform (hij (θ, φ)) von S. (c) Berechnen Sie die darstellende Matrix der Weingartenabbildung (wij (θ, φ)) und die Hauptkrümmungen von S in Abhängigkeit von (θ, φ). (d) Berechnen Sie die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von S in Abhängigkeit von (θ, φ). 5