V11 Elastizität und Federschwingungen

V11 Elastizität und Federschwingungen
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Elastische Eigenschaften beobachtet man bei der Dehnung von Sehnen und Muskelfasern sowie von arteriellen Gefäßwänden. Häufig liegt dem elastischen Verhalten zumindest näherungsweise ein lineares Kraftgesetz zugrunde. Bei schwingungsfähigen Systemen führt dieses Gesetz zum Auftreten harmonischer, d.h. rein
sinusförmiger Schwingungen. Diese Schwingungsform ist für alle periodischen
Schwingungsvorgänge (Schallschwingungen, elektromagnetische Schwingungen)
von grundlegender Bedeutung.
1. Theoretische Grundlagen
1.1. Elastisches Verhalten
Ein fester Körper, der sich unter dem Einfluß äußerer Kräfte verformt, heißt elastisch, wenn
er seine ursprüngliche Gestalt nach Wegnahme der äußeren Kräfte wieder annimmt. In einem
elastischen Körper treten als Folge der äußeren Kräfte innere Gegenkräfte auf, sog. Rückstellkräfte, die mit der Stärke der äußeren Kräfte anwachsen und ihnen entgegengerichtet sind.
Diese Rückstellkräfte sorgen für die Wiederherstellung der ursprünglichen Form des Körpers
nach Wegfall der äußeren Kräfte.
Auf die von außen angreifende Kraft F reagiert die Feder mit einer gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Rückstellkraft FR :
FR = − D · x .
(1.2)
Zum Minuszeichen in Gl.(1.2): Kräfte sind Vektoren, was man im allgemeinen durch einen
Pfeil über F bzw. FR andeutet. Da wir aber nur Kräfte längs der Achse der Feder, also längs
der x-Achse, betrachten wollen, können wir auf die Pfeile verzichten, müssen aber bei einander entgegengesetzt gerichteten Kräften mit Vorzeichen arbeiten. Das Minuszeichen in
Gl.(1.2) besagt also, daß die Rückstellkraft FR stets der Längenänderung x, der Federdehnung
oder -Stauchung, entgegenwirkt.
Von einem System, für das die Gl.(1.2) gilt, sagt man: Das System gehorcht einem linearen
Kraftgesetz. Die Gültigkeit des linearen Kraftgesetzes ist begrenzt. Bei zu großen äußeren
Kräften nimmt die Länge mehr als proportional zur Kraft zu. Außerdem treten Dehnungen
auf, die über die Elastizitätsgrenze des Systems, in unserem Fall über die der Feder, hinausgehen. Es kommt zu unelastischen Verformungen; d.h. nach Wegfall der äußeren Kräfte geht
die Feder nicht auf ihre ursprüngliche Länge l0 zurück. Bei noch größeren äußeren Beanspruchungen kann die Feder sogar reißen. Man gibt daher bei einer Schraubenfeder nicht nur die
Federkonstante D an, sondern auch die maximale äußere Kraft, bei der die Feder sich noch elastisch verhält.
1.3. Das Dehnungsverhalten gummielastischer Stoffe
1.2. Die Schraubenfeder und das lineare Kraftgesetz
Wir untersuchen im folgenden ein besonders einfaches Modell eines elastischen Körpers,
nämlich eine gerade Schraubenfeder (Spiralfeder). Die Schraubenfeder besitze die Länge l0
und sei an ihrem oberen Ende fest aufgehängt, so daß ihre Achse senkrecht verläuft. Die Achse der Feder betrachten wir im folgenden als x-Achse, die positive Halbachse möge nach oben
zeigen. Mit l seien Längen, also nur positive Größen bezeichnet, dagegen ist x eine Koordinate und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.
Wird ein Muskel durch äußere Krafteinwirkung passiv gedehnt, so zeigt er in seinen elastischen Eigenschaften gewisse Ähnlichkeit mit dem Dehnungsverhalten eines Gummibandes.
Wir dehnen jetzt die Feder nach unten, also in Richtung der negativen x-Achse, bis die Länge
der Feder l1 beträgt, womit sich die Dehnung ergibt:
x = l0 - l1 .
Um diese Dehnung zu erzeugen, muß man am unteren Ende eine senkrecht nach unten gerichtete Kraft F auf die Feder ausüben. Führt man solche Dehnungsexperimente für verschieden
große Kräfte F durch, so stellt sich heraus, daß die Dehnung x der angreifenden Kraft proportional ist:
F = D·x.
(1.1)
Gl.(1.1) nennt man das HOOKEsche Gesetz. Die Proportionalitätskonstante D, deren Einheit
1 Newton/Meter ist, heißt allgemein Richtgröße, also gilt:
F
D =
x
(1.1a)
Im Fall einer Schraubenfeder nennt man D auch Federkonstante. Die Federkonstante beschreibt das elastische Verhalten der Feder:
Je größer D ist, desto 'steifer' (härter) ist die Feder.
V 11.1
Abb.1.1. Elastisches Verhalten eines Gummibandes
In Abb.1.1. ist dazu ein typisches Dehnungs-Zugkraft-Diagramm für vulkanisierten Gummi
dargestellt. Bereits bei sehr kleinen Kräften wird der durch die gestrichelte Linie markierte
Verlauf des linearen Kraftgesetzes verlassen. Die Kurve steigt zunächst steiler an, d.h. mit
zunehmender Kraft wird die Längenänderung größer. Im oberen Kraftbereich wird der Anstieg der Kurve dann wieder geringer: Ein bereits gedehntes Gummiband wird also bei weiterer Zugbelastung immer weniger elastisch. In vergleichbarer Weise verhält sich ein angespannter Muskel weitaus weniger elastisch als im Ruhezustand.
