Musterlösung der Präsenzaufgaben zu ” Mathematik I für ET/IT und

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu
Mathematik I für ET/IT und ITS“
”
WS 2011/2012
Blatt 1
1. Ungleichungen lösen:
(a) Für welche natürlichen Zahlen n 6= 4 gilt
5n
n−4
< n?
Lösung. Wenn man die Ungleichung mit n − 4 multiplizieren will, muss man zwei
Fälle unterscheiden:
n > 4: In diesem Fall gilt n − 4 > 0 und die Ungleichung wird zu
5n < n(n − 4)
5n < n2 − 4n
9n < n2 .
Da n > 4 > 0, kann man die Ungleichung durch n dividieren und erhält 9 < n.
n < 4: In diesem Fall gilt n − 4 < 0 und die Ungleichung wird zu
5n > n(n − 4)
5n > n2 − 4n
9n > n2 .
Da für n = 0 die Ungleichung falsch ist, kann man n > 0 annehmen, die
Ungleichung durch n dividieren und erhält 9 > n > 0.
Zusammengefasst ergibt sich als gesuchte Lösungsmenge
({n > 4} ∩ {n > 9}) ∪ ({n < 4} ∩ {0 < n < 9})
= {1, 2, 3} ∪ {n ∈ N : n > 9}.
(b) Für welche reellen Zahlen x gilt |x − 2| < |1 − 2x|?
Lösung. Um die Betragszeichen aufzulösen, muss man eine Fallunterscheidung
durchführen. Bei x = 2 wechselt x − 2 das Vorzeichen, und bei x = 21 wechselt
1 − 2x das Vorzeichen. Damit haben wir die Fälle:
• Falls x < 12 , so gilt x − 2 < 0, also |x − 2| = 2 − x, und 1 − 2x > 0, also
|1 − 2x| = 1 − 2x. Die Ungleichung wird zu
2 − x < 1 − 2x
x < −1.
1
• Falls 12 ≤ x < 2, so gilt x − 2 < 0, also |x − 2| = 2 − x, und 1 − 2x < 0, also
|1 − 2x| = 2x − 1. Die Ungleichung wird zu
2 − x < 2x − 1
3 < 3x
1 < x.
• Falls 2 ≤ x, so gilt x − 2 > 0, also |x − 2| = x − 2, und 1 − 2x < 0, also
|1 − 2x| = 2x − 1. Man erhält
x − 2 < 2x − 1
−1 < x.
Zusammengefasst ergibt sich als gesuchte Lösungsmenge
1
1
∪ 1 < x, ≤ x < 2 ∪ {2 ≤ x, −1 < x}
x < −1, x <
2
2
= {x < −1} ∪ {x > 1}.
2. Approximation irrationaler
Zahlen:
√
ist. Finden Sie mit Hilfe des HalbierungsverfahZeigen Sie, dass 3 4 keine rationale Zahl
√
3
1
rens ein Intervall der Länge 8 , das 4 enthält. (Beginnen Sie zum Beispiel mit x0 = 1
und x1 = 2, da 13 = 1 < 4 und 23 = 8 > 4.)
√
3
Lösung.
Wenn
4 ein rationale Zahl ist, dann existieren teilerfremde Zahlen p, q ∈ N,
√
√
3
3
4 > 0, so dass 4 = pq .
√
3
4=
p
p3
⇒ 4 = 22 = 3 ⇒ 22 q 3 = p3 ⇒ 2|p3 ⇒ 2|p ⇒ 23 |22 q 3 ⇒ 2|q 3 ⇒ 2|q
q
q
Dies ist ein Widerspruch,
da p und q teilerfremd sind, d.h. es kann nicht 2|p und 2|q
√
3
gelten. Also gilt 4 6∈ Q. (Die Folgerungen 2|p3 ⇒ 2|p und 2|q 3 ⇒ 2|q sind möglich, da
2 eine Primzahl ist.)
√
Es gilt x30 = 13 = 1 < 4 und x31 = 23 = 8 > 4. Also gilt 1 < 3 4 < 2. Mit Hilfe der
Rekursionsformel
(
xn + 21n falls x3n < 4
xn+1 :=
xn − 21n falls x3n > 4
erhalten wir
3
1
=
2
2
3
1
7
3
27
3
x3 = x2 + = , weil x2 =
<4
=
4
4
2
8
13
73
1
x4 = x3 − = , weil x33 = 3 > 4
8
8
4
1
25
133
x5 = x4 −
= , weil x34 = 3 > 4
16
16
8
x2 = x1 −
2
√
√
√
√
Es gilt x0 < 3 4 < x1 , x2 < 3 4 < x1 , x2 < 3 4 < x3 und x2 < 3 4 < x4 . Da x4 −x2 = 18 ,
√
ist [x2 , x4 ] ein Intervall der gewünschten Länge, das 3 4 enthält.
