Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Prof. Dr. H. Abels, Dr. H. Farshbaf-Shaker
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
SoSe 09
22.06.2009
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt 9
Abgabe: 29.06.2009, 14 Uhr (in den Übungskästen)
Aufgabe 34 (3 Punkte)
(i)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine reelle Zufallsvariable und f :
[0, ∞) → [0, ∞) monoton wachsend. Dann gilt für jedes ε > 0 mit f (ε) > 0 die Markov’sche Ungleichung:
P (|X| ≥ ε) ≤
(ii)
E(f (|X|))
.
f (ε)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es seien reelle Zufallsvariablen X, Y und
Xn , Yn , n ∈ N gegeben. Zeigen Sie: Aus Xn → X und Yn → Y stochastisch folgt
Xn ± Yn → X ± Y stochastisch für n → ∞.
Aufgabe 35 (3 Punkte)
Sei (Xi )i≥1 eine Bernoulli-Folge zu 0 < p < 1. Zeigen Sie, dass für alle p < a < 1 gilt:
!
n
1X
P
Xi ≥ a ≤ e−nh(a;p) ,
n
i=1
wobei h(a; p) = a log ap + (1 − a) log 1−a
1−p .
Hinweis: Zeigen Sie dazu zuerst, dass für alle s ≥ 0
!
n
1X
P
Xi ≥ a ≤ e−nas E(esX1 )n = e−n(as−log ϕ(s))
n
i=1
gilt, wobei ϕ(s) = E(esX1 ). Bestimmen Sie das Maximum von f (s) = as − log ϕ(s)!
Aufgabe 36 (3 Punkte)
Es seien X1 , . . . , Xn Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen zum Parameter p = 1/2. Xi gebe die
Position des i-ten Teilchens in einem Gefäß, das in zwei gleich große miteinander verbundene
Teilkammer unterteilt ist, an. D.h. die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu einem festen Zeitpunkt
in der linken oder rechten Kammer für jedes Teilchen beträgt 1/2. Das Gefäß enthält n =
0.25·1023 Teilchen und die Zufallsvariablen Xi seien unabhängig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist der Anteil der Teilchen in der linken Kammer um 10−7 größer als in der rechten Kammer?
i) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Abschätzung vom schwachen Gesetz der
großen Zahlen ab.
ii) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Abschätzung aus Aufgabe 35 ab.
Vergleichen Sie beide Ergebnisse!
Bitte wenden!
Aufgabe 37 (3 Punkte)
(i) Es sei Xn , n ∈ N, eine Folge, die in Verteilung gegen X konvergiert und Yn , n ∈ N, eine
Folge die stochastisch gegen 0 geht. Außerdem sei die Verteilungsfunktion FX : R → [0, 1]
von X stetig. Zeigen Sie, dass Xn + Yn für n → ∞ in Verteilung gegen X konvergiert.
(ii) Sei (Xi )i≥1 eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten
in einem Intervall I ⊂ R und existierender Varianz v = V(Xi ) > 0 und X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Sei m = E(Xi ) und f : I → R zweimal stetig differenzierbar
mit f 0 (m) 6= 0 und beschränktem f 00 . Zeigen Sie: Für n → ∞ konvergiert
!
!
p
n
n/v
1X
f
Xi − f (m)
f 0 (m)
n
i=1
in Verteilung gegen X.
Hinweis: Verwenden Sie die Taylor-Entwicklung von f im Punkt m und schätzen Sie das
Restglied mit der Tschebyschev-Ungleichung ab.
Zusatzaufgabe
Es sei Xn , n ∈ N, eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen jeweils mit Dichte f (x) =
1/(π(1 + x2 )). Gibt es eine Konstante a ∈ R, derart dass n−1 (X1 + . . . + Xn ) stochastisch gegen
a konvergiert?
Viel Erfolg!