V 11.2
1.4. System Masse-Schraubenfeder als schwingungsfähiges Gebilde
Wir befestigen eine Schraubenfeder an ihrem oberen Ende an einer Stativstange, so daß sie
senkrecht nach unten hängt. An das untere Ende der Feder hängen wir einen Körper der Masse m, Abb.1.2. Teil (1). Auf die Feder wirkt dadurch senkrecht nach unten die Gewichtskraft
G = − m · g der Masse m. Sie verursacht eine Dehnung der Feder mit der Federkonstanten D
um die Länge x, die gegeben ist durch:
G =m·g = D·x.
(1.3)
Die Länge der Feder vergrößert sich also von l um x auf l0 , wobei sich x aus Gl.(1.3) ergibt:
m⋅g
.
(1.3a)
x=−
D
m⋅g
(1.4)
Damit wird:
l0 = l − x = l +
D
Wenn wir jetzt den Körper loslassen, also die äußere Kraft wegnehmen, die für die Auslenkung des Systems aus seiner Gleichgewichtslage um die Strecke x0 verantwortlich war, geschieht folgendes:
Infolge der Rückstellkraft der Feder wird die Masse m beschleunigt nach oben, in Richtung
auf die Gleichgewichtslage x = 0 hin, bewegt. Wegen der Trägheit der Masse m bewegt sie
sich über die Gleichgewichtslage hinweg weiter nach oben, und zwar um die gleiche Strecke
x0 , um welche die Feder anfänglich nach unten ausgelenkt war. Während dieser Bewegung
ändert sich die Rückstellkraft der Feder folgendermaßen: Bis zum Erreichen der Gleichgewichtslage x = 0 nimmt die nach oben gerichtete Rückstellkraft stetig ab und wird beim Erreichen von x = 0 ebenfalls gleich Null.
Bei der anschließenden trägheitsbedingten Weiterbewegung der Masse nach oben verkürzt
sich die Länge der Feder gegenüber der Länge l0 im Gleichgewichtsfall, die Feder wird gestaucht. Auf diese Stauchung antwortet das System mit einer Rückstellkraft, die jetzt nach unten gerichtet ist, also der Aufwärtsbewegung der Masse m entgegenwirkt. Diese nach unten
gerichtete Rückstellkraft nimmt proportional zur Größe der Stauchung zu (lineares Kraftgesetz!), bis sie bei einer Stauchung um x0 der anfänglich bei der Dehnung um x0 entstandenen
Rückstellkraft entgegengesetzt gleich ist (Abb.1.2. Teil (3)).
Die Bewegung der Masse m zwischen den Auslenkungen der Feder von x = −x0 bis x = +x0
(Stellungen (2) und (3) in Abb.1.2.) vollzieht sich so: Vom Augeblick des Loslassens bei
x = −x0 nimmt die Geschwindigkeit der Masse nach oben vom Anfangswert Null an ständig
zu. Ihren höchsten Wert erreicht sie beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage x = 0
(Stellung (1) in Abb.1.2.). Von da ab verringert sich die Geschwindigkeit stetig, bis sie bei
x = +x0 wieder den Wert Null erreicht. Damit ist der Bewegungsablauf aber nicht abgeschlossen. Wegen der nach unten gerichteten Rückstellkraft kehrt sich die Bewegung um, die Masse
m bewegt sich mit zunehmender Geschwindigkeit nach unten in die Richtung der Gleichgewichtslage x = 0, über diese hinaus mit abnehmender Geschwindigkeit bis zur Auslenkung
x = −x0 und kehrt dort wieder um. Die Masse m führt unter dem Einfluß der sich nach Größe
und Richtung ändernden Rückstellkraft der Feder Schwingungen aus.
Dieses Feder-Masse-Modell ist ein einfacher Oszillator. Die Schwingungen unseres speziellen Systems werden als Federschwingungen bezeichnet. Wir haben den Schwingungsvorgang
dadurch ausgelöst, daß wir das System aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann
freigegeben haben.
Abb.1.2. Gleichgewichtslage (1) der Masse m; Auslenkung aus dieser Lage mit der
Federlänge l0 nach unten (2) bzw. nach oben (3)
.
Wir betrachten von jetzt an diesen Zustand l0 , bei dem die Rückstellkraft der Feder entgegengesetzt gleich der Gewichtskraft G = m · g der Masse m ist, als neue Gleichgewichtslage unseres Systems aus Masse und Schraubenfeder. Dementsprechend wählen wir das untere Ende
der Schraubenfeder in dieser Gleichgewichtslage als neuen Nullpunkt der x-Achse (Abb.1.2.).
Wir betrachten nun die Teile (2) und (3) der Abb.1.2.: Wir lenken das System Masse - Feder
aus seiner Gleichgewichtslage x = 0 (Teil (1)) um eine Strecke vom Betrage x0 nach unten
aus (Teil (2)), indem wir von Hand eine entsprechende Kraft F = D · x0 nach unten auf die
Masse m ausüben. Dadurch entsteht in der Feder eine entgegengesetzt, also nach oben gerichtete, gleich große Rückstellkraft FR = − D · x0 .