3. Rechnen mit komplexen Zahlen:
Wir betrachten die komplexen Zahlen z := 2 − 4i und w := −1 − 3i.
(a) Bestimmen Sie die Beträge |z| und |w|.
p
p
√
√
Lösung. |z| = 22 + (−4)2 = 20, |w| = (−1)2 + (−3)2 = 10
(b) Berechnen und skizzieren Sie z − w, zw,
w
z
und w̄.
Lösung.
z − w = (2 − 4i) − (−1 − 3i) = 2 + 1 + i(−4 + 3) = 3 − i
zw = (2 − 4i)(−1 − 3i) = −2 − 6i + 4i + 12i2 = −14 − 2i
w̄ = −1 + 3i
wz̄
(−1 − 3i)(2 + 4i)
10 − 10i
1
i
w
= 2 =
=
= −
z
|z|
20
20
2 2
w
−w
3
2
1
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
w/z
−1
z−w
−2
zw
−3
w
−4
z
Abbildung 1: Graphische Darstellung von z, w, z − w, zw,
P
und
(a) Schreiben Sie
P6
4. Benutzung von
Lösung. Es gilt
6
X
k=3
Q
w
z
und w̄
:
k=3 (−2)
2+k
und
Q4
k=0 (−1
+ 3k) ohne Laufindex.
(−2)2+k = (−2)2+3 + (−2)2+4 + (−2)2+5 + (−2)2+6 = −25 + 26 − 27 + 28
3
und
4
Y
k=0
(−1 + 3k) = (−1 + 0)(−1 + 3)(−1 + 6)(−1 + 9)(−1 + 12) = (−1) · 2 · 5 · 8 · 11.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe einer Indexverschiebung für alle n ∈ N
n
X
k=0
(2n − 2k + 3) =
n
X
(2k + 3).
k=0
Lösung. Für alle n ∈ N gilt mit ℓ = n − k
n
X
k=0
(2n − 2k + 3) =
n
X
k=0
(2(n − k) + 3) =
n
X
(2ℓ + 3),
ℓ=0
denn wenn k die Werte 0, 1, 2, . . . , n annimmt, dann nimmt ℓ = n − k die Werte
n, n − 1, n − 2, . . . , 0 an, durchläuft also dieselbe Indexmenge (wenn auch in umgekehrter Reihenfolge). Jetzt nennt man den Laufindex wieder k statt ℓ und erhält
die Behauptung.
P
(c) Berechnen Sie 4k=0 (−2)k + 3 .
Lösung. Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe erhält man
!
!
4
4
4
X
X
X
1 + 32
1 − (−2)5
+3·5 =
+ 15 = 26.
((−2)k + 3) =
(−2)k +
3 =
1 − (−2)
3
k=0
k=0
(d) Zeigen Sie die Summenformel
k=0
Pn
k=1 (2k)
= (n + 1)n für alle n ∈ N.
Lösung. Mit Hilfe der Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen erhält
man
n
n
X
X
n(n + 1)
= n(n + 1).
(2k) = 2
k =2·
2
k=1
k=1
4
Musterlösung der Hausaufgaben zu
Mathematik I für ET/IT und ITS“
”
WS 2011/2012
Blatt 1
1. (a) Für welche ganzen Zahlen n gilt |n − 3| + |n + 4| < 12?
Lösung. Um die Betragszeichen aufzulösen, muss man eine Fallunterscheidung vornehmen.
• Falls n ≥ 3, so gilt n − 3 ≥ 0 und n + 4 > 0. Man kann die Betragszeichen
weglassen und erhält
n − 3 + n + 4 < 12
2n < 11
11
n< .
2
• Falls −4 ≤ n < 3, so gilt n + 4 ≥ 0 und n − 3 < 0, also |n − 3| = 3 − n. Man
erhält die Ungleichung
3 − n + n + 4 < 12
7 < 12.
Da 7 < 12 wahr ist, ist die Ungleichung |n − 3| + |n + 4| < 12 für −4 ≤ n < 3
erfüllt.
• Falls n < −4, so gilt n + 4 < 0 und n − 3 < 0, also |n + 4| = −n − 4 und
|n − 3| = −n + 3. Man erhält die Ungleichung
−n − 4 − n + 3 < 12
−2n < 13
13
n>− .
