Mathematik für Ingenieure mit Maple
Werbung
Inhaltsverzeichnis 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Einführung in die Benutzeroberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegendes zur Benutzeroberfläche von Maple ........ Paletten ............................................................ Maple-Strukturen................................................. Maple-Hilfe ........................................................ 1 2 10 12 14 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . Zahlen .............................................................. Gleichungen ....................................................... Ungleichungen .................................................... Lineare Gleichungssysteme ..................................... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 16 17 19 23 24 28 2 2.1 2.2 2.3 Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorrechnung ................................................... Punkte, Geraden und Ebenen.................................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 29 29 32 39 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizen ........................................................... Determinanten .................................................... Rangbestimmung ................................................. Anwendungen ..................................................... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 41 41 43 43 44 48 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition und Darstellung von Funktionen ................. Polynome .......................................................... Gebrochenrationale Funktionen................................ Potenz- und Wurzelfunktionen ................................ Exponentialfunktionen........................................... Trigonometrische Funktionen .................................. Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle .............. 49 49 57 60 64 64 65 67 5 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung komplexer Zahlen ................................. Komplexes Rechnen ............................................. Anwendungen ..................................................... Beschreibung harmonischer Schwingungen.................. Superposition gleichfrequenter Schwingungen .............. Visualisierung des Fundamentalsatzes der Algebra ........ Beschreibung von RCL-Filterschaltungen.................... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 69 69 71 73 73 74 76 77 84 vi Inhaltsverzeichnis 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ermittlung von Grenzwerten ................................... Graphische Darstellung von Funktionsfolgen................ Berechnung von Funktionsgrenzwerten ...................... Bisektionsverfahren .............................................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Definition der Ableitung ........................................ 91 Differenzieren ..................................................... 92 Logarithmische Differenziation ................................ 93 Implizite Differenziation......................................... 94 L’Hospitalsche Regeln ........................................... 94 Newton-Verfahren ................................................ 95 Anwendungsbeispiel: Magnetfeld von Leiterschleifen...... 98 Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 100 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.7.1 8.7.2 8.7.3 8.7.4 8.8 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das bestimmte Integral ......................................... Integration ......................................................... Partielle Integration .............................................. Substitutionsmethode ........................................... Partialbruchzerlegung............................................ Uneigentliche Integrale .......................................... Anwendungen ..................................................... Mittelungseigenschaft ........................................... Bogenlänge ........................................................ Krümmung ........................................................ Volumen und Mantelflächen von Rotationskörpern ....... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 101 101 103 104 106 107 109 109 109 110 112 112 115 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zahlenreihen....................................................... Quotientenkriterium ............................................. Konvergenzbetrachtungen bei Potenzreihen ................ Potenzreihen ...................................................... Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen .......... Taylor-Reihen ..................................................... Anwendungsbeispiel: Scheinwerferregelung.................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 116 117 119 120 122 123 124 126 129 10 10.1 10.2 10.2.1 10.2.2 Funktionen in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung von Funktionen in zwei Variablen .............. Differenzialrechnung ............................................. Partielle Ableitung ............................................... Totale Ableitung.................................................. 131 131 135 135 136 85 85 86 87 87 89 Inhaltsverzeichnis vii 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 10.4 Berechnung und Darstellung des Gradienten ............... Berechnung der Richtungsableitung .......................... Taylor-Reihen ..................................................... Anwendung der Differenzialrechnung......................... Das totale Differenzial........................................... Fehlerrechnung.................................................... Bestimmung der stationären Punkte und Extremwerte ... Relative Extrema für Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung der Ausgleichsgeraden .......................... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 137 139 139 140 140 141 142 145 148 151 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Doppel- und Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppelintegrale ................................................... Dreifachintegrale ................................................. Anwendungen ..................................................... Linien- oder Kurvenintegrale ................................... Oberflächenintegrale ............................................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 154 155 157 158 163 171 174 12 12.1 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.3 12.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen von DG 1. Ordnung ..................................... Lineare Differenzialgleichungssysteme ........................ Homogene LDGSysteme ........................................ Eigenwerte und Eigenvektoren ................................. Berechnung inhomogener LDGSysteme ...................... Lösen von DG n-ter Ordnung.................................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 175 175 179 179 180 186 193 197 13 13.1 13.2 13.3 13.4 Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen . . . . . . Streckenzugverfahren von Euler ............................... Verfahren höherer Ordnung .................................... Numerisches Lösen von DG mit dsolve ...................... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 199 199 201 206 212 14 14.1 14.2 14.3 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laplace-Transformation ......................................... Anwendungen der Laplace-Transformation .................. Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 213 213 215 221 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung der Fourier-Koeffizienten ........................ Analyse T -periodischer Signale ................................ Prozedur zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten ....... Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten.......... Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 222 223 225 229 232 233 viii Inhaltsverzeichnis 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.4.1 16.4.2 16.4.3 16.5 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Transformation und Beispiele ........................ Inverse Fourier-Transformation ................................ Darstellung der Deltafunktion ................................. Anwendungsbeispiele ............................................ Lösen von DG mit der Fourier-Transformation ............. Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems.................. Frequenzanalyse eines Hochpasses ............................ Zusammenstellung der Maple-Befehle........................ 234 235 237 237 239 239 240 242 244 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Maple-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