V 11.3
Wir haben jetzt noch zu untersuchen, wie die Auslenkung der Masse aus der Gleichgewichtslage von der Zeit abhängt, und wie sich die Schwingungsdauer T unserer Federschwingung
aus der Federkonstante D der Schraubenfeder und der Masse m des angehängten Körpers ergibt. Unter der Schwingungsdauer T versteht man die Zeit, in der sich die Masse m von ihrer
tiefsten Auslenkung x = −x0 über den Umkehrpunkt bei x = +x0 wieder bis zu ihrem Ausgangspunkt bei x = −x0 bewegt hat, also in Abb.1.2. von der Stellung (2) über (3) zurück zu
(2), also allgemein die Zeit einer geschlossenen Schwingungsperiode.
1.5. Das lineare Kraftgesetz und die harmonische Schwingung
Wir fragen nach der sogenannten Schwingungsgleichung für unsere Federschwingungen, d.h.
wir suchen eine Funktion x(t), die uns für jeden Zeitpunkt t die Auslenkung x des Systems
Masse-Feder aus der Gleichgewichtslage x = 0 liefert. Diese Funktion x(t) muß zwei Eigenschaften besitzen:
V 11.4
1.) x(t) kann nur Werte zwischen +x0 und −x0 annehmen. Die Strecke x0 war ja die maximale
Auslenkung, die wir unserem System bei der Anregung der Schwingungen mitgegeben hatten.
2.) x(t) muß eine mit der Schwingungsdauer T periodische Funktion sein. Das bedeutet, daß
nach jedem Zeitraum T die Auslenkung x wieder den gleichen Wert haben muß. Es muß also
für n = 1, 2, 3... gelten:
x(t + T) = x(t + 2 ·T) = ... = x(t + n ·T) = x(t) .
(1.5)
Gl.(1.5) ist eine Bedingung, die für jede periodische Bewegung, sei es eine Schwingung oder
eine gleichförmige Drehbewegung, gültig sein muß. Wir nehmen das Ergebnis der folgenden
Betrachtungen vorweg und behaupten: Die gesuchte Funktion x(t) ist eine Sinusfunktion, bzw.
die Abhängigkeit der Auslenkung x von der Zeit t ist sinusförmig.
Die Sinusfunktion f(α) = sin(α) ist eine periodische Funktion mit der Periode 2π. Wir geben,
wie das in der Physik im Gegensatz zur Trigonometrie üblich ist, das Argument α nicht im
o
Gradmaß, sondern im Bogenmaß an. 2π entspricht also 360 im Gradmaß. Es gilt demnach für
n = 1, 2, 3, ... :
sin(α + 2π) = sin(α + n ·2π) = sin(α) .
(1.6)
Wenn wir nun eine sinusförmige Schwingung x(t) mit der Schwingungsdauer T beschreiben
wollen, ist zweierlei notwendig: Zum einen muß im Argument der Sinusfunktion die Zeit t
auftreten. Zum andern muß x(t) nicht periodisch mit 2π, sondern periodisch mit der Schwingungsdauer T sein. Außerdem ist zu beachten, daß das Argument der Sinusfunktion eine dimensionslose, d.h. eine nicht mit physikalischen Einheiten behaftete Zahl sein muß. (Letzteres
gilt nicht nur für die Sinusfunktion, sondern für alle Winkelfunktionen ebenso wie z.B. für die
Exponential- oder die Logarithmusfunktion.) Diese Bedingungen können wir folgendermaßen erfüllen: Zunächst drücken wir die Zeit t in Bruchteilen der Schwingungsdauer aus, indem wir t/T schreiben.
Wenn wir für t und T die gleiche Zeiteinheit, also etwa Sekunden, verwenden, ist t/T eine reine Zahl, die Zeiteinheiten haben sich herausgekürzt. Die Periodizität mit T erhalten wir ganz
zwanglos dadurch, daß wir t/T mit 2π multiplizieren und dieses Produkt als Argument in die
Sinusfunktion einsetzen:
t

sin  2π ⋅  .
(1.7)
T

Nach Ablauf der Schwingungsdauer, also für t = T, wird t/T = 1, und Ausdruck (1.7) nimmt
den Wert sin(2π) an. Nach n Schwingungsdauern T, n = 2, 3, .., wird t/T = n und Ausdruck
(1.7) zu sin(n·2π). Dann folgt aus Gl.(1.6) für ein beliebiges Argument α der Sinusfunktion:
t 
t 


sin  α + 2π ⋅  = sin  α + n ⋅ 2π ⋅  .
T
T


(1.8)
Damit haben wir unser Ziel erreicht: Im Argument der Sinusfunktion tritt die Zeit t explizit
auf, das Argument ist - infolge der Division durch T - eine reine Zahl und die Sinusfunktion
ist - infolge der Multiplikation mit 2π - periodisch mit der Schwingungsdauer T. Als letztes
multiplizieren wir Gl.(1.8) noch mit x0 . Dann nimmt die periodische Funktion:
t 

(1.9)
x ( t ) = x 0 ⋅ sin  α + 2π ⋅ 
T

Werte zwischen +x0 und −x0 an, da der Wertebereich der Sinusfunktion zwischen +1 und −1
liegt.
V 11.5
Gl.(1.9) ist die Gleichung einer sinusförmigen Schwingung der Schwingungsdauer T. Wir
führen noch einige in der Schwingungslehre übliche Bezeichnungen ein: Die momentane
Auslenkung x(t) zum Zeitpunkt t heißt Elongation. Den Betrag x0 der maximalen Auslenkung
nennt man die Amplitude der Schwingung. Das Argument der Sinusfunktion, also den Ausdruck (α + 2π · t/T), bezeichnet man als die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt t. Demnach ist α die Phase der Schwingung für t = 0. Durch geeignete Wahl des Beginns der Zeitmessung kann man erreichen, daß α = 0 wird. Man beginnt dazu mit der Zeitmessung in dem
Augenblick, in dem das schwingende System den Gleichgewichtszustand x = 0 erreicht hat.
