————————————————————————————————— Mathematik für Informatiker I 27. Februar 2004 Wintersemester 2003/4 Priv.-Doz. Dr. Dirk Hachenberger ————————————————————————————————— 1. Klausur — Aufgaben Physik-Hörsaalgebäude 1001, 1002, 1004 9.30-12.30 Uhr ————————————————————————————————— Aufgabe 1 (4 21 Punkte) Es seien A und B logische Aussagen. Bestimmen Sie die Wahrheitstafel der folgenden aus A und B zusammengesetzten Aussage: ([(¬A) ⇒ B] ∨ [(¬B) ∧ A]) xor [A ⇔ (¬B)] . Beschreiben Sie in Ihrer Tafel dazu auch die Wahrheitswerte der Teilaussagen der einzelnen [...]-Terme. ————————————————————————————————— Aufgabe 2 (5 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Zahl 7 1 5 1 3 n + n + n 5 3 15 für jedes n ∈ N eine natürliche Zahl ist. ————————————————————————————————— Aufgabe 3 (6 Punkte) Bestimmen Sie mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a = 4869 und b = 1323, sowie ganze Zahlen x und y mit xa + yb = ggT(a, b). ————————————————————————————————— Aufgabe 4 (3 21 Punkte) Auf der Menge N × N∗ ist eine Relation ⊑ definiert durch (a, b) ⊑ (c, d) : ⇔ es gibt eine gerade Zahl n ∈ N und eine ungerade Zahl m ∈ N∗ mit a + n = c und b · m = d. Zeigen Sie, dass es sich bei ⊑ um eine partielle Ordnung handelt. ————————————————————————————————— Aufgabe 5 (7 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden über dem Körper Q der rationalen Zahlen gegebenen Gleichungssystems: 2x1 − 4x2 + x3 + 3x4 + x5 + 2x6 = 3 x1 − 2x2 − x3 + 5x5 + x6 = 0 −3x1 + 6x2 + x3 − 2x4 − 9x5 + 3x6 = −2 Transformieren Sie dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem GaußAlgorithmus auf normierte Treppengestalt; machen Sie Ihre Pivoteinträge kenntlich und protokollieren Sie Ihre Elementarumformungen. Bestimmen Sie die Standardlösung y und die Basis {hl : l ∈ χc } des zugehörigen homogenen Systems. ————————————————————————————————— Aufgabe 6 (6 Punkte) Es sei Kn der n-dimensionale Spaltenraum über einem Körper K. Zu F ∈ Kn,n und f ∈ Kn ist eine Abbildung ϕ definiert durch ϕ : Kn → Kn , x 7→ F x + f. (a) Zeigen Sie: Ist F invertierbar, so ist ϕ bijektiv. Zeigen Sie ferner, dass es dann eine Matrix G ∈ Kn,n und einen Vektor g ∈ Kn gibt mit ϕ−1 (x) = Gx + g, wobei ϕ−1 die Umkehrfunktion von ϕ ist. (b) Es seien nun konkret n = 3, K = F2 der binäre Körper und ϕ sei bestimmt durch 0 1 1 1 1 ∈ F32 . sowie f := F := 1 1 0 ∈ F3,3 2 1 0 1 1 3 Berechnen Sie die zu ϕ−1 gehörenden Daten G ∈ F3,3 2 und g ∈ F2 . ————————————————————————————————— Aufgabe 7 (5 Punkte) Auf Z × Z ist durch (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d + ac) eine Verknüpfung ⊕ definiert. Zeigen Sie, dass Z × Z bzgl. ⊕ eine kommutative Gruppe ist. ————————————————————————————————— Viel Erfolg!