2
Zusammengefasst ergibt sich als gesuchte Lösungsmenge
13
11
∪ {−4 ≤ n < 3} ∪ −4 > n, n > −
n ≥ 3, n <
2
2
= {3, 4, 5} ∪ {−4 ≤ n < 3} ∪ {−5, −6}
={−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
(b) Für welche reellen Zahlen x gilt x2 − 6x − 16 > 0?
Lösung. Es gilt
x2 − 6x − 16 = x2 − 6x + 9 − 25 = (x − 3)2 − 25
und auch
x2 − 6x − 16 = (x − 8)(x + 2).
Von der gefundenen Umformung des Ausdrucks x2 − 2x − 15 hängt der Lösungsweg
ab.
1
i.
x2 − 6x − 16 > 0
(x − 3)2 − 25 > 0
(x − 3)2 > 25 = 52
|x − 3| > 5
Die gesuchte Lösungsmenge ist
{x − 3 > 5} ∪ {x − 3 < −5} = {x > 8} ∪ {x < −2}.
ii.
x2 − 6x − 16 > 0
(x − 8)(x + 2) > 0
Das Produkt der beiden reellen Zahlen x − 8 und x + 2 ist genau dann größer
als 0, wenn beide Faktoren größer als 0 sind oder wenn beide Faktoren kleiner
als 0 sind. Die gesuchte Lösungsmenge ist
{x − 8 > 0, x + 2 > 0} ∪ {x − 8 < 0, x + 2 < 0} = {x > 8} ∪ {x < −2}.
2. Finden Sie mit Hilfe des Halbierungsverfahrens ein Intervall der Länge
√
tionale Zahl 5 enthält.
1
16 ,
das die irra-
2
2
Lösung.
√ Wir wählen x0 = 2, denn 2 = 4 < 5, und x1 = 3, denn 3 = 9 > 5. Also gilt
2 < 5 < 3. Mit Hilfe der Rekursionsformel
(
xn + 21n falls x2n < 5
xn+1 :=
xn − 21n falls x2n > 5
erhalten wir
1
5
=
2
2
2
9
1
5
25
2
>5
x3 = x2 − = , weil x2 =
=
4
4
2
4
92
17
81
1
>5
x4 = x3 − = , weil x23 = 2 =
8
8
4
16
35
172
289
1
= , weil x24 = 2 =
<5
x5 = x4 +
16
16
8
64
1
71
352
1225
x6 = x5 +
= , weil x25 = 2 =
<5
32
32
16
256
√
√
√
√
√
Es gilt x0 < 5 < x1 , x0 < 5 < x2 , x0 < 5 < x3 , x4 < 5 < x3√
, x5 < 5 < x3 . Da
1
, ist [x5 , x3 ] ein Intervall der gewünschten Länge, das 5 enthält.
x3 − x5 = 16
x2 = x1 −
2
3. Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung z 2 = 6 − 8i.
Lösung. Mit Hilfe der Zerlegung einer komplexen Zahl in Real- und Imaginärteil, also
z = x + iy mit x, y ∈ R erhalten wir
z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i(2xy) = 6 − 8i,
also zwei Gleichungen (ein Gleichungssystem) für die beiden reellen Variablen x, y:
6 = x2 − y 2
(1)
−8 = 2xy
(2)
Aus der zweiten Gleichung folgt x, y 6= 0, und man kann nach y umstellen, y = − x4 .
Benutzt man dies in der ersten Gleichung, so erhält man
4
6=x − −
x
16
6 = x2 − 2
x
6x2 = (x2 )2 − 16
2
(x2 )2 − 6x2 − 16 = 0
x2 = 3 ±
√
2
9 + 16 = 3 ±
√
25
also x2 = 8 oder x2 = −2.√Die zweite Möglichkeit scheidet aus, da x2 ≥ 0 für alle x ∈ R.
kann man √
y als y = −4/x
Aus x2 = 8 folgt x = ±2 2. Für jeden der beiden x-Werte
√
berechnen und erhält die beiden komplexen Lösungen 2(2 − i) und − 2(2 − i).
4. Berechnen Sie
P4
k=1 (2
k
− 1) und
Lösung. Es gilt
4
X
k=1
(2k − 1) =
4
X
k=1
2k −
Pn
4
X
k=1
k=1 (2n
1=
− 1) für alle n ∈ N.
4
X
k=0
2k − 20 − 4 · 1 =
1 − 25
− 5 = 26.
1−2
Da die Summanden (2n − 1) nicht vom Laufindex k abhängen und die Summe aus n
Summanden besteht, gilt
n
X
(2n − 1) = n(2n − 1).
k=1
3