Den Kehrwert der Schwingungsdauer T nennt man die Frequenz ν der Schwingung (kleines
griechisches Ny). Die Frequenz gibt die Anzahl der Schwingungen in der Zeiteinheit an, ihre
Einheit ist 1 Hertz, abgekürzt 1 Hz:
1
.
Sekunde
1 Hz =
Das 2π-fache von ν bezeichnet man als Kreisfrequenz ω (kleines griechisches Omega):
ω = 2⋅π⋅ν =
2⋅π
.
T
(1.10)
Mit Gl.(1.10) schreibt sich Gl.(1.9) demnach:
x(t) = x0 · sin(ω·t + α) .
(1.11)
Eine sinusförmige Schwingung in Form von Gl.(1.9) bzw. Gl.(1.11) wird auch als harmonische Schwingung bezeichnet.
Zum Schluß müssen wir noch die eingangs aufgestellte Behauptung beweisen, daß es sich bei
den Federschwingungen tatsächlich um harmonische Schwingungen von der Form Gl.(1.9)
bzw. Gl.(1.11) handelt. Bei diesem Beweis wird sich über den Spezialfall der Federschwingungen hinaus folgendes allgemeine Gesetz ergeben:
Jede mechanische Anordnung, für die ein rücktreibendes lineares Kraftgesetz
FR = −D · x gilt, führt bei entsprechender Anregung harmonische Schwingungen der Form x(t) = x0 · sin(ω·t +α) aus.
'Entsprechende Anregung' bedeutet, daß wir das System so aus seiner Gleichgewichtslage
auslenken, daß die Schwingungen nur längs einer Geraden, in unserem Fall längs der
x-Achse, erfolgen, wie es in Abb.1.2. dargestellt ist.
Wir gehen vom linearen Kraftgesetz FR = −D · x aus. Die Kraft bewirkt am Körper der Masse m die Beschleunigung a:
F = m·a.
(1.12)
Die Beschleunigung ihrerseits ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, im Falle einer Bewegung längs der x-Achse also:
a = x ′′ ( t ) ,
(1.13)
bzw. in Differentialquotientenschreibweise:
.
a=
d 2 x(t)
dt 2
V 11.6
(1.13a)
Einsetzen des linearen Kraftgesetzes und der Beschleunigung führt auf
(1.14a)
m · a = FR
1.) Aus Gl.(1.17) folgt, wie die Schwingungsdauer T von der Federkonstanten D der Feder
und der Masse m des an die Feder angehängten Körpers abhängt. Aus der Definition Gl.(1.10)
der Kreisfrequenz ω und Gl.(1.17) folgt:
m · x ′′ ( t ) = −D · x(t) ,
(ω 2 = )
(1.14b)
T = 2⋅π
D
x" (t) = −
⋅ x(t) .
m
(1.14c)
Gl.(1.14) ist ein Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Funktion, x(t), und ihrer
zweiten Ableitung nach der Zeit, x ′′ ( t ) . Einen solchen Zusammenhang nennt man eine
Differentialgleichung. Die Lösung der Differentialgleichung (1.14) läuft auf die Frage hinaus:
Ist uns eine Funktion x(t) bekannt, deren zweite Ableitung der Funktion selbst proportional
ist, und bei der der Proportionalitätsfaktor eine negative Zahl ist (D und m sind positive
Zahlen)? Es stellt sich heraus, daß die oben eingeführte Funktion (1.11) x(t) = x0 · sin(ωt + α)
genau diese Eigenschaft besitzt. Um das zu zeigen, müssen wir die 1. und 2. Ableitung der
Sinusfunktion kennen und die Kettenregel der Differentialrechnung anwenden können.
f(z) = sin(z)
=>
T2
=
D
m
(1.18)
Auflösung nach T ergibt:
bzw. durch Auflösung nach x ′′ ( t ) :
Es gilt:
4 π2
f' (z) = cos(z)
=>
f" (z) = - sin(z) ,
Mit zweimaliger Anwendung der Kettenregeln und der Kenntnis, daß ein konstanter Faktor
vor einer Funktion beim Differenzieren erhalten bleibt (a, k und c sind Konstanten):
f (z) =
a ⋅ sin (k ⋅ z + c)
f' (z) =
k ⋅ a ⋅ cos (k ⋅ z + c)
2
(1.15)
2
f"(z) = − k ⋅ a ⋅ sin (k ⋅ z + c) = − k ⋅ f (z)
Wenn wir entsprechend die zweite Ableitung der Funktion x(t) bilden, ergibt sich also ausgehend von der Funktion (1.11):
x'(t) = ω ⋅ x 0 ⋅ cos ( ω ⋅ t + α )
x''(t) = − ω² ⋅ x 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t + α )
(1.16)
Damit hat x(t) = x0 · sin(ωt + α) genau die Eigenschaft, die für die Funktion x(t) in unserer
Differentialgleichung (1.14) verlangt wurde, wenn wir nur noch
D
m
2.) Die Schwingungsdauer T hängt nur von m und D ab. Sie ist unabhängig von der Amplitude x0 der Schwingung; x0 kommt in Gl.(1.19) für T nicht vor.
1.6. Zwei Schlußbemerkungen
1.6.1. Gedämpfte Schwingung
Die Amplitude x0 der Federschwingung ist in Wirklichkeit keine Konstante, sondern nimmt
mit der Zeit langsam ab, d.h. die Schwingung ist gedämpft. Der Grund ist die durch Reibung
hervorgerufene Umwandlung der mechanischen Schwingungsenergie in Wärme.
1.6.2. Messverfahren
Zur Bestimmung der Federkonstanten D sollen an die Feder nacheinander die Massen m, 2.m,
3.m, ..... , 10.m angehängt werden. Bewirkt die Masse m nach Gl.(1.3a) eine Dehnung der Feder um den Längenbetrag
m⋅g
,
d =
D
so folgen für die Massen n · m, n = 2, 3 , ... , 10, die Dehnungen
n⋅m⋅g
,
D
solange die Feder im Gültigkeitsbereich des HOOKE'schen Gesetzes bleibt.
Im Versuch bedeutet das, daß die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zeigerablesungen
am unteren Ende der Feder jeweils
x''(t) = − x(t ) = − ω 2 ⋅ x ( t )
ω2 =
(1.17)
setzen. Das heißt: Die Gleichung (1.11) der harmonischen Schwingung ist eine Lösung der
Differentialgleichung (1.14), die ihrerseits ja nur eine ausführlichere Schreibweise des linearen Kraftgesetzes Gl.(1.2) ist. Damit ist unsere obige Behauptung bewiesen, daß ein System,
das dem linearen Kraftgesetz gehorcht, eine harmonische Schwingung ausführen kann.
d = ln ln − 1
für n = 1, 2, ... , 10 ergibt. Aus m und d (bzw. im Versuch aus dem Mittelwert über 10
d-Werte) erhält man dann nach Gl.(1.3a) für die Federkonstante:
D =
m⋅g
.
d
Sozusagen als Nebenprodukt der Beweisführung erhalten wir außerdem zwei wichtige Aussagen über unsere Federschwingungen:
V 11.7
(1.19)
Die Schwingungsdauer T wird größer, wenn wir m vergrößern. Sie wird um so kleiner, je größer D, also je steifer die Feder ist.
n⋅d =
x(t) = x 0 ⋅ sin ( ω ⋅ t + α )
m
D
V 11.8
(1.20)
2. Der Versuch
Versuchsaufbau und -durchführung sind einfach und übersichtlich. Die Aufgabe der Studenten ist es, die Messungen mit größtmöglicher Präzision durchzuführen. Die Genauigkeit der
Meßergebnisse und die konsistente Anwendung der Fehlerrechnung spielen eine entsprechende Rolle bei der Vergabe des Haupttestats.
2.1. Aufgabenstellung
2.1.1. Bestimmung der Federkonstanten einer Spiralfeder
Wenn man an eine Feder eine Masse m anhängt, beobachtet man eine Dehnung d der Feder,
die durch die Gewichtskraft G = m · g der Masse hervorgerufen wird. Führt man diesen Versuch mehrmals durch, so erhält man einen Mittelwert d für die Dehnung, und damit nach
Gl.(1.3) einen Mittelwert D für die Federkonstante:
D =
m⋅g
d
Achtung: Gehen Sie beim Anhängen und Abnehmen der Massenstücke vorsichtig vor, damit
sich nicht einzelne Massenstücke lösen und zu Boden fallen.
Bei der weichen Feder wird mit m = 0,050 kg begonnen, die angehängten Massen werden
dann jeweils um 0,050 kg bis auf 10·m = 0,500 kg erhöht. Die Reihenfolge der anzuhängenden Massen ist in Spalte 1 des Meßprotokollschemas angegeben. Die Lage l der Federöse für
die einzelnen Belastungen wird bestimmt, indem Sie die Zeigerspitze vorsichtig unter die Unterseite der Öse bringen. Die Oberseite des Zeigers muß die Unterseite der Öse gerade berühren. Achten Sie darauf, daß Sie dabei nicht das Federende durch den Zeiger anheben!
Die Ablesung von l soll auf 0,5 mm genau erfolgen: Nur wenn die Zeiger-Oberkante exakt
mit einem Millimeterstrich der Skala des Maßstabs übereinstimmt, wird z.B. l = 32,20 cm oder l = 32,30 cm protokolliert. Liegt die Oberkante des Zeigers zwischen diesen beiden mmStrichen, wird x = 31,25 cm protokolliert. (Eine genauere Angabe durch Schätzung von Zehntelmillimeter ist wegen der endlichen Dicke des Zeigers nicht sinnvoll.)
(2.1)
Auf diese Weise ist die Federkonstante entweder für eine weiche oder eine steife Feder zu
bestimmen. (Siehe dazu Abschnitt 1.6.2.)
2.1.2. Elastizitätsmessung an einem Latexring
Bei dieser Aufgabe ist die Längenänderung eines Gummirings mit zunehmender Zugkraft zu
messen. Die Ergebnisse werden in ein Dehnungs-Zugkraft-Diagramm gemäß Abb.1.1. eingetragen. Eine Anstiegsgerade im Koordinatenursprung soll die Abweichungen vom linearen
Kraftgesetz deutlich machen. Die reziproke Steigung dieser Geraden liefert eine Größe, die
mit der Federkonstanten nach Gl.(2.1) vergleichbar ist. Am Ende der Versuchsreihe ist zu überprüfen, ob der Gummiring nach der Dehnungsbelastung wieder in seine ursprüngliche
Länge zurückkehrt.
2.1.3. Bestimmung der Schwingungsdauer
Für die ausgewählte Feder sind nach der Bestimmung der Federkonstanten D für jeweils eine
Masse M die Schwingungsdauer T zu messen und mit dem nach
M
T = 2⋅ π
D
(2.2)
berechneten Wert zu vergleichen.
2.2. Durchführung
Die zwei Federn sind an einer Stativstange befestigt. Die Dehnung der Federn wird mit einem
mm-Maßstab mit beweglichem Zeiger gemessen. Welche der beiden Federn zu Ihrem
Meßprogramm gehören soll, erfahren Sie bei der Einweisung am Versuchstage.
2.2.1. Die Federkonstanten D
Zunächst wird die Lage l0 der Unterseite der Öse am unteren Ende der Feder bestimmt,
Abb.2.1. Dann werden der Reihe nach 10 Massen an die Feder gehängt und die zugehörige
Dehnung der Feder gemessen, indem die Lage ln der Unterseite der Öse abgelesen und protokolliert wird, Abb.2.1.
V 11.9
Abb. 2.1. Prinzip der ersten Messung
Bei der steifen Feder wird mit m = 0,200 kg begonnen, die angehängten Massen werden
dann um jeweils 0,200 kg bis auf 10·m = 2,000 kg erhöht. Die Reihenfolge der anzuhängenden Massen ist wiederum in Spalte 1 des Meßprotokollschemas angegeben. Die l-Werte werden wie oben beschrieben bestimmt und auf 0,5 mm genau protokolliert. Auch hier ist darauf
zu achten, daß die Feder nicht von der Zeigerspitze angehoben wird. Bei beiden Federn
nimmt die Dehnung d bei einer zusätzlichen Belastung mit 0,05 bzw. 0,2 kg um größenordnungsmäßig 2 cm zu.
2.2.2. Das Dehnungs-Kraft-Diagramm eines Latexrings:
Der Gummiring ist wie die beiden Federn mit seinem oberen Ende an der Stativstange fixiert.
An seinem unteren Ende ist vor der ersten Messung der s-förmige Metallhaken einzuhängen,
um den Ring in die gestreckte Ausgangsform zu ziehen. Die Unterseite der Gummischlaufe
definiert den Bezugspunkt für die Größe l0 und die Meßwerte ln des gedehnten Gummibands.
Verwenden Sie denselben Gewichtssatz, der für die steife Feder vorgesehen war.
V 11.10
2.2.3. Die Schwingungsdauer von Federschwingungen: Bei der weichen Feder
wird für die angehängte Masse M = 0,500 kg dreimal die Dauer von 50 Federschwingungen
bestimmt. Beim Auslenken der Feder ist darauf zu achten, daß die Feder nicht zu seitlichen
('tanzenden') Schwingungen angeregt wird. Die Feder mit der angehängten Masse muß also so
genau wie möglich senkrecht nach unten ausgelenkt werden, und zwar um ungefähr 3 bis 4
cm. Warten Sie zwei Schwingungen ab, dann starten Sie die Stoppuhr und beginnen gleichzeitig mit der Zählung der Schwingungen und zwar bei 'Null'. Die drei so erhaltenen Werte
von 50·T sollen untereinander um nicht mehr als maximal 0,20 s differieren. Gegebenenfalls
müssen die Messungen von 50·T ein- oder zweimal wiederholt werden! Bei der steifen Feder
bestimmen Sie genau wie oben dreimal 50·T für M = 1,5 kg (1 kg-Stück + 500 g-Stück) mit
der gleichen Genauigkeit (maximale Abweichung: 0,20 s). Bei dieser Feder genügt zur Anregung der Schwingungen eine Anfangsauslenkung von 1,5 bis 2 cm.
2.3. Die Meßprotokolle
2.3.1. Messungen zur Bestimmung von D1 und D2
Tragen Sie die Zahlenwerte in Spalte 1 erst am Versuchstage in Ihre vorbereitete Tabelle ein.
weiche Feder Nr...:
1
2
anzuhängende
Massen
[kg]
steife Feder Nr...:
oder
3
4
1
l
d*
anzuhängende Massen
[cm]
[cm]
[kg]
l0
---
---
2
---
0
0,05
m1
0,2
m2
0,1
2 · m1
0,4
2 · m2
0
3
4
l
d*
[cm]
[cm]
l0
---
2.3.2. Dehnungsmessungen am Latexring
Die Dehnung des Gummibands wird durch Anhängen geeigneter Massestücke in Schritten
von 0,1 kg gemessen, was einer Schrittweite der entsprechenden Gewichtskraft von 0,981
Newton entspricht. In Spalte 2 der Tabelle ist die daraus resultierende Zugkraft F in Newton
eingetragen. Zum Abschluß dieser Meßreihe ist zu überprüfen, ob nach maximaler Dehnung
des Latexrings eine unelastische Verformung zu beobachten ist, indem die Länge l0 mit der
Ausgangsbelastung durch den Metallhaken neu bestimmt wird.
1
2
3
4
anzuhängende
Massen
[kg]
F
[N]
l
[cm]
x = l − l0
[cm]
(Metallhaken)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
0
0,981
1,962
2,943
3,924
4,905
5,886
6,867
7,848
8,829
9,810
10,791
11,772
12,753
l0
0
0,15
0,6
0,2
0,8
0,25
1,0
Man beachte, daß bei dieser Messung in Spalte 4 die Längenänderung x in Bezug auf die
Ausgangslänge l0 zu berechnen ist. Entsprechend ist die Zugkraft F als diejenige Kraft definiert, die die gesamte Längenänderung x hervorruft.
0,3
1,2
2.3.3. Messungen der Schwingungsdauern T
0,35
1,4
0,4
1,6
0,45
1,8
Die Messungen von 50·T werden so oft wiederholt, bis man drei Werte erhalten hat, die sich
untereinander um nicht mehr als 0,20 Sekunden unterscheiden. Die so erhaltenen drei Werte
werden zur Auswertung benutzt, die Werte mit größeren Abweichungen werden weggelassen,
sind aber im Protokoll enthalten.
0,5
10 ·
m
2,0
10 ·
weiche Feder Nr..
oder
M1 = 0,5 kg
*Die d-Werte in Spalte 4 sind Differenzen jeweils zweier benachbarter l-Werte aus der
Spalte 3, d.h. sie geben an, um wieviel sich die Feder gedehnt hat, wenn sie mit einer zusätzlichen Masse von 50 g (weiche Feder) bzw. 0,200 kg (steife Feder) belastet worden ist.
50 T1 [s]
steife Feder Nr...:
M2 = 1,5 kg
T1 [s]
50 T2 [s]
T2 [s]
Die Werte von 50 ·T werden auf 1/100 sec genau protokolliert; die daraus ermittelten T-Werte
werden zunächst auf 4 Stellen nach dem Komma berechnet.
V 11.11
V 11.12
Achtung !
Unmittelbar nach den Versuchen zur Dehnung und zur Bestimmung der
Schwingungsdauern sind die angehängten Massen von den Federn bzw. dem Latexring abzunehmen. Geschieht das nicht, kann es zu unelastischen Verformungen kommen!
2.4.1. Die Federkonstanten
Die d-Werte in der Spalte 4 des Meßprotokolls erhalten wir aus Spalte 3, indem wir die Differenz zweier benachbarter l-Werte bilden. Aus den so erhaltenen 10 d-Werten wird der Mittelwert d und der mittlere absolute Fehler ∆d berechnet. (Taschenrechner mit 'statistischen
Funktionen' benutzen!) Wir erhalten also d ± ∆d:
steife Feder:
oder
d1 = ( .... ± .... ) cm
d2 = ( .... ± .... ) cm
Dann werden die prozentualen Fehler von d1 bzw. d2 berechnet:
∆d1
d1
[%]
bzw.
p(d 2 ) = 100 ⋅
∆d 2
[%]
d2
d 2 = ... [m ]
bzw.
m1 ⋅ g  N 
 m 
d1
D2 =
bzw.
m2 ⋅ g  N 
 m  ,
d2
(2.6)
Zunächst ist nur der prozentuale Fehler von D1 und D2 bekannt: Er ist nämlich gleich dem
prozentualen Fehler von d1 bzw. d2 (m und g sind als Konstanten vorgegeben!):
(2.7)
Zur Bestimmung der physikalisch sinnvollen Stellenzahl von D braucht man aber die absoluten Fehler von D1 und D2 .Man erhält sie aus den prozentualen Fehlern nach Gl.(2.7) der
Fehlerrechnung (auf zwei signifikante Stellen zu runden!):
V 11.13
N
D 2 = ...   ± p(D 2 ) [%]
m
(2.9)
Zeichnen Sie vom Koordinatenursprung aus nach Augenmaß eine Anstiegsgerade ein, die
dem Verlauf der Meßkurve bis etwa zum zweiten Meßpunkt (0,2 kg) folgen sollte. Zeichnen
Sie ein möglichst großes Steigungsdreieck ein und bestimmen Sie die Steigung s der Anstiegsgeraden auf drei signifikante Stellen:
s =
∆ x  cm 
∆ F  N 
(2.10)
Der Kehrwert von s liefert eine Größe, die analog zu den im Abschnitt 4.2.1. bestimmten Federkonstanten betrachtet werden kann. Berechnen Sie also:
DL =
1
∆F  N 
=
s
∆ x  cm 
(2.11)
Diese Größe DL beschreibt die Elastizität des Latexbandes im Bereich kleiner Dehnungskräfte, wo noch in guter Näherung ein lineares Kraftgesetz zu beobachten ist.
Aus den jeweiligen drei gemessenen Werten von T für beide Federn berechnen wir die Mittelwerte und die absoluten Fehler ∆T, sowie anschließend die prozentualen Fehler:
Auf wieviele Stellen sind D1 bzw. D 2 anzugeben?
p(D2) = p(d2) = .. [%]
bzw.
2.4.3. Die Schwingungsdauern
2
bzw.
(2.8)
2.4.2. Das elastische Verhalten des Latexbandes
(2.5)
mit m1 = 0,050 kg, m2 = 0,200 kg und g = 9,81 m/s .
p(D1) = p(d1) = .. [%]
p( D 2 )  N 
100 %  m 
Frage:
Welche Aussage über die Gültigkeit des HOOKEschen Gesetzes gewinnt man aus
den Meßreihen?
Damit erhält man nach Gl.(2.1) die Federkonstanten in Newton/Meter:
D1 =
∆D 2 = D 2 ⋅
Dann wird (wieder nach Regel 3 der Fehlerrechnung) die Stellenzahl von D 1 bzw. D 2 bestimmt, indem deren Werte auf diejenige Stelle abgerundet werden, die der zweiten Stelle des
jeweiligen absoluten Fehlers ∆D entspricht. Jetzt können wir als Ergebnis schreiben:
(2.4)
Zur Berechnung der Federkonstanten müssen d1 bzw. d 2 in Metern vorliegen, also Umrechnung von cm in m:
d1 = ... [m ]
bzw.
Tragen Sie die 13 Wertepaare von x und F aus der Tabelle in Abschnitt 2.3.2 in ein Dehnungs-Kraft-Diagramm nach dem in Abb.2.2 vorgegebenen Muster ein und verbinden Sie die
Meßpunkte unter Verwendung eines Kurvenlineals mit einer glatten Kurve.
Beachten Sie dabei die Regeln 1, 2 und 3 der Fehlerrechnung, insbesondere und während der
gesamten Auswertung die Regel 1 !
p(d1 ) = 100 ⋅
p ( D1 )  N 
100 %  m 
N
D1 = ...   ± p(D1 ) [%]
m
2.4. Auswertung und Fehlerrechnung
weiche Feder:
∆D1 = D1 ⋅
weiche Feder:
T1
= ( .... ± .... ) s
p(T1) = ..
[%]
steife Feder:
oder
T2 = ( .... ± .... ) s
p(T2) = ..
[%]
(2.12)
Achten Sie wieder auf die richtige Angabe der Stellenzahl von T, die von der Größe der betreffenden absoluten Fehler abhängt!
V 11.14
Nun sollen diese gemessenen Werte der Schwingungsdauern mit denjenigen Werten verglichen werden, die nach der Theorie aus den Werten von D und m zu erwarten sind. Das sind
diejenigen Werte, die sich aus Gl.(2.2) ergeben. Wir berechnen also aus den gemessenen
Werten der Federkonstanten und den jeweiligen Massen:
T1 (M1 ) = 2 ⋅ π
M1 = 0,50 kg:
M1
D1
[s]
oder
(2.13)
T2 (M 2 ) = 2 ⋅ π
M2 = 1,50 kg:
M2
[s]
D2
Es stellt sich die Frage, auf wieviele Stellen diese zwei Schwingungsdauern abzurunden sind.
In den Ausdrücken (2.13) sind D1 bzw. D2 die einzigen fehlerbehafteten Größen. Die prozentualen Fehler von D1 oder D2 haben wir berechnet. Da D1 und D2 unter einer Quadratwurzel
1/2
stehen, und da eine Quadratwurzel in Potenzschreibweise die Form (...) besitzt, folgt aus
dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (Abschnitt 3.2. der Fehlerrechnung), daß der prozentuale
Fehler von T(M) gleich der Hälfte des prozentualen Fehlers der Federkonstante D1 bzw. D2
ist:
1
p(T1 (M1 )) = ⋅ p(D1 )
2
oder
(2.14)
1
p(T2 (M 2 )) = ⋅ p(D 2 )
2
Daraus berechnen wir die absoluten Fehler ∆T(M) (2 signifikante Stellen!):
∆T1 (M1 ) = T1 (M1 ) ⋅
p(T1 (M1 ))
[s]
100 %
oder
(2.15)
p(T2 (M 2 ))
[s]
∆T2 (M 2 ) = T2 (M 2 ) ⋅
100 %
Mit Hilfe der absoluten Fehler ist T(M) für beide Federn auf die richtige Stellenzahl zu runden. Als Ergebnis schreiben wir:
T1(M1) = ...
[s] ± p(T1(M1)) [%]
oder
(2.16)
T2(M2) = ... [s] ± p(T2(M2)) [%]
.
Die gemessenen und die aus den Federkonstanten berechneten Werte für die Schwingungsdauern werden ein wenig voneinander abweichen. Abgesehen von den Meßfehlern bei T und
D ist ein weiterer Grund für eine Abweichung der, daß bei der Ableitung des Ausdrucks (2.1)
stillschweigend vorausgesetzt wurde, daß die Masse der Feder als verschwindend klein gegenüber dem Wert der angehängten Masse m angesehen werden kann, was in Wahrheit nicht
zutrifft.
Abb.2.2. Dehnungs-Kraft-Diagramm des Latexrings (Millimeterpapier!)
V 11.15
V 11.16
Überprüfen Sie anhand der Bedingungen (2.17), ob Ihre Ergebnisse im Sinne der Fehlerrechnung physikalisch signifikante Abweichungen zeigen, d.h. ob die auf verschiedene Weise bestimmten Schwingungsdauern T1 , T2 bzw. T1(M1), T2(M2) innerhalb ihrer Fehlerintervalle
übereinstimmen:
T1 − T1 (M1 )
< ∆T1 + ∆T1 (M 1 )
oder
(2.17)
T2 − T2 (M 2 )
< ∆T2 + ∆T2 (M 2 )
Frage: Kann die Federmasse bei der Berechnung der Schwingungsdauern vernachlässigt werden? Treffen Sie für beide Federn eine begründete Aussage.
3. Übungsfragen
1. Welche Eigenschaften hat ein elastischer Körper?
2. Wie lautet das HOOKsche Gesetz für einen elastischen Körper, der sich nur in einer
Richtung dehnen oder stauchen läßt?
3. Welche Verhaltensweisen können elastische Körper außerhalb der Grenzen zeigen, in
denen das lineare Kraftgesetz Gültigkeit besitzt?
4. Wie lautet die Schwingungsgleichung einer Masse m, die unter den Einfluß eines
linearen Kraftgesetzes FR =D · x zu harmonischen Schwingungen in x-Richtung
angeregt wurde?
5. Welche Bedeutung haben die Begriffe Kreisfrequenz, Amplitude und Phase?
6. Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung?
V 11.17
V 11.18